BLOG DEL MES 3 Y 4

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  1. 1. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICABLOQUE III Y IVREBECA MIGONI ORTIZ605
  2. 2. PROBABILIDAD CONDICIONALEn gran número de problemas prácticos, loseventos de mayor interés son aquellos cuyaocurrencia está condicionada a la ocurrencia deotro evento.De aquí que interese introducir el concepto deprobabilidad condicional, esto es, laprobabilidad condicionada a que haya ocurridoo pudiese ocurrir cierto evento.
  3. 3. DISTRIBUCIONESDistribución de probabilidad. Es unadistribución teórica de frecuencias quedescribe cómo se espera que varíen losresultados de un experimento.Existen diferentes tipos de modelos quepermiten describir el comportamiento defenómenos estadísticos que permiten hacerinferencias y tomar decisiones encondiciones de incertidumbre.
  4. 4. Distribuciones discretas. Son aquellas donde las variables asumenun número limitado de valores, por ejemplo el número de añosde estudio.
  5. 5. Distribuciones continuas. Son aquellas donde las variables enestudio pueden asumir cualquiervalor dentro de determinados límites; por ejemplo, la estaturade un estudiante.
  6. 6. FUNCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETASLa distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta puede ser:1.- Una relación teórica de resultados y probabilidades que se puede obtener de un modelomatemático y que representa algún fenómeno de interés.2.- Una relación empírica de resultados y sus frecuencias relativas observadas.3.- Una relación subjetiva de resultados relacionados con sus probabilidades subjetivas oartificiales que representan el grado de convicción del encargado en tomar decisiones sobre laprobabilidad de posibles resultados.Sabemos que una variable aleatoria discreta o discontinua es aquella en la que existe unadistancia bien definida entre dos de los valores consecutivos que asume; y dichos valores sonnumerables.Existen varios modelos matemáticos que representan diversos fenómenos discretos de la vidareal.Las más útiles son:1.- La distribución uniforme discreta.1.- La distribución de probabilidad Binomial o de Bernoulli.2.- La distribución de probabilidad Hipergeométrica.3.- La distribución de probabilidad de Poisson.
  7. 7. UNIFORME DISCRETASi la variable aleatoria X asume valores de X1, X2, ..., Xk con iguales probabilidades,entonces la distribución uniforme es:1.-
  8. 8. 2.- Si lanzamos un dado de seis caras, jugamos a la ruletafrancesa, jugamos a la lotería, la función de masa es:3.-Sea una variable aleatoria que puede tomar n valores distintos, x1,...,x n, cada uno de ellos con la misma probabilidad, es decir, con probabilidaduniforme. La distribución de probabilidad o función de masa de esta variablealeatoria es:Comprobemos que es función de masa:
  9. 9. Sin pérdida de generalidad, suponemos ahora que los valores están ordenados de menora mayor. La función de distribución es:4.-La función de masa de la variable aleatoria X : número que aparece al lanzar un dadoes:La función de distribución es:
  10. 10. 5.-Gráfica de la función de distribución de la variable aleatoria uniforme discretaque toma los valoresx1= 0.2, x2= 0.8, x3= 1 y x4= 1.4.6.-El temario de un examen para un proceso selectivo contiene 50 temas, de los cualesse elegirá uno por sorteo. Si una persona no ha estudiado los 15 últimos temas ¿Cuál esla probabilidad de que apruebe el examen?La variable que representa el número del tema seleccionado para el examen sigue unadistribución uniforme con parámetros a=1 y b=50. La persona aprueba el examen si letoca un tema del 1 al 35; por tanto, la probabilidad que se pide es la cola a la izquierdade 35. Para obtener los resultados en Epidat 3.1 basta con proporcionarle losparámetros de la distribución, y seleccionar calcular probabilidades para el punto 35.
  11. 11. 7.-Suponga que tiramos una vez un dado no trucado. Defina unavariable aleatoria que modele el resultado de la tirada y diga su función demasa, media y varianza.
