Matemáticas para la Administracion y la Economia

1. 1
CURSO:
Métodos Cuantitativos I
Prof. Juan Serrano, MA
Texto:
MATEMATICAS APLICADAS
a la Administración y a la Economía
Quinta Edición, 2009

2. 2
Contenido:
• Coordenadas cartesianas
• Líneas rectas
• Líneas paralelas y perpendiculares
• Aplicaciones
• Examen

3. 3
Coordenadas Cartesianas

4. 4
Objetivos
1. Localizar puntos en el plano cartesiano.
2. Trazar la gráfica (poligonal) de un conjunto
de puntos.
3. Encontrar la distancia y el punto medio entre
dos puntos en el plano.

5. 5
Plano Cartesiano
Un plano cartesiano se compone de dos
rectas numéricas reales que se intersecan
formando un ángulo de 90 grados en el cero
de las dos rectas.
El plano cartesiano se utiliza como sistema
de referencia para localizar puntos en un
plano.

6. Plano Cartesiano 6
Eje de las
Ordenadas
4
3
Cuadrante II Cuadrante I
2
1 Origen
Eje de las
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Abscisas
-1
Cuadrante III -2 Cuadrante IV
-3
-4

7. 7
Pares Ordenados
Un par ordenado es un par de números de
la forma ( x, y ) en donde el orden en que
se escriben los números es importante. La forma
general de un par ordenado es:
(abscisa, ordenada)
Cada par ordenado representa un punto
en el plano cartesiano y viceversa.

8. Signos de los puntos (pares ordenados) 8
en los cuadrantes
Eje de las ordenadas
y
Cuadrante II 4 Cuadrante I
x < 0, y > 0 3 x > 0, y > 0
2
(-,+) (+,+)
1
Origen Eje de las
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
x
abscisas
-1
Cuadrante III Cuadrante IV
-2
x < 0, y < 0 x > 0, y < 0
-3
(-,-) -4
(+,-)

9. Ejemplos 9
Localiza los siguientes pares ordenados en el
plano cartesiano.
y
B(-2, 4) 4
1. A(2, 3) A(2, 3)
3
2. B(-2, 4)
2
3. C(-3, -2)
1
4. D(1, -3) E(2, 0)
5. E(2, 0) -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x
6. F(0, -1) -1
F(0, -1) Puntos
-2 cuadrantales
-3
C(-3, -2) D(1, -3)
-4

10. 10
Ejemplo
La cantidad (en miles) de automóviles vendidos
en P.R. para los años 1988 al 1993 está dada en
la tabla. Localiza los puntos en el plano
cartesiano y traza una gráfica poligonal de los
datos. La gráfica poligonal se obtiene uniendo
los puntos con segmentos de líneas.
1988 1989 1990 1991 1992 1993
25 20 28 30 15 40

11. A B C D E F
11
1988 1989 1990 1991 1992 1993
25 20 28 30 15 40
Cantidad y
en Miles
60
50
40
F
D
30
C
A
20
B
10
E
t
88 89 90 91 92 93 94
Años

12. Ejemplo 12
Los datos mostrados representan el precio por galón de
gasolina en 1994 y el número promedio de millas
recorridas por autos en varios países. Dibuja una
gráfica poligonal de los datos.
País Precio por Galón, Millas Promedio
p(U.S. $) por Auto
Canada 1.57 10,371
England 2.86 10,186
France 3.31 8740
Germany 3.34 7674
Sweden 3.44 7456
United States 1.24 11,099

13. A B C D E F
13
1.24 1.57 2.86 3.31 3.34 3.44
11099 10371 10186 8740 7674 7456
Cantidad M
Millas
12000
A
11000
C
10000 B
9000 D
8000
E
7000
F
P
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
Precio

14. 14
Distancia entre dos puntos del plano
Distancia entre A y B
y
4 B( x2 , y2 )
y2
3
A( x1 , y1 ) 2
d
y2 y1
1
x2 x1
y1
-4 -3 -2 -1 1 2
x1 x 23 4
x
-1
-2
-3
-4

15. 15
Usando el Teorema de Pitágoras tenemos que
2 2 2
d P , P2
1 x2 x1 y2 y1
Aplicando la raíz cuadrada en ambos lados
obtenemos
2 2
d P , P2
1 x2 x1 y2 y1

16. 16
Fórmula de Distancia
La distancia entre dos puntos P1 x1 , y1 y P2 x2 , y2
en un plano se donota y define por
2 2
d P1 , P2 x2 x1 y2 y1 .

