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Dinámica del sólido rígido
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Preliminares
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Cij ≡ ei · ej: matriz de paso de S a S...
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Propiedades de C
Ortogonalidad
δij = ei · ej = CikCjl ek · el
δkl
= CikCt
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Ejemplo: Rotación en torno al eje Z
˙
C = ˙θ

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− sen θ cos θ 0
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Teorema de Coriolis
Gaspard CORIOLIS, 1792–1843
La velocidad de un punto en...
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Definición
Sólido rígido: Sistema de partículas donde las distancias entre e...
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Teorema de Euler
Dadas dos posiciones arbitrarias de un sólido rígido que t...
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Cinemática general
Teorema de Coriolis
vI =
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Movimiento general
a) O se traslada con velocidad V0 y el sólido gira en ...
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Demostración
Puntos del sólido con velocidad vI paralela a ω
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a) vI = V0 + ω × r b) vI = λω + ω × r
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Momento lineal del sólido rígido
dm = ρ(r) d3
r
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Momento angular del sólido rígido
Momento angular respecto a O:
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Movimiento plano de un sólido rígido
1. Todos los puntos del sólido rígid...
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Componentes de L en el movimiento plano
Lx = −ω xzρ(r)d3
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Eje y centro instantáneo de rotación
Movimiento plano, existe un eje —móv...
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Ejemplo: Rueda que se mueve sin deslizar sobre un plano horizontal.
La co...
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Movimiento general de un sólido rígido
Usando r × (ω × r)
[A13b]
= r2
ω −...
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En general, el momento angular y la
velocidad angular NO son paralelos.
M...
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Energía cinética del sólido rígido
Energía cinética de dm: (1/2) VO + ω ×...
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Movimiento plano
Como (ω × r)2
= ω2
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Si O coincide con un punt...
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Ejemplo
xc = b −
L
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Utilizando el centro de masas
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= (ω × r)k(ω × r)k
[A12]
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Momento de inercia respecto a un eje arbitrario
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niIijnj
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Eje principales de inercia
Transformación de semejanza
˜I
[A6]
= ˜Ct
· ˜I...
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Algunos teoremas útiles
Todo plano de simetría es perpendicular a un eje ...
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Cuando un sólido rígido presenta un e...
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Teorema de los ejes paralelos
Sean dos sistemas de referencia, uno de
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Demostración:
Basta sustituir la relación r = r − a en la definición
Iij =...
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Elipsoide de inercia
ij
Iijxixj = 1
Ejes propios
−→
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Ecuaciones del movimiento
Movimiento plano
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Ecuaciones del movimiento
m¨xc +
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Movimiento general
F =
dP
dt
M =
dLc
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Lc = ˜Ic · ω
Las ecuaciones del m...
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Ecuaciones de Euler
Como ˙ωi = d∗
ωi/dt y L = i Iiωiei =⇒ M = d∗
L
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Un sólido rígido no sometido a momentos externos cuyos tres momen...
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Sistema de referencia inercial
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Ángulos de Euler
Rotación en el plano X1 − X2
Rφ =

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cos φ sen φ 0
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Rotación en el plano X1 − X2
RΨ =
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cos Ψ sen Ψ 0
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  1. 1. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 1/441/44 Tema 1 Dinámica del sólido rígido
  2. 2. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 2/442/44 Preliminares ei · ej = ei · ej = δij Cij ≡ ei · ej: matriz de paso de S a S. Fila i: componentes de ei respecto a S : ei = Cijej Columna i: componentes de ei respecto a S: ei = Cjiej Ejemplo: Rotación en torno al eje Z C =   cos θ sen θ 0 − sen θ cos θ 0 0 0 1  
  3. 3. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 3/443/44 Propiedades de C Ortogonalidad δij = ei · ej = CikCjl ek · el δkl = CikCt kj −→ CCt = Ct C = I3 Velocidad angular d dt (CCt ) = 0 = ˙ CCt + C ˙ Ct = ˙ CCt + ( ˙ CCt )t = 0 La matriz Ω ≡ ˙ CCt es antisimétrica. Podemos escribir Ω =   0 ω3 −ω2 −ω3 0 ω1 ω2 −ω1 0   [11] =⇒ Ωjk = ijkωi ω: velocidad angular de S respecto a S .
