O capítulo descreve técnicas de integração, incluindo integração por partes e substituições trigonométricas. A técnica de integração por partes depende da fórmula do produto diferencial e permite calcular integrais de funções produto. A técnica de substituição trigonométrica envolve substituir variáveis nas integrais por funções trigonométricas de forma a simplificar o cálculo. Exemplos ilustram o uso dessas técnicas para calcular diferentes integrais definidas.

1. Capítulo 1 –Técnicas de Integração - 1
Elaine Cristina Ferruzzi
1 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
1.1 INTEGRAÇÃO POR PARTES
Uma técnica de integração muito útil é a
integração por partes, que depende da fórmula
para a diferencial de um produto.
Sejam f e g funções diferenciáveis de x. Então,
pela regra do produto, temos:
 
  )x(g).x('f)x(g).x(fxD)x('g).x(f
)x(f).x('g)x(g).x('f)x(g).x(fxD


Integrando ambos os membros, temos:
  



dx)x('f).x(gdx)x(g).x(fxD
dx)x('g).x(f
Verificamos que a primeira integral do lado
direito é igual a f(x) . g(x) + C . Como da
Segunda integral resulta outra constante de
integração, é desnecessário incluir C na fórmula,
isto é:
  dx)x('f).x(g)x(g).x(fdx)x('g).x(f
Fazendo u = f(x) e v = g(x) , de modo que
du = f ’(x) dx e dv = g’(x) dx, então a fórmula
precedente pode ser escrita:
  du.vv.udvu
A fim de aplicar esta fórmula a uma determinada
integral, representamos por u uma parte do
integrando e por dv o restante, ( inclusive dx) .
Exemplo 1
Calcule ln xdx
Verificamos que não existe fórmula para esta
integral na tabela.
Fazemos
Assim:
Cxxlnxxdxln
Cxxlnxxdxln
dxxlnxxdxln
dx
x
x
xlnxxdxln
dx
x
1
)x()x.(xlnxdxln
du.vv.uxdxln
dv.uxdxln


 
 
 
 
 







Exemplo 1
Calcule
 dxx2e.x
Fazendo:
Voltando na integral, temos:
C
4
x2e
2
x2e.x
dxx2e.x
2
x2e
2
1
2
x2e.x
dxx2e.x
dxx2e
2
1
2
x2e.x
dxx2e.x
dx
2
x2e
2
x2e
.xdxx2e.x
du.vv.udxx2e.x
dv.udxx2e.x












Obs: Para resolver esta parte direita devemos
fazer uma substituição.
u = ln x e dv = dx
dx
x
1
du  v = x
   Cxvdxdvdxdv
dx2xe=dvexu 
du = dx dxx2edv
 
C
2
x2e
v 

2. Capítulo 1 –Técnicas de Integração - 2
Elaine Cristina Ferruzzi
Seja
2
dt
dx2
dx
dt
x2t


Substituindo, temos
C
2
x2e
dxx2eC
2
te
dxx2e
dtte
2
1
dxx2e
2
dttedxx2e






Exemplo 2
Calcule
 dxxcos.xe
Seja
Integrando por partes,
 dxxcos.xe =
 du.vv.u
 dxxcos.xe =
 xdxsenxexsenxe (a)
Apliquemos em seguida a integração por
partes à integral da direita da equação (a).
Fazendo:
cosx-=vdxxedu
dxsen x=dvxeu


e integrando por partes temos:
 dxxsen.xe =
 du.vv.u
 dxxsen.xe =
 xdxcosxexcosxe (b)
Levando agora a equação ( b) no membro direito
da equação (a), obtemos;
 dxxcos.xe =







 xdxcosxexcosxexsenxe
 dxxcos.xe =
 xdxcosxexcosxexsenxe
C
2
)xcosx(senxe
xdxcosxe
)xcosx(senxexdxcosxe.2
)xcosx(senxexdxcosxexdxcosxe








