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1           v2              Introducción al Método
    S
                            de los Elementos Finitos
                                        Parte 1
                      Introducción al MEF para problemas elípticos
1. Introducción al MEF para problemas elípticos


•   Problemas elípticos “modelo” y solución por MEF
     – Problema simple 1-D
     – Generalización a 2-D
•   Propiedades básicas del método




              Introducción al Método de los Elementos Finitos   2
(1.1) Formulación variacional del problema 1-D
•   Sea el problema de valores de frontera:
                                  − u '' = f ( x) ,                  0< x 1
                   (D)
                                  u (0) = u (1) = 0
                  du
    donde u ' =      ;   f ( x) es una función continua dada.
                  dx
•   Integrando 2 veces, vemos que el problema tiene solución única u.

•   (D) puede describir cualquiera de los siguientes problemas de Mecánica del
    continuo:

                     A. Barra elástica
                     B. Cuerda elástica
                     C. Conducción del calor en una barra


                           Introducción al Método de los Elementos Finitos       3
A) Barra elástica
Barra elástica sujeta en ambos extremos y sometida a carga axial de intensidad f(x)




Bajo hipótesis de pequeños desplazamientos y material elástico lineal:
                 σ = Eu '                   Ley de Hooke
                 −σ ' = f                   Ec. de equilibrio
                 u (0) = u (1) = 0          Cond. de borde

donde E es el módulo de elasticidad. Asumiendo E=1
                               − u '' = f ( x)          ,                0< x 1
              (D)
                                u (0) = u (1) = 0

                       Introducción al Método de los Elementos Finitos            4
B) Cuerda elástica
Cuerda elástica sujeta en ambos extremos, con tensión unitaria y sometida a carga
transversal de intensidad f(x)




Bajo hipótesis de pequeños desplazamientos y material elástico lineal:




                       Introducción al Método de los Elementos Finitos         5
C) Conducción de calor en una barra
Barra sometida a fuente de calor distribuida f(x), con temperatura nula en ambos
extremos.




Bajo condiciones estacionarias y material lineal:

                 −q = ku '                   Ley de Fourier
                 −q ' = f                   Ec de equilibrio
                 u (0) = u (1) = 0          Cond de borde
donde k es el conductividad. Asumiendo k=1

                                 − u '' = f ( x) ,                  0< x 1
                (D)
                                u (0) = u (1) = 0

                       Introducción al Método de los Elementos Finitos         6
Problemas de minimización y variacional
Veremos que la solución al problema (D) es también solución del problema de
   minimización (M) y de un problema variacional (V)

Para formular (M) y (V) introducimos nueva notación.

1. Producto interno (v,w):                  1
                               (v, w) = ∫ v( x) w( x) dx
                                            0
   para funciones reales acotadas continuas por tramos v, w.
2. Espacio lineal V:      V = {v / v funcion continua sobre [ 0,1] ,
                                      v ' es continua p/tramos y acotada en [ 0,1] ,
                                       v(0) = v(1) = 0                           }
3. Funcional lineal   F :V →
                                    1
                             F (v) = (v ', v ') − ( f , v)
                                    2
                       Introducción al Método de los Elementos Finitos                 7
Problemas de minimización y variacional (cont)
Problema (M):

Problema (V):


Nota: en el contexto de los problemas (A) y (B)
        F (v )    es la energía potencial total asociada al desplazamiento v
        1
          (v ', v ') es la energía elástica interna
        2
        ( f , v)   es el potencial de cargas

Problema (M): principio de mínima energía potencial en Mecánica
Problema (V): principio de trabajos virtuales en Mecánica

         Veremos la equivalencia de los problemas (D), (V) y (M)

                         Introducción al Método de los Elementos Finitos       8
La solución de (D) es solución de (V)
1. Multiplicamos −u '' = f por una función arbitraria v ∈ V (func. de test).
   Integramos sobre (0,1):
                             −(u '', v) = ( f , v)


2. Integramos por partes el lado izquierdo, y usamos v(0)=v(1)=0:
                    −(u '', v) = −u '(1)v(1) + '(0)v(0) +u ', v ') (= ', v ')
                                             u          (           u

3. Al ser v arbitraria:
                                  (u ', v ') = ( f , v)       ∀ v ∈V            (1.1)


    o sea, u es solución de (V)



                          Introducción al Método de los Elementos Finitos           9
Los problemas (M) y (V) tienen la misma solución
1. Sea u solución de (V). Sea        v ∈V y w = v − u / v                              u =w         +w V ∧
                                                                                                         .          ∈
                                       1
    Luego:       F (v) = F (u + w)        ( u ' w= u ' w ') (+ , u
                                                  ',              f                     w)      +            −          +
                                       2
                          1                                                            1
                       = ( u ', u ') − ( f , u ) (u ', w ') ( f , w)                   + ( w ', w ')   F (u ) −
                          2                                                            2
                                                          = 0 por (1.1)
                                     F (u )                                                ≥0
    o sea, u es solución del problema (M).
•   Sea u solución de (M). Luego              ∀ v ∈V y ε ∈            : F (u ) ≤ F (u + ε v)                (*)
    Definiendo:
                                   1                      ε2
             g (ε )   F (u + ε v) = (u ', u ') (u ', v ')
                                                        +    (v ', v ') ε + f , u )
                                                                          (                            ( f , v) −
                                   2                      2
    Por (*) g (ε ) tiene un mínimo en ε = 0 . Luego :
                             g '(0) = (u ', v ') − ( f , v)           =            0
                                                                g ( ε ) min en 0

    o sea, u es solución del problema (V).

                         Introducción al Método de los Elementos Finitos                                   10
La solución de (V) es única
1. Sean u1 , u2   soluciones de (V):               u1 , u2 ∈ V y

                              (u '1 , v ') = ( f , v)           ∀ v ∈V
                              (u '2 , v ') = ( f , v)           ∀ v ∈V

2. Sustrayendo, y eligiendo v = u1 − u2 ∈ V                            1
                                                                   ∫0
                                                                           (u '1 − u '2 ) 2 dx = 0
   lo cual muestra que:
                       1            2          1        2


3. Usando la condición de borde:

                   1            2                           1      2                     [ ]
   o sea, la solución a (V) es única.


                           Introducción al Método de los Elementos Finitos                           11
Equivalencia de soluciones a (D), (V) y (M)
1. Hasta ahora hemos visto que si u es solución a (D), luego es solución a los
   problemas equivalentes (V) y (M) :
                                                       ( D) ⇒ (V ) ⇔ ( M )
   Mostraremos que si u es solución de (V), luego u satisface (D).
2. Sea
                                    1              1
                                ∫0             ∫0
   Asumimos u '' existe y es continua. Integ.p/partes y usando v(0) = v(1) = 0
                          1              1
                       − ∫ u '' v dx − ∫ fv dx u ' v 0                   +        =
                                                          1
                                                               0
                          0              0
                          1
                       − ∫ (u ''+ f )v dx = 0                    v V     ∀       ∈
                          0

   Como (u ''+ f ) es continua, luego:

                              (u ''+ f ) ( x) = 0        0< x 1              <
   o sea, u es solución de (D).

                       Introducción al Método de los Elementos Finitos           12
Equivalencia de soluciones (D), (V) y (M)
Resumiendo: Hemos demostrado que
        1. La solución de la ecuación diferencial es solución de un problema
           variacional
        2. La solución del problema variacional es también solución de un problema de
           minimización y viceversa
        3. La solución del problema variacional es única
        4. Si se cumple un requisito de regularidad (u” continua), la solución del
           problema variacional es también solución de la ecuación diferencial


Notar: Las soluciones a los problemas variacional y de minimización vistos hasta
   ahora tienen dimensión infinita, no pueden hallarse en computadora.

Veremos ahora cómo el MEF construye aproximaciones de dimensión finita a las
   soluciones de (V) y (M).


