O documento fornece um guia para alunos e professores sobre um banco de questões de matemática. Ele explica que o banco contém problemas de competições nacionais e internacionais, e incentiva alunos e professores a buscarem soluções diferentes. O documento também direciona para uma seção com problemas mais desafiadores no site da OBMEP.

1. 5
Uma palavra aos alunos e professores
9
Uma palavra aos alunos e professores
O Banco de Quest˜es (BQ) foi concebido para divulgar nas escolas da rede p´blica material
o u
de competi¸˜es de Matem´tica, nacionais ou internacionais. Por isso grande parte do conte´do
co a u
n˜o ´ original, s˜o quest˜es dessas competi¸˜es ou de prepara¸˜o para elas encontradas em
a e a o co ca
diversos sites e apostilas. Aproveitamos para agradecer a todos que mantˆm esses sites com
e
livre acesso pela grande contribui¸˜o que d˜o a tantos alunos e professores.
ca a
Como temos feito desde 2 005, n˜o nos preocupamos com uniformidade. A cada ano o
a
BQ apresenta formato, quantidade e n´ de dificuldade diferentes dos anos anteriores. A
ıvel
linguagem usada nas solu¸˜es ´ bastante informal mas sem comprometer o rigor matem´tico.
co e a
O BQ n˜o ´ um livro did´tico e por isso continuamos a produzi-lo de forma bastante artesanal.
a e a
Incentivamos alunos e professores a procurar solu¸˜es diferentes das aqui apresentadas,
co
com certeza elas existem e podem ser mais interessantes.
Por solicita¸˜o de muitos alunos, retomamos esse ano a sess˜o Desafios aonde os problemas
ca a
requerem mais paciˆncia, mais tempo e mais aten¸˜o. Aproveitamos para informar que temos
e ca
agora no site da OBMEP (www.obmep.org.br ) a sess˜o “Problemas da 15na” com material
a
muito instigante e desafiador para aqueles que gostam de “quebrar a cabe¸a” com problemas
c
de Matem´tica.
a
Os problemas est˜o agrupados em trˆs n´
a e ıveis conforme ´ feito nas provas da OBMEP, mas
e
muitos s˜o interessantes para todos os alunos.
a
Sugest˜es quaisquer (por exemplo, de solu¸˜es diferentes) ou cr´
o co ıticas ser˜o bem recebidas
a
no email: contato@obmep.org.br
Desejamos que esse Banco de Quest˜es proporcione a todos bons momentos de reflex˜o e
o a
descobertas.
Dire¸˜o Acadˆmica da OBMEP
ca e
OBMEP 2009 i

2. 5
Uma palavra aos alunos e professores
9
Organizado por:
• Suely Druck (UFF)
• Maria Elasir Seabra Gomes (UFMG)
Com a colabora¸˜o de:
ca
• Ana Catarina P. Hellmeister (USP/SP)
• F´bio Brochero (UFMG)
a
• Francisco Dutenhefner (UFMG)
Texto j´ revisado pela nova ortografia.
a
ii OBMEP 2009

3. Conte´do
u
Uma palavra aos alunos e professores i
N´ 1
ıvel 1
Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Lista 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Lista 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Lista 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Lista 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Lista 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Lista 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Lista 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Lista 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
N´ 2
ıvel 11
Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Lista 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Lista 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Lista 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Lista 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Lista 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Lista 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Lista 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Lista 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
N´ 3
ıvel 21
Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Lista 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Lista 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Lista 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Lista 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Lista 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Lista 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Lista 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
iii

4. 5
Uma palavra aos alunos e professores
9
Lista 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Desafios 32
Solu¸˜es do N´ 1
co ıvel 35
Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Lista 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Lista 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Lista 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Lista 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Lista 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Lista 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Lista 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Lista 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Solu¸˜es do N´ 2
co ıvel 61
Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Lista 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Lista 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Lista 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Lista 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Lista 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Lista 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Lista 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Lista 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Solu¸˜es do N´ 3
co ıvel 88
Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Lista 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Lista 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Lista 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Lista 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Lista 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Lista 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Lista 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Lista 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Solu¸˜es dos Desafios
co 120
iv OBMEP 2009