  12. 12. 8.- Cuando se lanza un dado honesto, cada elemento del EM ocurre con probabilidad 1/6. Por lo tanto tenemosuna distribución uniforme,9.-Las ventas de combustible en una gasolinera tienen una media de 40,000 litros por día y un mínimo de30000 litros por día. Supongamos que una distribución uniforme es apropiada.Determine las ventas máximas diarias.µ= a+b240,000=30,000+b30,000+b=40,000(2)30,000+b=80,000B=80,000-30,000B=50,00010.-¿Qué porcentaje de ventas excederán de 34,000?P(x>34,000)50000—34,000=16,000A=bxhA=(16,000) ( 1 )20,000a=0.8Porcentaje en ventas=0.8x100 = 80%
  13. 13. 11.-Cuando se selecciona al azar una bombilla de luz de 40 watts de 60, una de 75 y una de 100, cadaelemento del espacio muestra S={40,60,75,100 ocurre con probabilidad de ¼. Por tanto tenemos, unadistribución uniforme con:* F(x;4)=1/4, X=40,60,75,10012.- Cuando se lanza un dado legal cada elemento del espacio muestra S={1,2,3,4,5,6} ocurre conprobabilidad de 1/6. Por lo tanto, tenemos una distribución uniforme con* f ( x; 6 ) = 1/6 x = 1,2,3,4,5,6.13.-
  14. 14. LA DISTRIBUCION BINOMIALEsta distribución fue elaborada por Jacobo Bernoulli y es aplicable a un gran número deproblemas de carácter económico y en numerosas aplicaciones como:- Juegos de azar.- Control de calidad de un producto.- En educación.- En las finanzas.La distribución binomial posee las siguientes propiedades esenciales:1.- El espacio muestral contiene n ensayos idénticos.2.- Las observaciones posibles se pueden obtener mediante dos diferentes métodos demuestreo.Se puede considerar que cada observación se ha seleccionado de una población infinita sinreposición o de una población finita con reposición.3.- Cada observación se puede clasificar en una de dos categorías conocidas como éxito E ofracaso E, las cuales son mutuamente excluyentes es decir E ∩ E = 0.x1 x2 xk4.- Las probabilidades de éxito p y de fracaso q = 1 - p en un ensayo se mantienen constantes,durante los n ensayos.5.- El resultado de cualquier observación es independiente del resultado de cualquier otraobservación.La probabilidad de que el evento E ocurra x veces y el evento E ocurra (n - x) veces en nensayosindependientes está dado por la fórmula binomial:
  15. 15. donde:p = Probabilidad característica o probabilidad de éxito.q = Probabilidad de fracasox = Número de éxitos deseadosn = Número de ensayos efectuados1.-Si se lanza 4 veces una moneda, calcular el evento "Número de águilas que caen."datos:2.- El cálculo de estas magnitudes pueden realizarse con las siguientes fórmulas:
  16. 16. 3.-En una ciudad la proporción de votantes a un candidato A es de 0’4.Elegimos 10 personas al azar, una tras otra, con reemplazamiento, porque deesta forma el valor de p = 0 4 permanece constante.¿Cuál es la probabilidad de que haya en el grupo exactamente 6 votantes deA?4.-¿Cuál es la probabilidad de que haya en el grupo 6 o menos votantes de A?5.-¿Cuál es el número esperado de votantes de A en el grupo?6.-¿ Cuál es la probabilidad de que haya en el grupo 6 o menos personas queno voten al candidato A?
  17. 17. 7.-En un examen formado por 20 preguntas, cada una de las cuales se respondedeclarando “verdadero” o “falso”, el alumno sabe que, históricamente, en el 75% delos casos la respuesta correcta es “verdadero” y decide responder al examen tirandodos monedas, pone “falso” si ambas monedas muestran una cara y “verdadero” si almenos hay una cruz. Se desea saber qué probabilidad hay de que tenga al menos 14aciertos.Hay que proporcionarle a Epidat 3.1 los parámetros de la distribución y el punto k apartir del cual se calculará la probabilidad. En este caso n=20, p=0,75 y el punto k=14.
  18. 18. 9.-La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad sanguíneaes 0.4. Si se sabe que 15 personas contraen la enfermedad ¿cuál es la probabilidad deque sobrevivan al menos 10?10.-¿sobrevivan de 3 a 8?11.-¿sobrevivan exactamente 5?12.-Un examen consta de 6 preguntas con 4 posibles respuestas cada una, de las quesólo una de ellas es correcta. Un estudiante que no se había preparado la materiaresponde completamente al azar marcando una respuesta aleatoriamente. Calcula laprobabilidad de que acierte 4 o más preguntas.
  19. 19. 13.-La probabilidad de que un cazador novato cobre una pieza es 0,4. Si lo intenta 5 veces,calcula la probabilidad de que cobre una pieza al menos 3 veces.14.-Un examen de tipo test consta de 100 preguntas, cada una de las cuales se acompaña decuatro respuestas, una de ellas correcta y erróneas las otras tres. Si un estudiante contesta alazar, ¿cuál es la probabilidad de que acierte más de 30 preguntas?
  20. 20. 15.-¿Y menos de 15?16.- Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buenasalud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en esta s condiciones viva 30años o más es 2/3. Hállese laprobabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan Las cinco personas.17.- Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan Al menos tres personas.18.- Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan Exactamente dos personas.
