Archivo con demostraciones de espacios vectoriales
Elementos Finitos Parte 1
1. v1
5 2
4
1 v2 Introducción al Método
S
de los Elementos Finitos
Parte 1
Introducción al MEF para problemas elípticos
2. 1. Introducción al MEF para problemas elípticos
• Problemas elípticos “modelo” y solución por MEF
– Problema simple 1-D
– Generalización a 2-D
• Propiedades básicas del método
Introducción al Método de los Elementos Finitos 2
3. (1.1) Formulación variacional del problema 1-D
• Sea el problema de valores de frontera:
− u '' = f ( x) , 0< x 1
(D)
u (0) = u (1) = 0
du
donde u ' = ; f ( x) es una función continua dada.
dx
• Integrando 2 veces, vemos que el problema tiene solución única u.
• (D) puede describir cualquiera de los siguientes problemas de Mecánica del
continuo:
A. Barra elástica
B. Cuerda elástica
C. Conducción del calor en una barra
Introducción al Método de los Elementos Finitos 3
4. A) Barra elástica
Barra elástica sujeta en ambos extremos y sometida a carga axial de intensidad f(x)
Bajo hipótesis de pequeños desplazamientos y material elástico lineal:
σ = Eu ' Ley de Hooke
−σ ' = f Ec. de equilibrio
u (0) = u (1) = 0 Cond. de borde
donde E es el módulo de elasticidad. Asumiendo E=1
− u '' = f ( x) , 0< x 1
(D)
u (0) = u (1) = 0
Introducción al Método de los Elementos Finitos 4
5. B) Cuerda elástica
Cuerda elástica sujeta en ambos extremos, con tensión unitaria y sometida a carga
transversal de intensidad f(x)
Bajo hipótesis de pequeños desplazamientos y material elástico lineal:
Introducción al Método de los Elementos Finitos 5
6. C) Conducción de calor en una barra
Barra sometida a fuente de calor distribuida f(x), con temperatura nula en ambos
extremos.
Bajo condiciones estacionarias y material lineal:
−q = ku ' Ley de Fourier
−q ' = f Ec de equilibrio
u (0) = u (1) = 0 Cond de borde
donde k es el conductividad. Asumiendo k=1
− u '' = f ( x) , 0< x 1
(D)
u (0) = u (1) = 0
Introducción al Método de los Elementos Finitos 6
7. Problemas de minimización y variacional
Veremos que la solución al problema (D) es también solución del problema de
minimización (M) y de un problema variacional (V)
Para formular (M) y (V) introducimos nueva notación.
1. Producto interno (v,w): 1
(v, w) = ∫ v( x) w( x) dx
0
para funciones reales acotadas continuas por tramos v, w.
2. Espacio lineal V: V = {v / v funcion continua sobre [ 0,1] ,
v ' es continua p/tramos y acotada en [ 0,1] ,
v(0) = v(1) = 0 }
3. Funcional lineal F :V →
1
F (v) = (v ', v ') − ( f , v)
2
Introducción al Método de los Elementos Finitos 7
8. Problemas de minimización y variacional (cont)
Problema (M):
Problema (V):
Nota: en el contexto de los problemas (A) y (B)
F (v ) es la energía potencial total asociada al desplazamiento v
1
(v ', v ') es la energía elástica interna
2
( f , v) es el potencial de cargas
Problema (M): principio de mínima energía potencial en Mecánica
Problema (V): principio de trabajos virtuales en Mecánica
Veremos la equivalencia de los problemas (D), (V) y (M)
