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LOS NUMEROS
NUMEROS ENTEROS
Por muchos, muchos años en tiempos
pasados, hasta los más famosos
matemáticos en Europa se negaron a acept...
NUMEROS ENTEROS
Por dividir la Tierra en pedacitos:
NUMEROS ENTEROS
Medir el ángulo de inclinación de la Tierra
que da origen a las estaciones:
NUMEROS ENTEROS
Por medir las temperaturas en desiertos,
mares, montañas, ….
NUMEROS ENTEROS
Se fijó el nivel del mar para realizar
medidas submarinas y sobre la tierra.
NUMEROS ENTEROS
Todo número natural tendrá un simétrico
en el conjunto de los números enteros. (Z)
Z = { ∞, …, -3, -2, -1,...
NUMEROS ENTEROS
El conjunto de los números enteros se
describe como:
Z = { ∞, …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … ∞}
Representaci...
NUMEROS ENTEROS
¿Qué existe entre el -3 y el -2?
¿Qué existe entre el 3 y el 4?
No existe nada
NUMEROS ENTEROS
Con los números enteros se cumple:
La igualdad =
Se pueden ordenar:
El antecesor de un número es el menor ...
NUMEROS ENTEROS
Suma (+) de números enteros:
Al sumar juntamos varios valores en uno
solo.
Cantidades del mismo signo se s...
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Suma (+) de números enteros:
Al sumar juntamos varios valores en uno
solo.
La suma de dos números enteros ...
NUMEROS ENTEROS
Suma (+) de números enteros:
Propiedades: CONMUTATIVA
Al sumar dos números enteros da lo mismo
colocar pri...
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Suma (+) de números enteros
Propiedades: ASOCIATIVA
Para sumar tres o más números enteros
podemos hacerlo ...
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Suma (+) de números enteros
Propiedades: ELEMENTO NEUTRO
Existe un número entero 0, que al ser sumado
a cu...
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Multiplicación (*) de números enteros
Al multiplicar sumamos reiteradamente la
primera (multiplicando) tan...
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Multiplicación (*) de números enteros
Al multiplicar dos números de signo
contrario el resultado es un núm...
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Producto (*) de números enteros
Propiedades:
La Multiplicación de dos números enteros es
siempre un número...
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Producto (*) de números enteros
Propiedades: CONMUTATIVA
Al multiplicar dos números enteros da lo
mismo co...
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Producto (*) de números enteros
Propiedades: ASOCIATIVA
Para multiplicar tres o más números enteros
podemo...
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Producto (*) de números enteros
Propiedades: ELEMENTO NEUTRO
Existe un número entero 1, que al ser
multipl...
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Propiedad Distributiva del producto
respecto de la suma
Se multiplica el multiplicando por cada uno
de los...
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Producto (*) de números enteros
Ejercicios:
NUMEROS ENTEROS
Exponenciación
Una potencia es un modo abreviado de escribir un
producto de un número por sí mismo
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Exponenciación
(-3)(-3)(-3) = (-3)3
(-3)3
≠ -33
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Exponenciación Propiedades
Producto de potencias de la misma base.
Para multiplicar varias potencias que t...
NUMEROS ENTEROS
Exponenciación Propiedades
Cociente de potencias de la misma base.
Para dividir dos potencias que tienen l...
NUMEROS ENTEROS
Exponenciación Propiedades
Potencia de exponente 0.
Una potencia de exponente 0 vale 1.
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Potencia de exponente negativo.
Una potencia de exponente negativo equivale
al ...
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Potencia de una potencia.
Para elevar una potencia a otra potencia
podemos tran...
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Potencia de un producto.
Un exponente afecta globalmente a un
producto de vario...
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Potencia de una división.
Si a, n, m son un números naturales entonces:
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Exponenciación Ejercicios
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Resta (-) de números enteros
La resta es la operación contraria a la suma.
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Hay que repartir 60 hojas de papel carta a 4
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Radicación ( ) de números enteros
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De los números Enteros a los números
Racionales
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  1. 1. LOS NUMEROS
  2. 2. NUMEROS ENTEROS Por muchos, muchos años en tiempos pasados, hasta los más famosos matemáticos en Europa se negaron a aceptar la existencia de números negativos. Los llamaban números absurdos. La necesidad de los números negativos pudo haber surgido por pérdidas en el comercio y…
  3. 3. NUMEROS ENTEROS Por dividir la Tierra en pedacitos:
  4. 4. NUMEROS ENTEROS Medir el ángulo de inclinación de la Tierra que da origen a las estaciones:
  5. 5. NUMEROS ENTEROS Por medir las temperaturas en desiertos, mares, montañas, ….
  6. 6. NUMEROS ENTEROS Se fijó el nivel del mar para realizar medidas submarinas y sobre la tierra.
