Matemática

CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS

O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Observe que a sucessão dos números naturais começa pelo zero e cada número seguinte é obtido acrescentando
número acrescentando-se uma
unidade ao anterior.

Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos
considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Na
lo propriedades
verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numeração para suprir a deficiência de algo
nulo.

Considerando-se a sucessão:

O menor número natural é o zero (0).

Não existe o maior número natural, ou seja, ela é infinita.

Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos.

Exemplos:

(a) 1 e 2 são números consecutivos.
(b) 5 e 6 são números consecutivos.
(c) 50 e 51 são números consecutivos.

Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é
sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente.

Exemplos:

(a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos.
(b) 5, 6 e 7 são consecutivos.
(c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos.

O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma seqüência real seja um outro
objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação seqüência dos números naturais pares para
vezes
representar o conjunto dos números naturais pares:

P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12,...)

O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também cham
chamado, a seqüência dos
números ímpares.

I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,...}

Expressão Numérica com Números Naturais

Uma expressão numérica é como se alguém tivesse anotado, em uma única linha, de uma folha de caderno, alguns cálculos
a serem efetuados.

Exemplo: 2 + 3 x 4 - 1 + 8

Fazer estes cálculos todo mundo sabe. Entretanto, o que muitas vezes nos faz errar estes cálculos, é a ordem em que se
deve efetuar cada uma das contas da expressão numérica.

Portanto precisamos seguir a ordem certa, para o resu
resultado ser correto.

1

Veja:

* Nas expressões numéricas que apresentam somente adições e subtrações, as operações são feitas na mesma ordem em
que elas estão, ou seja, da esquerda para a direita.

Por exemplo:

15 + 7 + 12 -13 =
22 + 12 - 13 =
34 - 13 = 21

* Nas expressões numéricas efetuamos as multiplicações antes das adições.

Por exemplo:

28 + 7 + 15 x 3
= 28 + 7 +45
= 35 + 45
= 80

* Nas expressões numéricas efetuamos a divisão antes da subtração.

Por exemplo:

87 - 36 : 3 - 8
= 87 - 12 - 8
=75 - 8 = 67

* Nas expressões numéricas efetuamos a multiplicação e a divisão antes da adição e da subtração.

Agora vamos calcular a expressão citada no inicio deste capitulo:

2+3x4-1+8x2
= 2 + 12 – 1 + 4
=14 – 1 + 4
= 13 + 4 = 17

Para determinarmos uma expressão numérica que apareça potenciação, efetua se primeiramente a potenciação, logo
efetua-se
efetua-se as divisões e multiplicações, e por fim a subtração e adição.
se

OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM NÚMEROS

* Adição

A primeira operação fundamental na Matemática é a adição. Esta operação nada mais é que o ato de adicionar ou adir
undamental
algo. É reunir todas as frações ou totalidades de algo.

A adição é chamada de operação. A soma dos números chamamos de resultado da operação.

Relembrar: 10 + 5 = 15

10 e 5 são as parcelas; 15 é a soma ou resultado da operação de adição. A operação realizada acima denomina
denomina-se, então,
ADIÇÃO.
A adição de dois ou mais números é indicada pelo sinal +.

Para calcular a adição, colocamos os números em ordem de unidade, dezena, centena e milhar. Feito isto pode ser efetuada
de
a soma da operação adição.

Exemplo:

2

1.253 + 2.715

MILHAR CENTENA DEZENA UNIDADE
1 2 5 3
2 7 1 5

Resultado: Adiciona-se 1 milhar a 2 milhares = 3 milhares (3 mil), adiciona e 2 centenas a 7 centenas (9 centenas), adiciona
se adiciona-se adiciona-
se 5 dezenas a 1 dezena (6 dezenas), adiciona se 3 unidades a 5 unidades(8 unidades), então 3.968 é o resultado (ou seja, a
adiciona-se
soma) da operação adição dos números 1.253+2.715.

Diante da operação de adição, são retiradas algumas propriedades, que serão definidas:

1) Observe: 4 + 5 = 9 4 + 5 = 5 + 4 onde 5 + 4 = 9

Deduz-se :
a. 4 + 5 e 5 + 4 possuem a mesma soma.
b. As ordens das parcelas não alteram o resultado da soma.
c. A propriedade que permite trocar ou mudar (comutar, permutar) a ordem das parcelas é a propriedade comutativa.
A propriedade comutativa da adição é representada pela sentença: a + b = b + a e é denominada comutativa da adição.

2) Consideramos três parcelas 5, 4, 2, assim são indicadas: (5+4)+2. Efetuando a operação de adição entre parênteses temos
(5+4)+2.
o resultado a soma 9, na seqüência adicionamos a número 2, e mediante isto temos o resultado final a soma 11.
Isto é: (5+4) + 2 = 11 (resultado soma final)

Observe, agora, a soma final conforme outra indicação:
orme

5 + (4+2) = 11 (resultado soma final).

Deduz-se :

Na adição de três parcelas, é indiferente associar as duas primeiras e posteriormente a terceira, ou associar as duas últimas
e posteriormente associar a primeira. Esta propriedade tem como denominação propriedade associativa.
propriedade

Assim fixa-se esta propriedade: a + (b+c) = (a+c) + b
se

3) Tendo como base os últimos exemplos, conclui se que existe um número que não altera a o resultado final da soma,
conclui-se
mesmo comutando a ordem das parcelas. Este número é o zero (0).

(Neutro da adição)
Assim fixa-se esta propriedade: a+0 = 0+a = a (
se

* Subtração

A subtração é o ato ou efeito de subtrair algo. É diminuir alguma coisa. O resultado desta operação de subtração denomina
denomina-
se diferença ou resto.

Relembrar: 9 – 5 = 4

Essa igualdade tem como resultado a subtração.

Os números 9 e 5 são os termos da diferença 9 Ao número 9 dar-se o nome de minuendo e 5 é o subtraendo.
9-5. se

O valor da diferença 9-5 é 4, este número é chamado de re
5 resto ou excedente de 9 sobre 5.

Veja as análises abaixo:
1. 10 – 10 = 0 > O minuendo pode ser igual ao subtraendo.
2. 9 – 11 > é impraticável em N, é o mesmo que escrever 9 – 11 não pertence N.
Assim, o subtraendo deve ser menor ou igual ao minuendo, para que uma operação de subtração se realize em N.

3

A operação de subtração nem sempre é viável entre dois números naturais. Então, é necessário que em uma subtração em
N, o minuendo seja maior ou igual ao subtraendo.

Diante da operação de subtração, são retiradas algumas propriedades, que serão definidas:
a. O conjunto N não é fechado em relação à operação de subtração, pois 4 – 5 não pertence a N.
b. A subtração em N não possui elemento neutro em relação à operação de subtração:

6 – 0 = 6 Entretanto: 0 – 6 ≠ 6

Logo: 0 – 6 ≠ 6 -0

c. A subtração no conjunto N não admite propriedade comutativa, pois: 4 – 5 ≠ 5 – 4.

d. A subtração no conjunto N não aceita a propriedade associativa, pois (10 – 4) – 2 ≠ 10 – (4
(4-2)
A operação de subtração pode ser consid
considerada como a operação inversa da adição.

Considerando:

7 + 2 = 9 “equivale a” 7= 9 – 2
7 + 2 = 9 “equivale a” 2= 9 - 7

Concluindo: a) A subtração é inversa a adição. b) Uma das parcelas é igual a soma menos a outra.

Observe esta sentença:

Y + a = c ou a + y = c

Suponha que a e c são dois números naturais conhecidos e x também é um número natural, mas desconhecido. De que
modo é possível calcular o valor de x?

Desta forma: a + c = a ou a + y = c > y = a - c

* Multiplicação

É a ação de multiplicar. Denomina-se a operação matemática, que consiste em repetir um número, chamado multiplicando,
se
tantas vezes quantas são as unidades de outro, chamado multiplicador, para achar um terceiro número que representa o
produto dos dois.

Definindo ainda, multiplicação é a adição de parcelas iguais, onde o produto é o resultado da operação multiplicação; e os
o
fatores são os números que participam da operação.

a. b = c a.b > fatores c > produto da operação.

De um modo mais amplo e um pouco ava
avançado, podemos expressar:

A + a = a x 2 ou a.2 ou simplesmente 2a

Y + y +y = y x 3 ou y.3 ou simplesmente 3y

W+w+w+w+w+w = w x 6 ou w.6 ou simplesmente 6w

Diante da operação da multiplicação, são retiradas algumas propriedades, que serão definidas:
definidas:
a. a propriedade que permite comutar (ou trocar/mudar) a ordem dos fatores é a propriedade comutativa, no caso da
operação de multiplicação e pode ser assim simbolizada:

a . b = b . a ou a x b = b x a Comutativa da multiplicação

b. para fazer o cálculo 4.5.6, pode ser usado este caminho :
lo

4

(4.5) . 6 > Calcula-se primeiro o que se encontra dentro dos parênteses (que é 20), em seguida multiplica por 6, dando o
se multiplica-se
resultado = 120
A essa regra de associar fatores da operação multiplicação chama associativa da multiplicação.
chama-se ciativa

c. A propriedade comutativa nos permite que seja usado:

1 . x = x ou x.1 = x

É fácil checar que qualquer que seja o número colocado no lugar do X, terá como produto da operação o próprio X.