                        Introducción al Método de los Elementos Finitos              13
(1.2) MEF p/problema modelo c/funciones lineales p/tramos
1. Construiremos un subespacio de dimensión finita Vh del espacio V ,
   consistente en funciones lineales p/tramos.
2. Sea
                                  0     1      M      M +1

   una partición del intervalo (0,1) en subintervalos I j = ( x j −1 , x j ) de longitud
                     h j = x j − x j −1 , j = 1, M 1               +
   La cantidad h = max h j es una medida de la densidad de la partición.




                        Introducción al Método de los Elementos Finitos                14
Subespacio de funciones lineales por tramos
1. Sea          Vh = {v / v es lineal en cada subintervalo I j
                          v es continua en el [ 0,1]
                          v(0) = v(1) = 0                               }
                       Ejemplo de v ∈ Vh

                                                                Notar que   Vh ⊂ V


2. Para describir v ∈ Vh elegimos los valores


                                    η j = v( x j ) en los nodos x j ,       j = 1,   M




                      Introducción al Método de los Elementos Finitos                    15
Subespacio de funciones lineales por tramos
3. Definimos funciones de base ϕ j ( x) ∈ Vh ,            j = 1,    M
                                  ⎧1 si i = j
               ϕ j ( xi ) = δ ij = ⎨                          i, j 1,       =
                                                                            M
                                  ⎩0 si i ≠ j

                                                                     ϕ j ( x) : función continua
                                                                   lineal por tramos que verifica
                                                                         la propiedad delta.


4. Toda función v ∈ Vh puede ser escrita en forma única como combinación
   lineal de las funciones de base ϕi ( x) :
                                         M
                               v ( x ) = ∑ ηi ϕi ( x )                 x ∈ [ 0,1] ,   i   η v( xi )
                                         i =1



                                                                                          {ϕi }i =1
                                                                                                M
   Luego, Vh es un espacio vectorial lineal de dimensión M con base:

                          Introducción al Método de los Elementos Finitos                           16
MEF para problema modelo (D)
        1. Formulación como problema de minimización discreto:
            (M h )       Hallar uh ∈ Vh                   /    F (uh ) ≤ F (v) ∀ v Vh                  ∈     (método Ritz)

        2. De la manera ya vista, es equivalente al problema variacional discreto:
(1.2)      (Vh )         Hallar uh ∈ Vh                   / (uh ', v ') = ( f , v) ∀ v Vh                    ∈
                                                                                                           (método Galerkin)

        3. Notar, que si uh ∈ Vh satisface (1.2), luego en particular
(1.3)                                                (uh ', ϕ j ') = ( f , ϕ j )          j = 1,   M

           (además, si se cumple (1.3), luego vale (1.2) ∀ v ∈ Vh )
                                 M
        4. Siendo uh ( x) = ∑ ξi ϕi ( x) ,                      i   ξ uh ( xi ) , escribimos (1.3) en la forma:
                                                                    =
                                 i =1


                          ∑ ξ (ϕ ', ')ϕ                                            (   j = 1,… , M)
                          M
                                      = i       i    j         f,    j     ϕ
                          i =1

           Sistema de M ecuaciones algebraicas lineales con M incógnitas ξi
                                            Introducción al Método de los Elementos Finitos                       17
Forma matricial
(1.5)                       A ξ              = b
                                                                                 A : matriz de rigidez
⎡ (ϕ1 ', ϕ1 ') ( 1 ', ϕ ') ϕ
                       2            ( 1 ',   M') ϕ ϕ
                                                  ⎤ 1         b1 ξ
⎢ (ϕ ', ϕ ') ( ', ϕ ') ϕ                          ⎥                              b : vector de cargas
⎢ 2 1            2     2                          ⎥ ⎪ 2 ⎪ = ⎪ b2ξ
                                                    ⎨ ⎬ ⎨
                                                                   ⎪
                                                                   ⎬
⎢                                                 ⎥⎪ ⎪ ⎪           ⎪
⎢                                                 ⎥⎪ ⎪ ⎪                           bi = ( f , ϕi )
⎢(ϕ M ', ϕ1 ')
⎣                               (     M   ', M ') ⎥ ϕ M
                                             ϕ ⎦             bM ξ ⎪


 Los elementos aij = (ϕi ', ϕ j ') pueden
 calcularse fácilmente.
 Notar:
           (ϕ ', ϕ ') = 0
              i   j            si      i−k       1                           >

 Luego A es tridiagonal




                               Introducción al Método de los Elementos Finitos                       18
Sistema de ecuaciones
Entonces:                                     xj 1                               x j +1    1           1     1
            a jj = (ϕ j ', ϕ j ') = ∫                dx                      ∫                   dx        +                j 1,    M     =
                                          x j −1 h 2                          xj            2
                                                                                          h j +1       h j h j +1
                                                   j

                                                                xj 1                             1
            a j ( j −1) = (ϕ j ', ϕ j −1 ') =               ∫x j−1 h2j dx                        hj
                                                                                                           −            j     2,   M=         −

1. A es simétrica pues:           (ϕ ', ϕ ') = (ϕ
                                      i                j                 j   ',      i    ')           ϕ
                                                                                               M
2. A es definida positiva pues siendo v( x) = ∑ ηi ϕi ( x)                                                     luego:
                                                                                               i =1
                         ⎛M                                                        ⎞                            ⎧> 0 casi siempre
  ∑1 ηi (ϕi ', j ')ϕ j = ⎜ η=1
   M                                                        M

                           ∑              i        i       ', η      j       ϕ j ' ⎟ = ( v ', v ') ϕ0
                                                                                           η                    ⎨        ∑
                                                                                                                  = 0 solo si = v ' = 0
  i, j=                  ⎝i                                 j 1                    ⎠                            ⎩

   Como v(0) = 0                luego (v ', v ') = 0                                             v    0 o sea: η j      0     j    2, M   ⇔
   Entonces:
                     ηT Aη > 0 ∀ η                                       M
                                                                                 , ∈0                     ≠     η
                                                                                                        A simétrica y definida positiva
                              Introducción al Método de los Elementos Finitos                                                        19
Propiedades sistema de ecuaciones (1.5)
1. A sim > 0        A es no singular y el sistema (1.5) tiene solución única
2. A es rala, o sea pocos elementos de A son distintos de cero.
   Esto se debe a que ϕ j tiene soporte local ( ϕ j ≠ 0 en un intervalo pequeño,
   interfiriendo con pocas funciones ϕ k ).
                                            1
3. Si la partición es uniforme, h j = h =           y logramos
                                          M +1

                           ⎡ 2 −1       0⎤
                           ⎢ −1 2 −1      ⎥
                          1⎢              ⎥
                        A= ⎢    −1        ⎥
                          h⎢              ⎥
                           ⎢         2 −1⎥
                           ⎢0
                           ⎣         −1 2 ⎥
                                          ⎦



                       Introducción al Método de los Elementos Finitos             20
(1.3) Estimación de error del MEF para problema modelo
                            ⎧                  − u '' = f ( x) ,                  0< x 1
Sean      u solucion de (D) ⎨
                            ⎩                  u (0) = u (1) = 0
         uh solucion de (Vh )                Hallar uh ∈ Vh    / (uh ', v ') = ( f , v)                           v Vh
Recordando que
                     (u ', v ') = ( f , v)       ∀ v ∈V       (en particular                        v ∀Vh∈
                                                                                                         )
y como Vh ⊂ V
                          ( ( u − u ) ', v ') = 0
                                   h                   ∀ v Vh                          ∈ Ecuación del error
donde u − uh es el error de la aproximación

  Veremos que en cierto modo, uh es la mejor aprox posible a la sol exacta u


                                                                                      (∫              )
                                                                                                          1

                                                              ( w, w )
                                                                          1                1                  2
Norma asociada al producto escalar ( , ):              w                      2
                                                                                  =             2
                                                                                               w dx
                                                                                       0