EXERCÍCIO
E.1 Calcule as seguintes integrais:





dxxe.2xf)dx.x2e2x)e
dx3x.e2xd)dxxe.x)c
dxx2e.xb)dxxe.x)a




xdx3secn)dx.x2secx)m
xdx3senl)dx.xcosxe)k
dxx.secx.tgxj)xdx5cos.x)i
dxxsen2xeh)dxxsenx)g
 



xdx3cost)dx.2xln)s
dxlnxxr)xdx2sen.x)q
dxxsenxep)dxxsen2x)o
senx=vdxxedu
dxxcos=dvxeu



3. Capítulo 1 –Técnicas de Integração - 3
Elaine Cristina Ferruzzi
Respostas:
E1
C
4
1
x
2
1
.x2e)b
C)1x(xe)a









C)1x(e)c x 
C
27
2
9
x2
3
2xx3e)d 









C
2
1
x2xx2e
2
1
)e 






C)2x22x.(xe)f 
Cxcosxxsen)g 
  Cxcosxsen2
5
x2e
)h 
Ctgxxseclnxsecx)j
Cx5cos
25
1
x5sen
5
x
)i


 
C
3
x3cos2
xcosx2sen)l
Cxcosxsen
2
xe
)k


Cxcoslnxtgx)m 
Ctgxxsecln
2
1
tgx.xsec
2
1
)n 
Cxcosexsenexxcos2x)o 
 
Cx2sen
4
1
x2cosx
2
1
)q
Cxcosxsen
2
xe
)p


C2
3
x
9
4
xln2
3
x
3
2
)r 
C3x2ln
2
3
x3x2lnx)s 
Cx3sen
3
1
xsen)t 
1.2 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
TRIGONOMÉTRICA
Nesta seção discutiremos um método para o
cálculo de integrais contendo radicais, realizado
através de substituições envolvendo funções
trigonométricas.
Para determinar a área de um círculo ou de uma
elipse, uma integral do tipo
  du2u2a
aparece, onde a > 0. Se a integral fosse do tipo
  du2u2a.u uma simples substituição de
variáveis ( 2u2at  ) seria suficiente para
resolver a integral em questão, mas como esta
definida a integral que queremos solucionar é
mais difícil.
Muitas vezes substituições trigonométricas
convenientes nos levam à solução de
determinadas integrais. Se o integrando envolver
funções contendo as expressões:
2a2uou2u2a,2u2a 
com a > 0, é possível realizar uma substituição
trigonométrica apropriada conforme vemos na
Fig. 1
Figura 1
Podemos assim sugerir a seguinte tabela:
1.2.1 Tabela de Substituições trigonométricas.
expressão substituição
2u2a 
 senau *
2u2a 
 tgau *
2a2u 
 secau **

4. Capítulo 1 –Técnicas de Integração - 4
Elaine Cristina Ferruzzi
*
22



**
2
0

 ou
2
3

1.2.2 Identidades trigonométricas úteis


2sec2tg1)ii
2cos2sen1)i
Observe as resoluções abaixo.
1º caso: A função integrando envolve
2u2a  .
Neste caso, faremos a substituição  senau .
Então  dcosadu . Assim, temos
2u2a  =  2sena2a 
= 2sen2a2a 
= 2sen12a 



 
= 2cos2a 
2u2a  = cosa
2º caso: A função integrando envolve 2u2a 
Neste caso, faremos a substituição  tgau .
Então  d2secadu . Assim, temos
2u2a  =  2tga2a 
= 2tg2a2a 
= 2tg12a 



 
= 2sec2a 
2u2a  = seca
3º caso: A função integrando envolve
2a2u 
Neste caso, faremos a substituição  secau .
Então  dtg.secadu . Assim, temos
2a2u  = 2a2sec2a 
= 12sec2a 



 
= 2tg2a 
2a2u  = tga
Exemplo 3
Calcule a integral


dx
2x
2x9
Resolução:
Usamos  dcos3dxentão,sen3x
Substituindo na integral, temos:


dx
2x
2x9
=
 
  


dcos3
2sen3
2sen39
Pelo 1º caso, temos que:


dx
2x
2x9
=
  


dcos3
2sen3
cos3
=
  


d
2sen3
2cos3
=
  d2gcot
=
 



  d12eccos


dx
2x
2x9
= cgcot 
Devemos agora escrever este resultado em
termos da variável original x. Sabendo que se
22
-
com,sen3x



 , então
3
x
arcsen .

