GRADO 11
ESTANDAR: GEOMETRIAEl estudiante es capaz de identificar formas geométricas, analizar susestructuras, características, pro...
INTRODUCCION En la siguiente unidad, se estudia la relación de ángulos,  segmentos especiales en un triangulo. Una de las...
JUSTIFICACION La prueba directa se puede utilizar para resolver segmentos especiales en triángulos, aplicables a la ingen...
Prueba Directa o Indirecta Establecerá la prueba directa ó indirecta para determinar si  una proposición matemática es ci...
OBJETIVOS Identificara y utilizara los segmentos especiales de los  triángulos. Demostrara los triángulos rectángulos co...
11.6.2
Teoremas y Postulados importantes Teorema (LL); Lado, Lado  Si los catetos de un triangulo rectángulo son congruentes con...
Ejemplo 1: Teorema (LL); Lado, Lado Prueba del Teorema (LL)  Dado: DEF y RST son triángulos rectángulos.      D          ...
Ejemplo 2: Teorema (HA); Hipotenusa, AnguloPuedes utilizar el teorema HA para completar las demostraciones queinvolucran t...
Ejemplo 3: Teorema (CA); Cateto, AnguloEncuentra los valores de x y y de tal manera que el triangulo ABC seacongruente al ...
PrácticaHalla el valor de x si el triangulo ABC es congruente al triangulo XYZ, porel teorema dado. A su vez halla la medi...
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Pasos a seguir para escribir unademostración indirecta. Asume que la conclusión es falsa. Muestra que la suposición cond...
M               NEjemplo 1:                                           1       2       3Dado :     1 es un angulo exterior ...
Caso 1 : m 1 m 3        Como m 3 m 4 m 1 por el teorema de angulo        exterior tenemos m 3 m 4 m 3 por sustitucion.    ...
Ejemplo 2: Determina si utilizando STU          VUT, usando la informacion dada. Justifica tu respuesta;                  ...
BEjercicio de prácticaEscribe una prueba indirecta.Dado: m 1     m 2Prueba: Asume que ABC es isosceles con vertice B.     ...
REFERENCIA BIBLIOGRAFICAS: Geometria. (1998). Westerville, OH: Glencoe/McDraw- Hill.
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Demostraciones geometricas

  1. 1. GRADO 11
  2. 2. ESTANDAR: GEOMETRIAEl estudiante es capaz de identificar formas geométricas, analizar susestructuras, características, propiedades y relaciones para entender ydescubrir el entorno físico.EXPECTATIVA 4:Desarrolla y aplica los métodos generales de prueba en lasolución de problemas y formula las justificaciones para losteoremas básicos de la Geometría Euclidiana.INDICADOR:Establece la prueba directa ó indirecta para determinar siuna proposición matemática es cierta.
  3. 3. INTRODUCCION En la siguiente unidad, se estudia la relación de ángulos, segmentos especiales en un triangulo. Una de las aplicaciones reales de la geometría en la vida cotidiana. En ella se utilizara el razonamiento directo el cual comienza con una hipótesis cierta y demuestras que la conclusión es cierta. Con el razonamiento indirecto, asumes que la conclusión es falsa y luego muestras que esta suposición te conduce a una contradicción de la hipótesis.
  4. 4. JUSTIFICACION La prueba directa se puede utilizar para resolver segmentos especiales en triángulos, aplicables a la ingeniería, deportes y la física. Por otro lado el razonamiento indirecto se emplea usualmente en el sistema legal y en avisos y clasificados.
  5. 5. Prueba Directa o Indirecta Establecerá la prueba directa ó indirecta para determinar si una proposición matemática es cierta.
  6. 6. OBJETIVOS Identificara y utilizara los segmentos especiales de los triángulos. Demostrara los triángulos rectángulos congruentes. Reconocerá y aplicara las relaciones existentes entre los lados y los ángulos de un triangulo.
  7. 7. 11.6.2
  8. 8. Teoremas y Postulados importantes Teorema (LL); Lado, Lado Si los catetos de un triangulo rectángulo son congruentes con los correspondientes catetos de otro triangulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes. Teorema (HA); Hipotenusa, Angulo Si la hipotenusa y un ángulo de un triangulo rectángulo son congruentes a la hipotenusa y al ángulo agudo correspondiente de otro triangulo rectángulo, entonces lo dos triangulo son congruentes. Teorema (CA); Cateto, Angulo Si un cateto y un ángulo agudo de un triangulo rectángulo son congruentes al correspondiente cateto y ángulo de otro triangulo rectángulo, entonces los triángulos con congruentes.