5. 5
Lista 1 N´ 1
ıvel
9
N´ 1
ıvel
Lista 1
1. Encontro de amigos – Embora eu esteja certo de que meu rel´gio est´ adiantado 5
o a
minutos, ele est´, na realidade, com 10 minutos de atraso. Por outro lado, o rel´gio do
a o
meu amigo est´ realmente 5 minutos adiantado, embora ele pense que est´ correto. N´s
a a o
marcamos um encontro `s 10 horas e planejamos chegar pontualmente. Quem chegar´
a a
em primeiro lugar? Depois de quanto tempo chegar´ o outro?
a
2. Trabalho comunit´rio – Uma classe tem 22 alunos e 18 alunas. Durante as f´rias, 60%
a e
dos alunos dessa classe foram prestar trabalho comunit´rio. No m´
a ınimo, quantas alunas
participaram desse trabalho?
(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 6 (E) 8
´
3. Area de trap´zios – Unindo quatro trap´zios
e e
iguais de bases 30 cm e 50 cm e lados n˜o pa-
a
ralelos iguais, como o da figura, podemos formar
um quadrado de ´rea 2 500 cm2 , com um “buraco”
a
quadrado no meio. Qual ´ a ´rea de cada trap´zio,
e a e
em cm2 ?
(A) 200 (B) 250 (C) 300 (D) 350 (E) 400
4. Adivinha¸˜o – Pensei em 2 n´meros de dois algarismos, que n˜o possuem algarismos
ca u a
em comum, sendo um o dobro do outro. Al´m disso, os algarismos do menor n´mero
e u
s˜o a soma e a diferen¸a dos algarismos do maior n´mero. Quais s˜o os n´meros?
a c u a u
5. 18 n´meros consecutivos – Escreva 18 n´meros consecutivos de 3 algarismos e veri-
u u
fique que um deles ´ divis´ pela soma de seus algarismos.
e ıvel
Isso ´ sempre verdade. Ou seja: se vocˆ escrever 18 n´meros consecutivos de 3 algaris-
e e u
mos, ent˜o um deles ´ divis´ pela soma de seus algarismos. Mostre este fato.
a e ıvel
OBMEP 2009 1

6. 5
N´ 1
ıvel Lista 2
9
Lista 2
1. Completar uma tabela – Descubra a regra utilizada para as casas j´ preenchidas e
a
complete a tabela. Qual ´ o valor de A?
e
0 1 2 3 4
1 2 5 10
2
3
4 A
2. Procurando m´ltiplos de 9 – Consideremos um conjunto formado por 10 n´meros
u u
naturais diferentes. Se calculamos todas as diferen¸as entre esses n´meros, pelo menos
c u
uma dessas diferen¸as ´ um m´ltiplo de 9?
c e u
3. Correndo numa pra¸a – Um atleta costuma correr
c
15, 5 km ao redor de uma pra¸a retangular de dimens˜es
c o
900 m × 600 m. Ele inicia a corrida sempre do ponto P
situado a 550 m de um dos v´rtices correndo no sentido
e
hor´rio, como mostra a figura. Em que ponto da pra¸a
a c
ele para?
4. Ovos para um bolo – Uma doceira foi ao mercado comprar ovos para fazer 43 bolos,
todos com a mesma receita, que gasta menos de 9 ovos. O vendedor repara que se
tentar embrulhar os ovos que a doceira comprou em grupos de 2 ou de 3 ou de 4 ou de
5 ou de 6 ovos, sempre sobra 1 ovo. Quantos ovos ela usa em cada bolo? Qual o menor
n´mero de ovos que a doceira vai gastar para fazer os 43 bolos?
u
5. C´lculos H e V – Vocˆ consegue colocar os n´meros de 1 a 8
a e u m÷ m m
=
dentro dos c´ ırculos, sem repeti-los, de modo que os c´lculos na
a − ×
horizontal e na vertical sejam corretos? m m
.................................... ....................................
Dica: Quais as possibilidades para a multiplica¸˜o? Quais os
ca
m+ m m
=
poss´ıveis lugares para o n´mero 1?
u
2 OBMEP 2009

