1. FFuunnddaammeennttooss FFííssiiccooss ddee llaa IInnggeenniieerrííaa
GGrraaddoo ddee IInnggeenniieerrííaa FFoorreessttaall
PPrrooff.. MMaannuueell RR.. OOrrtteeggaa GGiirróónn
UUnniivveerrssiiddaadd ddee CCóórrddoobbaa
DDeeppaarrttaammeennttoo ddee FFííssiiccaa AApplliiccaaddaa

3. Fundamentos Físicos
de la Ingeniería
Enunciados de Problemas
Prof. Manuel R. Ortega Girón
Escuela Técnica Superior de Ingenieros
Agrónomos y de Montes
Universidad de Córdoba

4. 2 Fundamentos Físicos de la Ingeniería.
Actualizado el 15 de septiembre de 2011

5. 1- Álgebra Vectorial 3
1.- Álgebra Vectorial.
1.1.- Decir cuáles son las propiedades de los
vectores A y B, tales que: a) A + B = A - B; b) A
+ B = C y A + B = C; c) A+ B = C y A2
+ B2
= C2
;
d) A + B= A - B.
1.2.- Un vector forma ángulos iguales con cada
uno de los ejes coordenados. Expresar dicho
vectorenfuncióndesus componentes cartesianas.
1.3.- Determinar la ecuación de la bisectriz del
ángulo formado por los vectores concurrentes Ay
B.
1.4.- Descomponer el vector A = 3i + 5j + 4k en
las direcciones de los vectores u(1,1,0), v(1,0,1),
w(0,1,1).
1.5.- Descomponer el vector A = 5i + 10j + 7k en
las direcciones del vector unitario e = 0.8i + 0.6j
y del normal al vector e.
1.6.- a) Demostrar que los tres vectores:
A = 51i + 42j - 26k
B = 18i + 19j + 66k
C = 46i - 54j + 3k
son perpendiculares entre sí y que forman un
triedro directo. b) Establecer una base vectorial
ortogonal y positiva que tenga las mismas
direcciones que los vectores anteriores.
1.7.- Dados los vectores A = 3i + 4j + k y B = i
+ 2j + 5k, calcular: a) sus módulos; b) su suma;
c)su producto escalar; d) el ángulo formado entre
ambos; e) la proyección del vector A sobre el B;
f)suproducto vectorial; g)el versorperpendicular
a A y a B.
1.8.- Dados los tres vectores:
A = 2i - j + 3k
B = xi + 2j + zk
C = i + yj + 2k
determinar x, y, z, para que los tres vectores sean
mutuamente perpendiculares.
1.9.- Ecuaciones vectoriales. Dado el sistema de
ecuaciones vectoriales:
a + b = 3i - 2j + 5k
a - b = i + 6j + 3k
determinar a y b.
1.10.- Ec. de la recta I. Determinar la ecuación
de la recta que pasa por los puntos A(2,4,5) y
B(3,6,4).
1.11.- Ec. de la recta II. Determinar la ecuación
de la recta que pasa por el punto P(1,5,3) y es
paralela al vector u = 2i + j + 3k.
1.12.-Ec. del plano I. Determinar la ecuación del
plano determinado por los puntos A(2,3,-1),
B(3,5,1) y C(1,-2,3).
1.13.- Ec. del plano II. Determinar la ecuación
del plano que pasa por el punto P(2,5,3) y es
normal al vector N = i + 2j + 3k.
1.14.-Ec. del planoIII. Encontrarla ecuación del
plano determinado por la recta [2x + y - z + 3= 0;
x - 3y + z + 1 = 0] y el punto (1,2,3).
1.15.- Proyección de unasuperficie. Determinar
la proyección de la superficie representada por el
vector S = 3i + 2j + k sobre el plano normal a la
dirección del vector N = i + j + k.
1.16.- Consideremos el vector A y la dirección
definida por el vector B. Descompongamos el
vectorA endos:uno paralelo yotro perpendicular
a la dirección del vector B. Demostrar que los
vectores componentes de A son AB/B y
(B×(A×B)/B2
.
2.- Vectores deslizantes.
2.1.- Determinar el momento del vector F = 2i - j
+ 3k, aplicado en el punto P(2,5,3): a) con
respectoal origen decoordenadas;b)con respecto
al punto O(1,2,-1); c) comprobar que MO= MO +
OO × F.
2.2.- Dado el vector deslizante F = i + 2j + 3k,
aplicado en el punto P(3,4,2), calcular su
momento: a) con respecto a cada uno de los ejes
coordenados; b) con respecto al eje determinado
por el origen de coordenadas y el punto Q(2,3,1);
c) con respecto a la recta de ecuación
(x-1)/2 =(y+2)/3 =(z-4)/(-5).
2.3.- Dado el vector deslizante F = 2i - 3j + 2k,
cuyo momento con respecto al origen de
coordenadas es MO = 5i + 6j + Mzk, determinar Mz
y la ecuación de la recta de acción del vector F.
2.4.- Un sistema de vectores deslizantes está
definido por sus momentos respecto a tres puntos
del espacio, en la forma siguiente
M1 = i + 2j - k respecto a O1(2,0,1)
M2 = ai + 4j + 3k O2(0,0,1)
M3 = bi - j + ck O3(1,-1,0)
Hallar el vector resultante y completar las
expresiones de los momentos.
2.5.- El módulo de la resultante de un sistema de
vectores es R = 6, el invariante escalar del sistema
es MR=30 y la ecuación del eje central del
sistema es 2x = y = 2z. Hallar: a) el momento
mínimo; b) la resultante; c) el momento respecto
al origen; d) el momento con respecto al punto
(2,1,0).
2.6.- Dado un vector deslizante F = -i + 2j + 3k
cuya recta de acción pasa por el punto P(2,1,1), y
el par de momento M = 4i + 2j, reducir dicho
sistema aun vectorúnico (de ser posible)aplicado
en un punto del plano xy, cuyas coordenadas
deben determinarse.
2.7.- Sobre un cuerpo rígido actúan dos fuerzas,
F1 = 3i - 2j + k y F2 = i - j, aplicadas
respectivamente en los puntos (0,1,1) y (2,0,1), y

6. 4 Fundamentos Físicos de la Ingeniería.
un par defuerzas demomento M = 3i -k. Sustituir
ese sistema de fuerzas por: a) una fuerza que pase
por el punto (1,1,1) y un par; b) por una fuerza y
un par de eje paralelo a la fuerza.
2.8.- Determinar el eje central del sistema de
vectores deslizantes definidos de la siguiente
forma:
A = 2i + j + 3k; PA(0,0,1)
B=6; Bx>0; 2(x-1)=y=z
C=3; Cx>0; PC(3,0,0); 2cosα=cosβ=cosγ
2.9.- Dado el sistema de vectores deslizantes:
a = i - j aplicado en A(0,0,1)
b = k aplicado en B(1,0,0)
determinar un tercer vector, de módulo 2 y
componentes enteras, que junto con los dos
anteriores constituya un sistema cuyo eje central
sea la recta x = y = z.
2.10.- Sean dos sistemas de vectores deslizantes
definidos por sus torsores {R;M} respectivos:
T1 = {(1,2,1);(2,4,2)} P1(1,0,0)
T2 = {(0,1,1);(0,3,3)} P2(0,1,0)
Determinar el torsor resultante del sistema de
vectores constituido por los dos dados.
3.- Análisis vectorial.
3.1.- Demostrar que la derivada de un vector de
módulo constante es otro vector normal al dado.
3.2.- Demostrar que la dirección del vector A(t)
permanecerá constante si se verifica que
3.3.- Dado el vector A = (t+1)i + t2
j + 2tk,
calcular:
a) y b)
3.4.- Consideremos la función definida por el
módulo del vector de posición de los puntos del
espacio con respecto al origen de coordenadas.
a) ¿Define dicha función un campo escalar?
b) ¿Cómo son las superficies equiescalares de
dicho campo?
3.5.- La función φ= x2
+ y2
- z define un campo
escalar. ¿Cómo son las superficies equiescalares
de dicho campo?
3.6.- Un campo escalar estacionario, φ(r), está
definido porla función φ= r2
-2ar, donde a es un
vectorconstante.a) Demostrarque las superficies
equiescalares son esféricas. b) Determinar el
menor valor posible que tomará el campo escalar
y el punto(s) donde lo toma.
3.7.- Si es A = (x + y)i + xyj, calcular Adr sobre
los siguientes recorridos: a) y=x desde (0,0) hasta
(1,1); b) la línea quebrada determinada por los
puntos (0,0), (1,0) y (1,1); c) ídem por los puntos
(0,0),(0,1) y (1,1); d) sobre la curva y=x2
entre los
puntos (0,0) y (1,1); e) ídem sobre la curva x=y2
;
f) sobre la trayectoria cerrada definida por las
curvas y=x2
y x=y2
; g) ¿Es conservativo este
campo?
3.8.- Calcular Adr, donde
A = (2x-y+z)i + (x+y-z)j + xyzk
sobre la elipse de ecuación x2
/9+y2
/4=1. ¿Es
conservativo este campo?
3.9.- Calcular el flujo del campo vectorial
definido por A = xi + yj + zk, a través de las
superficies siguientes: a) la superficie de un cubo
de arista unidad delimitado por los planos
coordenados y los planos x=1, y=1 y z=1; b) la
superficie esférica de radio unidad y centrada en
el origen de coordenadas.
3.10.- Hallar los gradientes de los campos
escalares siguientes:
a) φ= x2
+ y2
+ z2
b) φ= xy3
+ yz3
+ zx3
c) φ= x2
y/z3
d) φ= x sen(yz) + y cos(xz)
e) φ= x cos x + xyz
3.11.- a) Calcular la derivada direccional de la
función φ= 2xz - y2
en la dirección del vector 2i +
j - k en el punto P(1,3,2). b) Determinar, en dicho
punto, la dirección del máximo crecimiento de φ,
así como el valorde dicho crecimiento por unidad
de longitud en la citada dirección.
3.12.- Calcular grad (Ar), siendo A un vector
constante y r el vector de posición.
3.13.- Dado el campo vectorial definido por
A =(x3
+yz)i + (y3
+xz)j + (z3
+xy)k
calcular: a) div A; b) SAdS, siendo S la
superficie de la esfera x2
+ y2
+ z2
= R2
.
3.14.- a) Demostrar que el campo vectorial A
definido en el Problema 3.13 es conservativo.
b) Determinar una función escalar φtal que sea A
= grad φ. c) Calcular la circulación del campo A
entre los puntos (0,0,0) y (1,3,-2).
3.15.- Sea el campo vectorial
A = (1+yz)i + (1+xz)j + (1+xy)k
a) Calcular la circulación de este campo vectorial
entre los puntos (0,0,0) y (1,2,3) a lo largo de la
rectaque los une.b) Demostrar que este campo es
conservativo y determinar la función potencial
correspondiente. c)Recalcular el primer apartado
mediante la función potencial.
3.16.- Sea el campo vectorial
A = (2x+yz)i + (2y+xz)j + (2z+xy)k
a) Evaluar su circulación entre los puntos (0,0,0)
y (1,1,1) a lo largo dela curvadefinida por y = x2
;

