Curso 2009–10 ECUACIONES DIFERENCIALES I Grupos A, B y D
Hoja 1.
1.1. Integrar las ecuaciones siguientes:
a/ .5x C 2y 3/y0...
Hoja 2.
2.1. Resolver los problemas de valores iniciales:
a/ Px D
2 1
1 2
Á
x; x.0/ D
1
0
Á
I b/ Px D
3 4
1 1
Á
x; x.0/ D
...
Hoja 3.
3.1. Clasificar los puntos singulares de las ecuaciones:
a/ x2
y00
C
1 C x
1 x
y0
C y sen x D 0; b/ xy00
C y0
C y l...
Hoja 4.
4.1. Representar en el plano de fases las órbitas de los siguientes sistemas lineales:
a/ Px D x C y; Py D x y I b...
Soluciones hoja 1.
1.1. a/ y2 C 6x2 C 5xy 3y 9x D C; b/ y D log.C C ex/; c/ y D Cex 1
2 .sen x C cos x/;
d/ y D cos x C 2 ...
(más 1.6)
y
x
y
x
y
x
y D 1
Ce xC2Csen xCcos x y2 D 1 C Ce x2
y D x Cx3C2
1 Cx3
y
x
y
x
y2 D 4
3 x3=2 C C y1=3 arctan y1=3...
K=3K=2
K=–1
K=0
1
–2
K=∞
0 K=1/3
–1
t+2√t
t–2√t
1.10. ´ D y x o exacta. Solución general: y D x ˙
p
4x C C.
La única soluc...
Soluciones hoja 2.
2.1. a/ x.t/ D 1
2
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Soluciones hoja 3.
3.1. a) x D 0 , singular irregular; x D 1 , singular regular.
b) x D 0 , singular irregular. c) x D n ,...
Soluciones hoja 4.
4.1.
a)
b)
c)
x
y
x
y
x
y
4.2.
a)
x
y
x
y
x
y
b)
c)
d)
y
x
e) y
x
f)
2
x
y
4.3.
a) b) c)
x
y
x
y
x
y
4.4.
a)
r0 D r.1 r2/
Â0 D 1
b)
r0 D r2
Â0 D 1
y
x
y
x
a) b)
4.5. El origen es el único punto crítico en los dos casos. Es ...
4.11. .2k
a ; 0/ son sillas.
..2k 1/
a ; 0/ son: nodos estables si 0 < a Ä 1=4
y focos estables si a > 1=4 .
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x
4.12.
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  1. 1. Curso 2009–10 ECUACIONES DIFERENCIALES I Grupos A, B y D Hoja 1. 1.1. Integrar las ecuaciones siguientes: a/ .5x C 2y 3/y0 D 9 12x 5yI b/ y0 D ex yI c/ y0 D y C sen xI d/ y0 D cos x y y2 sen x cos2 x I e/ y0 D 2xy y2 x2 I f/ y0 D xC2y x I g/ y0 D y xCy3 I h/ y0 D x C x y I i/ y0 D 1 2 xCy I j/ .y0/2 D 9y4: 1.2. Hallar un factor integrante de la forma .x C y2/ para la ecuación 3y2 x C 2y.y2 3x/ dy dx D 0. 1.3. Calcular los polinomios de primer grado que son solución de la ecuación: y0 y2 Cx.x 2/ D 0. Escribir la solución general de la ecuación en términos de una integral. 1.4. a) Comprobar que una ecuación de la forma y0 D xn 1f .y C axn/ se convierte en una de variables separadas haciendo el cambio ´ D y C axn. b) Hallar la solución general de y0 D 2x.y C x2/2. 1.5. Integrar mediante cambios de variables: dy dx D f a1xCb1yCc1 a2xCb2yCc2 Á . Resolver en particular dy dx D xC2yC2 2xCyC6 . 1.6. Estudiar existencia y unicidad, resolver si se puede y dibujar las curvas integrales: a/ y0 D .x 4y/ 2 I b/ y0 D x 1 y I c/ y0 D y y2 x I d/ y0 D 3xyC2y2 x2Cxy I e/ y0 D 1 y 2I f/ y0 D x2 C y2I g/ y0 D x2 y2I h/ y0 D x jyjI i/ y0 D cos.x y/I j/ y0 D y .2C2 cos x/y2I k/ y0 D x y xyI l/ y0 D y2 x2 2I m/ y0 D p x y I n/ y0 D 1 C y2=3I ñ) y0 D y2 ay3I o/ y0 D 2xy ay2 x2 : 1.7. Integrar la ecuación diferencial y0 D y yC2x 1 xCy . ¿Cuántas soluciones verifican y.0/ D 0? 