7. 5
Lista 3 N´ 1
ıvel
9
Lista 3
1. Cortando uma cartolina – Uma folha retangular de cartolina foi cortada ao longo de
sua diagonal. Num dos peda¸os obtidos, foram feitos 2 cortes paralelos aos 2 lados
c
menores e pelos pontos m´dios desses lados. Ao final sobrou um retˆngulo de per´
e a ımetro
129 cm. O desenho abaixo indica a sequˆncia de cortes.
e
......................................................................................................................
.
. .
. ........
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. - ....
....
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. ........
...
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......................................................................................................................
. . ..
.............
................................................................................................................... .
.
.
Qual era o per´
ımetro da folha antes do corte?
2. A soma errada – A soma ao lado est´ incorreta. Para corrigi-la basta
a 742586
substituir um certo algarismo em todos os lugares que ele aparece na conta +829430
por um outro algarismo. Quais s˜o esses dois algarismos?
a 1212016
3. N´mero de 5 algarismos – Os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 foram usados, cada um uma
u
unica vez, para escrever um n´mero de 5 algarismos a b c d e, tal que: a b c ´ divis´
´ u e ıvel
por 4, b c d por 5, e c d e por 3. Encontre esse n´mero.
u
4. Tabela misteriosa – Complete a tabela 6 × 6 de modo
32 40
que em cada linha e cada coluna apare¸am apenas
c 49
m´ltiplos de um dos n´meros:
u u 22
15
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 . 24
42
Vocˆ pode repetir apenas um n´mero na tabela.
e u
5. Habitantes e esporte – Numa cidade com quase 30 mil habitantes, dois nonos dos
homens e dois quinze avos das mulheres pratica esporte somente nos finais de semana, e
o n´mero de habitantes que n˜o pratica esporte ´ o qu´
u a e ıntuplo dos que praticam esporte
regularmente. Com esses dados, complete a tabela.
N˜o praticam esporte
a Praticam esporte somente Praticam esporte Popula¸˜o
ca
nos finais de semana regularmente
fem. masc. fem. masc. fem. masc. total
8 563 8 322 1 252
OBMEP 2009 3

8. 5
N´ 1
ıvel Lista 4
9
Lista 4
PSfrag replacements
1. Bot˜es luminosos – No mecanismo luminoso da figura,
o
1 1
cada um dos oito bot˜es pode acender as cores verde ou
o
2 8 2
azul. O mecanismo funciona do seguinte modo: ao ser
3
ligado, todos os bot˜es acendem a luz azul, e se aperta-
o
4 3
mos um bot˜o, esse bot˜o e seus vizinhos trocam de cor.
a a 7
5
Se ligarmos o mecanismo e apertarmos sucessivamente os
6
bot˜es 1, 3 e 5, qual ser´ o n´mero de luzes verdes que
o a u 6 4
7
estar˜o acesas no final?
a 5
8
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7
2. Qual ´ o n´mero? – Um n´mero de 6 algarismos come¸a por 1. Se deslocamos esse
e u u c
algarismo 1 da primeira posi¸˜o para a ultima ` direita, obtemos um novo n´mero de 6
ca ´ a u
algarismos que ´ o triplo do n´mero de partida. Qual ´ esse n´mero?
e u e u
3. Jardim variado – Um jardim retangular de 120 m por 80 m foi dividido em 6 regi˜es o
como na figura, onde N, M e P s˜o pontos m´dios dos lados, e R divide o comprimento
a e
na raz˜o 1/3. Em cada regi˜o ser´ plantado um dos seguintes tipos de flor: rosa,
a a a
margarida, cravo, bem-me-quer, violeta e brom´lia, cujos pre¸os, por m2 est˜o indicados
e c a
na tabela. Quais as poss´
ıveis escolhas das flores em cada regi˜o, de modo a gastar o
a
m´ınimo poss´
ıvel?
Tipo Pre¸o por m2
c
rosa 3,50
margarida 1,20
cravo 2,20
bem-me-quer 0,80
violeta 1,70
brom´lia
e 3,00
4. O algarismo 3 – Luis escreveu a sequˆncia de n´meros naturais a partir de 1:
e u
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, · · · .
Quando ele escreveu o algarismo 3 pela 25a vez?
5. Soma de potˆncias – O n´mero 3444 + 4333 ´ divis´ por 5?
e u e ıvel
4 OBMEP 2009

