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Tema 6
Ondas en sólidos elásticos y fluidos
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Ondas longitudinales en sólidos
Suponemos |∆ψ| |∆x|
F
S
= E
∆ψ
∆x
donde E e...
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En el límite ∆x → 0 tendremos que F = SE ∂ψ
∂x
. Por tanto, la fuerza
neta ...
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Ondas longitudinales en gases
El coeficiente de compresibilidad se define com...
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La fuerza neta que actúa sobre la porción de gas es
−(P + ψP + dψP )S + (P ...
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Nociones de acústica
Las frecuencias audibles están en el rango de 20 Hz a ...
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Potencia e intensidad:
P(x, t) = Z0
∂ψ
∂t
2
=
S
z0
ψ2
P I =
1
S
P(x, t)
Par...
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Vibraciones atómicas en sólidos
¨xn − ω2
−(yn + yn−1 − 2xn) = 0
¨yn − ω2
+(...
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2ω2
− − ω2
−ω2
− (1 + e−iκa
)
−ω2
+ (1 + eiκa
) 2ω2
+ − ω2 = 0
ω4
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+ ...
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Ondas electromagnéticas en la ionosfera
ω = ω2
p + c2κ2
ωp ∼ 120 MHz (fre...
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Ondas superficiales en agua
Canal de profundidad h y onda senoidal ψ(z, t)...
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ψy(y, z, t) = Ay(y) cos(ωt − κz)
ψz(y, z, t) = Az(y) sen(ωt − κz)
vy(y + ...
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Condición de viscosidad despreciable.
Si inicialmente el fluido está en re...
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Trayectorias
Relación de dispersión
Transformación de Galileo z = z − ωt/...
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Aplicamos el teorema de Bernoulli a un línea de corriente en la superficie...
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Aguas profundas
Cuando h λ tendremos que κh 1, es decir, tanh κh 1. Por t...
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Longitud de onda corta (κ κc). Dominan los efectos de tensión superfi-
cia...
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Ondas en membranas
Malla cuadrada. En cada nodo insertamos una masa m y s...
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Fij = Tx
zi+1,j − zij
l
−Tx
zij − zi−1,j
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Modos normales de una membrana rectangular
Si la tensión superficial es la...
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Lx = 1,05L Ly = 0,95L β ≡
ωnxny
L
πv
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Ondas en 2 y 3 dimensiones
La ecuación de ondas en un medio isótropo será...
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Frente de onda. Lugar geométrico de los puntos con la misma fase en el
mi...
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Ondas esféricas
En medios isótropos la perturbación dependerá sólo de la ...
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Solución de Kirchhoff
Gustav Robert KIRCHHOFF, 1824–1887
Consideremos una ...
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En la superficie S tenemos que n = −r, por lo que ∂/∂n = −∂/∂r:
S
χ
∂ϕ
∂n
...
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Introducimos la notación [ψ]t−r/v ≡ ψ(r, t − r/v) = χ(r) eiω(t−r/v)
, don...
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Principio de Huygens
Christiaan HUYGENS, 1629–1695
La propagación de una ...
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Ley de Snell (refracción)
Willebrod SNELL, 1580–1626
El tiempo que tarda ...
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Ley de la reflexión
Como BC/AD, los triángulos ACD y
ABC son iguales. Por ...
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Efecto Doppler
Christian DOPPLER, 1803–1853
Consideremos un foco de ondas...
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Como el observador se aleja con velocidad vo, el tiempo que mide entre la...
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Ondas no lineales
Las verdaderas leyes de la Naturaleza no pueden ser lin...
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Propuesta de Korteweg y de Vries (1895)
∂ψ
∂t
+ v0 1 +
3
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ψ
h
∂ψ
∂x
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Aproximación no lineal y no dispersiva
∂ψ
∂t
+ v0 1 +
3
2
ψ
h
”vefectiva”...
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Soluciones especiales de la ecuación KdV
Ondas cnoidales Onda solitaria
O...
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Colisión de ondas solitarias. Solitones
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Solitón (Zabusky y Kruskal, 1965)
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Experimento de Fermi-Pasta-Ulam (Los Alamos, 1955)
m¨xn = k [(xn+1 − xn) ...
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Solitones topológicos
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Ecuación sine-Gordon
L =
n
1
2
I ˙θ2
n −
1
2
β (θn+1 − θn)
2
−
1
2
mgL(1 ...