7. 3- Análisis vectorial 5
Prob. 4.7
Prob. 4.9
z = x. b) Demostrar que el campo es conservativo
ydeterminar la funciónde potencial.c) Reavaluar
elprimer apartado utilizandola función potencial.
3.17.- Sea el campo vectorial A = r/r, donde r es
el vector de posición. a) Demostrar que el campo
es potencial y obtener su función potencial.
b) Calcular la circulación del campo entre los
puntos (1,0,0) y (0,0,1) a lo largo de un arco de
circunferenciaque pasa por dichos puntos y cuyo
centro es el origen de coordenadas:
i)directamente; ii)utilizando la funciónpotencial.
4.- Cinemática de la partícula.
4.1.- El maquinista deun tren expreso que circula
con una velocidad v1 observa a una distancia d el
furgón de cola de un tren de mercancías que
marcha por delante del expreso, sobre la misma
vía y en el mismo sentido, con una velocidad v2,
menor que la del expreso. El maquinista del
expreso aplica inmediatamente los frenos,
produciéndose una desaceleración constante a,
mientras que el mercancías continúa su marcha a
velocidadconstante.Determinarelmenorvalorde
la desaceleración para que pueda evitarse la
colisión.
4.2.- Despuésde parar el motor de una canoa,ésta
tiene una aceleración en sentido opuesto a su
velocidad y directamente proporcional al
cuadrado de ésta. Determinar: a) la velocidad de
la canoa en función del tiempo; b) la distancia
recorrida en un tiempo t; c) la velocidad de la
canoa después de haberrecorrido una distancia x;
d) Constrúyanse las gráficas del movimiento.
Aplicación numérica: supóngase que cuando se
para el motor la velocidad de la canoa es de
20 m/s y que 15 s después dicha velocidad se ha
reducido a la mitad. Determinar el valor de la
constante de proporcionalidad que aparece en la
definición de la aceleración.
4.3.- Vehículo quitanieves. La velocidad de un
vehículoquitanievesesinversamenteproporcional
al tiempo transcurrido desde que comenzó a
nevar. Transcurrido un cierto tiempo, t0, a partir
delinstante en que empezó a nevar, el vehículo se
poneen marcha yrecorre 2 km en la primera hora
y 1 km en la segunda. a) Determinar la ecuación
delmovimiento delvehículo, i.e., x(t).b) Calcular
el valor de t0. c) ¿Qué distancia recorrerá el
vehículo durante la tercera hora de
funcionamiento?
4.4.- El movimiento rectilíneo de una partícula
está caracterizado por su aceleración a=-9x,
siendo x la distancia (en cm) que la separa de un
cierto origen sobre la trayectoria. En el instante
inicial la partícula se encuentra en el punto
x0=3 cm y tiene una velocidad de 2 cm/s
(alejándose del origen). Determinar la posición y
la velocidad de la partícula en un instante
cualquiera t.
4.5.- En un cierto instante la celeridad de una
partícula es de 20 m/s y el módulo de su
aceleración es 3 m/s2
. Los vectores velocidad y
aceleración forman, en ese instante, un ángulo de
30. Determinar la curvatura y el radio de
curvatura de la trayectoria de la partícula en ese
instante.
4.6.- El movimiento de una partícula queda
definido por r = R cos ωt i + R sen ωt j, donde R
y ωson constantes. a) Obtener la ecuación f(x,y)
dela trayectoria. ¿En qué sentido se recorre dicha
trayectoria? b) Demostrar que la velocidad de la
partícula es en todo momento perpendicular a su
vector de posición. c) Demostrar que la
aceleración de la partícula está siempre dirigida
haciael origen y quesu módulo es proporcional al
módulo del vector de posición. d) Demostrar que
r×v es un vector constante.
4.7.- En el dispo
sitivo que se muestra
en la figura, las
deslizadoras 1 y 2
están unidas por una
cuerda flexible, de
longitud l, que pasa
por una pequeña
polea P. Determinar la velocidad y la aceleración
de la deslizadora 2 en el instante en que la
deslizadora 1 se mueve hacia la derecha con
velocidad v1 y aceleración a1.
4.8.- ¿Cuál debe ser la elevación de disparo de
una pieza de artillería para que en el punto más
alto de la trayectoria del proyectil se pueda trazar
una circunferencia tangente (circunferencia
osculatriz) cuyo centro se encuentre situado en la
misma horizontal que la pieza?
4.9.- Un esquiador se desliza por una pista de
pendiente constante que forma un ángulo θcon la
horizontal. Tras haber partido del reposo, recorre
una distancia s sobre la pista antes de encontrarse
con el borde de un escarpado vertical dealtura H,
como se indica en la figura. Al pie de la
escarpadura la pista continúa con la misma
pendiente.Determinar la posicióndelpuntodonde
cae el esquiador.
4.10.- Una partícula se mueve describiendo la
parábola x2
= 2py, donde p es una constante, de
modo que la proyección de su velocidad sobre la
tangente a la parábola en el vértice de ésta
permanece constante e igual ak. Determinar: a) la

8. 6 Fundamentos Físicos de la Ingeniería.
Prob. 5.9
velocidad y la aceleración de la partícula; b) las
componentes intrínsecas de la aceleración.
4.11.- Dadas las ecuaciones paramétricas
(temporales) del movimiento de una partícula:
x = 2t, y = t2
, z = t3
/3, determinar: a) Las
componentes intrínsecas de su aceleración en el
instante t=1; b) el radio de curvatura de la
trayectoria en dicho instante.
4.12.- Una lancha motora, que navega río arriba,
se encontró con una balsa arrastrada por la
corriente. Una hora después de este encuentro, el
motor de la lancha se averió. La reparación duró
30 min; durante este tiempo la lancha fue
arrastrada por la corriente. Reparado el motor, la
lancha navegó río abajo con la misma velocidad
(respectodel río) que antes de la avería, y alcanzó
a la balsa a una distancia de 7.5 km del punto de
su primer encuentro. Determinar la velocidad de
la corriente del río, considerándola constante.
4.13.- La velocidad de un avión con respecto al
airees de 600km/h. Si soplaun viento procedente
del Oeste, con una velocidad de 100 km/h,
determinar el rumbo que debe poner el piloto del
avión para dirigirse haciael Norte y calcular cuál
será entonces la velocidad del avión con respecto
a tierra.
4.14.- Puente aéreo. Un avión emplea 1 h y
15 min para desplazarse entre dos poblaciones
separadas poruna distanciade 660km. En el viaje
de vuelta emplea sólo 55 min. Suponiendo que
tanto en el viaje de ida como en el de vuelta ha
sopladoun viento constante en una dirección que
forma un ángulo de 30con la trayectoria
calcúlense la velocidad del viento y la del avión
en aire en calma.
5.- Cinemática del sólido rígido.
5.1.- Un sólido rígido se mueve con respecto a un
sistemade ejesdereferencia. En un instantedado,
el punto del sólido de coordenadas (2,3,1) tiene
una velocidad v = (2,1,-1). Decir sies posible que
el punto del sólido de coordenadas (5,4,6) tenga
en ese instante algunas de las velocidades
siguientes: a) v = (1,2,-2); b) v = (1,4,-1); c) v =
(2,1,-1).
5.2.- a) Para el movimiento general del sólido
rígido, demostrar que todos los puntos del sólido
que se encuentran sobre una recta paralela a la
dirección de la velocidad angular ωdel sólido
tienen la misma velocidad. b) Para el caso del
movimiento plano del sólido rígido, demostrar la
misma proposición anterior para la aceleración.
5.3.- Consideremos un sólido rígido sometido a
dos rotaciones simultáneas con respecto a ejes
concurrentes en el origen de coordenadas, dadas
por ω1 = (0,0,2) y ω2 = (0,3,4). Determinar la
velocidad y la aceleración de un punto del sólido
de coordenadas (0,2,1).
5.4.- En un instante dado, el movimiento de un
sólido queda definido por las rotaciones
simultáneas siguientes: ω1 = (-3,0,2), ω2 = (1,0,1)
yω3 = (2,1,0), cuyos ejespasan, respectivamente,
por los puntos (0,0,0), (0,-9,6) y (-1,5,0).
a) Reducir el movimiento al origen de
coordenadas y describir los movimientos
elementales correspondientes. b) Determinar el
movimiento helicoidal tangente, hallando el eje
instantáneo de rotación y deslizamiento y la
velocidad de deslizamiento. c) Determinar la
velocidad de un punto del sólido de coordenadas
(1,1,2).
5.5.- En un instante determinado, el movimiento
de un sólido rígido consiste en dos rotaciones
simultáneas, ω1 yω2, teniendo lugar ω1 alrededor
de un eje paralelo al eje z y que pasa por el punto
(0,1,0). En ese instante, el movimiento del sólido
se reduce a una traslación del punto
"perteneciente" al sólido de coordenadas (0,0,0)y
a una rotación alrededor de un eje que pasa por
dicho punto. Sean
vO = 2i + j + k y ω= i + j + k
a) Determinar ambas velocidades angulares de
rotación. b) Determinar el eje de ω2.
5.6.- En un instante determinado, las velocidades
de tres de los puntos de un sólido rígido, de
coordenadas A(0,0,0), B(1,10) y C(0,1,1) son,
respectivamente, vA = (6,-2,6), vB = (4,0,5) y vC =
(5,-2,6). a) Comprobar que dicho movimiento es
posible. b) Determinar la velocidad angular del
sólido en dicho instante. c) Determinar la
ecuación del eje instantáneo de rotación y
deslizamiento. d) ¿Qué tipo de movimiento tiene
lugar?
5.7.- Demostrar que cuando un cuerpo parte del
reposo y gira alrededor de un eje fijo con
aceleración angular constante, la aceleración
normal de un punto del cuerpo es directamente
proporcional a su desplazamiento angular. ¿Qué
ángulo habrá girado el cuerpo cuando su
aceleración forme un ángulo de 60N con su
aceleración normal?
5.8.- El rotor de un generador eléctrico está
girando a 200 r.p.m. cuando el motor se apaga.
Debido a efectos de fricción, la aceleración
angular del rotor, en rad/s2
, después de que se
apaga el motor viene dada por la expresión α= -
0.01ω, donde ωes la velocidad angular en rad/s.
¿Cuántas revoluciones gira el rotor hasta que se
detiene?
5.9.- Una escaleraAB, de longitud l, está apoyada
en una pared vertical OA (vide figura). El pie de
la escalera es
empujado de modo
que se desplaza a
velocidad constante
v0 alejándose de la
pared. a) Demostrar
que el punto medio
de la escalera
d e s c r i b e u n a
circunferencia de
radio l/2 y con centro

9. 5.- Cinemática del sólido rígido. 7
Prob. 5.10
Prob. 5.11
Prob. 5.12
Prob. 5.14
Prob. 5.18
Prob. 5.19
en el punto O. b) Determinar la velocidad y la
celeridad de dicho punto medio en el instante en
que B dista una distancia x de la pared. c) ¿Cuál
sería la función vx(t) del pie de la escalera para
que el movimiento del punto medio de la misma
sea circular uniforme?
5.10.- El extremo superior
de la varilla AB desliza a
lo largo de una guía
vertical (vide figura), en
tanto que la varilla no
pierde contacto en C con
el apoyo. Determinar el
valor del ángulo θal que
correspondeunavelocidad
horizontal para el extremo
libre, B, de la varilla.
5.11.- Una varilla,
que está apoyada
sobre un cilindro
de radio r= 1 cm,
puede deslizar a
lo largo de una
guía tangente a
dicho cilindro,
como se indica en
la figura. La
longitud de la
varilla es cuatro
veces el radio del
cilindro. En el
instante en que el centro de la varilla se apoya en
el cilindro, la velocidad del punto A es 10 cm/s.
Calcular, endicho instante, las velocidades delos
puntos B y C y la velocidad angular de la varilla.
5.12.- En el mecanismo
articulado que se muestra
en la figura, la varilla DB
gira con velocidad
angular constante ω
alrededordel eje que pasa
por D. Determinar la
velocidad del extremo C
de la varilla AC en el
instante en que θ=60.
5.13.- Sobre un plano
horizontal rueda sin
deslizar un cono recto de
sección circular, de20 cm
de generatriz y 30de semiángulo en el vértice.
La rodadura es tal que en 1 segundo el cono pisa
5 veces un punto determinado del plano.
Determinar: a) la velocidad angular del cono con
respecto a su eje de simetría; b) el punto del cono
cuya velocidad (con respecto al plano fijo) es
máxima, así como la velocidad y aceleración de
dicho punto.
5.14.- El disco que se muestra en la figura está
girando con velocidad angular ω1 y aceleración
angular α1 alrededor de su eje de revolución, al
tiempo que dicho eje es arrastrado por el
movimiento de rotación de la horquilla, con
velocidad angular ω2 y aceleración angular α2.
Determinarla velocidad yaceleracióndeun punto
genérico P de la
periferia del disco.
5.15.- Un disco de
radio r está girando
alrededor de su eje
de simetría con
velocidad angular
ω y aceleración
a n g u l a r α.
Simultáneamente,
el disco está
g i r a n d o , c o n
velocidad angular constante Ω, alrededor de un
eje fijo en el espacio que está contenido en el
plano del disco y es tangente al perímetro de éste
en un punto Q. Determinar la velocidad y
aceleración del punto P del perímetro del disco
diametralmente opuesto al punto Q de tangencia.
5.16.- La hélice de un avión gira a razón de
6000 rpm, en tanto que el avión tiene una
velocidad horizontal, en línea recta, de 360 km/h.
Determinar: a) El tipo de movimiento que realiza
un punto de la hélice distante 1 m del eje de la
misma; b) la velocidad y aceleración de dicho
punto.
5.17.- Para que vire un tractor que se mueve con
una velocidad v0 = 18 km/h, el tractorista frena
una de las orugas de modo que el eje de la rueda
motriz de ésta comienza a avanzar con velocidad
v1 = 14 km/h. La distancia entre las orugas es D =
1.5 m. a) Determinar el radiode la trayectoria que
describe el centro del tractor. b) ¿Cuánto tarda el
tractor en dar media vuelta?
5.18.-En el mecanismo de bielaymanivela quese
muestra en figura la manivela gira con velocidad
angular constante de 10 rad/s y son l=90 cm y
R=30 cm. Calcular la velocidad del pistón A y la
velocidad angular de la biela (AB) para los
siguientes valores del ángulo θ: a) 0; b) 90;
c) 180.

