Este documento presenta conceptos generales sobre la estabilidad de sistemas de control automático (SCA) y criterios para evaluarla. Define la estabilidad como la capacidad de un sistema de volver a su estado estacionario original después de una perturbación externa. Luego describe criterios como Routh-Hurwitz, Nyquist, Jury y el teorema de Lyapunov para determinar si un SCA es estable analizando la ubicación de las raíces de su ecuación característica.

1. ESTABILIDAD DE LOS SCA Jorge Luis Jaramillo PIET EET UTPL marzo 2010

4. Conceptos generales Si se considera un sistema lineal e invariante en el tiempo, la inestabilidad del sistema supondrá una respuesta que aumenta o disminuye deforma exponencial, o una oscilación cuya amplitud aumenta exponencialmente. Con mayor profundización, el concepto de estabilidad se puede ampliar a estabilidad “en pequeño”, estabilidad “en grande”, y, estabilidad “completa”.

5. Conceptos generales Dado que la influencia de una acción externa implica un cambio de estado estacionario, entonces existe una relación estrecha entre los procesos transitorios y la estabilidad del sistema.

6. Criterios de estabilidad Una forma intuitiva de afrontar el problema de la estabilidad de un sistema es considerar que este será estable si las distintas magnitudes que lo definen no alcanzan valores infinitos Un sistema, inicialmente en reposo, se dice estable si ante cualquier señal de entrada acotada, es decir, que no alcanza valores infinitos, responde con una señal de salida acotada (estabilidad BIBO bounded-input bounded-output) Estabilidad BIBO

7. Criterios de estabilidad Para un SCA de lazo cerrado, se puede obtener la función de transferencia en la forma: El denominador de la función de transferencia del sistema se denomina ecuación característica del sistema La naturaleza del proceso transitorio y la estabilidad del sistema dependerá de las raíces de esta ecuación. Criterio Routh-Hurwitz

8. Criterios de estabilidad Las raíces de una ecuación a(s) están distribuidas en el plano de coordenadas, definido por el eje de los números reales (abcisas) y el eje de los números imaginarios (ordenadas): Criterio Routh-Hurwitz

9. Criterios de estabilidad Un polinomio a(s) se dice Hurwitz, si todas sus raíces tienen la parte real negativa. Según el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz, para que un sistema sea estable basta con que la ecuación característica del sistema de lazo cerrado sea un polinomio Hurwitz. En la práctica, el principio de estabilidad de Routh-Hurwitz se basa en el análisis de los coeficientes de la ecuación característica. Criterio Routh-Hurwitz

10. Criterios de estabilidad El sistema, cuya ecuación característica posee dos raíces conjugadas, representadas de color amarillo, es un sistema estable. El sistema, cuya ecuación característica posee dos raíces conjugadas, representadas de color rojo, no es un sistema estable. Criterio Routh-Hurwitz

11. Criterios de estabilidad La validez del criterio de Routh-Hurwitz se fundamenta en que dada una ecuación característica a(s) es posible encontrar su solución común en la forma: , en la que Si son las raíces de la ecuación característica. De otra parte, los significados de las funciones originales y de las funciones imágenes están ligadas por la expresión: De tal forma que para todo si<0, todos los elementos de para t ->∞ se aproximarán a cero, y, el sistema será estable. Para todo si>0, los elementos se alejarán de cero y el sistema no será estable. Criterio Routh-Hurwitz

12. Criterios de estabilidad Criterio Routh-Hurwitz

13. Criterios de estabilidad El teorema de Lyapunov permite juzgar sobre la estabilidad de un sistema “en grande”, conocido su comportamiento en “pequeño”. Si la investigación de la estabilidad de un sistema en “pequeño” derivó en demostrar que la ecuación característica de la función de transferencia de un sistema de lazo cerrado es un polinomio Hurwitz, entonces el sistema es estable en “grande”. Si la investigación de la estabilidad de un sistema en “pequeño” derivó en demostrar que la ecuación característica de la función de transferencia de un sistema de lazo cerrado no es un polinomio Hurwitz, entonces el sistema no es estable en “grande”. Teorema Lyapunov

14. Criterios de estabilidad El criterio de estabilidad de Nyquist, para un sistema de lazo cerrado, se basa en el análisis de la representación gráfica de la función de transferencia. En el plano de coordenadas s se define la curva cerrada C (o contorno de Nyquist), el mismo que rodea el semiplano de la parte real positiva del plano complejo. Si las raíces de la ecuación característica están fueran del contorno, entonces el sistema será estable. Criterio Nyquist

15. Criterios de estabilidad Contorno de Nyquist para estudiar la estabilidad de un sistema de lazo cerrado Criterio Nyquist

16. Criterios de estabilidad Diagrama polar y contorno de Nyquist para un sistema de primer grado Criterio Nyquist

17. Criterios de estabilidad De acuerdo a este criterio, las raíces de la ecuación característica de un sistema de lazo cerrado estable, se encuentran dentro de la circunferencia unitaria centrada en el origen del plano de coordenadas complejas Criterio Jury

18. DISCUSIÓN Y ANÁLISIS