1.8. Dibujar aproximadamente las soluciones de y0 D p y=x y determinar cuántas de ellas satisfacen cada uno de los siguientes datos iniciales: i) y. 1/ D 1; ii) y.1/ D 0; iii) y.1/ D 1. 1.9. Sea xy0 D y C x sen x. Imponer un dato inicial para el que existan infinitas soluciones y otro para el que haya solución única. 1.10. Sea y0 D 1C 2 y x . Hallar su solución general y la ó las soluciones (si existen) que satisfagan y.1/ D 1. Dibujar aproximadamente sus curvas integrales. 1.11. Sea la familia de hipérbolas xy D C. Escribir la ecuación diferencial de la que son curvas integrales. Hallar las trayectorias ortogonales a ellas (las curvas que las cortan perpendicularmente). Resolver el mismo problema para las circunferencias x2 C y2 D 2Cx y las parábolas y2 C 2Cx D C2. 1.12. Sea y0 D .y x C 1/2. Hallar su solución general. Dibujar aproximadamente sus soluciones. Precisar cuántas soluciones satisfacen: i) y.0/ D 0, ii) y.0/ D 2. 1.13. i) Resolver la ecuación xy0 D .1 x/y C x2. ii) Para todo .x0; y0/ 2 R2 , discutir cuántas soluciones cumplen la condición inicial y.x0/ D y0. iii) Localizar los puntos del plano en los que y00 D 0. 1.14. Resolver la ecuación de Bernoulli y0 D 3 x .y y2=3/. Precisar cuántas soluciones de la ecuación satisfa- cen: i) y. 1/ D 1; ii) y.0/ D 1; iii) y.1/ D 0. 1.15. Sea dy dx D y2C2xy x2C2y2 . Probar que tiene un factor integrante que sólo depende de y. Hallar todas las solucio- nes que sean rectas. Hallar la ó las soluciones (si existen) que satisfacen i) y.1/ D 0, ii) y.1/ D 1. 1.16. Sea y0 D jxj y. a) Precisar cuántas soluciones satisfacen y.0/ D 0. b) Dibujar aproximadamente sus soluciones. c) Escribir la solución con y.0/ D 1 para todos los valores de x para los que esté definida.
  2. 2. Hoja 2. 2.1. Resolver los problemas de valores iniciales: a/ Px D 2 1 1 2 Á x; x.0/ D 1 0 Á I b/ Px D 3 4 1 1 Á x; x.0/ D 1 0 Á I c/ Px D 0 1 2 0 0 1 4 0 5 ! x; x.0/ D 0 0 1 ! : 2.2. Hallar la solución general de los sistemas: a) x0 1 D x1 C x2 C x3; x0 2 D 2x1 C x2 x3; x0 3 D x2 C x3; b) x0 1 D x2 C x3; x0 2 D x1 C x3; x0 3 D x1 C x2; c) x0 1 D x1; x0 2 D x1 C 2x2; x0 3 D x1 x3. 2.3. Hallar la solución de 8 < : x0 D x 4y C 2´ y0 D x 3y C ´ ´0 D x 2y C 1 con x.0/ D 2 ; y.0/ D ´.0/ D 1, y precisar su estabilidad. 2.4. Escribir las soluciones de las ecuaciones diferenciales: a/ Rx x D e2t ; b/ Rx C x D tet cos t; c/ Rx C x D tan t; d/ x000 C 2x00 C 5x0 D 5t; e/ x.4/C 4x D tet cos t; f/ .t C 1/ Rx Px D .t C 1/2; g/ t2 Rx 2x D t3et ; h/ t2 Rx t.t C 2/ Px C .t C 2/x D 0 : 2.5. Hallar las soluciones de los problemas de valores iniciales siguientes: a/ x000 C 5x00 C 8x0 C 4x D 8e 2t x.0/ D 1; x0.0/ D 1; x00.0/ D 9 b/ x00 C x0 D f .t/ x.0/ D 1; x0.0/ D 0 ; f .t/ D t C 1 ; t Ä 1 3 t ; t 1 c/ t3x000 C t2x00 2tx0 C 2x D 2t4 x.1/ D x0.1/ D x00.1/ D 0 d/ tx00 .t C 1/x0 C x D t2et x.1/ D x0.1/ D 0 e/ x00 C 2tx0 D 2t x.1/ D x0.1/ D 1 2.6. Sea x000 C5x00 C4x0 Ccx D t. Hallar una solución particular para todo valor de la constante real c. Hallar la solución general para c D 10. Discutir la estabilidad de la ecuación según los valores de c. 2.7. Hallar la solución de: a/ 8 < : x0 D x 2y t y0 D 2x 3y t x.0/ D y.0/ D 1 b/ 8 < : x0 D 2x C y y0 D 3x C 4te3t x.0/ D y.0/ D 1 c/ 8 < : x0 D x y y0 D 2x y x.0/ D 1; y.0/ D 2 d/ 8 < : x0 D 2x y y0 D x C j2 tj x.0/ D 0; y.0/ D 1 2.8. Hallar K.t/ de forma que la solución de Rx C 2 Px C 2x D f .t/ x.0/ D Px.0/ D 0 se escriba x.t/ D R t 0 K.t s/f .s/ds. 2.9. Sea x000 C 2x00 C .1 C a/x0 C 4a2x D e t , con a 2 R. i) Para a D 0, hallar la solución que satisface x.0/ D 0 ; x0.0/ D 0 ; x00.0/ D 1. ii) Hallar una solución particular de la ecuación para todos los valores de a. iii) Precisar para qué valores de a la ecuación es asintóticamente estable. 2.10. Considérese la ecuación u000 C a u00 C 3u0 C 9u D e3x, con a 2 R. i) Hallar su solución general para a D 5 y para a D 3. ii) Determinar su estabilidad en función del parámetro a. 2.11. Sea y0 D Ay C f .t/ con A D 0 B @ 0 0 1 0 c 0 0 1 1 2c 0 0 0 1 2c 2c 1 C A, c 2 R, f .t/ D 0 B @ t2 0 0 0 1 C A, y sea b D 0 B @ 1 0 2 0 1 C A : i) Si c D 0, hallar la matriz fundamental ˚.t/ del sistema homogéneo con ˚.0/ D 1 y la solución del no homogéneo con y.0/ D b. ii) Hallar los valores de c para los que el sistema es asintóticamente estable. 2.12. Sea 8 < : x0 D 4y C ´ y0 D ´ 4 ´0 D a´ 2x i) Para a D 5 hallar la solución con x.0/ D 2; y.0/ D 3; ´.0/ D 0. [Ayuda: el sistema tiene una solución constante.] ii) Discutir la estabilidad del sistema según los valores de la constante a.
  3. 3. Hoja 3. 3.1. Clasificar los puntos singulares de las ecuaciones: a/ x2 y00 C 1 C x 1 x y0 C y sen x D 0; b/ xy00 C y0 C y ln jxj D 0; c/ .sen x/y00 C xy0 C 4y D 0 : 3.2. Sea 4t2x00 3x D t2. a) Calcular el desarrollo hasta orden 4 en torno a t D 1 de la solución de la homogénea que cumple x.1/ D 0; x0.1/ D 1. b) Hallar la solución general de la ecuación no homogénea. 3.3. ¿Cuántas soluciones linealmente independientes tiene .x 1/x2y00 C y D 0 en el intervalo 0 < x < 1? ¿Cuántas son de la forma xr P n 0 cnxn? ¿Y de la forma .x 1/r P n 0 cn.x 1/n? 3.4. Resolver x2y00 C xy0 C x2 1 4 y D 0 mediante una sustitución de la forma y.x/ D x u.x/. 3.5. Sea 2x2.1 C x2/y00 x.3 C 7x2/y0 C 2.1 C 2x2/y D 0 . a) Hallar una solución que no sea analítica en x D 0 . b) Calcular la solución general de la ecuación en términos de funciones elementales. 3.6. Calcular una solución analítica en x D 0 de la ecuación x.1 x/y00 C Œ .1 C ˛ C ˇ/xy0 ˛ˇy D 0. 3.7. Estudiar las soluciones en el punto x D 0 de la ecuación .1 x2/y00 xy0 C p2y D 0, y calcular para qué valores de p las soluciones son polinomios. 3.8. a) Hallar el desarrollo en serie de potencias de una solución no trivial de xu00 u0 C 4x3u D 0 que se anule en x D 0 y expresarla en términos de funciones elementales. b) Hallar la solución general de la ecuación. Hacer un cambio de variable independiente de la forma s D xn y comprobar el resultado. 3.9. La ecuación diferencial u00 C 2u0 x .e x 1/2 u D 0 aparece en el estudio de las vibraciones de una molécula diatómica. i) Hallar hasta x4 el desarrollo en serie de una de sus soluciones. ii) ¿Están todas las soluciones acotadas en x D 0? 