9. 5
Lista 5 N´ 1
ıvel
9
Lista 5
1. Telefonemas – Jo˜o mora em Salvador e seus pais em Recife. Para matar a saudade,
a
ele telefona para seus pais a cada trˆs dias. O primeiro telefonema foi feito no domingo,
e
o segundo telefonema na 4a feira, o terceiro telefonema no s´bado, e assim por diante.
a
Em qual dia da semana Jo˜o telefonou para seus pais pela cent´sima vez?
a e
2. O maior produto – Com os algarismos de 1 a 5 e um sinal X 1 2
de multiplica¸˜o × Clara forma o produto de 2 n´meros, com
ca u
o sinal × entre eles. Como Clara deve colocar os cart˜es para
o
3 4 5
obter o maior produto poss´ıvel?
P
3. O caminho da Joaninha – Dona Joaninha quer atraves-
sar um p´tio com azulejos quadrados numerados como
a
mostra a figura. Ela vai partir do ponto P e quer chegar
ao ponto C andando somente sobre os lados dos azule-
jos. Dona Joaninha n˜o quer ter n´meros primos ` sua
a u a
direita ao longo de todo o percurso. Qual ´ o menor
e
percurso que ela pode fazer? C
................................
........ .....
.....
4. O lugar dos amigos – Sete amigos tra¸aram um triˆngulo, um
c a ..
.
.... .
.
.
...
...................................................
...
..
..
.
.
.
quadrado e um c´
ırculo. Cada um marcou seu lugar com um n´mero:
u
..
.
.
. 1 .
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. ...
.
.
.
. .... .....
2 .
.
.
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..
..
.....
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... ....
.
.
. .... .. .
.
.
. 7 .
.
.
.
.
.
...
.... ...... .
.
.
.
.
. 3 ........
.
.
.
.
.
.
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.
.
4
..... ... .
.
.
.
.......... . ..........
.
.
.. ................... 6
..... ......
....
.
.
.
.
.
.
.
Ana: “Eu n˜o falarei nada.”
a ....
. ....
5
.
.
....
.
.
....................................................
....
............................................................................
..
Bento: “Eu estou dentro de uma unica figura.”
´
Celina: “Eu estou dentro das trˆs figuras.”
e
Diana: “Eu estou dentro do triˆngulo mas n˜o do quadrado.”
a a
Elisa: “Eu estou dentro do triˆngulo e do c´
a ırculo.”
F´bio:
a “Eu n˜o estou dentro de um pol´
a ıgono.”
Guilherme: “Eu estou dentro do c´ırculo.”
Encontre o lugar de cada um.
5. Quadrado perfeito? – Cada um dos cinco n´meros abaixo tem 100 algarismos, e ´
u e
formado pela repeti¸˜o de um ou dois algarismos:
ca
N1 = 333333 . . . 3
N2 = 666666 . . . 6
N3 = 151515 . . . 15
N4 = 212121 . . . 21
N5 = 272727 . . . 27
Algum destes n´meros ´ um quadrado perfeito?
u e
OBMEP 2009 5

10. 5
N´ 1
ıvel Lista 6
9
Lista 6
1. Preenchendo quadradinhos – Complete os quadradinhos com os n´meros 1, 2, 3, 5, 6.
u
+ − × ÷ = 4
2. Os 3 n´meros – Sofia brinca de escrever todos os n´meros de 4 algarismos diferentes
u u
que se pode escrever com os algarismos 1, 2, 4 e 7. Ela soma 3 desses n´meros – todos
u
diferentes – e obt´m 13 983. Quais s˜o esses 3 n´meros?
e a u
3. Preencher uma tabela – Jandira deve preencher uma tabela
4 × 4 que j´ vem com duas casas preenchidas com os n´meros
a u
1 e 2 - veja ao lado. Duas casas s˜o consideradas vizinhas se
a
1 2
tˆm um v´rtice ou um lado em comum.
e e
As regras que ela tem que obedecer s˜o:
a
• uma casa s´ pode ser preenchida se alguma de suas casas vizinhas j´ cont´m um
o a e
n´mero;
u
• ao preencher uma casa, deve-se colocar a soma de todos os n´meros que j´ constam
u a
em suas casas vizinhas.
Qual ´ o maior n´mero que ´ poss´ escrever na tabela?
e u e ıvel
4. Olimp´ ıada de Pequim – Na Olimp´ ıada de Pequim sentaram-se, em uma mesa quadrada,
as mulheres, Maria e Tˆnia, e os homens, Juan e David, todos atletas. Cada um deles
a
pratica um esporte diferente: nata¸˜o, vˆlei, gin´stica e atletismo. Eles estavam sentados
ca o a
da seguinte maneira:
(a) Quem pratica a nata¸˜o estava ` esquerda de Maria.
ca a
(b) Quem pratica gin´stica estava em frente a Juan.
a
(c) Tˆnia e David sentaram-se lado a lado.
a
(d) Uma mulher sentou-se ao lado de quem pratica volei.
Qual dos atletas pratica atletismo?
5. Culturas diferentes – Jorge, que mora em Recife, se corresponde com seu amigo inglˆs
e
Ralph que mora na Inglaterra. Os dois se compreendem muito bem nas duas l´ ınguas,
mas tˆm um problema com as datas: a data 08/10 no Brasil significa 8 de outubro, e na
e
Inglaterra 10 de agosto. Por causa disso, os dois combinaram n˜o se escrever nos dias
a
em que a data for amb´ ıgua. Eles preferem datas como 25/03 que s´ pode significar 25
o
de mar¸o.
c
(a) Em quais das datas a seguir Jorge e Ralph n˜o podem se escrever?
a
(i) 3 de dezembro (ii) 18 de agosto (iii) 5 de maio
(b) Quando ocorre o maior per´
ıodo em que os dois amigos n˜o podem se escrever?
a
6 OBMEP 2009