  7. 7. NUMEROS ENTEROS Todo número natural tendrá un simétrico en el conjunto de los números enteros. (Z) Z = { ∞, …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … ∞}
  8. 8. NUMEROS ENTEROS El conjunto de los números enteros se describe como: Z = { ∞, …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … ∞} Representación gráfica de los números enteros:
  9. 9. NUMEROS ENTEROS ¿Qué existe entre el -3 y el -2? ¿Qué existe entre el 3 y el 4? No existe nada
  10. 10. NUMEROS ENTEROS Con los números enteros se cumple: La igualdad = Se pueden ordenar: El antecesor de un número es el menor (<) Así -5 < -4, -4 < -3, 2 < 3, 1 < 2 y 0 < 1 El sucesor de un número es el mayor (>) Así -4 > -5, -3 > -4, 3 > 2, 2 > 1 y 1 > 0
  11. 11. NUMEROS ENTEROS Suma (+) de números enteros: Al sumar juntamos varios valores en uno solo. Cantidades del mismo signo se suman manteniendo su signo.
  12. 12. NUMEROS ENTEROS Suma (+) de números enteros: Al sumar juntamos varios valores en uno solo. La suma de dos números enteros es siempre un número entero. -8, 8 y 2 pertenecen a los enteros
  13. 13. NUMEROS ENTEROS Suma (+) de números enteros: Propiedades: CONMUTATIVA Al sumar dos números enteros da lo mismo colocar primero el uno o el otro
  14. 14. NUMEROS ENTEROS Suma (+) de números enteros Propiedades: ASOCIATIVA Para sumar tres o más números enteros podemos hacerlo agrupándolos de formas diversas, obtendremos el mismo resultado.
  15. 15. NUMEROS ENTEROS Suma (+) de números enteros Propiedades: ELEMENTO NEUTRO Existe un número entero 0, que al ser sumado a cualquier otro número entero da como resultado ese mismo número. http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/naturales1/propieda.htm
  16. 16. NUMEROS ENTEROS Multiplicación (*) de números enteros Al multiplicar sumamos reiteradamente la primera (multiplicando) tantas veces como indica la segunda (multiplicador) dando un solo resultado (producto). 4 * 3 = 4 + 4+ 4 A la operación multiplicar también se le llama producto. La multiplicación está asociada al concepto de área geométrica. A
  17. 17. NUMEROS ENTEROS Multiplicación (*) de números enteros Al multiplicar dos números de signo contrario el resultado es un número negativo. (+)(-) = (-) Al multiplicar dos números del mismo signo el resultado es un número positivo. (-)(-) = (+)
  18. 18. NUMEROS ENTEROS Producto (*) de números enteros Propiedades: La Multiplicación de dos números enteros es siempre un número entero. 4 * 7 = 28 28 pertenece a N -9 * 5 = -45 -45 pertenece a N
  19. 19. NUMEROS ENTEROS Producto (*) de números enteros Propiedades: CONMUTATIVA Al multiplicar dos números enteros da lo mismo colocar primero el uno o el otro 4 * 7 = 28 7 * 4 = 28 -2 * 5 = -10 5 * -2 = -10 -2 * -8 = 16 -8 * -2 = 16
  20. 20. NUMEROS ENTEROS Producto (*) de números enteros Propiedades: ASOCIATIVA Para multiplicar tres o más números enteros podemos hacerlo agrupándolos de formas diversas, obtendremos el mismo resultado. 3 * (4 * 7) = 3 * 28 = 84 (3 * 4) * 7 = 12 * 7 = 84 6 * (9 * 5) = 6 * 45 = 270 (-6 * 9) * (-5) = -54 * (-5) = 270
  21. 21. NUMEROS ENTEROS Producto (*) de números enteros Propiedades: ELEMENTO NEUTRO Existe un número entero 1, que al ser multiplicado a cualquier otro número natural da como resultado ese mismo número. 4 * 1 = 4 -25 * 1 = -25
  22. 22. NUMEROS ENTEROS Propiedad Distributiva del producto respecto de la suma Se multiplica el multiplicando por cada uno de los sumandos y se simplifica. -4 * (1 + 4) = -4 * 1 - 4 * 4 = -4 - 16 = - 20 (3 + 5) * 2 = 3 * 2 + 5 * 2 = 6 + 10 = 16
  23. 23. NUMEROS ENTEROS Producto (*) de números enteros Ejercicios:
  24. 24. NUMEROS ENTEROS Exponenciación Una potencia es un modo abreviado de escribir un producto de un número por sí mismo 3*3*3*3*3 = 35 (-3)(-3)(-3)(-3)(-3) = (-3)5 En la expresión de la potencia de un número consideramos dos partes: 1. La base es el número que se multiplica por sí mismo (en este caso: 3 ó -3) 2. El exponente es el número que indica las veces que la base aparece como factor. (en este caso 5)
  25. 25. NUMEROS ENTEROS Exponenciación (-3)(-3)(-3) = (-3)3 (-3)3 ≠ -33
  26. 26. NUMEROS ENTEROS Exponenciación Propiedades Producto de potencias de la misma base. Para multiplicar varias potencias que tienen la misma base podemos transformarlo en una sola potencia. http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/potencia/producto.htm
  27. 27. NUMEROS ENTEROS Exponenciación Propiedades Cociente de potencias de la misma base. Para dividir dos potencias que tienen la misma base podemos transformarlo en una sola potencia. La potencia del numerador debe ser mayor o igual a la potencia del denominador.