5. Capítulo 1 –Técnicas de Integração - 5
Elaine Cristina Ferruzzi
Observando a Fig 1 (a) vemos que
x
2x9
gcot

 .
Assim, temos:


dx
2x
2x9
= cgcot 


dx
2x
2x9
= C
3
x
arcsen
x
2x9


Exemplo 4 Calcule a integral


dx
x
252x
com 5x  .
Resolução:
Observamos que esta integral envolve a função
2a2u  do 3º tipo, com a = 5 . Assim,
podemos fazer a substituição sugerida.
Fazendo x = 5 sec  , temos dx = 5 sec  . tg 
d.


dx
x
252x
=
 
 


dtgsec5
sec5
252sec25
=  
 


dtgsec5
sec5
tg5
= 
 d2tg5
= 



 
 d12sec5


dx
x
252x
= C5tg5 
Agora precisamos expressar o resultado em
função de x.
Como x = 5 sec  , então 






5
x
secarc e
observando a Fig 1c vemos que
5
252x
tg


.
Daí, substituindo no resultado da integral, temos:


dx
x
252x
= C
5
x
secarc5
5
252x
.5 













dx
x
252x
= C
5
x
secarc5252x. 
Exemplo 5 Calcule a integral
 
dx
92x5
2x
.
Resolução:
Observamos que esta integral envolve a função
2a2u  do 2º tipo, com a = 3 . Assim,
podemos fazer a substituição sugerida.
Fazendo x = 3 tg  , temos dx = 3 sec2
 d.
Assim, o radicando  sec392x .
 
dx
92x5
2x
=
 


d2sec3.
92tg95
2tg9
 


d2sec3.
)12tg(95
2tg9
 


d2sec3.
2sec95
2tg9
 


d2sec3.
sec3
2tg
5
9
  dsec.2tg
5
9
 



  dsec12sec
5
9
 



  dsec3sec
5
9
(1)
Agora, usando a tabela de integrais, podemos ver
que:
  
 tgseclndsec (2) e que

6. Capítulo 1 –Técnicas de Integração - 6
Elaine Cristina Ferruzzi
 



  dnsec
 



 




d2nsec
1n
2n
tg2nsec
1n
1
isto é,
 



  d3sec
=  
  dsec
2
1
tgsec
2
1
(3)
Assim, substituindo (2) e (3) na expressão (1) e
realizando as simplificações, teremos:
 



  dsec3sec
10
9
=
= Ctgsecln
10
9
tgsec
10
9

Daí, a integral é:
 
dx
92x5
2x
= Ctgsecln
10
9
tgsec
10
9

Precisamos agora retornar a variável x.
Observando a Fig 1b, temos
3
92x
sec

 e
3
x
tg  , logo realizando
estas substituições, teremos:
 
dx
92x5
2x
=
3
x
3
92x
ln
10
9
3
x
3
92x
10
9




 
dx
92x5
2x
= C
3
92xx.
ln
10
9
10
92x.x




EXERCÍCIO
E.2 Resolva as seguintes integrais
dx
42x2
2x
)c
dx
2x2
2x9
)a




)d
  2x42x
dx
  2x162x
dx
)e
 
dx
2x4
1
)f


dx
x
92x
)g
 
dx
6x
x1
)h
2
3
2


 
dx
2x9x
1
)i
 
dx
252x2x
1
)j
 
dx
2x9
x
)k
Respostas:
C
3
x
arcsen
x
2x9
2
1
)a 













C
2
x4x
ln4xx
4
1
)c
2
2 


C2x4
x4
1
)d 
C
x16
2x16
)e 


C
2
xx4
ln)f
2


ou
Dx2x4ln)f  onde D = ln2 +C

7. Capítulo 1 –Técnicas de Integração - 7
Elaine Cristina Ferruzzi
C
3
x
secarc392x)g 






C
5x5
2
5
2x1
)h 




 

