Niveles de Van-Hiele

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Diseño didáctico para trabajar los niveles de Van-Hiele con alumnos de 4º de Educación Primaria

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Niveles de Van-Hiele

  1. 1. TRABAJO ESPECÍFICO: LOS NIVELES DE VAN- HIELE Rafael López Azuaga 2º de Psicopedagogía semipresencial Comenzaré este apartado con una introducción sobre esta teoría y seguidamente aplicaré uno de los puntos del trabajo común. Me he decantado por analizar el tema de los polígonos de un libro de texto de 4º de Educación Primaria, su secuencia, y reflexionar sobre cómo la enfocaría a raiz de esta teoría, incluyendo las situaciones fundamentales que plantearía. En esta dirección se encuentra una presentación en Google Docs que recoge todo esto, a la espera de actualizarse tras revisión del profesor: http://docs.google.com/present/view?id=dgspgsbx_134898sffn >Introducción: ¿En qué consiste la teoría de los niveles de Van-Hiele? Se trata de un modelo evolutivo del pensamiento, enfocado hacia la geometría, es decir, no es aplicable para todas las ramas de las matemáticas. Es un modelo que permite enfrentarse a un nuevo tema paso por paso, yendo de menos a más, de manera que se aprenda lo más simple al comienzo y, en el siguiente paso, se aplique lo más simple a un aspecto más complejo que tenga relación con el anterior punto. Podemos decir que se trata de una secuencia de aprendizaje que va de menos a más, relacionando todo lo anterior con lo nuevo, para que así los alumnos se vayan formando un esquema sobre la temática en donde relacionen todos los puntos, dando lugar a que pueda provocarse un aprendizaje significativo. Si empezamos a darle todo, sin darle un orden secuencial, y sin darles oportunidad a que establezcan relaciones y lo entiendan, se producirá un aprendizaje memorístico, el cual sólo les servirá, si es posible (puede que no), para aprobar un examen y luego, a los dos días, olvidárseles completamente. A continuación, paso a enunciar las fases que sigue este modelo, de manera detallada y con ejemplos prácticos: 1. Fase de visualización: Lo primero que tenemos que hacer es visualizar las formas geométricas, que se queden con una imagen mental de lo que representan y les den una etiqueta verbal, pudiéndolas representar en un material de soporte plástico sin problemas. Por ejemplo, les estamos enseñando los cuadriláteros a los niños, pues consiste en que visualicen la forma que tiene un cuadrado, un rectánculo, un rombo y un romboide, denominándolos por su nombre y dibujándolos, sin entrar en sus propiedades, solamente
  2. 2. reconociéndolas como un todo, por su apariencia física. Como mucho, podemos proponerles a que piensen si dentro de un rectángulo hay cuadrados. 2. Fase de análisis: Aquí van apareciendo las características de las figuras y empiezan a hacer clasificaciones entre ellas, estableciendo relaciones entre sus propiedades. Ya aquí las figuras no son vistas como un todo como en el caso anterior, sino como un conjunto de partes. Por ejemplo, en relación con el anterior ejemplo, podemos pedirles a los niños que coloreen los lados que son iguales con un color determinado según su longitud, y los ángulos que sean iguales con un color determinado según su grado de amplitud. Podrían sacar conclusiones, como decir que los los rectángulos tienen lados iguales dos a dos, es decir, tienen los lados paralelos, y como un cuadrado tiene todos sus lados iguales, pues también pueden decir que tienen sus lados paralelos. 3. Fase de deducción informal: Aquí ya avanzamos un paso más, y se trata de relacionar las propiedades de las figuras, las que hemos marcado en el paso anterior, y dar una definición, sacar una teoría matemática a modo informal, establecer clases, y este tipo de relaciones, si se las demostramos, son capaces de verlas, pero no tienen el nivel necesario como para construirlas, no han llegado a ese nivel de profundización de las propiedades entre las características. Por ejemplo, siguiendo con el ejemplo anterior, establecer relaciones entre los lados y los ángulos de los cuadriláteros. Para que se forme un rectángulo, tenemos que tener a la fuerza los cuatro ángulos rectos, porque sino, la figura nos saldría más tumbada, con un vértice dirigido hacia otro lado, quedándonos un romboide, y así establecer diferencias entre el rectángulo y el romboide y entiendiendo por qué tienen una etiqueta verbal diferente. 