10. 8 Fundamentos Físicos de la Ingeniería.
Prob. 5.20
Prob. 5.21
5.19.- Un cilindro de radio r rueda sin deslizar
sobre la superficie de otro cilindro de radio 2r, de
modo que se eje de simetría tiene
permanentemente una velocidad de módulo
constante v0. Determinar las velocidades y
aceleraciones de los puntos A y B de la periferia
del cilindro en el instante que se indica en la
figura.
5.20.- Una moneda, de
1.5 cm de radio, rueda
inclinadamanteniendo un
ángulo de 60º respecto al
plano horizontal. En su
movimiento, el punto de
contacto con el plano
horizontal describe sobre
éste una circunferencia,
de 0.75 cm de radio, cada
tercio de segundo.
D e t e r m i n a r l a s
velocidades y aceleraciones del centro de la
moneda A y del punto B de la periferia, en el
instante en el que se encuentra en una posición
diametralmente opuesta al punto de contacto con
el plano horizontal.
5.21.- El piñón satélite de radio R que se muestra
en la figura engrana con las dos ruedas dentadas
coaxiales de radios 2R y 4R que giran con
velocidades angulares constantes 3ω y 2ω,
respectivamente, en sentidos opuestos, como se
indica en la figura. El movimiento del piñón
produce la rotación del brazo OOalrededor del
eje O. a) Determinar la rotación ˙θinstantánea del
piñón (indicando su sentido), así como la
velocidad de su eje. b) Encontrar la velocidad
angular ˙φdel brazo OO. c) Obtener la base y la
ruleta del movimiento del piñón. d) Calcular la
velocidad de sucesión del CIR del piñón.
6.- Las leyes de la Mecánica.
6.1.- Un péndulo cuelga del techo de un autobús.
Describir yexplicar, almenos cualitativamente,el
comportamiento de dichopéndulo en cada una de
las situaciones siguientes: a) El autobús se mueve
en una trayectoria rectilínea con celeridad
constante; b) el autobús acelera; c) el autobús
frena; d) el autobús toma una curva.
6.2.- La cinta transportadora de viajeros de un
aeropuerto tiene una longitud de 100 m y avanza
con una velocidad de 1.2 m/s. Una persona se
mueve sobre la cinta con una velocidad relativa a
ella de1.5 m/s. Determinar el tiempo que estará la
persona sobre la cinta cuando: a) camina en
dirección del movimiento de la cinta y b) cuando
camina en sentido opuesto.
6.3.- Una personasube poruna escaleramecánica,
que se encuentra parada, en 8.2 s. Cuando la
escalera está en funcionamiento, puede subir a la
persona en 5.0 s. ¿Cuánto tiempo emplearía la
persona en subir caminando por la escalera en
movimiento?
6.4.- Dos barcos se aproximan entre sí sobre
trayectorias que se interceptan y con velocidades
que conducen a una colisión. Examinar la
situación desde un sistema de referencia fijo en
unodelosbarcos. Explicarcómo losobservadores
situados en cualquiera de los barcos pueden
advertir el peligro de colisión por medio de
mediciones sucesivas de la dirección en que ven
al otro barco.
6.5.- Unavión de transporte va a despegar de una
pista horizontal arrastrando dos planeadores, uno
detrás del otro. Cada uno de los planeadores pesa
500 kg y la fuerza de rozamiento o resistencia
sobre cada uno de ellos puede considerarse
constante e igual a 200 kg. Si la tensión en los
cables de remolque no debe exceder 2000 kg y si
se requiere una velocidad de 150 km/h para el
despegue; a) ¿qué longitud mínima de recorrido
sobre la pista es necesaria para el despegue?;
b) ¿cuál será la tensión en el cable entre los dos
planeadores mientras son acelerados para el
despegue?
6.6.- Una cadena flexible y homogénea, de
longitud L, se encuentra inicialmente en reposo
sobre una mesalisa, colgando una longitud bde la
cadena por fuera delborde dela mesa. Calcular el
tiempo que empleará la cadena en abandonar la
mesa y su velocidad en ese instante.
6.7.- Un paquete cuelga de una balanza deresorte
sujeta al techo de un ascensor. a) Si el ascensor
tiene una aceleración hacia arriba de 1.2 m/s2
y la
balanza marca 25 kg, ¿cuál es el verdadero peso
del paquete?; b) ¿En qué circunstancias indicará
la balanza 15 kg?; c) ¿Qué indicará la balanza si
se rompe el cable del ascensor?
6.8.- Una masa m colocada sobre una superficie
lisa horizontal está unida a una masa M mediante
una cuerda ligera que pasa por un agujero
practicado en la superficie. La masa m se mueve
describiendo una trayectoria circular de radio r
con una celeridad v. Determinar el valor de la
masa M para que ese movimiento se mantenga.
6.9.- Una bola de 2 kg de masa está sujeta al
extremo de una cuerda y se mueve en una
circunferencia de1 m de radio.a) ¿Cuál ha de ser
la velocidad mínima de la bola en el punto más
alto de la trayectoria que permita completar la

11. 6.- Las leyes de la Mecánica. 9
Prob. 6.14
Prob. 6.15
Prob. 6.16
Prob. 6.17
trayectoria circular?. b) Si la velocidad en el
punto más alto de la trayectoria fuese el doble de
la calculada anteriormente, ¿cuál sería la tensión
de la cuerda en dicho punto? ¿Y cuándo la
partícula está abajo?
6.10.- Un cazabombardero que está volando en
picado a la velocidad de 720 km/hsale del picado
cambiando su trayectoria para describir una
circunferenciavertical. a) ¿Cuál ha deser el radio
mínimo de ésta si la aceleración en el punto más
bajo no debe exceder el valor de 6 g. b) ¿Cuál
será, en esas condiciones, el peso aparente del
piloto si su peso real es de 80 kg?
6.11.- Una partícula de masa m permanece en
reposo en la cima de una semiesfera de radio R
que está apoyada por su base sobre una superficie
horizontal. Cuando desplazamos ligeramente la
partícula de su posición de equilibrio, ésta
comienza a deslizar sobre la superficie de la
semiesfera. a) ¿En qué posición abandona la
partícula la superficie de la semiesfera? b) ¿Cuál
es la velocidad de la partícula en ese instante?
c) ¿A qué distancia del pie de la semiesfera caerá
la partícula sobre el plano horizontal?
6.12.-Un automóvilpesa 1000 kg yse mueve con
una velocidad de 36 km/h cuando choca
frontalmente contra un muro muy resistente.
¿Cuál es el cambio en la cantidad de movimiento
del automóvil y la fuerza promedio que actúa
sobre el mismo si en 0.2 s: a) queda en reposo;
b) si rebota con una velocidad de 9 km/h. c) En
ambos casos, discutir la conservación de la
cantidad de movimiento durante el choque.
6.13.- Una balanza de resorte está ajustada para
leerel cero. Dejamos caerdesde una altura de5 m
sobre el platillo de la balanza un chorro de
perdigones,a razónde20perdigonespor segundo,
que chocan contra el platillo, rebotan haciaarriba
con la misma velocidad y salen definitivamente
del platillo. Si cada perdigón
pesa 200 mg, ¿cuál será la
lectura de la balanza?
6.14.- Los dos bloques de la
figura están unidos por una
cuerda homogénea que pesa
2 kg. Las masas de los
bloques son m1 = 10 kg y
m2 = 5 kg. Calcular la tensión
en los extremos y en el punto
medio de la cuerda.
6.15.- Las masas de los
cuerpos A y B, en la figura
son 2 kg y 1 kg
r e s p e c t i v a m e n t e .
Inicialmente ambas masas
se encuentran en reposo
sobre el suelo. La cuerda
que las une pasa por la
garganta de una polea ligera
ysin fricción. Determinar la
aceleración de cada masa y
la tensión de la cuerda
cuando se aplica una fuerza hacia arriba de:
a) 1 kg, b) 2 kg, c) 3 kg y d) 5 kg.
6.16.- Un albañil, que pesa
70 kg, está de pie sobre una
plataforma de aluminio de
10 kg de peso. Una cuerda
sujeta a la plataforma pasa por
una polea fija a la parte alta de
la casa, de modo que el albañil
puede elevarse a sí mismo
tirando del extremo libre de la
cuerda (vide figura). a) ¿Qué
fuerza debe ejercer el albañil
sobre la cuerda para mante-
nerse en reposo o moverse con
velocidadconstante. b)Ídemparaacelerarsehacia
arriba a razón de0.5 m/s2
. c)Ídem para descender
con una aceleración de 1 m/s2
.
6.17.- En cada uno de los sistemas representados
en la figura, calcular las aceleraciones que
adquierencada unode loscuerposque intervienen
y las tensiones en las cuerdas. En todos los casos,
supóngase que las superficies son lisas (sin
rozamiento), que las cuerdas son flexibles,

12. 10 Fundamentos Físicos de la Ingeniería.
Prob. 6.18
Prob. 6.20
Prob. 6.21
Prob. 6.22
Prob. 6.23
Prob. 6.24
Prob. 6.26
inextensibles y de masas despreciables y que las
poleas tienen masas despreciablesy fricciónnula.
En todos los casos, resolver primero el problema
algebraicamente y luego obtener la solución
numérica para m1 = 5 kg, m2 = 3 kg, F = 40 N, α=
30y β= 60.
6.18.- El bloque A
de la figura pesa 15
kg y el bloque B
pesa 5 kg. El coefi-
cientederozamiento
entre todas las su-
perficiesencontacto
vale 0.20. Calcular
la magnitud de la
fuerza F necesaria
para arrastrar el
bloque B hacia la
derecha con velo-
cidad constante, en
cada uno de los
casos que se mues-
tran en la figura.
6.19.- Un estudiante trata de encontrar
experimentalmente el coeficiente de rozamiento
entre un ladrillo y un tablón. Para ello coloca el
ladrillo sobre el tablón y va aumentando
gradualmente el ángulo de inclinación de éste.
Cuando el ángulo es de 30el ladrillo comienza a
deslizar, acelerándose hacia abajo. Entonces
comienza a reducir progresivamente el ángulo de
inclinación y observa que cuando éste es de 25
sedetiene. Obtenerlos coeficientes derozamiento
a partir de esas observaciones.
6.20.- En el sistema que se muestra en la figura,
calcular la aceleración de cada uno de los dos
bloques en los siguientes supuestos: a) no existe
ningún rozamiento; b) el coeficiente de
rozamientoentre todas las superficies en contacto
es μ.
6.21.- El bloque de la figura pesa 100 kg y se
encuentra en reposo sobre una superficie
horizontal. El coeficiente de rozamiento entre el
bloque y la superficie es 0.50. Mediante una
cuerdaligera unida
al bloque y que
forma un ángulo θ
con la horizontal
tratamos de mover
e l b l o q u e .
Encontramos que
la magnitud de la
fuerza mínima
necesaria para
mover el bloque
depende del valor
del ángulo θ. a) Expresar la magnitud de dicha
fuerza mínima en función del ángulo θ. b) ¿Cuál
es el valor del ángulo θmás eficaz para mover el
bloque?
6.22.-Dosbloques
de madera se
encuentran sobre
u n p l a n o
inclinado, unidos
entre sí por una
cuerda ligera que
pasa poruna polea
de rozamiento e
i n e r c i a
despreciables,
como se indica en la figura. El coeficiente de
rozamientoentre todaslas superficies encontacto
vale 0.30. Determinar: a) El valor crítico del
ángulo de inclinación del plano que impide el
deslizamiento de los bloques; b) la aceleraciónde
los bloques si el ángulo de inclinación es de 80.
6.23.- Un bloque de
masa m resbala por un
canal en forma de V,
como se muestra en la
figura. Si los coefi-
cientes estático y
cinético de rozamiento
entre el bloque y las
paredes del canal valen
0.3 y 0.2, respectiva-
mente, obtener: a) El
valor mínimo del ángulo θpara el que el bloque
comienza a deslizar; b) la aceleración del bloque
si el ángulo θvale el doble del calculado en el
apartado anterior.
6.24.- En el sistema que
se representa en la
figura, el coeficiente de
rozamiento entre todas
las superficies es μ.
D e t e r m i n a r l a
aceleración de cada una
de las cuñas. Aplicación
numérica: m1=m2, μ=0.5.
6.25.- Una bolita está
ensartada en un alambre
liso (de modo que puede
deslizar por él sin
rozamiento) cuya forma es la de una parábola de
eje vertical y ecuación y = x2
. Supongamos que
abandonamos la bolita (en reposo) en el punto de
coordenadas (x0,y0). Calcular la velocidad de la
bolita y la fuerza de ligadura cuando pasa por el
fondo de la parábola.
6.26.- El extremo inferior
de la varilla rígida y
ligera representada en la
figura está articulado a la
plataforma de la
vagoneta. En el otro
extremo de la varilla está
sujeta una masa m de
pequeñas dimensiones.