C
x
2x4
x
2
ln
3
1
)i 


C
x25
252x
)j 

Cx9)k 2 
1.3 INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES
PARCIAIS
Esta técnica é usada para integrar funções
racionais próprias, isto é, funções da forma
)x(q
)x(p
)x(R  , onde p e q são polinomiais e o
grau de p(x) é menor que o grau de q(x). A
idéias é desdobrar o integrando R(x) em uma
soma de funções racionais mais simples, que
podem ser integradas.
É fácil verificar que:
1x
1
1x
1
12x
2






A expressão à direita é o que se chama uma
decomposição em frações parciais de
12x
2

.
Pode-se usar esta decomposição para calcular a
integral indefinida de
12x
2

. Basta integrarmos
cada uma das frações da decomposição, obtendo:
C
1x
1x
lndx
12x
2
C1xln1xlndx
12x
2
dx
1x
1
dx
1x
1
dx
12x
2















 
O desdobramento do integrando pode ser feito de
acordo com os casos seguintes;
CASO 1 :
O denominador de R(x) pode ser
decomposto em fatores distintos do 1º grau.
Neste caso , a cada fator da forma (ax +b) ,
a  *
e b , que aparece no
denominador, corresponde uma fração da forma
)bax(
A

.
Exemplo 6
)1x(
C
)1x(
B
x
A
)12x.(x
2
)1x).1x.(x
2
)12x.(x
2








Exemplo 7
Calcule dx
x32x23x
9x132x4
 

Resolução:
Sabemos que:
)1x).(3x.(xx32x23x
)3x22x.(xx32x23x


Assim,
)1x(
C
)3x(
B
x
A
x3x2x
9x13x4
)1x).(3x.(x
9x13x4
x3x2x
9x13x4
23
2
2
23
2











Tirando o m.m.c. e eliminando os
denominadores, temos:

8. Capítulo 1 –Técnicas de Integração - 8
Elaine Cristina Ferruzzi
A3x)C3BA2(x)CBA(9x13x4
A3Cx3BxAx3AxCxBxAx
Cx3CxBxBxA3Ax3AxAx
Cx3CxBxBx)1x)(A3Ax(
)3x.(x.C)1x.(x.B)1x)(3x(A9x13x4
22
222
222
22
2





Comparando os coeficientes de x, temos:
3A9A3  e
1-=Btemos,2=Ce3=AcomAgora
2=C8=4C
17=4C+3.3temos,3=Acomo
17=4C+3A
13C3BA2
4CBA








a decomposição em frações parciais, é pois:
)1x(
2
)3x(
1
x
3
x32x23x
9x132x4







Agora, integrando, temos;
C
3x
)1x.(x
ln
x3x2x
9x13x4
C1xln3xlnxln
x3x2x
9x13x4
C1xln23xlnxln3
dx
)1x(
2
dx
)3x(
1
dx
x
3
x3x2x
9x13x4
23
23
2
23
23
2
23
2



















   
CASO 2:
O denominador de R(x) pode ser decomposto em
fatores repetidos do 1º grau. A cada fator da
forma ( ax + b ) que aparece n vezes no
denominador, corresponde uma soma de n
frações da forma:
n)bax(
nA
...
2)bax(
2A
bax
1A





Exemplo:
4)1x(
5A
3)1x(
4A
2)1x(
3A
)1x(
2A
)1x(
1A
2)1x22x.(2)1x(
x1
4)1x.(2)1x(
1
2)1x22x.(2)1x(
x1
2]2)1x).[(1x)(1x(
x1
2)1x22x.(2)1x(
x1






















Exemplo 8
Calcule dx
3)2x).(1x(
4x292x183x3
 

Resolução:
Verificamos que:
323
23
)2x(
D
)2x(
C
)2x(
B
)1x(
A
)2x).(1x(
4x29x18x3










tirando o m.m.c. e eliminando o denominador,
temos;
)1x(D)2x).(1x.(C)2x).(1x(B)2x(A
4x29x18x3
23
23


daí, temos:
A = 2 , B = 1 , C = -3 e D = 2
Então:
32
3
23
)2x(
2
)2x(
3
)2x(
1
)1x(
2
)2x).(1x(
4x29x18x3