17. Ejemplo 1: 17
Encuentra la distancia entre los puntos (3, 8) y (-1, 2).
P1 3,8 , P2 1,2
2 2
d P1 , P2 x2 x1 y2 y1
2 2
d P1 , P2 1 3 2 8
2 2
d P1 , P2 4 6
d P , P2
1 16 36 52 2 13

18. 18
Ejemplo 2:
En un mapa el punto A tiene las coordenadas
(2 , -1.4) y el punto B tiene unas coordenadas
(-4.6 , 2.5). Calcule la distancia entre A y B.
Suponga que la escala es en centímetros.

19. 19
La distancia entre A(2, -1.4) y B(-4.6, 2.5) es:
2 2
d x2 x1 y2 y1
2 2
d 4.6 2 2.5 1.4
2 2
6.6 2.5 1.4

20. 20
2 2
d 6.6 2.5 1.4
2 2
6.6 3.9
58 .77
7.67 cm

21. El punto medio entre dos puntos del plano 21
y
4
3 Punto medio entre A y B
y2 B ( x2 , y2 )
2
y1 y2 1
2
-4 -3 -2 -1
A( x1 , y1 ) y1 x11 x22 3
x2 4
x
x1
-1
2
-2
-3
-4

22. 22
Fórmula del Punto Medio
El punto medio del segmento de línea con extremos
A ( x1 , y1 ) y B ( x2 , y2 ) se define y denota por;
x1 x2 y1 y2
PM A, B ,
2 2

23. Ejemplo 1: 23
Encuentra el punto medio del segmento entre
P 3, 8
1 y P2 1, 2 .
x1 x2 y1 y2
PM P , P2
1 ,
2 2
3 1 8 2
PM P , P2
1 ,
2 2
PM P , P2
1 1,5
PM 1, 5

24. 24
Ejemplo 2:
La cadena de los supermercados Ortíz tuvo
unas ventas anuales de $1.7 millones en 1997
y de $1.95 millones en 1999. Haga un
estimado de las ventas de estos supermercados
en 1998. Asumir que las ventas siguieron un
patrón lineal.

25. 25
Como las ventas siguieron un patrón lineal y
el año 1998 está en el medio de los años 1997
y 1999 podemos usar la fórmula de punto
medio.
Tenemos los puntos :
1997 , 1.7 y 1999 , 1.95

26. 26
1997 , 1.7 y 1999 , 1.95
1997 1999 1.7 1.95
PM ,
2 2
1998 , 1.825 millones
Las ventas en el 1998 fueron de 1.825 millones.

27. Ejercicios: 27
1. Encuentra la distancia entre 2,3 y -2,-5 Solución
2. Encuentra la distancia entre 3 2, 2 3 y -4 2,-3 3
Solución
3. Encuentra la distancia entre 2,3 y el punto medio
entre 2,-2 y (-4,-6) Solución
4. Encuentra los puntos x,5 , cuya distancia al Solución
punto 2,3 es 20.
Finalizar

28. 28
1. Encuentra la distancia entre 2,3 y 2, 5 .
2 2
d 2 2 5 3
2 2
d 2 2 8
d 0 64
d 8
Ejercicios

29. 2. Encuentra la distancia entre, 29
3 2, 2 3 y 4 2, 3 3 .
2 2
d 4 2 3 2 3 3 2 3
2 2
d 7 2 5 3
d 49(2) 25(3)
d 98 75
d 173
Ejercicios

30. 3. Encuentra la distancia entre, 30
2,3 y el punto medio entre 2,-2 y (-4,-6)
.
2 ( 4 ) 2 ( 6)
P.M . , 1, 4
2 2
2 2
d 1 2 4 3
2 2
d 1 7
d 50
d 25 2 d 5 2
Ejercicios

31. 31
4. Encuentra los puntos x ,5 , cuya distanc al
ia
punto 2,3 es 20.
2 2
20 x 2 5 3
2 2
20 x 2 2
2
20 x 2 4
2 2
2
20 x 2 4
Ejercicios

32. 2 32
20 x 2 4
2
16 x 2
2
16 x 2
4 x 2
x 2 4
x 6 x 2
C.S. 6,5 , 2,5
Ejercicios

33. 33
Trabajo en el salón
• Realiza los ejercicios
• 1, (3 al 6), (7 al 9), (20 al 23)