Desigualdad de Cauchy:
                                       ( v, w ) ≤   v w

                        Introducción al Método de los Elementos Finitos                                             21
Estimación de error del MEF para problema modelo
Teo 1.1)
                           ( u − uh ) '    ≤ (u − v ) '               v Vh ∀           ∈

D) Sean v ∈ Vh arbitraria y w = uh                  v Vh . Reemplazando v por w en la                   −
   ecuación del error:
    ( u − uh ) ' = ( ( u − uh ) ', u uh ') −(( u uh)) ', w ')
                                           (                                 ((u                 w )
                                                                                   −uh ) ', u uh = '(
              2
                                                         +                                                   −
                                                   =0   ecuacion del error

                  = ( ( u − uh ) ', u v ')         −( ( u uh ) ' ≤)( u v ) ' −                    − v Vh
                                              Cauchy


   Luego                    ( u − uh ) '   ≤ (u − v ) '                v Vh ∀          ∈


Para lograr una estimación cuantitativa del error, usamos una uh ∈ Vh elegida
   convenientemente. Por el resultado anterior:
                                    ( u − uh ) '    ≤ ( u uh ) '             −

                           Introducción al Método de los Elementos Finitos                              22
Estimación del error
Haremos uh ∈ Vh interpolante de u , o sea:

     uh ( x j ) = u ( x j )        j = 0,    M 1                                      +

En Análisis Numérico, se ve que:
                                                                                   h2
   u′( x) − uh ( x) ≤ h max u ′ ( y )
             ′                                             u ( x ) uh ( x )         ′ − 0≤ y ≤1 ≤ ( y )
                                                                                      max       u
                              0 ≤ y ≤1                                             8
Luego, por el teorema y (1.12):
                                                              ( u − uh )′   ≤ h max u ′′( y )
                                                                                  0 ≤ y ≤1

Mediante análisis detallado, se puede mostrar :
                                                                            ( u − uh )       ≤ o ( h2 )
Notar:
• No necesitamos construir explícitamente uh , sino sólo la estimación de error
  del interpolante.
• u ′ es una deformación o tensión, y tiene interés práctico la estimación de su
  error
                                Introducción al Método de los Elementos Finitos                           23
Cálculo matriz rigidez
1. Los coeficientes aij = (ϕi ', ϕ j ') son calculados por suma de contribuciones
   de los distintos segmentos:

               (ϕ i ϕ j   )                                                                      (           )
                                     1                            xk
                                          i    ϕ
                                               j        ϕ                 i    j    ϕ           ϕ    i   j       K
                                  0                               xk −1
                                                             IK                            IK
   Notar que
                     (ϕ ', ϕ ')
                          i      j       K
                                              ≠0          sólo si         Ni , N j ∈ I K

2. Sean (k − 1) y k los nodos del segmento K. Luego, la matriz de rigidez del
   “elemento” K :
                                         ⎡(ϕk −1 ', ϕk −1 ' ) K   ( k 1 ', k ϕ) K ⎤− ϕ
                                                                              '
                          AK             ⎢
                                         ⎣      sim.               (ϕk ', ϕk ') K ⎥
                                                                                  ⎦

3. La matriz de rigidez global A es armada luego en 2 etapas:
         1. Cálculo de las matrices de rigidez elementales
         2. Sumatoria de las contribuciones de cada elemento (ensamble)
   El vector de cargas b es armado de la misma manera.
                              Introducción al Método de los Elementos Finitos                                        24
Cálculo matriz rigidez elemental
1. Trabajamos con las restricciones de las funciones de base al segmento K:


                                                  ψi      ϕi   K




2. ψ i es una función lineal /
                      ⎧1 en el nodo i
                 ψi = ⎨                      {ψ k −1 ( x),ψ k ( x)} base de fcs lineales en K
                      ⎩0 en el nodo j
3. Si w( x) es una función lineal en K, tiene luego la representación:
                             w( x) = w( xk −1 )ψ k −1 ( x) + w( xk )ψ k ( x)
4. La matriz de rigidez elemental:
                                                        ⎡(ψ k −1 ',ψ k −1 ') K   ( k 1 ', kψ') K ⎤− ψ
                                                AK      ⎢
                                                        ⎣       sim.              (ψ k ',ψ k ') K ⎥
                                                                                                  ⎦

                         Introducción al Método de los Elementos Finitos                                25
Ejemplo
   ψ i ( x) = α i + βi x
   α i , βi /                                                 ⎡1 xi ⎤ α i α j                    ⎧⎧1 0 ⎫          ⎫
                        ψ i ( x j ) = δ ij           ⇒        ⎢1 x ⎥ β β                                          =
                                                              ⎣   j⎦    i   j                    ⎩⎩0 1 ⎭          ⎭
Resolviendo:
                          xk                     1
               α k −1 =            β k −1 =                                       −
                          hK                    hK
                                                                     hK = xk − xk −1             (longitud segmento)
                    x                           1
             α k = − k −1               βk    =
                     hK                        hK
Luego:

   ψ k −1 ',ψ k −1 ') K = ∫ dψ k −1 dx dψ k −1 dx dx = ∫
                                                                                                              1
  (
                                                         x
                                                                                      1β          βh                 β
                                                                     k                           2
                                                                            k 1   k    dx    −   k 1 K   −                   −
                              K                                  xk −1                                       hK
                              dψ k −1        dψ k                                      1
  (ψ k −1 ',ψ k ') K      ∫             dx          dx
                                                         dx   k −1       k hKβ           β
                          K                                                           hK
                                                                                                              ⎡ 1          1⎤
                                                                                                              ⎢ h        −
                                                                                                                          hK ⎥
                                                                                                    AK        ⎢ K            ⎥
                                                                                                              ⎢ 1         1 ⎥
                                                                                                              ⎢− h       hK ⎥
                                                                                                              ⎣ K            ⎦
                                  Introducción al Método de los Elementos Finitos                                            26
Ejemplo
Ilustraremos el proceso de ensamble para el caso siguiente:




  Elemento 1) k-1=0; k=1


                            ⎡ 8 −8⎤ ⎧ξ 0 ⎫
                      A1ξ = ⎢
                          1
                                   ⎥⎨ ⎬
                            ⎣ −8 8 ⎦ ⎩ξ1 ⎭                   ψ 0 ( x) = 0 por condición de borde


                      Introducción al Método de los Elementos Finitos                   27
Ensamble primer elemento
        ⎡ 1 −1⎤ ⎧ξ 0 ⎫
A1ξ = 8 ⎢
   1
                 ⎨ ⎬
        ⎣ −1 1 ⎥ ⎩ξ1 ⎭
               ⎦




                 ⎛ 1                                                ⎞   ⎧ξ1 ⎫
                 ⎜                                                  ⎟   ⎪ξ ⎪
                 ⎜                                                  ⎟   ⎪ 2⎪
                 ⎜                                                  ⎟   ⎪ξ3 ⎪
                 ⎜                                                  ⎟   ⎪ ⎪
           Aξ =8 ⎜                                                  ⎟   ⎨ξ 4 ⎬
                 ⎜                                                  ⎟   ⎪ξ ⎪
                 ⎜                                                  ⎟   ⎪ 5⎪
                 ⎜                                                  ⎟   ⎪ξ 6 ⎪
                 ⎜                                                  ⎟   ⎪ ⎪
                 ⎝                                                  ⎠   ⎩ξ 7 ⎭


                  Introducción al Método de los Elementos Finitos            28
Ensamble segundo elemento
         ⎡ 1 −1⎤ ⎧ξ1 ⎫
A 2ξ = 8 ⎢
    2
                  ⎨ ⎬
         ⎣ −1 1 ⎥ ⎩ξ 2 ⎭
                ⎦