  21. 21. 19.-Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen10 números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?20.-La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones?
  22. 22. LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICASe emplea para calcular la probabilidad de obtener determinado número deéxitos en un espacio muestral de n ensayos; pero a diferencia de ladistribución binomial es que los datos de la muestra se extraen sin reemplazoen una población finita. Por esto es que el resultado de una observacióndepende o es afectado por el resultado de cualquier otra u otrasobservaciones anteriores.Es decir la distribución hipergeométrica se emplea para muestreos sinreemplazo de una población finita cuya probabilidad de ocurrencia cambia alo largo del ensayo.Dado un espacio muestral S de tamaño N con los subespacios M ⊂ N y (N - M)⊂ N entonces, la probabilidad de que en n ensayos x pertenezca a M y (n - x)pertenezca a (N - M) está dada por:
  23. 23. 1.- Se selecciona al azar un comité de cinco personas entre tres químicos y cincofísicos. Calcular la distribución de probabilidad para el número de químicos en elcomité.Sea la v.a. X el número de químicos en el comité. Se satisfacen las dos condiciones deun experimento hipergeométrico.2.-Lotes de 40 componentes cada uno se denominan aceptables si no contienen másde tres defectuosos. El procedimiento para muestrear el lote es la selección de cincocomponentes al azar y rechazar el lote si se encuentra un componente defectuoso.¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre exactamente un defectuoso en lamuestra si hay tres defectuosos en todo el lote?Utilizando la distribución hipergeométrica con n=5, N=40, k=3 yx=1, entonces
  24. 24. 3.-Se sabe que el 7% de los útiles quirúrgicos en un lote de 100 no cumplen ciertasespecificaciones de calidad. Tomada una muestra al azar de 10 unidades sinreemplazo, interesa conocer la probabilidad de que no más de dos sean defectuosos.El número de útiles defectuosos en el lote es R=0,07×100=7. Para un tamaño muestralde n=10, la probabilidad buscada es P{número de defectuosos ≤ 2}.
  25. 25. 4.-En una florería hay 20 variedades de flores, de las cuales 8 son diferentes clases de rosas.¿Que probabilidad hay de que al extraer una muestra al azar de 12 flores , se incluyan 3 clases de rosas?Es una distribución hipergeométrica , con los siguientes parámetros:N=tamaño de población =20n=tamaño de muestra=12A=éxitos en la población=rosas=8k=éxitos en la muestra=rosas=35.-Considerando que en la urna hay un total de 10 objetos, 3 de los cuales son defectuosos, si de seleccionan 4 objetosal azar, ¿cuál es la probabilidad de que 2 sean defectuosos?Solución:N = 10 objetos en totala = 3 objetos defectuososn = 4 objetos seleccionados en muestrax = 2 objetos defectuosos deseados en la muestra6.-Luego la probabilidad de obtener 2 objetos defectuosos entre los 4 seleccionados al azar sería:
  26. 26. 7.-Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de narcótico en una botella que contiene 9píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente paraanalizarlas, ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos?Solución:a) N = 9+6 =15 total de tabletasa = 6 tabletas de narcóticon = 3 tabletas seleccionadasx = 0, 1, 2, o 3 tabletas de narcótico = variable que nos indica el número de tabletas de narcótico que se puede encontraral seleccionar las 3 tabletasp(viajero sea arrestado por posesión de narcóticos) = p(de que entre las 3 tabletas seleccionadas haya 1 o más tabletas denarcótico)8.-¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión de narcóticos?.9.-De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionan al azar y se disparan. Si el lote contiene 3 proyectiles defectuosos que noexplotarán, ¿cuál es la probabilidad de que los 4 exploten?Solución:a) N = 10 proyectiles en totala = 7 proyectiles que explotann = 4 proyectiles seleccionadosx = 0, 1, 2, 3 o 4 proyectiles que explotan = variable que nos define el número de proyectiles que explotan entre la muestraque se dispara