34. 34
4.2
Lineas rectas y ecuaciones lineales

35. 35
Líneas Rectas
• Ejemplo 1: Encuentre la pendiente de la línea que une los
puntos (1, -3) y (3, 7).
Solución:
Paso 1: Escribe la formula de la pendiente de una línea:
y2 y1
m
x2 x 1
Paso 2: Sustitución:
y2 y1 7 3 10
m 5
x2 x 1 3 1 2

36. 36
Líneas Rectas
• Ejemplo 2: Encuentre la pendiente de la línea que une los
puntos (3, 2) y (5, 2).
Solución:
Paso 1: Escribe la formula de la pendiente de una línea:
y2 y1
m
x2 x 1
Paso 2: Sustitución:
y2 y1 2 2 0
m 0 Nota:
x2 x 1 5 3 2
De modo que la línea
que une los dos puntos
es horizontal.

37. 37
Ecuación Punto - Pendiente
y y1 m x x1
y
4
3
y2 B ( x2 , y2 )
2
1
-4 -3 -2 -1
y1 1 2 3
x2 4
x
A( x1 , y1 ) x1
-1
-2
-3
-4

38. Punto - Pendiente 38
• Ejemplo: Encuentre la ecuación de la línea que pasa por el
punto (5, -3) con pendiente en 2.
Solución:
Paso 1: Escribir la formula Punto – Pendiente:
y y1 m x x1
Paso 2: Sustitución:
y 3 2 x 5
y 3 2 x 10
y 2x 7 y 2x 7

39. Punto - Pendiente 39
• Determina la ecuación de la línea recta que pasa por los
puntos (1, -2) y (5, 6).
Solución:
Paso 1: Escribir la formula de la pendiente de una línea:
y2 y1
m
x2 x 1
Paso 2: Sustitución:
6 2 8
m 2
5 1 4
Pendiente = m = 2

40. Punto - Pendiente 40
Paso 3: Formula punto – pendiente a través del punto (1, -2) con
la pendiente m = 2:
y y1 m x x1
Paso 4: Sustitución:
y 2 2 x 1
y 2x 4
y 2x 4

41. Trabajo en el salón
• Realiza los ejercicios 4-2
• (1 al 5)
• (8, 10, 12, 16, 22)

42. 42
4.2
Rectas Paralelas y Perpendiculares

43. Objetivos
1. Definir rectas paralelas y rectas
perpendiculares.
2. Encontrar la ecuación de una línea recta que
es paralela o perpendicular a otra línea recta.
3. Determinar si dos rectas son paralelas o
perpendiculares analizando sus pendientes.

44. Definición
Dos líneas rectas se dice que son paralelas
si no tienen puntos en común.
Observación: Las líneas tienen la misma dirección.
y
8
7
6
5
4
3
2
1
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9

45. Teorema: Criterio para líneas paralelas
Teorema
Dos líneas no verticales son paralelas si sus pendientes (o
sus inclinaciones) son iguales.
m1 m2

46. Ejemplo 1
Encuentra la ecuación de la línea recta
paralela a y = - 3x +5 que pasa por (1, 5).
La pendiente es m = -3
y y1 m x x1
y 5 3 x 1
y 5 3x 3
y 3x 8

47. Ejemplo 2
Encuentra la ecuación de la línea
paralela a y = – 4x + 15 que pasa por
el punto medio entre (2, 6) y (–4, –2).
La pendiente es m =–– 4 PM = (–1, 2)
2 ( 4) 6 ( 2)
P.M , 1, 2
2 2
y y1 m x x1
y – 2 = – 4( x – (– 1))
y – 2 = – 4x – 4
y = – 4x – 2

48. Ejemplo 3
Encuentra la ecuación de la línea paralela a
y = 5x +10 , que pasa por el punto ( x, 3 ) y
cuya distancia al punto ( 2, 6 ) es 3 unidades.
La pendiente es m = 5
2 2 2
d x2 x1 y2 y1 0 x 2
2 2
x 2 0
3 x 2 3 6
2 2 x 2
9 x 2 3 6
2
9 x 2 9 El punto es 2,3

49. La pendiente es m = 5
Punto = ( 2, 3 )
y y1 m x x1
y 3 5 x 2
y 3 5 x 2
y 3 5x 10
y 5x 7

50. Definición
Dos líneas rectas se dice que son
perpendiculares si se intersecan a un ángulo de
90o. 8
y
7
6
5
4
3
2
1
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9

51. Teorema: Criterio para líneas perpendiculares
Dos líneas rectas no-verticales son
perpendiculares si y solo si el producto de sus
pendientes es –1. Esto es,
m1m2 1
1
m1
m2

