VectoresPrecálculoQuinta EdiciónProf. Juan Serrano, MA                         PROF. JUAN_SERRANO
Introducción En aplicaciones de matemáticas, ciertas cantidades se determinan por completo por su magnitud; por ejemplo, l...
Descripción geométrica de        vectoresUn vector en el plano es un segmento de recta conuna dirección asignada.         ...
La longitud del segmento de recta AB seconoce como la magnitud o longitud delvector y se denota mediante:              ABS...
Suma de vectores                        C                AC                                        BC              AB     ...
Suma de vectores               v+u          v                  uSi a es un número real y v es un vector, se defineun nuevo...
Forma de componentes de  un vectorSi un vector v se representa en el plano conpunto inicial P( x1 , y1 ) y punto terminal ...
Ejemplo (1)a)   Encuentre la forma de componentes del     vector u con punto inicial (-2, 5) y punto     terminal (3, 7).b...
Solución (a) Ejemplo: a) Los puntos son: (-2, 5) (3, 7).v          (-2) 7      ____ ____, ____ ____        3              ...
Encuentre la forma de componentes delvector u. Usa la formula:v    x2 x1, y2        y11.   (3, 4), (6, -8)2.   (-3, -7), (...
Solución (b)    v   3,7 y el punto inicial es (2, 4)v           2      4        x _____,y _____                  3,7x 2   ...
Halla el punto resultante y traza     cada vector en el plano.1)   v = <3, 5>, el punto inicial es (8, 0)2)   v = <0, 9>, ...
w      2,3 ,(0, 0), (2,2), (-2, -1), (1, 4)                    (4, 3), (8, 5) y (10, 5).                                  ...
Resuelve según se hizoclases1)   w = < 5, -     6>, (3, 0), (4, 9), (4, 7), (10,2), (7, 8),      (9, 0)2)   v = <5, 6>, Pu...
Examen         PROF. JUAN_SERRANO
MAGNITUD DE UN VECTOR                 2           2D AB         A          BEjemplo1 : Encuentra la magnitud del vector :u...
Ejercicios de práctica:Halla la magnitud o longitud de cadavector. 1) u = <2, -3> 2) w = <4, 3> 3) v = <10, 9> 4) u = <-7,...
Halla la magnitud del vector  representado:Utilizando la información dada, halla el vector representado y su magnitud.    ...
Halla la magnitud de cadavector:         PROF. JUAN_SERRANO
Dados C(8, -2) y D(4, 6), encuentra lamagnitud y dirección de CD.                     2                      2CD      ...
Dibuja cada vector. Luego encuentra lamagnitud redondeada a la decima mascercana.1)   A(4, 2), B(7, 22)2)   A(0, -20), B(4...
Utilizando vectores, dibuja la siguiente figura:                 PROF. JUAN_SERRANO
Operaciones algebraicas envectoresSi u   a1,b1 y v              a2 ,b2 , entonces:u v    a1 a2 , b1 b2u v    a1 a2 , b1 b2...
Operaciones con vectoresSi u    2,    3 yv         1, 2 , encuentra u        v, u    v, 2u,     3v y 2u   3vSolución: Por ...
Propiedades de los vectoresSuma de vectores                          Multiplica r por un escalaru v v u                   ...
EjerciciosEncuentra 2u, -3v, u + v, 3u – 4v 1) u     2,7 , v            3,1 2) u     - 2,5 , v            2,-8 3) u     0,...
Preguntas…???        PROF. JUAN_SERRANO
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  1. 1. VectoresPrecálculoQuinta EdiciónProf. Juan Serrano, MA PROF. JUAN_SERRANO
  2. 2. Introducción En aplicaciones de matemáticas, ciertas cantidades se determinan por completo por su magnitud; por ejemplo, longitud, masa, área, temper atura y energía. PROF. JUAN_SERRANO
  3. 3. Descripción geométrica de vectoresUn vector en el plano es un segmento de recta conuna dirección asignada. .B Este vector se denota por:A . AB El punto A es el punto inicial y B es el punto terminal. PROF. JUAN_SERRANO
  4. 4. La longitud del segmento de recta AB seconoce como la magnitud o longitud delvector y se denota mediante: ABSe usan letras en negritas para denotarvectores. Estos se escriben de la siguienteforma: u ABSe considera que dos vectores son igualessi tienen igual magnitud y la mismadirección. PROF. JUAN_SERRANO
  5. 5. Suma de vectores C AC BC AB A BSi el desplazamiento del vector AB va seguidodel desplazamiento BC, entonces eldesplazamiento resultante es AC. AC AB BC PROF. JUAN_SERRANO