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Korteweg-de Vries
ut = 6uux − uxxx
sine-Gordon
utt = uxx − sen u
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  1. 1. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 1/421/42 Tema 6 Ondas en sólidos elásticos y fluidos
  2. 2. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 2/422/42 Ondas longitudinales en sólidos Suponemos |∆ψ| |∆x| F S = E ∆ψ ∆x donde E es el módulo de Young. Thomas YOUNG, 1773–1829
  3. 3. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 3/423/42 En el límite ∆x → 0 tendremos que F = SE ∂ψ ∂x . Por tanto, la fuerza neta que actúa sobre la porción es (F + dF) − F = SE ∂ψ ∂x x+dx − SE ∂ψ ∂x x SE ∂2 ψ ∂x2 dx y como debe ser igual a ρSdx ∂2 ψ ∂t2 obtenemos 1 v2 ∂2 ψ ∂t2 = ∂2 ψ ∂x2 v ≡ E ρ En acero ρ = 8 000 kg/m3 y E = 2 × 1011 N/m2 =⇒ v = 5 km/s.
  4. 4. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 4/424/42 Ondas longitudinales en gases El coeficiente de compresibilidad se define como κc ∼ − ∆V V 1 ∆P = − (∆x + ∆ψ)S − ∆x S ∆x S 1 ψP −→ ψP = − 1 κc ∂ψ ∂x
  5. 5. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 5/425/42 La fuerza neta que actúa sobre la porción de gas es −(P + ψP + dψP )S + (P + ψP )S 1 κc ∂2 ψ ∂x2 S dx y como debe ser igual a ρSdx ∂2 ψ ∂t2 obtenemos 1 v2 ∂2 ψ ∂t2 = ∂2 ψ ∂x2 v ≡ 1 ρκc Experimentalmente se determina que las compresiones son adiabáticas, por lo que v = γP/ρ. El orden de magnitud es la velocidad del sonido en el aire (0,35 km/s). Pinche sobre el icono para ver una animación:
  6. 6. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 6/426/42 Nociones de acústica Las frecuencias audibles están en el rango de 20 Hz a 20 kHz, lo que corres- ponde a longitudes de onda entre 15 m a 15 mm. La presión acústica es ψP = − 1 κc ∂ψ ∂x = 1 vκc ∂ψ ∂t = γP v ∂ψ ∂t y como la fuerza neta para producir esa variación de presión es ψP S, po- demos definir la impedancia característica Z0 = SγP/v. Se define la impe- dancia acústica como z0 = Z0 S = γP v = ρv que para el aire es z0 = 400 kg/m2 s1 .
  7. 7. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 7/427/42 Potencia e intensidad: P(x, t) = Z0 ∂ψ ∂t 2 = S z0 ψ2 P I = 1 S P(x, t) Para una onda monocromática I = 1 2 A2 P z0 Oídos sensibles detectan intensidades de I0 ≡ 1 pW/m2 y se produce dolor cuando la intensidad alcanza valores de 1 W/m2 . Las variaciones de presión para este caso son sólo de 3 × 10−4 atm. Sensación sonora: 10 log(I/I0) db.
  8. 8. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 8/428/42 Vibraciones atómicas en sólidos ¨xn − ω2 −(yn + yn−1 − 2xn) = 0 ¨yn − ω2 +(xn+1 + xn − 2yn) = 0 siendo ω2 − ≡ k/M y ω2 + ≡ k/m. xn = A exp[i(nκa − ωt)] yn = B exp[i(nκa − ωt)]
  9. 9. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 9/429/42 2ω2 − − ω2 −ω2 − (1 + e−iκa ) −ω2 + (1 + eiκa ) 2ω2 + − ω2 = 0 ω4 − 2 ω2 + + ω2 − ω2 + 2ω2 +ω2 − sen2 κa 2 = 0
  10. 10. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 10/4210/42 Ondas electromagnéticas en la ionosfera ω = ω2 p + c2κ2 ωp ∼ 120 MHz (frecuencia de plasma). v = c 1 + ωp cκ 2 vg = c 1 + ωp cκ 2
  11. 11. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 11/4211/42 Ondas superficiales en agua Canal de profundidad h y onda senoidal ψ(z, t) = A cos(ωt − κz). Esta magnitud representa el desplazamiento de un punto de la superficie en la vertical respecto al nivel del agua en reposo. La condición de incompresibilidad indica que las partículas fluidas del interior deben moverse en planos verticales, con un movimiento bidimensional.
