Cálculo

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Conceptos básicos del cálculo universitario.

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Cálculo

  1. 1. CÁLCULO <ul><li>El término cálculo (del latín calculus = piedra) hace referencia, indistintamente, a la acción o el resultado correspondiente a la acción de calcular. </li></ul><ul><li>Calcular , por su parte, consiste en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos. </li></ul><ul><li>No obstante, el uso más común del término cálculo es el lógico-matemático . Desde esta perspectiva, el cálculo consiste en un procedimiento mecánico, o algoritmo , </li></ul>
  2. 2. <ul><li>mediante el cual podemos conocer las consecuencias que se derivan de unos datos previamente conocidos . </li></ul><ul><li>El desarrollo y uso del cálculo ha tenido efectos muy importantes en casi todas las áreas de la vida moderna. Es base para casi todos los campos científicos, en especial, la física. Prácticamente todos los desarrollos técnicos modernos como técnicas de construcción, aviación, etc hacen uso del cálculo. Muchas fórmulas algebraicas se usan hoy en día en balística, calefacción, refrigeración, etc. </li></ul><ul><li>El éxito del cálculo ha sido extendido con el tiempo a las ecuaciones diferenciales, al cálculo de vectores, al cálculo de variaciones, al análisis complejo y a la topología diferencial. </li></ul>
  3. 3. <ul><li>Por ejemplo, se supo que las funciones diferenciables son continuas y que las funciones continuas son integrables, aunque los recíprocos son falsos. En el siglo XX, el análisis no convencional, legitimó el uso de los infinitesimales. Al mismo tiempo, la aparición de los ordenadores ha incrementado las aplicaciones del cálculo. </li></ul><ul><li>LOS NÚMEROS REALES </li></ul><ul><li>Los números que se utilizan en el álgebra son los números reales. Hay un número real en cada punto de la recta numérica. Los números reales se dividen en: </li></ul>
  4. 4. El conjunto de los números reales está constituido por la unión de los conjuntos de números racionales con los números irracionales; es decir: R={..., π, √ 6, 12/5, √3,3/2,4/5,1,1/4,-1/20, - √ 2...} NUMEROS RACIONALES: Son los números que expresamos como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero, a/b , donde a sea un entero y b sea un entero no igual a cero. Los números racionales pueden escribirse en forma decimal.
  5. 5. Existen dos maneras: * decimales terminales * decimales que se repiten infinitamente Q={... ¼, 3/5, 8/10, -1/20} NUMEROS IRRACIONALES: Son números que no pueden expresarse como un cociente de los números enteros. No pueden ser expresados en la forma a/b . Los números irracionales no tienen decimales terminales ni decimales que se repiten infinitamente. F={...π = 3.1415926535, √3, √ 2= 1.4142135623 , - √ 3...} NUMEROS ENTEROS: Son todos aquellos numeros que no tienen partes decimales, incluyen los números naturales. W={0, 1, 2, 3, 4, ...,∞ }
  6. 6. NUMEROS POSITIVOS: Es el conjunto de todos los números mayores a cero. P={2, 345, 18, 9, 67, 125, 1} NUMEROS NEGATIVOS: Es el conjunto de todos los números menores a cero. X={-2, -4, -3/4, -15, -.09} CONJUNTOS Es común llamar conjunto a una agrupación de objetos similares, un objeto en un conjunto se llama elemento de un conjunto. Generalmente se nombra a un conjunto con una letra mayúscula, por ejemplo: A, B o C; y un elemento es distinguido o denominado regularmente con la letra x. La notación x ∈ A significa que el elemento x pertenece al conjunto A.