  4. 4. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 4/444/44 Ejemplo: Rotación en torno al eje Z ˙ C = ˙θ   − sen θ cos θ 0 − cos θ − sen θ 0 0 0 0   =⇒ Ω =   0 ˙θ 0 − ˙θ 0 0 0 0 0   La velocidad angular de S respecto a S es ω = ˙θ e3.
  5. 5. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 5/445/44 Teorema de Coriolis Gaspard CORIOLIS, 1792–1843 La velocidad de un punto en r respecto a S es dr dt S = ˙xiei donde ei = Ckiek = Ct ikek y xi = r · ei = Cjir · ej = Cjixj =⇒ ˙xi = Cji ˙xj + ˙Cjixj. dr dt S = CjiCt ik δjk ˙xjek + ˙CjiCt ik Ωjk xjek = ˙xjej + ijkωixjek [12] =⇒ dr dt S = dr dt S + ω × r
  6. 6. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 6/446/44 Definición Sólido rígido: Sistema de partículas donde las distancias entre ellas no cam- bian en el tiempo. (|ri − rj| = cte , ∀ i, j). Máximo número de grados de libertad: 6 3 puntos fijan la posición del sólido rígido. 9 coordenadas para r1, r2 y r3. 3 ligaduras: |r1 − r2|, |r2 − r3|, |r1 − r3| ctes. 9 − 3 = 6 Punto fijo Sus coordenadas no cambian en el tiempo respecto a algún sistema de referencia inercial (e.g. punto de sujección de un péndulo).
  7. 7. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 7/447/44 Teorema de Euler Dadas dos posiciones arbitrarias de un sólido rígido que tiene un punto fijo O, siempre se puede pasar de la una a la otra mediante una rotación alrededor de un eje que pasa por O. Leonhard EULER, 1707–1783 Teorema de Chasles Dadas dos posiciones arbitrarias de un sólido rígido, siempre se puede pasar de la una a la otra aplicando una traslación seguida de un giro de infinitas formas posibles. Entre ellas, hay una en la que el eje de rotación es paralelo a la recta de traslación. Michel CHASLES, 1793–1880
  8. 8. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 8/448/44 Cinemática general Teorema de Coriolis vI = drI dt = drOIO dt + dr dt = V0 + v + ω × r Gaspard CORIOLIS, 1792–1843 Para un sistema no inercial solidario con el sólido rígido (v = 0) tenemos vI = V0 + ω × r
  9. 9. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 9/449/44 Movimiento en presencia de un punto fijo Tomando como origen O el punto fijo: V0 = 0 y a0 = 0. El eje instantáneo de rotación es la recta que pasa por O y es paralela a ω. Para eso puntos vI = 0 en ese instante pues ω y r son paralelos.
  10. 10. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 10/4410/44 Movimiento general a) O se traslada con velocidad V0 y el sólido gira en torno a un eje que pasa por O con velocidad angular ω. vI = V0 Traslación + ω × r Rotación V0 ω b) El sólido rígido gira en torno a un eje móvil y además se traslada pa- ralelamente a ese eje (eje instantáneo de rotación). Esto se denomina movimiento helicoidal instantáneo. vI = λω + ω × r
  11. 11. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 11/4411/44 Demostración Puntos del sólido con velocidad vI paralela a ω vI = λω = V0 + ω × r =⇒ r = 1 ω2 ω × V0 + µ ω (µ arbitrario) Para comprobarlo sustituimos la solución en la ecuación λω = V0 + 1 ω2 ω × ω × V0 + µ ω × ω =0 [13b] =⇒ λ = 1 ω2 ω · V0 Recta paralela a ω que pasa por el punto P, con rP ≡ ω × V0/ω2 r = rP + µ ω Los puntos que están sobre esta recta tienen velocidad vI = λω. La veloci- dad de cualquier punto del sólido rígido es vI = V0 + ω × (r − rP ) + ω × rP [13b] = λω + ω × r con r ≡ r − rP .
  12. 12. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 12/4412/44 a) vI = V0 + ω × r b) vI = λω + ω × r
  13. 13. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 13/4413/44 Momento lineal del sólido rígido dm = ρ(r) d3 r P = vI dm = (V0 + ω × r) dm = mV0 + mω ×     r dm dm     = m(V0 + ω × rc) = mVc P = mVc
  14. 14. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 14/4414/44 Momento angular del sólido rígido Momento angular respecto a O: dL = r × vI dm = r × VO + r × (ω × r) dm =⇒ L = m     r dm dm    ×VO+ r×(ω×r) dm = m rc×VO+ r×(ω×r) dm Si O coincide con un punto fijo: VO = 0 Si O coincide con el centro de masas: rc = 0 L = r × (ω × r) dm
  15. 15. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 15/4415/44 Movimiento plano de un sólido rígido 1. Todos los puntos del sólido rígido se mueven en planos paralelos a uno de referencia: ω = ωk. 2. La distribución de masa es simétrica (zcm = 0): ρ(x, y, z) = ρ(x, y, −z).