Então podemos notar que o elemento neutro da multiplicação é o número 1.
nto

d. Multiplicando-se dois números naturais o resultado será sempre um número natural que pode ser traduzido a
se
propriedade do fechamento da multiplicação

A pertence N e B pertence N (a.b) pertence N

* Divisão

É o ato de dividir ou fragmentar algo. É a operação na matemática em que se procura achar quantas vezes um número
contém em outro ou mesmo pode ser definido como parte de um todo que se dividiu.

À divisão dá o nome de operação e o resultado é chamado de Quociente.

1) A divisão exata

Veja: 8 : 4 é igual a 2, onde 8 é o dividendo, 2 é o quociente, 4 é o divisor, 0 é o resto

A prova do resultado é: 2 x 4 + 0 = 8

Propriedades da divisão exata
a. Na divisão em N não vale o fechamento, pois 5 : 3 não pertence a N
b. O conjunto N não têm elemento neutro em relação a divisão, pois 3:1 = 3, entretanto 1:3 não pertence a N. Logo 3:1 é
diferente de 1:3
c. A divisão em N não tem a propriedade comutativa, pois 15 : 5 é diferente de 5: 15
d. A divisão em N não tem a propriedade associativa, pois (12:6) : 2 = 1 é diferente de 12 : (6:2) = 4
Pode-se afirmar que a divisão exata tem somente uma propriedade.
se

Observe este exemplo: (10 + 6) : 2 = 16 :2 = 8
(10+6):2 = 10:2 + 6 :2 = 8
O quociente não sofreu alteração alguma permanecendo o mesmo 8. Chamamos então esta propriedade de distributiva da
lguma
divisão exata válida somente para direita, com relação às operações de adição e subtração.
,

Um dos mandamentos da matemática é JAMAIS DIVIDA POR ZERO. Isto significa dizer que em uma operação o divisor tem
ue
que ser maior do que zero.

2) A divisão não-exata

Observe este exemplo: 9 : 4 é igual a resultado 2, com resto 1, onde 9 é dividendo, 4 é o divisor, 2 é o quociente e 1 é o
resto.


De um modo geral na divisão :

Operação divisão exata: D:d = q > d.q = D, onde D = dividendo, d = divisor, q = quociente e o resto é subentendido “igual a
zero”.

Operação divisão não-exata : D = d.q + r, onde D = dividendo, d = divisor, q = quociente, r é o resto.
exata quociente,

5

POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS
y
Dados dois números naturais x e y, a expressão x , representa um produto de y fatores iguais ao número x, ou seja:
y
x = x . x . x . x ... x . x . x
y vezes

O número que se repete como fator denomin se base, que neste caso é x. O número de vezes que a base se repete é
denomina-se
denominado expoente, que neste caso é o y. O resultado denomina se potência. Esta operação não passa de uma multiplicação
denomina-se
com fatores iguais.

Exemplos:
3
• 2 =2.2.2=8
3
• 4 = 4 . 4 . 4 = 64

Algumas Propriedades da Potenciação
a. Sendo a base igual a 1, com qualquer expoente natural, sua potência será sempre 1.

Exemplos:
3
1 =1.1.1=1
7
1 =1.1.1.1.1.1.1=1
o
b. Se x é um número natural "não nulo" então a potência x será sempre 1.

Exemplos:
o
x =1
o
5 =1
o
49 = 1
1
c. Qualquer que seja o número natural x diferente de zero, com expoente igual a 1, a potência x será igual a x (ele
mesmo).

Exemplos:
1
5 =5
1
64 = 64

d. Toda potência de 10 é o número formado pelo algarismo 1 seguido de tantos zeros quantos forem as unidades do
algarismo
expoente.

Exemplos:
3
10 = 1000
8
10 = 100.000.000
o
10 = 1

RADICIAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS

Radiciação de ordem n é o processo pelo qual dado um número natural a devemos determinar um número natural b tal que:

n
b =a

Onde n é um número natural. É o processo inverso da potenciação.

Neste trabalho, representaremos a operação de radiciação por.

n 1/n
R [a], a , pot(a,1/n), pow(a,1/n),

Que se lê: raiz n-ésima de a. Uma notação simples e muito comum no meio científico é aquela que usa o acento circunflexo:
ésima
a^(1/n).

6

Raiz quadrada: A raiz quadrada de um número não negativo (não somente natural) é um outro número não negativo b tal
que:

2
b =a

1/2
A raiz quadrada de um número a>0 pode ser denotada p a .
0 por

Exemplo: Para obter a raiz quadrada de 36 deve se obter o valor numérico de b de forma que:
deve-se

2
b = b × b = 36

Neste trabalho, usaremos o processo de tentativa, para dividir 36 por seus divisores até que o divisor seja igual ao quocient
quociente

36÷2=18, 36÷3=12, 36÷4=9, 36÷6=6

Portanto 6 é a raiz quadrada de 36.

Raiz cúbica: A raiz cúbica de um número (não somente natural) a é um número b tal que:
3
b =b.b.b=a

1/3
A raiz cúbica de um número a pode ser denotada por a .

Exemplo: Para determinar a raiz cúbica de 64, deve obter um número b de forma a obter.
aiz deve-se

3
b =b×b×b=64

Por tentativa, temos:

1×1×1=1, 2×2×2=8, 3×3×3=27, 4×4×4=64

Portanto 4 é raiz cúbica de 64.

Em estudos mais avançados, pode-se aprender a extrair a raiz quadrada ou a raiz cúbica de um número não
se
necessariamente natural, com qualquer precisão que se queira.

Exercícios

01 – O consecutivo e o antecedente de um número natural n serão respectivamente :

02 – Se n é par, o consecutivo par de n será ........... Se n é ímpar, o consecutivo ímpar de n será ...........

03 – O consecutivo e o antecedente de um número par será, necessariamente, um número :

04 – Se n é um número natural significativo, diga se são números pares ou ímpares, as expressões abaixo : 2n +1 ; 8n – 6 ;
6n – 1 ; 5n + 3

05 – Quantas classes e quantas ordens possui um número de 8 algarismos ?

06 – Determine o número formado por : 5 dezenas de milhar, 2 unidades de milhar, 7 unidades de 3ª ordem e 48 unidades
simples.

07 – No número formado por 5 unidades de 4ª ordem, 3 unidades de 3ª ordem e 7 unidades simples, o Valor relativo do
unidades
algarismo 3 acrescido do valor absoluto do algarismo 5 é :

08 – A soma dos valores relativos dos algarismos de um número é sempre igual ao ..................... .

09 – Em que ordem a diferença entre os valores relativo e absoluto de um algarismos é nula ?

7

10 – A diferença entre o V.A. e o V.R. de um algarismo em um número é 396. Que algarismos é esse ? e que ordem ele ocupa
nesse número ?

11 – Quantas dezenas possui o número cujo triplo da soma dos valores relativos de seus algarismos é 873 ?

12 – Qual é o maior e o menor número natural de dois algarismos ?

13 – Qual é o maior e o menor número de dois algarismos diferentes ?

14 – Qual é o maior e o menor número natural de três algarismos diferentes?
o

15 – Qual é o maior e o menor número natural de três algarismos pares e diferentes ?

16 – Qual é o maior e o menor número de quatro algarismos, significativos e diferentes ?

17 – Qual é o maior e o menor número par de quatro algarismos, significativos e diferentes ?

18 – Qual é o maior e o menor número ímpar de quatro algarismos diferentes ?

19 – Qual é o maior e o menor número de cinco algarismos ímpares e diferentes ?

20 – Determine a diferença entre o menor número par de quatro algarismos diferentes e o maior número de 3 algarismos
a
ímpares e diferentes.

21 – Quantos algarismos utilizo para escrever os 150 primeiros números naturais ?

22 – Para escrevermos de 27 até 498, inclusive, utilizamos ............. números e .............. algarismos .

23 – Quantos algarismos serão necessários para escrevermos de 33 até 1.498 ?

24 – Quantos algarismos são necessários para se escrever os números pares situados entre 63 e 709 ?
escrever

25 – Quantos algarismos serão necessários para se escrever os números ímpares situados entre 45 e 585?

26 – Quantos algarismos são necessários para escrevermos todos os números pares de três algarismos?

27 – Quantos algarismos utilizo ao escrever todos os múltiplos de 3 compreendidos entre 23 e 314 ?