3.10. Sea x2y00 Cxy0 C.x 1 4 /y D 0. a) Hallar el desarrollo de una solución acotada en x D 0. b) Determinar si hay soluciones linealmente independientes de la anterior de la forma y D xr 1P kD0 ckxk. 3.11. Sea .x C 1/2y00 C .x2 1/y0 C 2y D 0. Calcular una solución analítica en x D 1 y estudiar si existe alguna solución linealmente independiente de la anterior que sea analítica en x D 1. 3.12. Dada .x2 1/y00 C xy0 4y D 0, calcular una solución analítica en x D 1. ¿Es analítica en x D 1? ¿Cuántas soluciones analíticas linealmente independientes hay en el intervalo . 1; 1/? 3.13. Sea x2y00 C x2y0 C .x 2/y D 0. Comprobar que y D 1 x es solución. Hallar los tres primeros términos no nulos del desarrollo en serie de una solución que se anule en x D 0. 3.14. Hallar el desarrollo en torno a x D 0 de la solución de .1 x/.1 2x/y00 C 2xy0 2y D 0 con y.0/ D y0.0/ D 1. Hallar las raíces del polinomio indicial para cada punto singular regular. Estudiar cuántas soluciones de la ecuación satisfacen y.1/ D 0, y0.1/ D 1. 3.15. Sea 2 p xy00 y0 D 0. Precisar si x D 0 es punto singular regular de la ecuación. Calcular, hasta tercer orden, el desarrollo en serie en torno a x D 1 de la solución que cumple y.1/ D y0.1/ D 1. 3.16. Sea x.x 1/y00 C 2.2x 1/y0 C 2y D 0. Probar que existe una solución analítica en torno a x D 0 y calcularla. Estudiar si todas las soluciones de la ecuación tienden a 0 cuando x ! 1. 3.17. Hallar una solución no nula de la ecuación 2x2 y00 C x.x C 1/y0 .2x C 1/y D 0 que sea analítica en x D 0. ¿Están acotadas todas las soluciones de dicha ecuación en un entorno del origen? 3.18. Sea xy00 C .1 x2/y0 C pxy D 0. Precisar, resolviendo por series en torno a x D 0, todos los valores de la constante p para los que hay soluciones polinómicas y escribir uno de estos polinomios para p D 4.
  4. 4. Hoja 4. 4.1. Representar en el plano de fases las órbitas de los siguientes sistemas lineales: a/ Px D x C y; Py D x y I b/ Px D x C y; Py D y x I c/ Px D y; Py D x C 1 : 4.2. Dibujar el mapa de fases de los sistemas: a/ Px D y.x C 1/; Py D x.1 C y3/I b/ Px D 4x 2y; Py D 2x xyI c/ Px D yex; Py D ex 1I d/ Px D 1 x C 3y; Py D x C y 1I e/ Px D y 2xy; Py D y2 2xI f/ Px D x2 2xy; Py D y2 2xy 4.3. Dibujar el mapa de fases de las ecuaciones: a/ Rx D 4 Px 4x I b/ Rx D x x3 I c/ Rx D .1 x2/ Px x : 4.4. Estudiar, usando coordenadas polares, los sistemas: a/ Px D y C x.1 x2 y2 /; Py D x C y.1 x2 y2 / I b/ Px D y C x q x2Cy2; Py D x C y q x2Cy2 : 4.5. Clasificar los puntos críticos de los sistemas: a/ Px D x3 y; Py D x C y3 I b/ Px D x2 y; Py D xey. 4.6. Sea el sistema Px D x x2y; Py D y x3. Hallar sus órbitas, localizar todas las órbitas que sean rectas y dibujar el mapa de fases. 4.7. Sean los sistemas: a) Px D sen y, Py D sen x; b) Px D 2xy, Py D 1 x2 Cy2; c) Px D x C2xy, Py D y2 1. Dibujar su mapa de fases y estudiar qué soluciones están definidas para todo t 2 R. 4.8. Sea (S) x0 D 4x C2y, y0 D x C5y. Dibujar el mapa de fases de (S). Hallar la solución de (S) que satisface x.0/ D 2; y.0/ D 1. Hallar la expresión de las órbitas de (S). 