  16. 16. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 16/4416/44 Componentes de L en el movimiento plano Lx = −ω xzρ(r)d3 r = −ω x dx dy zρ(x, y, z) Impar × Par dz = 0 Ly = −ω yzρ(r)d3 r = −ω dx y dy zρ(x, y, z) Impar × Par dz = 0 Lz = ω x2 + y2 ρ(r)d3 r I, momento de inercia = Iω L = Iω
  17. 17. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 17/4417/44 Eje y centro instantáneo de rotación Movimiento plano, existe un eje —móvil en general— respecto al cual el campo de velocidades es vI = ω × r en cada instante. LCIR = Iω Demostración Como queremos ver si vI = 0 para el CIR, entonces V0 = −ω × rP V0 = −ωk × xE ı + yE  + zE k =⇒ xE = −V0y/ω yE = +V0x/ω Cualquier otro punto del sólido en movimiento plano: vI = V0 + ω × rP =0 +ω × (r − rP ) ≡r
  18. 18. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 18/4418/44 Ejemplo: Rueda que se mueve sin deslizar sobre un plano horizontal. La condición de rodar sin deslizar implica que V0x = ωR y V0y = 0, donde la velocidad angular se escribe como ω = ωk, por lo que xE = 0 e yE = R. El eje instantáneo de rotación es la línea negra de la fotografía, perpendicular al plano de movimiento.
  19. 19. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 19/4419/44 Movimiento general de un sólido rígido Usando r × (ω × r) [A13b] = r2 ω − (r · ω)r y ωi = 3 j=1 ωjδij Li = 3 j=1 r2 δij − xixj dm ωj i = 1, 2, 3 . Se define el tensor de inercia ˜I, cuyas componentes se expresan como Iij ≡ r2 δij − xixj dm =⇒ L = ˜I · ω con ˜I = r2 I3 − r r dm siendo I3 el tensor unidad. Como el producto diádico r r es un tensor de segundo orden [A8], entonces ˜I también lo es. Además el tensor de inercia es simétrico.
  20. 20. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 20/4420/44 En general, el momento angular y la velocidad angular NO son paralelos. Momentos y productos de inercia I11 = (y2 + z2 ) dm I22 = (x2 + z2 ) dm I33 = (x2 + y2 ) dm I12 = I21 = − xy dm I13 = I31 = − xz dm I23 = I32 = − yz dm
  21. 21. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 21/4421/44 Energía cinética del sólido rígido Energía cinética de dm: (1/2) VO + ω × r 2 dm. Por tanto, T = 1 2 mV 2 0 + mVO · (ω × rc) + 1 2 (ω × r) 2 dm Si O coincide con un punto fijo: T = 1 2 (ω × r) 2 dm Si O coincide con cm: T = 1 2 mV 2 c + 1 2 (ω × r) 2 dm
  22. 22. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 22/4422/44 Movimiento plano Como (ω × r)2 = ω2 (x2 + y2 ): Si O coincide con un punto fijo: T = 1 2 IOω2 Si O coincide con el centro de masas: T = 1 2 mV 2 c + 1 2 Icω2
  23. 23. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 23/4423/44 Ejemplo xc = b − L 2 cos ϕ yc = L 2 sen ϕ Utilizando el centro de masas Sabiendo que Ic = (1/12)mL2 resulta T = 1 2 m ˙x2 c + ˙y2 c + 1 2 Ic ˙ϕ2 = 1 6 mL2 ˙ϕ2
  24. 24. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 24/4424/44 Utilizando el centro instantáneo de rotación Como xE = − ˙yc/ ˙ϕ = −(L/2) cos ϕ e yE = ˙xc/ ˙ϕ = (L/2) sen ϕ ⇒ rE = L 2 (− cos ϕ ı + sen ϕ ) rc = b − L 2 cos ϕ ı + L 2 sen ϕ  RE = rE + rc = (b − L cos ϕ) ı + L sen ϕ  T = (1/2) IE ˙ϕ2 con IE = Ic + m L 2 2 = 1 3 mL2 Steiner ⇒ T = 1 6 m L2 ˙ϕ2
  25. 25. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 25/4425/44 Movimiento general (ω × r)2 = (ω × r)k(ω × r)k [A12] = ijkωixj klmωlxm ijk klm [A11] = δilδjm − δimδjl ⇒ (ω × r)2 = ω2 r2 − ωiωjxixj ω2 = ωiωjδij ⇒ (ω × r)2 = ωi r2 δij − xixj ωj 1 2 (ω × r) 2 dm = 1 2 ωiIijωj = 1 2 ωt · ˜I · ω Si O coincide con un punto fijo: T = 1 2 ωt · ˜I · ω Si O coincide con el centro de masas: T = 1 2 mV 2 c + 1 2 ωt · ˜I · ω