                   ⎛ 1+1            −1                                 ⎞   ⎧ξ1 ⎫
                   ⎜                                                   ⎟   ⎪ξ ⎪
                   ⎜ −1              1                                 ⎟   ⎪ 2⎪
                   ⎜                                                   ⎟   ⎪ξ3 ⎪
                   ⎜                                                   ⎟   ⎪ ⎪
             Aξ =8 ⎜                                                   ⎟   ⎨ξ 4 ⎬
                   ⎜                                                   ⎟   ⎪ξ ⎪
                   ⎜                                                   ⎟   ⎪ 5⎪
                   ⎜                                                   ⎟   ⎪ξ 6 ⎪
                   ⎜                                                   ⎟   ⎪ ⎪
                   ⎝                                                   ⎠   ⎩ξ 7 ⎭


                     Introducción al Método de los Elementos Finitos            29
Ensamble tercer elemento
         ⎡ 1 −1⎤ ⎧ξ 2 ⎫
A 3ξ = 8 ⎢
   3
                  ⎨ ⎬
         ⎣ −1 1 ⎥ ⎩ξ3 ⎭
                ⎦




                   ⎛ 1+1           −1                                 ⎞   ⎧ξ1 ⎫
                   ⎜                                                  ⎟   ⎪ξ ⎪
                   ⎜ −1           1+1       −1                        ⎟   ⎪ 2⎪
                   ⎜               −1       1                         ⎟   ⎪ξ3 ⎪
                   ⎜                                                  ⎟   ⎪ ⎪
             Aξ =8 ⎜                                                  ⎟   ⎨ξ 4 ⎬
                   ⎜                                                  ⎟   ⎪ξ ⎪
                   ⎜                                                  ⎟   ⎪ 5⎪
                   ⎜                                                  ⎟   ⎪ξ 6 ⎪
                   ⎜                                                  ⎟   ⎪ ⎪
                   ⎝                                                  ⎠   ⎩ξ 7 ⎭


                    Introducción al Método de los Elementos Finitos            30
Ensamble cuarto elemento
         ⎡ 1 −1⎤ ⎧ξ3 ⎫
A 4ξ = 8 ⎢
    4
                  ⎨ ⎬
         ⎣ −1 1 ⎥ ⎩ξ 4 ⎭
                ⎦




                   ⎛ 1+1            −1                                 ⎞   ⎧ξ1 ⎫
                   ⎜                                                   ⎟   ⎪ξ ⎪
                   ⎜ −1            1+1       −1                        ⎟   ⎪ 2⎪
                   ⎜                −1      1+1       −1               ⎟   ⎪ξ3 ⎪
                   ⎜                                                   ⎟   ⎪ ⎪
             Aξ =8 ⎜                         −1       1                ⎟   ⎨ξ 4 ⎬
                   ⎜                                                   ⎟   ⎪ξ ⎪
                   ⎜                                                   ⎟   ⎪ 5⎪
                   ⎜                                                   ⎟   ⎪ξ 6 ⎪
                   ⎜                                                   ⎟   ⎪ ⎪
                   ⎝                                                   ⎠   ⎩ξ 7 ⎭


                     Introducción al Método de los Elementos Finitos            31
Ensamble séptimo elemento
         ⎡ 1 −1⎤ ⎧ξ 6 ⎫
A 7ξ = 8 ⎢
    7
                  ⎨ ⎬
         ⎣ −1 1 ⎥ ⎩ξ 7 ⎭
                ⎦




                   ⎛ 1+1            −1                                          ⎞   ⎧ξ1 ⎫
                   ⎜                                                            ⎟   ⎪ξ ⎪
                   ⎜ −1            1+1       −1                                 ⎟   ⎪ 2⎪
                   ⎜                −1      1+1       −1                        ⎟   ⎪ξ3 ⎪
                   ⎜                                                            ⎟   ⎪ ⎪
             Aξ =8 ⎜                         −1      1+1        −1              ⎟   ⎨ξ 4 ⎬
                   ⎜                                  −1       1+1      −1      ⎟   ⎪ξ ⎪
                   ⎜                                                            ⎟   ⎪ 5⎪
                   ⎜                                            −1     1+1   −1 ⎟   ⎪ξ 6 ⎪
                   ⎜                                                    −1   1 ⎟    ⎪ ⎪
                   ⎝                                                            ⎠   ⎩ξ 7 ⎭


                     Introducción al Método de los Elementos Finitos                     32
Ensamble octavo elemento
         ⎡ 1 −1⎤ ⎧ξ 7 ⎫
A 8ξ = 8 ⎢
   8
                  ⎨ ⎬
         ⎣ −1 1 ⎥ ⎩ξ8 ⎭
                ⎦




                  ⎛ 1+1           −1                                           ⎞   ⎧ξ1 ⎫
                  ⎜                                                            ⎟   ⎪ξ ⎪
                  ⎜ −1           1+1       −1                                  ⎟   ⎪ 2⎪
                  ⎜               −1      1+1       −1                         ⎟   ⎪ξ3 ⎪
                  ⎜                                                            ⎟   ⎪ ⎪
            Aξ =8 ⎜                        −1      1+1        −1               ⎟   ⎨ξ 4 ⎬
                  ⎜                                 −1       1+1      −1       ⎟   ⎪ξ ⎪
                  ⎜                                                            ⎟   ⎪ 5⎪
                  ⎜                                           −1     1+1    −1 ⎟   ⎪ξ 6 ⎪
                  ⎜                                                   −1   1+1 ⎟   ⎪ ⎪
                  ⎝                                                            ⎠   ⎩ξ 7 ⎭


                   Introducción al Método de los Elementos Finitos                      33
Sistema de ecuaciones global
             2 −1 0 0 0 0 0⎞ ⎧ξ1 ⎫ ⎧ b1                                       ⎫
           ⎜                 ⎟
           ⎜ −1 2 −1 0 0 0 0 ⎟ ⎪ξ 2 ⎪ ⎪b2
                               ⎪ ⎪ ⎪
                                                                              ⎪
                                                                              ⎪
           ⎜ 0 −1 2 −1 0 0 0 ⎟ ⎪ξ3 ⎪ ⎪b3                                      ⎪
           ⎜                 ⎟ ⎪ ⎪ ⎪                                          ⎪
   A ξ = 8 ⎜ 0 0 −1 2 −1 0 0 ⎟ ⎨ξ 4 ⎬ = ⎨b4                                   ⎬
           ⎜ 0 0 0 −1 2 −1 0 ⎟ ⎪ξ5 ⎪ ⎪b5                                      ⎪
           ⎜                 ⎟ ⎪ ⎪ ⎪                                          ⎪
           ⎜ 0 0 0 0 −1 2 −1⎟ ⎪ξ 6 ⎪ ⎪b6                                      ⎪
           ⎜ 0 0 0 0 0 −1 2 ⎟ ⎪ξ ⎪ ⎪b                                         ⎪
           ⎝                 ⎠ ⎩ 7        7⎭
                                                                                      ⎧ b1 + b12 ⎫
                                                                                         1

El término a derecha puede calcularse también elemento por elemento:                  ⎪ 2 3⎪
                                                                                      ⎪b2 + b2 ⎪
                 ⎧ xk ψ ( x) f ( x) dx ⎫                                              ⎪b33 + b34 ⎪
        ⎧bkK−1 ⎫ ⎪ ∫xk −1 k −1          ⎪                                             ⎪ 4 5⎪
   bK = ⎨ K ⎬ = ⎨ x                               ⎬                               b = ⎨b4 + b4 ⎬
        ⎩ bk ⎭ ⎪ ∫ k ψ k ( x) f ( x) dx ⎪                                             ⎪b 5 + b 6 ⎪
                 ⎩ xk −1                ⎭                                             ⎪ 5 5⎪
                                                                                      ⎪b6 + b6 ⎪
                                                                                         6     7

                                                                                      ⎪ 7 8⎪
                                                                                      ⎩b7 + b7 ⎭
La ecuación es idéntica a la que se obtiene por diferencias finitas. El término a derecha cambia.
                            Introducción al Método de los Elementos Finitos                     34
Ejemplo
Sea la ecuación:
                             u         πx                       x
                           u (0) = u (1) = 0

