Um estudo de caso do professor de Matemática sobre o ensino de funções reais

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
CENTRO DE ESTUDOS GERAIS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM MATEMÁTICA PARA
PROFESSORES DE ENSINO FUNDAMENTAL E MÉDIO

Andréa Vieira Thees

UM ESTUDO DE CASO DO CONHECIMENTO DO PROFESSOR DE
MATEMÁTICA DA EDUCAÇÃO BÁSICA SOBRE O COMPORTAMENTO
VARIACIONAL DAS FUNÇÕES AFIM E QUADRÁTICA

NITERÓI
2009

Todos os direitos reservados.
É proibida a reprodução total ou parcial sem autorização da universidade, do autor e do
orientador.

Andréa Vieira Thees

UM ESTUDO DE CASO DO CONHECIMENTO DO PROFESSOR DE
MATEMÁTICA DA EDUCAÇÃO BÁSICA SOBRE O COMPORTAMENTO
VARIACIONAL DAS FUNÇÕES AFIM E QUADRÁTICA

Monografia apresentada ao Curso de Especialização
em Matemática para Professores de Ensino
Fundamental e Médio da Universidade Federal
Fluminense, como requisito parcial para obtenção do
título de Especialista em Matemática.

Orientador:
Prof. Dr. WANDERLEY MOURA REZENDE

NITERÓI
2009

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca de Pós-graduação em Matemática da UFF

T375 Thees, Andréa Vieira
Um estudo de caso do conhecimento do professor de
matemática da educação básica sobre o comportamento
variacional das funções afim e quadrática / Andréa Vieira Thees.
– Niterói, RJ : [s.n.], 2009.

102 f.

Orientador: Prof. Dr. Wanderley Moura Rezende.
Monografia (Especialização para professores de matemática
dos ensinos fundamental e médio) – Universidade Federal
Fluminense, 2009.

1. Função (Matemática). 2. Cálculo. 3. Matemática –
educação. 4. Formação de professor. I. Título.
CDD 515.25

Este trabalho é dedicado à memória de meu pai, Sullivan Thees,
e a toda minha família, especialmente, à minha mãe Irene, às
minhas filhas Bárbara e Marina, ao meu “quase” filho Gabriel
e ao amor da minha vida e minha luz, Lior.

Agradecimentos

Agradeço aos professores de Matemática e aos licenciandos presentes nos minicursos,
sem os quais não seria possível realizar esta pesquisa, aos colegas, professores e
coordenadores deste curso e, em particular, ao meu orientador Wanderley Rezende, por
quem tenho uma profunda admiração e sincera gratidão.

RESUMO

Com o desenvolvimento de algumas ações do projeto de pesquisa “Uma
Proposta de Emersão das Idéias Fundamentais do Cálculo no Ensino Básico de
Matemática” (Rezende, 2003b), principalmente aquelas relacionadas à realização de
minicursos ou oficinas junto a professores de Matemática da educação básica, percebeu-
se algumas dificuldades dos professores de Matemática da educação básica na resolução
de problemas que envolvem propriedades e habilidades relacionadas ao comportamento
variacional das funções reais. Isto acarretou o seguinte questionamento: Como os
professores da educação básica utilizam propriedades e habilidades relacionadas ao
comportamento variacional das funções afim e quadrática, na resolução de problemas?
Mediante este fato, tira-se como meta principal deste trabalho monográfico a
tarefa de mapear as dificuldades supracitadas, tomando como referência quatro grupos
piloto de professores de Matemática: Grupo A – participantes do minicurso apresentado
no 31º Encontro do Projeto Fundão (UFRJ/2007); Grupo B – participantes do minicurso
apresentado no V Encontro Sul Fluminense de Educação Matemática (USS/2007);
Grupo C – professores-alunos que ingressaram no Curso de Especialização em
Matemática para Professores do Ensino Fundamental e Médio do IM-UFF em 2008;
Grupo D – participantes do minicurso apresentado na Primeira Jornada de Matemática
da FFP-UERJ (2008).

Palavras-chave: educação matemática; função afim; função quadrática;
variabilidade; formação do professor.

ABSTRACT

With the development of some actions from the “A Proposal for Emersion of the
Fundamental Ideas of Calculus on Math Basic Learning” (Rezende, 2003b) research
project, mainly those related to the application of mini-courses or workshops on basic
math teachers, it was noted that teachers faced difficulties in solving problems revolving
around the properties and abilities related to the variation behavior of linear and
quadratic functions. This led to the following question: How do teachers of the basic
education use properties and skills related to variation behavior of linear and quadratic
function to solve problems?
In light of this, the main aim of this paper is to map the abovementioned
difficulties, taking as a reference four pilot groups of math teachers: Group A –
participants on the mini-course presented at the 31st Meeting of the Fundão Project
(UFRJ/2007); Group B – participants on the mini-course presented at the V Sul
Fluminense Mathematics Education Meeting (USS/2007); Group C – teachers/students
that attended the Mathematics Specialization Course for Teachers at IM/UFF in 2008;
Group D – participants of the mini-course presented at the First Mathematics Journey of
the FFP/UERJ at 2008.

Key-words: mathematic education; linear function; quadratic function;
variability; teacher´s development.

SUMÁRIO

Introdução ............................................................................................................... 15

Capítulo 1 - O Problema .......................................................................................... 18
1.1. Obstáculos de natureza epistemológica relacionados ao conceito de função .. 18
1.2. O Cálculo na formação do professor de Matemática ...................................... 20
1.3. Resgatando o conceito de função .................................................................. 23
1.4. Recomendações dos Parâmetros Curriculares Nacionais ............................... 25
1.5. O estudo da variabilidade das funções nos livros didáticos ............................ 22
1.6. O imprescindível estudo da variabilidade ...................................................... 26
1.7. O professor de Matemática, o conceito de função e a pergunta da pesquisa ... 29

Capítulo 2 - Um breve estudo da evolução histórica do conceito de função .......... 33
2.1. As tábuas na Antiguidade .............................................................................. 33
2.2. A teoria das formas na Idade Média .............................................................. 34
2.3. O estudo da variabilidade da função quadrática e a contribuição de Galileu .. 36
2.3.1. Mas afinal, o que sabia Galileu? ............................................................. 36
2.3.2. A experiência de Galileu ........................................................................ 38
2.4. O período Moderno ....................................................................................... 41

Capítulo 3 - A caracterização das funções afim e quadrática ................................. 46
3.1. Atividades introdutórias para o estudo da variação da função afim ................ 46
3.2. Caracterização da Função Afim .................................................................... 48
3.3. Atividades introdutórias para o estudo da variação da função quadrática ....... 49
3.4. Caracterização da Função Quadrática ............................................................ 52

Capítulo 4 - Pesquisa ................................................................................................ 54
4.1. Metodologia .................................................................................................. 54
4.1.1. Pesquisa naturalista ou de campo – o estudo de caso .............................. 55
4.2. Descrição da pesquisa ................................................................................... 56
4.2.1. Sujeitos da pesquisa ............................................................................... 56
4.2.2. Descrição dos instrumentos da pesquisa ................................................. 57
4.2.2.1. Questionário informativo:................................................................... 57
4.2.2.2. Atividades propostas .......................................................................... 58

4.2.2.3. Formulário de Avaliação .................................................................... 60
4.3. Resultados da pesquisa.................................................................................. 61
4.3.1. O perfil dos grupos pesquisados ............................................................. 61
4.3.2. Apresentação das categorias de análise da resolução das atividades ....... 63
4.3.2.1. Questão 1 ........................................................................................... 64
4.3.2.2. Questão 2 ........................................................................................... 68
4.3.2.3. Questão 3 ........................................................................................... 72
4.3.2.4. Questão 4 ........................................................................................... 78
4.3.3. Análise da resolução das atividades ....................................................... 81
4.3.3.1. Alguns indicadores quantitativos das resoluções ................................. 81
4.3.4. Os pontos de vista dos participantes do Grupo D.................................... 95
4.4. Conclusões parciais da pesquisa .................................................................... 97

Capítulo 5 - Considerações Gerais ......................................................................... 100

Bibliografia .............................................................................................................. 103

Apêndice .................................................................................................................. 105
Tabulação dos Dados Detalhados dos Participantes .............................................. 105
Tabulação das Resoluções das Questões pelos Participantes ................................. 106
Resolução das Atividades 1, 2, 3 e 4 ..................................................................... 113

ÍNDICE DE GRÁFICOS, FIGURAS E TABELAS

Gráfico 1 – Função Afim ............................................................................................28
Gráfico 2 – Função Quadrática e de y em função de x .............................................29
Gráfico 3 – Todos os grupos x todas as questões .........................................................82
Gráfico 4 – Todos os grupos x questão 1 .....................................................................83
Gráfico 8 – Questão 1 x Grupo ....................................................................................88
Gráfico 9 – Questão 2 x Grupo ....................................................................................90
Gráfico 10 – Questão 3 x Grupo ..................................................................................92
Gráfico 11 – Questão 4 x Grupo ..................................................................................94

Figura 1 – Representações gráficas de Oresme ............................................................34
Figura 2 – Exemplo de um gráfico de Oresme na Idade Média ....................................35
Figura 3 – Ilustração do Teorema de Merton de Oresme..............................................35
Figura 4 – Plano inclinado...........................................................................................38
Figura 5 – Detalhe do pequeno sino no plano inclinado ...............................................39
Figura 6 – Animação da demonstração experimental ...................................................39
Figura 7 – Resolução do participante 06 do grupo A ...................................................65
Figura 8 – Resolução do participante 14 do grupo D ...................................................65
Figura 9 – Resolução do participante 07 do grupo A ...................................................65
Figura 10 – Resolução do participante 09 do grupo C ..................................................66
Figura 11 – Resolução do participante 01 do grupo A .................................................66
Figura 14 – Resolução do participante 18 do grupo D .................................................67

Figura 26 – Resolução do participante 14 do grupo C..................................................74
Figura 27 – Resolução do participante 05 do grupo B ..................................................75

Tabela 1 – Valores de s, ∆s e ∆2 s para ∆t = 1 segundo ...............................................40
Tabela 2 – Valores de s(t )  2t para t  1 ................................................................47
Tabela 3 - Valores de s(t )  2t para t  0,5 .............................................................47
1 2
Tabela 4 – Valores de s(t )  gt para t  1 ............................................................50
2
1 2
Tabela 5 – Valores de s(t )  gt para t  0,5 .................................................. 50 e 51
2
Tabela 6 – Todos os grupos x todas as questões ..........................................................82
Tabela 7 – Todos os grupos x questão 1 ......................................................................83
Tabela 10 – Todos os grupos x questão 4 ....................................................................86
Tabela 11 – Questão 1 x Grupo ...................................................................................87
Tabela 12 – Quadro percentual comparativo da questão 1 ...........................................87

15

INTRODUÇÃO

Resumidamente, o conceito de função levou muito tempo para ser aperfeiçoado.
Contudo, apesar de ter sido explicitado apenas depois do século XVIII, algumas idéias
inerentes ao conceito primitivo de função são bastante anteriores. Com origem na busca
de filósofos e cientistas que tentavam explicar a realidade utilizando métodos que
permitissem estudar e prever fenômenos naturais, o conceito de função, segundo Caraça
(2003), apresenta duas características fundamentais: a interdependência e a fluência.

Faz com que todas as coisas estejam
Interdependência
relacionadas uma com as outras.

Fluência Faz com que tudo no mundo esteja
em permanente mudança.

Pesquisas na área de ensino de Cálculo têm sustentado que o conceito de função
tem sido uma das principais fontes de obstáculos epistemológicos para a aprendizagem
dos conceitos básicos desta disciplina. Sierpinska (1987), Cabral (1998) e Rezende
(2003a) são alguns exemplos dessas pesquisas. Tal fato é um forte indicador de que o
ensino de funções na educação básica não vem cumprindo bem a sua missão.
Tendo como meta investigar como o tópico “Funções Reais” é abordado na
educação básica, Botelho (2005) e Souza Sá (2005) elaboraram, em suas monografias,
um mapeamento deste tema utilizando como fontes alguns dos principais livros
didáticos nacionais. Os autores observaram, conforme nos revela Rezende, a
predominância de uma abordagem algébrica e estática do conceito de função:
“Fala-se, por exemplo, em injetividade ou sobrejetividade, mas não em
crescimento ou decrescimento da função, ou melhor, em quanto e como
cresce/decresce o valor de uma função em relação à sua variável independente.
Discutem-se (caso existam) os zeros da função, mas não os seus pontos críticos,
que são, em verdade, os seus pontos ótimos. A noção de função é, desse modo,
estabelecida não no contexto da „variabilidade‟, mas, em termos de uma
correspondência estática entre os valores das variáveis „x‟ e „y‟. O gráfico da
função é, em geral, „plotado‟ através de uma tabela de valores „notáveis‟. A
curvatura das curvas que compõem o gráfico da função é, em geral, induzida
pelo acréscimo de mais pontos.” (Rezende, 2006)

16

Assim, pode-se dizer que, com base nos resultados de Botelho (2005) e Souza Sá
(2005), é desse modo, em termos da correspondência (x, f(x)), que se estabelece a noção
de função em alguns dos principais livros didáticos do ensino básico nacional.
Dando continuidade ao projeto de pesquisa de Rezende (2003b), Botelho (2005)
aprofundou o tema propondo atividades que enfatizam a variabilidade de cada uma das
funções polinomiais de 1º e 2º graus. Diante da dificuldade de alguns professores,
detectada durante a realização de minicursos ou oficinas, em resolver problemas que
envolvem propriedades e habilidades relacionadas ao comportamento variacional das
funções afim e quadrática, optou-se, então, por aplicar estas atividades em quatro
encontros distintos com professores de Matemática, que atuam na educação básica
(ensino fundamental e médio). Tira-se então como pergunta norteadora desta
monografia a seguinte questão: Como os professores de Matemática da educação
básica utilizam propriedades e habilidades relacionadas ao comportamento variacional
das funções afim e quadrática na resolução de problemas?
A pesquisa desta monografia engloba uma parte quantitativa, na qual os dados
foram analisados estatisticamente, e uma parte qualitativa que, através do estudo de
caso, busca retratar o dinamismo de uma situação numa forma muito próxima do seu
acontecer natural. No caso, de que forma os professores pesquisados interpretam,
raciocinam e resolvem questões onde é necessário modelar o problema e decidir qual
função pode ser usada no processo de modelagem.
Para realizar o relato deste trabalho, desenvolvemos o texto em cinco capítulos.
Numa primeira etapa, faremos uma revisão bibliográfica em torno do tema dos
referenciais teóricos que serviram como diretrizes para a condução deste trabalho.
Trata-se de apresentar e discutir os resultados da pesquisa de Sierpinska (1992). Além
disso, levam-se em conta as recomendações dos Parâmetros Curriculares Nacionais a
respeito do ensino das funções reais na educação básica e as questões epistemológicas
abordadas por Rezende (2003a).
No segundo capítulo faremos um breve estudo a respeito da evolução histórica
do conceito de função. Os tópicos apresentados vão desde a Babilônia, Grécia,
destacando a contribuição de Oresme, a oportuna experiência de Galileu Galilei, até a
época da invenção do Cálculo.
No terceiro capítulo apresentaremos a caracterização das funções reais afim e
quadrática a partir do comportamento variacional destas funções. O estudo destas

17

variações é realizado: numericamente, através de atividades de manipulação de dados
em tabelas (elaboradas com planilhas eletrônicas e/ou calculadoras); graficamente e
algebricamente.
No quarto capítulo, seguiremos detalhando a metodologia utilizada no
transcorrer desta pesquisa, as atividades propostas e traçaremos o perfil dos sujeitos da
pesquisa. Nesta etapa, também iremos explicitar de que forma foram classificadas as
respostas dos participantes e apresentaremos os resultados da pesquisa através de
tabelas e gráficos, seguidos de comentários e avaliações.
No quinto e último capítulo responderemos a nossa pergunta, destacando o que
consideramos relevante neste estudo de caso, para que o mesmo possa contribuir na
formação continuada de professores da educação básica.

18

Capítulo 1 - O PROBLEMA

“Se tudo depende de tudo, como fixar nossa atenção num
objeto particular de estudo? Temos que estudar tudo ao
mesmo tempo? Mas qual é o cérebro que o pode fazer?”
Bento de Jesus Caraça

1.1. Obstáculos de natureza epistemológica relacionados ao conceito de função

Epistemologia é um ramo do saber que, além de se preocupar com a natureza
dos objetos que compõem uma determinada área como a Matemática, por exemplo,
também se interessa pelo conhecimento e pela forma como ele é processado.
Segundo Bachelard (2006), o progresso do pensamento científico, em especial
nas ciências que possuem um elevado grau de racionalidade como a Matemática, se fez
graças à transposição de obstáculos epistemológicos. Esses obstáculos se encontram no
próprio ato de conhecer fundamentado na idéia pré-concebida que, ao interpretar fatos
segundo necessidades, acaba-se por bloquear o conhecimento, impedindo que se
levantem problemas e criem-se hipóteses fecundas.
Ainda a respeito desse fato, Bachelard (2006) comenta:
“O matematismo já não é descritivo e sim formador. A ciência da realidade já
não se contenta com o „como‟ fenomenológico; ela procura o „porquê‟
matemático.”

Considerando a importância de discutir as dificuldades presentes na educação
Matemática em geral, os obstáculos epistemológicos têm sido analisados por diferentes
autores com diferentes pontos de vista. Dentro do contexto dessa monografia, cabe
destacar a análise epistemológica do conceito de função elaborada por Sierpinska
(1992) no artigo On understanding the notion of function. Segundo a pesquisadora:
“Os estudantes têm tido problemas em fazer a ligação entre as diferentes
representações de funções: fórmulas, gráficos, diagramas, descrições verbais de
relações; em interpretar gráficos; em manipular símbolos relacionados com
funções.”1

1
Tradução nossa

19

Na busca de respostas para superar as dificuldades dos alunos no que diz
respeito ao tratamento, análise e manipulação das diferentes representações das funções,
a autora faz algumas sugestões pedagógicas consideradas importantes para o tratamento
desse conceito. Essas sugestões estão relacionadas à:
a) MOTIVAÇÃO – Motivar os alunos para que eles estejam
interessados em encontrar variações, regularidades entre variações e
que isto os levem a compreender melhor o seu mundo.

b) CONTEXTOS INTRODUTÓRIOS – Utilizar expressões analíticas
primeiramente como ferramentas de modelagem de certas situações,
buscando-se então modelos que representem uma situação real.

c) CONTEXTOS DE DESENVOLVIMENTO – Utilizar métodos de
interpolação e construção de tabelas

d) DESENVOLVIMENTO DE UM NÍVEL MAIS ELABORADO DE
COMPREENSÃO DAS FUNÇÕES – Os estudantes devem ser
capazes de perceber, não apenas como os sujeitos de variação se
modificam, mas também o que muda.

e) PRÉ-REQUISITOS – Ter consciência algébrica no nível estrutural.

f) REPRESENTAÇÕES – Fornecer uma grande diversidade de
representações de funções, adquirindo flexibilidade nas diversas
representações.

g) DEFINIÇÕES – Definições informais são suficientes em nível
secundário e apenas em níveis mais elevados expõe-se, por exemplo,
a definição de Peano.

h) DISTINÇÕES ENTRE A NOÇÃO DE FUNÇÃO E OUTRAS
NOÇÕES GERAIS – Discutir as similaridades e diferenças entre as
relações causal e funcional.

Podemos perceber a preocupação da autora com os atos de compreensão do
conceito, observando ainda os obstáculos que surgem durante tal compreensão. A partir

20

dessas considerações e analisando as dificuldades relativas ao conceito de função,
destaca-se a seguinte opinião exposta por Sierpinska (1992):
“Os estudantes devem se interessar pela variabilidade e buscar por
regularidades antes que exemplos de funções bem comportadas e definições de
Matemática elementar sejam introduzidas na sala de aula.”

As conclusões finais apresentadas pela autora indicam que o conceito de função
passa por diversas questões externas ao próprio conceito. Questões essas referentes à
sua história e a forma como se trabalha com este conceito em sala de aula, além da
forma como se encara (formal ou informalmente) sua definição e sua utilidade
(modelagem, predição, descrição de eventos). A pesquisa aponta vantagens e
desvantagens do formalismo no ensino do conceito de função e defende certas condutas
conscientes à sua abordagem como, por exemplo, tratar da motivação dos alunos com
relação ao estudo das funções, preocupar-se com os pré-requisitos ligados à habilidade
algébrica, ou ainda, utilizar diferentes representações para as funções em busca da
compreensão do seu conceito sob diferentes enfoques.
A partir dessas conclusões, tem-se a nítida consciência dos obstáculos ligados à
compreensão deste conceito, o que deveria ser suficiente para buscarmos formas mais
adequadas de abordá-lo, melhorando assim nossa prática docente com relação ao ensino
de funções na educação básica.

1.2. O Cálculo na formação do professor de Matemática

O conceito de função tem sido uma das principais fontes de obstáculos
epistemológicos para a aprendizagem dos conceitos básicos desta disciplina. Esta
afirmação, sustentada por Cabral (1998) e Rezende (2003a), encontra-se presente em
suas pesquisas na área de ensino de Cálculo. Tal fato é mais um indicador de que o
ensino de funções na educação básica não vem cumprindo bem a sua missão. Como
evidências desse fato, estão as dificuldades de aprendizagem apresentadas pelos
estudantes em relação aos problemas de taxas relacionadas e de otimização.
Analisando o universo de respostas dadas pelos estudantes a alguns problemas
de taxas relacionadas e de otimização, Cabral (1998) aponta quatro níveis de
significação: o aritmético, o algébrico, o funcional e o diferencial, identificando entre
eles uma hierarquia de natureza epistemológica. Segundo a pesquisadora, em situações

21

problema dessa natureza, os dois primeiros níveis de significação são os mais comuns.
Os alunos não conseguem definitivamente “enxergar” as quantidades variáveis
envolvidas no problema nem tampouco a relação funcional entre elas: “O difícil mesmo
é encontrar a função” – respondem os estudantes. Identificar o que varia e em função
de que varia é, sem dúvida, o primeiro passo para a resolução desse tipo de questão.
Segundo Rezende (2003a):
“Grande parte das dificuldades encontradas pelos estudantes do ensino
superior na disciplina Cálculo é conseqüência da falta de preparação, na
educação básica, para o estudo desta matéria. Ao contrário da álgebra, da
aritmética e da geometria, presentes no percurso escolar dos alunos desde as
séries iniciais até o ensino médio, as idéias do Cálculo são omitidas, abordadas
de forma superficial, ou evitadas na educação básica.”

Dentro desse contexto, o “monopólio da representação algébrica” do conceito de
função é um sinal evidente desta omissão. Em sua proposta, as idéias do Cálculo
deveriam ser tratadas a partir de uma articulação entre aritmética, a geometria, a álgebra
e a física. É evidente que problemas clássicos e resultados do Cálculo são evitados ou
simplesmente ignorados no ensino fundamental e médio. A área do círculo, a
transformação de dízimas periódicas em frações, a representação decimal dos números
reais, a soma de infinitos termos de uma progressão geométrica são exemplos de tópicos
do conteúdo programático de Matemática da educação básica que são tratados de forma
superficial.
Ao camuflar as idéias básicas do Cálculo, este passa a aparecer como uma
disciplina isolada, temida pelos alunos que sequer vêem uma relação do seu
aprendizado com sua formação, ou mesmo com as demais disciplinas da grade
curricular. No processo histórico de construção do conhecimento matemático, o Cálculo
potencializa áreas fundamentais como a geometria e a aritmética, além de ser o principal
responsável pelo desenvolvimento e organização do próprio conhecimento matemático.
Já no campo pedagógico, é comum ouvirmos de um professor de Matemática dos
ensinos fundamental e médio o argumento de que não haveria necessidade de ter
estudado Cálculo na universidade, já que não precisaria ensinar seus fundamentos aos
alunos do ensino básico. Rezende (2003a) destaca esta questão ao comentar:
“É, realmente, lamentável que „tal coisa‟ não seja ensinada de fato em etapas
anteriores do ensino de Matemática. Não da forma como é ensinado no curso

22

superior, estanque e dissociado de sua função potencializadora, mas como parte
integrante e fundamental para a construção das idéias Matemáticas e, por que
não dizer, para a própria formação do cidadão.”

No mundo de hoje, não basta perceber o crescimento/decrescimento de uma
função, mas determinar precisamente o quanto esta está crescendo/decrescendo. Com o
desenvolvimento das relações econômicas e sociais tornando-se estas cada vez mais
complexas, faz-se necessário e urgente uma revisão e ampliação das metas da formação
básica para o exercício pleno da cidadania.

1.3. Resgatando o conceito de função

O conceito de função se estabelece como uma ferramenta da Matemática que
ajuda o homem a entender os processos de fluência e de interdependência que são
intrínsecos às coisas e aos seres do nosso Universo. Segundo Caraça (2003):
“A realidade que a inteligência dos homens se esforça por compreender, o
Mundo, no seu sentido mais largo, apresenta-se com duas características
essenciais:
1- Interdependência. Todas as coisas estão relacionadas umas com as outras;
o Mundo, toda essa realidade em que estamos mergulhados, é um organismo
vivo, uno, cujos compartimentos comunicam e participam, todos, da vida
uns dos outros. (...)
2- Fluência. O Mundo está em permanente evolução; todas as coisas, a todo o
momento, se transformam, tudo flui, tudo devém. (...) De modo que, do
extremo superior da escala, do movimento prodigioso da expansão do
Universo, ao movimento, não menos prodigioso, das partículas constituintes
do átomo, tudo flui, tudo devém, tudo é, a todo o momento, uma coisa
nova.”

Portanto, saber que a variação de uma grandeza depende da variação da outra é
um aspecto importante no estudo do conceito de função. Porém, este estudo se torna
incompleto do ponto de vista epistemológico, se não estudamos como ocorre esta
variação, isto é, se não conseguimos dar qualidade e quantificar este processo de
variação.

23

Temos então um instrumento matemático (funções) inventado para uma melhor
compreensão da realidade fluente - que tem na interdependência/fluência uma de suas
características principais. Assim, para apresentar o estudo das funções de uma maneira
mais verdadeira e próxima da realidade, um caminho natural seria caracterizá-las
através de suas variações, estabelecendo dessa forma conexão mais óbvia entre a
realidade e sua origem histórica.

1.4. Recomendações dos Parâmetros Curriculares Nacionais

Com a publicação das Orientações Curriculares para o Ensino Médio pelo
Ministério da Educação, ficaram estabelecidos os princípios que orientam a
metodologia de ensino e filosofia educacional, os quais vêm sendo considerados como
os mais adequados.
“Conforme destacam os PCNEM (2002) e os PCN+ (2002), o ensino da
Matemática pode contribuir para que os alunos desenvolvam habilidades
relacionadas à representação, compreensão, comunicação, investigação e,
também, à contextualização sociocultural.” (Brasil, 2006, p.69)

Pode-se ainda considerar, no que se refere à Matemática e seus temas correlatos,
a importância dada entre a observação do mundo real e suas representações, as quais
estão relacionadas a princípios e conceitos matemáticos. Os princípios norteadores
destes parâmetros podem ser observados no capítulo inicial:
“Em nossa sociedade, o conhecimento matemático é necessário em uma grande
diversidade de situações, como apoio a outras áreas do conhecimento, como
instrumento para lidar com situações da vida cotidiana ou, ainda, como forma
de desenvolver habilidades de pensamento”. (Brasil, 2002, p.111)

“Aprender Matemática de uma forma contextualizada, integrada e relacionada
a outros conhecimentos traz em si o desenvolvimento de competências e
habilidades que são essencialmente formadoras, à medida que instrumentalizam
e estruturam o pensamento do aluno, capacitando-o para compreender e
interpretar situações, para se apropriar de linguagens específicas, argumentar,
analisar e avaliar, tirar conclusões próprias, tomar decisões, generalizar e para
muitas outras ações necessárias à sua formação”. (Brasil, 2002, p.111)

24

As Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares
Nacionais (PCNEM+), em seu volume de Ciências da Natureza, Matemática e suas
Tecnologias, destacam ainda a relevância do conceito de função na atividade
Matemática em nível médio, enfatizando o caráter integrador deste conceito. Citam
como exemplo a relação entre trigonometria e funções no que diz respeito às funções
trigonométricas e seus gráficos. Citam ainda a peculiaridade das seqüências numéricas
e, em especial, das progressões aritméticas e geométricas como casos particulares de
funções.
Destacam também a relação existente entre a geometria analítica e as funções no
que diz respeito ao estudo das propriedades dos gráficos de funções. Seguindo estas
orientações, um dos aspectos que podem ser considerados no ensino da Matemática no
primeiro ano do ensino médio, por exemplo, é a questão do infinito e da convergência a
partir das progressões geométricas infinitas e a soma de seus termos2. A respeito disto
afirma-se que:
“Essas idéias foram e são essenciais para o desenvolvimento da ciência,
especialmente porque permitem explorar regularidades.” (Brasil, 2002, p. 121)

Ainda de acordo com os PCNEM+, o estudo das funções tem relevância
fundamental pela sua interdisciplinaridade, pois a leitura e interpretação de gráficos,
assim como a compreensão de certos fenômenos são vistos em outras áreas do
conhecimento (física, química, biologia, geografia, etc.) a partir deste conceito. Dentro
deste contexto, destacamos a seguinte afirmação:
“Resumidamente, em relação às competências a serem desenvolvidas pela
Matemática, a abordagem proposta para esse tema permite ao aluno usar e
interpretar modelos, perceber o sentido de transformações, buscar
regularidades, conhecer o desenvolvimento histórico e tecnológico de parte de
nossa cultura e adquirir uma visão sistematizada de parte do conhecimento
matemático”. (Brasil, 2002, p.122)

Por outro lado, ferramentas como a calculadora e planilhas eletrônicas criam, a
cada dia, novas facilidades abrindo outros rumos para o entendimento das variações em
uma simples tabela.

2
É necessário que p < |q| < 1 para que a soma dos termos de uma PG infinita, de razão q, seja um
número real.

25

Em resumo, podemos perceber que o conceito de função é um dos elos entre
diferentes assuntos dentro da própria Matemática e que, além disso, desempenha um
papel central em diversas áreas do conhecimento, visto que é uma das ferramentas para
a compreensão de certos fenômenos e a representação das variações dos mesmos.
“A riqueza de situações envolvendo funções permite que o ensino se estruture
permeado de exemplos do cotidiano, das formas gráficas que a mídia e outras
áreas do conhecimento utilizam para descrever fenômenos de dependência entre
grandezas.” (Brasil, 2002, p.121)

Assim, os professores devem compreender que a Matemática desempenha um
papel formativo e técnico com ênfase na formação dos alunos como cidadãos plenos,
capazes de pensar matematicamente quando necessário e utilizar a Matemática no seu
dia-a-dia, e não só para aqueles que pretendem dar continuidade aos estudos nesta área
ou em áreas afins.

1.5. O estudo da variabilidade das funções nos livros didáticos

Em seu trabalho, Botelho (2005) conclui que os livros didáticos de educação
básica em geral não proporcionam um estudo sobre a variação das funções polinomiais
e justifica a importância desse estudo. Através da proposição de atividades sobre a
maneira como variam estas funções, sinaliza como esta abordagem pode ser feita. Desse
modo, o trabalho contribui para uma reflexão sobre a necessidade de inserção no ensino
médio de atividades sobre a variabilidade das funções afins e quadráticas:
“O mapeamento realizado mostrou uma ausência quase total, nos livros
didáticos, de tópicos que analisem o comportamento destas funções sob o ponto
de vista da variabilidade. Qual o motivo desta omissão? Qual a dificuldade em
se tratar, no ensino médio, de assuntos como „variabilidade‟ ou „taxa de
variação‟? (...) E se o problema não tiver uma fórmula ou um gráfico? De quais
ferramentas dispõem o aluno para modelar o problema e decidir qual a função
pode ser utilizada no processo de modelagem?” (Botelho, 2005)

Por outro lado, em seu trabalho de mapeamento das funções logarítmicas e
exponenciais nos livros didáticos, Sá (2005) cita a importância do desenvolvimento da
física no processo de “matematização” do conceito de função e destaca que é na

26

compreensão em como ocorre e crescimento ou decrescimento de uma grandeza em
função de outra que reside a idéia básica do conceito de função. Assim como Botelho
(2005), Sá (2005) conclui que esse assunto é abordado quase sempre de forma algébrica
e que o caráter variacional das funções é deixado de lado ou visto de forma muito tímida
em exercícios com resolução predominantemente algébrica.
Santos (2008) chamou a atenção para o fato de ser uma característica dos livros
didáticos evitar ou dar pouca ênfase ao processo dinâmico da construção do conceito de
função e que isso se reflete diretamente na prática pedagógica da sala de aula. Sabemos
que, em geral, o livro didático é único instrumento utilizado pelo professor, norteando o
planejamento das aulas, o ensino dos conteúdos e a resolução das atividades e
exercícios.
Usando como referência estes trabalhos, pode-se concluir que o ensino de
funções não está cumprindo o papel de auxiliar o ser humano a compreender os seus
problemas e os do mundo ao seu redor. A ausência da compreensão da variabilidade,
entre outros aspectos já levantados anteriormente, representam um desvio de natureza
epistemológica em relação ao conceito de função.
Em consonância com este pensamento Cândido, em seu trabalho, afirma que:
“A familiarização com a variação de grandezas, por meio da análise de seu
comportamento, com a identificação de padrões e regularidades, é fundamental
para que o aluno inicie processos de generalização.” (apud Botelho, 2005)

Botelho (2005) propõe então atividades que possam ser apresentadas ao aluno do
ensino médio as quais, paralelamente ao estudo algébrico das funções afim e quadrática,
enfatizam a variabilidade de cada uma destas funções. Esta proposta está alinhada com
o documento da Secretaria de Educação do Estado do Rio de Janeiro para o
desenvolvimento do currículo nas unidades escolares da Rede Pública Estadual (SEE-
RJ, 2004), onde figuram orientações para os professores de como “introduzir a idéia de
taxa de variação” e “fazer a ligação da progressão aritmética com a função afim” para o
estudo da função polinomial do 1° grau, na 1ª série do Ensino Médio.

1.6. O imprescindível estudo da variabilidade

Para desenvolver este tópico, utilizaremos como referencial teórico o trabalho de
pesquisa de Rezende (2003b) intitulado “Proposta de emersão das idéias básicas do

27

Cálculo no ensino básico de Matemática”. Para Rezende, a idéia de variação é tão
básica e natural que pode (e deve) ser trabalhada na escola desde as séries iniciais. A
variação da altura do pé-de-feijão plantado num chumaço de algodão (uma das
primeiras experiências escolares) é percebida em geral por toda criança, assim como a
variação das medidas do seu próprio corpo que “cresce” com o avançar do tempo. No
entanto, para passar da percepção sensível da variação para uma compreensão mais
sistêmica do processo de variação, um conceito fundamental da Matemática torna-se
imprescindível: o conceito de função.
Do ponto de vista histórico, Rezende (2003b) identificou que o conceito de
função entrou no âmbito do conhecimento matemático por dois notáveis caminhos: o da
filosofia natural (dos escolásticos) e o algébrico, da geometria analítica (de Descartes).
Neste último caminho, o conceito se estabelece a partir da relação implícita entre as
variáveis da equação que representa a curva. Trata-se, portanto, de uma noção estática
motivada única e exclusivamente pela descrição algébrica (equação) da curva. Neste
caso, a equação da curva ou mesmo a expressão analítica que define a função são dadas
a priori.
Já no primeiro caminho, a relação funcional era explicitada diretamente pela
curva (gráfico) que era usada especificamente para indicar como uma determinada
grandeza “y” variava em relação à outra grandeza “x”. Nesta representação dinâmica do
conceito de função, o que motiva a construção da curva é justamente o fato de ela
descrever a variação de uma grandeza em relação a outra. A expressão analítica que
define a função é, neste caso, conseqüência do modo como se dá a variação entre as
quantidades variáveis. O modo como as grandezas variam é que é o ponto de partida
para se construir o conceito de função.
Rezende (2003b) afirma que ambas as representações fizeram parte da
construção do Cálculo, mas não há como negar a importância fundamental que teve a
representação dinâmica do conceito de função na significação do conceito de derivada
como taxa de variação instantânea. No entanto, no ensino básico de Matemática, dá-se
pouca ênfase a este processo dinâmico da construção do conceito de função, conforme
podemos constatar nos trabalhos de mapeamento dos livros didáticos apresentados por
Sá (2005) e Botelho (2005). A idéia de função é estabelecida, segundo estas pesquisas,
não no contexto da “variabilidade”, mas em termos de uma correspondência estática
entre os valores das variáveis “x” e “y”. A expressão analítica que representa a regra de
correspondência é dada desde o início do processo de construção. O gráfico da função é

28

“plotado” então com o auxílio de uma tabela de valores “notáveis”, e o traçado da curva
que representa o gráfico da função é realizado por um processo indutivo. Em seguida, é
estudada uma série de propriedades algébricas da função (imagem, raízes, injetividade,
periodicidade, variação do sinal etc.), subordinando o seu significado ao exercício e
desenvolvimento de técnicas algébricas: resolução de equações e inequações algébricas,
exponenciais e trigonométricas - como se essa fosse a principal razão para se estudar
funções.
Para que se possa romper com essa caracterização algébrica do conceito de
função, o autor pondera que será preciso construir suas significações a partir do
problema fundamental da variabilidade. Isto é, caracterizar as funções reais usualmente
estudadas no ensino básico a partir do estudo de suas variações. Desse modo, a função
afim y  ax  b , por exemplo, é aquela cuja variação de uma variável é proporcional à
variação da outra, quer dizer, y  ax , (figura 1). Ou, ainda de outro modo, que a taxa
y
de variação  a é constante.
x

Gráfico 1 – Função Afim
Fonte: autor

Já a função quadrática y  ax 2  bx  c pode ser caracterizada como a função
cuja variação da variação da quantidade y em relação a x , para x fixo, é constante, o

29

que equivale dizer que a variação y é uma função afim de x , uma vez fixado o valor
de x (figura 2).

Gráfico 2 – Função Quadrática e de y em função de x
Fonte: autor

Em busca da consolidação efetiva dessas idéias, o autor propõe que as
propriedades das funções afim e quadrática sejam estabelecidas a partir de situações-
problemas do cotidiano ou de outras áreas do conhecimento. Ele destaca a própria
história do Cálculo, onde a física aparece oferecendo condições apropriadas para
emersão das idéias do Cálculo, e relembra a construção do Cálculo por Newton, através
do entrelaçamento das idéias físicas, do infinitésimo e da geometria analítica.
Diante disto, surge uma questão natural: será que o professor de Matemática da
educação básica está preparado para realizar este estudo e caracterização das funções
reais a partir do seu comportamento variacional?

1.7. O professor de Matemática, o conceito de função e a pergunta da pesquisa

Para introduzir a questão de nossa pesquisa, buscamos referência nos recentes
trabalhos de Rossini (2006) e Costa (2008).
Costa (2008) apontou, em sua pesquisa com alunos da disciplina de Funções
Reais do Curso de Especialização em Ensino da Matemática da UFRJ, as dificuldades
dos mesmos com relação a esse assunto. O autor percebeu uma predominância do
conceito de elemento/conjunto, no qual a função é descrita como uma relação entre dois
conjuntos A e B, e também na indicação, por parte dos entrevistados, do diagrama de

30

setas para representar a primeira imagem referente ao conceito de função. Ele observou,
baseando-se no quadro teórico proposto por R. Even3 (1990) em Subject Matter
Knowledge for teaching and the case of functions, que:
“...os professores não conectam os vários modos de apresentação do objeto
função e, principalmente, desconhecem as limitações intrínsecas a cada um dos
modos (diagrama de setas, tabelas, expressão algébrica).” (Even, 1990, apud
Costa, 2008)

Costa (2008) destacou ainda a dificuldade dos professores em transitar entre a
representação algébrica e a representação geométrica. Na questão do entendimento
matemático do conceito de função, ele verificou que alguns professores produziram
definições baseadas na interdependência entre grandezas como velocidade e tempo em
exemplos de movimento. O autor questionou a ausência de uma abordagem mais formal
por parte dos professores participantes de sua pesquisa.
Apesar dos professores terem completado o curso de funções reais, o
pesquisador observou ainda algumas crenças e atitudes, tais como: toda função deve ser
contínua, os procedimentos algébricos dominando a representação geométrica, a falta de
análise prévia para construção de gráficos e ainda, a dificuldade de entendimento em
relação aos números reais.
Recorremos também, aos resultados da pesquisa de Rossini (2006). Como
justificativas da pesquisa, a autora citou os limites da formação inicial dos professores,
as pesquisas que mostram o preparo inadequado para trabalhar com o conceito de
função em sala de aula, e ainda, a importância da formação continuada dos professores.
Ela levantou aspectos como a falta de uma cultura que dê valor à leitura de documentos
como, por exemplo, os tópicos sobre o ensino e aprendizagem de função encontrados
nos PCN’s e considerados por muitos professores como uma leitura difícil, uma vez que
pressupõe um conhecimento tanto do conteúdo específico, quanto do seu lado
pedagógico. Acrescentou também que um professor de Matemática ideal deveria
conhecer as “organizações Matemáticas” (os axiomas, definições, teoremas e
resultados) em torno do objeto função e desenvolver as “organizações didáticas”
correspondentes (quer dizer, o plano de aula, os exemplos que serão mostrados e todos
os recursos que serão utilizados durante a aula); conhecer as etapas principais da

3
Even, R. (1990) Subject Matter Knowledge for Teaching and the Case of Functions. Educational Studies
in Mathematics, nº 21, p. 521-544.

31

história do conceito de função; conhecer os obstáculos envolvidos na construção do
conceito; conhecer as sugestões didáticas sobre funções, variáveis, proporção, utilização
de tabelas, fórmulas e gráficos; e, por fim, conhecer as tendências em Educação
Matemática.
A leitura de teses, dissertações e trabalhos publicados em revistas especializadas
na investigação preliminar da autora, permitiu que fossem encontrados muitos pontos
em comum nas dificuldades de alunos e professores. A revisão da literatura foi dividida
em três categorias distintas: pesquisas com alunos, com professores e com professores e
alunos. Todas as pesquisas examinadas pela autora contém valiosas contribuições para a
compreensão das dificuldades dos sujeitos nelas envolvidos, mas destacamos uma em
especial, de autoria de Zuffi4 (1999), cujo objetivo era detectar modos de utilização da
“simbologia” e da “lógica” envolvidas na “linguagem Matemática do professor”, a fim
de levantar alguns fatores que pudessem estar influenciando as dificuldades dos alunos
para a compreensão do conceito de função. No final, o resultado da pesquisa aponta
para o empobrecimento da linguagem do professor em sala de aula. Rossini (2006)
endossa a pesquisa de Zuffi (1999) e vai além:
“Acreditamos que o quadro seria mais desolador, se ao invés de ter investigado
professores provenientes de uma licenciatura plena, a pesquisadora tivesse
optado por investigar professores provenientes de licenciaturas curtas, ou de
outros cursos superiores, com apenas uma complementação pedagógica para
ensinar Matemática.” (Rossini, 2006)

Diante dessa realidade, nos apresentada de forma tão transparente pelos
pesquisadores, consideramos que provavelmente esses professores, com essa concepção
de ensino, formarão alunos limitados nessa mesma concepção. Por sua vez, alguns
desses alunos poderão escolher a carreira do magistério e o ciclo recomeçaria.
Constatamos a importância das observações de Costa (2008) e Rossini (2006)
em suas pesquisas, pois além da preocupação para com o processo de aquisição do
conhecimento ser o mais completo possível, apresentaram ferramentas essenciais para a
verificação do conhecimento do professor de Matemática sobre o conceito de função.

4
ZUFFI, E. M. O tema “funções” e a linguagem Matemática de professores do Ensino Médio – por uma
aprendizagem de significados. 1999. Tese de Doutorado em Didática – Ensino de Ciências e
Matemáticas, Faculdade de Educação, USP, São Paulo, 1999.

32

Por outro lado, ainda existem pontos que merecem estudos mais apurados e que
não foram aqui abordados, como a dificuldade dos professores em tratar, no ensino
médio, de assuntos como “variabilidade” ou “taxa de variação”.

Sendo assim, trazemos a questão crucial sugerida por Botelho (2005) e que
aponta o caminho desta pesquisa:
“Poderíamos ainda, a título de reflexão, perguntar se nós, docentes do ensino
médio, trazemos estes conhecimentos consolidados em nossa bagagem didática
para que possamos transmiti-los aos alunos de forma segura.”

Esse trabalho tem como meta principal, desenvolver estudos a respeito do
conhecimento do professor da educação básica sobre o conceito de função e na
resolução de problemas que envolvem propriedades e habilidades relacionadas ao
comportamento variacional das funções afim e quadrática.

33

Capítulo 2 - UM BREVE ESTUDO DA EVOLUÇÃO HISTÓRICA
DO CONCEITO DE FUNÇÃO

Ao se fazer um relato cronológico do desenvolvimento de algum conceito
matemático surge a questão de por onde começar, pois em muitos casos é impossível
determinar quanto é preciso recuar no tempo para alcançar suas origens. Este estudo
fundamenta-se nos trabalhos de Eves (2004), Boyer (1999) e Baron (1985).

2.1. As tábuas na Antiguidade

Segundo Eves (2004), os matemáticos babilônios, em torno de 2000 a C,
utilizaram largamente as tabelas sexagenais de quadrados e raízes quadradas, de cubos e
raízes cúbicas, assim como outras tabelas. Tábuas de funções foram empregadas na
astronomia babilônica para observar os movimentos do Sol, da Lua e dos planetas e
tornaram-se os fundamentos matemáticos de todo o desenvolvimento posterior da
astronomia.
A partir da fundação da primeira escola filosófica grega por Tales de Mileto por
volta de 600 a.C. é que a forma de explicar fenômenos naturais baseada em mitos
começou a mudar. Com argumentos mais racionais, Platão (427-347 a.C.) acreditava
que conhecimento obtido apenas através da física não era muito útil, pois as coisas
materiais mudavam com o tempo, ao contrário das leis Matemáticas que são a essência
da realidade por serem imutáveis.
Mais tarde, ao longo da época da Alexandria, usando teoremas de geometria e
regras de interpolação, os astrônomos confeccionaram tábuas equivalentes às tabelas de
senos, que foram colocadas em uso pelos hindus alguns séculos mais tarde.
Mesmo considerando o conhecimento daquela época acerca de coordenadas de
corpos celestes que mudavam periodicamente ou das cordas de comprimentos diferentes
em correspondência a arcos de comprimentos diferentes, não havia, segundo Boyer
(1999), nenhuma idéia geral de funcionalidade, dependência entre quantidades ou
números sob alguma forma de gráficos, ou de tabelas, ou mesmo qualquer descrição
verbal que explicitasse uma dependência.
O autor acrescenta ainda que os gregos examinaram os problemas de
movimento, de continuidade e de infinito, mas que seu pensamento ficou distante da

34

concepção cinemática de uma quantidade fluente, característica do cálculo infinitesimal
dos séculos XVII, XVIII e XIX.
Com a ascensão da cultura árabe, após o declínio das antigas civilizações, os
métodos de tabulação foram aperfeiçoados levando ao aumento do número de “funções”
utilizadas, como as trigonométricas, mas isso não acarretou novos desenvolvimentos
relativos ao conceito de função.

2.2. A teoria das formas na Idade Média

Aristóteles era discípulo de Platão e estudava as mudanças físicas de forma
qualitativa. Este tipo de abordagem influenciaria a evolução da ciência por muito tempo,
fazendo com que o conceito de função nascesse a partir do momento em que o
movimento passasse a ser descrito de forma quantitativa.
Até o século XIII, o pensamento aristotélico impregnou as Universidades da
Europa apesar dos questionamentos de Roger Bacon (1214-1294) e Guilherme de
Ockham (1300-1382), que defendiam que verdades científicas devem ser obtidas
através da experiência. A representação mais significativa do conceito de função foi
apresentada pelo Bispo Nicolau de Oresme (1323-1382), na Universidade de Paris.
Para Baron (1985), Oresme foi a primeira pessoa que utilizou as coordenadas
para representar a velocidade em função do tempo. Ao estudar o movimento uniforme e
o movimento uniformemente acelerado, Oresme representou graficamente a velocidade
em função do tempo.

Figura 1 – Representações gráficas de Oresme
Fonte: Curso de História da Matemática – Origens e Desenvolvimento do Cálculo

Para traçar o gráfico da velocidade de um corpo que se move com aceleração
constante em função do tempo, Oresme representou pontos, instantes de tempo (ou
longitudes) e, para cada instante, traçou, perpendicularmente à reta de longitudes, um
segmento de reta vertical (latitude) cujo comprimento representava a velocidade naquele
instante. As extremidades desses segmentos estão alinhadas e formam, como se observa

35

na figura 2, o segmento de reta que descreve a variação da velocidade em função do
tempo.

Figura 2 – Exemplo de um gráfico de Oresme na Idade Média

Os termos longitudes e latitudes são usados por Oresme para designar o que
chamamos, na linguagem Matemática atual, de abscissa e ordenada. Assim, nessa teoria,
uma função pode ser definida ou por meio de uma descrição verbal de sua propriedade
ou por meio de um gráfico.
A teoria da latitude das formas, conforme nos revela Baron (1985), alcançou um
grande renome durante o século XV e na primeira metade do século XVI, em particular
na Inglaterra, na França, na Itália e na Espanha. Para ilustrar esse fato, exibiremos um
resultado demonstrado por Oresme por meio dessa teoria da latitude das formas.
Naquela época, uma aceleração constante era uma abstração teórica, pois não havia
clareza de que isto poderia ocorrer no mundo físico, como por exemplo, na queda dos
corpos. Oresme fez a demonstração desse resultado determinando a velocidade média
de um movimento uniformemente acelerado (Teorema de Merton) e provou sua
validade através de um gráfico semelhante ao mostrado na figura 3.

Figura 3 – Ilustração do Teorema de Merton de Oresme

36

Observemos que os desenhos esboçados por Oresme representam gráficos de
funções afins da velocidade em relação ao tempo. As idéias de Oresme trouxeram
contribuições importantes à representação geométrica, no que se refere à utilização pela
primeira vez de técnicas gráficas para representar toda espécie de movimento. Apesar
de não terem sido inventadas por Oresme, essas técnicas gráficas foram
substancialmente desenvolvidas por ele e, através delas, os conceitos de movimento
foram efetivamente relacionados em bases intuitivas com a ordenada, a abscissa, o
gradiente de curvas (ou retas) e o espaço que os contém.

2.3. O estudo da variabilidade da função quadrática e a contribuição de Galileu

Numerosas investigações têm mostrado como o conceito de função é de grande
relevância no estudo da álgebra e fundamental para a aprendizagem do cálculo. Da
mesma forma, o papel da história da Matemática tem se destacado como uma
ferramenta de reflexão docente na hora de abordar e apresentar situações didáticas, já
que permite identificar obstáculos e procedimentos na construção de conceitos.
Para o estudo da variabilidade da função quadrática utilizando a modelagem
como ferramenta didática, é necessária uma indagação histórica que permita evidenciar
obstáculos, oportunidades e situações que revelem “concepções quadráticas”.
Segundo o trabalho de investigação de Jhony Alexánder Villa Ochoa (2006):
“A figura de Galileu Galilei (1564-1642) é relevante nesta
construção e permitirá mostrar seu pensamento matemático no
momento em que iniciou seus estudos, em particular o estudo do
movimento como tal.”

2.3.1. Mas afinal, o que sabia Galileu?

Supomos que os saberes acumulados em seu tempo estavam à disposição para a
elaboração do novo conhecimento que, neste caso, tem haver com modelagem de
fenômenos de variação, em particular da cinemática.
Sendo assim, pode-se afirmar que a partir do mesmo conhecimento que possuía
Galileu, tanto é possível realizar um estudo do movimento, como da função quadrática.
Mesmo que esta não fosse reconhecida explicitamente por Galileu, seu pensamento
sugeria sua aceitação como tal.

37

Através de uma breve revisão da história da Matemática é possível saber que
seus conhecimentos correspondiam a conteúdos como pensamento dedutivo, geometria
euclidiana, sucessões e progressões aritméticas, seções cônicas, álgebra geométrica e
aproximações gráficas de movimento de Oresme.
Estes procedimentos, segundo Ochoa (2006), eram conhecidos no tempo de
Galileu e bastante evidenciados em sua obra, uns com maior ênfase que outros, mas
todos sendo necessários. São eles:
a) O pensamento dedutivo, através da lógica, possibilita a criação de
sistemas da mesma forma que se submete conhecimentos para
validação, os quais se consolidam como verdade (os Elementos de
Euclides são o exemplo do modelo de raciocínio que matemáticos e
culturas posteriores adotaram).
b) A geometria euclidiana com seu caráter dedutivo em relação às
noções quadráticas encontradas em os Elementos, permite a
representação de segmentos através de quantidades multiplicadas, o
que demanda uma interpretação a partir das áreas.

c) As sucessões e progressões aritméticas permitem categorizar os
números e estabelecer suas leis de formação a partir das variações das
quantidades, viabilizando a descrição do comportamento variacional
do movimento.

d) A consolidação do conceito de movimento por Galileu,
estabelecendo a ruptura da concepção de parábola como figura, que
passa a ser considerada como resultado do comportamento de
algumas variáveis.
e) O manuseio de uma álgebra sincopada, a partir da generalização da
geometria e da contribuição dos árabes, com a tradução dos trabalhos
gregos e da formalização sistemática da álgebra.

f) As aproximações gráficas de movimento de Oresme (que vimos na
parte anterior desta monografia), cujo objetivo era representar
mediante uma figura geométrica, a interdependência de quantidades
contínuas e análogas.

38

Assim, conforme nos revela Ochoa (2006), esses eram os conhecimentos
disponíveis para Galileu empreender sua explicação acerca dos fenômenos do
movimento, apresentando uma nova forma de concebê-los e representá-los para um
mundo no qual havia uma demanda por um novo conhecimento. Esta foi sua grande
contribuição, a relação da física com a Matemática e, a partir desse vínculo, a
modelagem Matemática.

2.3.2. A experiência de Galileu

Embora não existam documentos comprovando que Galileu tenha realizado este
experimento específico, recorremos ao site do Institute and Museum of The History of
Science5 para ilustrar a demonstração experimental da Lei dos Corpos em Queda Livre.
Ao que tudo indica, Galileu realizou inicialmente a experiência num plano inclinado,
para depois deduzir o que acontecia quando o plano fosse “vertical” ao solo.
Vamos então à experiência com o plano inclinado.

Figura 4 – Plano inclinado
Fonte: Institute and Museum of The History of Science

5
(http://brunelleschi.imss.fi.it/museum/esim.asp?c=404013)

39

Figura 5 – Detalhe do pequeno sino no plano inclinado

O plano inclinado da figura 4, com cinco pequenos sinos (figura 5) e um
pêndulo, foi concebido para a realização de um experimento que consiste em lançar uma
pequena bola do início do plano, ao mesmo tempo em que o pêndulo é inicializado. Em
cada uma das oscilações completas do pêndulo, a bola atinge um dos pequenos sinos
colocados ao longo do plano inclinado distantes um do outro segundo a sequência finita
de números ímpares (1, 3, 5, 7 e 9).

Figura 6 – Animação da demonstração experimental

O experimento não só torna possível medir o aumento da distância percorrida
pela bola, em intervalos de tempo iguais a partir de uma posição inicial de repouso,

40

como prevê a aceleração constante durante o seu movimento, graças aos sinos
colocados em posições estratégicas durante o percurso da bola no plano inclinado.
Para interpretar os dados fornecidos por Galileu, podemos recorrer a uma tabela
que nos forneça as medidas da posição de um objeto em queda livre. Uma vez escolhido
o intervalo de tempo t (neste caso t  1 )6, a medida da posição do objeto no instante
inicial (quando t  0 ), a medida da posição do objeto nos instantes t  1 , t  2 , t  3 ,
t  4 e t  5 , e a variação da posição do objeto s (deslocamento), podemos calcular e
analisar a variação do deslocamento do objeto, conforme o exemplo a seguir:
t  1
Tempo Posição Deslocamento
(t) (s) ( s )

0 0 s  st 1  st
1 1= s(0) +1 1
2 4 = s(1) +3 3
3 9 = s(2) + 5 5
4 16 = s(3) + 7 7
5 25 = s(4) + 9 9

Tabela 1 – Valores de s, ∆�� e ∆2 �� para ∆�� = 1

No Movimento Uniformemente Variado (MUV), v(t )  at  b é a velocidade do
ponto no instante t . No caso da queda livre de um corpo, a aceleração a é a aceleração
da gravidade, normalmente indicada pela letra g . Nosso conhecimento da função
quadrática permite obter uma descrição completa do movimento uniformemente
variado.
As aplicações práticas relacionadas à questão da variabilidade são fundamentais
para a compreensão do conceito de função. Segundo Rezende (2003), ao introduzir os
processos dinâmicos de interpretação do conceito de função, estamos contribuindo para
a formação de um cidadão mais apto a entender as variações que ocorrem no mundo ao
seu redor.

6
t e t em unidade de tempo.

41

2.4. O período Moderno

Mesmo exercendo um papel notável para o desenvolvimento da noção geral de
função, as idéias dos filósofos das escolas de Oxford e Paris, também conhecidos como
escolásticos, não se mantém dominante e um novo caminho para a construção do
conceito de função surge no século XVII. O crescimento dos cálculos matemáticos
como os progressos alcançados na trigonometria, a introdução do conceito de
logaritmos e a extensão do conceito de número, associados à criação da álgebra
simbólica por François Viète, tiveram papel decisivo para o desenvolvimento posterior
da teoria das funções. Porém, a introdução de números e símbolos somada ao
aperfeiçoamento por outros matemáticos na álgebra simbólica de Viète, não foram
suficientes para fazer avançar o conceito de função.
Entretanto, Eves (2004) nos oferece uma análise histórica importante do começo
do século XVII, em relação às invenções de novos instrumentos científicos ligados à
física e que trouxeram precisão às experimentações e mensurações das medidas
quantitativas de calor, pressão, velocidade. Com isso, as leis quantitativas da natureza
adquiriram cada vez mais força, estabelecendo relações funcionais entre valores
numéricos e quantidades físicas. Ainda assim as funções só eram abordadas através dos
métodos antigos: por descrição verbal, por tabela ou por gráfico. O autor afirma que J.
Burgi estabeleceu sua tabela de logaritmos, publicada em 1620, partindo da relação
conhecida por Arquimedes, entre a progressão geométrica das potências de uma
quantidade e a progressão aritmética dos expoentes, usando o processo de interpolação,
que o levou a compreender intuitivamente que essa relação devia ser contínua. Por outro
lado, John Napier, cujos trabalhos sobre logaritmo foram publicados em 1614 num
trabalho intitulado “Mirifici logarithmorum canonis descriptio”, partiu da comparação
de dois movimentos retilíneos contínuos.
Após a criação dos logaritmos, o método analítico para introduzir as funções por
meio de fórmulas e equações começou a se destacar através dos trabalhos de Pierre
Fermat e René Descartes que, independente um do outro, aplicaram a nova álgebra à
geometria, abrindo uma nova era em Matemática. Fermat, por exemplo, escreveu
equações de uma reta e as equações de algumas curvas do segundo grau utilizando as
notações de Viète e um sistema de coordenadas. Descartes introduziu essa idéia mais
detalhadamente na sua célebre obra chamada La Géométrie, de 1637. Pela primeira vez
e de maneira absolutamente clara, surge a idéia de que uma equação em x e y é usada

42

para representar uma dependência entre quantidades variáveis de forma que seja
possível o cálculo dos valores de uma delas em correspondência aos valores dados pela
outra.
A introdução de funções sob a forma de equações teve o efeito de uma revolução
que estendeu-se aos outros ramos da Matemática e deu origem ao estudo do cálculo, em
particular ao cálculo infinitesimal. As perspectivas sobre as aplicações das séries aos
problemas denominados “impossíveis” fizeram com que Isaac Newton e Gottfried
Wilhelm Leibniz se dedicassem ao estudo do tema da moda, série de potências e assim,
contribuíssem com a evolução do conceito de função. Os dois matemáticos representam,
com efeito, os dois pilares fundamentais do desenvolvimento do Cálculo Infinitesimal.
A primeira definição de uma função como expressão analítica aparece, no
entanto, um pouco depois do surgimento dos cálculos de Newton e Leibniz. Tal fato
acontece em um artigo de Johann Bernoulli, que costumava se corresponder com
Leibniz, publicado nas memórias da Academia Real de Ciências de Paris em 1718 sob o
título traduzido “Considerações sobre o que se tem, até o presente momento, sobre
soluções de problemas de isoperímetros”, encontrado no trabalho de Youschkevicht7
(1981):
“Chama-se função de uma grandeza variável uma quantidade composta de
alguma maneira que seja desta grandeza variável e de constantes.”

O desenvolvimento essencial do conceito de função é devido a Leonhard Euler,
discípulo de J. Bernoulli. Segundo Boyer (1999), Euler foi o construtor da notação mais
bem sucedida em todos os tempos e devemos a ele a notação f (x) para uma função em
x . Para formular uma definição que englobasse todas as classes conhecidas de relações,
Euler se volta para a noção geral de relação entre quantidades variáveis. Segundo
Youschkevicht (1981), no prefácio de sua Institutiones calculi differentialis, publicada
em 1755, Euler define função da seguinte maneira:
“Se certas quantidades dependem de outras quantidades de tal maneira que se
as outras mudam, essas quantidades também mudam, então se tem o hábito de
nomear essas quantidades funções das últimas; essa denominação tem o mais
amplo entendimento e contém em si mesma todas as maneiras pelas quais uma
quantidade pode ser determinada por outras. Se, por consequência, x designa

7
YOUSCHKEVICHT, A. P. Le concept de fonction jusqu’au milieu du XIX e siècle. In: Fragments
d´histories des Mathématiques, Brochure A.P.M. E. P., n.41, p.7 – 67, 1981.

43

uma quantidade variável, então todas as outras quantidades que dependem de x,
não importando qual a maneira, ou que são determinadas por x, são chamadas
de função de x.”

Assim como Euler, Lagrange não tinha dúvidas em considerar toda função da
análise Matemática como podendo ser representada por uma série de termos
proporcionais às potências reais da variável independente.
É comum em Matemática, surgirem discussões a respeito de uma determinada
teoria, e como não podia deixar de ser, as discussões sobre o conceito de função
ocorreram do século XVIII envolvendo Euler e Lagrange, além de Jean Lê Rond
D’Alambert, Daniel Bernoulli (filho de Johann), Gaspard Monge, Pierre Simon Laplace
e Jean Batiste Joseph Fourier. Discussões a parte, guiados ou não por considerações
físicas e uma profunda intuição matemática, esta controvérsia foi muito importante para
o progresso da física matemática e para o desenvolvimento metodológico dos
fundamentos da análise matemática. As idéias de Euler foram analisadas corretamente
por Condorcet no seu manuscrito “Tratado de cálculo integral”, no qual utiliza pela
primeira vez a expressão “função analítica”, o qual foi lido por muitos matemáticos em
Paris. Entre eles Sylvester François Lacroix, que propõe em seu “Tratado de cálculo
diferencial e integral”, publicado em 1797 a seguinte definição, citada por
Youschkevicht (1981):
“Toda quantidade cujo valor depende de uma ou várias outras quantidades, diz-
se função dessas últimas, quer se conheça quer se ignore por quais operações se
deve passar para voltar à primeira.”

A relação entre os conceitos de função e continuidade aparecem explicitamente
nos trabalhos de Euler quando este define “variação contínua”. Entretanto, a relação
entre estes dois conceitos ficará mais clara e precisa no trabalho de Augustin-Louis
Cauchy. Um ponto que deve ser notado na obra de Cauchy (1823) é a definição de
função contínua, encontrada no trabalho de Monna8 (1972):
“Quando uma função f (x) admite um único valor para todos os valores de x
compreendidos entre dois limites dados, a diferença f ( x  i)  f ( x) sempre

8
Monna, A F. The concept of function in the 19th and 20th centuries, in particular with regard to the
discussions between Baire, Borel and Lebesque. Arch. for Hist. of Exact Sciences, v. 9, p. 57-84, 1972.

44

sendo uma quantidade infinitamente pequena, diz-se que f (x) é função contínua
da variável x entre os limites dados.”

Outro matemático francês que dá contribuições essenciais para o
desenvolvimento do conceito de função foi Jean Baptiste Joseph Fourier. Segundo
Youschkevicht (1981), a principal contribuição de Fourier, foi a definição da série que
leva seu nome e que fornece uma generalização quanto aos tipos de funções que podem
ser estudadas:
“Em geral, a função f (x) representa uma seqüência de valores ou ordenadas
onde cada uma é arbitrária.”

Depois da definição de Fourier, que sustenta que essas ordenadas podem não
estar sujeitas a uma lei comum, foram publicadas outras, muito mais extensas,
atribuídas a Nicolai Ivanovich Lobachevsky e a Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Essas
definições são praticamente idênticas e evidenciam a possibilidade de generalização das
funções contínuas e descontínuas. Apesar dos conceitos de conjunto e de número real
ainda não terem sido estabelecidos, a definição de Dirichlet está próxima do ponto de
vista moderno. Finalmente, ao concluir o estudo do século XIX, Eves (2004) apresenta
a contribuição dada por Hermann Hankel, pela definição geral que foi incluída nos
cursos de análise Matemática no final do século XIX e início do século XX:
“Diz-se que y é função de x se para cada valor de x, em um certo intervalo,
corresponde um valor bem definido de y, sem que isso exija que y seja definido
em todo o intervalo pela mesma lei em função de x, nem mesmo que y seja
definido por uma expressão Matemática explícita de x.”

As diferentes considerações quanto ao tipo de comportamento das funções e as
relações funcionais são características de diferentes épocas e diferentes gerações de
matemáticos. Os conceitos de função são adequados para as suas épocas e supostamente
tão gerais quanto o conceito atual. Por essa razão, Euler, Lacroix, Fourier e Dirichlet
não imaginaram funções como aquelas que seriam introduzidas mais tarde, na época de
Georg Cantor, René Baire, Emile Borel e Henri Leon Lebesgue. Após contornar o
complexo obstáculo de sua representação analítica, a classe das funções ampliou-se,

45

mais funções foram descobertas e tornou-se necessário estudar as diferentes classes de
funções (contínuas, diferenciáveis, descontínuas em determinados pontos, etc.).
O final do século XIX e início do século XX são marcados pelo
desenvolvimento do conceito de função ligado à teoria dos conjuntos, à lógica
Matemática e por discussões presentes nos trabalhos de Baire, Borel e Lebesgue e
Cantor. A teoria dos conjuntos desenvolvida por este último começa a ser aceita e
introduzida gradativamente na Matemática.
Cantor introduz a noção de produto cartesiano E  F de dois conjuntos
quaisquer, ligando a noção de aplicação f : E  F a um subconjunto de E  F ,
formada pelos pares ( x, f ( x)) para todos os elementos x de E .
Avançando no estudo da evolução da idéia de função, Eves (2004) enfatiza a
contribuição de Richard Dedekind, que apresenta em 1888 uma concepção geral de
função ou de aplicação fazendo uso, a exemplo de como fez Cantor, da Teoria dos
Conjuntos.
Em 1935, um grupo de jovens matemáticos franceses funda a Associação
Bourbaki a fim de organizar toda a Matemática conhecida até então. Em seu primeiro
livro da coleção Théorie des ensembles (fascicule de résultats), publicado em 1939,
encontra-se a seguinte definição de função que, segundo Monna (1972), remove todas
as dúvidas sobre o que é uma “verdadeira” função:
“Sejam E e F dois conjuntos, distintos ou não. Uma relação entre uma
variável x de E e uma variável y de F chama-se relação funcional em x , ou
relação funcional de E em F , se, qualquer que seja x  E , existe um elemento
y de F , e somente um, que esteja na relação considerada com x .
Dá-se o nome de „função‟ à operação que associa a todo elemento x  E o
elemento y de F que se encontra na relação dada com x ; diz-se que y é o
valor da função para o elemento x , e que a função está „determinada‟ pela
relação funcional considerada. Duas relações funcionais „equivalentes‟
determinam a mesma função.” (Bourbaki, 1939, p.6 apud Monna, 1972, p. 82)

Assim, pode-se dizer que desde a Antiguidade até a revolução estruturalista do
grupo Bourbaki, emergiram maneiras diferentes de perceber o objeto matemático
função, de utilizar ou enfatizar suas propriedades.

46

Capítulo 3 - A CARACTERIZAÇÃO DAS FUNÇÕES AFIM E
QUADRÁTICA

Neste capítulo pretendemos dar significado ao estudo efetivo das funções reais
afim e quadrática do ponto de vista de sua variabilidade. Esta proposta encontra-se
diretamente relacionada ao projeto de pesquisa de Rezende (2003b) que estabelece uma
“Proposta de Emersão das Idéias Básicas do Cálculo no Ensino Básico de
Matemática”. O autor considera imprescindível ao educando dominar as técnicas que
permitirão interpretar o mundo que o cerca ao completar o ensino básico. A abordagem
a ser apresentada foi inspirada historicamente nos estudos de cinemática realizados, em
sua origem, pelos escolásticos e por Galileu.

3.1. Atividades introdutórias para o estudo da variação da função afim

Considerando uma função real f e x um ponto interior de seu domínio,
admitindo x como um incremento da variável x , chamamos de variação de f (ou
simplesmente, a variação de y em relação ao incremento x por
y  f ( x  x)  f ( x) . Definimos então a taxa de variação relativa ou acréscimo
y f ( x2 )  f ( x1 )
relativo da função pela razão  , onde x1 e x 2 pertencem ao domínio
x x2  x1

de f .

Tendo visto a definição acima podemos, inicialmente, para efeito de ilustração,
apresentar para os alunos uma atividade relacionada ao movimento uniforme onde um
objeto se desloca sempre no mesmo sentido e, além disso, em tempos iguais, percorre
espaços iguais.

Considere, por exemplo, a função s : R  R , definida por s(t )  2t , onde t é o
tempo em horas e s(t ) é o espaço percorrido, podemos sugerir a construção de uma
tabela de valores para esta função que nos revele também os valores de s e s / t ,
em intervalos de tempo iguais no domínio da função. Este processo de “discretização” é
útil para a análise, em geral, do comportamento variacional das funções.

47

Para t  1 (intervalos de 1 hora), teremos:

t (em horas) s(t )  2t s  s(t  1)  s(t ) s / t
0 0
1 2 2 2
2 4 2 2
3 6 2 2
Tabela 2 – Valores de s(t )  2t para t  1

Escolhendo outro intervalo de tempo, por exemplo, t  0,5 (intervalos de 30
minutos), a tabela 2 recalculada nos forneceria os seguintes resultados:

t (em minutos) s(t )  2t s  s(t  0,5)  s(t ) s / t
0 0
0,5 1 1 2
1 2 1 2
1,5 3 1 2

Tabela 3 - Valores de s(t )  2t para t  0,5

A repetição da atividade acima para outros intervalos de tempo permitirá que o
aluno seja capaz de perceber que a variação de s é proporcional à variação de t, ou de
outro modo, que a taxa de variação s / t é constante, como pode ser verificado na 4ª
coluna das tabelas 2 e 3.
A verificação definitiva desta propriedade deverá ser feita por meio da álgebra.
Vejamos:
s s(t  t )  s(t ) 2(t  t )  2t
  2
t t t

Para que o aluno “se convença” que esta propriedade “vale para qualquer função
afim s(t )  at  b ”, devemos repetir a construção da tabela para outros exemplos. E
após a vivência dessas experiências, usar a álgebra para verificar, de forma mais geral
(para uma função afim arbitrária e qualquer t escolhido) a validade do que foi
observado.

48

s s(t  t )  s(t ) a(t  t )  b  at  b
  a
t t t

Isto significa que s(t  t )  s(t ) , espaço percorrido no intervalo de tempo t a
partir da posição s(t ) , depende apenas de t , mas não de t .

3.2. Caracterização da Função Afim

Isto posto, podemos perceber que a função do tipo afim tem a seguinte
característica:

 A taxa de variação s / t é constante

Diante disso, surge naturalmente a seguinte questão:

Será que uma função s , satisfazendo à propriedade acima pode ser considerada
do tipo afim?

O teorema a seguir nos fornece efetivamente uma caracterização da função afim.

Teorema: Seja f :  →  uma função monótona injetiva. Se o acréscimo
f ( x  h)  f ( x)   (h) depender apenas de h , mas não de x , então
f é uma função afim.

A hipótese de que f ( x  h)  f ( x) não depende de x se exprime, às vezes,
como “a acréscimos iguais de x correspondem acréscimos iguais para f (x) ”. Outra
maneira de exprimir esta hipótese consiste em dizer que “os acréscimos sofridos por
f (x) são proporcionais aos acréscimos dados a x ”.

As demonstrações serão omitidas aqui, mas o leitor curioso poderá encontrá-las
em (Lima, 1996).

49

3.3. Atividades introdutórias para o estudo da variação da função quadrática

Analogamente ao que se fez para a função afim, podemos pensar em introduzir a
caracterização da função quadrática para os alunos a partir de um exemplo simples que
enfoque o seu caráter variacional.

A partir dos dados fornecidos por um objeto em movimento uniformemente
variável, podemos construir tabelas com a ajuda de uma planilha eletrônica (ou mesmo
com a ajuda de uma simples calculadora), de modo a perceber como as funções
quadráticas se comportam e, sendo assim, buscar características intrínsecas a ela.

Ressaltamos que, para esta atividade não se tornar monótona para os alunos,
seria mais adequado utilizar uma planilha eletrônica. Na ausência deste recurso,
sugerimos reduzir a quantidade de linhas das tabelas, evitando assim que o foco da
atividade seja desviado pelo uso intensivo da calculadora.

Voltemos então, ao experimento de Galileu descrito no item 2.3.2 do Capítulo 2,
1 2
considerando s(t )  gt , onde g  9,8 m/s2.
2

A tabela 4 a seguir, nos fornece os valores da posição s(t ) (em metros) na 2ª
coluna, no instante inicial t  0 e no instante 0  t até o instante 10 , uma vez
escolhido o intervalo de tempo t  1 (variável livre). Na 3ª coluna da tabela, aparecem
os valores do deslocamento ou variação da posição s , definida por
s  s(t  t )  s(t ) , em cada intervalo de tempo. Na 4ª coluna da tabela, aparecem os
valores da variação do deslocamento, isto é (s) 9, ou como podemos definir,

simplesmente, a variação segunda de s , 2 s  s(t  t )  s(t ) , em cada intervalo de

tempo. Na 5ª coluna da tabela, aparecem então a variação terceira da posição 3 s ,
definida por 3 s  2 s(t  t )  2 s(t ) , em cada intervalo de tempo.

9
(s)  (s(t  t )  s(t ))  s(t  t )  s(t )  2 s

50

t (em segundos) s (em metros) s  s(t  t )  s(t ) 2 s  s(t  t )  s(t ) 3 s

0 0

1 4,9 4,9

2 19,6 14,7 9,8

3 44,1 24,5 9,8 0

4 78,4 34,3 9,8 0

5 122,5 44,1 9,8 0

6 176,4 53,9 9,8 0

7 240,1 63,7 9,8 0

8 313,6 73,5 9,8 0

9 396,9 83,3 9,8 0

10 490 93,1 9,8 0

1 2
Tabela 4 – Valores de s(t )  gt para t  1
2

Por simples observação, podemos notar que a sequência de valores s é uma
progressão aritmética de razão 9,8. As colunas 3ª e 4ª da tabela 4 formam,
respectivamente, sequências constantes 2 s  9,8 e 3 s  0 .

Observado isto, podemos sugerir a escolha de outro valor para t , por exemplo,
t  0,5 e, refazendo os cálculos, chegaríamos aos seguintes resultados da tabela 5 a
seguir.

t (em segundos) s (em metros) s  s(t  t )  s(t ) 2 s  s(t  t )  s(t ) 3 s

0 0

0,5 1,225 1,225

1 4,9 3,675 2,45

1,5 11,025 6,125 2,45 0

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