4. Fase de deducción formal: Aquí el alumno va más allá, estableciéndo relaciones entre propiedades en el sentido de que una propiedad puede llevar a otra, estableciendo teoremas, axiomas, razonar dentro de un sistema, construir demostraciones, ...Es una fase que prácticamente se consigue en niveles superiores, yo al menos lo marco dentro de la enseñanza secundaria, al menos en el segundo ciclo. 5. Fase de rigor: Aquí el alumno ya razona en abstracto, dentro de lo espacial, y no está al alcance de la escolaridad obligatoria. Es algo propio que realiza aquel que estudie, a nivel universitario, algo relacionado con las matemáticas, pudiendo trabajar con varios sistemas axiomáticos. Como podemos ver, es un proceso secuencial, por el cual tenemos que pasar por cada uno de los niveles y en este orden para poder entender el tema, y es la experiencia y la práctica la que nos permite pasar de un nivel a otro. >Actividad: Análisis de la secuencia del libro de texto. Como ya he dicho en la introducción, a continuación voy a escribir la secuencia que sigue el libro de texto que poseo de 4º de Educación Primaria, concretamente el tema de los polígonos: 1. Análisis de los elementos de los polígonos. Distinción entre lo que es un polígono y lo que no es un polígono. Actividades para dibujar polígonos y representar sus elementos, contando cuántos posee de cada uno de ellos.
  3. 3. 2. Estudio de los ejes de simetría de algunos polígonos, tomando objetos cotidianos como ejemplo y ver que algunos pueden tener más, otros menos y algunos ningún eje de simetría. Actividades en donde tienen que representar los ejes de simetría y contarlos. 3. Descomposición de los polígonos en triángulos. Descomponer en trozos elementos cotidianos, concretamente en triángulos, y ver diferentes posibilidades de dividir un polígono en triángulos. Actividades de descomposición de polígonos en triángulos, sea en el propio libro o dibujándolos en hojas cuadriculadas (por ejemplo, en los cuadernos). 4. Cálculo del perímetro de un polígono. Realización de actividades en donde tienen que calcular el perímetro de una serie de polígonos o de elementos cotidianos con forma de polígonos. 5. Clasificación de los triángulos, según sus lados y según sus lados. Actividades en donde tienen que representar triángulos, calcular lados sabiendo los ángulos, distinguir tipos de triángulos sacados tras descomponer un polígono en triángulos, ... 6. Clasificación de los cuadriláteros, según sus lados sean o no paralelos. Actividades de representación de cualidráteros, anáisis y divisi´n en triángulos. 7. Ejercicios de repaso en donde aparecen mezclados todos los conceptos vistos a lo largo del tema, relacionando algunos conceptos (por ejemplo, relación entre cuadrado y rombo). Antes que nada, cabe señalar que en este análisis no vamos a incluir todas las fases. Son solamente niños de 4º de Educación Primaria, no han alcanzado la profundización necesaria como para alcanzar los dos últimos niveles, así que nos centraremos en los tres primeros: visualización, análisis y deducción informal. En relación con los niveles de Van-Hiele, cumple al principio el nivel de visualización en el sentido de que se les va presentando diferentes formas, máscaras con forma de polígonos junto con otras que no son polígonos, y van estableciendo diferencias en cuanto a forma física, poniéndolas la etiqueta de verbal de “polígono” y “no polígono”, respectivamente. Una vez que las formas ya se han aprendido y ya saben reconocerlas, el libro pasa a explicar las características de estos polígonos y a establecer relaciones entre ellas. Aún no establece clases, pero va profundizando en las características de los polígonos. Van pasando a la fase de análisis de los polígonos poco a poco, pero aún no establecen relaciones entre figuras (comparaciones de ángulos iguales, de lados iguales, etc). Aún no han llegado a ese nivel. En relación con éstas, partiendo de lo que ya sabe, pasan a comentar los ejes de simetría. Comienzan con la visualización, partiendo de objetos similares a los ya analizados, y se les pide que los doblen de manera que coincidan todas las puntas (vértices). Van visualizando el efecto que se produce y luego lo aplican a las figuras vistas, las analizan y sacan conclusiones sobre los ejes de simetría de las figuras, cómo deben de