13. 6.- Las leyes de la Mecánica. 11
Prob. 6.27
Prob. 6.28
Prob. 6.29
Prob. 6.30
Prob. 7.3
Prob. 7.4
Expresar el valor delángulo θque forma la varilla
con la horizontal en función de la aceleración de
la vagoneta. ¿Cómo describirá la situación un
observador que viaje en la vagoneta?
6.27.- a) ¿Qué fuerza
horizontaldebeaplicarse
constantemente al
sistema que se
muestra en la figura
de modo que los
cuerpos de masa m1 y
m2 no se muevan con
respecto al M. b) Si la
fuerza aplicada es la mitad de la calculada en el
apartado anterior, ¿Cuál será la aceleración delos
bloques m1 y m2 respecto del bloque M?
6.28.- Un niño
c o l o c a u n a
básculasobre una
plataforma que
puededeslizarsin
fricción sobre un
plano inclinado,
como se indica
en la figura. El
niñose sube en la
báscula y lee la indicación desu "peso" cuando la
plataforma desciende (aceleradamente) por el
plano inclinado. Si el peso del niño en
condiciones normales es P, ¿cuál será la
indicación de la báscula?
6.29.- Dos pequeños
cuerpos,cuyasmasasse
encuentran en la
relación de 5/3, están
unidos por un hilo
inextensible de masa
despreciable, de10 cm
de longitud, y se
encuentran situados
s o b r e u n a
circunferencia lisa
vertical, de 20 cm de
radio, una a cada lado
del diámetro vertical. Determinar la posición de
equilibrio de las dos masas.
6.30.- Una cadena
flexible, que pesa
10 kg, cuelga entre
d o s g a n c h o s
situados a una
misma altura (vide
figura). En cada
extremo la cadena
forma un ángulo θcon la horizontal. a) ¿Cuál es
la magnitud y dirección de la fuerza ejercida por
la cadena sobre cada uno de los ganchos?
b) ¿Cuál es la tensión en el punto más bajo de la
cadena?
7.- Sistemas de referencia en
rotación.
7.1.- Un referencial xyz está girando con una
velocidad angular ω = 2ti + 3t2
j + (1-t)k con
respecto a un referencialinercial XYZ que tiene su
mismo origen. El vector de posición de una
partícula en el referencial xyz es r = (t2
-1)i + 3tj -
2k. Calcularlas velocidades absoluta yrelativa de
la partícula y las distintas aceleraciones que
intervienen (absoluta, relativa, centrífuga, de
Coriolis, ...) en el instante t=2 s.
7.2.- En un tiovivo. Sobre la plataforma de un
tiovivo, que gira con una velocidad angular
constante ω, se encuentra un cubilete giratorio,
de radio r, que está girando alrededor de su eje
con una velocidad angular constante Ω, en la
misma dirección que ω. Sea Ro la distancia del
eje del cubilete al centro de la plataforma.
a) Calcular la velocidad y aceleración absolutas
de un punto genérico de la periferia del cubilete.
b) Determinar la relación que deberá existir entre
los módulos de ωy Ω(i.e., el valor del cociente
ω/Ω) para que el punto del cubilete que en cada
instante se encuentra más próximo al centro de la
plataforma tenga una velocidad absoluta nula. En
estas condiciones, ¿cuál será la aceleración
absoluta de ese punto?
7.3.- El disco
que se muestra
en la figura está
girando con
v e l o c i d a d
angular ω1 y
a c e l e r a c i ó n
a n g u l a r α1
alrededor de su
e j e d e
revolución, al
t i e m p o q u e
dicho eje es
arrastrado por el movimiento de rotación de la
horquilla, con velocidad angular ω2 y aceleración
angular α2. Determinar la velocidad yaceleración
d e u n p u n t o
genérico P de la
periferia del disco.
7.4.- Una corredera
P desliza a lo largo
de un anillo de
radio R con una
velocidad v (de
módulo constante)
respecto del anillo.
A su vez, el anillo
está girando con
velocidad angular constante, ω, alrededor de un
eje tangente al mismo, como se muestra en la
figura. a) Determinar la velocidad y la
aceleración absolutas de la corredera en una
posición genérica, como se indica en la figura.

14. 12 Fundamentos Físicos de la Ingeniería.
Prob. 8.3
b) Particularizar los resultados del apartado
anterior para θ=0, 90, 180y 270.
7.5.- La hélice de un avión gira con una
velocidad angular constante θ, en tanto que el
avión se mueve en un plano horizontal,
describiendo una trayectoria circular de radio R,
con velocidad v demódulo constante. Determinar
la velocidad y aceleración absolutas de un punto
genérico de la hélice.
7.6.- En el hemisferio Norte, un automóvil
circula por una autopista con una velocidad de
144 km/h. En un instante, el automóvil avanza en
la dirección Sur-Norte en un lugar de 40de
latitud. a) Determinar la velocidad y aceleración
absolutas del automóvil en ese instante,
considerando tan sólo el movimiento de la Tierra
como rotación pura alrededor de su eje polar.
b) Calcular el valor (módulo y dirección) de la
fuerza de Coriolis en ese instante. c) Repetir los
dos apartados anteriores cuando el automóvil
avanza hacia el NE, formando un ángulo de 30
con la dirección del meridiano.
7.7.- Peralte. Una carretera está peraltada de
modo que un vehículo que circula a 80 km/h
pueda tomar una curva de 30 m de radio aún en
las condiciones más desfavorables en que el
rozamiento entre los neumáticos y el firme sea
nulo (carretera helada). Determinar la velocidad
máxima a que un vehículo puede tomar esa curva
en el caso de que el coeficiente de rozamiento
valga 0.25.
7.8.- En bicicleta. a) Calcular el radio mínimo
de la curva que puede tomar un ciclista que corre
a una velocidad de 25.2 km/h por una carretera
no peraltada si el coeficiente de rozamiento
estático entre los neumáticos y el suelovale 0.30.
b) Bajo esas condiciones, calcular el ángulo que
debe inclinarse el ciclista para tomar la curva.
7.9.- Superficie libre de los líquidos en
rotación. Demostrar que la superficie libre de un
líquido en rotación uniforme en torno a un eje
vertical es un paraboloide y escribir su ecuación.
7.10.- Orillas de un río. Un río de anchura D
corre a lo largo de un meridiano, enel hemisferio
Norte, a una latitud λ. Demostrar que existe un
desnivel de agua entre las orillas derecha e
izquierda dado por h 2Dωv senλ/g, donde ωes
la velocidad angular de la Tierra y v la velocidad
de la corriente. Efectuar los cálculos para D =
1 km, v = 6 km/h y λ45.
7.11.- Desviación de un proyectil. Se dispara un
proyectil de 100 kg a lo largo de un meridiano,
en dirección Norte, con una velocidad inicial de
1800 km/h, en un lugar de latitud 40N.
a) Calcular el valor de la aceleración y de la
fuerza de Coriolis en el momento inicial.
b) ¿Hacia dónde se produce la desviación
aparente de la trayectoria?
7.12.- Azafata. Un avión comercial vuela sobre
el Ecuador, a una altura de 6 000 m, con una
velocidad de 900 km/h, en dirección hacia el
Este. Una de las azafatas se pesa en una balanza
de resorte, precisa y de buena fidelidad. En el
viaje de vuelta, cuando el avión sobrevuela la
misma población, la azafata vuelve a pesarse y
descubre con horror que la balanza marca casi
medio kilogramo más que en el viaje de ida. ¿Ha
engordado la azafata o podemos atribuir la
diferencia de peso a otras causas? ¿A cuáles?
Hacer unos cálculos indicativos que justifiquen
las respuestas anteriores.
8.- Trabajo y energía.
Conservación de la energía.
8.1.- Una partícula de masa m se mueve bajo la
influencia de un campo de fuerzas definido por
F = A (cos ωt i + sen ωt j)
donde A y ωson constantes. Si la partícula se
encuentra inicialmente en reposo en el origen de
coordenadas, demostrar que el trabajo que se ha
realizado sobre la partícula, transcurrido un
tiempo t, viene dado por A2
(1-cos ωt)/mω2
.
8.2.- Un disco que pesa 50 g está colocado sobre
un tablero horizontal liso. El disco está sujeto a
una cuerda flexible y ligera que pasa por un
orificio practicado en el tablero. Inicialmente, el
disco describe una trayectoria circular, de 40 cm
de radio y con centro en el orificio, con una
celeridad angular de 30 rpm, para lo que es
necesario que sujetemos con la mano el otro
extremo de la cuerda. a) ¿Qué fuerza debemos
ejercer sobre la cuerda para mantener ese
movimiento circular? b) Tiramos poco a poco del
extremo libre de la cuerda hasta reducir a la
cuarta parte el radio de la trayectoria circular y
observamos que la celeridad angular experimenta
un aumento considerable. ¿Qué trabajo hemos
realizado sobre el disco? ¿Se conserva la energía
cinética del disco?
8.3.- Un automóvil que pesa 750 kg circula por
una carretera a nivel (vide figura) con una
velocidad 54 km/h cuando su motor desarrolla
una potencia de 10 CV. a) ¿Cuánto vale la suma
de todas las resistencias (rozamiento, resistencia
del aire, ...) que actúan sobre el automóvil?
b) ¿Qué potencia
deberá desarrollar el
motor del automóvil
para subir a 54 km/h
una cuesta del 10% de
pendiente? c) ¿Qué
potencia será necesaria
para que el automóvil
baje a 54 km/h una
pendiente del 3%?
d) ¿Qué pendiente permitirá que el automóvil
baje a una velocidad de 54 km/h sin que funcione
el motor? (Nota: supóngase que todas las fuerzas
de resistencia permanecen constantes).
8.4.- Una partícula se encuentra en un campo de
fuerzas tal que la fuerza que actúa sobre ella es

15. 8.- Trabajo y energía. Conservación de la energía. 13
Prob. 8.6
Prob. 8.7
F = (2xy+z3
)i + x2
j + 3xz2
k
a) Demostrar que dicho campo de fuerza es
conservativo. b) Obtener una expresión para la
energía potencial de la partícula en dicho campo.
c) Calcular el trabajo que tenemos que realizar
para llevar la partícula desde el punto (2,1,3) al
(0,0,0).
8.5.- Una partícula es atraída por el origen de
coordenadas con una fuerza directamente
proporcional a su distancia a dicho origen. a) ¿Es
conservativa esa fuerza? b) Calcular el trabajo
que deberemos realizar sobre la partícula para
trasladarla desde el punto (1,0,0) al (3,0,0) a lo
largo de la circunferencia de radio unidad y
centro en (2,0,0).
8.6.- Una escalera
homogénea,demasam y
longitud L, está apoyada
sobre una pared vertical
lisa y sobre un suelo
horizontal rugoso,
formando un ángulo θ0
con la horizontal (vide
figura). El coeficiente
de rozamiento entre el
suelo y el pie de la escalera es μ. Calcular el
trabajo que debemos realizar para llevar la
escalera a la posición vertical, empujándola
horizontalmente a una distancia d de su pie.
8.7.- En la figura, se representa un péndulo
simple, de longitud l, cuyas oscilaciones están
limitadas por la
existencia de un
clavo horizontal
situado a una
distancia 2l/3 del
punto desuspensión
y en su misma
vertical.Determinar
el ángulo Θ desde
el que debemos
abandonar la masa
pendular para que
el hilo de sus-
pensión se enrolle
en el clavo.
8.8.- Colgamos un cuerpo de masa m del extremo
inferior de un muelle vertical que está sujeto del
techo por su otro extremo, y lo dejamos
descender lentamente, soportándolo con la mano,
lo que hace que el muelle se estire una distancia
d. ¿Cuál sería el máximo descenso del cuerpo si
lo hubiéramos dejado caer bruscamente?
8.9.- Una partícula de masa m está situada en la
cima de una semiesfera lisa, de radio R, que está
apoyada por su base sobre un plano horizontal.
Cuando desplazamos ligeramente la partícula de
su posición de equilibrio comienza a deslizar
sobre la superficie de la esfera. La posición de la
partícula queda determinada en cada instante por
el ángulo θ que forma el radio-vector
correspondiente con la vertical. a) Tomando el
plano de la base como nivel de referencia,
expresar las energías potencial y cinética de la
partícula en función del ángulo θ. b) Ídem las
aceleraciones tangencial y normal. c) Determinar
el valor del ángulo para el cuál la partícula se
despega de la semiesfera. d) En el caso de que
existiese rozamiento, ¿el ángulo correspondiente
a la posición de despegue sería mayor o menor
que el anteriormente calculado?
8.10.- Un bloque de 5 kg comienza a subir por un
plano inclinado de 30con una velocidad inicial
de 20 m/s. a) ¿Qué distancia recorrerá sobre el
plano, antes de detenerse, si el coeficiente
cinético de rozamiento vale 0.25? b) Sea 0.45 el
coeficiente estático de rozamiento. ¿Volverá a
bajar el bloque, plano hacia abajo, después de
haberse detenido? En caso afirmativo, ¿cuál será
su velocidad al llegar de nuevo al pie del plano?
8.11.- Una pelota de ping-pong se deja caer sobre
un suelo duro y rebota hasta el 90% de su altura
original. a) Encontrar una expresión general para
la altura máxima de la pelota después del n-
ésimo rebote. b) Ídem para la pérdida de energía
y la fracción de pérdida de energía de la pelota
después del n-ésimo rebote. c) ¿Cuántos rebotes
se necesitarán para que la altura máxima de la
pelota se reduzca a un 5% de su valor inicial.
d) Hacer una estimación del tiempo máximo
durante el cuál estará botando la pelota, cuando
se la deja caer desde una altura inicial de 5 m.
8.12.- Una masa puntual, m, está unida al
extremo superior de una varilla rígida y ligera, de
longitud l, que puede girar alrededor de un eje
horizontal que pasa por su extremo inferior. Se
abandona el sistema a partir de la posición
vertical (equilibrio inestable), en reposo.
a) Expresar la tensión en la varilla en función del
ángulo que forma ésta con la vertical. b) Calcular
el ángulo que formará la varilla con la vertical
cuando la tensión en la misma pasa de ser
compresora a tensora.
8.13.- Una vagoneta, abierta por su parte
superior, que marcha con una velocidad
constante de 4 m/s es cargada con 10 Tm de
carbón, mientras pasa bajo una tolva de descarga,
en un tiempo de 5 segundos. a) ¿Qué fuerza extra
habrá que aplicar a la vagoneta para que su
velocidad permanezca constante durante el
proceso de carga? b) ¿Qué trabajo realizará esa
fuerza? c) ¿Qué aumento de energía cinética
experimenta el carbón? d) Explicar la
discrepancia entre los resultados de los dos
apartados anteriores.
8.14.- Una partícula de 2 g de masa se mueve
bajo la acción de una fuerza que viene expresada
por
F = 2(3x+y)i + 2(x+4yz)j + 4y2
k
con x,y,z en cm y F en dyn. Cuando pasa por el
punto de coordenadas (3,2,1) tiene una celeridad
de 5 cm/s. a) ¿Cuál será su celeridad cuando pase
por el punto (2,3,5)? b) ¿Ídem por el punto
(1,-3,0)?