Introducción al Método de los Elementos Finitos 8
9. La solución de (D) es solución de (V)
1. Multiplicamos −u '' = f por una función arbitraria v ∈ V (func. de test).
Integramos sobre (0,1):
−(u '', v) = ( f , v)
2. Integramos por partes el lado izquierdo, y usamos v(0)=v(1)=0:
−(u '', v) = −u '(1)v(1) + '(0)v(0) +u ', v ') (= ', v ')
u ( u
3. Al ser v arbitraria:
(u ', v ') = ( f , v) ∀ v ∈V (1.1)
o sea, u es solución de (V)
Introducción al Método de los Elementos Finitos 9
10. Los problemas (M) y (V) tienen la misma solución
1. Sea u solución de (V). Sea v ∈V y w = v − u / v u =w +w V ∧
. ∈
1
Luego: F (v) = F (u + w) ( u ' w= u ' w ') (+ , u
', f w) + − +
2
1 1
= ( u ', u ') − ( f , u ) (u ', w ') ( f , w) + ( w ', w ') F (u ) −
2 2
= 0 por (1.1)
F (u ) ≥0
o sea, u es solución del problema (M).
• Sea u solución de (M). Luego ∀ v ∈V y ε ∈ : F (u ) ≤ F (u + ε v) (*)
Definiendo:
1 ε2
g (ε ) F (u + ε v) = (u ', u ') (u ', v ')
+ (v ', v ') ε + f , u )
( ( f , v) −
2 2
Por (*) g (ε ) tiene un mínimo en ε = 0 . Luego :
g '(0) = (u ', v ') − ( f , v) = 0
g ( ε ) min en 0
o sea, u es solución del problema (V).
Introducción al Método de los Elementos Finitos 10
11. La solución de (V) es única
1. Sean u1 , u2 soluciones de (V): u1 , u2 ∈ V y
(u '1 , v ') = ( f , v) ∀ v ∈V
(u '2 , v ') = ( f , v) ∀ v ∈V
2. Sustrayendo, y eligiendo v = u1 − u2 ∈ V 1
∫0
(u '1 − u '2 ) 2 dx = 0
lo cual muestra que:
1 2 1 2
3. Usando la condición de borde:
1 2 1 2 [ ]
o sea, la solución a (V) es única.
Introducción al Método de los Elementos Finitos 11
12. Equivalencia de soluciones a (D), (V) y (M)
1. Hasta ahora hemos visto que si u es solución a (D), luego es solución a los
problemas equivalentes (V) y (M) :
( D) ⇒ (V ) ⇔ ( M )
Mostraremos que si u es solución de (V), luego u satisface (D).
2. Sea
1 1
∫0 ∫0
Asumimos u '' existe y es continua. Integ.p/partes y usando v(0) = v(1) = 0
1 1
− ∫ u '' v dx − ∫ fv dx u ' v 0 + =
1
0
0 0
1
− ∫ (u ''+ f )v dx = 0 v V ∀ ∈
0
Como (u ''+ f ) es continua, luego:
(u ''+ f ) ( x) = 0 0< x 1 <
o sea, u es solución de (D).
Introducción al Método de los Elementos Finitos 12
13. Equivalencia de soluciones (D), (V) y (M)
Resumiendo: Hemos demostrado que
1. La solución de la ecuación diferencial es solución de un problema
variacional
2. La solución del problema variacional es también solución de un problema de
minimización y viceversa
3. La solución del problema variacional es única
4. Si se cumple un requisito de regularidad (u” continua), la solución del
problema variacional es también solución de la ecuación diferencial
Notar: Las soluciones a los problemas variacional y de minimización vistos hasta
ahora tienen dimensión infinita, no pueden hallarse en computadora.
Veremos ahora cómo el MEF construye aproximaciones de dimensión finita a las
soluciones de (V) y (M).
Introducción al Método de los Elementos Finitos 13
14. (1.2) MEF p/problema modelo c/funciones lineales p/tramos
1. Construiremos un subespacio de dimensión finita Vh del espacio V ,
consistente en funciones lineales p/tramos.
2. Sea
0 1 M M +1
una partición del intervalo (0,1) en subintervalos I j = ( x j −1 , x j ) de longitud
h j = x j − x j −1 , j = 1, M 1 +
La cantidad h = max h j es una medida de la densidad de la partición.