52. Ejemplo 1
Encuentra la ecuación de la línea perpendicular
a y = – 3x + 5 que pasa por (1, 5).
1
La pendiente es m =
3 1 1 15
y x
y y1 m x x1 3 3 3
1
y 5 x 1 1 14
3 y x
1 1 3 3
y 5 x
3 3
1 1
y x 5
3 3

53. 53
y
8
7
6 1 14
5 y x
4
3 3
3
2
1
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x
-1
-2
-3 y 3x 5
-4
-5
-6
-7
-8
-9

54. Ejemplo 2
Encuentra la ecuación de la línea recta
que pasa por el punto (-1 , 3) y es
perpendicular a la línea 2x – y = 3.
2x y 3
y 2x 3
m 2
1
mp
2

55. Tenemos que la pendiente es –1/2 y el punto es (-
1 , 3).
y y1 m x x1
1
y 3 x 1
2
1
y 3 x 1
2

56. 1
y 3 x 1
2
1 1
y 3 x 1 5
2 2 y x
1 1 2 2
y x 3
2 2
1 1 6
y x
2 2 2

57. 57
4
3
2
1
2x y 3
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
-2
-3 1 5
y x
-4
2 2

58. Ejemplo 3
Encuentra la ecuación de la línea perpendicular a
y = - 4x + 15 que pasa por el punto medio entre
(2, 6) y (-4, -2).
2 ( 4) 6 ( 2)
P.M , 1, 2
2 2
La pendiente es m = 1/4 Punto =(-1, 2)
y y1 m x x1
1
y 2 x ( 1)
4

59. 1 1
y 2 x
4 4
1 1
y x 2
4 4
1 1 8
y x
4 4 4
1 9
y x
4 4

60. Ejemplo 4
Determine si las gráficas de
y = 2x + 1 y y = 3x - 1 son rectas paralelas,
perpendiculares o ninguna.
y 2x 1 y 3x 1
m 2 m 3
Las rectas no son paralelas,
ni perpendiculares.

61. 61
y
8
7
6
5
4
3
2
y 2x 1 1
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x
-1
-2
-3
y 3x 1
-4
-5
-6
-7
-8
-9

62. Ejemplo 5
Determina si las líneas rectas 2x + 3y = 4 y
3x – 2y = 5 ; son paralelas o perpendiculares.
2x 3 y 4 3x 2 y 5
2 4 3 5
y x y x
3 3 2 2

63. Conclusión:
2 3
m1 m2
3 2
2 3
m1.m2 . 1
3 2
Las gráficas de las rectas son perpendiculares.

64. Ejemplo 6
Determine si las gráficas de x - 4y = 2 y
2x – 8y = 1 ; son rectas paralelas, perpendiculares o
ninguna.
x 4y 2 2x 8 y 1
4y x 2 8y 2x 1
1 1 1 1
y x y x
4 2 4 8
1 1
m1 m2
4 4
Las rectas son paralelas.

65. 65
y
8
7
6
5
4
3
2
1
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9

66. 66
Trabajo en el salón
• Realiza los ejercicios
• 31 al 38

67. 67
4.3
Aplicaciones de Ecuaciones lineales

68. 68
INTRODUCCION:
En esta sección, estudiaremos algunas aplicaciones de las ecuaciones lineales
y líneas rectas a problemas en la administración y la economía.
En la producción de cualquier bien por una empresa, intervienen dos tipos
de costos; se conocen como costos fijos y costos variables. A los costos fijos
hay que enfrentarse sin importar la cantidad producida del articulo; es
decir, no dependen del nivel de producción. Ejemplos de costos fijos son las
rentas, intereses sobre prestamos y salarios de administración.
Los costos variables dependen del nivel de producción; es decir, de la
cantidad de artículos producidos. Los costos de los materiales y de la mano
de obra son ejemplos de costos variables.
El costo total está dado por:
Costo total = Costos variables + Costos fijos

69. Ejemplo 1: (Modelo de costo lineal) 69
El costo variable de procesar un kilo de granos de café es de 50 centavos y los costos
fijos por día son de $300.
a) Dé la ecuación del costo lineal y dibuje su gráfica.
Solución:
Si y representa el costo (en dólares) de procesar x kilos de granos de café en un día, se
sigue que de acuerdo con el modelo lineal,
y mx b
en donde m representa el costo variable por unidad y b es el costo fijo.
m 50c $0.50 y b $300
y 0.5x 300