4.9. Sea el sistema Px D 1 C y x2, Py D 2xy. Clasificar sus puntos críticos, resolver la ecuación diferencial de las órbitas y dibujar aproximadamente su mapa de fases. 4.10. Sea x00 D .x0/2 x. Hallar sus órbitas, dibujar el mapa de fases y hallar la solución de la ecuación que cumple x.2/ D 1=2, x0.2/ D 1. 4.11. Clasificar, según los valores de a, los puntos críticos de x00 D sen.axCx0/, a > 0. Dibujar el mapa de fases para a D 2. 4.12. Una partícula se mueve por el eje x según Rx D x.x2 C 9/ 2. Dibujar e interpretar el mapa de fases. Si la partícula pasa por el origen con velocidad v D 1=3, ¿qué velocidad tiene cuando pasa por x D 4? ¿Cuánto tiempo tarda en llegar a x D 4? 4.13. Sea x00 D .ax x0/.2 C x0/. a) Clasificar sus puntos críticos elementales según los valores de a. b) Para a D 3=2, dibujar el mapa de fases y hallar la solución x.t/ con x.1/ D 0; x0.1/ D 2. 4.14. Clasificar, en función de los valores de k 0, los puntos críticos de Rx D 1 x2 k Px. Dibujar el mapa de fases para k D 0, k D 1 y k D 3 y dar una interpretación física de las órbitas. 4.15. Dibujar el mapa de fases de Rx D x.1 x Px/. Si x0.t/ es la solución que cumple x0.1/ D 2, Px0.1/ D 0, hallar el lim t!1 x0.t/. 4.16. Sea Px D x , Py D 2y y2 C x4. Hallar la expresión de sus órbitas y dibujar su mapa de fases. [Ayuda: y D ˙x2 son soluciones de la ecuación de las órbitas].
  5. 5. Soluciones hoja 1. 1.1. a/ y2 C 6x2 C 5xy 3y 9x D C; b/ y D log.C C ex/; c/ y D Cex 1 2 .sen x C cos x/; d/ y D cos x C 2 cos2 x Cex cos x sen x ; e/ y D x2 CCx ; f/ y D Cx2 x; g/ x Cy 1 2 y3 D 0; h/ y 1 2 x2 log j1 C yj D C; i/ y x C log jx C y 1j D C; j/ y D 1 C˙3x . 1.2. .x C y2/ D 1 .xCy2/3 . Solución: x y2 .xCy2/2 D C. 1.3. yp.x/ D x 1 ; y.x/ D x 1 C ex2 2x k R x es2 2sds . 1.4. a) R d´ f .´/Cna D 1 nxn C C; b) y D tan.x2 C C/ x2. 1.5. Si c1 D c2 D 0; ´ D y=x; si c2 1 C c2 2 ¤ 0 y a1b2 a2b1 D 0; ´ D a1x C b1y; si c2 1 C c2 2 ¤ 0; a1b2 a2b1 ¤ 0; a1x0 C b1y0 C c1 D 0 a2x0 C b2y0 C c2 D 0 ; t D x x0; ´ D y y0; u D ´=t. Solución: .x 2/2 C 4.x 2/.y C 2/ .y C 2/2 D C . 1.6. y x y x y x 4y C log ˇ ˇ ˇ x 4yC2 x 4y 2 ˇ ˇ ˇ D C No resoluble y D x CCx y x y x y x y2 C 2xy D Cx4 y C 1 2 log ˇ ˇ ˇ 1 y 1Cy ˇ ˇ ˇ x D C No resoluble y x y x y x No resoluble x 1 C Ce x y 0 x 1 C Cex y Ä 0 y D x 2 arctan 1 C x
  6. 6. (más 1.6) y x y x y x y D 1 Ce xC2Csen xCcos x y2 D 1 C Ce x2 y D x Cx3C2 1 Cx3 y x y x y2 D 4 3 x3=2 C C y1=3 arctan y1=3 D x 3 C C x C 1 y a log ˇ ˇ ˇ y 1 ay ˇ ˇ ˇ D C; a > 0 y D 1 C x ; a D 0 x C 1 y a log ˇ ˇ ˇ y 1 ay ˇ ˇ ˇ D C; a < 0 x2y y2 x2 3 a Á D C; a < 0 y D C x2 ; a D 0 x2y y2 x2 3 a Á D C; a > 0 1.7. Solución general: y2 C 2xy Ce2x D 0. Las soluciones y.x/ D 0; y.x/ D 2x verifican y.0/ D 0. 1.8. Solución única para i) e iii). Satisfacen y.1/ D 0 infinitas soluciones, como por ejemplo y Á 0 e yc.x/ D 0 ; x < c2 . p x c/2 ; x c2 ; para todo c 1. y t 1.9. Si y.x0/ D y0 con x0 ¤ 0 hay solución única. Todas las soluciones y D Cx C x R x sen s s ds cumplen y.0/ D 0.