11. 5
Lista 7 N´ 1
ıvel
9
Lista 7
1. Uma liquida¸˜o – Na liquida¸˜o da loja SUPER-SUPER todos os produtos est˜o 50%
ca ca a
mais baratos, e aos s´bados existe ainda um desconto adicional de 20%. Carla com-
a
prou uma cal¸a antes da liquida¸˜o, e agora ela se lamenta: Nesse s´bado eu teria
c ca a
economizado R$ 50,40 na cal¸a. Qual era o pre¸o da cal¸a antes da liquida¸˜o?
c c c ca
2. N´mero com muitos zeros – Se a ´ o n´mero 0, 000 . . . 000 1, ent˜o qual das express˜es
u e u a o
2009 zeros
a seguir representa o maior n´mero?
u
(A) 3+a (B) 3−a (C) 3a (D) 3/a (E) a/3
3. Corrida das tartarugas – Cinco tartarugas apostaram uma corrida em linha reta e na
chegada a situa¸˜o foi a seguinte: Sininha est´ 10 m atr´s de Olguinha e 25 m ` frente
ca a a a
de Rosinha que est´ 5 m atr´s de Elzinha que est´ 25 m atr´s de Pulinha. Qual foi a
a a a a
ordem de chegada?
4. Que mem´ria... – Esquecinaldo tem p´ssima mem´ria para guardar n´meros, mas
o e o u
o
´tima para lembrar sequˆncias de opera¸˜es. Por isso, para lembrar do seu c´digo
e co o
banc´rio de 5 algarismos, ele consegue se lembrar que nenhum dos algarismos ´ zero,
a e
os dois primeiros algarismos formam uma potˆncia de 5, os dois ultimos formam uma
e ´
potˆncia de 2, o do meio ´ um m´ltiplo de 3 e a soma de todos os algarismos ´ um
e e u e
n´mero ´
u ımpar. Agora ele n˜o precisa mais decorar o n´mero porque ele sabe que ´ o
a u e
maior n´mero que satisfaz essas condi¸˜es e que n˜o tem algarismos repetidos. Qual ´
u co a e
esse c´digo?
o
5. Uma fra¸˜o irredut´
ca ıvel – Encontre uma fra¸˜o irredut´ tal que o produto de seu
ca ıvel
numerador pelo denominador seja 2 × 3 × 4 × 5 × . . . × 10. Quantas dessas fra¸˜es
co
irredut´
ıveis existem?
OBMEP 2009 7

12. 5
N´ 1
ıvel Lista 8
9
Lista 8
1. Transformar em decimal – Escreva o resultado das seguintes express˜es na forma
o
decimal:
2 5 5 2
(a) 7× + 16 × (b) 5− 2÷ (c) 1+ 3
3 12 3
1+
1+4
2. Uma sequˆncia especial – Escrevendo sucessivamente os n´meros naturais, obtemos
e u
a sequˆncia:
e
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 . . .
Qual algarismo est´ na 2 009a posi¸˜o dessa sequˆncia?
a ca e
3. Cortar um retˆngulo – Como cortar um retˆngulo de 13 cm por 7 cm em 13 retˆngulos
a a a
diferentes?
4. Medida de ˆngulo – Na figura, AOD e B OY s˜o ˆngulos retos e a medida de DOY
a a a
est´ entre 40◦ e 50◦ . Al´m disso, os pontos C e Y est˜o sobre a reta r, enquanto
a e a
D e E est˜o sobre a reta s. Os poss´
a ıveis valores para a medida de AOC variam de:
(A) 30◦ a 40◦
(B) 40◦ a 50◦
(C) 50◦ a 60◦
(D) 40◦ a 60◦
(E) n˜o podem ser determinados
a
√
5. Per´ımetros e ´reas – Um quadrado tem 3 √ 3 cm de lado, e as dimens˜es de um
a √ √ + o
ımetros, s˜o 72 + 3 6 e 2. Qual dos dois tem maior ´rea? E
retˆngulo, em cent´
a a a
maior per´
ımetro?
6. C´lculo de ˆngulo – Encontre B AD, sabendo
a a
que DAC = 39◦ , AB = AC e AD = BD.
8 OBMEP 2009

