1. Trigonometria no
Triângulo Retângulo

2. Relacionando lados e ângulos
• A trigonometria tem sua origem, portanto, na
necessidade de relacionar lados e ângulos de um
triângulo.
B  a hipotenusa BC = a
 o cateto AC = b
a
 o cateto AB = c
c
 A = 90º
C
A b  B + C = 90º

3. Relacionando lados e ângulos
B
 a a2 = b2 + c2
c
⍺
C
A b
cateto oposto a ⍺ c
sen ⍺ = =
hipotenusa a
cateto adjacente a ⍺ b
cos ⍺ = =
hipotenusa a

4. Relacionando lados e ângulos
B

a a2 = b2 + c2
c
⍺
C
A b
cateto oposto a ⍺ c
tg ⍺ = =
cateto adjacente a ⍺ b
 os números sen ⍺, cos ⍺ e tg ⍺ são chamadas de razões trigonométricas do
ângulo ⍺.

5. Exemplos
• O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter
as razões trigonométricas do ângulo B.
A
Teorema de Pitágoras
12 16
BC2 = AB2 + AC2
C B x2 = 162 + 122
20
x2 = 256 + 144
x2 = 400
x = 20

6. Exemplos
• O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter
as razões trigonométricas de B.
A
12 16
C B
20
cateto oposto a B 12 3
sen B = = = = 0,6
hipotenusa 20 5
cateto adjac. a B 16 4
cos B = = = = 0,8
hipotenusa 20 5

7. Exemplos
• O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter
as razões trigonométricas de B.
A
12 16
C B
20
cateto oposto a B 12 3
tg B = = = = 0,75
cateto adjac. a B 16 4

8. Exemplos
• Calcular os ângulos agudos de um triângulo
retângulo cujos lados medem 5 cm e 6 cm.
y x + y = 90º
16 5 cm
x ⇒ x ≈ 40º
6 cm
6
tg y = = 1,2 ⇒ y ≈ 50º
5

9. Seno, co-seno e tangente
de 30º, 45º e 60º.

10. Seno, co-seno e tangente de 30º, 45º e 60º.
30º 45º 60º
sen ½ √2/2 √3/2
cos √3/2 √2/2 ½
tg √3/3 1 √3

11. Exemplos
• A partir dos dados apresentados na figura,
determinar as medidas indicadas por x e y.
16
x
30º
y
x
sen 30º = ⇒ x = 12 . 1/2 ⇒ x = 6 cm
12
y
cos 30º = ⇒ x = 12 . √3/2 ⇒ x = 6 √3 cm
12

12. Exemplos
• Os triângulos ABC e BCD da figura são retângulos
em B, sendo conhecidos os ângulos BAC = 30º e
BDC = 60º, além de AD = 2 cm. Calcular os
valores de x, y e z.
C
y
x
60º 30º
B A
z D 2 cm

13. Identidades
trigonométricas

14. Identidades trigonométricas
• Ferramentas de grande aplicabilidade sendo
utilizadas para:
 Obter uma razão trigonométrica, para um dado ângulo, a partir de outra
razão cujo valor seja conhecido.
 Simplificar expressões extensas envolvendo várias relações trigonométricas
para um mesmo ângulo.

15. Identidades trigonométricas
• A partir do triângulo retângulo abaixo vamos
deduzir algumas dessas relações.
C b 2 + c 2 = a2 (: a2)

a b2 c2 a2
+ =
b a2 a2 a2
⍺ b
2
c
2
B A + =1
c a a
2 2
sen ⍺ + cos ⍺ =1 ⇒ sen2 x + cos2 x = 1

16. Identidades trigonométricas
• A partir do triângulo retângulo abaixo vamos
deduzir algumas dessas relações.
C

a sen x
b tg x =
cos x
⍺
B A
c
sen ⍺ b/a b a b
= = . = = tg ⍺
cos ⍺ c/a a c c

17. Identidades trigonométricas
• A partir do triângulo retângulo abaixo vamos
deduzir algumas dessas relações.
C

a cos x
b cotg x =
sen x
⍺
B A
c
cos ⍺ c/a c a c
= = . = = cotg ⍺
sen ⍺ b/a a b b