  26. 26. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 26/4426/44 Momento de inercia respecto a un eje arbitrario nt · ˜I · n = ij niIijnj = r2 ij δijninj − i xini j xjnj dm = r2 − (n · r)2 dm ≡ In In = nt · ˜I · n
  27. 27. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 27/4427/44 Eje principales de inercia Transformación de semejanza ˜I [A6] = ˜Ct · ˜I · ˜Ct ˜Ct = ˜C−1 =⇒ ˜I = ˜C−1 · ˜I · ˜C Tras la transformación ˜I = diag(I1, I2, I3), donde Ik son los momentos principales de inercia y los nuevos ejes son los ejes principales de inercia. En dichos ejes, la contribución de la rotación a la energía cinética del sólido rígido es TR = 1 2 k Ikω2 k
  28. 28. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 28/4428/44 Algunos teoremas útiles Todo plano de simetría es perpendicular a un eje principal de inercia. Todo eje de simetría es eje principal de inercia. Ejemplo: cilindro homogéneo
  29. 29. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 29/4429/44 Teorema de los ejes perpendiculares Cuando un sólido rígido presenta un espesor despreciable en alguna dirección espacial, entonces I3 = I1 + I2, siendo el eje Z perpendicular al plano que contiene a dicho sólido. Ejemplo: Placa rectangular de masa m y demensiones a × b. I1 = 1 12 mb2 I2 = 1 12 ma2 I3 = 1 12 m a2 + b2
  30. 30. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 30/4430/44 Teorema de los ejes paralelos Sean dos sistemas de referencia, uno de ellos con origen en el centro de masas de un sólido rígido, con los ejes paralelos dos a dos: Iij = Ic ij + m(a2 δij − aiaj)
  31. 31. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 31/4431/44 Demostración: Basta sustituir la relación r = r − a en la definición Iij = r · r δij − xixj dm = r2 δij − xixj dm + m a2 δij − aiaj + 2a r dm = 0 +2aj xi dm = 0 +2ai xj dm = 0 Teorema de Steiner Considerando los elementos diagonales: Iii = Ic ii + m(a2 − a2 i ) siendo a2 − a2 i el cuadrado de la distancia entre los ejes Xi y Xi
  32. 32. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 32/4432/44 Elipsoide de inercia ij Iijxixj = 1 Ejes propios −→ i Iix2 i = 1 Propiedades a) El momento de inercia del sólido rígido respecto a un cierto eje es el inverso del módulo del vector de posición de la intersección de elipsoide con dicho eje. Demostración n = r r ⇒ In = ij niIijnj = ij Iij xi r xj r = 1 r2
  33. 33. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 33/4433/44 b) Si ω es paralela a r, entonces la normal al elip- soide de inercia en el punto de intersección con el eje de giro es paralela a L. Demostración Sea f(x1, x2, x3) ≡ ij Iijxixj. La ecuación del elip- soide de inercia es f(x1, x2, x3) = 1. Las componen- tes del vector normal al elipsoide son ∂f ∂xi = j Iijxj r ω ∝ j Iijωj = Li
  34. 34. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 34/4434/44 Ecuaciones del movimiento Movimiento plano L = 1 2 m ˙x2 c + ˙y2 c + 1 2 Ic ˙φ2 − U(xc, yc, φ)
  35. 35. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 35/4435/44 Ecuaciones del movimiento m¨xc + ∂U ∂xc = Qx m¨yc + ∂U ∂yc = Qy Ic ¨φ + ∂U ∂φ = Qφ ⇒ M = ˙L = Qφ − ∂U ∂φ Q → Fuerzas no conservativas Energía potencial gravitatoria Ug = gh(xc, yc, φ)dm = mg h(xc, yc, φ)dm dm = mghc
  36. 36. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 36/4436/44 Movimiento general F = dP dt M = dLc dt Lc = ˜Ic · ω Las ecuaciones del movimiento son igualmente válidas si el origen del sistema de referencia no inercial coincide con un punto fijo, pues se cumple que LO = ˜IO · ω.