  7. 7. Un conjunto puede especificarse de varias formas; haciendo un listado de los elementos del conjunto, esto resulta práctico cuando el número de elementos es considerablemente pequeño, para los casos en que el número de elementos es muy grande o infinito es indispensable distinguirlo mediante el establecimiento de la propiedad o regla, de manera ocasional los conjuntos pueden ser descritos literalmente, en todos los casos se utilizan las llamadas “llaves, { }”. En los cursos de matemáticas es común el uso de paréntesis o corchetes para expresar conjuntos, sobre todo si se trata de conjuntos infinitos.
  8. 8. <ul><li>N representa el conjunto de los números naturales </li></ul><ul><li>Z representa el conjunto de los números enteros </li></ul><ul><li>Q representa el conjunto de los números racionales </li></ul><ul><li>R representa el conjunto de los números reales </li></ul><ul><li>H representa el conjunto de los números irracionales </li></ul><ul><li>Para representar el conjunto de los números reales usamos un sistema de coordenadas que se llama recta real o eje x (Figura 1). El número real que corresponde a un punto particular de la recta real se llama la coordenada de ese punto. Como muestra la figura 1, se suelen marcar los puntos de coordenadas enteras. </li></ul>La recta real (Figura 1)
  9. 9. <ul><li>Ejemplos: </li></ul><ul><li>A = {a, b, c} </li></ul><ul><li>B = {amarillo, rojo, verde} </li></ul><ul><li>C = {1,2,3,4,5} </li></ul><ul><li>Hay 2 formas de representar a un conjunto: </li></ul><ul><li>Forma de lista </li></ul><ul><li>Notación de construcción de conjuntos </li></ul><ul><li>Ejemplo: </li></ul><ul><li>A = { X | X Є N } </li></ul>
  10. 10. <ul><li>Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos: </li></ul><ul><li>FINITOS: Cuando tienen un número determinado de elementos. </li></ul><ul><li>Ejemplo: El conjunto de dígitos D = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} </li></ul><ul><li>INFINITOS: Cuando el total de elementos es imposible de listar. </li></ul><ul><li>Ejemplo: El conjunto de los números naturales N = {1,2,3,4,5,…} </li></ul><ul><li>El conjunto de los números enteros Z = {…- 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4,…} </li></ul><ul><li>Conjuntos especiales que no contienen elementos se llaman NULOS o vacíos y se indican con { } ó 0. </li></ul>
  11. 11. <ul><li>Para poder expresar un conjunto en notación de construcción (generalmente se usa esta para conjuntos infinitos), debemos conocer los símbolos implícitos en este tipo de notación: </li></ul><ul><li>SÍMBOLOS DE DESIGUALDAD </li></ul><ul><li>> Se lee mayor que </li></ul><ul><li>≥ Se lee mayor o igual que </li></ul><ul><li>< Se lee menor que </li></ul><ul><li>≤ Se lee menor o igual que </li></ul><ul><li>≠ Se lee no es igual a o diferente de </li></ul><ul><li>Si la desigualdad es verdadera, el símbolo siempre señala o apunta al más pequeño de los 2 números. </li></ul>
  12. 12. <ul><li>Las desigualdades pueden explicarse por medio de rectas numéricas: </li></ul><ul><li>El número a es mayor que el número b (a>b), cuando a está a la derecha de b en la recta. </li></ul>b a Es lo mismo que expresar que b es menor que a, b < a, porque b está a la izquierda de a. La desigualdad a ≠ b significa que a < b o que a > b. Ejemplos: 1. Representa a todos los números mayores que 2. 2. Representa a todos los números menores o iguales que -3. 3. Representa a todos los números mayores o iguales a - 4 y menores que 3.