Introducción al Método de los Elementos Finitos 14
15. Subespacio de funciones lineales por tramos
1. Sea Vh = {v / v es lineal en cada subintervalo I j
v es continua en el [ 0,1]
v(0) = v(1) = 0 }
Ejemplo de v ∈ Vh
Notar que Vh ⊂ V
2. Para describir v ∈ Vh elegimos los valores
η j = v( x j ) en los nodos x j , j = 1, M
Introducción al Método de los Elementos Finitos 15
16. Subespacio de funciones lineales por tramos
3. Definimos funciones de base ϕ j ( x) ∈ Vh , j = 1, M
⎧1 si i = j
ϕ j ( xi ) = δ ij = ⎨ i, j 1, =
M
⎩0 si i ≠ j
ϕ j ( x) : función continua
lineal por tramos que verifica
la propiedad delta.
4. Toda función v ∈ Vh puede ser escrita en forma única como combinación
lineal de las funciones de base ϕi ( x) :
M
v ( x ) = ∑ ηi ϕi ( x ) x ∈ [ 0,1] , i η v( xi )
i =1
{ϕi }i =1
M
Luego, Vh es un espacio vectorial lineal de dimensión M con base:
Introducción al Método de los Elementos Finitos 16
17. MEF para problema modelo (D)
1. Formulación como problema de minimización discreto:
(M h ) Hallar uh ∈ Vh / F (uh ) ≤ F (v) ∀ v Vh ∈ (método Ritz)
2. De la manera ya vista, es equivalente al problema variacional discreto:
(1.2) (Vh ) Hallar uh ∈ Vh / (uh ', v ') = ( f , v) ∀ v Vh ∈
(método Galerkin)
3. Notar, que si uh ∈ Vh satisface (1.2), luego en particular
(1.3) (uh ', ϕ j ') = ( f , ϕ j ) j = 1, M
(además, si se cumple (1.3), luego vale (1.2) ∀ v ∈ Vh )
M
4. Siendo uh ( x) = ∑ ξi ϕi ( x) , i ξ uh ( xi ) , escribimos (1.3) en la forma:
=
i =1
∑ ξ (ϕ ', ')ϕ ( j = 1,… , M)
M
= i i j f, j ϕ
i =1
Sistema de M ecuaciones algebraicas lineales con M incógnitas ξi
Introducción al Método de los Elementos Finitos 17
18. Forma matricial
(1.5) A ξ = b
A : matriz de rigidez
⎡ (ϕ1 ', ϕ1 ') ( 1 ', ϕ ') ϕ
2 ( 1 ', M') ϕ ϕ
⎤ 1 b1 ξ
⎢ (ϕ ', ϕ ') ( ', ϕ ') ϕ ⎥ b : vector de cargas
⎢ 2 1 2 2 ⎥ ⎪ 2 ⎪ = ⎪ b2ξ
⎨ ⎬ ⎨
⎪
⎬
⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ bi = ( f , ϕi )
⎢(ϕ M ', ϕ1 ')
⎣ ( M ', M ') ⎥ ϕ M
ϕ ⎦ bM ξ ⎪
Los elementos aij = (ϕi ', ϕ j ') pueden
calcularse fácilmente.
Notar:
(ϕ ', ϕ ') = 0
i j si i−k 1 >
Luego A es tridiagonal
Introducción al Método de los Elementos Finitos 18
19. Sistema de ecuaciones
Entonces: xj 1 x j +1 1 1 1
a jj = (ϕ j ', ϕ j ') = ∫ dx ∫ dx + j 1, M =
x j −1 h 2 xj 2
h j +1 h j h j +1
j
xj 1 1
a j ( j −1) = (ϕ j ', ϕ j −1 ') = ∫x j−1 h2j dx hj
− j 2, M= −
1. A es simétrica pues: (ϕ ', ϕ ') = (ϕ
i j j ', i ') ϕ
M
2. A es definida positiva pues siendo v( x) = ∑ ηi ϕi ( x) luego:
i =1
⎛M ⎞ ⎧> 0 casi siempre
∑1 ηi (ϕi ', j ')ϕ j = ⎜ η=1
M M
∑ i i ', η j ϕ j ' ⎟ = ( v ', v ') ϕ0
η ⎨ ∑
= 0 solo si = v ' = 0
i, j= ⎝i j 1 ⎠ ⎩
Como v(0) = 0 luego (v ', v ') = 0 v 0 o sea: η j 0 j 2, M ⇔
Entonces:
ηT Aη > 0 ∀ η M
, ∈0 ≠ η
A simétrica y definida positiva
Introducción al Método de los Elementos Finitos 19
20. Propiedades sistema de ecuaciones (1.5)
1. A sim > 0 A es no singular y el sistema (1.5) tiene solución única
2. A es rala, o sea pocos elementos de A son distintos de cero.
Esto se debe a que ϕ j tiene soporte local ( ϕ j ≠ 0 en un intervalo pequeño,
interfiriendo con pocas funciones ϕ k ).
1
3. Si la partición es uniforme, h j = h = y logramos
M +1
⎡ 2 −1 0⎤
⎢ −1 2 −1 ⎥
1⎢ ⎥
A= ⎢ −1 ⎥
h⎢ ⎥
⎢ 2 −1⎥
⎢0
⎣ −1 2 ⎥
⎦
Introducción al Método de los Elementos Finitos 20
21. (1.3) Estimación de error del MEF para problema modelo
⎧ − u '' = f ( x) , 0< x 1
Sean u solucion de (D) ⎨
⎩ u (0) = u (1) = 0
uh solucion de (Vh ) Hallar uh ∈ Vh / (uh ', v ') = ( f , v) v Vh
Recordando que
(u ', v ') = ( f , v) ∀ v ∈V (en particular v ∀Vh∈
)
y como Vh ⊂ V
( ( u − u ) ', v ') = 0
h ∀ v Vh ∈ Ecuación del error
donde u − uh es el error de la aproximación
Veremos que en cierto modo, uh es la mejor aprox posible a la sol exacta u
(∫ )
1
( w, w )
1 1 2
Norma asociada al producto escalar ( , ): w 2
= 2
w dx
0
Desigualdad de Cauchy:
( v, w ) ≤ v w
Introducción al Método de los Elementos Finitos 21
22. Estimación de error del MEF para problema modelo
Teo 1.1)
( u − uh ) ' ≤ (u − v ) ' v Vh ∀ ∈
D) Sean v ∈ Vh arbitraria y w = uh v Vh . Reemplazando v por w en la −
ecuación del error:
( u − uh ) ' = ( ( u − uh ) ', u uh ') −(( u uh)) ', w ')
( ((u w )
−uh ) ', u uh = '(
2
+ −
=0 ecuacion del error
= ( ( u − uh ) ', u v ') −( ( u uh ) ' ≤)( u v ) ' − − v Vh
Cauchy
Luego ( u − uh ) ' ≤ (u − v ) ' v Vh ∀ ∈
Para lograr una estimación cuantitativa del error, usamos una uh ∈ Vh elegida
convenientemente. Por el resultado anterior:
( u − uh ) ' ≤ ( u uh ) ' −
Introducción al Método de los Elementos Finitos 22
23. Estimación del error
Haremos uh ∈ Vh interpolante de u , o sea:
uh ( x j ) = u ( x j ) j = 0, M 1 +
En Análisis Numérico, se ve que:
h2
u′( x) − uh ( x) ≤ h max u ′ ( y )
′ u ( x ) uh ( x ) ′ − 0≤ y ≤1 ≤ ( y )
max u
0 ≤ y ≤1 8
Luego, por el teorema y (1.12):
( u − uh )′ ≤ h max u ′′( y )
0 ≤ y ≤1
Mediante análisis detallado, se puede mostrar :
( u − uh ) ≤ o ( h2 )
Notar:
• No necesitamos construir explícitamente uh , sino sólo la estimación de error
del interpolante.