28 – Quantos algarismos serão utilizados para escre vermos todos os múltiplos pares de 7 compreendidos no intervalo
escre-vermos
numérico 42, 43, 44, ....444 ?

29 – Quantos algarismos são necessários para escre
escre-vermos os números de n algarismos ?

30 – Quantos tipos de um algarismos são necessários para numerar as páginas de um livro de 314 páginas numeradas ?

31 – Foram gastos para paginar um livro 792 tipos de um algarismo. Quantas páginas tem esse livro ?

32 – Um aluno escreveu, sem separar os algarismos, a sucessão dos números naturais maiores que zero. Que algarismo
ocupará a 1.467º posição ?

33 – Um aluno escreveu, sem separar os algarismos, a sucessão dos números naturais maiores que zero. Que algarismo
ocupará a posição de número 454 ?

34 – Ao escrevermos todos os números naturais menores que 1.236, quantas vezes o algarismo 5 aparece n ordem das
na
unidades simples ?

35 – Ao escrevermos todos os números naturais menores que 2.235, quantas vezes o algarismo 2 aparece na ordem das
centenas simples ?

8

36 – Na sucessão dos naturais : 0, 1, 2, ........4.639, quantas vezes aparece o algarism 6
algarismo

37 – Qual é o número que aumenta de 513 unidades quando acrescentamos a sua direita o algarismo “0” ?

38 – Qual é o número que aumenta de 346 quando acrescentamos um 4 à sua direita ?

39 – Qual é o número que aumenta de 2 793 quando acrescentamos à sua direita o número 21 ?
acrescentamos

40 – Qual é o maior número ímpar de dois algarismos que aumenta de 180 unidades quando colocamos um zero entre seus
dois algarismos ?

41 – Um aluno digitou em seu PC a sucessão dos números naturais até 465. Por um problema em seu teclado, cada vez que
problema
era digitado o algarismo 7,aparecia em seu lugar o algarismo 3. Dessa forma, quantas vezes apareceu o dígito 3 nessa sucessão ?

42 – Um jovem escreveu, sem separar os algarismos, a sucessão dos naturais menores que 1.279. Q
Quantas vezes nessa
sucessão aparecerá o grupo “12” ?

43 – ( Colégio Naval ) – Determinar o números de algarismos necessários para escrever os números ímpares de 5 até 175
inclusive.

44 – ( Colégio Naval ) – Um aluno escreveu todos os números naturais de 1 até 2.850. Quantas vezes ele escreveu o
algarismo 7 ?

45 – ( Colégio Naval ) – Um número de seis algarismos começa, à esquerda, pelo algarismo 1. Levando esse algarismo 1,
Levando-se
para o último lugar, à direita, conservando a seqüência dois demais algarismos, o novo número é o triplo do número primitivo.
algarismos,
O número primitivo é :

A) 100.006
B) múltiplo de 11
C) múltiplo de 4
D) maior que 180 000
E) divisível por 5

46 – ( XXII Olimpíada Brasileira de Matemática ) – Os números inteiros positivos de 1 a 1.000 são escritos lado a lado, em
ordem crescente, formando a seqüência: 123456789101112131415...9991000. Nessa seqüência, quantas vezes aparece o
grupo "89"?

a) 98 b) 32 c) 22 d) 89 e) 21

47 – ( XXIII Olimpíada Brasileira de Matemática ) – São escritos todos os números de 1 a 999 nos quais o algarismo 1
aparece exatamente 2 vezes (tais como, 11, 121, 411, etc). A soma de todos estes números é:

a) 6882 b) 5994 c) 4668 d) 7224 e) 3448

48 – ( EFEI – 2000 ) Qual é o número natural de dois algarismos que fica aumentado de 178 unidades quando
dois
acrescentamos, à sua direita, o algarismo 7?
49 – ( XXIII Olimpíada Brasileira de Matemática ) – São escolhidos dois números inteiros entre 1 e 100 inclusive, tais que a
diferença é 7 e o produto é múltiplo de 5. De quantas maneiras pode ser feita a escolha ?
tiplo
50 – ( Olimpíada Brasileira de Matemática ) – O número 10 pode ser escrito de duas formas como soma de dois números
primos: 10 = 5 + 5 e 10 = 7 + 3. De quantas maneiras podemos expressar o número 25 como uma soma de dois números primos
?

A) 4 B) 1 C) 2 D) 3 E) nenhuma

51 – ( EsPeCEx ) Empregaram-se 1.507 algarismos para escrever números inteiros e consecutivos, dos quais o men é 23. O
se menor
maior deles será :

52 – ( Questão Desafio 1 ) – Quantos algarismos utilizo para escrever todos os múltiplos naturais de 3 inferiores a 330 e que
não sejam múltiplos de 5.

9

53 – ( Questão Desafio 2 ) – Quantos algarismos “3” utilizo para escrever todos os números naturais começando no 33 e
escrever
terminando no número 333 ?

GABARITO

01) n + 1 e n – 1 02) n + 2 e n – 2
03) ímpar 04) 2n +1 e 6n – 1 è impar
8n – 6 è par
5n + 3 è depende de n
05) 8 ordens e 3 classes 06) 52.748
07) 305 08) próprio número
09) unidades simples 10) 4 e 3ª ordem
11) 9 dezenas 12) 99 e 10
13) 98 e 10 14) 987 e 102
15) 204 e 864 16) 9.876 e 1.234
17) 9.876 e 1.234 18) 9.875 e 1235
19) 13.579 e 97.531 20) 49
21) 340 22) 472 e 1.343
23) 4.830 24) 951
25) 783 26) 1.350
27) 265 28) 82
n −1 30) 1.887
29) 9n x 10 para n>1
31) 300 páginas 32) 5
33) 1 34) 124
35) 236 36) 1.364
37) 57 38) 38
39) 28 40) 29
41) 273 42) 93
43) 207 44) 865
45) letra b 46) 23
47) letra a 48) 19
49) 37 maneiras 50) 1 è 2 + 23
51) 400 52) 234
53) 636

Numeração decimal

Introdução
A figura nos mostra um paralelepípedo com suas principais dimensões em centímetros.

Essas dimensões são apresentadas sob a forma de notação decimal, que corresponde a uma outra forma de re
, representação
dos números racionais fracionários.
A representação dos números fracionária já era conhecida há quase 3.000 anos, enquanto a forma decimal surgiu no século
XVI com o matemático francês François Viète.

10

O uso dos números decimais é bem superior ao dos números fracionários. Observe que nos computadores e nas máquinas
ao
calculadoras utilizamos unicamente a forma decimal.

Frações Decimais
Observe as frações:

Os denominadores são potências de 10.

Assim:
Denominam-se frações decimais, todas as frações que apresentam potências de 10 no denominador.
, frações

Números Decimais
O francês Viète (1540 - 1603) desenvolveu um método para escrever as frações decimais; no lugar de frações, Viète
escreveria números com vírgula. Esse método, modernizado, é utilizado até hoje.
Observe no quando a representação de frações decimais através de números decimais:

Fração Decimal = Números Decimais

= 0,1

= 0,01

= 0,001

= 0,0001

Fração Decimal = Números Decimais

= 0,5

= 0,05

= 0,005

= 0,0005

Fração D
Decimal = Números Decimais

= 11,7

= 1,17

11

= 0,117

= 0,0117

Os números 0,1, 0,01, 0,001; 11,7, por exemplo, são números decimais.
Nessa representação, verificamos que a vírgula separa a parte inteira da parte decimal.

Leitura dos números decimais
No sistema de numeração decimal, cada algarismo, da parte inteira ou decimal, ocupa uma posição ou ordem com as
seguintes denominações:

Centenas
Dezenas
Unidades
Partes inteiras

Décimos
Centésimos
Milésimos
Décimos milésimos
Centésimos milésimos
Milionésimos
Partes decimais

Leitura
Lemos a parte inteira, seguida da parte decimal, acompanhada das palavras:
décimos ........................................... : quando houver uma casa decimal;
centésimos....................................... : quando houver duas casas decimais;
.
milésimos......................................... : quando houver três casas decimais;
décimos milésimos ........................ : quando houver quatro casas decimais;
centésimos milésimos ................... : quando houver cinco casas decimais e, assim sucessivamente.
quando

Exemplos:
1,2: um inteiro e dois décimos;
2,34: dois inteiros e trinta e quatro centésimos
Quando a parte inteira do número decimal é zero, lemos apenas a parte decimal.

Exemplos:
0,1 : um décimo;
0,79 : setenta e nove centésimos

Observação:
1. Existem outras formas de efetuar a leitura de um número decimal. Observe a leitura do número 5,53:

Leitura convencional: cinco inteiros e cinqüenta e três centésimos;

Outras formas: quinhentos e cinqüenta e três centésimos;
inqüenta
Cinco inteiros, cinco décimos e três centésimos.