                                           1
Solución exacta:                u ( x) =           sin(π x)
                                           π   2




El vector de cargas elemental:

                   xk   x − xk                             cos(π xk )       sin(π xk ) − sin( xk −1 )
   ⎧bkK−1 ⎫ ⎪ ∫xk −1
                               sin(π x) dx ⎪           −                +                                ⎪
            ⎪             hk               ⎪                 π                       π 2 hk              ⎪
b = K =
 K
                                                                     =
   ⎩ bk ⎭       xk x    xk                              cos(π xk −1 ) sin(π xk ) sin( xk −1 )
            ⎪ ∫xk −1 hk
                           sin(π x) dx                               −
            ⎩                          ⎪
                                       ⎭                    π                  π 2 hk                    ⎪
                                                                                                         ⎩



                            Introducción al Método de los Elementos Finitos                             35
Ejemplo (programa Matlab)
% cantidad de elementos
n = 8;

% inicializacion de matriz de rigidez y vector de cargas globales
A = zeros(n-1,n-1);
b = zeros(n-1,1);

% lazo sobre los elementos
for k=1:n
                                                                     %ensamble de matriz de rigidez
                                                                      if (k==1)
  hk = 1/n;
                                                                          A(1,1) = A(1,1) + Ak(2,2);
  %coordenadas del elemento k
                                                                      elseif (k==n)
  xk1 = (k-1)* hk;
                                                                          A(n-1,n-1) = A(n-1,n-1) + Ak(1,1);
  xk = k * hk;
                                                                      else
                                                                          A(k-1,k-1) = A(k-1,k-1) + Ak(1,1); A(k-1,k) = A(k-1,k) + Ak(1,2);
  % matriz de rigidez elemental
                                                                          A(k,k-1) = A(k,k-1) + Ak(2,1); A(k,k) = A(k,k) + Ak(2,2);
  Ak = 1/hk* [1 -1;
                                                                      end
              -1 1];
                                                                       %ensamble de vector de cargas
  %vector de cargas elemental
                                                                       if (k==1)
  bk = [-cos(pi*xk) /pi + (sin(pi*xk)-sin(pi*xk1))/pi^2/hk;
                                                                           b(1) = b(1) + bk(2);
         cos(pi*xk1)/pi - (sin(pi*xk)-sin(pi*xk1))/pi^2/hk];
                                                                       elseif (k==n)
                                                                           b(n-1) = b(n-1) + bk(1,1);
                                                                       else
                                                                           b(k-1) = b(k-1) + bk(1);
                                                                           b(k) = b(k) + bk(2);
                                                                       end

                                                                     end
                                            Introducción al Método de los Elementos Finitos                                    36
Ejemplo: aproximación a la solución

       0.12



        0.1



       0.08
u(x)




       0.06



       0.04



       0.02



         0
          0   0.1   0.2       0.3       0.4       0.5       0.6       0.7   0.8   0.9   1
                                                   x

                          Introducción al Método de los Elementos Finitos               37
Ejemplo: aproximación a la derivada

        0.4


        0.3


        0.2


        0.1
du/dx




          0


        -0.1


        -0.2


        -0.3


        -0.4
            0   0.1   0.2       0.3       0.4       0.5       0.6       0.7   0.8   0.9   1
                                                     x

