Congruencias y semejanzas de
figuras planas
Juan Serrano, MA
UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PUERTO RICO
GEOMETRIA:
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones
geométricas, y utilizar el conocimiento espacial par...
¿Cómo son las figuras mostradas?
3
Son idénticas
• .
Ejemplos de Congruencia
ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES
ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES
ESTAS NO SON FIGURAS CONGRUN...
Congruencia
• .
 Dos figuras son congruentes cuando
tienen la misma forma y tamaño, es decir,
si al colocarlas una sobre ...
Criterios de congruencia
Triángulos congruentes
• Dos triángulos son congruentes si y sólo si
sus partes correspondientes son
congruentes.
A
B C
D
...
Definición: Dos triángulos ABC y DEF son
correspondientes si:
• Sus lados correspondientes son congruentes.
• Sus ángulos ...
POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Criterio LLL: Si en dos triángulos los tres lados de uno son
respectivamente congruentes con l...
Postulado LLL
• Si los lados de un triángulo son congruentes con
los lados de un segundo triángulo, entonces los
triángulo...
Postulado ALA
• Si dos ángulos y el lado incluido de un triángulo son
congruentes con dos ángulos y el lado incluido de ot...
Postulado AAL
• Si dos ángulos y el lado no incluido de un triángulo son
congruentes con dos ángulos y el lado no incluido...
Postulado LAL
• Si dos lados y el ángulo incluido de un triángulo son
congruentes a dos lados y el ángulo incluido de otro...
• Ejemplos:
• 1) En la figura, se tiene un triángulo
ABC isósceles ( AC = BC) y se ha dividido su
base AB en 4 partes igua...
• 2) Dado el triángulo rectángulo de lados a,b y c, se han
construido las figuras que están a sus lados copiándolo varias
...
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
22
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N 2
AC
MN 
ACMN //
FIGURAS SEMEJANTES
GEOMETRIA:
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones
geométricas, y utilizar el conocimiento espacial par...
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¿Cómo son las figuras mostradas?
Son proporcionales
Son semejantes
Semejanza
• Dos figuras que tienen la misma forma, aun
con diferentes dimensiones, se llaman
semejantes.
• Dos figuras son...
• Dos figuras del plano
son semejantes si los
cocientes de de los
segmentos
determinados por
pares cualesquiera
de puntos
...
Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los
ángulos iguales.
El cociente
a b c
k
a' b' c'
  ...
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SEMEJANZA
DE TRIÁNGULOS
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Dado un triángulo de lados 4m, 5m y 6m.
Multiplica cada uno de los lados por 3.
Los lados del triángulo se han triplica...
34
Identificamos algunos elementos :
RAZÓN DE SEMEJANZA : 3
LADOS HOMÓLOGOS : AB
BC
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Si la altura relativa al l...

¿Cuál es el símbolo que se utiliza para representar
la semejanza de dos triángulos?
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el
extremo superior del árbol y el ...
Distancias o alturas aplicando semejanza
• Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras, utilizadas
habitualmente por ...
38
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Criterios de semejanza de triángulos
• existen algunos principios que nos permiten
determinar si dos triángulos son semeja...
Existen tres criterios de semejanza de
triángulos
1. AA ( ángulo-ángulo)
2. LLL (lado-lado-lado)
3. LAL (lado-ángulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
POSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza.
Teorema: “ Si dos triángulos tienen sus dos ángu...
A´
B´C’
A
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C
I. Primer criterio AA
• Dos triángulos que tienen los dos ángulos
congruentes son semejantes entre sí.
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Ejemplo
¿Son los siguientes triángulos semejantes?
65 25
65
¡SI!
Por que al tener dos de sus
ángulos congruentes,
cumplen ...
II. Segundo criterio LLL
• Dos triángulos que tienen los tres lados proporcionales son
semejantes entre sí.
A´
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Ejemplo
Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes
A
B
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Verifiquemos si las medidas de l...
III. Tercer criterio LAL
• Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el
ángulo comprendido entre ellos es igual...
Ejemplo
¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes?
A
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Veamos si dos de sus lados son
proporcionales
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Algunas aplicaciones de estos
conceptos
Ejercicio
• Conocemos las dimensiones de los lados de dos triángulos. Comprueba que son semejantes y halla la razón de
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Ejercicio
• Tenemos un triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm respectivamente
y deseamos hacer una ampliación a esc...
Los lados de un triángulo miden 30, 40 y 50 centímetros respectivamente. Los lados de un segundo triángulo
miden 12, 16 y ...
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros; ¿qué altura tiene
un árbol que a la misma hora proyecta una...
Para terminar una pequeña
demostración
Demuestre: Si L1// L2 , , entonces ΔABC ~ΔDEC
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Afirmaciones Razones
Demostración
Por ser ángulos alternos internos...
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    1. 1. Congruencias y semejanzas de figuras planas Juan Serrano, MA UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PUERTO RICO
    2. 2. GEOMETRIA: El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geométricas, y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras, características, propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno físico. • 9.G.5.1 Compara y contrasta la igualdad, la congruencia y la semejanza.