12

2. Todo números natural pode ser escrito na forma decimal, bastando colocar a vírgula após o último algarismo e
acrescentar zero(s). Exemplos:
4 = 4,0 = 4,00 75 = 75,0 = 75,00

Transformação de números decimais em frações decimais

Observe os seguintes números decimais:

• 0,8 (lê-se "oito décimos"), ou seja, .

• 0,65 (lê-se "sessenta e cinco centésimos"), ou seja,
se .

• 5,36 (lê-se "quinhentos e trinta e seis cent
se centésimos"), ou seja, .

• 0,047 (lê-se "quarenta e sete milésimos"), ou seja,
se

Verifique então que:

Assim:
Um número decimal é igual à fração que se obtém escrevendo para numerador o número sem vírgula e dando para
denominador a unidade seguida de tantos zeros quantas forem as casas decimais.

Transformação de fração decimal em número decimal
Observe as igualdades entre frações decimais e números decimais a seguir:

13

Podemos concluir, então, que:
Para se transformar uma fração decimal em número decimal, basta dar ao numerador tantas casas decimais quantos forem
os zeros do denominador.

Decimais equivalentes
As figuras foram divididas em 10 e 100 pares, respectivamente. A seguir foram coloridas de verde escuro 4 e 40 destas parte,
respectivamente. Observe:

Verificamos que 0,4 representa o mesmo que 0,40, ou seja, são decimais equivalentes.
Logo, decimais equivalentes são aqueles que representam a mesma quantidade.

Exemplos:
0,4 = 0,40 = 0,400 = 0,4000 8 = 8,0 = 8,00 = 8,000

2,5 = 2,50 = 2,500 = 2,5000 95,4 = 95,40 = 95,400 = 95,4000
5,4

Dos exemplos acima, podemos concluir que:

Um número não se altera quando se acrescenta ou se suprime um ou mais zeros à direita de sua parte decimal.

Comparação de números decimais
Comparar dois números decimais significa estabelecer uma relação de igualdade ou de desigualdade entre eles.
ica
Consideremos dois casos:

1º Caso: As partes inteiras
O maior é aquele que tem a maior parte inteira.

Exemplos:
3,4 > 2,943, pois 3>2.
10,6 > 9,2342, pois 10 > 9.

2º Caso: As partes inteiras são iguais
O maior é aquele que tem a maior parte decimal. É necessário igualar inicialmente o número de casas decimais
acrescentando zeros.

Exemplos:
• 0,75 > 0,7 ou 0,75 > 0,70 (igualando as casas decimais), po 75 > 70.
pois
• 8,3 > 8,03 ou 8,30 > 8,03 (igualando as casas decimais ), pois 30 > 3.

14

RESOLUÇÃO DE PROBLEM
PROBLEMAS

ADIÇÃO

A primeira operação fundamental na Matemática é a adição. Esta operação nada mais é que o ato de adicionar ou adir
algo. É reunir todas as frações ou totalidades de algo.
as

A adição é chamada de operação. A soma dos números chamamos de resultado da operação.

Relembrar: 10 + 5 = 15

10 e 5 são as parcelas; 15 é a soma ou resultado da operação de adição. A operação realizada acima d
denomina-se, então,
ADIÇÃO.
A adição de dois ou mais números é indicada pelo sinal +.

Para calcular a adição, colocamos os números em ordem de unidade, dezena, centena e milhar. Feito isto pode ser efetuada
a soma da operação adição.

Exemplo:

1.253 + 2.715

MILHAR CENTENA DEZENA UNIDADE
1 2 5 3
2 7 1 5

Resultado: Adiciona-se 1 milhar a 2 milhares = 3 milhares (3 mil), adiciona se 2 centenas a 7 centenas (9 centenas), adiciona
se adiciona-se adiciona-
se 5 dezenas a 1 dezena (6 dezenas), adiciona 3 unidades a 5 unidades(8 unidades), então 3.968 é o resultado (ou seja, a
adiciona-se
soma) da operação adição dos números 1.253+2.715.

Diante da operação de adição, são retiradas algumas propriedades, que serão definidas:

1) Observe: 4 + 5 = 9 4 + 5 = 5 + 4 onde 5 + 4 = 9

Deduz-se :
1. 4 + 5 e 5 + 4 possuem a mesma soma.
2. As ordens das parcelas não alteram o resultado da soma.
3. A propriedade que permite trocar ou mudar (comutar, permutar) a ordem das parcelas é a propriedade comutativa.
A propriedade comutativa da adição é representada pela sentença: a + b = b + a e é denominada comutativa da adição.

2) Consideramos três parcelas 5, 4, 2, assim são indicadas: (5+4)+2. Efetuando a operação de adição entre parênteses temos
o resultado a soma 9, na seqüência adicionamos a número 2, e mediante isto temos o resultado final a soma 11.
número
Isto é: (5+4) + 2 = 11 (resultado soma final)

Observe, agora, a soma final conforme outra indicação:

5 + (4+2) = 11 (resultado soma final).

Deduz-se :

Na adição de três parcelas, é indiferente associar as duas primeiras e posteriormente a terceira, ou associar as duas últimas
ndiferente
e posteriormente associar a primeira. Esta propriedade tem como denominação propriedade associativa.

Assim fixa-se esta propriedade: a + (b+c) = (a+c) + b
se

3) Tendo como base os últimos exemplos, conclui se que existe um número que não altera a o resultado final da soma,
conclui-se
mesmo comutando a ordem das parcelas. Este número é o zero (0).

15

(Neutro da adição)
Assim fixa-se esta propriedade: a+0 = 0+a = a (
se

SUBTRAÇÃO

A subtração é o ato ou efeito de subtrair algo. É diminuir alguma coisa. O resultado desta operação de subtração denomina
denomina-
se diferença ou resto.

Relembrar: 9 – 5 = 4

Essa igualdade tem como resultado a subtração.

Os números 9 e 5 são os termos da diferença 9 Ao número 9 dar-se o nome de minuendo e 5 é o subtraendo.
rmos 9-5. se

O valor da diferença 9-5 é 4, este número é chamado de resto ou excedente de 9 sobre 5.
5

Veja as análises abaixo:
a) 10 – 10 = 0 > O minuendo pode ser igual ao subtra
subtraendo.
b) 9 – 11 > é impraticável em N, é o mesmo que escrever 9 – 11 não pertence N.
Assim, o subtraendo deve ser menor ou igual ao minuendo, para que uma operação de subtração se realize em N.

A operação de subtração nem sempre é viável entre dois números naturais. Então, é necessário que em uma subtração em
números
N, o minuendo seja maior ou igual ao subtraendo.

Diante da operação de subtração, são retiradas algumas propriedades, que serão definidas:
O conjunto N não é fechado em relação à operação de subt
subtração, pois 4 – 5 não pertence a N.
A subtração em N não possui elemento neutro em relação à operação de subtração:

6 – 0 = 6 Entretanto: 0 – 6 ≠ 6

Logo: 0 – 6 ≠ 6 -0

A subtração no conjunto N não admite propriedade comutativa, pois: 4 – 5 ≠ 5 – 4.

A subtração no conjunto N não aceita a propriedade associativa, pois (10 – 4) – 2 ≠ 10 – (4-2)
A operação de subtração pode ser considerada como a operação inversa da adição.

Considerando:

7 + 2 = 9 “equivale a” 7= 9 – 2
7 + 2 = 9 “equivale a” 2= 9 - 7

Concluindo: a) A subtração é inversa a adição. b) Uma das parcelas é igual a soma menos a outra.

Observe esta sentença:

Y + a = c ou a + y = c

Suponha que a e c são dois números naturais conhecidos e x também é um número natural, mas desconhecido. De que
modo é possível calcular o valor de x?

Desta forma: a + c = a ou a + y = c > y = a - c

MULTIPLICAÇÃO

É a ação de multiplicar. Denomina-se a operação matemática, que consiste em repetir um número, chamado multiplicando,
se
tantas vezes quantas são as unidades de outro, chamado multiplicador, para achar um terceiro número que representa o
produto dos dois.

16

Definindo ainda, multiplicação é a adição de parcelas iguais, onde o produto é o resultado da operação multiplicação; e os
fatores são os números que participam da operação.
tores

a. b = c a.b > fatores c > produto da operação.