13. 5
Lista 9 N´ 1
ıvel
9
Lista 9
1. O caminho da formiga – Uma formiga sai de um ponto A, anda 7 cm para a esquerda,
5 cm para cima, 3 cm para a direita, 2 cm para baixo, 9 cm para a direita, 2 cm para
baixo, 1 cm para a esquerda e 1 cm para baixo, chegando no ponto B. Qual ´ a distˆncia
e a
d entre A e B?
(A) 0 cm (B) 1 cm (C) 4 cm (D) 5 cm (E) 7 cm
2. Menino mentiroso – Jo˜ozinho mente nas ter¸as-feiras, quintas-feiras e s´bados e o
a c a
resto dos dias fala a verdade. Um dia Pedrinho encontra com Jo˜ozinho e tˆm o seguinte
a e
di´logo:
a
• Pedrinho pergunta: Que dia ´ hoje?
e
• Jo˜ozinho responde: S´bado.
a a
• Pedrinho pergunta: E que dia ser´ amanh˜?
a a
• Jo˜ozinho responde: Quarta-feira.
a
Que dia da semana o Pedrinho encontrou com o Jo˜ozinho?
a
3. Encontre os 4 n´meros – Encontre quatro n´meros distintos de 3 algarismos, tais que
u u
a soma de trˆs quaisquer deles ´ divis´ pelo quarto n´mero.
e e ıvel u
4. Colando 6 triˆngulos – Construa 6 triˆngulos
a a
equil´teros, o primeiro com lado de comprimento 1 cm e
a
os triˆngulos seguintes com lado igual a metade do lado
a
do triˆngulo anterior, como indicado na figura ao lado.
a
Qual ´ o per´
e ımetro desta figura?
5. Os livros da Elisa – Elisa tem 24 livros de ciˆncias e outros de matem´tica e litera-
e a
1
tura. Se Elisa tivesse um livro a mais de matem´tica, ent˜o de seus livros seria de
a a
9
matem´tica e um quarto de literatura. Se Elisa tem menos que 100 livros, quantos livros
a
de matem´tica ela possui?
a
OBMEP 2009 9

14. 5
N´ 1
ıvel Lista 10
9
Lista 10
1. Divis˜o por 9 –
a
(a) Listemos os primeiros 20 092 009 n´meros naturais. Em seguida, substitu´
u ımos,
sucessivamente, cada n´mero pela soma dos seus algarismos, at´ obtermos uma
u e
lista de n´meros com apenas um algarismo. A lista tem mais algarismos 4 ou 5?
u
Quantos 9 tem a lista?
(b) Aplicando o mesmo processo ao n´mero 32 009 , isto ´, substituindo o n´mero pela
u e u
soma dos seus algarismos, qual ´ o n´mero de apenas um algarismo obtido?
e u
(c) E para o n´mero 172 009 ?
u
2. Uma brincadeira na sala de aula – A professora Raquel inventou a seguinte brincadeira:
escreva um n´mero no quadro, se ele for ´
u ımpar acrescente 3 unidades ao n´mero, e se
u
ele for par divida o n´mero por 2.
u
Esta opera¸˜o pode ser feita diversas vezes. A professora est´ interessada em obter no
ca a
final o n´mero 1 e perguntou para a classe: Como obter o n´mero 1 ap´s 3 opera¸˜es?
u u o co
E ap´s 4 opera¸˜es? E ap´s 5 opera¸˜es?
o co o co
3. Calcule a idade – Laura e sua av´ Ana acabaram de descobrir que, no ano passado,
o
suas idades eram divis´
ıveis por 8 e, no pr´ximo ano, ser˜o divis´
o a ıveis por 7. Vov´ Ana
o
ainda n˜o ´ centen´ria. Qual ´ a idade de Laura?
a e a e
4. Divis˜es e restos – O dobro de um n´mero dividido por 5 deixa resto 1. Qual o resto
o u
da divis˜o desse n´mero por 5?
a u
5. Preenchendo o c´ ırculo – Cada um dos sinais , , , e representa um n´mero u
de 1 algarismo. Descubra quem s˜o eles e complete o n´mero que falta no c´
a u ırculo em
branco.
× × / × +
47 − − 423 − − − 282 − −
−→ − −→ −→ − − → 1448
−−
10 OBMEP 2009