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Elementos Finitos Parte 1

  • 1. v1 5 2 4 1 v2 Introducción al Método S de los Elementos Finitos Parte 1 Introducción al MEF para problemas elípticos
  • 2. 1. Introducción al MEF para problemas elípticos • Problemas elípticos “modelo” y solución por MEF – Problema simple 1-D – Generalización a 2-D • Propiedades básicas del método Introducción al Método de los Elementos Finitos 2
  • 3. (1.1) Formulación variacional del problema 1-D • Sea el problema de valores de frontera: − u '' = f ( x) , 0< x 1 (D) u (0) = u (1) = 0 du donde u ' = ; f ( x) es una función continua dada. dx • Integrando 2 veces, vemos que el problema tiene solución única u. • (D) puede describir cualquiera de los siguientes problemas de Mecánica del continuo: A. Barra elástica B. Cuerda elástica C. Conducción del calor en una barra Introducción al Método de los Elementos Finitos 3
  • 4. A) Barra elástica Barra elástica sujeta en ambos extremos y sometida a carga axial de intensidad f(x) Bajo hipótesis de pequeños desplazamientos y material elástico lineal: σ = Eu ' Ley de Hooke −σ ' = f Ec. de equilibrio u (0) = u (1) = 0 Cond. de borde donde E es el módulo de elasticidad. Asumiendo E=1 − u '' = f ( x) , 0< x 1 (D) u (0) = u (1) = 0 Introducción al Método de los Elementos Finitos 4
  • 5. B) Cuerda elástica Cuerda elástica sujeta en ambos extremos, con tensión unitaria y sometida a carga transversal de intensidad f(x) Bajo hipótesis de pequeños desplazamientos y material elástico lineal: Introducción al Método de los Elementos Finitos 5
  • 6. C) Conducción de calor en una barra Barra sometida a fuente de calor distribuida f(x), con temperatura nula en ambos extremos. Bajo condiciones estacionarias y material lineal: −q = ku ' Ley de Fourier −q ' = f Ec de equilibrio u (0) = u (1) = 0 Cond de borde donde k es el conductividad. Asumiendo k=1 − u '' = f ( x) , 0< x 1 (D) u (0) = u (1) = 0 Introducción al Método de los Elementos Finitos 6
  • 7. Problemas de minimización y variacional Veremos que la solución al problema (D) es también solución del problema de minimización (M) y de un problema variacional (V) Para formular (M) y (V) introducimos nueva notación. 1. Producto interno (v,w): 1 (v, w) = ∫ v( x) w( x) dx 0 para funciones reales acotadas continuas por tramos v, w. 2. Espacio lineal V: V = {v / v funcion continua sobre [ 0,1] , v ' es continua p/tramos y acotada en [ 0,1] , v(0) = v(1) = 0 } 3. Funcional lineal F :V → 1 F (v) = (v ', v ') − ( f , v) 2 Introducción al Método de los Elementos Finitos 7
  • 8. Problemas de minimización y variacional (cont) Problema (M): Problema (V): Nota: en el contexto de los problemas (A) y (B) F (v ) es la energía potencial total asociada al desplazamiento v 1 (v ', v ') es la energía elástica interna 2 ( f , v) es el potencial de cargas Problema (M): principio de mínima energía potencial en Mecánica Problema (V): principio de trabajos virtuales en Mecánica Veremos la equivalencia de los problemas (D), (V) y (M) Introducción al Método de los Elementos Finitos 8
  • 9. La solución de (D) es solución de (V) 1. Multiplicamos −u '' = f por una función arbitraria v ∈ V (func. de test). Integramos sobre (0,1): −(u '', v) = ( f , v) 2. Integramos por partes el lado izquierdo, y usamos v(0)=v(1)=0: −(u '', v) = −u '(1)v(1) + '(0)v(0) +u ', v ') (= ', v ') u ( u 3. Al ser v arbitraria: (u ', v ') = ( f , v) ∀ v ∈V (1.1) o sea, u es solución de (V) Introducción al Método de los Elementos Finitos 9
  • 10. Los problemas (M) y (V) tienen la misma solución 1. Sea u solución de (V). Sea v ∈V y w = v − u / v u =w +w V ∧ . ∈ 1 Luego: F (v) = F (u + w) ( u ' w= u ' w ') (+ , u ', f w) + − + 2 1 1 = ( u ', u ') − ( f , u ) (u ', w ') ( f , w) + ( w ', w ') F (u ) − 2 2 = 0 por (1.1) F (u ) ≥0 o sea, u es solución del problema (M). • Sea u solución de (M). Luego ∀ v ∈V y ε ∈ : F (u ) ≤ F (u + ε v) (*) Definiendo: 1 ε2 g (ε ) F (u + ε v) = (u ', u ') (u ', v ') + (v ', v ') ε + f , u ) ( ( f , v) − 2 2 Por (*) g (ε ) tiene un mínimo en ε = 0 . Luego : g '(0) = (u ', v ') − ( f , v) = 0 g ( ε ) min en 0 o sea, u es solución del problema (V). Introducción al Método de los Elementos Finitos 10
  • 11. La solución de (V) es única 1. Sean u1 , u2 soluciones de (V): u1 , u2 ∈ V y (u '1 , v ') = ( f , v) ∀ v ∈V (u '2 , v ') = ( f , v) ∀ v ∈V 2. Sustrayendo, y eligiendo v = u1 − u2 ∈ V 1 ∫0 (u '1 − u '2 ) 2 dx = 0 lo cual muestra que: 1 2 1 2 3. Usando la condición de borde: 1 2 1 2 [ ] o sea, la solución a (V) es única. Introducción al Método de los Elementos Finitos 11
  • 12. Equivalencia de soluciones a (D), (V) y (M) 1. Hasta ahora hemos visto que si u es solución a (D), luego es solución a los problemas equivalentes (V) y (M) : ( D) ⇒ (V ) ⇔ ( M ) Mostraremos que si u es solución de (V), luego u satisface (D). 2. Sea 1 1 ∫0 ∫0 Asumimos u '' existe y es continua. Integ.p/partes y usando v(0) = v(1) = 0 1 1 − ∫ u '' v dx − ∫ fv dx u ' v 0 + = 1 0 0 0 1 − ∫ (u ''+ f )v dx = 0 v V ∀ ∈ 0 Como (u ''+ f ) es continua, luego: (u ''+ f ) ( x) = 0 0< x 1 < o sea, u es solución de (D). Introducción al Método de los Elementos Finitos 12
  • 13. Equivalencia de soluciones (D), (V) y (M) Resumiendo: Hemos demostrado que 1. La solución de la ecuación diferencial es solución de un problema variacional 2. La solución del problema variacional es también solución de un problema de minimización y viceversa 3. La solución del problema variacional es única 4. Si se cumple un requisito de regularidad (u” continua), la solución del problema variacional es también solución de la ecuación diferencial Notar: Las soluciones a los problemas variacional y de minimización vistos hasta ahora tienen dimensión infinita, no pueden hallarse en computadora. Veremos ahora cómo el MEF construye aproximaciones de dimensión finita a las soluciones de (V) y (M). Introducción al Método de los Elementos Finitos 13
  • 14. (1.2) MEF p/problema modelo c/funciones lineales p/tramos 1. Construiremos un subespacio de dimensión finita Vh del espacio V , consistente en funciones lineales p/tramos. 2. Sea 0 1 M M +1 una partición del intervalo (0,1) en subintervalos I j = ( x j −1 , x j ) de longitud h j = x j − x j −1 , j = 1, M 1 + La cantidad h = max h j es una medida de la densidad de la partición. Introducción al Método de los Elementos Finitos 14