De um modo mais amplo e um pouco avançado, podemos expressar:

A + a = a x 2 ou a.2 ou simplesmente 2a

Y + y +y = y x 3 ou y.3 ou simplesmente 3y

W+w+w+w+w+w = w x 6 ou w.6 ou simplesmente 6w

Diante da operação da multiplicação, são retiradas algumas propriedades, que serão definidas:
a propriedade que permite comutar (ou trocar/mudar) a ordem dos fatores é a propriedade comutativa, no caso da
operação de multiplicação e pode ser assim simbolizada:

a . b = b . a ou a x b = b x a Comutativa da multiplicação

para fazer o cálculo 4.5.6, pode ser usado este caminho :

(4.5) . 6 > Calcula-se primeiro o que se encontra dentro dos parênteses (que é 20), em seguida multiplica por 6, dando o
se (que multiplica-se
resultado = 120
A essa regra de associar fatores da operação multiplicação chama se associativa da multiplicação.
chama-se

A propriedade comutativa nos permite que seja usado:

1 . x = x ou x.1 = x

É fácil checar que qualquer que seja o número colocado no lugar do X, terá como produto da operação o próprio X.

Então podemos notar que o elemento neutro da multiplicação é o número 1.

Multiplicando-se dois números naturais o resultado será sempre um número natural que pode ser traduzido a propriedade
se
do fechamento da multiplicação

A pertence N e B pertence N (a.b) pertence N

Divisão

É o ato de dividir ou fragmentar algo. É a operação na matemática em que se procura achar quantas vezes um número
contém em outro ou mesmo pode ser definido como parte de um todo que se dividiu.
m

À divisão dá o nome de operação e o resultado é chamado de Quociente.

1) A divisão exata

Veja: 8 : 4 é igual a 2, onde 8 é o dividendo, 2 é o quociente, 4 é o divisor, 0 é o resto


Propriedades da divisão exata
Na divisão em N não vale o fechamento, pois 5 : 3 não pertence a N
O conjunto N não têm elemento neutro em relação a divisão, pois 3:1 = 3, entretanto 1:3 não pertence a N Logo 3:1 é
N.
diferente de 1:3
A divisão em N não tem a propriedade comutativa, pois 15 : 5 é diferente de 5: 15
A divisão em N não tem a propriedade associativa, pois (12:6) : 2 = 1 é diferente de 12 : (6:2) = 4
Pode-se afirmar que a divisão exata tem s
se somente uma propriedade.

17

Observe este exemplo: (10 + 6) : 2 = 16 :2 = 8
(10+6):2 = 10:2 + 6 :2 = 8

O quociente não sofreu alteração alguma permanecendo o mesmo 8. Chamamos então esta propriedade de distributiva da
divisão exata válida somente para direita, com relação às operações de adição e subtração.
,

Um dos mandamentos da matemática é JAMAIS DIVIDA POR ZERO. Isto significa dizer que em uma operação o divisor tem
.
que ser maior do que zero.

2) A divisão não-exata

Observe este exemplo: 9 : 4 é igual a resultado 2, com resto 1, onde 9 é dividendo, 4 é o divisor, 2 é o quociente e 1 é o
resto.


De um modo geral na divisão:

Operação divisão exata: D: d = q > d.q = D, onde D = dividendo, d = divisor, q = quociente e o resto é subentendido “igual a
zero”.

Operação divisão não-exata : D = d.q + r, onde D = dividendo, d = divisor, q = quociente, r é o resto.
exata

EXERCÍCIOS

1) Maria nasceu em 1980 e completou 29 anos do dia 23 de março de 2009, sua irmã Rafaela nasceu no dia 19 de julho de
Rafaela
1975. Quantos anos ela completará no ano de 2009.

A) 30 ANOS
B) 34 ANOS
C) 29 ANOS
D) 38 ANOS

2) Driele ganhou de seu pai R$ 800, 00 reais, para fazer compras. Comprou uma calça de 58,00 reais, uma blusa de 42,00
reais, fez um lanche que lhe custou R$ 20,00 reais e finalizou suas compras com uma linda sandália de R$ 128,00 reais. Com
quanto Driela ficou?

A) R$ 300,00
B) R$ 400,00
C) R$ 552,00
D) R$ 429,00

3) Em uma competição escolar, havia 4 grupos , o Vermelho tinha 35 participantes, o amarelo com 20 participantes, o laranja
participantes,
com 25 participantes e o azul com 38 participantes, cada participante tinha que arrecadar 5 quilos de alimentos para partic
participar
da competição. Quantos quilos de alimentos foram arrecadados.

A) 590 Kg
B) 425 Kg
C) 356 Kg
D) 499 Kg

4) Em uma festa de aniversário foram comprados 10 sacos de balões coloridos, cada saco possuía 100 unidades de balões.
Foram estourados 60% dos balões. Quantos balões restaram.
A) 900 balões
B) 500 balões
C) 400 balões
D) Nenhum balão

18

5) Paula trabalha com a produção de salgados para aniversários, o cento de seu salgado custa R$ 115,00 reais. Em uma
rabalha
encomenda foram produzidos 300 pastéis, 400 coxinhas, 500 pãezinhos, 200 empadas e mais 300 risoles. Quanto Paula faturou
nesta encomenda?

A) R$ 900,00 reais
B) R$ 1.955,00 reais
C) R$ 2.000,00 reais
D) R$ 1.500,00 reais

6) Rosa trabalha em uma loja de confecções e sua renda salarial é de R$ 670,00 reais por mês. Em 4 anos de trabalho ela
ganhará quanto?

A) 21,000,00 reais
B) 19.060,00 reais
C) 40.250,00 reais
D) 32.160,00 reais

7) Em um restaurante japonês cozinha-se por dia 30 Kg de arroz branco. Cada quilo de arroz rende 18 porções de arroz.
se
Quantos porções renderá os 30 quilos.

A) 30 PORÇÕES
B) 300 PORÇÕES
C) 180 PORÇÕES
D) 540 PORÇÕES

8) Dona Amélia completou no dia 20 de abril 2007, 89 anos. Em que ano dona Amélia nasceu ?

A) 1920
B) 1930
C) 1918
D) 1925

9- Responda os seguintes problemas:

a) Júlio comprou 4 milheiros de tijolos na semana passada para fazer o muro de sua casa e, hoje, comprou mais 2 milheiros e
meio. Pelos próprios cálculos, Júlio precisa de 10 milheiros de tijolos para construir o muro todo. Quantos tijolos ele ainda
los
precisa comprar para terminar o muro?

b) Dona Carmela tinha 8 laranjas em sua geladeira e comprou mais 4 dúzias para fazer doces de enco
encomenda. Ela usou 50
laranjas e 2 quilogramas de açúcar no doce. Quantas laranjas sobraram?

c) Seu Juca colheu 8 dúzias de mexericas em seu pomar. Ficou com 24 mexericas e o restante distribuiu igualmente entre
seus três vizinhos. Quantas mexericas ganhou c
cada vizinho?

d) Rafael distribuiu R$ 45,00, igualmente entre seus três filhos. Os garotos foram a uma lanchonete e gastaram R$ 3,50 cada
um. Quanto restou para cada um?

e) Ana e seu marido recebem R$ 453,00 de salário cada um. Se eles gastam R$ 275,00 com o aluguel da casa onde moram,
com
quanto sobra para outras despesas do casal?

f) Marcelo comprou um televisor e um aparelho de som, pagando em quatro parcelas mensais iguais. Pelo televisor, ele
pagou R$ 120,00 por mês e pelo aparelho de som, R$ 82,00 por mês. Quanto Marcelo pagou pelos dois aparelhos juntos?
mês.
g) Neusa organizou seu 100 CDs em quatro pilhas iguais. Quantos CDs foram colocados em cada pilha?

h) O prédio em que Neusa mora tem 15 andares, com quatro apartamentos por andar. Quantos apartamentos há ao todo no
prédio em que Neusa mora?

i) Neusa comprou 60 balas e montou saquinhos com 12 balas cada um, para dar aos seus sobrinhos. Quantos saquinhos de
balas Neusa montou?

19

10) Walter mediu uma certa distância usando o seu passo e descobriu 75 passos. Se cada um dos passos de Walter tem
passos.
80cm, qual foi a distância que ele mediu?
A) 6.000m
B) 600m
C) 60m
D) 6m
E) 60.000m

11) Um famoso cantor vai fazer um show num estádio de futebol. Já foram vendidos 45.318 ingressos, e ainda, restam
17.617 ingressos para serem vendidos. Quantos ingressos foram colocados à venda?
sos
A) 32.335
B) 27.701
C) 52.925
D) 63.325
E) 62.935

12) Uma loja realiza a seguinte promoção: cada R$50,00 gastos podem ser trocados por um cupom que dá direito a
concorrer ao sorteio de um carro. Isadora gastou R$1.370,00 nessa loja. Quantos cupons ela tem direito?
A) 29
B) 17
C) 27
D) 270
E) 42

13) Um feirante quer colocar 1.250 laranjas em caixas. Se ele colocar 5 dúzias de laranjas em cada caixa, quantas laranjas
irão sobrar?
A) 5
B) 2
C) 10
D) 50
E) 15

14) Pedro já pintou 5/9 de uma parede. Isso significa que:

A) já pintou menos da metade da parede.
B) já pintou mais da metade da parede.
C) pintou a metade da parede.
D) falta pintar 1/9 da parede.
E) faltam pintar 3/9 da parede.