16. 14 Fundamentos Físicos de la Ingeniería.
Prob. 9.2
Prob. 10.2
9.- Momento angular.
Fuerzas centrales.
9.1.- En el instante t = 0, un cuerpo de 2 kg de
masa se encuentra en el punto r = 5i m y tiene
una velocidad v = 3j m/s. Sobre el cuerpo actúa
una fuerza constante F = 4i N. a) Expresar la
cantidad de movimiento y el momento angular
del cuerpo en función del tiempo. b) Calcular el
momento de la fuerza y compararlo con la
derivada temporal del momento angular.
9.2.- Un cuerpo de pequeñas dimensiones, de
20 g de masa, está unido a un extremo de una
cuerda ligera y flexible que pasa a través de un
orificio practicado en un tablero horizontal liso,
c o m o s e
muestra en la
f i g u r a .
Sujetamos el
e x t r e m o s
inferior de la
c u e r d a y
hacemos que
se mueva el
cuerpo en una
t r a y e c t o r i a
circular de 40 cm de radio, con una velocidad
angular de 2 rad/s. a) Calcular la velocidad lineal
del cuerpo, su momento angular y su energía
cinética y la fuerza con que debemos tirar hacia
abajo para que el movimiento sea posible. b) A
continuación, vamos aumentando la tensión de la
cuerda hasta que el radio de la trayectoria se
reduce a 10 cm. Repetir los cálculos del apartado
anterior. ¿Qué magnitudes físicas han
permanecido constantes? c) Calcular el trabajo
que hemos realizado al tirar de la cuerda y
compararlo con el cambio que ha experimentado
la energía cinética.
9.3.- Órbita geoestacionaria. Supóngase que se
desea establecer en el espacio una base
interplanetaria que se mueva en una órbita
circular en el plano ecuatorial de la Tierra y a
una altura tal que permanezca siempre sobre el
mismo punto. ¿Cuál deberá ser el radio de esa
órbita?
9.4.- Conocidos los semiejes mayores de las
órbitas de la Tierra y de la Luna, 149.6×106
km y
384.0×103
m, respectivamente y los
correspondientes periodos de revolución, 1 año y
27.32 días, calcular la masa del Sol en unidades
de la masa de la Tierra.
9.5.- Los semiejes mayores de las dos Lunas del
planeta Marte, Phobos y Deimos, miden
9.408×103
km y 23.457×103
km,
respectivamente.El periodo de revolución orbital
de Phobos es de 4.65 horas. Con esos datos se
deben calcular la masa del planeta Marte y el
periodo de revolución de Deimos.
10.- Geometría de masas.
10.1.- Determinar la posición del centro de masa
de un bastón hecho con una barra de sección
transversal y densidad constante cuyo puño tiene
forma semicircular, de radio R, siendo L la
longitud del mástil.
10.2.- En una esfera de
madera, maciza y de radio
R, la carcoma ha hecho un
hueco esférico, de radio
R/2,tangente a la superficie
de la esfera, como se indica
en la figura adjunta.
Localizar el centro de masa
de la esfera ahuecada.
10.3.- Determinar el
momento de inercia de una
lámina plana y homogénea,
cuya forma es la de un triángulo rectángulo
isósceles, con respecto cada uno de los ejes que
se indican: a) cada uno de los lados de la lámina;
b) cada uno de los ejes definidos por las
bisectrices de los ángulos del triángulo; c) un eje
perpendicular a la lámina en el vértice del ángulo
recto de la misma; d) ídem en otro de los
vértices; e) ídem por el centro de la lámina.
10.4.- Determinar el momento de inercia de un
cubo homogéneo respecto a cada uno de los ejes
siguientes: a) eje que pasa por el centro de dos
caras opuestas; b) eje que coincide con una delas
aristas; c) una de las diagonales interiores del
cubo.
10.5.- La densidad de una varilla recta aumenta
en proporción directa a la distancia a uno de sus
extremos. Determinar el momento de inercia de
la varilla con respecto a un eje perpendicular a
ella y que pasa por: a) uno u otro de sus
extremos; b) su centro geométrico; c) su centro
de masa.
10.6.- La densidad de un esfera aumenta
radialmente en proporción directa a la distancia a
su centro. Determinar el momento de inercia de
la esfera con respeto a: a) un eje diametral; b) un
eje tangencial a la esfera.
10.7.- Determinar el momento de inercia de una
lámina plana, demasa m, cuya forma es la de una
corona circular, de radios R1 y R2, con respeto a:
a) un eje diametral; b) un eje tangencial a su
borde y contenido en su mismo plano.

17. 11.- Dinámica de los sistemas de partículas. 15
Prob. 11.1
Prob. 11.3
Prob. 11.4
Prob. 11.5
11.- Sistemas de partículas.
Leyes de conservación.
11.1.- En la figura adjunta se muestra un sistema
constituido por dos bloques de masa m1 y m2,
respectivamente, que reposan sobre una
superficie horizontal lisa, entre los que hay un
muelle ideal, de constante elástica k y longitud
natural l0, inicialmente comprimido hasta una
longitud l < l0. Cuando se abandona el sistema
partiendo del reposo, el muelle recupera su
longitud natural, empujando a ambos bloques
con fuerzas iguales y opuestas, hasta que
finalmente se desprende ycae sobre la superficie,
mientras los bloques continúan moviéndose.
a) Expresar la energía potencial interna de dicho
sistema en función de la distancia x entre los dos
bloques. b) Encontrar la razón existente entre las
energías cinéticas finales de los bloques y
explicar porqué el bloque de menor masa recibe
la mayor parte de la energía potencial inicial, a
pesar de que las fuerzas que actúan sobre cada
bloque son de la misma intensidad en todo
instante.
11.2.- Se dispara un proyectil en una dirección
que forma un ángulo de 45con la horizontal y
con una velocidad inicial de 458 m/s. Cuando el
proyectil alcanza el punto más alto de su
trayectoria, fragmentándose en dos parte de igual
masa. Un fragmento, cuya velocidad inicial es
cero, cae verticalmente, a) ¿A qué distancia del
punto de disparo caerá sobre el terreno el otro
fragmento, suponiendo que todo el terreno es
plano y horizontal? b) ¿Qué cantidad de energía
se liberó en la explosión?
11.3.- Un bastidor, de 5 kg de masa y cuyas
dimensiones son las que se indican en la figura
adjunta, se encuentra inicialmente en reposo
sobre un superficie horizontal lisa. En el centro
de la superficie enmarcada por el bastidor hay
dos bloques, de masas ma = 1 kg y mb = 4 kg,
entre los que se mantiene comprimido un muelle.
Inicialmente, el centro de masa del sistema se
encuentra situado en el centro geométrico de
bastidor. Cuando el muelle se distiende, la masa
ma sale despedida con una velocidad de 6 m/s y
finalmente queda empotrada en A; la masa mb se
empotra en B. Dar una descripción detallada del
movimiento del sistema.
11.4.- Una cuña de masa M se encuentra en
reposo sobre un tablero horizontal, como se
muestra en la figura. En la parte más alta de la
cuña reposa un pequeño bloque de masa m, a una
altura h sobre el tablero horizontal. Todas las
superficies son perfectamente lisas.
Abandonamos el sistema, de modo que el bloque
desciende y la cuña retrocede. Encontrar la
velocidad de retroceso de la cuña en el instante
en que el bloque toca el tablero horizontal.
11.5.- Un fusil está suspendido mediante dos
hilos ligeros, en posición
horizontal, como se muestra
en la figura. El fusil pesa
5 kg, su ánima mide 80 cm
y dispara un proyectil de
10 g de masa con una
velocidad (respecto a tierra)
de 500 m/s. a) Calcular la
velocidad de retroceso del
fusil. b) Calcular el tiempo que el proyectil ha
empleado en recorrer el ánima del fusil.
c) Suponiendo, por simplificar, que la fuerza que
ha actuado sobre la bala en el ánima sea
constante, determinar el módulo de dicha fuerza.
11.6.- Un vagón de carga, abierto por su parte
superior, pesa 10 Tn y se mueve libremente, sin
rozamientos apreciables, sobre una vía recta a
nivel. Comienza a llover intensamente, cayendo
la lluvia verticalmente sobre el terreno. El vagón
está vacío inicialmente y se mueve con una
velocidad de 3.6 km/h. ¿Cuál será la velocidad
del vagón después de haber recorrido lo
suficiente como para recoger una tonelada de
agua? ¿Qué suposiciones ha debido Vd. hacer
para llegar a ese resultado?
11.7.- Se coloca un recipiente sobre el plato de
una balanza de resorte y se ajusta ésta para que
marque cero cuando el recipiente está vacío.
Entonces se vierte agua dentro del recipiente, un

18. 16 Fundamentos Físicos de la Ingeniería.
Prob. 11.9
Prob. 11.10
Prob. 12.3
Prob. 12.4
Prob. 12.5
chorro continuo, a razón de 100 cm3
por minuto,
desde una altura de 1 m. a) Expresar la lectura de
la balanza en función del tiempo desde el
instante en que empezamos a verter agua.
b) ¿Cuánto marcará la balanza cuando se hayan
recogido 500 cm3
de agua?
11.8.- Un hombre, que junto con su rifle pesa
70 kg, lleva patinesy dispara su rifle en dirección
horizontal. Cada proyectil tiene una masa de30 g
y sale con una velocidad de 800 m/s. Supóngase
despreciables los rozamientos. a) ¿Cuál será la
velocidad del hombre después de efectuar 10
disparos? b) supongamos que los diez disparos se
hayan realizado en 10 s, ¿cuál es el valor de la
fuerza media que se ha ejercido sobre el hombre?
11.9.- Una cadena uniforme, de longitud L y
m a s a M , s e
encuentra inicial-
mente en reposo,
a mo n tonada y
enrollada sobre una
s u p e r f i c i e
horizontal. Tiramos
verticalmente y
hacia arriba de uno
de los extremos de
la cadena, de modo
que cada eslabón de la cadena permanece en
reposo hasta el instante en que comienza a
elevarse y que la velocidad del extremo superior
sea constante. a) Calcular la potencia que
desarrolla la fuerza vertical aplicada. b) ¿Qué
cantidad de esa potencia se disipa? ¿Cómo
explica Vd. esa disipación de potencia?
11.10.- Dos prismas triangulares, de masas M y
m, y anchuras a y b, están en reposo, tal como se
indica en la figura adjunta, sobre un tablero
horizontal liso. Las superficies de contacto entre
los dos prismas son, también, perfectamente
lisas. Determinar el retroceso del prisma inferior
hasta el instante enque la cara vertical del prisma
superior alcanza el tablero horizontal. Aplicación
numérica: M = 10 kg, m = 2 kg, a = 40 cm y b =
10 cm.
12.- Estática del sólido rígido.
12.1.- Una caja de embalaje que contiene un
frigorífico pesa 300 kg y tiene forma de
paralelepípedo rectangular de 2 m de alto por
80 cm × 80 cm de base. El coeficiente de
rozamiento entre la caja y el suelo vale 0.30. Si
deseamos arrastrarla sobre el suelo mediante la
aplicación de una fuerza horizontal, ¿cuál debe
ser la magnitud de esa fuerza? ¿A qué altura
sobre el suelo podemos aplicar esa fuerza sin
riesgo de vuelco?
12.2.- La caja del Problema 12.1 se encuentra
ahora sobre la plataforma de un camión. Cuando
el camión frena bruscamente ¿qué riesgo será
mayor, el de deslizamiento o el de vuelco de la
caja?
1 2 . 3 . - D e s e a m o s
transportar en una
carretilla un bloque
homogéneo, de masa m,
cuyas dimensiones se
especifican en la figura.
Sea μel coeficiente de
rozamiento entre la base
del bloque y la plataforma
de la carretilla. Deter-
minar los valores máxi-
mos de la aceleración de
la carretilla (acelerando y
frenando) para que no
haya movimiento relativo
entre el bloque y la
carretilla.
12.4.- Una varilla
homogénea demasa m y
longitud l apoya sus
extremos en dos planos
lisos que determinan un
diedro recto, como se
muestra en la figura.
Determinar la posición
de equilibrio y las reac-
ciones en los extremos
de la varilla en función del ángulo α.
12.5.- En el mecanismo que se representa en la
figura se aplica un par mediante dos fuerzas de