  • 15. Subespacio de funciones lineales por tramos 1. Sea Vh = {v / v es lineal en cada subintervalo I j v es continua en el [ 0,1] v(0) = v(1) = 0 } Ejemplo de v ∈ Vh Notar que Vh ⊂ V 2. Para describir v ∈ Vh elegimos los valores η j = v( x j ) en los nodos x j , j = 1, M Introducción al Método de los Elementos Finitos 15
  • 16. Subespacio de funciones lineales por tramos 3. Definimos funciones de base ϕ j ( x) ∈ Vh , j = 1, M ⎧1 si i = j ϕ j ( xi ) = δ ij = ⎨ i, j 1, = M ⎩0 si i ≠ j ϕ j ( x) : función continua lineal por tramos que verifica la propiedad delta. 4. Toda función v ∈ Vh puede ser escrita en forma única como combinación lineal de las funciones de base ϕi ( x) : M v ( x ) = ∑ ηi ϕi ( x ) x ∈ [ 0,1] , i η v( xi ) i =1 {ϕi }i =1 M Luego, Vh es un espacio vectorial lineal de dimensión M con base: Introducción al Método de los Elementos Finitos 16
  • 17. MEF para problema modelo (D) 1. Formulación como problema de minimización discreto: (M h ) Hallar uh ∈ Vh / F (uh ) ≤ F (v) ∀ v Vh ∈ (método Ritz) 2. De la manera ya vista, es equivalente al problema variacional discreto: (1.2) (Vh ) Hallar uh ∈ Vh / (uh ', v ') = ( f , v) ∀ v Vh ∈ (método Galerkin) 3. Notar, que si uh ∈ Vh satisface (1.2), luego en particular (1.3) (uh ', ϕ j ') = ( f , ϕ j ) j = 1, M (además, si se cumple (1.3), luego vale (1.2) ∀ v ∈ Vh ) M 4. Siendo uh ( x) = ∑ ξi ϕi ( x) , i ξ uh ( xi ) , escribimos (1.3) en la forma: = i =1 ∑ ξ (ϕ ', ')ϕ ( j = 1,… , M) M = i i j f, j ϕ i =1 Sistema de M ecuaciones algebraicas lineales con M incógnitas ξi Introducción al Método de los Elementos Finitos 17
  • 18. Forma matricial (1.5) A ξ = b A : matriz de rigidez ⎡ (ϕ1 ', ϕ1 ') ( 1 ', ϕ ') ϕ 2 ( 1 ', M') ϕ ϕ ⎤ 1 b1 ξ ⎢ (ϕ ', ϕ ') ( ', ϕ ') ϕ ⎥ b : vector de cargas ⎢ 2 1 2 2 ⎥ ⎪ 2 ⎪ = ⎪ b2ξ ⎨ ⎬ ⎨ ⎪ ⎬ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ bi = ( f , ϕi ) ⎢(ϕ M ', ϕ1 ') ⎣ ( M ', M ') ⎥ ϕ M ϕ ⎦ bM ξ ⎪ Los elementos aij = (ϕi ', ϕ j ') pueden calcularse fácilmente. Notar: (ϕ ', ϕ ') = 0 i j si i−k 1 > Luego A es tridiagonal Introducción al Método de los Elementos Finitos 18
  • 19. Sistema de ecuaciones Entonces: xj 1 x j +1 1 1 1 a jj = (ϕ j ', ϕ j ') = ∫ dx ∫ dx + j 1, M = x j −1 h 2 xj 2 h j +1 h j h j +1 j xj 1 1 a j ( j −1) = (ϕ j ', ϕ j −1 ') = ∫x j−1 h2j dx hj − j 2, M= − 1. A es simétrica pues: (ϕ ', ϕ ') = (ϕ i j j ', i ') ϕ M 2. A es definida positiva pues siendo v( x) = ∑ ηi ϕi ( x) luego: i =1 ⎛M ⎞ ⎧> 0 casi siempre ∑1 ηi (ϕi ', j ')ϕ j = ⎜ η=1 M M ∑ i i ', η j ϕ j ' ⎟ = ( v ', v ') ϕ0 η ⎨ ∑ = 0 solo si = v ' = 0 i, j= ⎝i j 1 ⎠ ⎩ Como v(0) = 0 luego (v ', v ') = 0 v 0 o sea: η j 0 j 2, M ⇔ Entonces: ηT Aη > 0 ∀ η M , ∈0 ≠ η A simétrica y definida positiva Introducción al Método de los Elementos Finitos 19
  • 20. Propiedades sistema de ecuaciones (1.5) 1. A sim > 0 A es no singular y el sistema (1.5) tiene solución única 2. A es rala, o sea pocos elementos de A son distintos de cero. Esto se debe a que ϕ j tiene soporte local ( ϕ j ≠ 0 en un intervalo pequeño, interfiriendo con pocas funciones ϕ k ). 1 3. Si la partición es uniforme, h j = h = y logramos M +1 ⎡ 2 −1 0⎤ ⎢ −1 2 −1 ⎥ 1⎢ ⎥ A= ⎢ −1 ⎥ h⎢ ⎥ ⎢ 2 −1⎥ ⎢0 ⎣ −1 2 ⎥ ⎦ Introducción al Método de los Elementos Finitos 20
  • 21. (1.3) Estimación de error del MEF para problema modelo ⎧ − u '' = f ( x) , 0< x 1 Sean u solucion de (D) ⎨ ⎩ u (0) = u (1) = 0 uh solucion de (Vh ) Hallar uh ∈ Vh / (uh ', v ') = ( f , v) v Vh Recordando que (u ', v ') = ( f , v) ∀ v ∈V (en particular v ∀Vh∈ ) y como Vh ⊂ V ( ( u − u ) ', v ') = 0 h ∀ v Vh ∈ Ecuación del error donde u − uh es el error de la aproximación Veremos que en cierto modo, uh es la mejor aprox posible a la sol exacta u (∫ ) 1 ( w, w ) 1 1 2 Norma asociada al producto escalar ( , ): w 2 = 2 w dx 0 Desigualdad de Cauchy: ( v, w ) ≤ v w Introducción al Método de los Elementos Finitos 21
  • 22. Estimación de error del MEF para problema modelo Teo 1.1) ( u − uh ) ' ≤ (u − v ) ' v Vh ∀ ∈ D) Sean v ∈ Vh arbitraria y w = uh v Vh . Reemplazando v por w en la − ecuación del error: ( u − uh ) ' = ( ( u − uh ) ', u uh ') −(( u uh)) ', w ') ( ((u w ) −uh ) ', u uh = '( 2 + − =0 ecuacion del error = ( ( u − uh ) ', u v ') −( ( u uh ) ' ≤)( u v ) ' − − v Vh Cauchy Luego ( u − uh ) ' ≤ (u − v ) ' v Vh ∀ ∈ Para lograr una estimación cuantitativa del error, usamos una uh ∈ Vh elegida convenientemente. Por el resultado anterior: ( u − uh ) ' ≤ ( u uh ) ' − Introducción al Método de los Elementos Finitos 22
  • 23. Estimación del error Haremos uh ∈ Vh interpolante de u , o sea: uh ( x j ) = u ( x j ) j = 0, M 1 + En Análisis Numérico, se ve que: h2 u′( x) − uh ( x) ≤ h max u ′ ( y ) ′ u ( x ) uh ( x ) ′ − 0≤ y ≤1 ≤ ( y ) max u 0 ≤ y ≤1 8 Luego, por el teorema y (1.12): ( u − uh )′ ≤ h max u ′′( y ) 0 ≤ y ≤1 Mediante análisis detallado, se puede mostrar : ( u − uh ) ≤ o ( h2 ) Notar: • No necesitamos construir explícitamente uh , sino sólo la estimación de error del interpolante. • u ′ es una deformación o tensión, y tiene interés práctico la estimación de su error Introducción al Método de los Elementos Finitos 23
  • 24. Cálculo matriz rigidez 1. Los coeficientes aij = (ϕi ', ϕ j ') son calculados por suma de contribuciones de los distintos segmentos: (ϕ i ϕ j ) ( ) 1 xk i ϕ j ϕ i j ϕ ϕ i j K 0 xk −1 IK IK Notar que (ϕ ', ϕ ') i j K ≠0 sólo si Ni , N j ∈ I K 2. Sean (k − 1) y k los nodos del segmento K. Luego, la matriz de rigidez del “elemento” K : ⎡(ϕk −1 ', ϕk −1 ' ) K ( k 1 ', k ϕ) K ⎤− ϕ ' AK ⎢ ⎣ sim. (ϕk ', ϕk ') K ⎥ ⎦ 3. La matriz de rigidez global A es armada luego en 2 etapas: 1. Cálculo de las matrices de rigidez elementales 2. Sumatoria de las contribuciones de cada elemento (ensamble) El vector de cargas b es armado de la misma manera. Introducción al Método de los Elementos Finitos 24