  12. 12. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 12/4212/42 ψy(y, z, t) = Ay(y) cos(ωt − κz) ψz(y, z, t) = Az(y) sen(ωt − κz) vy(y + ψy, z + ψz, t) = ∂ψy ∂t vz(y + ψy, z + ψz, t) = ∂ψz ∂t Con la aproximación v(y + ψy, z + ψz, t) v(y, z, t) tendremos vy(y, z, t) = −ωAy(y) sen(ωt − κz) vz(y, z, t) = ωAz(y) cos(ωt − κz) Condición de incompresibilidad. ∂vy ∂y + ∂vz ∂z = 0 =⇒ Ay − κAz(y) = 0
  13. 13. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 13/4213/42 Condición de viscosidad despreciable. Si inicialmente el fluido está en reposo, la vorticidad es nula. Enconces, el teorema de Kelvin nos asegura que A(t) ω·d A = 0, de donde C(t) u·d = 0, es decir, × u = 0. ∂vy ∂z − ∂vz ∂y = 0 =⇒ Az − κAy(y) = 0 Condiciones de contorno. Ay(0) = A Ay(−h) = 0 =⇒    Ay(y) = A senh[κ(y + h)] senh κh Az(y) = A cosh[κ(y + h)] senh κh
  14. 14. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 14/4214/42 Trayectorias Relación de dispersión Transformación de Galileo z = z − ωt/κ. vy(y, z ) = ωAy(y) sen κz vz(y, z ) = ωAz(y) cos κz − ω κ
  15. 15. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 15/4215/42 Aplicamos el teorema de Bernoulli a un línea de corriente en la superficie, por lo que P + (1/2)ρv2 + ρgψ = cte. P(z ) = Patm − σ ∂2 ψ ∂z 2 = Patm + σκ2 A cos κz Además v2 = v2 y(0, z ) + v2 z(0, z ) y ρgψ = ρgA cos κz . Por tanto, σκ2 + ρgA − ρω2 A κ coth κh cos κz + Patm + 1 2 ρ ω2 κ2 = cte ω = gκ + σκ3 ρ tanh κh
  16. 16. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 16/4216/42 Aguas profundas Cuando h λ tendremos que κh 1, es decir, tanh κh 1. Por tanto, ω = gκ + (σ/ρ)κ3 , de donde v = g κ + σ ρ κ vg = g κ + 3 σ ρ κ 2 g κ + σ ρ κ Coinciden cuando κ ≡ κc = ρg/σ (en agua λc = 2π/κc = 17 mm). Longitud de onda larga (κ κc). Entonces ω √ gκ y dominan los efectos de gravedad. v = g κ vg = 1 2 g κ < v
  17. 17. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 17/4217/42 Longitud de onda corta (κ κc). Dominan los efectos de tensión superfi- cial. Llegamos a que v = σ ρ κ vg = 3 2 σ ρ κ > v Rizado. Dispersión anómala. Aguas superficiales Cuando h λ tendremos que κh 1, es decir, tanh κh κh. Ade- más, como λ debe ser grande, podemos despreciar los efectos de tensión superficial, por lo que ω κ √ gh. El medio es no dispersivo: v = vg = gh
  18. 18. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 18/4218/42 Ondas en membranas Malla cuadrada. En cada nodo insertamos una masa m y sometemos cada cuerda a una tensión Tx ó Ty en equilibrio.
  19. 19. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 19/4219/42 Fij = Tx zi+1,j − zij l −Tx zij − zi−1,j l +Ty zi,j+1 − zij l −Ty zij − zi,j−1 l = m¨zij l → 0 y m → 0 pero ρs ≡ m/l2 =cte. σx ≡ Tx/l y σy ≡ Ty/l también constantes. zi,j(t) → ψ(x, y, t) ρs ∂2 ψ ∂t2 = σx l´ım l→0 ψ(x + l, y, t) + ψ(x − l, y, t) − 2ψ(x, y, t) l2 + σy l´ım l→0 ψ(x, y + l, t) + ψ(x, y − l, t) − 2ψ(x, y, t) l2 Definiendo vx ≡ σx/ρs y vy ≡ σy/ρs ∂2 ψ ∂t2 = v2 x ∂2 ψ ∂x2 + v2 y ∂2 ψ ∂y2
  20. 20. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 20/4220/42 Modos normales de una membrana rectangular Si la tensión superficial es la misma en cada dirección, empleando las con- diciones de contorno ψ(0, y, t) = ψ(Lx, y, t) = ψ(x, 0, t) = ψ(x, Ly, t) = 0 los modos normales son ψ(x, y, t) = A sen nxπx Lx sen nyπy Ly cos(ωnxny t+δ) nx, ny = 1, 2, . . . ωnxny = v nxπ Lx 2 + nyπ Ly 2 Pinche sobre los iconos para descargar una animación en formato AVI y el código en C utilizado para generarla
  21. 21. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 21/4221/42 Lx = 1,05L Ly = 0,95L β ≡ ωnxny L πv
  22. 22. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 22/4222/42 Ondas en 2 y 3 dimensiones La ecuación de ondas en un medio isótropo será 1 v2 ∂2 ψ ∂t2 = 2 ψ que admite soluciones en forma de onda viajera. En particular, ondas sinu- soidales o planas: ψ(r, t) = ψ0 sen(κ · r − ωt) o también ψ(r, t) = ψ0ei(κ·r−ωt) Relación de dispersión ω = |κ|v. κ es el vector de onda.