15) A assinatura anual de uma revista A custa R$220,00. O preço da assinatura anual de uma revista B corresponde a 4/5
desse valor. Júlio resolveu assinar a revista B. Quanto ele terá que pagar por essa assinatura?
A) R$176,00
B) R$275,00
C) R$44,00
D) R$396,00
E) R$125,00

16) Marília tem 7 anos e sua mãe, 35. Que idade tinha a mãe de Marília quando ela nasceu?
A) 25
B) 26
C) 27
D) 28
E) 29

17) Eduardo trabalha em um escritório de contabilidade 6 horas por dia. Sabendo se que a s
Sabendo-se semana de serviço é de 5
dias, ao final desta semana, quantas horas ele trabalhará?
A) 30
B) 35

20

C) 25
D) 32
E) 37

18) Marli ganhou 18 rosas vermelhas e vai colocá las em 3 vasos em quantidades iguais. Quantas flores serão colocadas
colocá-las
em cada vaso?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6

19) Jon Brower dos Estados Unidos da América, foi o homem mais pesado de toda a medicina com 635 Kg. Sua
decomposição corresponde a:
A) 600 + 35;
B) 6 + 100 + 30 + 5;
C) 600 + 30 + 5;
D) 300 + 300 +35.

20- O maior número de três ordens no sistema de numeração decimal é:
A) 1.000;
B) 100;
C) 900;
D) 999.

21- O sucessor do antecessor do primeiro número par menor que 98, corresponde a:
A) 95;
B) 96;
C) 97;
D) 98.

22- A distância entre a Terra e a Lua é de aproximadamente 382.200 km. A ordem que o número oito ocupa equivale a:
382.200
A) 2a;
B) 5a;
C) 1a;
D) 4a.

23- Dário usa por dia 4 vales-transporte para ir de casa ao trabalho. Ele trabalhou 92 dias ininterruptos. Ao todo, o número
transporte
de vales-transporte que ele precisou nesse per
transporte período foi de:
A) 368;
B) 736;
C) 184;
D) 46.

24- Numa eleição a candidata X recebeu 3.475 votos e o candidato Y, recebeu 1.948 votos. Quantos votos X recebeu a mais
que Y?
A) 1.527;
B) 1.572;
C) 1.257;
D) 1.752.

25- Pense num número. Dele subtraia 42. Em seguida, some 35 ao resultado. Após essas operações, o resultado final foi 97.
Em
O número que você pensou foi de:
A) 84;
B) 94;
C) 104;
D) 114.

21

26- Num sítio há 98 galinhas, 12 galos, 03 patos e alguns marrecos, num total de 206 aves. O número de marrec é
marrecos
equivalente a:
A) 23;
B) 33;
C) 43;
D) 93.

27- O grande cientista “EINSTEIN” nasceu em 1879 e viveu 76 anos. Em que ano ele morreu?
A) 1953;
B) 1954;
C) 1955;
D) 1956.

28- Dudu comprou uma caneta por R$ 0,60, uma borracha por R$ 0,40 e uma lapiseira por R$ 0,35. Ao todo Dudu gastou:
lapiseira
A) R$ 1,35;
B) R$ 1,035;
C) R$ 1,30;
D) R$ 1,25.

29- Um automóvel está sendo vendido em 36 prestações de R$ 546,00. O preço total desse automóvel é:
A) R$ 19.566,00;
B) R$ 19.665,00;
C) R$ 19.565,00;
D) R$ 19.656,00.

30- Numa turma de 4º ANO (3ª série), em Tenente Laurentino Cruz, a professora “Fifica” escreveu no quadro negro:

2x3x5x7=?

Para sua surpresa, “Danadinho” resolveu rápido e correto.
Ele encontrou como resposta certa:
A) 120;
B) 180;
C) 210;
D) 215.

31- Um pipoqueiro vende 183 saquinhos de pipoca por dia. Quantos saquinhos ele vende em um mês de 30 dias?
A) 5.490;
B) 5.940;
C) 5.904;
D) 5.409.

32- Quantos meses há em 12 anos e meio?
A) 146;
B) 148;
C) 150;
D) 152.

33- Mariana tem 19 álbuns de selos. Em cada álbum cabem 80 selos. Num álbum faltam 3 selos e em outro 5 selos. O total
ns
de selos que Mariana possui somam:
A) 1.520;
B) 1.518;
C) 1.514;
D) 1.512.
34- Em um zoológico, o número de macacos é o triplo do número de leões. Os leões são 18. O total de macacos
correspondem a:
A) 44;
B) 54;
C) 64;

22

D) 74.

35- Todas as galinhas de “Timbica” puseram em um dia 141 ovos. Quantas dúzias de ovos essas galinhas haviam posto
naquele dia?
A) 11;
B) 12;
C) 10;
D) 13.

36- O resultado da divisão de 1.035 ÷ 23 é igual a:
A) 30;
B) 35;
C) 40;
D) 45.

37- O preço de 7 bicicletas é R$ 1.400,00. O preço de 5 dessas bicicletas correspondem a:
A) R$ 900,00;
B) R$ 950,00;
C) R$ 1.000,00;
D) R$ 1.100,00.

38- Marcelo tinha na feirinha, de Tenente Laurentino Cruz, R$ 50,00. Comprou uma camiseta por R$ 14,00 e com o restante
Laurentino
comprou três CD’s de preços iguais. O preço de cada CD representa uma importância de:
A) R$ 9,00;
B) R$ 10,00;
C) R$ 11,00;
D) R$ 12,00.

39) Assinale o número que antecede 498:
A) 499
B) 497
C) 496
D) 500
E) 490

40) Assinale abaixo a alternativa correta:
A) 35 + 35 = 60
B) 10 + 23 = 33
C) 52 - 25 = 30
D) 45 - 10 = 25
E) 30 - 15 = 16

41) Uma caixa contém 60 balas. Quantas dezenas de balas há na caixa?
A) 6
B) 10
C) 4
D) 3
E) 8

42) Luiz foi à feira e comprou duas dúzias e meia de laranjas. Quantas laranjas ele comprou?
A) 24
B) 30
C) 12
D) 18
E) 50

43) Em uma lanchonete foram vendidos 45 pastéis de queijo, 30 de carne e 12 de palmito. Quantos pastéis foram
vendidos no total?
A) 73

23

B) 92
C) 45
D) 81
E) 87

44) Adriana tem um caderno de 55 páginas. Já usou 28. Quantas páginas restam em branco?
A) 25
B) 22
C) 27
D) 31
E) 42

45) O calendário mostra os dias, as semanas, os meses e o ano. Sobre as informações do calendário, marque a informação
correta:
A) Uma semana tem 9 dias.
B) Um ano tem 12 meses.
C) Um semestre tem 8 meses.
D) Um ano tem 390 dias.
E) Um mês tem 25 dias.

46. Rita foi ao supermercado e comprou 1 litro de óleo, meio quilo de farinha e 1 kg de feijão por R$ 5,20. Deu para
pagamento uma cédula de R$ 10,00. Seu troco foi de:
A) R$ 4,80
B) R$ 5,80
C) R$ 4,30
D) R$ 4,20

47. Dona Maria foi à feira e comprou 1 kg de carne de segunda por R$ 2,60 e 1 kg de arroz por R$ 1,40. O valor de sua
compra foi:
A) R$ 3,80
B) R$ 5,00
C) R$ 4,00
D) R$ 3,90

48. Itaituba está distante de Belém 898 Km. O algarismo da ordem da dezena é:
A) menor que 8.
B) menor que 9.
C) par.
D) ímpar.

49. Na primeira quinzena de julho comemora
comemora-se a Festa de Nossa Senhora de Santana, em Itaituba. O termo quinzena
ntana,
refere-se a um conjunto de:
A) 15 semanas.
B) 15 dias.
C) 15 horas.
D) 15 minutos.

50. A população do município de Itaituba é de aproximadamente 97.630 habitantes. A escrita correta deste numeral é:
A) noventa e seis mil, setecentos e trinta.
B) novecentos e setenta e seis mil e trinta.
C) nove milhões, setecentos e sessenta e três mil.
D) noventa e sete mil, seiscentos e trinta.