  13. 13. <ul><li>En el ejemplo 3, los números reciben el nombre de puntos extremos. Las soluciones de las desigualdades en que se usan los símbolos < ó > no incluyen a los puntos extremos, pero las soluciones de las desigualdades en que se utilizan ≤ ó ≥ sí los incluyen. </li></ul><ul><li>El conjunto de números naturales entre 2 y 6 indica que los puntos extremos no están incluidos en la respuesta, es decir: {3,4,5}. Para incluir los puntos extremos, se usa la palabra inclusive. Por ejemplo: El conjunto de números naturales inclusive 2 y 6 es {2,3,4,5,6}. </li></ul><ul><li>NOTACIÓN DE CONSTRUCCIÓN DE CONJUNTOS </li></ul><ul><li>E = { X | X, es un número natural mayor que 6} </li></ul>
  14. 14. <ul><li>Se lee el conjunto E es el conjunto de todos los elementos de X tales que X es un número natural mayor que 6, en forma de lista este conjunto se escribe:E= {7,8,9,10,11, …} </li></ul><ul><li>{ X | X tiene la propiedad dada} </li></ul>El conjunto de Todos los elementos de X Tal que Dos formas abreviadas de escribirlo serían: E = { X | X > 6 y X Є N} ó E = { X | X ≥ 7 y X Є N} Ejemplo: Represente con notación de construcción de conjuntos y en forma de lista, el conjunto de números enteros mayores que - 3 y menores o iguales que 4.
  15. 15. <ul><li>NOTACIÓN DE INTERVALOS Y CONJUNTOS SOLUCIÓN: </li></ul><ul><li>En notación de intervalos se utilizan los corchetes [ ] para indicar que los puntos extremos son parte de la solución, y los paréntesis ( ), para indicar que no son parte de la solución. El símbolo infinito ∞, indica que el conjunto solución continúa indefinidamente y siempre lleva paréntesis. </li></ul><ul><li>Ejemplo: Escribir la expresión { Z | Z > - 6 } en notación de intervalos y representar en recta numérica.Z=( - 6, ∞) </li></ul>0 1 2 3 -6 -5 -4-3 -2-1
  16. 16. OPERACIONES CON CONJUNTOS <ul><li>Al igual que se pueden hacer operaciones como suma, resta, multiplicación y división con os números, es posible hacer operaciones con conjuntos. Las 2 operaciones más utilizadas son: </li></ul><ul><li>UNIÓN DE CONJUNTOS </li></ul><ul><li>La unión del conjunto A y el conjunto B, indicada mediante AUB, es el conjunto de elementos que pertenecen al conjunto A ó al conjunto B ó a ambos conjuntos. Ejemplo: </li></ul><ul><li>A = {1,2,3,4,5} , B = {3,4,5,6,7} </li></ul><ul><li>AUB = {1,2,3,4,5,6,7} </li></ul>
  17. 17. INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS <ul><li>La intersección del conjunto A y el conjunto B indicada por A П B, es el conjunto de todos los elementos que son comunes a ambos conjuntos A y B. Ejemplo: </li></ul><ul><li>A = {1,2,3,4,5} , B = {3,4,5,6,7} , A П B = {3,4,5} </li></ul><ul><li>FUNCIÓN </li></ul><ul><li>Nos indica una relación o dependencia de una cantidad con respecto a otra. Ejemplo: </li></ul><ul><li>1) El área de un cuadrado es una función de la medida de su lado. </li></ul><ul><li>2) El volúmen de una caja está en función de sus dimensiones. </li></ul>
  18. 18. <ul><li>3) La fuerza entre 2 partículas con carga eléctrica opuesta es una función de su distancia </li></ul><ul><li>Una función f, es una relación de 2 conjuntos X y Y tal que cada elemento del conjunto X, le corresponde 1 y sólo 1 de los elementos del conjunto Y, de lo contrario hablamos de relación matemática . </li></ul><ul><li>Dominio de una función: Es el conjunto de todos los elementos del Conjunto X, se abrevia Dom. </li></ul><ul><li>Contradominio de una función: Es el conjunto de todos los elementos del conjunto Y. </li></ul><ul><li>Rango o imagen de una función: Conjunto formado por los elementos del conjunto Y que son imagen, es decir, que provienen de un elemento del conjunto X. </li></ul>

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