  23. 23. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 23/4223/42 Frente de onda. Lugar geométrico de los puntos con la misma fase en el mismo instante de tiempo: ϕ(r, t0) = κ·r −ωt0 = cte (plano). κ es normal a los frentes de onda y determina la dirección de propagación. El período espacial de la onda plana en la dirección de propagación es λ = 2π/|κ|. Para comprobarlo basta considerar dos frentes de onda consecutivos, cuyas fases se diferencian en 2π. Las ecuaciones de ambos planos son κ · r = C y κ · r = C +2π, siendo C una constante. Restan- do ambas ecuaciones κ · (r − r) = 2π. La distancia d entre ambos planos es el módulo de los vectores r − r que son paralelos a κ. Por tanto |κ|d = 2π =⇒ d = 2π/|κ| = λ. El período temporal es T = 2π/ω.
  24. 24. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 24/4224/42 Ondas esféricas En medios isótropos la perturbación dependerá sólo de la distancia a un cierto foco: 1 v2 ∂2 ψ ∂t2 = 1 r2 ∂ ∂r r2 ∂ψ ∂r ψ(r, t) = A r sen(κr − ωt) Los frentes de onda son ahora el lugar geométrico de los puntos que satis- facen la condición r = cte (superficie esférica). Por eso, la solución anterior es llamada onda esférica.
  25. 25. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 25/4225/42 Solución de Kirchhoff Gustav Robert KIRCHHOFF, 1824–1887 Consideremos una onda que satisface la ecuación de ondas en un me- dio isótropo. Cada componente espectral χ(r) de la onda [ψ(r, t) = χ(r) exp(iωt)] verifica la ecuación de Helmholtz ( 2 + κ2 ) χ = 0. Sea ϕ = (1/r) exp(−iκr) y apliquemos el teore- ma de Green [A21], utilizando el volumen ence- rrado entre las superficies S y S (ϕ es regular en todo el volumen considerado). Como χ 2 ϕ − ϕ 2 χ = −ϕ 2 + κ2 χ = 0 obtenemos: S χ ∂ϕ ∂n − ϕ ∂χ ∂n dA + S χ ∂ϕ ∂n − ϕ ∂χ ∂n dA = 0 .
  26. 26. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 26/4226/42 En la superficie S tenemos que n = −r, por lo que ∂/∂n = −∂/∂r: S χ ∂ϕ ∂n − ϕ ∂χ ∂n dA = S −χ ∂ ∂r 1 r e−iκr + 1 r e−iκr ∂χ ∂r dA Si χ no es singular en torno a P, entonces sólo un término no se anula cuando el radio de S tiende a cero, aquel que proviene de la derivada de 1/r. Utilizando dA = r2 dΩ, obtenemos en dicho límite S χ ∂ϕ ∂n − ϕ ∂χ ∂n dA = S χ 1 r2 e−iκr r2 dΩ = 4πχP =⇒ 4πχP = S 1 r ∂χ ∂n − χ ∂ ∂n 1 r + iκχ 1 r ∂r ∂n e−iκr dA =⇒ ψP = 1 4π S 1 r ∂ ∂n − ∂ ∂n 1 r + iκ 1 r ∂r ∂n χ(r) eiω(t−r/v) ψ(r,t−r/v) dA
  27. 27. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 27/4227/42 Introducimos la notación [ψ]t−r/v ≡ ψ(r, t − r/v) = χ(r) eiω(t−r/v) , donde t − r/v recibe el nombre de tiempo de retardo. Entonces ψP = 1 4π S X dA X ≡ 1 r ∂ψ ∂n t−r/v − ∂ ∂n 1 r [ψ]t−r/v + 1 vr ∂r ∂n ∂ψ ∂t t−r/v El resultado es general para cualquier onda, incluso no armónica (véase M. Born y E. Wolf, Principles of Optics).
  28. 28. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 28/4228/42 Principio de Huygens Christiaan HUYGENS, 1629–1695 La propagación de una onda luminosa puede determinarse suponiendo que, en cada instante, en cada punto del frente de onda surge un nuevo frente de onda esférico centrado en dicho punto; el nuevo frente de onda es la envolvente de todas estas ondas esféricas.