  9. 9. Ejemplo 1: Teorema (LL); Lado, Lado Prueba del Teorema (LL) Dado: DEF y RST son triángulos rectángulos. D Ey S son ángulos rectos. EF ST ED SR R Prueba: DEF RST E F Demostración: Se da que EF ST , ED SR y E y S , son ángulos rectos. Como todos los ángulos rectos son congruentes, E y S . Por tanto, por el teorema LL, DEF RST . S T
  10. 10. Ejemplo 2: Teorema (HA); Hipotenusa, AnguloPuedes utilizar el teorema HA para completar las demostraciones queinvolucran triángulos rectángulos.Dado: CB es una altura de ΔACD.ΔACD es triángulos isósceles con lados C A DCA y CD. BPrueba: ABC ΔDBC
  11. 11. Ejemplo 3: Teorema (CA); Cateto, AnguloEncuentra los valores de x y y de tal manera que el triangulo ABC seacongruente al triangulo DEF. B 580Asume : ABC DEF . Luego B E y AC FD. m B m E AC FD (47 – 8x)cm 58 3 y 20 47 8x 15 78 3y 8x 32 26 y x 4 15cm Por CA, ABC DEF para x 4 y y 26. (3y – 20)0
  12. 12. PrácticaHalla el valor de x si el triangulo ABC es congruente al triangulo XYZ, porel teorema dado. A su vez halla la medida del segmento XZ.AB 2 x 6, BC 15, AC 3x 8, YZ 20, XY x 8; por ( LL).Solución: Y 20Sustituye cada segmento del triangulopor la expresión dada. Z x 8 mAB mXY mZY mBC opcional 2x 6 20 x 8 15 C 3x 8 2x 20 6 x 15 8 15 2x 14 x 7 2x 6 x 7Halla la mXY :m XY x 8m XY 7 8 mXY 15 Por lo tanto, mXY mBC
  13. 13. 11.6.2
  14. 14. Pasos a seguir para escribir unademostración indirecta. Asume que la conclusión es falsa. Muestra que la suposición conduce a una contradicción de la hipótesis u otro hecho, como un postulado, teorema o corolario. Observa que la suposición tiene que ser falsa y que por consiguiente la conclusión debe ser verdadera.
  15. 15. M NEjemplo 1: 1 2 3Dado : 1 es un angulo exterior del MNP. 4Pr ueba : m 1 m 4 P m 1 m 3Demostracion Indirecta :Paso 1: Haz la suposicion que m 1>m 3 y m 1>m 4. Asi m 1 m 3 y m 1 m 4.Paso 2: Solo mostraremos que la suposicion m 1 m 3 nos conduce a una contradicion, pues el argumento para m 1 m 4 utiliza el mismo razonamieto. m 1 m 3, significa que cualquiera, m 1 = m 3 o m 1 < m 3. Se necesita analizar ambos casos, veamos;
  16. 16. Caso 1 : m 1 m 3 Como m 3 m 4 m 1 por el teorema de angulo exterior tenemos m 3 m 4 m 3 por sustitucion. Entonces m 4 0, el cual contradice el hecho de que la medida de un angulo es mayor que cero.Caso 2 : m 1 m 3 Por el teorema del angulo exterior, m 3+m 4=m 1. Como medida de los angulos es positiva, la definicion de desigualdad implica m 1>m 3 y m 1>m 4. Esto contradice la suposicion que m 1 m 3 y m 1 m 4.
  17. 17. Ejemplo 2: Determina si utilizando STU VUT, usando la informacion dada. Justifica tu respuesta; V 1. S V si, por el teorema LA. S 2. SU VT si, por el teorema HL. 3. STU y VUT son angulos rectos no Escribe dos columnas con tu prueba: Dado: STU y VUT son angulos rectos; SU VT . Prueba: S V 1. STU y VUT son angulos rectos; SU VT . Dado 2. STU y VUT STU y VUT, son angulos rectos; Def . 3. TU UT Congruencias de segmentos es reflexiva 4. STU VUT Teorema HL 5. S V Por lo tanto, son congruentes.
  18. 18. BEjercicio de prácticaEscribe una prueba indirecta.Dado: m 1 m 2Prueba: Asume que ABC es isosceles con vertice B. 1. ABC Dado A 1 2 C 2. AB BC Por definicion de isosceles. 3. m 1 = m 2 Los angulos opuestos de un lado de un triangulo, son congruentes. 4. m 2 = m 2 m B Contradicion. Def. 5. ABC No es un triangulo isosceles con vertice en B.
  19. 19. REFERENCIA BIBLIOGRAFICAS: Geometria. (1998). Westerville, OH: Glencoe/McDraw- Hill.

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