51. Se para o almoço de 600 alunos é necessário cozinhar 40 quilos de feijão, para 900 a
alunos quantos quilos de feijão
deveremos cozinhar?
A) 50
B) 60
C) 70
D) 80

24

E) 90

52. O consumo de água de uma escola num determinado mês foi de 87m3. Então, nesse mês foram gastos:
A) 87 litros
B) 807 litros
C) 870 litros
D) 8.700 litros
E) 87.000 litros

53. Maria comprou uma lavadora de roupas no valor de R$ 832,00. Ela deu uma entrada de R$ 160,00 e o restante dividiu
em 12 prestações iguais. Qual é o valor de cada prestação?
A) R$ 50,00
B) R$ 52,00
C) R$ 54,00
D) R$ 56,00
E) R$ 58,00

54. Se 2 funcionários, trabalhando juntos, descascaram 40Kg de batatas em 20 minutos, quantos minutos serão necessários
onários,
para apenas 1 funcionário descascar 30Kg de batatas?
A) 15
B) 20
C) 25
D) 30
E) 35

55) Pedro comprou três camisetas pagando R$15,00 cada uma. Deu duas notas de R$20,00 e uma nota de R$10,00 para
duas
pagar. Quanto recebeu de troco?
A) R$15,00
B) R$5,00
C) R$35,00
D) R$25,00
E) R$10,00

56) A loja de aviamentos do Sr. Alberto teve, no mês de maio, uma despesa de R$4.256,00 e um faturamento de
R$7.250,00. Podemos afirmar que nesse mês, essa loja teve um:
0.
A) lucro de R$11.506,00.
B) prejuízo de R$7.250,00.
C) lucro de R$2.994,00.
D) prejuízo de R$4.256,00.
E) prejuízo de R$2.994,00.

57) Para a aula de geometria, os alunos deveriam levar objetos cuja forma lembrasse um paralelepípedo. Sabe que:
forma Sabe-se
• Vitor levou uma bola.
• Ari levou um tubo de cola.
• Aline levou uma caixa de fósforos.
• Nina levou um tijolo.

Quem levou o objeto correto?
A) Vitor e Nina.
B) Ari e Aline.
C) Vitor e Aline.
D) Ari e Nina.
E) Nina e Aline.

58) Valdir e Mateus pesam juntos 78kg. Se o peso de Valdir é 38,4g o peso de Mateus é:
A) 28,8kg
B) 36,8kg
C) 38,32kg
D) 39,6kg

25

E) 30,6kg

59) Manoel foi ao supermercado e comprou uma travessa de inox por R$21,49, duas latas de lei em pó por R$5,70 e 4
leite
potinhos de iogurte por R$0,98. Qual foi o valor da compra de Manoel?
A) R$34,85
B) R$36,81
C) R$28,17
D) R$33,87
E) R$31,11

60) Eduardo ficou doente e precisou faltar algumas aulas. Ele sabe que não pode faltar a mais de 1/4 das aulas dadas. Se a
classe de Eduardo tiver 180 aulas de Ciências durante o ano, qual é o maior número de faltas que ele poderá ter nessa
disciplina?
A) 75
B) 45
C) 135
D) 40
E) 35

61) Hoje é sábado, 14 de junho. O casamento da sobrinha de Adolfo será dia 27 de junho. Em que dia da semana será o
será
casamento?
A) Sábado.
B) Quinta-feira.
C) Sexta-feira.
D) Quarta-feira.
E) Domingo.

62) Mirtes tinha no domingo uma quantia no banco. Na segunda feira retirou R$100,00 e na terça
segunda-feira terça-feira efetuou um
depósito de R$250,00. Com isso, o saldo bancário ficou em R$300,00. Quanto Mirtes tinha no domingo?
ito
A) R$150,00
B) R$440,00
C) R$550,00
D) R$450,00
E) R$200,00

63) Qual a unidade mais adequada para medir a massa de um comprimido?
A) quilograma.
B) miligrama.
C) metro.
D) grama.
E) centímetro.

64. Durante um treinamento, um atleta correu 2450 metros. Depois de um descanso, o atleta correu mais 3500 metros. Ao
todo o atleta correu
(A) 5500 metros.
(B) 5650 metros.
(C) 5950 metros.
(D) 6000 metros.
(E) 6150 metros.

65. Uma sala de cinema possui 1500 lugares. No lançamento de um filme, a sala ficou quase lotada, restando apenas 135
lugares vazios. Quantas pessoas compareceram ao lançamento do filme?
(A) 1255
(B) 1365
(C) 1390
(D) 1405
(E) 1425

66. A tabela abaixo indica o consumo de energia elétrica mensal em uma residência nos três primeiros meses do ano:
abela

26

Mês Consumo (kWh)
Janeiro 210
Fevereiro 325
Março 367

Qual foi o consumo total de energia elétrica neste trimestre?
a
(A) 707 kWh
(B) 812 kWh
(C) 835 kWh
(D) 902 kWh
(E) 927 kWh

67. Em uma adição de duas parcelas, a primeira é igual a 125 e a segunda é o dobro da primeira. O resultado da soma é
(A) 375
(B) 225
(C) 250
(D) 175
(E) 390

68. Um comerciante comprou um aparelho de TV usado por R$ 620,00. Ele deseja revender o aparelho e obter um lucro de
R$ 310,00. Para isso, ele deve revender o aparelho por
(A) R$ 860,00
(B) R$ 890,00
(C) R$ 900,00
(D) R$ 915,00
(E) R$ 930,00

69. Compraram-se 80 litros de refrigerante para serem servidos em uma festa de aniversário infantil. Depois da festa,
0
verificou-se que sobraram 32 litros. Quantos litros de refrigerante foram consumidos na festa?
se
(A) 32
(B) 38
(C) 44
(D) 48
(E) 52

70. Renata foi fazer compras. Ela gastou R$ 120,00 em uma calça e R$ 145,00 em sapatos. Sabendo que Renata levou R$
pras.
320,00 para as compras, quanto dinheiro restou?
(A) R$ 35,00
(B) R$ 40,00
(C) R$ 45,00
(D) R$ 55,00
(E) R$ 62,00

71. João fez compras em uma loja atacadista. Ele comprou 12 sacos de arroz por R$ 72,00 e 10 latas de óleo por R$ 35,00.
Chegando a casa, ficou com 4 sacos de arroz e 3 latas de óleo e vendeu o restante para seus vizinhos, sendo que os sacos de
arroz foram vendidos por R$ 7,20 cada e as latas de óleo por R$ 3,80 cada. Quanto João lucrou com a venda?
(A) R$ 11,70
(B) R$ 9,60
(C) R$ 24,00
(D) R$ 8,40
(E) R$ 22,80

72. No começo do dia, uma loja de conveniência possuía 15 caixas com 25 barras de chocolate em cada uma. Até o final do
dia, foram vendidas 312 barras de chocolate.
Quantos chocolates sobraram nas caixas?
(A) 63
(B) 67
(C) 72

27

(D) 75
(E) 82

73. Carlos foi à feira e comprou 1 queijo por R$6,00, 3 abacaxis por R$ 2,50 cada um e 8 maçãs por R$0,50 cada uma. Com
esta compra, ele gastou um total de
(A) R$ 15,80
(B) R$ 16,20
(C) R$ 16,50
(D) R$ 17,00
(E) R$ 17,50

74. Uma caixa de bombons possui 12 unidades. Cada unidade contém 140 calorias. Se três pessoas dividirem a caixa
igualmente, quantas calorias cada pessoa irá consumir?
(A) 420
(B) 480
(C) 540
(D) 560
(E) 590
75. Um bar cobra 4 reais por garrafa de cerveja vendida. Em uma noite de sexta feira, o bar apurou 372 reais com a venda
sexta-feira,
de garrafas de cerveja. Quantas garrafas foram vendidas nesta noite?
(A) 84
(B) 93
(C) 98
(D) 105
(E) 112
GABARITO

1-a 2-c
3-a 4-c
5-b 6-d
7-d 8-c
9- a) 3 milheiros e meio
- b) 6 laranjas
c) 24 d) 11,50
e)178 f) 808
g) 25 h) 60
i) 5 10-C
11-E 12-C
13-D 14-D
15-A 16-D
17-A 18-E
19-C 20-D
21-B 22-B
23-A 24-A
25-C 26-D
27-C 28-A
29-D 30-C
31-A 32-C
33-D 34-B
35-A 36-D
37-C 38-D
39-B 40-B

28

41-A 42-B
43-E 44-C
45-B 46-A
47-C 48-D
49-B 50-D
51-B 52-E
53-D 54-D
55-B 56-C
57-E 58-D
59-E 60-B
61-C 62-A
63-B 64-C
65-B 66-D
67-A 68-E
69-D 70-D
71-A 72-A
73-E 74-D
75-D

DIVISIBILIDADE

CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE

Divisibilidade por 2
Um número é divisível por 2 se ele é par, ou seja, termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.
Exemplos: O número 5634 é divisível por 2, pois o seu último algarismo é 4, mas 13 não é divisível por 2, pois é um número
135
terminado com o algarismo 5 que não é par.

Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos é divisível por 3.
Exemplos: 18 é divisível por 3 pois 1+8=9 que é divisível por 3, 576 é divisível por 3 pois: 5+7+6=18 que é divisível por 3, mas
134 não é divisível por 3, pois 1+3+4=8 que não é divisível por 3.
=8

Um número é divisível por 4 se o número formado pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4.
Exemplos: 4312 é divisível por 4, pois 12 é divisível por 4, mas 16 não é divisível por 4 pois 35 nã é divisível por 4.
1635 não

Um número é divisível por 5 se o seu último algarismo é 0 (zero) ou 5.
Exemplos: 75 é divisível por 5 pois termina com o algarismo 5, mas 10 não é divisível por 5 pois o seu último algarismo não
107
é 0 (zero) nem 5.

Um número é divisível por 6 se é par e a soma de seus algarismos é divisível por 3.
Exemplos: 756 é divisível por 6, pois 756 é par e a soma de seus algarismos: 7+5+6=18 é divisível por 3, 527 não é divisível
por 6, pois não é par e 872 é par mas não é divisível por 6 pois a soma de seus algarismos: 8+7+2=17 não é divisível por 3.

Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar um
número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete se o processo até que se possa verificar a divisão por 7.
or repete-se

29

Exemplo: 165928 é divisível por 7 pois:
16592 Número sem o último algarismo
-16 Dobro de 8 (último algarismo)
16576 Diferença

Repete-se o processo com este último número.
so
1645 Diferença

se
154 Diferença

7 Diferença

A diferença é divisível por 7, logo o número dado inicialmente também é divisível por 7.

Exemplo: 4261 não é divisível por 7, pois:
-2 Dobro do último algarismo
424 Diferença

se
34 Diferença

A última diferença é 34 que não é divisível por 7, logo o número 4261 dado inicialmente não é divisível por 7.

Um número é divisível por 8 se o número formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8.
Exemplos: 45128 é divisível por 8 pois 128 dividido por 8 fornece 16, mas 45
45321 não é divisível por 8 pois 321 não é divisível
por 8.

Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos é um número divisível por 9.
Exemplos: 1935 é divisível por 9 pois: 1+9+3+5=18 que é divisível por 9, mas 5381 não é divisível por 9 pois: 5+3+8+1=17 que
divisível
não é divisível por 9.

Um número é divisível por 10 se termina com o algarismo 0 (zero).
Exemplos: 5420 é divisível por 10 pois termina em 0 (zero), mas 634 não termina em 0 (zero).
6342

Um número é divisível por 11 se a soma dos algarismos de ordem par Sp menos a soma dos algarismos de ordem ímpar Si é
um número divisível por 11. Como um caso particular, se Sp
Sp-Si=0 ou se Si-Sp=0, então o número é divisível por 11.
Sp=0,

30

Exemplo: 1353 é divisível por 11, pois:
Número 1 3 5 3
Ordem ímpar par ímpar par
O primeiro e o terceiro algarismos têm ordem impar e a sua soma é: Si=1+5=6, o segundo e o quarto algarismos têm ordem
par e a sua soma é: Sp=3+3=6, assim a soma dos algarismos de ordem par Sp é igual à soma dos algarismos de ordem ímpar Si,
logo o número é divisível por 11.

Número 2 9 4 5 8
Ordem ímpar par ímpar par ímpar
A soma dos algarismos de ordem ímpar, Si=2+4+8=14, a soma dos algarismos de ordem par, Sp=9+5=14 e como ambas as
somas são iguais, o número 29458 é divisível por 11.

Exemplo: 2543 não é divisível por 11, pois:
Número 2 5 4 3
Ordem ímpar par ímpar par

A soma dos algarismos de ordem impar é Si=2+4=6, a soma dos algarismos e ordem par é Sp=5+3=8 e como a diferença Si
ordem Si-Sp
não é divisível por 11, o número original também não é divisível por 11.

Número 6 5 2 0 8
Ordem ímpar par ímpar par ímpar

A soma dos algarismos de ordem impar é Si=6+2+8=16, a soma dos algarismos de ordem par é Sp=5+0=5. Como a diferença
Si=6+2+8=16,
Si-Sp=11, o número 65208 é divisível por 11
Sp=11,

Um número é divisível por 13 se o quádruplo (4 vezes) do último algarismo, somado ao número sem o último algarismo,
resultar um número divisível por 13. Se o número obtido ainda for grande, repete se o processo até que se possa verificar a
repete-se
divisão por 13. Este critério é semelhante àquele dado antes para a divisibilidade por 7, apenas que no presente caso utiliza
utilizamos
a soma ao invés de subtração.

Exemplo: 16562 é divisível por 13? Vamos verificar.
+8 Quatro vezes o último algarismo
1664 Soma

se
182 Soma

se
26 Soma
Como a última soma é divisível por 13, então o número dado inicialmente também é divisível por 13.

Um número é divisível por 16 se o número formado pelos seus quatro últimos algarismos é divisível por 16.
Exemplos: 54096 é divisível por 16 pois 4096 dividido por 16 fornece 256, mas 45
45321 não é divisível por 16 pois 5321 não é
divisível por 16.


31

Um número é divisível por 17 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este
último algarismo, proporcionar um número divisível por 17. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que
se possa verificar a divisão por 17.

Exemplo: 18598 é divisível por 17 pois:
-40 Cinco vezes o último algarismo
1819 Diferença

se
1 Número sem o último
81 algarismo
- Cinco vezes o último
45 algarismo
1
Diferença
36

se
Número sem o último
3 algarismo
Cinco vezes o último
30 algarismo

Diferença
17

A diferença, embora negativa, é divisível por 17, logo o número dado inicialmente também é divisível por 17.
logo

Um número é divisível por 19 quando o dobro do último algarismo, somado ao número que não contém este último
algarismo, proporcionar um número divisível por 19. Se o número obtido ainda for grande, repete
obtido repete-se o processo até que se
possa verificar a divisão por 19.

+16 Dobro do último algarismo
16608 Soma

mo
1676 Soma

se
179 Soma
se
35 Soma

Como a última soma não é divisível por 19, então o número dado inicialmente também não é divisível por 19.


32

437 Soma

se
57 Soma

se
19 Soma

Como a última Soma é o próprio 19, segue que é divisível por 19, então o número 4275 dado inicialmente é divisível por 19.

Um número é divisível por 23 quando o héptuplo (7 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este
somado
último algarismo, proporcionar um número divisível por 23. Se o número obtido ainda for grande, repete o processo até que
repete-se

18653 Soma

se
1886 Soma

se
230 Soma

Como a última soma é divisível por 23, então o número dado inicialmente também é divisível por 23.

Um número é divisível por 29 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este
algarismo,
repete-se

Exemplo: O número 8598 é divisível por 29?
835 Diferença

se
68 Diferença

33

se
-18 Diferença

A diferença, embora negativa, não é divisível por 29, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 29.

Um número é divisível por 31 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último
plo
algarismo, proporcionar um número divisível por 31. Se o número obtido ainda for grande, repete
repete-se o processo até que se
possa verificar a divisão por 31.

Exemplo: 8598 é divisível por 31?
+24 Triplo do último algarismo
883 Soma

se
97 Soma

se
30 Soma

A soma não é divisível por 31, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 31.

Um número é divisível por 49 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este
último
repete-se

Exemplo: 8598 é divisível por 49?
+40 Cinco vezes o último algarismo
899 Soma

se
134 Soma

se
33 Soma
A soma não é divisível por 49, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 49.

34

Exercícios

1- Responda sim ou não:
a) 24 é múltiplo de 2?
b) 52 é múltiplo de 4?
c) 50 é múltiplo de 8?
d) 1995 é múltiplo de 133?

2- Alguns automóveis estão estacionados na rua. Se você contar as rodas dos automóveis, o resultado pode
ser 42? Pode ser 72? Por que?

3- Escreva os 5 primeiro múltiplos de 9:

4- Escreva as 5 primeiros múltiplos comuns de 8 e de 12:
a

5- Ache o MMC:
a) MMC (9, 18)
b) MMC (20, 25)
c) MMC (4,10)

6- Complete a tabela:
DIVIDENDO DIVISOR QUOCIENTE RESTO
124 4 31 0
161 5 ? ?
31 7 ? ?
2020 2 ? ?

GABARITO

1- a) Sim, pois 24 termina em 4, que é um número par.
,
b) Sim, pois se dividirmos 52 por 4, dará um número inteiro.
c) Não, pois se dividirmos 50 por 8, não dará um número inteiro.
d) Sim, pois se dividirmos 1995 por 133, dará um número inteiro.

2- Sabemos que um automóvel tem 4 rodas. Então, o número que contarmos deve ser múltiplo de 4. Logo, 42 não pode ser
utomóvel
o resultado, pois ele não é múltiplo de 4. Já o 72 pode ser.

3- 0, 9, 18, 27, 36, 45.

4- 0, 24, 48, 72, 96.

5- a) 18
b) 100
c) 20

6-
DIVIDENDO DIVISOR QUOCIENTE RESTO
124 4 31 0
161 5 32 1
31 7 4 3
2020 2 1010 0

35

Matemática

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