• u ′ es una deformación o tensión, y tiene interés práctico la estimación de su
error
Introducción al Método de los Elementos Finitos 23
24. Cálculo matriz rigidez
1. Los coeficientes aij = (ϕi ', ϕ j ') son calculados por suma de contribuciones
de los distintos segmentos:
(ϕ i ϕ j ) ( )
1 xk
i ϕ
j ϕ i j ϕ ϕ i j K
0 xk −1
IK IK
Notar que
(ϕ ', ϕ ')
i j K
≠0 sólo si Ni , N j ∈ I K
2. Sean (k − 1) y k los nodos del segmento K. Luego, la matriz de rigidez del
“elemento” K :
⎡(ϕk −1 ', ϕk −1 ' ) K ( k 1 ', k ϕ) K ⎤− ϕ
'
AK ⎢
⎣ sim. (ϕk ', ϕk ') K ⎥
⎦
3. La matriz de rigidez global A es armada luego en 2 etapas:
1. Cálculo de las matrices de rigidez elementales
2. Sumatoria de las contribuciones de cada elemento (ensamble)
El vector de cargas b es armado de la misma manera.
Introducción al Método de los Elementos Finitos 24
25. Cálculo matriz rigidez elemental
1. Trabajamos con las restricciones de las funciones de base al segmento K:
ψi ϕi K
2. ψ i es una función lineal /
⎧1 en el nodo i
ψi = ⎨ {ψ k −1 ( x),ψ k ( x)} base de fcs lineales en K
⎩0 en el nodo j
3. Si w( x) es una función lineal en K, tiene luego la representación:
w( x) = w( xk −1 )ψ k −1 ( x) + w( xk )ψ k ( x)
4. La matriz de rigidez elemental:
⎡(ψ k −1 ',ψ k −1 ') K ( k 1 ', kψ') K ⎤− ψ
AK ⎢
⎣ sim. (ψ k ',ψ k ') K ⎥
⎦
Introducción al Método de los Elementos Finitos 25
26. Ejemplo
ψ i ( x) = α i + βi x
α i , βi / ⎡1 xi ⎤ α i α j ⎧⎧1 0 ⎫ ⎫
ψ i ( x j ) = δ ij ⇒ ⎢1 x ⎥ β β =
⎣ j⎦ i j ⎩⎩0 1 ⎭ ⎭
Resolviendo:
xk 1
α k −1 = β k −1 = −
hK hK
hK = xk − xk −1 (longitud segmento)
x 1
α k = − k −1 βk =
hK hK
Luego:
ψ k −1 ',ψ k −1 ') K = ∫ dψ k −1 dx dψ k −1 dx dx = ∫
1
(
x
1β βh β
k 2
k 1 k dx − k 1 K − −
K xk −1 hK
dψ k −1 dψ k 1
(ψ k −1 ',ψ k ') K ∫ dx dx
dx k −1 k hKβ β
K hK
⎡ 1 1⎤
⎢ h −
hK ⎥
AK ⎢ K ⎥
⎢ 1 1 ⎥
⎢− h hK ⎥
⎣ K ⎦
Introducción al Método de los Elementos Finitos 26
27. Ejemplo
Ilustraremos el proceso de ensamble para el caso siguiente:
Elemento 1) k-1=0; k=1
⎡ 8 −8⎤ ⎧ξ 0 ⎫
A1ξ = ⎢
1
⎥⎨ ⎬
⎣ −8 8 ⎦ ⎩ξ1 ⎭ ψ 0 ( x) = 0 por condición de borde
Introducción al Método de los Elementos Finitos 27
34. Sistema de ecuaciones global
2 −1 0 0 0 0 0⎞ ⎧ξ1 ⎫ ⎧ b1 ⎫
⎜ ⎟
⎜ −1 2 −1 0 0 0 0 ⎟ ⎪ξ 2 ⎪ ⎪b2
⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪
⎜ 0 −1 2 −1 0 0 0 ⎟ ⎪ξ3 ⎪ ⎪b3 ⎪
⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