9. Capítulo 1 –Técnicas de Integração - 9
Elaine Cristina Ferruzzi
Integrando, temos:
C
)2x(
1
)2x(
3
2xln1xln2
)2x).(1x(
4x29x18x3
dx
)2x(
2
dx
)2x(
3
dx
)2x(
1
dx
)1x(
2
)2x).(1x(
4x29x18x3
2
3
23
32
3
23





















   

CASO 3:
O denominador é constituído por fatores
quadráticos distintos e irredutíveis da forma
q x ax bx c co( )    2
m a 0 e não
pode portanto ser decomposto em fatores do 1º
grau. A cada fator q(x) que aparece no
denominador , corresponde uma fração da forma
)x(q
BAx 
Exemplo:
)1x(
BxA
)1xx(
BxA
)1x)(1xx(
1
2
22
2
11
22 






Exemplo 9
Calcule dx
4x82x3x2
21x2x
 

Resolução:
O denominador pode ser fatorado como se segue:
)1x2)(42x(
)1x2(4)1x2(2x
4x82x3x2



Assim:
1x2
C
42x
BAx
4x82x3x2
21x2x







tirando o m.m.c e eliminando o denominador,
teremos;
BC4x)AB2(2x)CA2(21x2x
C42CxBBx2Ax2Ax221x2x
)42x(C)1x2)(BAx(21x2x



Daí, temos;
A=3, B= 1, C= - 5
Assim:
1x2
5
42x
1
42x
x3
4x82x3x2
21x2x
1x2
5
42x
1x3
4x82x3x2
21x2x

















Integrando, temos:
C1x2ln
2
5
2
x
tg
2
1
4xln
2
3
dx
4x8xx2
21xx
dx
1x2
5
dx
4x
1
dx
4x
x3
dx
4x8xx2
21xx
12
23
2
22
23
2





 















  

CASO 4:
O denominador é constituído por fatores
quadráticos repetidos e irredutíveis da forma
q x ax bx c co( )    2
m a 0 e não
pode portanto ser decomposto em fatores do 1º
grau. A cada fator q(x) que aparece repetido no
denominador , corresponde uma soma de fração
da forma:
   n)x(q
nBxnA
+...+
2)x(q
2Bx2A
+
)x(q
1Bx1A 

10. Capítulo 1 –Técnicas de Integração - 10
Elaine Cristina Ferruzzi
Exemplo 10
Calcule dx
2)12x(
3x72x33x5
 

Resolução;
Verificamos que:
2)12x(
DCx
)12x(
BAx
2)12x(
3x72x33x5








e portanto:
DCx)12x)(BAx(3x72x33x5 
daí:
A=5 , B = -3 C= 2 e D = 0
Portanto:
222222
23
22222
23
)1x(
x2
)1x(
3
)1x(
x5
)1x(
3x7x3x5
)1x(
x2
)1x(
3x5
)1x(
3x7x3x5















Integrando, temos;
C
1x
1
xtg31xln
2
5
dx
)1x(
3x7x3x5
dx
)1x(
x2
dx
)1x(
3
dx
)1x(
x5
dx
)1x(
3x7x3x5
2
12
22
23
2222
22
23







 














  

EXERCÍCIO
E.3 Calcule as seguintes integrais:
dx
)5x(2)1x(
33x252x2
f)dx
x43x
8x102x5
)e
dx
8x22x
16x
d)dx
2)1x(
11x6
)c
dx
)3x)(2x)(1x(
x1137
b)dx
)4x(x
12x5
)a















Respostas:
C5xln3
1x
1
1xln5)f
C2xln42xlnxln2)e
C2xln34xln2)d
C
1x
5
1xln6)c
C3xln2xln51xln4)b
C4xln2xln3)a