19. 11.- Dinámica de los sistemas de partículas. 17
Prob. 12.7
Prob. 12.8
Prob. 12.9
Prob. 12.10
Prob. 12.11
Prob. 12.12
Prob. 12.13
Prob. 12.14
100 N, con un brazo de 120 mm, aplicadas en los
puntos D y E de la aleta. Todas las cotas
indicadas están expresadas en mm. Determinar la
fuerza F necesaria para establecer el equilibrio y
las reacciones en los apoyos fijos B y C. (Se
desprecia el peso de la aleta).
12.6.- Un rodillo homogéneo de 25 cm de radio y
40 kg de peso está situado sobre un plano
horizontal.Deseamos hacerlo subir un escalón de
5 cm de altura, y para ello tiramos de él con una
fuerza cuya línea de acción pasa por el eje del
rodillo. Determinar el módulo de la fuerza
necesaria para conseguir nuestro objetivo:a) sila
fuerza aplicada es horizontal y b) si la fuerza
aplicada forma un ángulo θcon la horizontal.
c) ¿Cuál será el valor de θque minimizará la
fuerza necesaria y cuánto valdrá ésta?
1 2.7.- Una p l a c a
rectangular y homogénea,
de dimensiones 30 cm ×
20 cm y que pesa 2 kg,
está unida a un eje
vertical de modo que en
A está articulada con el
eje y en B sólo se apoya
en él. a) Determinar las
reacciones en los apoyos cuando el sistema gira
con una velocidad angular de 30 rpm. b) ¿A
partir de que velocidad angular no se apoyará la
placa en B?
12.8.- Determinar la
posición de equilibrio del
sistema representado en
la figura que se adjunta,
en el que no existen
rozamientos en los
apoyos de la varilla con la
pared vertical y con el
borde horizontal.
12.9.- Un bastón está
formado por un tramo
rectilíneo de 100 cm de
longitud y un puño
semicircular de 8 cm
de radio. Lo apoyamos
en el borde de una
mesa de modo que la
parte rectilínea cuelgue
por debajo del tablero
de la mesa. Determinar
l a p o s i c i ó n d e
equilibrio del bastón.
12.10.- Un canalón,
de masa m cuya
forma es la de medio
cilindro circular con
un radio exterior que
es el doble del radio
interior, descansa
sobre un plano
h o r i z o n t a l .
D e t e r m i n a r e l
módulo de la fuerza
vertical F que deberá
aplicarse al borde del canalón para que se incline
un ángulo θ, como se indica en la figura.
12.11.- La barra homogénea que se muestra en la
figura se apoya sin fricción en el interior y en el
borde de una semiesfera hueca. La posición de
equilibrio del sistema corresponde a la barra en
posición horizontal. a) Determinar las reacciones
en los contactos. b) Encontrar la relación
existente entre M, m y θ.
12.12.- En el mecanismo que se muestra en la
figura, la dos barras homogéneas tienen una masa
por unidad delongitud λ. Un tope (C) impide que
la corredera se desplace hacia la derecha.
Determinar la reacciones en los apoyos A y B y
en el tope C.
12.13.- Dos bolas idén
ticas, de masa m y radio
r, están colocadas en el
interior de un tubo
cilíndrico (abierto en
sus bases) de diámetro
3r. El conjunto descansa
sobre un plano hori-
zontal, como se muestra
en la figura. Determinar
la masa mínima que
deberá tener el tubo
cilíndrico para que el sistema no vuelque.
12.14.- Tres rodillos idénticos están apilados en
la forma que se
muestra en la figura.
Supongamos que el
c o e f i c i e n t e d e
rozamientoestático es
el mismo para todos
l o s p a r e s d e
s u p e r f i c i e s e n
contacto. Calcúlese el
valor mínimo del
c o e f i c i e n t e d e

20. 18 Fundamentos Físicos de la Ingeniería.
Prob. 12.16
Prob. 12.15
Prob. 12.17
Prob. 12.18
Prob. 12.19
Prob. 13.1 Prob. 13.2
rozamiento que evite el desmoronamiento del
sistema.
12.15.- Determinar el valor del ángulo θ
correspondiente a la configuración de equilibrio
del sistema de dos barras ligeras articuladas
como se muestra en la figuraadjunta. Expresar el
resultado en función de las intensidades de los
esfuerzos P y F.
12.16.- Determinar la
configuración corres-
pondiente al equilibrio
de las tres barras
articuladas que se
muestran en la figura
adjunta, cuando actúa
una fuerza horizontal de
1 kg sobre el extremo
inferior de la barra que
está más abajo. Las tres
barras son homogéneas
entre sí; cada una de
ellas mide 50 cm y pesa
2 kg.
12.17.- El sistema
representado en la figura
está constituido por dos
varillas idénticas, de
100 cm de longitud y
4 kg de masa cada una de
ellas, articuladas sin
fricción, apoyadas sobre
un suelo horizontal liso y
unidas por sus centros
mediante un muelle
constante elástica k = 113.16 N/m y 30 cm de
longitud natural.Determinar el valor del ángulo θ
para que el sistema se encuentre en equilibrio.
12.18.- Una barra de 4 m de longitud y 100 kg de
peso está apoyada por uno
de sus extremos en una
pared vertical lisa y
sostenida por el otro
extremo mediante un cable
inextensible, de 6 m de
longitud y masa des-
preciable, como se indica
en la figura. a) Determinar
el valor de los ángulos αyβ
que forman el cable y la
barra con la pared en la
posición de equilibrio.
b) Determinar la tensión del cable y la reacción
en el apoyo.
12.19.- Una varilla lisa, de masam y longitud l se
apoya por uno de sus extremos (A) en un plano
horizontal liso y por un punto comprendido entre
el A y su centro de gravedad (G) en un borde fijo
B, como se muestra en la figura. Determinar la
fuerza horizontal que hay que aplicar en A para
mantener la varilla en equilibrio con una
inclinación θrespecto de la horizontal y evaluar
las reacciones en los apoyos.
13.- Dinámica del sólido rígido.
13.1.- Un disco homogéneo, de 15 kg de masa y
10 cm de radio, está montado sobre un eje
sostenido horizontalmente por apoyos sin
rozamiento. Sobre la periferia del disco se
enrolla una cuerda ligera y se aplica una fuerza
constante de 5 kg y dirigida hacia abajo en el
extremo libre de la cuerda. a) Determinar la
aceleración angular del disco. b) En lugar de
aplicar la fuerza anterior, colgamos un pesa de 5
kg en el extremo libre de la cuerda. Determinar,
entonces, la aceleración angular del disco y la
aceleración de caída de la pesa, así como la
tensión de la cuerda. c) Comparar los resultados
obtenidos para la aceleración angular en los
apartados anteriores y explicar por qué son
distintos.
13.2.- Dos poleas de radios 8 cm y 5 cm
respectivamente, están acopladas la una a la otra
formando un bloque que puede girar en torno al
eje central horizontal. De la garganta de la polea
grande pende un peso de 20 kg y de la garganta
de la polea pequeña pendeotro peso de 30 kg que

21. 13.- Dinámica del sólido rígido. 19
Prob. 13.3
Prob. 13.7
Prob. 13.8
Prob. 13.9
Prob. 13.11
tiende a hacer girar las poleas en sentido
contrario al anterior. El momento de inercia de
las dos poleas en conjunto es 0.006 kgm2
. Al
dejar el sistema en libertad se pone en
movimiento. a) ¿En qué sentido se mueve el
sistema? b) Calcular la aceleración angular de las
poleas y la aceleración de cada presa. c) Calcular
la tensión en cada cuerda.
13.3.- Determinar el
s e n t i d o d e l
movimiento del
sistema representado
en la figura, la
a c e l eración del
sistema y la tensión
en cada tramo de la
cuerda que une los
bloques m1 = 8 kg y m2 = 10 kg, considerando la
polea como un disco de 1 kg de masa y 10 cm de
radio. El coeficiente de rozamiento en el plano
inclinado (30) es μ= 0.2.
13.4.- Un cilindro macizo baja rodando sin
resbalar por un plano inclinado. a) Calcular la
aceleración del centro de masa del cilindro.
b) Determinar el valor mínimo de la fuerza de
rozamiento (estático) entre el plano y el cilindro
a fin de que éste ruede sin resbalar. c) Calcular el
valor mínimo del coeficiente de rozamiento para
que el cilindro no resbale. d) Estudiar el
movimiento del cilindro en función de diversos
valores del coeficiente de rozamiento. e) ¿Se
conserva la energía total del cilindro cuando éste
rueda sin resbalar?
13.5.- Un aro, un cilindro macizo y una esfera
bajan rodando sin resbalar por un mismo plano
inclinado. Si los tres cuerpos partieron
simultáneamente del reposo desde una misma
altura en el plano, ordenarlos de acuerdo con el
orden de llegada al pie del plano. ¿Intervienen las
masas o los radios de los cuerpos en el orden de
llegada? ¿Entonces, qué criterio se ha seguido
para hacer la clasificación? Explíquese.
13.6.- Dadas dos esferas de la misma masa y del
mismo radio, pero una maciza y la otra hueca,
describir detalladamente un experimento que, sin
dañar las esferas, nos permita averiguar cual es la
maciza y cual la hueca. Hacer los cálculos
necesarios para justificar los resultados del
experimento.
13.7.- Presionamos
con el dedo una
pelota de ping-pong
contra la mesa, de tal
m o d o q u e a l
escapársenos sale
l a n z a d a h a c i a
adelante con una
velocidad de traslación v0 al mismo tiempo que
gira con velocidad angular ω0, como se muestra
en la figura adjunta. Sea μel coeficiente de
rozamiento entre la pelota y la mesa.
a) Determinar la relación que debe existir entre
v0 y ω0 para que al cabo de cierto trayecto la
pelota quede en reposo de traslación y de
rotación. Calcular dicho trayecto. b) Determinar
la relación que debe existir entre v0 yω0 para que
la pelota, después de anularse su velocidad de
traslación, regrese hacia el punto inicial de
lanzamiento con una velocidad angular ω0/2.
13.8.- Una esfera
maciza y homogénea,
de masa m y radio r
resbala sin rodar
sobre una superficie
horizontal rugosa
bajo la acción de una
fuerza F dirigida
horizontalmente y aplicada a una altura h<r,
como se indica en la figura. Determinar la
aceleración de la esfera y el coeficiente de
rozamiento entre esta y el plano.
13.9.- Una esfera maciza y homogénea descansa
sobre una plataforma horizontal, como se indica
en la figura. El rozamiento entre la plataforma y
esfera es suficiente para evitar el deslizamiento
de ésta. Aplicamos a la plataforma una fuerza
horizontal constante. a) Determinar las
aceleraciones (absolutas) que adquirirán la
plataforma y en centro de la esfera. b) Encontrar
la aceleración angular de la esfera (módulo y
dirección).
13.10.- Un yo-yo está formado por dos discos
pesados, de radio R y masa total M, unidos por
un eje ligero de radio r, alrededor del cual se
arrolla el hilo. Un muchacho sostiene el extremo
libre del hilo en una posición fija y deja caer el
yo-yo verticalmente. el yo-yo se acelera hacia
abajo, llega el instante en que se desenrolla todo
el hilo y, entonces, comienza a subir
enrollándose de nuevo el hilo sobre su eje.
a) Explicar detalladamente el movimiento delyo-
yo. ¿Por qué vuelve a subir? b) Calcular la
aceleración del yo-yo y al tensión en el hilo en
los movimientos
de bajada y de
subida?
13.11.- En el
g i r o s c o p i o
representado en
la figura el disco
tiene una masa
de 200 g y un
radio de giro de
5 cm y está

22. 20 Fundamentos Físicos de la Ingeniería.
Prob. 13.12
Prob. 13.13
Prob. 13.14
Prob. 13.15
Prob. 13.16
Prob. 13.18
situado a 10 cm del punto de apoyo del eje.
Calcular la velocidad angular de precesión
cuando el disco está girando alrededor de su eje
con una velocidad angular de 20 rps.
13.12.- En la figura se muestra
esquemáticamente el tren de aterrizaje de un
avión visto desde atrás. El radio de la rueda es de
40 cm y su momento
de inercia es de
2.5 kgm2
. El avión
despega a una
v e l o c i d a d d e
180 km/h. Después
del despegue, se
recoge el tren de
aterrizaje girándolo
lateralmente a razón
de 45por segundo.
D e t e r m i n a r l a
magnitud del par
ejercido sobre la
rueda por su soporte
e indicar las direcciones de las magnitudes
vectoriales implicadas.
13.13.- El cuerpo representado en la figura está
formado por dos discos pesados, de radio R y
masa total M, unidos mediante un eje ligero, de
radio r, en torno al cual se ha enrollado un hilo.
Supongamos que tiramos horizontalmente del
extremo libre del hilo, como se muestra en la
figura, con una fuerza constante F. Determinar el
sentido del movimiento y la aceleración del
cuerpo.
13.14.- Un bloque de masa m desliza sobre un
plano horizontal liso y está unido a un cilindro de
masa M y radio R mediante un hilo ligero que
pasa por la garganta de una polea de masa
despreciable. El hilo está arrollado en torno del
cilindro con un gran número de vueltas.
a) Calcular la tensión del hilo durante el
movimiento del sistema y las aceleraciones que
intervienen. b) Analizar los resultados anteriores
para las situaciones límites m0 y m.
13.15.- Los dos discos de la
figura adjunta tienen la
misma masa m y el mismo
radio R. El disco superior
puede girar libremente
alrededor deun eje horizontal
fijo que pasa por su centro.
Un hilo ligero está arrollado
alrededor de ambos discos.
Calcular la tensión del hilo y
las aceleraciones que
intervienen cuando se deja
caer el disco inferior.
13.16.- Una varilla homogénea AB está guiada
por dos pasadores, A y B, que deslizan
libremente por las guías situadas en un plano
vertical que se indican en la figura adjunta. Se
abandona la varilla, partiendo del reposo, en la
posición 1 indicada. Determinar las velocidades
de los pasadores A y B, así como la velocidad de
traslación y la velocidad angular de la varilla, en
las posiciones 2 y 3 indicadas.
13.17.- Una varilla de longitud L se sostiene
verticalmente apoyada sobre el suelo por un
extremo y se la deja caer. Suponiendo que el
extremo apoyado no resbala, determinar la
velocidad angular de la varilla en función del
ángulo que forma con la vertical y la velocidad
del extremo libre cuando pega contra el suelo.
13.18.- Las dos varillas
homogéneas, de la
misma masa m y
longitud l, que se
muestran en la figura,
están articuladas entre sí
en el punto A. El
extremo O de la varilla
superior está articulada
a un punto fijo y el
extremo B de la inferior
lo está a una corredera
que puede deslizar sin
fricción a lo largo de un
eje vertical. Se abandona el sistema, partiendo
del reposo, de la posición horizontal (θ=0).
Determinar: (a) la velocidad angular de cada

