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  1. 1. Cap. 5Cap. 5 Funciones trigonométricasFunciones trigonométricas de números realesde números reales Precálculo Quinta edición Prof. Juan Serrano, MA 1© copywriter
  2. 2. Bosquejo • Círculo unitario • Funciones trigonométricas de números reales • Gráficas trigonométricas • Más gráficas trigonométricas © copywriter 2
  3. 3. 5.1 Círculo unitario • En esta sección se estudian algunas propiedades del círculo unitario con radio 1 con centro en el origen. • Círculo unitario El conjunto de puntos a una distancia de 1 a partir del origen es un círculo de radio 1. © copywriter 3
  4. 4. © copywriter 4 CIRCULO UNITARIO El círculo unitario es el que tiene un radio igual a 1 y su centro está en el origen de un plano xy. Su ecuació es: 122 =+ yx 1 1 -1 -1 0 x y
  5. 5. • Ejemplo: Un punto en el círculo unitario Demuestre que el punto está en el círculo unitario. Solución: P está en el círculo unitario. © copywriter 5         3 6 , 3 3 P 1 9 6 9 3 3 6 3 3 22 =+=        +       
  6. 6. • Ejemplo: Localización de un punto en el círculo unitario El punto P está en el círculo unitario en IV. Encuentre su coordenada en y. Solución: Puesto que el punto está en el círculo unitario, entonces; © copywriter 6         y, 2 3 2 1 2 1 4 1 4 3 1 1 2 3 2 2 2 -y y y y = ±= =−= =+        CIRCULO UNITARIO
  7. 7. • Puntos sobre la circunferencia del círculo unitario Suponga que t es un número real. Recorramos una distancia t a lo largo del círculo unitario, empezando en el punto (1, 0) y desplazándonos en sentido contrario al de las manecillas del reloj si t es positiva. Por otro lado si t es negativa, es a favor de las manecillas del reloj. © copywriter 7 1 1 -1 -1 0 x y t > 0P(x, y) 1 1 -1 -1 0 x y t < 0 P(x, y) Punto P(x, y) sobre la circunferencia determinado por t > 0. Punto P(x, y) sobre la circunferencia determinado por t < 0.
  8. 8. • Puntos sobre la circunferencia: © copywriter 8 t = π/2 P(0, 1) t = π P(-1, 0) t = 3π/2 P(0, -1) t = 2π P(1, 0)
  9. 9. • Determinación de los puntos sobre la circunferencia Calcule el punto sobre la circunferencia del círculo unitario determinado por cada número real. a) t = 3π b) t = - π c) t = Solución: a) El punto determinado por 3π: b) El punto determinado por t = - π: P(-1, 0) © copywriter 9 2 π − P(-1, 0)
  10. 10. © copywriter 10 t = - π/2 P(0, -1) Determinación de los puntos sobre la circunferencia c) t = 2 π − Puntos Determinados por t
  11. 11. • Determinación de puntos sobre la circunferencia Calcule el punto sobre la circunferencia determinada por cada número real dado t. © copywriter 11 4 ) π −=ta P(-1, 0) Puntos sobre la circunferencia 4 3 ) π =tb P(-1, 0) Puntos sobre la circunferencia 6 5 ) π −=tc P(-1, 0) Puntos sobre la circunferencia
  12. 12. Uso de los números de referencia para los puntos sobre la circunferencia Para determinar el punto P definido por cualquier valor de t, seguimos los pasos siguientes. a) Encontrar el número de referencia. b) Encontrar el punto sobre la circunferencia Q(a, b) definido por t. c) El punto determinado por t es P(+ - a, + - b), donde los signos se eligen de acuerdo con el cuadrante en el cual está este puno sobre la circunferencia. © copywriter 12