  37. 37. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 37/4437/44 Ecuaciones de Euler Como ˙ωi = d∗ ωi/dt y L = i Iiωiei =⇒ M = d∗ L dt +ω×L = i Ii ˙ωiei + ω × L obtenemos: M1 = I1 ˙ω1 + (I3 − I2)ω2ω3 M2 = I2 ˙ω2 + (I1 − I3)ω1ω3 M3 = I3 ˙ω3 + (I2 − I1)ω1ω2 Casos útiles a) Si M = 0 las ecuaciones son integrables. b) Si conocemos ω podemos determinar M (reacciones, etc).
  38. 38. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 38/4438/44 Ejemplo Un sólido rígido no sometido a momentos externos cuyos tres momentos principales de inercia son distintos sólo puede girar con velocidad angular constante en torno a un eje principal de inercia. ˙ωi = 0 y Mi = 0 =⇒ ω1ω2 = ω1ω3 = ω2ω3 = 0 Por tanto, sólo una componente de ω puede ser no nula.
  39. 39. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 39/4439/44 Trompo simétrico sin momentos aplicados Por definición I1 = I2 ≡ A y I3 ≡ C. 0 = A ˙ω1 + (C − A)ω2ω3 0 = A ˙ω2 + (A − C)ω1ω3 0 = C ˙ω3 =⇒ ω3 = cte Sea la constante Ω ≡ C−A A ω3. Entonces ˙ω1 + Ωω2 = 0 ˙ω2 − Ωω1 = 0 =⇒ ω1(t) = ω⊥ cos(Ωt + δ) ω2(t) = ω⊥ sen(Ωt + δ) La proyección de ω sobre el plano XY describe un movimiento circular uniforme con velocidad angular Ω. Como ω2 1 + ω2 2 = ω2 ⊥ es constante, entonces ω = ω2 1 + ω2 2 + ω2 3 = cte.
  40. 40. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 40/4440/44 Momento angular: L3 = Cω3 y L⊥ = Aω⊥. Eje Z, L y ω coplanarios. Cono sólido descrito por ω en su rotación en torno a Z. El ángulo de semiabertura es tan α = ω⊥/ω3.
  41. 41. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 41/4441/44 Sistema de referencia inercial L = cte, por lo que el eje Z y ω se mueven rígidamente, rotando en torno al momento angular. Cono espacial descrito por ω en su rotación en torno a L. El ángulo de semiabertura es |α − β| con tan β = Aω⊥/(Cω3).
  42. 42. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 42/4442/44 Ángulos de Euler Rotación en el plano X1 − X2 Rφ =   cos φ sen φ 0 − sen φ cos φ 0 0 0 1   φ es el ángulo de precesión. Rotación en el plano X2 − X3 Rθ =   1 0 0 0 cos θ sen θ 0 − sen θ cos θ   θ recibe el nombre de ángulo de nutación.
  43. 43. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 43/4443/44 Rotación en el plano X1 − X2 RΨ =   cos Ψ sen Ψ 0 − sen Ψ cos Ψ 0 0 0 1   Ψ recibe el nombre de ángulo de espín. Cambio de ejes RΨRθRφ =   c φ c Ψ − s φ c θ s Ψ s φ c Ψ + c φ c θ s Ψ s θ s Ψ −c φ s Ψ − s φ c θ c Ψ −s φ s Ψ + c φ c θ c Ψ s θ c Ψ s φ s θ −c φ s θ c θ   donde s ≡ sen y c ≡ cos.
  44. 44. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 44/4444/44 Componentes de la velocidad angular ωφ = ˙φ (precesión) dirigida a lo largo de X3. ωθ = ˙θ (nutación) dirigida a lo largo de la línea de nodos. ωΨ = ˙Ψ (espín) dirigida a lo largo de X3. y en el sistema de referencia no inercial ω1 = ˙φ sen θ sen Ψ + ˙θ cos Ψ ω2 = ˙φ sen θ cos Ψ − ˙θ sen Ψ ω3 = ˙φ cos θ + ˙Ψ

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