  7. 7. K=3K=2 K=–1 K=0 1 –2 K=∞ 0 K=1/3 –1 t+2√t t–2√t 1.10. ´ D y x o exacta. Solución general: y D x ˙ p 4x C C. La única solución con y.1/ D 1 es y D x 2 p x. 1.11. xy D C ) y C xy0 D 0I ortogonales: y0 D x y ) x2 y2 D C . x2 C y2 D 2Cx ) y0 D y2 x2 2xy I ortogonales: y0 D 2xy x2 y2 ) x2 C y2 D Cy . y2 C 2Cx D C2 ) yy0 D x ˙ p y2 C x2I ortogonales: y0 D y x˙ p y2Cx2 ) y2 C 2Cx D C2 . K=4 K=4 K=9 K=1 K=0 1 –2 K=1 0 K=9 1.12. Solución general: y D xC 2 Ce 2x 1 . Existe solución única para cualquier dato inicial. i) y D x (no incluida en la solución general); ii) y D x 2. 1.13. i) y.x/ D x.1 C Ce x/. ii) Solución única si x0 ¤ 0, infinitas si x0 D y0 D 0, ninguna si x0 D 0; y0 ¤ 0. iii) y D x (recta solución) y x D 2 (curva de puntos de inflexión). 1.14. Solución: y D .1 C Cx/3 (e y D 0). i) Solución única. ii) y iii) Infinitas soluciones. 1.15. .y2C2xy/ .y/ .x2C2y2/ .y/dy dx D 0 exacta si 0 D 2 y , de donde (por ejemplo) .y/ D 1 y2 . Las soluciones verifican y D 0 ó x2 C xy 2y2 D Cy. Soluciones rectas: y D 0; y D x; y D x 2 . i) y D 0 , ii) y D x, soluciones únicas. 1.16. a) Única solución para cualquier dato inicial. c) y D 1 x; x Ä 0 x 1 C 2e x; x 0 1 –1
  8. 8. Soluciones hoja 2. 2.1. a/ x.t/ D 1 2  e t C e 3t e t e 3t à b/ x.t/ D et  1 C 2t t à c/ x.t/ D 0 @ e t e 2t 3te 2t e t e 2t 2te 2t e t 4te 2t 1 A 2.2. a/ x D C1 0 @ 3 4 2 1 Ae t C C2 0 @ 0 1 1 1 Ae2t C C3 2 4 0 @ 1 1 0 1 A C 0 @ 0 1 1 1 A t 3 5e2t ; b/ x D C1 0 @ 1 1 1 1 Ae2t C C2 0 @ 1 1 0 1 Ae t C C3 0 @ 1 0 1 1 Ae t ; c/ x D C1 0 @ 2 2 1 1 Aet C C2 0 @ 0 1 0 1 Ae2t C C3 0 @ 0 0 1 1 Ae t . 2.3. x D 2t C 2e t ; y D t C e t ; ´ D 1 C t . D 1 doble, D 0 ) estabilidad no asintótica. 2.4. a) x D C1et C C2e t C 1 3 e2t ; b) x D C1 cos t C C2 sen t C 1 25Œ.5t 2/ cos t C .10t 14/ sen tet ; c) x D C1 cos t C C2 sen t cos t log j sec t C tan tj ; d) x D C1 C .C2 cos 2t C C3 sen 2t/e t C t2 2 2t 5 ; e) x D .C1 cos t C C2 sen t/et C .C3 cos t C C4 sen t/e t C t 32 Œ.3 t/ cos t C t sen t et ; f) x D C1.t2 C 2t/ C C2 C t3 3 C t2 2 ; g) x D C1t2 C C2 1 t C .t 2 C 2 t /et ; h) x D C1t C C2tet . 2.5. a/ x.t/ D e t C 4t2e 2t ; b/ x.t/ D 1 2 t2 1 ; t Ä 1 1 2 t2 C 4t 6 C 2e1 t ; t 1 c/ x.t/ D 1 15 t4 5t2 C 5t 1 t ; d/ x.t/ D .t C 1/e C 1 2 .t2 5/et ; e/ x.t/ D t. 2.6. a) xp D t c 4 c2 , si c ¤ 0; xp D t2 8 5t 16, si c D 0. b) x D C1et C e 3t ŒC2 cos t C C3 sen t t 10 1 25. c) Asintóticamente estable si 0 < c < 20, estable si c D 0; 20 e inestable para los demás c. 2.7. a/ .1 t/  1 1 à ; b/ 1 16  .8t2 4t C 17/e3t e t .8t2 C 12t C 13/e3t C 3e t à ; c/ e t  cos p 2t p 2 sen p 2tp 2 sen p 2t C 2 cos p 2t à , d/  t 2t 1 à si t Ä 2 ;  t C .8 2t/et 2 1 2t C .10 2t/et 2 à si t 2 . 