  • 25. Cálculo matriz rigidez elemental 1. Trabajamos con las restricciones de las funciones de base al segmento K: ψi ϕi K 2. ψ i es una función lineal / ⎧1 en el nodo i ψi = ⎨ {ψ k −1 ( x),ψ k ( x)} base de fcs lineales en K ⎩0 en el nodo j 3. Si w( x) es una función lineal en K, tiene luego la representación: w( x) = w( xk −1 )ψ k −1 ( x) + w( xk )ψ k ( x) 4. La matriz de rigidez elemental: ⎡(ψ k −1 ',ψ k −1 ') K ( k 1 ', kψ') K ⎤− ψ AK ⎢ ⎣ sim. (ψ k ',ψ k ') K ⎥ ⎦ Introducción al Método de los Elementos Finitos 25
  • 26. Ejemplo ψ i ( x) = α i + βi x α i , βi / ⎡1 xi ⎤ α i α j ⎧⎧1 0 ⎫ ⎫ ψ i ( x j ) = δ ij ⇒ ⎢1 x ⎥ β β = ⎣ j⎦ i j ⎩⎩0 1 ⎭ ⎭ Resolviendo: xk 1 α k −1 = β k −1 = − hK hK hK = xk − xk −1 (longitud segmento) x 1 α k = − k −1 βk = hK hK Luego: ψ k −1 ',ψ k −1 ') K = ∫ dψ k −1 dx dψ k −1 dx dx = ∫ 1 ( x 1β βh β k 2 k 1 k dx − k 1 K − − K xk −1 hK dψ k −1 dψ k 1 (ψ k −1 ',ψ k ') K ∫ dx dx dx k −1 k hKβ β K hK ⎡ 1 1⎤ ⎢ h − hK ⎥ AK ⎢ K ⎥ ⎢ 1 1 ⎥ ⎢− h hK ⎥ ⎣ K ⎦ Introducción al Método de los Elementos Finitos 26
  • 27. Ejemplo Ilustraremos el proceso de ensamble para el caso siguiente: Elemento 1) k-1=0; k=1 ⎡ 8 −8⎤ ⎧ξ 0 ⎫ A1ξ = ⎢ 1 ⎥⎨ ⎬ ⎣ −8 8 ⎦ ⎩ξ1 ⎭ ψ 0 ( x) = 0 por condición de borde Introducción al Método de los Elementos Finitos 27
  • 28. Ensamble primer elemento ⎡ 1 −1⎤ ⎧ξ 0 ⎫ A1ξ = 8 ⎢ 1 ⎨ ⎬ ⎣ −1 1 ⎥ ⎩ξ1 ⎭ ⎦ ⎛ 1 ⎞ ⎧ξ1 ⎫ ⎜ ⎟ ⎪ξ ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ 2⎪ ⎜ ⎟ ⎪ξ3 ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ Aξ =8 ⎜ ⎟ ⎨ξ 4 ⎬ ⎜ ⎟ ⎪ξ ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ 5⎪ ⎜ ⎟ ⎪ξ 6 ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎩ξ 7 ⎭ Introducción al Método de los Elementos Finitos 28
  • 29. Ensamble segundo elemento ⎡ 1 −1⎤ ⎧ξ1 ⎫ A 2ξ = 8 ⎢ 2 ⎨ ⎬ ⎣ −1 1 ⎥ ⎩ξ 2 ⎭ ⎦ ⎛ 1+1 −1 ⎞ ⎧ξ1 ⎫ ⎜ ⎟ ⎪ξ ⎪ ⎜ −1 1 ⎟ ⎪ 2⎪ ⎜ ⎟ ⎪ξ3 ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ Aξ =8 ⎜ ⎟ ⎨ξ 4 ⎬ ⎜ ⎟ ⎪ξ ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ 5⎪ ⎜ ⎟ ⎪ξ 6 ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎩ξ 7 ⎭ Introducción al Método de los Elementos Finitos 29
  • 30. Ensamble tercer elemento ⎡ 1 −1⎤ ⎧ξ 2 ⎫ A 3ξ = 8 ⎢ 3 ⎨ ⎬ ⎣ −1 1 ⎥ ⎩ξ3 ⎭ ⎦ ⎛ 1+1 −1 ⎞ ⎧ξ1 ⎫ ⎜ ⎟ ⎪ξ ⎪ ⎜ −1 1+1 −1 ⎟ ⎪ 2⎪ ⎜ −1 1 ⎟ ⎪ξ3 ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ Aξ =8 ⎜ ⎟ ⎨ξ 4 ⎬ ⎜ ⎟ ⎪ξ ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ 5⎪ ⎜ ⎟ ⎪ξ 6 ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎩ξ 7 ⎭ Introducción al Método de los Elementos Finitos 30
  • 31. Ensamble cuarto elemento ⎡ 1 −1⎤ ⎧ξ3 ⎫ A 4ξ = 8 ⎢ 4 ⎨ ⎬ ⎣ −1 1 ⎥ ⎩ξ 4 ⎭ ⎦ ⎛ 1+1 −1 ⎞ ⎧ξ1 ⎫ ⎜ ⎟ ⎪ξ ⎪ ⎜ −1 1+1 −1 ⎟ ⎪ 2⎪ ⎜ −1 1+1 −1 ⎟ ⎪ξ3 ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ Aξ =8 ⎜ −1 1 ⎟ ⎨ξ 4 ⎬ ⎜ ⎟ ⎪ξ ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ 5⎪ ⎜ ⎟ ⎪ξ 6 ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎩ξ 7 ⎭ Introducción al Método de los Elementos Finitos 31
  • 32. Ensamble séptimo elemento ⎡ 1 −1⎤ ⎧ξ 6 ⎫ A 7ξ = 8 ⎢ 7 ⎨ ⎬ ⎣ −1 1 ⎥ ⎩ξ 7 ⎭ ⎦ ⎛ 1+1 −1 ⎞ ⎧ξ1 ⎫ ⎜ ⎟ ⎪ξ ⎪ ⎜ −1 1+1 −1 ⎟ ⎪ 2⎪ ⎜ −1 1+1 −1 ⎟ ⎪ξ3 ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ Aξ =8 ⎜ −1 1+1 −1 ⎟ ⎨ξ 4 ⎬ ⎜ −1 1+1 −1 ⎟ ⎪ξ ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ 5⎪ ⎜ −1 1+1 −1 ⎟ ⎪ξ 6 ⎪ ⎜ −1 1 ⎟ ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎩ξ 7 ⎭ Introducción al Método de los Elementos Finitos 32
  • 33. Ensamble octavo elemento ⎡ 1 −1⎤ ⎧ξ 7 ⎫ A 8ξ = 8 ⎢ 8 ⎨ ⎬ ⎣ −1 1 ⎥ ⎩ξ8 ⎭ ⎦ ⎛ 1+1 −1 ⎞ ⎧ξ1 ⎫ ⎜ ⎟ ⎪ξ ⎪ ⎜ −1 1+1 −1 ⎟ ⎪ 2⎪ ⎜ −1 1+1 −1 ⎟ ⎪ξ3 ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ Aξ =8 ⎜ −1 1+1 −1 ⎟ ⎨ξ 4 ⎬ ⎜ −1 1+1 −1 ⎟ ⎪ξ ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ 5⎪ ⎜ −1 1+1 −1 ⎟ ⎪ξ 6 ⎪ ⎜ −1 1+1 ⎟ ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎩ξ 7 ⎭ Introducción al Método de los Elementos Finitos 33
  • 34. Sistema de ecuaciones global 2 −1 0 0 0 0 0⎞ ⎧ξ1 ⎫ ⎧ b1 ⎫ ⎜ ⎟ ⎜ −1 2 −1 0 0 0 0 ⎟ ⎪ξ 2 ⎪ ⎪b2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎜ 0 −1 2 −1 0 0 0 ⎟ ⎪ξ3 ⎪ ⎪b3 ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ A ξ = 8 ⎜ 0 0 −1 2 −1 0 0 ⎟ ⎨ξ 4 ⎬ = ⎨b4 ⎬ ⎜ 0 0 0 −1 2 −1 0 ⎟ ⎪ξ5 ⎪ ⎪b5 ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎜ 0 0 0 0 −1 2 −1⎟ ⎪ξ 6 ⎪ ⎪b6 ⎪ ⎜ 0 0 0 0 0 −1 2 ⎟ ⎪ξ ⎪ ⎪b ⎪ ⎝ ⎠ ⎩ 7 7⎭ ⎧ b1 + b12 ⎫ 1 El término a derecha puede calcularse también elemento por elemento: ⎪ 2 3⎪ ⎪b2 + b2 ⎪ ⎧ xk ψ ( x) f ( x) dx ⎫ ⎪b33 + b34 ⎪ ⎧bkK−1 ⎫ ⎪ ∫xk −1 k −1 ⎪ ⎪ 4 5⎪ bK = ⎨ K ⎬ = ⎨ x ⎬ b = ⎨b4 + b4 ⎬ ⎩ bk ⎭ ⎪ ∫ k ψ k ( x) f ( x) dx ⎪ ⎪b 5 + b 6 ⎪ ⎩ xk −1 ⎭ ⎪ 5 5⎪ ⎪b6 + b6 ⎪ 6 7 ⎪ 7 8⎪ ⎩b7 + b7 ⎭ La ecuación es idéntica a la que se obtiene por diferencias finitas. El término a derecha cambia. Introducción al Método de los Elementos Finitos 34
  • 35. Ejemplo Sea la ecuación: u πx x u (0) = u (1) = 0 1 Solución exacta: u ( x) = sin(π x) π 2 El vector de cargas elemental: xk x − xk cos(π xk ) sin(π xk ) − sin( xk −1 ) ⎧bkK−1 ⎫ ⎪ ∫xk −1 sin(π x) dx ⎪ − + ⎪ ⎪ hk ⎪ π π 2 hk ⎪ b = K = K = ⎩ bk ⎭ xk x xk cos(π xk −1 ) sin(π xk ) sin( xk −1 ) ⎪ ∫xk −1 hk sin(π x) dx − ⎩ ⎪ ⎭ π π 2 hk ⎪ ⎩ Introducción al Método de los Elementos Finitos 35
  • 36. Ejemplo (programa Matlab) % cantidad de elementos n = 8; % inicializacion de matriz de rigidez y vector de cargas globales A = zeros(n-1,n-1); b = zeros(n-1,1); % lazo sobre los elementos for k=1:n %ensamble de matriz de rigidez if (k==1) hk = 1/n; A(1,1) = A(1,1) + Ak(2,2); %coordenadas del elemento k elseif (k==n) xk1 = (k-1)* hk; A(n-1,n-1) = A(n-1,n-1) + Ak(1,1); xk = k * hk; else A(k-1,k-1) = A(k-1,k-1) + Ak(1,1); A(k-1,k) = A(k-1,k) + Ak(1,2); % matriz de rigidez elemental A(k,k-1) = A(k,k-1) + Ak(2,1); A(k,k) = A(k,k) + Ak(2,2); Ak = 1/hk* [1 -1; end -1 1]; %ensamble de vector de cargas %vector de cargas elemental if (k==1) bk = [-cos(pi*xk) /pi + (sin(pi*xk)-sin(pi*xk1))/pi^2/hk; b(1) = b(1) + bk(2); cos(pi*xk1)/pi - (sin(pi*xk)-sin(pi*xk1))/pi^2/hk]; elseif (k==n) b(n-1) = b(n-1) + bk(1,1); else b(k-1) = b(k-1) + bk(1); b(k) = b(k) + bk(2); end end Introducción al Método de los Elementos Finitos 36
  • 37. Ejemplo: aproximación a la solución 0.12 0.1 0.08 u(x) 0.06 0.04 0.02 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x Introducción al Método de los Elementos Finitos 37
  • 38. Ejemplo: aproximación a la derivada 0.4 0.3 0.2 0.1 du/dx 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x Introducción al Método de los Elementos Finitos 38