  13. 13. • Determinación de los números de referencias Encuentre el número de referencia para cada valor de t: © copywriter 13 48.080.52) 33 2 ) 44 7 2) 66 5 6 5 ) ≈−= =−= =−= =−== π ππ π ππ π ππ π π td tc tb ta
  14. 14. • Ejercicios 5.1: Página 406 y 407 © copywriter 14
  15. 15. 5.2 Funciones trigonométricas de números reales • Ya estudiamos que una función es una regla que asigna a cada número real otro número real. Como las funciones trigométricas se pueden definir en términos del círculo unitario, en ocaciones se les llama funciones circulares. © copywriter 15 DEFINICION DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Sea t un número real y sea P(x, y) el punto del círculo unitario determinado por t. Definimos sen t = y cos t = x tan t = y / x (x ≠ 0) csc t = 1 / y (y ≠ 0) sec t = 1 / x (x ≠ 0) cot t = x / y (y ≠ 0)
  16. 16. Ejemplo: Evaluación de las funciones trigonométricas Calcule las seis funciones trigonométricas de cada número real. a) t =a) t = ππ/3/3 © copywriter 16 = = = 3 tan 3 cos 3 π π π sen 2 3 =y 2 1 =x 3 2 1 2 3 == x y = = = 3 cot 3 sec 3 csc π π π 3 321 = y 2 1 = x 3 3 2 3 2 1 == y x
  17. 17. Calcule las seis funciones trigonométricas de cada número real. b) t =b) t = ππ/2/2 © copywriter 17 = = = = 2 cot 2 csc 2 cos 2 π π π π sen 1=y 0=x 1 1 11 == y 0 1 0 == y x Las funciones; tantan ππ/2/2 y secsec ππ/2/2 no están definidas porque x = 0, aparece en el denominador.
  18. 18. © copywriter 18 DOMINIO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS FUNCION DOMINIO sen, cos Todos los números reales tan, sec Todos los números reales diferentes de π/2 + nπ para cualquier entero n. cot, csc Todos los números reales que no sean nπ para cualquier entero n. Se puede observar que algunas de las funciones trigonométricas no están definidas para ciertos números reales. Así que necesitamos determinar sus dominios.
  19. 19. © copywriter 19 Valores de funciones trigonométricas Para calcular otros valores de las funciones trigonométricas tenemos que determinar los signos. Los signos de las funciones trigonométricas dependen del cuadrante que se encuentre. VEAMOS. VEAMOS: SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS CUADRANTE FUNCIONES POSITIVAS FUNCIONES NEGATIVAS I TODAS NINGUNA II SEN, CSC COS, SEC, TAN, COT III TAN, COT SEN, CSC, COS, SEC IV COS, SEC SEN, CSC, TAN, COT TodasSeno Tangente Coseno
  20. 20. Ejemplo: Evaluación de las funciones trigonométricas Determine cada uno de los valores. © copywriter 20 ⇒ =      − = 4 19 ) 3 tan) 3 2 cos) π π π senc b a 2 1 3 cos −=−⇒⇒ π referenciax 3 3 tan −=−⇒⇒ π referencia x y Como (19π/4) - 4π = 3π/4 los puntos determinados por 19π/4 y 3π/4 son iguales. El número de referencia para 3π/4 es π/4. Entonces: 2 2 44 3 =+=== ππ senseny Puntos Determinados por t
  21. 21. • Para realizar en el salón: Pág. 416Pág. 416 Calcule el valor exacto de la función trigonométrica en el número real dado. © copywriter 21 = = = π π π 15tanc) 14cosb) 13))21 sena 0sen 1213 = =− π πππ 10cos 01414 = =− ππ 0nta 1415 = =− π πππ Referencia es π Referencia es 0 Referencia es π
  22. 22. Ejemplo: Uso de la calculadora para evaluar funciones trigonométricas © copywriter 22 = = ≈ ≈ 98.0csc) 28cot) 1.1cos) 2.2) d c b sena 808496.0 453596.0 553286.3 28tan 1 −≈ 204098.1 98.0 1 ≈ sen Si notas los valores son de manera aproximada.