  6. 6. Suma de vectores v+u v uSi a es un número real y v es un vector, se defineun nuevo vector av como sigue: el vector av tienemagnitud a v y tiene la misma dirección que v sia>0 o la dirección opuesta si a<0. PROF. JUAN_SERRANO
  7. 7. Forma de componentes de un vectorSi un vector v se representa en el plano conpunto inicial P( x1 , y1 ) y punto terminal Q( x2 , y2 ) v x2 x1, y2 y1 PROF. JUAN_SERRANO
  8. 8. Ejemplo (1)a) Encuentre la forma de componentes del vector u con punto inicial (-2, 5) y punto terminal (3, 7).b) Si el vector v 3,7 se bosqueja con punto inicial (2, 4), ¿cuál es el punto terminal?c) Bosqueje representaciones del vector w 2,3 con puntos iniciales (0, 0), (2,2), (-2, -1) y (1, 4). PROF. JUAN_SERRANO
  9. 9. Solución (a) Ejemplo: a) Los puntos son: (-2, 5) (3, 7).v (-2) 7 ____ ____, ____ ____ 3 5 v 3 2 5 ____ ____, ____ ____ 7 v 5,2Por lo tanto el vector deseado es: v 5,2 PROF. JUAN_SERRANO
  10. 10. Encuentre la forma de componentes delvector u. Usa la formula:v x2 x1, y2 y11. (3, 4), (6, -8)2. (-3, -7), (-9, -10)3. (6, 7), (2, 0)4. (0,0), (7, 8)5. (5, 0), (7, 0)6. (9, 5), (10, 0)7. (0, 9), (9, 0) PROF. JUAN_SERRANO
  11. 11. Solución (b) v 3,7 y el punto inicial es (2, 4)v 2 4 x _____,y _____ 3,7x 2 3 =5y 4 7 = 11El punto terminal es (5, 11) PROF. JUAN_SERRANO
  12. 12. Halla el punto resultante y traza cada vector en el plano.1) v = <3, 5>, el punto inicial es (8, 0)2) v = <0, 9>, punto terminal es (10, 2)3) v = <9, 0>, punto terminal es (-10, 2)4) v = <-9, -9>, punto inicial es (0, 0)5) v = <-3, -5>, punto terminal es (-6, -5)6) v = <7, -7>, punto inicial es (0, 0) PROF. JUAN_SERRANO
  13. 13. w 2,3 ,(0, 0), (2,2), (-2, -1), (1, 4) (4, 3), (8, 5) y (10, 5). (8,5), (10,5), (1, 4). (4,3), (2,2), (0, 0)(-2, -1) PROF. JUAN_SERRANO
  14. 14. Resuelve según se hizoclases1) w = < 5, - 6>, (3, 0), (4, 9), (4, 7), (10,2), (7, 8), (9, 0)2) v = <5, 6>, Punto inicial (8, -9).3) u = <7, 9>, Punto terminal (-5, -7)4) Punto inicial (0, 0), Punto terminal (9,0). Halla el vector.5) Punto terminal (9,7), Punto inicial (6,-7). PROF. JUAN_SERRANO
  15. 15. Examen PROF. JUAN_SERRANO
  16. 16. MAGNITUD DE UN VECTOR 2 2D AB A BEjemplo1 : Encuentra la magnitud del vector :u 2,3 2 2D AB 2 3D AB ____ ____ 4 9D AB _____ 13 3.61 PROF. JUAN_SERRANO
  17. 17. Ejercicios de práctica:Halla la magnitud o longitud de cadavector. 1) u = <2, -3> 2) w = <4, 3> 3) v = <10, 9> 4) u = <-7, 0> 5) v = <0, -9> 6) w = <-6, -8> 7) u =<3/5, 4/5> PROF. JUAN_SERRANO
  18. 18. Halla la magnitud del vector representado:Utilizando la información dada, halla el vector representado y su magnitud. Solución: 2 2 4 v A B 2 2 5 5 ____ 4 ____ El vector es 5, 4 25 16 ____ ____ 41 ___ 6.40 PROF. JUAN_SERRANO
  19. 19. Halla la magnitud de cadavector: PROF. JUAN_SERRANO
  20. 20. Dados C(8, -2) y D(4, 6), encuentra lamagnitud y dirección de CD.  2 2CD x2 x1 y2 y1  2 2CD __ __ 8 4 __ __ -2 6  2 2CD 4 8CD 80 CD 8.9 PROF. JUAN_SERRANO
  21. 21. Dibuja cada vector. Luego encuentra lamagnitud redondeada a la decima mascercana.1) A(4, 2), B(7, 22)2) A(0, -20), B(40, 0)3) A(0, 6), B(-6, 0)4) A(12, -4), B(19, 1)5) A(1, 4)6) A(-3, 4) PROF. JUAN_SERRANO
  22. 22. Utilizando vectores, dibuja la siguiente figura: PROF. JUAN_SERRANO
  23. 23. Operaciones algebraicas envectoresSi u a1,b1 y v a2 ,b2 , entonces:u v a1 a2 , b1 b2u v a1 a2 , b1 b2 cu ca1,cb1 c R PROF. JUAN_SERRANO
  24. 24. Operaciones con vectoresSi u 2, 3 yv 1, 2 , encuentra u v, u v, 2u, 3v y 2u 3vSolución: Por las definiciones de operaciones con vectores, se tiene: u v 2, 3 1,2 1, 1 u v 2, 3 1,2 3, 5 2u 2 2, 3 4, 6 3v 3 1,2 3, 6 2u 3v 2 2, 3 3 1,2 4, 6 3,6 1,0 PROF. JUAN_SERRANO
  25. 25. Propiedades de los vectoresSuma de vectores Multiplica r por un escalaru v v u c(u v) cu cvu (v w) (u v) w (c d )u cu udu 0 u (cd )u c(du) d (cu )Longitud de un vector 1u u 0u 0cu cu c0 0 Un vector de longitud 1 se llama vector unitario. Dos vectores unitarios útiles son i y j, definidos por: PROF. JUAN_SERRANO
  26. 26. EjerciciosEncuentra 2u, -3v, u + v, 3u – 4v 1) u 2,7 , v 3,1 2) u - 2,5 , v 2,-8 3) u 0,-1 , v - 2,0 4) u 0,0 , v - 1,-2 5) u 3,2 , v 8,9 PROF. JUAN_SERRANO
  27. 27. Preguntas…??? PROF. JUAN_SERRANO

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