  29. 29. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 29/4229/42 Ley de Snell (refracción) Willebrod SNELL, 1580–1626 El tiempo que tarda la onda en llegar de B a C es t0 = BC/v1. La onda que se propaga en el medio 2 recorre una distancia AD = v2t0. De la figura resulta sen θ1 = BC/AC y sen θ2 = AD/AC. sen θ1 sen θ2 = v1 v2
  30. 30. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 30/4230/42 Ley de la reflexión Como BC/AD, los triángulos ACD y ABC son iguales. Por tanto, θ1 = θ2
  31. 31. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 31/4231/42 Efecto Doppler Christian DOPPLER, 1803–1853 Consideremos un foco de ondas esféricas de frecuencia νF , que se mueve con ve- locidad vF . Las ondas son detectadas por un observador que se mueve con veloci- dad vO en la misma dirección. El aire está en reposo y las ondas se propagan con velocidad v. Admitiremos que v > vF . La separación entre dos frentes con la misma fase en la región frontal es vTF − vF TF , ya que los frentes se emitieron en puntos que distan vF TF entre sí. Por ello, la longitud de onda en la región frontal es λ = (v − vF )TF .
  32. 32. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 32/4232/42 Como el observador se aleja con velocidad vo, el tiempo que mide entre la llegada de dos frentes consecutivos, To, es mayor que si estuviera en reposo respecto al aire. Consideremos la llegada del frente A a la posición del observador en el ins- tante t y la llegada del frente B a la posición en el instante t + To. Ve- mos que vTo = λ + voTo, de donde λ = (v − vo)To. νo = νF v − vo v − vF Ejemplo. νantes νdespues = νF v − vo v − vF νF v − vo v + vF = v + vF v − vF > 1
  33. 33. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 33/4233/42 Ondas no lineales Las verdaderas leyes de la Naturaleza no pueden ser lineales (A. Einstein) Observación de Scott Russell (Edimburgo, 1834)
  34. 34. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 34/4234/42 Propuesta de Korteweg y de Vries (1895) ∂ψ ∂t + v0 1 + 3 2 ψ h ∂ψ ∂x + 1 6 v0h2 ∂3 ψ ∂x3 = 0 v0 = gh Aproximación lineal dispersiva ∂ψ ∂t + v0 ∂ψ ∂x + 1 6 v0h2 ∂3 ψ ∂x3 = 0 =⇒ ω = v0κ 1 − 1 6 h2 κ2
  35. 35. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 35/4235/42 Aproximación no lineal y no dispersiva ∂ψ ∂t + v0 1 + 3 2 ψ h ”vefectiva” ∂ψ ∂x = 0 Balance entre la no linealidad y la dis- persión en la ecuación KdV
  36. 36. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 36/4236/42 Soluciones especiales de la ecuación KdV Ondas cnoidales Onda solitaria Onda solitaria ψ(x, t) = ψ0 sech 2 x − vt v = v0 1 + ψ0 2h = 4h2 3ψ0 Las ondas solitarias de mayor amplitud son más estrechas y viajan con mayor velocidad. Para visualizar una animación pinche sobre la imagen:
  37. 37. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 37/4237/42 Colisión de ondas solitarias. Solitones
  38. 38. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 38/4238/42 Solitón (Zabusky y Kruskal, 1965)
  39. 39. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 39/4239/42 Experimento de Fermi-Pasta-Ulam (Los Alamos, 1955) m¨xn = k [(xn+1 − xn) − (xn − xn−1)] + α (xn+1 − xn)2 − (xn − xn−1)2 La energía no se reparte gradualmente entre los diversos modos de vibración. Experimento de Zabusky y Kruskal (1965)
  40. 40. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 40/4240/42 Solitones topológicos
  41. 41. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 41/4241/42 Ecuación sine-Gordon L = n 1 2 I ˙θ2 n − 1 2 β (θn+1 − θn) 2 − 1 2 mgL(1 − cos θn) ¨θn − v2 0 a2 (θn+1 + θn−1 − 2θn) + ω2 0 sen θn = 0 , v2 0 = βa2 I , ω2 0 = mgL 2I Límite continuo: a → 0 [A23] ∂2 θ ∂t2 − v2 0 ∂2 θ ∂x2 + ω2 0 sen θ = 0 Solución kink: θ(x − vt) = 4 arctan exp ± ω0 v0 x − vt 1 − v2/v2 0
  42. 42. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 42/4242/42 Korteweg-de Vries ut = 6uux − uxxx sine-Gordon utt = uxx − sen u Schrödinger no lineal iut = −uxx ± |u|2 u

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