23. 13.- Dinámica del sólido rígido. 21
Prob. 13.19
Prob. 13.22
Prob. 13.24
Prob. 13.25
Prob. 14.2
varilla en función del ángulo θ; (b) la velocidad
de la corredera en función de θ.
13.19.- Un
c i l i n d r o
macizo y
homogéneo,
de radio r y
generatriz
2r, descansa
apoyado en
una de sus
bases sobre un plano horizontal rugoso que no
permiteel deslizamiento.Le aplicamosuna fuerza
horizontal, a una altura conveniente sobre el
plano, hasta que, apoyado en el borde de su base
inferior se desequilibra e inicia la caída.
(a) Calcular el momento de inercia del cilindro
con respecto al eje AAtangente a la periferia de
la base. (b) Determinar la velocidad angular del
cilindro en el instante en que su generatriz llega
al plano horizontal.
13.20.- Una varilla homogénea de longitud L y
masa M puede girar sin rozamiento alrededor de
un eje vertical que pasa por su centro y que es
perpendicular a la varilla. A lo largo de la varilla
pueden moverse dos esferillas idénticas, de masa
m cada una, unidas entre sí por un hilo
inextensible de longitud d < L. Inicialmente, la
varilla está girando con una frecuencia ν0 y las
esferillas se encuentran en posiciones simétricas
con respecto al eje de rotación. En un instante
determinado, el hilo se rompe y las esferillas se
desplazan hacia los extremos de la varilla, que
dando detenidas en los topes que existen en
dichos extremos. a) Calcular la frecuencia de
revolución final del sistema. b) ¿Se conservará la
energía cinética en el proceso?
13.21.- Una pequeña esfera de radio r permanece
en equilibrio inestable en la cima de una gran
esfera fija de radio R. Desplazamos ligeramente
la esferilla de su posición de equilibrio, de modo
que comience a rodar (sin resbalar) sobre la
esfera grande. Determinar la posición en que la
esferilla se despega de la esfera grande y la
velocidad que lleva en ese instante.
13.22.- Una bolita, de
radior,ruedaporuncarril
situado en un plano
vertical, de radio
interior R>r. ¿Cuál
deberá ser el valor
mínimo de v0 a fin de
que la bolita complete
su trayectoria circular
sin despegarse del
carril?
13.23.- Una varilla
homogénea tiene sus extremos apoyados en una
pared vertical lisa y en un suelo horizontal liso.
En el instante inicial, la varilla forma un cierto
ángulo θ0 con la horizontal; entonces comienza a
resbalar. Calcular el ángulo de inclinación de la
varilla cuando se extremo superior se despega de
la pared.
13.24.- Un cilindro
macizo y homogéneo, de
masa m y radio r, rueda
sin deslizar por el interior
de otro cilindro hueco, de
masa M y radio R, que
puede girar alrededor de
unejefijohorizontal(O)que
coincide con su eje de
simetría. En el instante
inicial, se abandona el
sistema (partiendo del reposo) en la posición que
se indica en la figura. a) Determinar las
velocidades angulares de cada uno de los dos
cilindros en el instante en que el cilindro interior
pasa por su posición más baja. b) Determinar la
velocidad de traslación del cilindro interior en
dicho instante.
1 3 . 2 5 . - Un
rodillo macizo,
de masa m y
r a d i o r ,
d e s c i e n d e
rodando (sin
resbalar) por la
cara inclinada
de un prisma
t r i a n g u l a r
móvil, de masa
m e inclinación θ, como se ilustra en la figura.
a) Determinar las aceleraciones (absolutas) del
rodillo y del prisma. b) Si el rodillo partió del
reposo en la parte superior del prisma, estando
también éste inicialmente enreposo, ¿cuál será la
velocidad final del prisma?
14.- Colisiones y percusiones.
14.1.- Dejamos caer una pelota, desde una altura
de 10 m, sobre un suelo duro y horizontal. Se
observa que la pelota remonta hasta una altura de
8.1 m después del primer bote en el suelo.
Supongamos que el coeficiente de restitución
permanezca constante en los rebotes sucesivos.
a) Calcular el valor del coeficiente de restitución
en los rebotes. b) ¿Qué fracción de la energía se
pierde en cada rebote? c) ¿Cuántos botes dará la
pelota antes de que su altura de remonte se
reduzca a 10 cm? d) Calcular el tiempo que
deberá transcurrir antes
de que la pelota quede en
reposo y el espacio total
que habrá recorrido hasta
ese instante.
14.2.- Dos pequeñas
esferas, de masas
respectivas m y 2m,
cuelgan de un punto
común mediante sendos

24. 22 Fundamentos Físicos de la Ingeniería.
Prob. 14.5
Prob. 14.6
Prob. 14.8
hilos de longitud l, como se indica en la figura.
La esfera2m se encuentra en reposo y la esfera m
se abandona a partir de la posición que se indica,
de modo que tenga lugar una colisión frontal y
perfectamente elástica entre ambas esferas.
Determinar la altura a la que ascenderá cada
esfera después del primer choque.
14.3.- Dos péndulos simples, demasa respectivas
m1 y m2, ambos de longitud l, están suspendidos
de un mismo punto. Se separa uno de ellos de la
vertical (manteniéndose el hilo tenso) hasta que
se obtiene una diferencia de alturas h entre
ambas masas pendulares. Se suelta dicho péndulo
de modo que colisione con el otro. Suponiendo
que la colisión sea completamente inelástica, ¿a
qué altura se elevará el conjunto después de la
colisión?
14.4.- a) Un elevador está subiendo por el cubo
(hueco de la escalera) con una velocidad
constante de 1.83 m/s. En el instante en que el
techo del elevador se encuentra a 18.3 m de la
parte más alta del cubo, se deja caer desde ese
sitio una pelota ligera que rebotará elásticamente
en el techo del ascensor. ¿A qué altura subirá la
pelota por encima del lugar desde el que se dejó
caer?b) Resolver el mismoproblema suponiendo
que el ascensor esté bajando con una velocidad
de 1.83 m/s.
14.5.- Una forma sencilla de determinar la
velocidad de un proyectil consiste en la
utilización del péndulo balístico. Este péndulo
está constituido por un bloque grande de madera,
de masa M, suspendido mediante dos hilos
verticales, como se ilustra en la figura. El
proyectil, de masa m, cuya velocidad v se quiere
determinar, se
d i s p a r a
horizontalmente
de modo que
choque y quede
incrustado en el
b l o q u e d e
madera. Si el
t i e mp o q u e
e m p l e a e l
proyectil en
quedar detenido
enel interior del bloque de maderaes pequeño en
comparación con el periodo de oscilación del
péndulo (bastará con que los hilos de suspensión
sean suficientemente largos), los hilos de
suspensión permanecerán casi verticales durante
la colisión. Supongamos que el centro de masa
del bloque asciende a una altura h después de la
colisión. Calcular: a) La velocidad que lleva el
proyectil y b) la fracción de la energía cinética
inicial que se disipa. aplicación numérica: M =
3 kg, m = 10 g y b = 4 cm.
14.6.- Un disco desliza sobre una superficie
horizontal lisa, con una celeridad de 5 m/s, y
colisiona elásticamente con otros discos
idénticos, que se encontraban en reposo, en
contacto entre sí y colocados de modo que la
línea de sus centros era perpendicular a la
trayectoria del disco incidente, como se muestra
en el figura adjunta. El disco incidente se apuntó
directamente al punto de contacto de los otros
dos. Calcular las velocidades (módulos y
direcciones) de los tres discos después de la
colisión.
14.7.- Una varilla homogénea, de longitud L y
masa M, se encuentra en reposo sobre un plano
horizontal liso. Un disco de hockey, de masa m,
se mueve sobre dicho plano en dirección
perpendicular a la varilla y con una velocidad v0.
El disco choca elásticamente con la varilla en un
punto P situado a una distancia h del centro de
ésta. a) ¿Qué magnitudes se conservan durante el
choque? b) ¿Cuál deberá ser la masa del disco
para que quede en reposo inmediatamente
después del choque? c) En el supuesto anterior,
calcular la velocidad del centro de masa de la
varilla y la velocidad angular de ésta.
d) Determinar la posición del punto Q de la
varilla que permanece en reposo después de la
colisión. e) Demostrar que si el disco choca en el
punto Q, el punto P permanecerá en reposo.
14.8.- Una varilla
homogénea, de masa
m y longitud l cae
desde una cierta
altura. En el instante
en el que uno de sus
extremos toca el
suelo, la varilla
forma un ángulo de
60con el mismo,
su centro de masa tiene una velocidad v y está
rotando con una velocidad angular ω, como se
ilustra en la figura. Suponiendo que la colisión
sea perfectamente elástica, determinar las nuevas
velocidades de traslación y de rotación de la
varilla después del choque.

25. 14.- Colisiones y percusiones. 23
Prob. 14.9
Prob. 14.10
Prob. 14.12
Prob. 14.14
Prob. 14.15
14.9.- Una viga uniforme, de longitud 2l y masa
m, está sostenida horizontalmente por dos
apoyos, A y B, a una distancia x del centro G de
la viga. Determinar la distancia x para que, al
suprimirse súbitamente uno de los apoyos, no
varíe en ese instante la reacción en el otro.
14.10.- Un bloque
homogéneo de forma
prismática, de sección
cuadrada de lado l,
desliza sobre un plano
horizontal liso con
velocidad v. Cuando
choca contra el tope O
que se indica en la
figura, gira alrededor de él. Calcular: (a) La
velocidad angular con que se iniciará el giro;
(b) el valor mínimo de la velocidad v del bloque
para que se produzca el vuelco de éste,
sobrepasando al tope.
14.11.- Jugando al billar I. Una bola de billar,
que se encuentra inicialmente en reposo sobre la
masa, recibe un golpe de taco de modo que la
línea de acción del impulso está contenida en el
plano vertical que pasa por el centro de la bola,
es paralela a la superficie de la mesa y está
situada a una distancia h del centro de la bola.
Como consecuencia de ese impulso, la bola sale
lanzada hacia adelante con una velocidad v0 y,
debido a su "efecto", posteriormente adquiere
una velocidad v. Sea R el radio de la bola.
a) Demostrar que
b) Demostrar que si queremos conseguir que la
bola ruede sin resbalar sobre el tablero desde el
mismo momento en que recibe el nombre el
impulso, la línea de acción de éste debe estar
situada a una distancia h = 2R/5 por encima del
centro de la bola. c) Demostrar que el "efecto"
será hacia adelante o hacia atrás según que h sea
mayor o menor que 2R/5. d) Demostrar que es
imposible, con el "efecto de retroceso", dar a la
bola una velocidad de retroceso a menos que el
impulso tenga una componente vertical hacia
abajo.
14.12.- Una masa puntual, de magnitud m, está
unida mediante un hilo ligero, flexible e
inextensible, de longitud L, a un punto fijo O.
Abandonamos la masa puntual, partiendo del
reposo, en la posición indicada en la figura.
Determinar la amplitud de las oscilaciones
pendulares de dicha masa. ¿Se conserva la
energía durante
todo el proceso?
14.13.- Dos discos
homogéneos están
montados sobre
ejes paralelos.
Inicialmente ambos
d i s c o s e s t á n
girando libremente,
con velocidades
a n g u l a r e s
constantes. En un
instante dado se
aproximan entre sí los ejes de rotación de sendos
discos de modo que éstos quedan acoplados por
sus bordes. Determinar las velocidades angulares
de los discos después del acoplamiento. Expresar
los resultados en función de las velocidades
angulares iniciales y de las razones de masas y
radios de los discos.
14.14.- Una placa
rectangular, de masa
m uniformemente
repartida, puede girar
alrededor de un eje
fijo horizontal que
coincide con uno de
sus bordes, como se
indica en la figura.
Separamos la placa hasta la posición horizontal y
la abandonamos partiendo del reposo. Cuando
alcanza la posición vertical, colisiona
elásticamente contra el borde de otra placa
idéntica que se encontraba en reposo sobre un
plano horizontal. a) Determinar las velocidades
de cada placa después de la colisión. b) Calcular
la percusión en el eje.
14.15.- Un carrete está formado por dos discos
homogéneos idénticos, de radio R, unidos por un
eje cilíndrico, de radio r, en el que está enrollada
una cuerda ligera y
flexible. Sea m la
masa total del carrete
e I su momento de
inercia con respecto a
su eje. Tiramos
bruscamente de la
c u e r d a ,
hori zo n t a lmente,
como se indica en la figura (i.e., aplicamos una
impulsión Π). a) Determinar el movimiento del
carrete justamente después de la impulsión.
b) Suponiendo que el suelo sea rugoso,
determinar el movimiento final del carrete.