A ξ = 8 ⎜ 0 0 −1 2 −1 0 0 ⎟ ⎨ξ 4 ⎬ = ⎨b4 ⎬
⎜ 0 0 0 −1 2 −1 0 ⎟ ⎪ξ5 ⎪ ⎪b5 ⎪
⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎜ 0 0 0 0 −1 2 −1⎟ ⎪ξ 6 ⎪ ⎪b6 ⎪
⎜ 0 0 0 0 0 −1 2 ⎟ ⎪ξ ⎪ ⎪b ⎪
⎝ ⎠ ⎩ 7 7⎭
⎧ b1 + b12 ⎫
1
El término a derecha puede calcularse también elemento por elemento: ⎪ 2 3⎪
⎪b2 + b2 ⎪
⎧ xk ψ ( x) f ( x) dx ⎫ ⎪b33 + b34 ⎪
⎧bkK−1 ⎫ ⎪ ∫xk −1 k −1 ⎪ ⎪ 4 5⎪
bK = ⎨ K ⎬ = ⎨ x ⎬ b = ⎨b4 + b4 ⎬
⎩ bk ⎭ ⎪ ∫ k ψ k ( x) f ( x) dx ⎪ ⎪b 5 + b 6 ⎪
⎩ xk −1 ⎭ ⎪ 5 5⎪
⎪b6 + b6 ⎪
6 7
⎪ 7 8⎪
⎩b7 + b7 ⎭
La ecuación es idéntica a la que se obtiene por diferencias finitas. El término a derecha cambia.
Introducción al Método de los Elementos Finitos 34
35. Ejemplo
Sea la ecuación:
u πx x
u (0) = u (1) = 0
1
Solución exacta: u ( x) = sin(π x)
π 2
El vector de cargas elemental:
xk x − xk cos(π xk ) sin(π xk ) − sin( xk −1 )
⎧bkK−1 ⎫ ⎪ ∫xk −1
sin(π x) dx ⎪ − + ⎪
⎪ hk ⎪ π π 2 hk ⎪
b = K =
K
=
⎩ bk ⎭ xk x xk cos(π xk −1 ) sin(π xk ) sin( xk −1 )
⎪ ∫xk −1 hk
sin(π x) dx −
⎩ ⎪
⎭ π π 2 hk ⎪
⎩
Introducción al Método de los Elementos Finitos 35
36. Ejemplo (programa Matlab)
% cantidad de elementos
n = 8;
% inicializacion de matriz de rigidez y vector de cargas globales
A = zeros(n-1,n-1);
b = zeros(n-1,1);
% lazo sobre los elementos
for k=1:n
%ensamble de matriz de rigidez
if (k==1)
hk = 1/n;
A(1,1) = A(1,1) + Ak(2,2);
%coordenadas del elemento k
elseif (k==n)
xk1 = (k-1)* hk;
A(n-1,n-1) = A(n-1,n-1) + Ak(1,1);
xk = k * hk;
else
A(k-1,k-1) = A(k-1,k-1) + Ak(1,1); A(k-1,k) = A(k-1,k) + Ak(1,2);
% matriz de rigidez elemental
A(k,k-1) = A(k,k-1) + Ak(2,1); A(k,k) = A(k,k) + Ak(2,2);
Ak = 1/hk* [1 -1;
end
-1 1];
%ensamble de vector de cargas
%vector de cargas elemental
if (k==1)
bk = [-cos(pi*xk) /pi + (sin(pi*xk)-sin(pi*xk1))/pi^2/hk;
b(1) = b(1) + bk(2);
cos(pi*xk1)/pi - (sin(pi*xk)-sin(pi*xk1))/pi^2/hk];
elseif (k==n)
b(n-1) = b(n-1) + bk(1,1);
else
b(k-1) = b(k-1) + bk(1);
b(k) = b(k) + bk(2);
end
end
Introducción al Método de los Elementos Finitos 36
37. Ejemplo: aproximación a la solución
0.12
0.1
0.08
u(x)
0.06
0.04
0.02
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x
Introducción al Método de los Elementos Finitos 37
38. Ejemplo: aproximación a la derivada
0.4
0.3
0.2
0.1
du/dx
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x
Introducción al Método de los Elementos Finitos 38