1. Ejercicios desarrollados
Que propiedades de las relaciones binarias se cumplen?
La relación R se puede escribir de la siguiente manera:
R = { (a, b) ε Z x Z / a ≤ b + 1 }
Reflexiva
Para todo a ε Z, (a, a) ε R
En efecto: a ≤ a + 1 es cierto siempre para cualquier valor
que tome a ( Z = Entero)
(a, a) ε R Por tanto R es reflexiva
Lic. Martha Campos V. -1-

2. Simétrica
Para todo (a, b) ε R, si (a, b) ε R, entonces (b, a) ε R
En efecto:
Si (a, b) ε R a≤ b+1
b≥ a-1
(b, a) ε R Por tanto R no es simétrica
Contraejemplo
2 ≤7+1 7 ≤2+1
a b b a
Lic. Martha Campos V. -2-

3. Transitiva
Si (a, b) ε R y (b, c) ε R entonces (a, c) ε R
En efecto:
Si (a, b) ε R a≤ b+1
Si (b, c) ε R b≤ c+1
a+b≤ b+1+c+1
a ≤ c+2 ≤ c+ 1
(a, c ) ε R Por lo tanto R no es Transitiva
Contraejemplo:
(2, 1) ε R, pues 2 ≤1 + 1
(1, 0) ε R, pues 1 ≤0 + 1
Luego no es cierto que 2 ≤ 0 + 1, en
consecuencia (2, 0) ε R
Lic. Martha Campos V. -3-

4. Antisimétrica
Si (a, b) ε R y (b, a) ε R entonces a = b
En efecto:
Si (a, b) ε R a≤ b+1 a=b b≤b+1
Si (b, a) ε R b≤ a+1 b=a a≤a+1
Ambas serán ciertas siempre que a = b
Por lo tanto R es Antisimétrica
Lic. Martha Campos V. -4-

5. La relación R se puede escribir de la siguiente manera:
R = { (a, b) ε Z x Z / kεZ, a = bk }
Reflexiva
Para todo a ε Z, (a, a) ε R
Como existe 1 ε Z, tal que a = a 1
(a, a) ε R Por lo tanto R es reflexiva
Lic. Martha Campos V. -5-

6. Simétrica
Para todo (a, b) ε R, si (a, b) ε R, entonces (b, a) ε R
En efecto:
Si (a, b) ε R a=bk ,k ε Z
b = a 1/ k ,pero como 1/k ε Z
(b, a) ε R Por lo tanto R no es simétrica
Lic. Martha Campos V. -6-

7. Transitiva
Si (a, b) ε R y (b, c) ε R entonces (a, c) ε R
En efecto:
Si (a, b) ε R a = b k1 ,k1 ε Z
Si (b, c) ε R b = c k2 , k2 ε Z
a = ( c k2 )k1 = c )k1. k2) , k = k1.k2 ε Z
(a, c) ε R Por lo tanto R es transitiva
Lic. Martha Campos V. -7-

8. Antisimétrica
Si (a, b) ε R y (b, a) ε R entonces a = b
En efecto:
Si (a, b) ε R a = b k1 ,k1 ε Z
Si (b, a) ε R b = a k2 , k2 ε Z
a = ( a k2 )k1 = a )k1. k2)
Para que la igualdad se cumpla k1= 1 y .k2 = 1 ε Z
a=b Por lo tanto R es antisimétrica
Lic. Martha Campos V. -8-

9. Relación Binaria
Una relación binaria en un conjunto A se define como un subconjunto
R del producto A x A.
R = { (x, y) ε A x A / x ε A e y ε A }
Propiedades:
Reflexiva
Simétrica
Transitiva
Antisimétrica
Lic. Martha Campos V. -9-

10. Relación de Equivalencia
Reflexiva
Simétrica
Transitiva
Relación de Orden
Reflexiva
Antisimétrica
Transitiva
-
Lic. Martha Campos V. 10-