  27. 27. 10.-¿cuál es la probabilidad de que al menos 2 no exploten?N = 10 proyectiles en totala = 3 proyectiles que no explotann = 4 proyectiles seleccionadosx = 0, 1, 2 o 3 proyectiles que no explotanp(al menos 2 no exploten) = p( 2 o más proyectiles no exploten) = p(x = 2 o 3; n=4) =11.-¿Cuál es la probabilidad de que una mesera se rehúse a servir bebidas alcohólicas únicamente a dos menores deedad si verifica aleatoriamente solo 5 identificaciones de entre 9 estudiantes, de los cuales 4 no tienen la edadsuficiente?Solución:a) N = 9 total de estudiantesa = 4 estudiantes menores de edadn = 5 identificaciones seleccionadasx = variable que nos define el número de identificaciones que pertenecen a personas menores de edadx = 0, 1, 2, 3 o 4 identificaciones de personas menores de edad
  28. 28. 12.- ¿Cúal es la probabilidad de que como máximo 2 de las identificaciones pertenezcan a menores de edad?N = 9 total de estudiantesa = 4 estudiantes menores de edadn = 5 identificaciones seleccionadasx = variable que nos define el número de identificaciones que pertenecen a personas menores de edadx = 0, 1, 2, 3 o 4 identificaciones de personas menores de edad13.-En una urna hay 7 bolas blancas y 5 negras. Se sacan 4 bolas ¿Cuál es la probabilidad de que 3 sean blancas?Entonces:N = 12; N1 = 7; N2 = 5; k = 3; n = 4Si aplicamos el modelo:Por lo tanto, P (x = 3) = 0,3535. Es decir, la probabilidad de sacar 3 bolas blancas es del 35,3%.14.- En una fiesta hay 20 personas: 14 casadas y 6 solteras. Se eligen 3 personas al azar ¿Cuál es la probabilidad de quelas 3 sean solteras?Por lo tanto, P (x = 3) = 0,0175. Es decir, la probabilidad de que las 3 personas sean solteras es tan sólo del 1,75%
  29. 29. 15.-Una tienda de artículos eléctricos tiene 20 planchas, de las cuales 5 son amarillas. Si se extraenaleatoriamente y sin sustitución 10 planchas ¿Cuál es la probabilidad de que dos de ellas sean amarillas?16.-Si se extraen 8 canicas sin reemplazo de una urna que contiene 9 azules y 3 negras. Encontrar laprobabilidad de haya 6 canicas azules dentro de las 8 que se extrajeron.17.-Un vendedor de insecticidas quiere vender a una planta un lote de 50 barriles de cierto producto. Elgerente de la planta sospecha que los barriles están caducos, pero el vendedor sostiene que sólo 10 barrileshan caducado y está dispuesto a permitir que se analicen 5 barriles sin costo para el comprador, para que éstedecida si adquiere el lote. ¿Cuál es la probabilidad de que el gerente encuentre que 4 o más de los 5 barrilesexaminados han caducado, suponiendo que el vendedor tiene razón en su afirmación?
  30. 30. 18.-Una caja contiene 10 focos, de los cuales 3 son defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que si se toma unamuestra aleatoria sin reemplazo de tamaño 2, se extraiga cuando mucho un foco defectuoso?19.-En un lote de productos se tienen 20 productos sin defectos, 3 con defectos menores y 2 con defectos mayores, seseleccionan al azar 5 productos de este lote, determine la probabilidad de que a 3 de los productos seleccionados notengan defectos y 1 tenga defectos menores.Solución:a)N= 20+3+2 =25 total de artículosa=20 productos sin defectosb= 3 productos con defectos menoresN-a-b= 2 productos con defectos mayoresn= 5 productos seleccionados en la muestrax = 3 productos sin defectos en la muestra = variable que nos define el # de productos sin defectos en la muestray = 1 producto con defectos menores en la muestra = variable que nos define el # de productos con defectosmenores en la muestraz = n-x-y = 5-3-1 = 1 producto con defectos mayores en la muestra = variable que nos define el # de productos condefectos mayores en la muestra
  31. 31. 20.-Determine la probabilidad de que 4 de los productos seleccionados no tengan defectos y 1 tengadefectos menores.DISTRIBUCIÓN NORMAL1.- Una persona que desea encontrar trabajo se presenta a dos entrevistas en las empresas A y B. En laentrevista de la empresa A obtiene una puntuación de 9, con una media de puntuación de 7 para latotalidad de los candidatos y una varianza de 4. En la entrevista de la empresa B obtiene unapuntuación de 8, con una media de puntuación de 6 para la totalidad de los candidatos y unadesviación típica de 1,5 ¿En qué entrevista ha obtenido esa persona una mejor puntuación relativa?
  32. 32. 2.-La talla de los recién nacidos se distribuye normalmente, pero mientras que en laComunidad Autónoma A la media es de 52 cm y la desviación típica es de 3 cm, en la B lamedia es de 53 cm y la desviación típica de 5 cm.Hallar, en el primero de los casos, entre qué valores simétricos respecto a la media está el50 % (central) de las tallas de los recién nacidos.3.-Determinar en cuál de las dos comunidades es mayor la proporción de recién nacidos contalla superior a 50 cm.