  28. 28. NUMEROS ENTEROS Exponenciación Propiedades Potencia de exponente 0. Una potencia de exponente 0 vale 1.
  29. 29. NUMEROS ENTEROS Exponenciación Propiedades Potencia de exponente negativo. Una potencia de exponente negativo equivale al inverso de esa potencia con exponente positivo. No esta definida dentro del conjunto de los Naturales
  30. 30. NUMEROS ENTEROS Exponenciación Propiedades Potencia de una potencia. Para elevar una potencia a otra potencia podemos transformarlo en una sola potencia simple.
  31. 31. NUMEROS ENTEROS Exponenciación Propiedades Potencia de un producto. Un exponente afecta globalmente a un producto de varios factores
  32. 32. NUMEROS ENTEROS Exponenciación Propiedades Potencia de una división. Si a, n, m son un números naturales entonces: (Si se dividen dos bases distintas a la misma potencia se puede factorizar la potencia)
  33. 33. NUMEROS ENTEROS Exponenciación Ejercicios http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/potencia/prueba.htm
  34. 34. NUMEROS ENTEROS Exponenciación Ejercicios Efectuar:
  35. 35. NUMEROS ENTEROS Resta (-) de números enteros La resta es la operación contraria a la suma. No está completamente definida dentro del conjunto de los números naturales Los términos de la resta se llaman minuendo y substraendo, el resultado se llama diferencia. Minuendo - Sustraendo Diferencia
  36. 36. NUMEROS ENTEROS Propiedades de la resta (-) de números enteros. La resta no tiene las propiedades de la suma. La resta no es una operación interna en el conjunto de los números naturales
  37. 37. NUMEROS ENTEROS Resta (-) de números enteros http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/naturales1/restas.htm INTERPRETACI ON GRAFICA DE LA RESTA
  38. 38. NUMEROS ENTEROS Resta (-) de números enteros http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/naturales1/3x3arn.htm
  39. 39. NUMEROS ENTEROS Resta (-) de números enteros http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/naturales1/3x3rn3x3.htm
  40. 40. NUMEROS ENTEROS División (/ ó :) de números enteros La división es la operación contraria a la multiplicación. No está completamente definida dentro del conjunto de los números naturales La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un numero de cosas entre un número de cosas. NACE POR LA NECESIDAD DE REPARTIR
  41. 41. NUMEROS ENTEROS División (/ ó :) de números enteros  Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas) y divisor (no nulo) (se reparten), el resultado se llama cociente (número que le corresponde a cada cosa) y pudiera haber o no un residuo (lo que sobra) cuando la división no es exacta.  Para que la división de números naturales se pueda realizar debe cumplirse: Dividendo > Divisor
  42. 42. NUMEROS ENTEROS Propiedades de la División (/ ó :) de números enteros. La división no tiene las propiedades de la multiplicación. La división no es una operación interna en el conjunto de los números naturales
  43. 43. NUMEROS ENTEROS División (/ ó :) de números enteros Dividendo > Divisor
  44. 44. NUMEROS ENTEROS División (/ ó :) de números enteros Hay que repartir 60 hojas de papel carta a 4 personas. ¿Cómo lo harías? REPARTO División exacta
  45. 45. NUMEROS ENTEROS División (/ ó :) de números enteros Hay que repartir 17 lapiceros entre 3 personas. ¿Cómo lo harías? REPARTO División inexacta
  46. 46. NUMEROS ENTEROS División (/ ó :) de números enteros Realizar la división e indicar si es exacta o inexacta. http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/divisibilidad/division.htm
  47. 47. NUMEROS ENTEROS Radicación ( ) de números enteros La radicación es la operación contraria a la exponenciación La radicación no está completamente definida dentro de los números naturales. La radicación no es una operación interna en el conjunto de los números naturales 3 5
  48. 48. NUMEROS ENTEROS Radicación ( ) de números enteros 3 es el índice 8 es el radicando y 2 es el resultado de la radicación. 3 5
  49. 49. NUMEROS ENTEROS Radicación ( ) de números enteros Propiedad distributiva. 3 5
  50. 50. NUMEROS ENTEROS Radicación ( ) de números enteros Tabla de potencias / radicacion. 3 5
  51. 51. NUMEROS ENTEROS De los números Enteros a los números Racionales A pesar de que muchas actividades del Hpmbre quedaron cubiertas con los números naturales, quedaron muchas actividades que necesitan un nuevo conjunto de números: los números RACIONALES
  52. 52. NUMEROS ENTEROS http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Naturales_complejos/index1.htm
  53. 53. BIBLIOGRAFIA http://descartes.cnice.mec.es/materiales_did acticos/Naturales_complejos/index1.htm http://www.rena.edu.ve/
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