70. Hacer gráfica: 70
y
400
(200,400)
(0,300)
200
200 400 x

71. 71
Ejemplo 1: (Modelo de costo lineal) (Continuación)
El costo variable de procesar un kilo de granos de café es de 50 centavos y los
costos fijos por día son de $300.
b) Determine el costo de procesar 1000 kilos de granos de café en
un día.
Solución:
Sustituya x = 1000 en la ecuación creada al principio:
y 0.5 1000 300
y 500 300
y 800

72. 72
Ejemplo 2: Modelo de costos
El costo de fabricar 10 máquinas de escribir al día es de $350, mientras que cuesta $600
producir 20 maquinas del mismo tipo al día. Suponiendo un modelo de costo lineal,
determine la relación entre el costo total y de producir x maquinas de escribir al día y
dibuje su gráfica.
Solución:
Tenemos los puntos (10, 350) y (20, 600) que están sobre la gráfica de un modelo de
costo lineal. La pendiente que une estos dos puntos es:
y2 y1 600 350 250
m 25
x2 x1 20 10 10
Para hallar la ecuación que muestra el costo es: Datos importantes: (10, 350), la
pendiente = m = 25.
y y1 m x x1
y 350 25 x 10
y 350 25x 250
y 25 x 100

73. Hacer gráfica: 73
800
400
8 16 24 32 40 48 56

74. 74
Ejemplo 3: (Depreciación)
Una empresa compra maquinaria por $150 000. Se espera que el tiempo de vida útil de la
maquinaria sea de 12 años con un valor de desecho de cero. Determine el monto de
depreciación anual y una formula para el valor depreciado de x años.
Solución:
Depreciacion = Precio de adquisicion inicial Vida util
= 150 000 12
= 12 500
Valor despues de x anos = Valor inicial Depreciacion por ano Numero de anos
= 150 000 12 500 x anos
= 150000 12500x dolares

75. Ejemplo 3: (Depreciación) (Veamos la grafica) 75
Valor
150,000
100,000
50,000
X
2 4 6 8 10 12

76. 76
Ejemplo 4: (Demanda)
Un comerciante puede vender 20 rasuradoras eléctricas al día al precio de $25 cada una,
pero puede vender 30 si les fija un precio de $20 a cada rasuradora eléctrica. Determine la
ecuación de demanda, suponiendo que es lineal.
Solución:
Considerando la cantidad x demandada como abscisa (x) y el precio p por unidad como
ordenada (y) los dos puntos sobre la curva de demanda tienen coordenadas.
x = 20, p = 25 y x = 30, p = 20
Datos: (20, 25) y (30, 20): Estos dos puntos son los puntos que unen la línea.
y2 y1 20 25 5
m 0.5
x2 x1 30 10 10
La pendiente de la recta es m = -0.5.

77. Ejemplo 4: (Demanda) (Continuación) 77
Un comerciante puede vender 20 rasuradoras eléctricas al día al
precio de $25 cada una, pero puede vender 30 si les fija un precio de
$20 a cada rasuradora eléctrica. Determine la ecuación de demanda,
suponiendo que es lineal.
Datos: (20, 25) y (30, 20), La pendiente es m = -0.5
Dado que p = y, tenemos que:
y y1 m x x1
p 25 0.5 x 20
p 0.5x 35 Esta la ecuación que se necesita
para demostrar la demanda.

78. Ejemplo 4: (Demanda) (Gráfica) 78
P
60
40
30
20
20 30 40 60 X

79. 79
Asignación para entregar:
Pág. 168
2 – 30
31, 33, 35, 37.

80. 80
4.4
Sistema de Ecuaciones

81. El propietario de una tienda de televisores desea
expandir su negocio comprando y poniendo a la venta dos
nuevos modelos de televisores que acaban de salir al mercado.
Cada televisor del primer tipo cuesta $300 y cada televisor del
segundo tipo cuesta $400. Cada televisor del primer tipo ocupa
un espacio de 4 pies cuadrados, mientras que cada uno del
segundo tipo ocupa 5 pies cuadrados. Si el propietario solo
tiene disponibles $2000 para su expansión y 26 pies cuadrados
de espacio, Cuantos modelos de cada tipo deberá comprar y
poner a la venta haciendo uso completo del capital disponible y
del espacio?
Supóngase que el propietario compra x televisores del
primer modelo y y del segundo. Entonces, le cuesta $300x
comprar el primer modelo y $400y comprar el segundo tipo de
televisores. Dado que la cantidad total que ha de gastar es de
$2000, es necesario que:

82. Ejemplo 6 (Mezclas) 82
La tienda El Sol, que especializa en todo tipo de frituras, vende
cacahuetes a $0.70 la libra y almendras a $1.60 la libra. Al final de
un mes, el propietario se entera de que los cacahuetes no se venden
bien y decide mezclar cacahuetes con almendras para producir una
mezcla de 45 libras, que venderá a $1.00 la libra. Cuantos libras de
cacahuetes y de almendras deberá mezclar para mantener los
mismos ingresos?
Solución
Sea x las libras de cacahuetes que la mezcla contiene y y las libras
correspondientes de almendras. Dado que el peso total de la
mezcla es de 45 libras,

83. 83
4.5
Aplicaciones a la
Administración y la Economía

84. Ejemplo 1: 84
Para un fabricante de relojes, el costo de mano de obra y de los materiales por reloj
es de $15 y los costos fijos son de $2000 diario. Si vende cada reloj a $20, ¿cuántos
relojes deberá producir y vender cada día con objeto de garantizar que el negocio se
mantenga en el punto de equilibrio?
Solución:
Se x el numero de relojes producidos y vendidos cada día. El costo total de producir x
relojes es:
y = costos variables totales + costos fijos = 15x + 2000
Dado que cada reloj se vende a $20, el ingreso y obtenido por vender x relojes es:
y = 20x
El punto de equilibrio se obtiene cuando los ingresos son iguales a los costos, es decir:
20x = 15x + 2000
Obtenemos que: x = 400
GRAFH

85. 85
Punto de equilibrio

86. 86
Ejemplo 2:
Análisis del punto de equilibrio
Supóngase que el costo total diario (en dólares) de producir x sillas esta dado por:
y = 2.5x + 300
a) Si cada silla se vende a $4, ¿Cuál es el punto de equilibrio?
y = 4x
Punto de equilibrio:
4x = 2.5x + 300 Punto de equilibrio es x = 200 sillas
b) Si el precio de venta se incrementa a $5 por silla, ¿Cuál es el nuevo punto de
equilibrio?
y = 5x
En el punto de equilibrio y1 = y2
5x = 2.5x + 300 Punto de equilibrio es x = 120

87. 87
c) Si se sabe que al menos 150 sillas pueden venderse al día, ¿Qué precio deberá fijarse
con el objeto de garantizar que no haya perdidas?
150p = 675 p = 4.50
Por lo tanto el precio fijado por cada silla debe ser $4.50 con el propósito de garantizar
que no haya ganancias ni perdidas (en el peor de los casos), si al menos se vende al día
150 sillas.

88. Ejemplo 3: Análisis no lineal del punto de equilibrio 88
Una compañía de dulces vende sus cajas de chocolates a $2 cada una. Si x es el
numero de cajas producidas a la semana (en miles), entonces el administrador
sabe que los costos de producción están daos, en dólares, por:
y2 1000 1300 x 100 x 2
Determine el nivel de producciones en que la compañía no obtiene utilidades ni
perdidas (punto de equilibrio),
Solución: Los ingresos por vender x miles de cajas a $2 cada una están dadas
por;
y1 2000 x
Con el objetivo de quedar en el punto de equilibrio, los ingresos deben ser
iguales a los costos; de modo que;
1000 1300 x 100 x2 2000 x
Si dividimos ambos lados de la ecuación por 100;
x 2 7 x 10 0

89. Ejemplo 3: Análisis no lineal del punto de equilibrio 89
Si factorizamos esta expresión, obtenemos;
x 2 x 5 0
Por lo tanto, encontramos que hay dos puntos de equilibrio en este problema.
La compañía puede decidir fabricar 2000 cajas a la semana (x = 2), con
ingresos y costos iguales a $4000.
O puede fabricar 5000 cajas a la semana (x = 5), cuando los ingresos y los
costos estén otra vez en un equilibrio de $10 000.
En este ejemplo es conveniente considerar las utilidades de la compañía. La
utilidad mensual U esta dada por ingresos menos los costos;
U y1 y2
U 2000 x 1000 1300 x 100 x 2
U 1000 700 x 100 x2
U 100 x 2 x 5

90. Ejemplo 3: Análisis no lineal del punto de equilibrio 90
Punto de equilibrio del mercado
Oferta
Punto de equlibrio del mercado
Demanda

91. 91
• REPASAR
• Coordenadas cartesianas
• Líneas rectas
• Líneas paralelas y perpendiculares
• Aplicaciones
• Examen

92. 92