  23. 23. © copywriter 23 PROPIEDADES DE LOS IMPARES El seno, la cosecante, la tangente y la cotangente son funciones impares; el coseno y la secante son funciones pares. sen (- t) = - sen t sec (- t) = sec t = - y = - sen t = 1/x = sec t cos (- t) = cos t cot (- t) = - cot t = x = cos t = 1/-y/x = - cot t tan (- t) = - tan t csc (- t) = - csc t = - y/x = - tan t = 1/-y = - csc t
  24. 24. Ejemplo Funciones trigonométricas pares e impares Solución: De acuerdo con las funciones pares e impares: © copywriter 24 =      − =      − 4 cos) 6 ) π π b sena parsen ⇒−=− 2 1 6 π par⇒= 2 2 4 cos π
  25. 25. © copywriter 25 Ejemplo Funciones trigonométricas pares e impares Solución: De acuerdo con las funciones pares e impares: Ejercicio 71, Pág. 417 xsenxxf )()71 2 = )(-)()( 2 xsenxxf −= )(-)( 2 xsenxxf = xsenxxf )( 2 −= impar)()( xfxf −= csc (- t) = - csc t = 1/-y = - csc t
  26. 26. © copywriter 26 IDENTIDADES FUNDAMENTALES IDENTIDADES RECIPROCAS IDENTIDADES PITAGORICAS t t t t sen t t tan 1 cot cos 1 sec 1 csc = = = sen t t t t sen t t cos cot cos tan = = tt tt ttsen 22 22 22 csccot1 sec1tan 1cos =+ =+ =+ Por definición, cos t = x y sen t = y, donde x y y son las coordenadas de unP(x, y) en el círculo unitario. Puesto P(x, y) están sobre el círculo unitario, tenemos x2 + y2 = 1. Entonces: tt ción:Por defini tt tsen tt t t tsen 22 2 2 22 2 2 2 sec1tan cos 1 1 cos cos 1 cos cos cos =+ =+      =+ Por consiguiente si dividimos por sen2 t, (siempre que sen t ≠ 0) obtenemos: tt ción:Por defini tsentsen t tsentsen t tsen tsen 22 2 2 22 2 2 2 csccot1 1cos 1 1cos =+ =      + =+
  27. 27. Ejemplo Cálculo de todas las funciones trigonométricas a partir del valor de una. Si cos t = 3/5 y t está en el cuadrante IV, calcule los valores de todas las funciones trigonométricas en t. Solución: De acuerdo con las identidades pitágoricas tenemos. © copywriter 27 1cos) 22 =+ ttsena Este punto está en el cuadrante IV y sen t es negativo, entonces es -4/5. 1 5 3 2 2 =      +tsen 25 9 12 −=tsen 25 16 25 9 25 252 =−=tsen 5 4 5 4 25 16 −=±=±=tsen
  28. 28. © copywriter 28 Ahora podemos hallar las otras identidades recíprocas 1cos tcos) 22 =+ ttsen b 1cos 5 4 2 2 =+      − tt 25 16 1cos2 −=t 25 9 25 16 25 25 cos2 =−=t 5 3 5 3 25 9 cos =±=±=t 3 4 5 3 5 4 cos tan tan t) 2 2 −= − == t tsen t c 4 5 5 4 11 csc tcsc) 2 −= − == tsen t d 3 5 5 3 1 cos 1 sec tsec) 2 === t t e 4 3 3 4 1 tan 1 cot cot t) 2 −= − == t t f
  29. 29. Ejemplo Expresar una función trigonométrica en función de otra. Escriba tan t en forma de cos t, donde t está en el cuadrante III. © copywriter 29 1cos costérminostan) 22 =+ ttsen tdet ena ttsen 22 cos1−= ttsen 2 cos1−±= Como sen t es negativo en el cuadrante III, el signo negativo se aplica. Entonces: t t t tsen t cos cos1 cos tan 2 −− ==
  30. 30. Expresar una función trigonométrica en función de otra. © copywriter 30 Expresar una función trigonométrica en función de otra. Pág. 417 tcossen t,)53 1tcostsen 22 =+ t22 cos-1tsen = t2 cos-1sen t ±= t2 cos-1sen t = ttsent cos,sec)62 22 ⋅ ( )t t en 2 2 22 cos1 cos 1 tstsec −⋅=⋅ 1 cos 1 2 −= t
  31. 31. © copywriter 31 Ejercicios 5.2: Pág. 416 y 417 Asignación para entregar: Valor 10 pts Ejercicios 79, 80, 81, 82
  32. 32. 5.3 Gráficas de funciones trigonométricas Las gráficas de una función nos proporciona un mejor idea de su comportamiento. En esta sección estaremos graficando varias de estas funciones. © copywriter 32 PROPIEDADES PERIODICAS DEL SENO Y EL COSENO Las funciones seno y coseno tienen periodo 2π; sen (t + 2π) = sen t cos (t + 2π) = cos t Significa que las funciones seno y coseno repiten sus valores en cualquier intervalo de longitud 2π. Tenga presente que sen t es la coordenada y del P(x, y) en el círculo unitario determinado por el número real t.
