1. .
.
Klein's fundamental second kind 2-form
for the Cab curves
鈴木譲
阪大理
日本数学会2014 年秋
鈴木譲(阪大理) Klein's fundamental second kind 2-form for the Cab cu日rve本s数学会2014 年秋1 / 12

2. はじめに
はじめに
代数曲線暗号(定義方程式から出発)
J. Silverman 教授(Brown) 三浦晋示博士
第15 回整数論サマースクール(2007、花巻市、大西他)
「種数の高い代数曲線とAbel 多様体」
鈴木譲(阪大理) Klein's fundamental second kind 2-form for the Cab cu日rve本s数学会2014 年秋2 / 12

3. 三浦曲線
非特異代数曲線の定義方程式(三浦)
F: C 上の(1 変数代数) 関数体
O: 次数1 の座(無限遠点)
L := ff 2 FjordQ(f ) 0;Q̸= Og [ f0g
M := fordO(f )jf 2 Lg
a1; ; am 2 M: モノイドM の生成元で、(a1; ; am) = 1 となるもの
x1; ; xm 2 L: ordO(xi ) = ai , i = 1; ;m となるもの
C[X1; ; Xm]: C 上のm 変数多項式環(X1; ; Xm: 不定文字)
.
アフィン代数曲線の定義方程式
.
.自然な全射準同型 : C[X1; ; Xm] ! C[x1; ; xm] のker()
鈴木譲(阪大理) Klein's fundamental second kind 2-form for the Cab cu日rve本s数学会2014 年秋3 / 12

4. 三浦曲線
Cab 曲線
Telescopic ker() の生成元がm 1 個()
ai
di
2
a1
di1
; ;
ai1
di1
, di = (a1; ; ai ), i = 2; ;m
(Suzuki, 2007)
Cab ker() の生成元が1 個() m = 2
.
Cab 曲線
.
(x1; x2) = (x; y), (a1; a2) = (a; b),
.
C :
Σ
(i ;j)2D
ci ;jxi yj = 0 ; ci ;j 2 C ; D := f(i ; j)ji ; j 0; ai + bj abg
g =
(a 1)(b 1)
2
a = 2, b = 2g + 1 のとき、超楕円曲線
鈴木譲(阪大理) Klein's fundamental second kind 2-form for the Cab cu日rve本s数学会2014 年秋4 / 12

5. 問題の定式化
Klein's fundamental second kind 2-form
fduigg
i=1: 第1 種微分
C C 上の2-form R((x; y); (z;w))dxdz で、以下を満たすもの
1. (z;w) = (x; y)でのみ2位の極
2. lim
(z;w)!(x;y)
R((x; y); (z;w))(x z)2 = 1
R((x; y); (z;w)) =
d
dz
Ω((x; y); (z;w)) +
Σg
i=1
dui (x; y)
dx
dri (z;w)
dz
fdrigg
i=1: O でのみ極をもつ第2 種微分
Ω((x; y); (z;w)): 1-form
R((x; y); (z;w)) = R((z;w); (x; y))
を満足するfdrigg
i=1 と、そのときのR((x; y); (z;w))dxdz
鈴木譲(阪大理) Klein's fundamental second kind 2-form for the Cab cu日rve本s数学会2014 年秋5 / 12

6. 問題の定式化
超楕円の場合(Klein, 1888)
y2 = c2g+1x2g+1 + c2g x2g + + c1x + c0 ; c0; ; c2g+1 2 C
dui (x; y) :=
xi1dx
2y
; i = 1; ; g
Ω((x; y); (z;w)) =
y + w
2(x z)y
dx
dri (z;w) =
2Σgi
k=i
ck+1+i (k + 1 i )
zk
2w
dz ; i = 1; ; g
R((x; y); (z;w)) =
Σg
j=0 xj zjfc2j+1(x + z) + 2c2jg
(x z)2
1
2y
1
2w
鈴木譲(阪大理) Klein's fundamental second kind 2-form for the Cab cu日rve本s数学会2014 年秋6 / 12

7. 問題の定式化
Cab の場合(Nakayashiki, 2010)
C :
Σ
(i ;j)2D
ci ;jxi yj = 0 ; D = f(i ; j)ji ; j 0; ai + bj abg
fj :=
Σ
i :(i ;j)2D
ci ;jxi ; gj :=
Σ
i :(i ;j)2D
ci ;j zi ; hj :=
Σj1
i=0
wi yj1i
dui ;j (x; y) =
xi yj
Σa
k=1 kyk1fk
dx ; i = 1; ; g
Ω((x; y); (z;w)) =
Σa
j=0 hjgj
(x z)
Σa
k=1 yk1fk
dx
R((x; y); (z;w)) =
d
dz
Ω((x; y); (z;w)) +
Σg
i=1
dui (x; y)
dx
dri (z;w)
dz
が対称となるdri ;j (z;w) =
Σ
u;v Di ;j ;u;v zuwv
Σa
k=1 kwk1gk
dz の係数fDi ;j ;u;v g が存在
鈴木譲(阪大理) Klein's fundamental second kind 2-form for the Cab cu日rve本s数学会2014 年秋7 / 12

8. 主結果
主結果
各(i ; j) 2 J(a; b) := f(i ; j)ji ; j 0; ai + bj ab a bg について、
dri ;j (z;w) :=
Σj+1
u=0
Σa
v=j+1
Σ
r
Σ
s
cr ;ucs;vDr ;s;u;v (i ; j)zr+si2wu+vj2
Σa
k=1 kwk1gk
dz
Dr ;s;u;v (i ; j) :=
8
:
u(s i 1) (u v = j + 1)
u(r i 1) (j + 1 = u v)
(j + 1 u)s (v j 1)r
+(i + 1)(v u) (u j ; j + 2 v)
とおくとき、R((x; y); (z;w)) が対称となる。
鈴木譲(阪大理) Klein's fundamental second kind 2-form for the Cab cu日rve本s数学会2014 年秋8 / 12

9. 主結果
例1: 超楕円(a = 2, b = 2g + 1)
C : y2 + y
Σg
r=0
cr ;1xr +
2Σg+1
s=0
cs;0xs = 0
dui ;0(x; y) :=
xidx
2y +
Σg
r=0 cr ;1xr ; i = 0; ; g 1
dri ;j (z;w) =
ri ;0(z;w)
2w +
Σg
r=0 cr ;1zr dz として、
ri ;0(z;w) =
Σg
r=i+2
Σg
s=0
cr ;1cs;1(r i 1)zr+si2
+
Σg
r=i+2
cr ;1(r i 1)zri2w
2Σg+1
r=2i+3
cr ;0(r 2i 2)zri2
鈴木譲(阪大理) Klein's fundamental second kind 2-form for the Cab cu日rve本s数学会2014 年秋9 / 12

10. 主結果
例2: 特楕円(cr ;u = 0, u̸= 0; a)
C : ya +
Σb
s=0
cs;0xs = 0
dui ;j (x; y) :=
xi yjdx
aya1 ; (i ; j) 2 J(a; b)
dri ;j (z;w) =
ri ;j (z;w)
awa1 dz として、
ri ;j (z;w) =
Σb
r=i+2
cr ;0(ar a r ai rj)zr2iwa2j
鈴木譲(阪大理) Klein's fundamental second kind 2-form for the Cab c日urv本es数学会2014 年秋10 / 12

11. 主結果
関連研究
Cab またはそれ以上の一般化(係数は求めない)
Cab Nakayashiki 2010
Telescopic 綾野孝則博士論文2013
超楕円以外で個別の曲線
C3;4 Elibeck, Matsutani, Onishi 他(2007)
C3;7;8, C6;13;14;15;16 Matsutani (2013)
鈴木譲(阪大理) Klein's fundamental second kind 2-form for the Cab c日urv本es数学会2014 年秋11 / 12

12. まとめ
まとめ
.
Klein's fundamental second kind 2-form
.
.Klein 以来、126 年ぶりの一般化
応用:
周期行列M、たとえば 関数(u;M)(u の多項式) の係数を計算
可積分系
代数曲線暗号
.
今後の課題
.
.一般的な三浦曲線 (一般的な閉Riemann 面に対応) への一般化
鈴木譲(阪大理) Klein's fundamental second kind 2-form for the Cab c日urv本es数学会2014 年秋12 / 12