18. Ângulos e arcos na
circunferência

19. Circunferência
A
B
P r
r r C
r
O
r
r
E
D

20. Elementos
A
A B
O O
B
Corda AB Diâmetro AB

21. Elementos
B
Arco AB
Arco BA A

22. Arcos e ângulos
A≡B A≡B
arco completo arco nulo

23. Arcos e ângulos
Arco AB
B A
O
Arco BA
Arco de meia volta

24. Arco e ângulo central
C B
 m(AB) = ⍺
 O   m(CD) = 
D   m(EF) = 
A
E F

25. O grau como unidade de medida
100o 90o 80o
110o
70o
120o
60o
130o
50o
140o
40o
150o
30o
160o
20o
170o
10o
180o
0o
190o
350o
200o
340o
210o
330o
220o
320o
230o
310o
240o
300o
250o 290o
260o 270o 280o

26. O grau como unidade de medida
100o 90o 80o
110o
70o
120o
60o
130o
50o
140o
40o
150o
30o
160o
20o
170o
10o
180o
0o
190o
350o
200o
340o
210o
330o
220o
320o
230o
310o
240o
300o
250o 290o
260o 270o 280o

27. O grau como unidade de medida
100o 90o 80o
110o
70o
120o
60o
130o
50o
140o
40o
150o
30o
160o
20o
170o
10o
180o 1o
0o
190o
350o
200o
340o
210o
330o
220o 1
320o 1º =
230o
310o
360
240o
300o
250o 290o
260o 270o 280o

28. Exemplos
• Na figura, os pontos A, B, C, D, E e F dividem a
circunferência em seis arcos congruentes.
Calcular, em graus, as medidas dos arcos AB e CE
e dos ângulos centrais correspondentes.
C B
360º
AB = = 60º
6
 CE = 2 . 60º = 120º
D  A
O
⍺ = 60º e  = 120º
E F

29. Exemplos
• A circunferência da figura tem 12 m de raio.
Supondo que o arco AB mede 2 m, calcular em
graus, a medida do arco e do ângulo central
correspondente.
Arco Arco
(em graus) (em metros)
A 360º 24 m
O  2 m ⍺ 2 m
B
360 . 2
C = 2r ⍺= = 30º
C = 2..12 24
C = 24

30. O radiano como unidade de medida
B
R Comprimento do arco (AB) = R
R
⇓

A
O R m(AB) = 1 radiano
⇓
 = m(AB) = 1 rad

31. Exemplo
Comprimento do arco (AB) = 1,5 R
B
1,5R ⇓
m(AB) = 1,5 rad
R
 ⇓
A
O R  = m(AB) = 1,5 rad
comprimento
 = m(AB) =
R

32. Arco completo
comprimento
=
R

A≡B 2R
O R =
R
 = 2 rad

33. Exemplos
 A circunferência da figura tem raio igual a 9 cm e o
comprimento do arco AB assinalado é 10,8 cm.
Calcular, em radianos, a medida de AB.
A comprimento
=
R
10,8 cm
O
10,8 cm
= = 1,2 rad
B 9 cm

34. Exemplos
 O arco AB da figura tem medida de 30º e o raio da
circunferência é de 4 cm. Calcular, em cm, o
comprimento do arco AB.
ângulo comprimento
A
360º 2 R
O
30º x
30º
B 2 .4.30 2
x= = ≈ 2, 1 cm
360 3

35. Exemplos
 Numa circunferência, o comprimento de um arco é
de 40 cm. Esse mesmo arco mede 5 rad. Calcular a
medida do raio da circunferência.
A
comprimento
R 40 cm =
R

O 40 cm
5=
R R
B
5R = 40 ⇒ R = 8 cm

36. Arcos especiais
Represen- Medida em Medida em
tação graus radianos
Arco completo 360º 2
O
Arco de meia-
180º 
volta O
Arco de ¼ de volta O
90º /2
Arco nulo 0o 0
O

37. Transformando unidades
As medidas de um arco em graus e radianos são
proporcionais. Por isso podemos transformar uma
unidade em outra por uma regra de três.
180º correspondem a  rad

38. Exemplos
 Transformar 72º em radianos.
180º  rad
72º x
72 .  2
x= = rad
180 5

39. Exemplos
5
 Exprimir rad em graus.
4
 rad equivale a 180º.
5. 5.180
x= = = 225º
4 4