  33. 33. © copywriter 33 Gráficas tseny = π • π2 • to 0 Para trazar la gráfica con mayor exactitud, determinamos otros pocos de valores de sen t y cos t. (Tabla). Se podrían determinar más valores con la ayuda de una calculadora.
  34. 34. © copywriter 34 Gráficas tseny = π • π2 • 0 π3 • π4 • π5 • Periodo 2π π • π2 • 0 π3 • π4 • π5 • Periodo 2π ty cos= Calculadora
  35. 35. Ejemplo Curvas del coseno © copywriter 35 Trace la gráfica de cada función xxfa cos2)() += ty cos= π • π2 • 0 π3 • π4 • π5 • xy cos2 += La gráfica es la misma que la de coseno, pero se desplaza dos lugares hacía arriba 2 unidades.
  36. 36. © copywriter 36 Ejemplo Curvas del coseno Trace la gráfica de cada función xxfb cos)() −= π • π2 • 0 π3 • π4 • π5 • Periodo 2π ty cos= ty cos−= Graficas
  37. 37. © copywriter 37 Ejemplo Otras gráficas La gráfica de y = 2 sen x, multiplicamos la ordenada por cada pun to por 2. π • π2 • 0 xseny 2= xseny = xseny 2 1 = En general, para las funciones y = a sen x y y = a cos x el número Ι a I se llama amplitud y es el valor más grande que alcanzan estas funciones.
  38. 38. Ejemplos: se trazarán las gráficas con calculadora gráfica.  Determine la amplitud de y = -3 cos x.  Amplitud y periódo a) y = 4 cos 3x b) y = - 2 sen ½ x  Una curva seno desplazada y = 3 sen 2(x – π/4)  Una curva seno desplazada y = ¾ cos(2x + 2π/3)  ver texto © copywriter 38 Gráficas
  39. 39. • Ejercicios 5.3 – Pág. 429 y 430 • 1 al 74 • 75, 76, 77, 78 (Para entregar. Valor 10pts. ) Con proceso, cada uno de ellos © copywriter 39
  40. 40. 5.4 Más gráficas trigonométricas • En esta sección se estudian las funciones tangentes, cotangente, secante y cosecante y transformaciones de estas funciones. © copywriter 40 PROPIEDADES PERIODICAS Las funciones tangente y cotangente tienen periodo en π: tan (x + π) = tan x cot (x + π) = cot x Las funciones cosecante y secante tienen periodo en 2π: csc (x + 2π) = csc x sec (x + 2π) = sec x
  41. 41. Gráficas: tangente y cotangente © copywriter 41 Asíntota Vertical Asíntota Vertical 6 π 4 π 3 π 4.1 2 π 2 π − xy tan= Gráficas 6 π 4 π 3 π 14.0 2 π 3 2π 4 3π 6 5π 3 0 1 Asíntota Vertical xy cot= π
  42. 42. © copywriter 42 Gráfica: periodo de y = csc xy = csc x π2 2 π π 2 3π AsíntotaAsíntota VerticalVertical AsíntotaAsíntota VerticalVertical Gráficas sen xy = xy csc= xy csc= sen x x 1 csc =
  43. 43. © copywriter 43 Gráfica: periodo de y = sec xy = sec x π2 2 π π 2 3π AsíntotaAsíntota VerticalVertical AsíntotaAsíntota VerticalVertical xy cos= xy sec= x x cos 1 sec = xy sec= xy sec= Gráficas
  44. 44. Ejercicios 5.4 Pág. 441 – 442 Ejercicios de aplicación 55, 56 © copywriter 44
  45. 45. © copywriter 45

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