    3. 3. ¿Cómo son las figuras mostradas? 3 Son idénticas
    4. 4. • . Ejemplos de Congruencia ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES ESTAS NO SON FIGURAS CONGRUNTES
    5. 5. Congruencia • .  Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y tamaño, es decir, si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensión.
    6. 6. Criterios de congruencia
    7. 7. Triángulos congruentes • Dos triángulos son congruentes si y sólo si sus partes correspondientes son congruentes. A B C D E F ABC  DEF
    8. 8. Definición: Dos triángulos ABC y DEF son correspondientes si: • Sus lados correspondientes son congruentes. • Sus ángulos correspondiente son congruentes. • En la figura A DFACEFBCEDAB  B C E F D     
    9. 9. POSTULADOS DE CONGRUENCIA • Criterio LLL: Si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro, entonces los triángulos son congruentes. • Criterio LAL: Si los lados que forman a un ángulo, y éste, son congruentes con dos lados y el ángulo comprendido por estos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. • Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos ángulos y el lado entre ellos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. • Criterio LLA: Si el lado más largo del triangulo, junto con otro lado de éste, y el ángulo superior del lado más largo del triángulo son congruentes con los del otro triangulo, entonces los triángulos son congruentes.
    10. 10. Postulado LLL • Si los lados de un triángulo son congruentes con los lados de un segundo triángulo, entonces los triángulos son congruentes. A B C D E F ABC  DEF
    11. 11. Postulado ALA • Si dos ángulos y el lado incluido de un triángulo son congruentes con dos ángulos y el lado incluido de otro triángulo, los triángulos son congruentes. A B C D E ABC  CDE
    12. 12. Postulado AAL • Si dos ángulos y el lado no incluido de un triángulo son congruentes con dos ángulos y el lado no incluido de otro triángulo, los triángulos son congruentes. A B C D E ABC  EFD F
    13. 13. Postulado LAL • Si dos lados y el ángulo incluido de un triángulo son congruentes a dos lados y el ángulo incluido de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes. A B C D E ABC  DEF F
    14. 14. • Ejemplos: • 1) En la figura, se tiene un triángulo ABC isósceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales. ¿Cuáles triángulos son congruentes?
    15. 15. • 2) Dado el triángulo rectángulo de lados a,b y c, se han construido las figuras que están a sus lados copiándolo varias veces y colocándolo en diferentes posiciones. • Analiza los ángulos que son congruentes en las distintas posiciones. ¿Podrías deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras?
    16. 16. PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
    17. 17. TEOREMA DE THALES
    18. 18. TEOREMA DE THALES
    19. 19. 22 A B C BASE MEDIAPROPIEDAD M N 2 AC MN  ACMN //
    20. 20. FIGURAS SEMEJANTES
    21. 21. GEOMETRIA: El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geométricas, y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras, características, propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno físico. 7.G.10.1 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionales, incluidas las partes correspondientes, la razón de semejanza y las medidas de las partes correspondientes. Determina la relación proporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figuras semejantes.
    22. 22. 25 ¿Cómo son las figuras mostradas? Son proporcionales Son semejantes
    23. 23. Semejanza • Dos figuras que tienen la misma forma, aun con diferentes dimensiones, se llaman semejantes. • Dos figuras son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales. • Los elementos que se corresponden (puntos, segmentos, ángulos …) se llaman homólogos.
    24. 24. • Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los segmentos determinados por pares cualesquiera de puntos correspondientes son iguales. ML M'L' es la razón de semejanza
    25. 25. Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los ángulos iguales. El cociente a b c k a' b' c'    se llama razón de semejanza.
    26. 26. 30 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
    27. 27. 33 Dado un triángulo de lados 4m, 5m y 6m. Multiplica cada uno de los lados por 3. Los lados del triángulo se han triplicado. 4m 5m 6m A B C 18m 15m 12m P Q R
    28. 28. 34 Identificamos algunos elementos : RAZÓN DE SEMEJANZA : 3 LADOS HOMÓLOGOS : AB BC AC PQ QR PR Si la altura relativa al lado AC mide a, podemos afirmar que la altura relativa a su lado homólogo PR mide 3a. Además: Cualquier longitud (lados y líneas notables) en el triángulo ABC se triplica en el triángulo PQR.
    29. 29.  ¿Cuál es el símbolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triángulos?
    30. 30. Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del árbol y el de la vara de longitud conocida.
    31. 31. Distancias o alturas aplicando semejanza • Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras, utilizadas habitualmente por las guías y scouts, para estimar alturas y distancias, recurriendo a la semejanza de triángulos. • En este caso, es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del árbol reflejado en el espejo.
    32. 32. 38 CASOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
    33. 33. Criterios de semejanza de triángulos • existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triángulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus ángulos. Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triángulos
    34. 34. Existen tres criterios de semejanza de triángulos 1. AA ( ángulo-ángulo) 2. LLL (lado-lado-lado) 3. LAL (lado-ángulo-lado)
    35. 35. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS POSTULADOS DE SEMEJANZA Criterio AA de semejanza. Teorema: “ Si dos triángulos tienen sus dos ángulos correspondientes congruentes, entonces el tercero también será congruente y los triángulos son semejantes”. Criterio LAL de semejanza. Teorema: “ Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo congruente comprendido entre lados proporcionales”. Criterio LLL de semejanza. Teorema: "Si los lados correspondientes de dos triángulos son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes".