  33. 33. 4.- En un test que mide ciertas habilidades específicas, las puntuaciones se distribuyennormalmente, con media 100 y desviación típica 25. El 20 % de las puntuaciones más altascorresponde al grupo de los superdotados, y el 20 % de las puntuaciones más bajas al de losinfradotados. Calcular las puntuaciones que delimitan los distintos grupos.
  34. 34. 5.-En un país en el que la estatura de sus habitantes sigue una distribución normal de media1,75 m, los individuos que miden más de 1,90 representan el 6,68 % del total. ¿Cuál es ladesviación típica? ¿Cuál es la proporción de individuos con estatura superior a 1,60 m?
  35. 35. 6.-El peso de los huevos de gallina producidos por cierta granja sigue una distribución normalde media 65 g y desviación típica 6 g. Los huevos se clasifican (según peso) en trescategorías: P (pequeños), M (medianos) y G (grandes). Si los pequeños suponen el 10 % deltotal y los grandes otro 10 %, ¿cuáles son los pesos que marcan los límites de cada categoría?
  36. 36. 8.-En las empresas multinacionales A y B, que tiene 50000 y 60000 empleados,respectivamente, el sueldo mensual de dichos empleados se ajusta a una distribución normal,con media de 1800 euros y desviación típica de 650 euros, en el caso de A; y con una mediade 2000 euros y desviación típica de 500 euros, en el caso B. ¿Cuál de las dos empresas tienemás empleados con sueldo superior a 3000 euros?
  37. 37. 9.-En las empresas multinacionales A y B, que tiene 50000 y 60000 empleados,respectivamente, el sueldo mensual de dichos empleados se ajusta a una distribución normal,con media de 1800 euros y desviación típica de 650 euros, en el caso de A; y con una mediade 2000 euros y desviación típica de 500 euros, en el caso B. ¿Cuál de las dos empresas tienemás empleados con sueldo superior a 3000 euros?
  38. 38. 10.-En una ciudad en la que la edad de sus habitantes se ajusta a una distribución normal demedia 35 años, ¿qué grupo es más numerosos: el de los mayores de 65 años o el de losmenores de 18 años? Justifica la respuesta.
  39. 39. 11.-La edad de los habitantes de cierta ciudad se distribuye normalmente, con una media de40 años. Se sabe además que el 2,28 % de los habitantes tiene más de 60 años. ¿Cuál es ladesviación típica?12.-¿Cuál es el porcentaje de habitantes con menso de 35 años?
  40. 40. 13.-El coeficiente de inteligencia de un grupo de 500 alumnos es una variable aleatoria que sedistribuye como una normal de media 100 y desviación típica 16. Determina el númeroesperado de alumnos que tienen un coeficiente entre 118 y 122.14.-Un estudio de un fabricante de televisores indica que la duración media de un televisor esde 10 años, con una desviación típica de 0,7 años. Suponiendo que la duración de lostelevisores sigue una distribución normal.a) Calcula la probabilidad de que un televisor dure más de 9 años.b) Calcula la probabilidad de que dure entre 9 y 11 años.
  41. 41. 15.-Un estudio de un fabricante de televisores indica que la duración media de un televisor esde 10 años, con una desviación típica de 0,7 años. Suponiendo que la duración de lostelevisores sigue una distribución normal.Calcula la probabilidad de que un televisor dure más de 9 años.16.- Calcula la probabilidad de que dure entre 9 y 11 años.17.- En cierta prueba, el 35 por ciento de la población examinada obtuvo una nota superior a 6,el 25 por ciento, entre 4 y 6, y el 40 por ciento inferior a 4. Suponiendo que las notas siguenuna distribución normal, calcula la nota media y la desviación típica. ¿Qué porcentaje depoblación tiene una nota que se diferencia de la media en menos de 2 unidades.
  42. 42. 18.-En un examen, al que se presentaron 2000 estudiantes, las puntuaciones se distribuyeronnormalmente, con media 72 y desviación típica 9. ¿Cuántos estudiantes obtuvieron unapuntuación entre 60 y 80?19.- Si el 10 % superior de los alumnos recibió la calificación de sobresaliente, ¿que puntuaciónmínima había que tener para recibir tal calificación?20.-Tenemos una baraja de cartas españolas (N=40 naipes), de las cuales nos vamos a interesaren el palo de oros (D=10 naipes de un mismo tipo). Supongamos que de esa barajaextraemos n=8 cartas de una vez (sin reemplazamiento) y se nos plantea el problema decalcular la probabilidad de que hayan k=2 oros (exactamente) en esa extracción.

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