2.8. K.t/ D e t sen t. 2.9. i) x D 1 2 t2e t . ii) La anterior, si a D 0 ; x D 4te t , si a D 1=4 ; x D 1 a.4a 1/ e t , si a ¤ 1; 1=4 . iii) Asintóticamente estable si a 2 . 1 2 ; 0/ [ .0; 1/. 2.10. i) u D 1 8 x2e3x C C1 e x C e3x.C2 C C3 x/ ; u D 1 72 e3x C C1 e 3x C C2 cos p 3x C C3 sen p 3x. ii) Asintóticamente estable si a > 3, inestable si a < 3 y estable si a D 3. 2.11. i) ˚.t/ D 0 B @ cos t 0 sen t 0 0 cos t 0 sen t sen t 0 cos t 0 0 sen t 0 cos t 1 C A. ii) 0 B @ cos t 2t 0 t2 2 sen t 0 1 C A. iii) 1 4 < c < 1 3 p 4 . 2.12. i) x D 10 12e t ; y D 1 C 4e t ; ´ D 4 4e t . ii) Asintóticamente estable si a < 4, estable si a D 4, inestable si a > 4.
  9. 9. Soluciones hoja 3. 3.1. a) x D 0 , singular irregular; x D 1 , singular regular. b) x D 0 , singular irregular. c) x D n , singulares regulares. 3.2. a) x D .t 1/ C 1 8 .t 1/3 1 8 .t 1/4 C . b) x D C1 jtj3=2 C C2 jtj 1=2 C 1 5 t2. 3.3. En 0 < x < 1 hay dos soluciones linealmente independientes. x D 0 punto singular regular con r D .1 ˙ p 5/=2; hay dos soluciones l.i. de la forma xr P n 0 cnxn. x D 1 singular regular con r D 1; 0; hay sólo una solución de la forma: y1 D .x 1/ P n 0 cn.x 1/n, pues para la otra l.i. y2 D P n 0 bn.x 1/n C c y1 log.x 1/ resulta ser c D b0. 3.4. Eligiendo D 1=2 se obtiene u00 C u D 0. Solución: y.x/ D .A cos x C B sen x/= p x. 3.5. a) y2.x/ D x1=2 , solución no analítica. b) y.x/ D C1x1=2 C C2.x2 C 3 7 x4/ . 3.6. ¤ 0; 1; 2; : : : ) y.x/ D 1P nD0 .˛/n.ˇ/n nŠ. /n xn Á F.˛; ˇ; I x/, donde .˛/n D ˛.˛ C1/ .˛ Cn 1/. D 0; 1; 2; : : : ) y.x/ D x1 F.˛ C 1; ˇ C 1; 2 I x/. 3.7. y1.x/ D 1 P1 nD1 p2.22 p2/ ..2n 2/2 p2/ .2n/Š x2n ; y2.x/ D xC P1 nD1 .12 p2/.32 p2/ ..2n 1/2 p2/ .2nC1/Š x2nC1. Hay soluciones polinómicas cuando p es entero. 3.8. i) x D 0 punto singular regular, r D 2; 0. u1.x/ D P1 kD0 . 1/k .2kC1/Š x2.2kC1/ D sen.x2/ : ii) u.x/ D C1 sen.x2/ C C2 cos.x2/. 3.9. x D 0 singular regular, r D 0; 1. u1 D 1 C x4 20 C . La otra solución no está acotada en x D 0. 3.10. a) x D 0 singular regular, r D ˙1=2. y1 D P1 kD0 . 1/n nŠ.nC1/Š xkC1=2 está acotada en x D 0. b) Para la otra y2 D P1 kD0 bkxk 1=2 C ay1 log x resulta ser a D b0. 3.11. a) x D 1 singular regular, r D 2; 1. y1 D .x C 1/2e .xC1/ es solución analítica en x D 1. b) Reduciendo el orden: y2 D .x C 1/2e .xC1/ R xC1 et t2 dt que no es analítica en x D 1. 3.12. x D 1 singular regular, r D 1 2 ; 0. Analítica en x D 1 es y2 D 1 C 4.x 1/ C 2.x 1/2 D 2x2 1, que también lo es en x D 1. Las dos soluciones del punto regular x D 0 son analíticas en . 