    36. 36. A´ B´C’ A B C I. Primer criterio AA • Dos triángulos que tienen los dos ángulos congruentes son semejantes entre sí. ´  ´  ´  Es decir: Si   ´ ,   ´ de lo anterior se deduce que   ´ Entonces, D ABC semejante con DA´B´C´
    37. 37. Ejemplo ¿Son los siguientes triángulos semejantes? 65 25 65 ¡SI! Por que al tener dos de sus ángulos congruentes, cumplen con el criterio AA
    38. 38. II. Segundo criterio LLL • Dos triángulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre sí. A´ B´C’ A B C a a´ El cociente obtenido de comparar los lados homólogos entre sí recibe el nombre de razón de semejanza. Es decir: a a´ = b b´ = c c´ =K b b´ c c´ Entonces, D ABC semejante con DA´B´C´
    39. 39. Ejemplo Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes A B C P Q R 1,5 3,5 5 3 7 10 Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales 1,5 3 = = 3,5 7 5 10 Efectivamente , así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 1,5 • 7 = 3 • 3,5 = 10,5 3,5 • 10 = 7 • 5 = 35 Por lo tanto Triángulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
    40. 40. III. Tercer criterio LAL • Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual, son semejantes entre sí. A´ B´C’ A BC Es decir: a a´ a a´ = c c´ c c´ y  = ´  ´ Entonces D ABC semejante a D A´B´C´
    41. 41. Ejemplo ¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes? A B C 4 3 D E F 9 12 Veamos si dos de sus lados son proporcionales 3 9 = 4 12 Efectivamente así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 3 • 12 = 4 • 9 ¿Los ángulos formados por estos dos lados son congruentes? Por criterio LAL Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES Efectivamente, porque, tal como se señala en el dibujo, ambos son rectos
    42. 42. Algunas aplicaciones de estos conceptos
    43. 43. Ejercicio • Conocemos las dimensiones de los lados de dos triángulos. Comprueba que son semejantes y halla la razón de semejanza. • a) 8 cm, 10 cm, 12 cm b) 52 cm, 65 cm, 78 cm Comprobemos que las medidas de los lados homólogos son proporcionales Entonces los triángulos son semejantes por criterio LLL 8 10 12 78 65 52 Representemos el ejercicio Para calcular la razón de semejanza se calcula una de las razones 65 : 10 = 6,5 52 8 = 65 10 = 78 12 = 6,5 Efectivamente, al calcular los productos “cruzados”, podemos ver la proporcionalidad entre las medidas de los lados respectivos 52 •10 = 8 • 65 = 520 65 • 12 = 10 •78 = 780
    44. 44. Ejercicio • Tenemos un triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliación a escala 3:1. ¿Cuánto medirá cada lado?.¿Cuál es la razón de semejanza?. Luego, debe ocurrir: 3 4 5 x y z Entonces: X= 3· 3 = 9 = 9 Y = 4 · 3 =12 12 = Z = 5 · 3 = 15 =15 La razón de semejanza es 3 Representamos la situación = X 3 = Y 4 Z 5 = 3 1 =3 Escala de ampliación X 3 = 3 Y 4 =3 Z 5 =3
    45. 45. Los lados de un triángulo miden 30, 40 y 50 centímetros respectivamente. Los lados de un segundo triángulo miden 12, 16 y 20 centímetros. ¿Son semejantes?. En caso afirmativo, ¿cual es la razón de semejanza?. 50 30 40 12 16 20 30 12 = 40 16 50 20 = Para calcular la razón de semejanza se calcula una de las razones 50 : 20 = 2,5 Para comprobar la proporcionalidad podemos efectuar los productos “cruzados” 30x16=480 y 40x12=480 además 40x20=800 y 16x50=800 Comprobemos que las medidas de los lados homólogos son proporcionales
    46. 46. Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros; ¿qué altura tiene un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 4,5 metros?(Haz un dibujo del problema). 4,5m x 3m 2m sombra p o s t e Los triángulos definidos por el poste y su sombra y el árbol y su sombra son semejantes, por lo tanto De donde = 6,75m Son semejantes por que cumplen el criterio AA, tienen iguales el ángulo recto y el ángulo de elevación que forman los rayos solares con el suelo = 3 x 2 4,5 X = 3 • 4,5 2Formamos la proporción
    47. 47. Para terminar una pequeña demostración
    48. 48. Demuestre: Si L1// L2 , , entonces ΔABC ~ΔDEC CA B D E Afirmaciones Razones Demostración Por ser ángulos alternos internos entre //CDEABC  CDEBAC  Por ser Ángulos alternos internos entre // Por lo tanto al tener dos ángulos congruentes, se cumple al criterio AA, luego, los triángulos ABC y DEC son semejantes Dadas las rectas AB y DE, son paralelas. Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes.

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