26. 24 Fundamentos Físicos de la Ingeniería.
Prob. 14.16
Prob. 15.4
Prob. 15.8
Prob. 15.9
14.16.- Una esfera homogénea, de masa m y
radio R, reposa sobre un bloque, de masa 2m, que
se mueve con velocidad constante v0 sobre un
tablero horizontal liso, como se ilustra en la
figura. El bloque colisiona inelásticamente en B
y queda detenido; entonces, la esfera comienza a
rodar sobre el bloque. En el supuesto de que el
rozamiento
entre la esfe-
ra y el blo-
que sea sufi-
ciente como
para que co-
mience a ro-
dar, sin res-
balar, desde
el primer
instante, determinar la velocidad angular de la
esfera y las reacciones percusionales.
15.- Movimiento
armónico simple.
15.1.- El movimiento de un oscilador armónico
simple está descrito por la ecuación
x=5 sen (0.2t + 0.5236)
donde todas las cantidades están expresadas en el
sistema c.g.s.. Determinar: a) la amplitud, el
periodo, la frecuencia y la fase inicial del
movimiento, b) la velocidad y la aceleración y
c) las condiciones iniciales.
15.2.- Las posiciones sucesivas de una partícula
que ejecuta un m.a.s. son x=a, b y c;
correspondientes a los instantes t=t0, 2t0, 3t0,
respectivamente. Calcular el periodo del
movimiento.
15.3.- Dos partículas realizan sendos
movimientos armónicos simples de la misma
amplitud, frecuencia y origen a lo largo de una
misma línea recta. Cada vez que se cruzan,
moviéndose en sentidos opuestos, sus
elongaciones son la mitad de la amplitud.
Calcular la diferencia de fase entre ambos m.a.s.
15.4.- Calcular el periodo de las oscilaciones de
la columna líquida contenida en un tubo en U de
sección transversal constante,
colocadoverticalmente, como
se muestra en la figura.
1 5 . 5 . - U n a mo n e d a
permanece en reposo sobre
una plataforma horizontal que
realiza un movimiento
armónico simple de amplitud
A y frecuencia v. a) Si la
p l a t a f o r m a o s c i l a
verticalmente, ¿cuál será el
valor máximo de A que permita a la moneda
permanecer en contacto permanente con la
plataforma? b) Supongamos ahora que la
plataforma oscila horizontalmente y que sea μel
coeficiente de rozamiento estático entre la
moneda y la plataforma. ¿Cuál será, entonces, el
valor máximo de A que permita a la moneda
permanecer en reposo respecto a la plataforma,
sin deslizar?
15.6.- Una varilla homogénea, de masa m y
longitud L, se encuentra inicialmente en reposo
sobre un plano horizontal xy. Cada elemento de
la varilla es atraído por una fuerza proporcional a
su masa y a su distancia al eje x. Estudiar el
movimiento de la varilla.
15.7.- La escala de un
dinamómetro de muelle,
que alcanza de 0 a 500 g,
mide 8 cm de longitud.
Del dinamómetro se
suspende un pequeño
paquete, se le da un tirón
hacia abajo y se observa
que sus oscilaciones
verticales presentan una
frecuencia de 3 Hz.
¿Cuánto pesa el paquete?
15.8.- Determinar las
frecuencias de oscilación
correspondientes a cada
uno de los sistemas
representados en la
figura.
15.9.- Consideremos un pequeño objeto, de masa
m, que tan sólo puede moverse a lo largo de una
recta, unido a un extremo de un muelle de
constante elástica k y de longitud natural l0. El
otro extremo del muelle está unido a un punto
fijo A situado a una distancia h > l0 de la recta
sobre la que se mueve el pequeño objeto, como
se muestra en la figura. Calcular la frecuencia de
las pequeñas oscilaciones del sistema.
15.10.- Un reloj de péndulo que ha sido
cuidadosamente ajustado para marcar el tiempo
correcto en un lugar donde g = 9.823 m/s2
retrasa
40 s por día cuando se lleva a otro lugar
geográfico. ¿Cuánto vale g en ese lugar?
15.11.- En el dispositivo que se muestra en la
figura, el collarín ligero por el que pasa la varilla
y al que están unidos dos muelles idénticos,
permite que éstos permanezcan horizontales.

27. 15.- Movimiento armónico simple. 25
Prob. 15.11
Prob. 15.15Prob. 15.14
Prob. 15.16
D e t e r m i n a r l a
frecuencia de las
pequeñas oscilaciones
de la varilla.
15.12.- a) Calcular la
frecuencia de las
pequeñas oscilaciones
de un aro de radio R
colgado de la pared
mediante un clavo
horizontal.¿Cuál es la
longitud reducida de
este péndulo físico? b) Repetir el apartado
anterior si se suprime la mitad inferior del aro.
15.13.- a) Calcular el periodo de las oscilaciones
de pequeña amplitud de una lámina en forma de
triángulo equilátero cuando el eje de suspensión
es perpendicular al plano de la lámina y pasa por
uno de los vértices del triángulo. b) Ídem, en las
mismas condiciones, para una lámina en forma
rectangular.
15.14.- Determinar la frecuencia de las pequeñas
oscilaciones del sistema que se muestra en la
figura adjunta, suponiendo que la polea sea un
disco homogéneo de masa M y radio R y que la
cuerda sea ligera y no resbale por la garganta de
la polea.
15.15.- El cilindro macizo y homogéneo que se
muestra en la figura, de masa m y radio R, está
suspendido del techo mediante una cuerda. Uno
de los extremos de la cuerda está unido
directamente al techo; el otro lo está a un muelle
de constante elástica k. Determinar la frecuencia
de las oscilaciones del sistema.
15.16.- Los extremos
d e u n a v a r i l l a
homogénea están
ligados a una circun-
ferencia vertical y
pueden deslizar sin
rozamiento a lo largo
de la misma. Si la
varilla subtiende un
ángulo central de 120,
demostrar que la
longitud del péndulo
simple equivalente es igual al radio de la
circunferencia.
15.17.- Una partícula está sometida
simultáneamente a tres m.a.s. de la misma
frecuencia ydirección, cuyas amplitudes son 3, 4
y 5 respectivamente. El segundo m.a.s. está
adelantado un ángulo de fase de 30respecto al
primero, y el tercero lo está 120respecto al
segundo. Hallar la amplitud del desplazamiento
resultante y su fase relativa al primer m.a.s.
15.18.- Calcular la amplitud y la constante de
fase del desplazamiento resultante de la
superposición de los m.a.s. x1 y x2, que se dan a
continuación y dibujar los diagramas fasoriales
correspondientes:
a) x1= 3 sen(ωt+30) x2= 4 sen(ωt+45)
b) x1= 3 sen(ωt+45) x2= 4 sen(ωt+135)
c) x1= 2 sen(ωt+60) x2= 5 cos(ωt-30)
15.19.- Consideramos la superposición de dos
oscilaciones armónicas sobre una misma recta
cuyas elongaciones vienen dadas por
x1 = A sen 16πt x2 = A cos 12πt
respectivamente. a) Hallar el periodo y la
frecuencia del batimiento. b) ¿Cuántos ciclos de
la oscilación básica están contenidos en cada
módulo del batimiento? c) Dibujar un esquema
cuidadoso de la perturbación resultante durante
dos periodos del batimiento.
16.- Ondas mecánicas.
16.1.- La función de onda que describe una onda
transversal que se propaga en una cuerda tensa
cuya densidad lineal es de 20 g/m viene dada por
y = 0.2 cos(1.75x-628.32t)
donde x e y se miden en centímetros y t se mide
en segundos. a) Determinar la amplitud, la
longitud de onda, la frecuencia y la velocidad de
propagación de la onda. b) Dibujar la forma de la
cuerda en los instantes t=2.5 ms y t=5.0 ms.
c) Calcular la tensión de la cuerda.
16.2.- Consideremos una onda plana armónica,
cuya velocidad de fase sea 32 m/s, su amplitud
3.2 cm y su frecuencia 60 Hz, que se propaga en
la dirección positiva del eje x. Supongamos que
en x=0, en el instante t=0, la elongación sea
máxima y positiva. a) Escribir la función de
onda. ¿Cuál es la longitud de onda? b) Calcular
la elongación, velocidad y aceleración de un
punto de abscisa x=15.3 m en el instante t=2.6 s.
16.3.- Uno de los extremosde un muelle muy lar-
go, en posición horizontal, esta unido a un
vibrador que proporciona una frecuencia de
25 Hz. A lo largo del muelle avanza un tren
continuo de ondas longitudinales en el que se
observa que la distancia entre dos rarefacciones
consecutivas es de 24 cm y que el máximo des-
plazamiento de cualquiera de las espiras del

28. 26 Fundamentos Físicos de la Ingeniería.
muelle es de 5 mm. Supongamos que las ondas
avanzan en el sentido positivo del eje x, que el
vibrador está en x=0 y que el desplazamiento
para x=0 y t=0 sea nulo. a) Determinar la velo-
cidad de las ondas. b) Escribir la función de
onda. c) Determinar la elongación en función del
tiempo de una espira situada a 10 cm del
vibrador.
16.4.- Uno de los extremos de una cuerda
horizontal está firmemente unido a un vibrador
accionado eléctricamente a una frecuencia de
110 Hz. La cuerda pasa por una polea y lleva
colgado de su extremo libre una pesa de 2 kg. La
cuerda mide 1.20 m y pesa 24 g. a) Determinar la
velocidad de las ondas transversales en la cuerda.
b) ¿Cuál es la longitud de onda? c) Si la amplitud
de las vibraciones del vibrador es de 2 mm,
calcular la potencia instantánea y la potencia
media que suministra el vibrador.
16.5.- Chillidos del albatros. Un náufrago que
se encuentra en un bote salvavidas apenas
alcanza a oír los chillidos de un ídem que vuela a
gran altura sobre el océano, a una distancia de
3 km en línea recta del náufrago. Como veremos
en una lección posterior, el umbral de audición
del oído humano es 1012
W/m2
, apro-
ximadamente. a) Suponiendo que el albatros
emitiese los sonidos en forma isotrópica, calcular
la potencia de sus chillidos. b) Supongamos que
el ave emita sus chillidos 1000 veces al día, con
una duración de 1 s cada uno, ¿cuánta energía
emite diariamente en forma de ondas sonoras?
16.6.- Tren AVE. Un observador, que se
encuentra cerca de las vías del tren de alta
velocidad (AVE), en campo abierto, percibe el
sonido del silbato de la locomotora, que circula
con velocidad constante alejándose del observa-
dor, con una intensidad de 10 μW/m2
, en el
instante en que ésta se encuentra a una distancia
de 40 m del observador. Transcurridos 6 s, el
observador percibe el mismo sonido con una
intensidad de 100 nW/m2
. ¿Cuál es la velocidad
del tren? NOTA: Despreciar la absorción del
sonido en el aire.
16.7.- Caída de tono. Un tren hace sonar su
silbato al acercarse y alejarse de un paso a nivel
con barreras. Un músico, que está esperando que
pase el tren, apoyado en la barrera, escucha el
sonido del silbato en el tono de La2 (220 Hz)
mientras el tren se acerca y en el de Sol2
(198 Hz) cuando ya se aleja. Calcular la
velocidad del tren y la frecuencia del sonido
emitido por su silbato.
16.8.- Patrullero. Un coche de policía, provisto
de una sirena que emite un sonido puro de
440 Hz, se mueve con una velocidad de 36 km/h
endirección a un acantilado que refleja las ondas
sonoras. a) Calcular la frecuencia de las
pulsaciones que percibe un observador en reposo
que ve alejarse el coche hacia el acantilado. b)
Calcular la frecuencia de las pulsaciones que
percibe el conductor del automóvil. c) ¿Cuál
debería ser la velocidad delautomóvil para que el
sonido percibido por el conductor, tras la
reflexión, corresponda a una octava más alta que
el emitido por la sirena?
16.9.- Bang supersónico. Un avión supersónico
vuela a una altura de 3000 m con una velocidad
de 1.7 Mach. a) Determinar el ángulo de Mach.
b) Calcular el tiempo que transcurrirá desde que
el avión sobrevuela directamente encima de un
observador situado en tierra hasta que éste
escucha el bang supersónico.
16.10.- Función de onda estacionaria. La fun-
ción de onda estacionaria en una cuerda fija por
sus dos extremos es
a) Determinar la amplitud, frecuencia, longitud
de onda y velocidad de fase de las ondas pro-
gresivas cuya superposición dan lugar a esta onda
estacionaria. a) Escribir las funciones de onda
correspondientes a dichas ondas progresivas.
b) Hallar la distancia internodal. c) Si la
expresión dada corresponde al tercer modo de
oscilación de la cuerda, ¿cuál es la longitud de
ésta?
16.11.- Un hilo de acero, de 1 m de longitud y
1 mm de diámetro, está tensado entre soportes
fijos, sometido a una tensión de 100 kg. a) Deter-
minar su frecuencia fundamental y los dos prime-
ros armónicos, así como las longitudes de onda
correspondientes. b) Hacer un esquema del
estado de vibración del hilo en cada caso.
c) Escribir las funciones de onda estacionarias
para esas frecuencias.
16.12.- Cuerdas gemelas. Dos cuerdas gemelas
de un instrumento musical (v.g., de un piano)
vibran en su modo fundamental de 440 Hz
cuando están sometidas a la misma tensión.
a) Calcular la frecuencia de las pulsaciones entre
los modos fundamentales de ambas cuerdas
cuando incrementamos la tensión de una de ellas
en un 3%. b) Ídem de los segundos armónicos.
16.13.- Tubo acústico. En el dispositivo experi-
mental descrito en esta lección, se observan las
dos primeras resonancias para L igual a 14.2 cm
y 46.7 cm. a) Calcular la frecuencia del diapasón
y la corrección del extremo del tubo. b) ¿En que
posición se presentará la siguiente resonancia?
16.14.- ¿Abierto o cerrado? En un tuboacústico
se observan dos resonancias sucesivas cuando se
le excita a las frecuencias de 2 200 Hz y
3 080 Hz. a) Averiguar si se trata de un tubo
abierto o cerrado. b) Determinar la longitud del
tubo.
16.15.- En el extremo izquierdo de un tubo (x=0),
de longitud L, tenemos una fuente sonora que
envía hacia el interior del tubo la siguiente onda
sonora: