Probabilidade, equações e porcentagem em matemática básica

Programa CIEE de Educação a Distância

CURSO: MATEMÁTICA BÁSICA II

SUMÁRIO

AULA 1 – Probabilidade ..............................................................................................02
AULA 2 – Equação do 1º grau ....................................................................................05
AULA 3 – Inequações do 1º grau com uma incógnita .................................................11
AULA 4 – Razão, densidade e proporção ...................................................................17
AULA 5 – Grandeza e regra de três ............................................................................25
AULA 6 – Porcentagem e juros simples......................................................................34
Referências .................................................................................................................43

1


AULA 1 – PROBABILIDADE

É comum ouvirmos nos noticiários em época de eleição que a probabilidade de um
determinado candidato ganhar as eleições é x% ou no mundo do esporte que a
probabilidade de seu time ser campeão é de x% e, portanto já deu para perceber que a
probabilidade é um assunto muito comum em nosso cotidiano e uma das matérias mais
cobradas nos vestibulares.

Para calcular a probabilidade de algo acontecer, divida o número de casos favoráveis
ao acontecimento pelo número total de casos possíveis. Acompanhe um exemplo.

Imagine que dentro de uma caixa tenha 12 figurinhas de esporte - 5 relacionadas a
futebol e 7 relacionadas à natação. Se colocarmos essas figurinhas dentro da caixa,
chacoalharmos e tirarmos uma figurinha, qual a probabilidade de sair uma figura
relacionada à natação?

Para saber o resultado, basta utilizar a seguinte fórmula:

P = número de resultados favoráveis P = 7_ = 0,58
número total de resultados possíveis 12

Lembrando que o “P” é a abreviação de “probabilidade”, o número de resultados
favoráveis para isso acontecer é 7, pois há 7 figurinhas relacionadas à natação e o
número total de resultados possíveis é 12, visto que há no total 12 figurinhas, logo o
resultado será de 0,58.

Esse resultado também pode ser expresso em porcentagem, basta multiplicar 0,58 por
100 e o resultado será de 58%. Logo, a probabilidade de sair uma figurinha relacionada
à natação é de 58%.

2


Agora imagine que em uma garrafa há 10 confeitos de açúcar verdes e brancos. Não é
possível vê-los dentro da garrafa, exceto se a virarmos de ponta-cabeça, quando um
dos confeitos vai para o gargalo e é possível ver sua cor. Ao longo de vários dias,
repetiu-se 2000 vezes a seguinte operação: chacoalhava-se e tombava-se a garrafa
para então anotar a cor do confeito que aparecia no gargalo. Os resultados foram os
seguintes:

Confeitos verdes = 624

Confeitos brancos = 1376

Na próxima vez que for repetida essa operação, qual a probabilidade da cor do confeito
ser verde?

Para responder sua pergunta, utilizamos a fórmula que estudamos há pouco.

P = 624 = 0,31
Probabilidade 2000 resultado
nº de bolas verdes total de ensaios realizados
que apareceram no gargalo

Observando o cálculo, a probabilidade da cor do confeito ser verde é de 0,31 ou 31%.

Agora, acompanhe outros exemplos.
Qual a probabilidade de sair o número 6 após o lançamento de um dado?

P = 1 = 0,16 ou 16,6%
6

A probabilidade de sair o número 6 é de 16%.

Qual a probabilidade de sair somente números pares?

3


Lembrando que um dado possui 3 lados pares (2, 4 e 6), logo:

P = 3 = 0,5 ou 50%
6

A probabilidade de se obter números pares é de 50%.

Qual a probabilidade de se retirar uma carta qualquer de um baralho de 52 cartas e
obter uma carta de paus?

Lembre-se que em um baralho de 52 cartas existem 13 cartas de paus, logo:

P = 13 = 1 = 0,25 ou 25%
52 4

Concluímos que a chance de se obter uma carta de paus é de
1 entre 4, ou seja, 25%.

Utilizando o mesmo baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de se retirar um ás de
copas?

P = _1_ = 0,01923 ≌ 2%
52

A probabilidade de tirar um ás de copas do baralho é de aproximadamente 2%.

4


AULA 2 – EQUAÇÃO DO 1º GRAU

Em nosso dia a dia nos deparamos com situações em que precisamos descobrir o
valor de um número desconhecido. Esse valor pode estar associado a dinheiro,
medidas, temperaturas, distâncias, quantidade de pessoas etc. e, exatamente por isso,
precisamos aprender a resolver equações, já que elas nos auxiliam nesses e em
muitos outros casos.

Imagine que você queira comprar 36 doces, 24 balas e o restante de bombons,
quantos bombons comprará?

Para resolver esse tipo de problema precisamos conhecer alguns elementos
importantes referentes à equação do 1º grau.

Equação é uma sentença matemática com sinal de igualdade que apresenta pelo
menos uma letra que representa um número desconhecido.

Uma equação do 1º grau é definida de forma geral por ax + b = 0, sendo que a e b
podem assumir qualquer valor real diferente de 0 e x a incógnita.

Você sabia...
A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual".

Observe alguns modelos de equação:

x+8=8-4
4x - 5 = 7x + 9
5a - b - c = 0

Uma equação pode ter mais de uma incógnita, porém aqui trataremos apenas das que
possuem uma incógnita.

5


Importante frisar que toda equação tem:
• Uma ou mais letras indicando valores
desconhecidos, que são denominadas
variáveis ou incógnitas.

• Um sinal de igualdade (=).

2 x + 4 = 16
1º sinal de
2º membro
membro igualdade

• Uma expressão à esquerda da
igualdade, chamada primeiro
membro ou membro da esquerda.

• Uma expressão à direita da
igualdade, chamada segundo
membro ou membro da direita.

Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação.

2x + 4 = 16

Termos da equação

Atenção! Nem toda expressão matemática é uma equação, acompanhe alguns
exemplos:

3+6=5+3 não é equação, pois não apresenta incógnita.
x-8<6 não é equação, pois não é igualdade.
6 ≠ -3 não é equação, pois não é sentença de igualdade.

Antes de resolver uma equação devemos lembrar que o seu resultado é chamado de
raiz ou solução e esse resultado nada mais é que o valor de x.

Em primeiro lugar você deve observar a forma como o problema se apresenta. Para
resolver essa questão, transforme os dados apresentados em uma sentença
matemática. Esse é um momento muito importante, pois todo o desenrolar do problema
dependerá da sua interpretação.

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Acompanhe este exemplo: Imagine que eu compre 4 quilos de sorvete e depois compre
mais 2 potes. Qual o peso de cada pote, sabendo que ao todo há 16 quilos?

Dados apresentados Linguagem
matemática
2 potes + 4 kg = 16 kg 2x + 4 = 16

Como dito, as variáveis ou incógnitas aparecem como letras e o objetivo é encontrar o
valor dessa incógnita.

Agora, veja a resolução da equação: 2x + 4 = 16. Lembre-se que toda equação possui
dois membros.

Em uma equação você pode mudar os termos de um membro para o outro desde que
se troque o sinal:
2x + 4 = 16

2x = 16 - 4

Em um dos membros ficam os termos com as incógnitas e no outro os termos
independentes:
2x = 16 - 4
Membro com incógnita(s). Membro com termos independentes.

Efetuamos as operações:
2x = 16 - 4
2x = 12

Dividimos os membros pelo coeficiente da incógnita:
2x = 16 - 4
2 x = 12
x = 12
2

7


Determinamos a solução:
2x = 16 - 4
2 x = 12
x = 12
2
x=6
Portanto, cada pote possui 6 quilos de sorvete.

Logo, se você substituir a incógnita pelo resultado comprovará a equação. Acompanhe:
2x + 4 = 16
2 . 6 + 4 = 16
12 + 4 = 16
16 = 16

Agora que está compreendendo o conceito, voltaremos ao cálculo do problema
apresentado no início da aula.

Se você comprar 36 doces, 24 balas e o restante de bombons, quantos bombons
comprará?

Dados
Número de balas: 24
Número de bombons: ?
Total de doces: 36

Cálculo:
24 + x = 36

x = 36 - 24

x = 12

Logo, dos 36 doces, 24 são balas e 12 são bombons.

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Agora vamos aprender sobre equação do 1º grau com duas incógnitas. Essa equação
é reproduzida à forma ax + by = c, sendo a e b números diferentes de zero. Agora,
acompanhe a situação:

Imagine que Priscila quisesse montar alguns saquinhos
com 6 doces para presentear crianças carentes.
Quantos chicletes e bombons poderiam compor os

• o número de chicletes por x;
• o número de bombons por y.
Assim temos uma equação com

Como a soma do número de chicletes e bombons é igual a 6, podemos indicar o
número de chicletes por x e o número de bombons por y. Assim temos x + y igual a 6.

As equações do tipo ax + by = c, são chamadas de equação do primeiro grau porque
em cada termo, há somente uma incógnita e essa incógnita tem expoente 1.

Na equação que apresentamos, o número x (que representa o número de chicletes) é
um número natural. Então, a composição pode ser:

Número de
x=0 x=1 x=2 x=3 x=4 x=5 x=6
chicletes
Número de
y=6 y=5 y=4 y=3 y=2 y=1 y=0
bombons

Observe que cada par de números (um indicando o número de chicletes e outro
indicando o número de bombons) é uma solução da equação x + y = 6. Portanto, as
soluções possíveis são: (0,6); (1,5); (2,4); (3,3); (4,2); (5,1); (6,0).

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Cada solução é expressa por um par ordenado. Nesse caso, o primeiro elemento do
par indica o número de chicletes e, o segundo, o número de bombons.

(4,2)

Número de chicletes Número de bombons

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AULA 3 - INEQUAÇÕES DO 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA

Agora, iniciaremos a aula 3 do curso de matemática. Nela estudaremos as inequações
do 1º grau com uma incógnita, assunto muito importante para o entendimento da
matemática.

Antes de iniciarmos, gostaria de comentar as condições de vida da população brasileira
em relação às desigualdades. Veja algumas notícias que li no jornal que comprei
enquanto passávamos pela banca.

A maioria dos brasileiros recebe salários tão baixos que mal podem se sustentar,
enquanto uma parcela da população tem salários altíssimos.
A população de moradores de rua só aumenta com o passar dos anos.
Uma parcela da população que vive na zona rural apresenta condições de vida
precária.

O que estas reportagens têm haver com inequações?

As inequações nada mais são que desigualdades. No caso das reportagens estamos
falando de desigualdades sociais que têm muito haver com esse assunto. Agora,
acompanhe outro exemplo, observe as crianças brincando nas gangorras e seus
respectivos pesos.

Larissa Flávia Luana
Peso: 29 Kg Peso: 25 Kg Peso: 26 Kg

Paulo Carlos Pedro
Peso: 27 Kg Peso: 32 Kg Peso: 26 Kg

11


Observe que o peso de Paulo é menor que o de Larissa (27 < 29), o peso de Carlos é
maior que o de Flávia (32 > 25) e o peso de Pedro é igual ao peso de Luana (26 = 26).

Quando comparamos dois números reais a e b, somente uma das três afirmações é
verdadeira: a < b ou a = b ou a > b

Se os números a e b forem diferentes, então a < b ou a > b e dizemos que a e b são
desiguais, isto é, existe entre eles uma desigualdade, portanto a desigualdade é uma
sentença matemática em que aparece um destes sinais, veja:

Sinal Representação
> Maior que
< Menor que
< Menor que ou igual a
> Maior que ou igual a
≠ Diferente

Na situação apresentada vimos dois exemplos de desigualdades verdadeiras, que 27 é
menor que 29 (27 < 29) e que 32 é maior que 25 (32 > 25). Partindo desse conceito, a
inequação é uma sentença aberta expressa por uma desigualdade entre duas
expressões algébricas e pode ser escrita numa das seguintes formas:

ax + b > 0;
ax + b < 0;
ax + b ≥ 0;
ax + b ≤ 0.

ax + b > 0; Nessa expressão o “a” e o “b” são números reais e “a” é
ax + b < 0;
ax + b ≥ 0; diferente de 0.
ax + b ≤ 0.

Veja alguns exemplos de inequação do 1º grau:

-2x + 7 > 0
x – 10 ≤ 0
2x + 5 ≤ 0
12 – x < 0

Conheça algumas características das inequações do 1º grau:

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A letra x é denominada incógnita ou variável.
Cada expressão algébrica é um membro da inequação.
Chamamos de 1º membro a expressão que está à esquerda do sinal de
desigualdade.
Chamamos de 2° membro a expressão que está à direita da desigua ldade.

É importante frisar que antes de aprendermos a resolver uma inequação é fundamental
conhecer os princípios de equivalência das desigualdades.

Veja no quadro que os sinais < e <, bem • Os sinais < e < têm o mesmo sentido.
como os sinais > e > têm o mesmo sentido. • Os sinais > e > têm o mesmo sentido.
Já os sinais < e >, bem como > e < têm • Os sinais < e > têm sentidos opostos.

sentidos opostos.

Essa constatação é importante para compreendermos o conceito de princípio aditivo e
multiplicativo das desigualdades.

PRINCÍPIO ADITIVO DA DESIGUALDADE

Acompanhe os cálculos quando adicionamos os mesmos números nos dois membros
da desigualdade:

Número positivo Número negativo Zero
- 20 > - 30 - 12 < - 8 0,5 > - 5
- 20 + 5 > - 30 + 5 - 12 - 5 < - 8 - 5 0,5 + 0 > - 5 + 0
- 15 > - 25 -7<-3 0,5 > - 5

Perceba que, ao adicionar um mesmo número aos dois membros da desigualdade,
obtemos outra desigualdade de mesmo sentido.

PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO DA DESIGUALDADE

Acompanhe os cálculos quando multiplicamos os mesmos números nos dois membros
da desigualdade, mas agora, atente-se à inversão de sinais (> e <):

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Número positivo Número negativo Zero
- 20 > - 30 - 12 < - 8 0,5 > - 5
- 20 . (+ 5) > - 30 . (+ 5) - 12 . (- 5) > - 8 . (- 5) 0,5 . (0) > - 5 . (0)
- 100 > - 150 + 60 > + 40 0=0

Perceba que ao multiplicar os dois membros de uma desigualdade por um número
positivo, obtemos outra desigualdade de mesmo sentido, se esse número for negativo,
obtemos uma desigualdade de sentido oposto e se esse número for zero, obtemos uma
igualdade.

Os cálculos que acabamos de estudar permitem analisar se uma inequação é
verdadeira ou não, ou seja, se o sinal (>, <, > ou <) realmente apresenta uma
expressão correta. Acompanhe o cálculo da inequação: 5 > 3.

A) Adicionando o número 2 nos dois membros da expressão.

5>3
5+2>3+2
7> 5
Conclusão: a inequação é verdadeira, pois “7” é maior que “5”.

B) Subtraindo o número 1 nos dois membros da expressão.

5>3
5-1>3-1
4> 2

Observe que é possível usar os mesmos recursos matemáticos de somar ou subtrair
um mesmo valor aos membros da inequação do 1º grau.

Agora, acompanhe a explicação com o mesmo exemplo utilizando a multiplicação e
divisão desses membros:

A) Multiplicar pelo valor positivo 2 nos dois membros da expressão.

5>3
5 . (+ 2) > 3 . (+ 2)
10 > 6

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B) Multiplicar pelo valor negativo 2 nos dois membros da expressão.

5>3
5 . (- 2) > 3 . (- 2)
- 10 > - 6
Conclusão: a inequação NÃO é verdadeira, pois “- 10” é menor que “- 6”.
Para que a inequação seja verdadeira é preciso inverter o sinal:
-10 < -6, tornando-a uma inequação verdadeira.

É preciso ter o máximo de cuidado ao multiplicar ou dividir por um mesmo valor os
componentes de uma inequação do primeiro grau. Caso este valor seja um número
negativo, o sinal da inequação sempre será invertido.

Agora, acompanhe o cálculo da inequação 3x + 5 < 17:

3x + 5 < 17

3x < 17 - 5 O número 5 vai para o segundo membro e a operação (subtração) é
realizada.

3x < 12 Dividir por 3 o resultado da subtração.

x < 12
3

x < 4 Solução
Após fazer os devidos cálculos da inequação apresentada, pode-se concluir que a
solução dada é formada por todos os números inteiros positivos menores que o número
4, ou seja, S = {1, 2, 3}

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Veja outro exemplo calculando a inequação -2x + 7 > 0:

- 2x + 7 > 0
-2x > -7 Usando o princípio
Uma maneira
-2x . (-1) > -7 . (-1) multiplicativo da
simples de resolver
uma inequação de 1º 2x < 7 desigualdade, devemos
x < 7 multiplicar por -1 para que
grau é isolarmos a
2
incógnita x em um torne o número positivo.
dos membros da Lembre-se que essa
igualdade. ação inverte o sinal.

Portanto a solução da inequação é x < 7 .
2

16


AULA 4 – RAZÃO, DENSIDADE E PROPORÇÃO

Essa é a aula 4 do curso de Matemática Básica II. Nela, estudaremos razão, densidade
e proporção. Começaremos conceituando a palavra “razão” que vem do latim ratio e
significa divisão, logo, razão é a divisão ou relação entre dois números a e b, com b ≠
0, representado pelo quociente a lido como: “a está para b”; “razão de a para b” ou
“razão entre a e b”. b

Parece confuso, mas não é. No decorrer da aula veremos uma série de exemplos que
facilitarão seu entendimento no assunto.

Observe aquele grupo de pessoas jogando bola. Imagine que eles participaram de um
campeonato e, de 6 jogos disputados, ganharam 4. Portanto, a razão entre o número
de jogos e o número de vitórias é 6 = 3. Portanto, a cada três partidas, eles ganharam
dois jogos. 4 2

Para realização do cálculo, a fração foi simplificada até se tornar irredutível. Esse
conceito foi estudado na 3ª aula do curso “Matemática Básica I”. Logo, razão é a
relação entre duas grandezas que já estão relacionadas ou uma divisão entre dois
valores.

Existem algumas razões especiais que são utilizadas em nosso cotidiano. A primeira
que vamos conhecer é a velocidade média.

A "velocidade média" percorrida por um corpo móvel (motocicleta, automóvel, trem etc.)
é uma grandeza obtida pela razão entre uma distância percorrida (expressa em
quilômetros ou metros) e o tempo gasto por ele (expresso em horas, minutos ou
segundos) e definida pela fórmula:

Velocidade média = distância percorrida
tempo gasto

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Portanto, a razão entre a distância percorrida por um corpo móvel e o tempo gasto para
percorrê-la é definida como velocidade média.

Imagine que um carro de corrida percorreu 420 km em 2h. Qual foi a velocidade média
do veículo?

Primeiramente devemos levantar os dados do problema que são a distância percorrida
de 420 quilômetros e o tempo gasto de 2 horas. Não possuímos a informação referente
à velocidade média, pois é justamente o dado que queremos descobrir.

DADOS DO PROBLEMA
Distância percorrida: 420 km.
Tempo gasto: 2 h.
Velocidade média: ?

Agora, basta aplicar os conceitos na fórmula, observe:

Velocidade média = 420 km = 210 km/h. (quilômetro por hora).
2h

Portanto, a velocidade média do veículo durante a corrida foi de 210 Km/h, ou seja,
para cada hora percorrida o carro deslocou 210 Km. Agora vamos conhecer outra
razão especial que é a escala.

Todos os mapas devem conter uma escala para que o leitor saiba quantas vezes a
área foi reduzida, permitindo o cálculo das distâncias reais dessa área.

Aprenda alguns conceitos relacionados ao assunto.

Escala: indica quantas vezes uma área foi reduzida.
Comprimento real: é a distância real ou a distância no terreno.
Comprimento do desenho: é a distância no mapa.

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A fórmula para esse cálculo é bastante simples. Existem três possibilidades
dependendo da informação que desejamos buscar.

Quando não sabemos a distância no terreno, devemos usar a fórmula:

Comprimento real = comprimento do desenho X escala

Quando não sabemos a distância no mapa, devemos usar a fórmula:

Comprimento do desenho = Comprimento real _
Escala

Quando não sabemos qual é a escala do mapa, devemos usar a fórmula:

Escala = Comprimento do desenho
Comprimento real

Portanto, cada vez que nos depararmos com um problema de escala temos que
identificar a incógnita para então utilizarmos a fórmula adequada. Acompanhe o
exemplo:

Imagine que esse campo de futebol possui 8 metros de
comprimento. Qual seria o valor da escala, sabendo que a
planta baixa utilizada possui 5 cm?

8m Comprimento real
Comprimento do desenho
5 cm
ETAPA 1
Primeiramente devemos identificar a incógnita por meio do levantamento das
informações apresentadas no problema:

Comprimento real: 8 m
Comprimento do desenho: 5 cm
Escala: ?

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Note que as unidades de medida são diferentes (8 metros e 5 centímetros), porém
elas devem possuir a mesma unidade de medida. Nesse caso é necessário transformar
8 metros em centímetros, acompanhe.

x 10 x 10

8 800

km hm dam m dm cm mm

Conforme estudamos, quando não sabemos qual é a escala do mapa, devemos utilizar
a seguinte fórmula:
Escala = Comprimento do desenho
Comprimento real

Escala = 5_ ÷5 = 1_ Para determinar a escala, encontramos a
800 160 fração equivalente que tenha numerador 1.

Logo a escala é de 1 : 160, portanto cada 1 cm do desenho corresponde a 160 cm ou
1,6 m do real.

Agora, acompanhe outro exemplo. Imagine que você tenha comprado um apartamento
que ficará pronto em um ano. A planta baixa indica as dimensões do futuro
apartamento com escala de 1: 100 ou _1_ que deve ser lido como 1 cm para 100 cm.
100

Isso significa que cada centímetro medido na planta corresponde a 100 centímetros ou
1 metro na realidade. Nesse caso, qual seria o comprimento real da sacada?

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0,85 cm

2,4 cm

Para resolvermos o problema devemos levantar os dados e identificar a fórmula
adequada.

Dados do problema:
Comprimento real: ?
Comprimento do desenho: 0,85 cm e 2,4 cm
Escala: 1 : 100

Como não sabemos a distância no terreno, devemos utilizar a seguinte
fórmula:
Comprimento real = comprimento do desenho X escala

Assim, com base nas informações podemos calcular as medidas reais da sacada da
seguinte forma.
0,85 cm

Comprimento real = 2,4 cm x 1 = 2,4 Comprimento real = 0,85 cm x 1 = 0,85
100 240 100 85
2,4 cm

Portanto, as medidas reais da sacada são: 240 cm e 85 cm ou 2,4 m e 0,85 m.

Você se lembra dos conceitos estudados sobre massa e volume no curso “Matemática
Básica I”? Agora iremos mais além, estudaremos sobre “densidade” que nada mais é

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que a razão entre a massa de um corpo e o volume que ele ocupa. Observe na fórmula
que densidade é igual a massa, dividido pelo volume.

Densidade = massa
volume

A densidade dos sólidos e líquidos é expressa em gramas por centímetro cúbico
(g/cm3). Falando sobre isso, imagine que uma barra de ouro puro pesa 3 kg e tem
volume de 155,44 cm3. Esses dados permitem calcular a densidade do ouro,
acompanhe.

símbolo que representa aproximadamente

grama por centímetro cúbico

Densidade = 3 kg___ = ____3.000 g_ __≌ 19,3 g/cm3
155,44 cm3 155,44 cm3

Portanto, a densidade do ouro é de aproximadamente 19,3 g/cm3.

Acabamos de aprender que a densidade do ouro puro é de 19,3 g/cm3; a presença de
outros metais diminui a densidade relativa, que pode baixar até 15 g/cm3, pois a
densidade dos outros metais é menor que a do ouro.

Há também a densidade demográfica, ou seja, a razão entre o número de habitantes
e a área da região ocupada por eles. Acompanhe um exemplo, vamos descobrir a
densidade do Distrito Federal, para isso precisamos de alguns dados como a
população que é de 2.455.903 e a área que é de 5.801,94 Km2. Agora, atente-se para
a fórmula e o cálculo.

Densidade demográfica = população(hab.)
2
área (km )
2
Densidade demográfica = 2.455.903 hab. = 423,29 hab./km
2
5.801,94 km

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Portanto, a densidade demográfica do Distrito Federal é de aproximadamente 423,29
hab./km2.

Agora você já sabe onde aplicar o conceito de razão que é a relação existente entre
grandezas da mesma espécie. Evoluindo nesse conceito, nosso próximo assunto será
“proporção”.

Acompanhe a comparação do número de pés com o número de dedos.

Comparando um pé e cinco dedos Ao compararmos um pé e
Proporção: _número de pés_ = 1
número de dedos 5 cinco dedos, chegamos a

Logo temos um (pé) para cinco (dedos). proporção de um para cinco.

Comparando dois pés e dez dedos
Proporção: _número de pés_ = 2 Ao compararmos dois pés e
número de dedos 10
dez dedos, chegamos a
Logo temos dois (pés) para dez (dedos).
proporção dois para dez.

Pegando nossos pés como exemplo, podemos dizer que o número de pés está para o
número de dedos na razão um para cinco, dois para dez e assim sucessivamente.
Essas razões apresentam as seguintes igualdades: um para cinco e dois para dez.

1 = 2
5 10

Logo, cada uma dessas igualdades é uma proporção, que também podem ser escritas
assim: 1: 5 = 2 :10.

1 : 5 = 2 : 10
Note que os números 1, 5, 2, 10 são os termos da proporção,
meios
sendo que 1 e 10 são extremos e 5 e 2 são os meios. extremos

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Importante saber que em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos
extremos. Nesse caso o produto dos meios é 10 (5 x 2) e o produto dos extremos
também é 10 (1 x 10). Esse cálculo também pode ser feito da seguinte forma:

extremo meio

1 2 = 5 x 2 = 10
5 10 = 1 x 5 = 10
meio extremo

Resumindo... uma proporção é uma igualdade entre duas razões, a/b = c/d , sendo os
números a/b e c/d designados razões. Numa proporção a/b = c/d, dizemos que a, b, c
e d são termos da proporção, a e d são os extremos e b e c são os meios.

Atenção! Existem razões que não formam uma proporção. Acompanhe o exemplo das
razões _12_ e _3_ .
15 2

12 e 3 = 15 . 3 = 45
15 2 = 12 . 2 = 24

As razões não formam uma proporção, pois o produto dos meios é diferente do produto
dos extremos.

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AULA 5 – GRANDEZA E REGRA DE TRÊS

Antes de começarmos, imagine a altura de um prédio de cinco andares, o volume da
caixa d’água de uma casa, a velocidade de um automóvel, o número de gols de uma
partida de futebol etc., tudo isso está relacionado a grandezas que nada mais é que
uma relação numérica estabelecida com um objeto. É tudo que podemos contar, medir,
pesar e enumerar.

Para facilitar o entendimento, acompanhe a rotina de Roberto. Atente-se para a
diferença entre grandeza e unidades de medida de cada exemplo apresentado.

6h30min
Roberto dorme 8 horas por noite e agora já é hora de acordar. O tempo é
uma grandeza e a hora (h) é uma unidade de medida de tempo.

7h
Roberto toma banho. A vazão da água que sai do chuveiro é uma
grandeza e o litro por minuto (ℓ/m) é uma unidade de medida de vazão.

7h30min
Roberto come 2 pães e toma 1 copo de leite de 200 mℓ.
O número de pães e a capacidade do copo são grandezas. O mililitro (mℓ)
é uma unidade de medida de capacidade.

8h
Roberto sai de casa para o estágio. A velocidade média do metrô que
utiliza é de 80 quilômetros por hora.
A velocidade média é uma grandeza e o quilômetro por hora (km/h) é uma unidade de
medida de velocidade.

25


9h
É hora de estagiar. Roberto e outros estagiários ficam em uma sala que
mede aproximadamente 30 metros quadrados. A superfície é uma
grandeza e o metro quadrado (m2) é uma unidade de medida de superfície.

Viu quantas grandezas e unidades de medida utilizamos no decorrer do nosso dia!
Agora, nos aprofundaremos nesse conceito.

Imagine que um estudante tenha comprado duas réguas ao custo de R$ 5,00, logo se
ele comprar três réguas o custo total será R$ 7,50, pois o custo unitário é de R$ 2,50.

Nesse caso, quanto maior a quantidade de réguas, maior a quantia a ser paga. Logo
duas grandezas são diretamente proporcionais quando a variação de uma implica na
variação ou mudança da outra, na mesma proporção, mesma direção e sentido.

Acompanhe outro exemplo: imagine que uma papelaria cobra R$ 0,20 por página
xerocada. Nesse caso, duas páginas custarão R$ 0,40; três R$ 0,60 e assim
sucessivamente.

Quantidade de páginas 1 2 3 4 5 6
Preço (R$) 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20

A razão entre a quantidade de páginas xerocadas e o preço é sempre o mesmo,
observe.
1_ = _2 _ = _3__ = _ 4_ = _5_ = 6 _
0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20

Portanto, o preço é diretamente proporcional à quantidade de páginas xerocadas.

Imagine que esse carro tenha percorrido uma distância de 100 metros a uma
velocidade de 50 km/h em 10 segundos. Se este mesmo carro aumentar para 100 km/h
gastará apenas 5 segundos para percorrer os mesmos 100 metros.

26


Nesse caso quanto maior a velocidade do automóvel, menor o tempo gasto.

Esse caso apresenta duas grandezas inversamente proporcionais e acontece
quando, ao dobrar o valor de uma grandeza, a outra reduz pela metade ou ao reduzir
uma grandeza pela metade, a outra dobra e assim por diante. Logo, duas grandezas
inversamente proporcionais variam na razão inversa da outra.

Acompanhe outro exemplo para compreender melhor! Imagine que
você tenha comprado 240 figurinhas da Copa do Mundo de Futebol
para dividir entre seus amigos. O número de figurinhas que cada
amigo receberá depende do número de amigos que você considerou.
Veja a tabela.

Número de amigos 2 3 4 5 6
Número de figurinhas por amigo 120 80 60 48 40

A razão entre o número de amigos é o inverso do número de figurinhas por amigo.

_ 2_ = _3 _ = _4_ = _5_ = 6_
120 80 60 48 40 = 240 figurinhas

Logo, o número de amigos é inversamente proporcional ao número de figurinhas que
cada um receberá.

Conhecer o conceito de grandeza é muito importante para o cálculo de regra de três
que constitui uma maneira prática para resolver problemas que envolvem duas
grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Para resolver uma regra de três
simples devemos seguir três etapas, acompanhe o exemplo.

Regina tem 165 cm de altura e Carlos 185. Num dia de sol, eles
mediram suas sombras e o comprimento da sombra de Carlos

27


era de 60 cm. Portanto qual era o comprimento da sombra de Regina?

1º PASSO Altura (cm) Comprimento da sombra
Organize as informações (cm)
passadas. Para isso crie uma 180 60
tabela e agrupe as grandezas da 165 x
mesma espécie em colunas.

2º PASSO
Identifique se as grandezas são 180 = 165
diretamente ou inversamente 60 x
proporcionais.
No exemplo apresentado as
grandezas são diretamente
proporcionais, pois quanto maior 180 = 165
a altura da pessoa, maior será o 60 x
tamanho da sombra.
180 . x = 60 . 165
180x = 9.900
3º PASSO
x = 9.900
Monte a proporção e resolva a
equação.
180
x = 55

Portanto o comprimento da sombra de Regina é de 55 cm.

Imagine que um atleta percorre 20 km em 2h, mantendo o mesmo ritmo. Quanto tempo
será necessário para ele percorrer 30 km?

1ª) Organize as informações Percurso Tempo (h)
passadas. (km)
20 2
30 x
2ª) Perceba que as grandezas são
diretamente proporcionais, pois 20 = 2
quanto maior o percurso, maior o 30 x
tempo.

20 = 2
3ª) Agora basta montar a
30 x
proporção e resolver a equação.
20 . x = 30 . 2
20x = 60
x = 60
20
x = 3

28


Portanto, o atleta percorre 30 km em 3h.

Agora, imagine que os funcionários de uma construtora trabalharam 8 horas por dia e
finalizaram uma obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço fosse reduzido para
5 horas, em que prazo o mesmo trabalho seria finalizado?

Para realizar o cálculo, primeiramente organize as informações apresentadas.

Horas por dia Prazo para término (dias)
8 20
5 x

Perceba se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. Note que
diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término da obra
aumenta, logo as grandezas são inversamente proporcionais.

Agora montamos a proporção e resolvemos a equação.

_5_ = 20_
8 x
Note que quando as grandezas são inversamente proporcionais,
devemos inverter os termos de uma grandeza.

5x = 8 . 20
x = 160
5
x = 32

Logo, se o número de horas de serviço fosse reduzido para 5 horas, o trabalho seria
finalizado em 32 dias.

Agora acompanhe esse exemplo envolvendo grandezas proporcionais e inversamente
proporcionais. Imagine que 12 tecelões em 90 dias de trabalho com jornada de 8 horas

29


diárias produzem 36 metros de tapete. Quantos dias levarão 15 tecelões para fazer 24
metros de tapete, trabalhando 6 horas por dia?

ETAPA 1
Primeiro levante as informações do problema.

Operários Dias Horas Metros
12 90 8 36
15 x 6 24

Antes de calcular, deve-se estabelecer a direção de proporcionalidade entre cada
grandeza e a grandeza a ser determinada. Vamos começar com a coluna dos
operários:
Operários Dias
12 90
15 x

Devemos identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
Portanto se aumentarmos o número de operários, a quantidade de dias diminuirá,
portanto, trata-se de uma relação inversamente proporcional. Nesse caso, deve-se
inverter a coluna dos operários. Assim, provisoriamente, temos.

15 90 8 36
12 x 6 24

ETAPA 3
Agora faremos o mesmo com a coluna dos dias: quanto mais horas trabalhadas por
dia, menos dias serão necessários:

Dias Horas
90 8
x 6

Nesse caso, deve-se inverter a coluna dos dias. Assim, provisoriamente, temos:

15 90 6 36
12 X 8 24

30


Agora analisamos as grandezas da última coluna:

Dias Metros
90 36
x 24

Quanto mais dias trabalhados, mais metros de tapete serão produzidos. Como as
grandezas são diretamente proporcionais, a última coluna não sofre alterações:

Operários Dias Horas/dia Metros
15 90 6 36
12 X 8 24

Analisando coluna por coluna, temos:

(a)
Operários Dias
15 90
12 x

(b)
Dias Hora/dia
90 6
X 8

(c)
Dias Metros
90 36
x 24
ETAPA 6
A próxima etapa é multiplicar cada um desses elementos (a, b e c) em cruz:

(a)
Operários Dias 15x = 12 . 90
15 90 x = 12 . 90
12 x

(b)
Dias Hora/dia 6x = 8 . 90
90 6 x = 8 . 90
X 8
6

31


(c)
36x = 24 . 90
Dias Metros
90 36 x = 24 . 90
x 24
36

A) B) C)
15x = 12 . 90 6x = 8 . 90 36x = 24 . 90
x = 12 . 90 x = 8 . 90 x = 24 . 90
15 6 36

Após realizar os cálculos, constatamos que os números: 12, 90, 8, 24 são numeradores
e os números 15, 6, 36 são denominadores. Logo temos:

x = 12 . 90 . 8 . 24 = 64
15 . 6 . 36

Serão necessários 64 dias de trabalho para fazer a quantidade de tapete solicitada.

Agora, acompanhe outro exemplo utilizando um modo de cálculo diferente. Em um
prédio, 6 pintores pintam uma área de 300m2 em 2 horas. Quantos pintores serão
necessários para pintar uma área de 400m2 em 1 hora?

FASE 1
Primeiramente organize dos dados:

Número de pintores Área (m2) Tempo (h)
6 300 2
X 400 1

FASE 2

Número de pintores Área (m2) Tempo (h)
6 300 2
X 400 1

Comparando a grandeza do número de pintores com as outras duas, constatamos que
o número de pintores é diretamente proporcional à área pintada e o número de pintores
é inversamente proporcional ao tempo gasto.

32


Então podemos montar as razões da seguinte forma:

6 . 300 . 1
x 400 2
razão inversa entre os tempos
razão proporcional entre áreas
razão entre o número de pintores

FASE 3
Agora devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras
razões e aplicar a propriedade fundamental das proporções.

_6_ = 300 .
_1_

x = 6 . 400 . 2 = 4800 = 16
300 . 1 300

Portanto, serão necessários 16 pintores para pintar uma área de 400m2 em 1 hora.

33


AULA 6 – PORCENTAGEM E JUROS SIMPLES

Chegamos à última aula do curso “Matemática Básica II” e falaremos de um assunto
muito interessante que faz parte do nosso dia a dia, a porcentagem. Observe:

- Dona Margarida teve um desconto de 10% ao comprar essa blusa de lã.
- 80% dos comerciantes dessa feira de artesanato acreditam que as vendas
aumentarão 5% no próximo mês, devido às festas que ocorrerão na cidade.
- Esse belo quadro sofreu um aumento de 5% na semana passada.

Realmente é muito comum ouvirmos falar disso no dia a dia. Quem nunca se deparou
com promoções do tipo: só hoje 10% de desconto em toda loja, aproveite os descontos
especiais de até 60%, compre hoje e evite o reajuste de preços.

PORCENTAGEM
Pois bem, porcentagem pode ser definida como a
• Centésima parte de uma grandeza.
centésima parte de uma grandeza, ou ainda como uma
• Fração cujo denominador é 100.
fração cujo denominador é 100, ou seja, 40% é igual a
_40_ que corresponde a 0,40.
100

Não podemos esquecer que a porcentagem é representada pelo símbolo de %.

O mais interessante é que podemos utilizar a regra de três para calcular a
porcentagem. Acompanhe os exemplos.

34


Antônia é comerciante na feira de artesanato e vende, em média, R$ 700 por mês.
Como está prevendo um aumento de 15% nas vendas devido às festas que ocorrerão
na cidade no próximo mês, quanto venderá? Existem várias maneiras de resolver esse
problema de porcentagem, porém utilizaremos a regra de três para calculá-lo.

ETAPA 1
Primeiramente levante os dados apresentados no problema.

Venda atual = R$ 700,00
Aumento previsto = 15%
Valor previsto de venda para o próximo mês = ?

ETAPA 2
Monte a regra de três e multiplique os valores em cruz:

Valor de vendas %
700 100
x 15

100 x = 700 . 15
x = 10.500
100
x = 105

Portanto, o aumento das vendas será de R$ 105,00 e o valor total das vendas do
próximo mês será de R$ 805,00.

Agora imagine que em um jogo de basquete um único jogador tenha feito 25% dos 92
pontos marcados por seu time. Vamos descobrir quantos pontos ele fez por meio do
cálculo da porcentagem.

ETAPA 1
Levante os dados apresentados no problema:

Número de pontos marcados pelo time = 92
% de pontos feitos pelo jogador = 25%
Pontos feitos pelo jogador = ?

35


ETAPA 2
25% corresponde a 25 ou 1
100 4

Se multiplicarmos 25 por 92, descobriremos o número de pontos realizados pelo
jogador. 100

25 . 92 = 2300 = 23
100 100

A mesma coisa vale se multiplicarmos 1 por 92. Acompanhe:
4

1 . 92 = 92 = 23
4 4

Agora acompanhe o cálculo do mesmo exemplo usando regra de três. Para realizar o
levantamento de dados, observe que 92 pontos estão para 100%, assim como “x”
pontos estão para 25%, assim formamos a proporção:

Pontos %
92 100
x 25

100 x = 92 . 25
x = 2.300
100
x = 23

Acompanhe o cálculo de 100%.

Nessa barraca, Dona Elisa vende anéis variados, 42 deles contêm pedras brasileiras e
correspondem a 60% do total. Quantos anéis Dona Elisa têm no total?

36


Anéis %
Observe que 42 anéis estão para 42 60
60% assim como x anéis estão x 100
para 100. Veja a proporção e
acompanhe o cálculo por meio da 60x = 42 . 100
regra de três. x = 4200
60
x = 70

Número total Número de
anéis com de anéis
Outra forma de resolver o
pedras brasileiras
problema é por meio de uma 60% de x = 42
equação, em que x é o número
0,60 . x = 42
total de anéis.
0,60 x = 42
Resolvendo a equação em x, x = 42
60
x = 70

Logo, Dona Elisa tem 70 anéis em sua barraca.

Agora vamos aprender a calcular porcentagem. Imagine que essa feira de artesanato
possuísse 15 barracas variadas e que 6 delas vendessem somente artigos voltados ao
público infantil. Qual seria a porcentagem de barracas que venderia outros tipos de
artigos?

Ao subtrair o número total de barracas pelo número de barracas de artigos infantis,
encontramos a quantidade de barracas de artigos variados, que nesse caso é 9.

Total de barracas Barracas de artigos infantis Barracas de artigos variados
15 - 6 = 9

Com base na informação anterior, faremos o cálculo da porcentagem utilizando o
conceito de regra de três:
Total de barracas %
15 100
9 x

37


nº de barracas dado que desejamos
variadas descobrir
15 . x = 9 . 100
15x = 900
x = 900
15
x = 60
A porcentagem de barracas variadas é de 60%.

Outro assunto muito interessante é o cálculo de aumento e desconto em porcentagem.
Por exemplo, imagine que na semana passada você tenha pesquisado o preço de uma
calça e de uma camiseta na feira de artesanato. Hoje, decidiu comprá-las, mas ao
chegar à barraca percebeu que os preços foram alterados. A calça, que custava R$
83,00 sofreu aumento de 10% e a camiseta, que custava R$ 42,00, teve desconto de
5%. Quanto gastará?

O cálculo de aumento deve ser feito da seguinte forma: primeiramente determinamos a
porcentagem do preço atual da calça em relação ao preço antigo, ou seja, 100% mais
10% que corresponde a 110%.

100% + 10% = 110%

Depois calculamos 110% do preço antigo da calça (R$ 83,00) e obtemos o preço atual.
Observe que há duas formas de fazê-lo:

Cálculo por meio de uma equação Cálculo por meio de regra de três

110% de R$83,00 Valor da calça %
110 . R$ 83 = 91,30 R$ 83,00 100
100 x 110

100x = 83 . 110
x = 9.130
100
x = 91,30

38


Agora, vamos aprender o cálculo de desconto que é realizado da mesma maneira.
Primeiramente determinamos a porcentagem do preço atual da camiseta em relação ao
preço antigo, ou seja, 100% menos 5% que corresponde a 95%.

100% - 5% = 95%

Depois calculamos 95% do preço antigo (R$ 42,00) e obtemos o preço atual. Observe
que há duas formas de fazê-lo:

Cálculo por meio de uma equação Cálculo por meio de regra de três

95% de R$ 42,00 Valor da camiseta %
95 . R$ 42 = 39,90 R$ 42,00 100
100 x 95

100x = 42 . 95
x = 3.990
100
x = 39,90

Para finalizar some os dois valores e obtenha o valor final da compra.

Calça: R$ 91,30 +
Camiseta: R$ 39,90
Total: R$ 131,20

Logo, o valor total da compra será de R$ 131,20.

Agora, falaremos de outro assunto bastante comentado no dia a dia, o juro. Você
saberia nos dizer o juro cobrado ao realizar um empréstimo bancário, ao comprar uma
TV com pagamento parcelado, ou ainda, quanto renderá aquele dinheirinho da
poupança.

Para aprender a calcular juros, primeiramente é importante saber alguns conceitos.

39


Capital: posses em dinheiro ou em propriedades, ou ainda, valores empregados em
uma empresa.
Juros Simples: acréscimos somados ao capital inicial no final de uma aplicação.
Montante: soma de um capital com o respectivo juro.

De modo geral o juro simples (J) que incide de um capital (C) a uma taxa de juro (i) por
um determinado prazo (t) é calculado por meio da seguinte fórmula:

J=C.i.t

Imagine que você tenha emprestado dinheiro do banco, seja por meio de um
empréstimo, cheque especial, hipoteca etc., sem dúvida serão cobrados juros sobre
esse dinheiro. O mesmo aconteceria se ocorresse o contrário, em um investimento,
caderneta de poupança etc., o banco utilizaria o seu dinheiro e, nesse caso, você
receberia juros.

Veja outro exemplo prático. Durante quatro meses, Vinicius conseguiu economizar R$
1.000,00 e para não cair em tentação colocou esse dinheiro na poupança. Quanto
Vinícius terá na poupança após um mês, sabendo que a taxa de juros foi de 0,5% ao
mês?

ETAPA 1
Primeiro levante as J = ?
informações do C = R$ 1.000,00
problema. i = 0,5% a.m
t = 1 mês

ETAPA 2
Utilize a fórmula para J=C.i.t
chegar ao resultado. J = 1000 . 0,5 . 1 Veja que a taxa de juros 0,5% foi
100 colocada em forma fracionária: 0,5% = 0,5
J=5 100

40


Portanto, depois de um mês Vinicius receberá R$ 5,00 de juros e terá na poupança R$
1.005,00.

Agora veja uma situação de empréstimo. Daniel fez um empréstimo de R$ 1.000,00
com um amigo à taxa de juro simples de 2% ao mês. Depois de três meses quanto ele
pagou?

ETAPA 1 Observe que a taxa de juros e o tempo
J = ? devem possuir a mesma unidade de
Primeiro levante as
C = R$ 1.000,00 tempo, ou seja, taxa de juros
informações do
i = 2% ao mês (a.m.) apresentada em meses e tempo
problema.
t = 3 meses expresso em meses. O mesmo vale
para ano.
ETAPA 2
Utilize a fórmula para J=C.i.t Veja que a taxa de juros 2% foi
chegar ao resultado. J = 1000 . 2 .3 colocada em forma fracionária:
100
J = 60 2% = 2_
100

Portanto, depois de três meses Daniel pagará R$ 60,00 de juros, logo R$ 1.060,00 pelo
empréstimo. Observe que no sistema de juro simples, o juro incide apenas sobre o
capital. O montante obtido nesse sistema depende do capital, do tempo de aplicação e
da taxa de juros.

Imagine que você queira comprar um novo aparelho de TV. A loja oferece duas formas
diferentes para o pagamento, R$ 630,00 à vista ou em 8 parcelas de R$ 94,50,
custando ao final R$ 756,00. Por que isso acontece?

O preço da TV a prazo é maior porque é cobrado juro em relação ao preço à vista.
Vamos calcular o juro que será cobrado pelo parcelamento.

41


ETAPA 1

Primeiro levante as Preço da TV à vista: R$ 630,00
informações do Preço da TV a prazo: R$ 756,00
problema.
Porcentagem de juro cobrada: ?

ETAPA 2
Descubra a diferença Preço a prazo – preço à vista = diferença
entre o preço da TV à R$ 756,00 – R$ 630,00 = R$ 126,00
vista e a prazo.

ETAPA 3
Encontre a porcentagem Valor da TV
de juro que será à vista %
cobrado na TV a prazo. 630 100
126 x

Diferença % de juro
cobrado
630x = 126 . 100
x = 12.600
630
x = 20%

Logo, o juro cobrado na TV a prazo é de 20%. Para saber a taxa cobrada ao mês,
basta dividir 20% por 8 (dado que corresponde ao número de parcelas). Nesse caso,
obtemos 2,5% que é a taxa de juro simples mensal.

42


REFERÊNCIAS

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financeira/juros-simples.html Data de acesso: 06/04/09

ALUNOS ON-LINE. Entenda os cálculos de juros.
http://www.alunosonline.com.br/matematica/juros/ Data de acesso: 20/03/09

BARROSO, Juliane Matsubara. Projeto Araribá: Matemática : ensino fundamental, -
Volumes 6 e 7 2. ed. – São Pulo : Moderna, 2007

CIÊNCIA À MÃO. Inequações do 1º grau – aula 67
http://www.cienciamao.if.usp.br/dados/t2k/_matematica_mat67b.arquivo.pdf Data de
acesso: 17/03/09

INFOESCOLA. Inequação do 1º grau – 2ª parte.
http://www.infoescola.com/matematica/inequacao-do-primeiro-grau/ Data de acesso:
16/03/09

JULIO BATTISTI. Matemática para concursos – 15ª parte.
http://www.juliobattisti.com.br/tutoriais/jorgeasantos/matematicaconcursos015.asp Data
de acesso: 18/03/09

MATEMATHIKA. Regra de três simples.
http://www.mathemathika.hpg.ig.com.br/regd3.htm Data de acesso: 20/03/09

MUNDO EDUCAÇÃO. Juros simples.
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PORTAL TÔ SABENDO. Razão, proporção e porcentagem.
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a/grandeza_razao_proporcao Data de acesso: 17/03/09

43


PORTAL SÃO FRANCISCO. Equação do primeiro grau.
http://www.colegiosaofrancisco.com.br/alfa/matematica-ef/equacao-do-primeiro-grau-
1.php Data de acesso: 16/3/09

RCE ON-LINE. Sistemas de equação do primeiro grau.
http://www.rceonline.com.br/cf/salaaula/estudos/matematica/sistemas_equacoes1grau/
adicao2.htm Data de acesso: 16/3/09

SLIDE SHARE. Equações de 1º grau. http://www.slideshare.net/tetsu/brunoequaes-de-
1-grau-2-parte Data de acesso: 16/03/07

SLIDE SHARE. Equações de 1º grau – 1ª parte
http://www.slideshare.net/tetsu/brunoequaes-de-1-grau-1-parte Data de acesso:
16/03/09

SÓ MATEMÁTICA. Grandezas diretamente proporcionais.
http://www.somatematica.com.br/fundam/grandir.php Data de acesso: 06/04/09

UOL EDUCAÇÃO. Regra de três composta.
http://educacao.uol.com.br/matematica/ult1692u28.jhtm( Data de acesso: 20/03/09

SÓ MATEMÁTICA. Regra de três simples.
http://www.somatematica.com.br/fundam/regra3s.php Data de acesso: 17/03/09

UOL EDUCAÇÃO. Regra de três simples.
http://educacao.uol.com.br/matematica/ult1692u25.jhtm Data de acesso: 20/03/09

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