1; 1/. 3.13. x D 0 singular regular, r D 2; 1. Se anula en x D 0: y1 D x2.1 3 4 x C 3 10 x2 /. O reduciendo el orden: y2 D 1 x R e xx2dx D 1 x R .x2 x3 C x4 2 /dx D 1 3 x2 1 4 x3 C 1 10x4 . 3.14. x D 0 regular ! y D P1 kD0 ckxk ! ck D 3.k 2/ck 1 2.k 3/ck 2 k ; c0 D c1 D 1 ! y D P1 kD0 xk. x D 1=2 (con r D 2; 0) y x D 1 (con r D 0; 1) son singulares regulares. Como y D c1x C c2 1 x ninguna solución satisface esos datos. 3.15. x D 0 no es singular regular. y D 1 C .x 1/ C 1 4 .x 1/2 C O..x 1/4/. 3.16. x D 0 singular regular, r D 0; 1 ! y1 D P1 kD0 ckxk analítica ! y1 D P1 kD0 xk D 1 1 x . Haciendo x D 1 s se tiene s2.1 s/y00 2sy0 C 2y D 0, cuyas soluciones ! 0 cuando s ! 0 (r D 2; 1). 3.17. x D 0 punto singular regular. r D 1; 1=2 ) no todas las soluciones están acotadas en el origen. Solución analítica en x D 0: y.x/ D x 1 C x 5 . 3.18. r D 0 doble; y1 D P1 kD0 ckxk; recurrencia: ck D p kC2 k2 ck 2; c1 D 0 D c3 D . Si p D 2n; n D 0; 1; : : :, entonces y1 es un polinomio de grado 2n. Si p D 4, y1 D 1 x2 C 1 8 x4 .
  10. 10. Soluciones hoja 4. 4.1. a) b) c) x y x y x y 4.2. a) x y x y x y b) c) d) y x e) y x f) 2 x y 4.3. a) b) c) x y x y x y
  11. 11. 4.4. a) r0 D r.1 r2/ Â0 D 1 b) r0 D r2 Â0 D 1 y x y x a) b) 4.5. El origen es el único punto crítico en los dos casos. Es un foco inestable de a) y un centro de b). 4.6. Órbitas: y2 2 x2 2 y x D C. Órbitas rectas: y D x; y D x; x D 0. y x 4.7. No están definidas 8t las soluciones asociadas a la órbita x D 0 de b) y a las órbitas de c) con jyj > 1. yy y x xx a) b) c) 4.8. Solución: x D 2e3t ; y D e3t . Órbitas: .2y C x/.y x/ 2 D C. 4.9. .0; 1/ es un centro; .˙1; 0/ son puntos silla. Órbitas: y2 C 2y.1 x2/ D C. 4.10. Órbitas: y2 D Ce2x C x C 1 2 . Solución: x D t2 4 1 2 . 4.8, 4.9, 4.10. y y v x x x
  12. 12. 4.11. .2k a ; 0/ son sillas. ..2k 1/ a ; 0/ son: nodos estables si 0 < a Ä 1=4 y focos estables si a > 1=4 . v x 4.12. Velocidad: v D 1=5 . Tiempo: T D R 4 0 p 9 C x2dx D 10 C 9 2 log 3 . v x 4.13. a) Si a D 0 , es x D 0 recta de puntos críticos (no elementales). El origen (único punto crítico si a ¤ 0) es: silla si a > 0, nodo estable de dos tangentes si 0 > a > 1 2 , nodo estable de una tangente si a D 1 2 y foco estable si 1 2 > a. b) x D 2 2t . –2 4.14. . 1; 0/ es silla 8k. .1; 0/ es centro si k D 0, foco estable si 0 < k < 2 p 2, nodo estable si k 2 p 2. x x k=1 k=3 k=0 x v v v 4.15. 4.16. y D x2 C 2x2 Cex2 1 . 21 2 lim t!C1 x0.t/ D 1 .

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