ser para tenerlos, ...Van analizando, pero no sacan teorías formales sobre la simetría. Se queda en la comprensión de lo que es la simetría, aún siguen sin hacer clasificaciones. Pueden representar ellos mismos los ejes de simetría, pero no han llegado a una teoría sobre ella, así que, pueden verla si se las demostramos, pero no saben construirla aún por sí solos. El siguiente paso, como ya han analizado características, diferentes formas de polígonos y han tomado una iniciación a la descomposición de los polígonos, comienzan a trabajar la descomposición de polígonos en triángulos. Antes dividían las figuras por ejes de simetría y ahora utilizan la técnica para crear triángulos. De todas formas, no veo que se relacione con todo lo anterior, queda como un concepto casi “anecdótico” que surge de casualidad, casi metido con calzador. Lo mismo con la simetría. Van avanzando en conceptos, pero apenas se relacionan los unos con otros, con lo que la secuencia queda un poco plana. Eso sí, primero, en cada apartado,
  4. 4. parten de la visualización de las formas y luego del análisis de los conceptos y puesta en práctica, llegando al final a una pequeña teoría, pero sin profundizar, muy informal (por ejemplo: “si doblamos la figura y coincidimos las partes, quiere decir que son simétricas”, pero no aclara el por qué de este concepto, su finalidad y su definición formal de manera que relacione las características antes aprendidas en relación con el desarrollo de dichos ejes de simetría. No digo lo mismo del perímetro. Aquí parten de la visualización de los lados. Han visualizado las figuras, etiquetado sus formas, y luego las analizaron y sacaron sus características, entre ellas el concepto de lado y su importancia para formar diferentes polígonos. Luego, se utiliza un referente real para aplicarlo a la suma de los lados, de manera que se necesita un cordón lo suficiente largo como para cubrir todos los lados de dicho polígono, pero directamente se les introduce el concepto, sin dejarles que ellos lo descubran, vean que en la sociedad se aplica ese sistema, sobretodo en construcción, y entiendan su relación. La deducción informal no se cumple, se lo dan todo hecho y se forman su teoría. En relación con las clasificaciones de figuras, se comienza con una actividad en donde tienen que visualizar las formas. Aquí comienza bien, ven que hay diferentes triángulos, que no tienen todos la misma estructura como la que nos enseñaron durante la etapa de Educación Infantil. El problema es que directamente del etiquetaje verbal se pasa a la deducción informal. No les dejan a los niños analizar los diferentes tipos de triángulos, sino que directamente se les dan sus características para que las memoricen y las clasificaciones ya hechas con las relaciones entre ángulos y lados. Si se les dejase analizar las características que han aprendido en los puntos anteriores, las señalasen y luego les dejamos que expliquen su relación y las clasifiquen y justifiquen dicha clasificación, les ayudaría a comprender mejor los tipos de triángulos, porque ellos mismos lo han descubierto y de manera secuencial. De la manera en que lo ha ofrecido, solamente se las aprenderán de memoria, sin llegar a establecer relaciones, teorías sólidas para ellos, y terminan olvidándoseles todo o confundiendo triángulos con otros. Y de los cuadriláteros digo exactamente lo mismo que con los triángulos. Mi propuesta para organizar este tema de manera que cumpla los niveles de Van-Hiele, al menos desde mi punto de vista, y pudiendo ser modificada, es la siguiente: 1. Una fase de visualización, en donde vean diferentes tipos de polígonos y vean sus formas, y si establecen diferencias, que sean a raíz de su forma física, y con un lenguaje espontáneo. Podemos plantearles una situación fundamental en donde los niños recorren el centro educativo y van recogiendo diferentes tipos de polígonos, de objetos con forma de polígonos (al menos las caras, sino estaríamos entrando en los poliedros, y ese es otro tema) y luego los compartan con sus compañeros, expliquen por qué es un polígono, describan su forma (así poco a poco van descubriendo los conceptos de lado, vértice, etc) y discutan los compañeros si se trata de un polígono o no, y el docente en todo momento es guía y moderador del debate. Aquí pueden recoger diferentes tipos de cuadriláteros y de triángulos, y sino, el docente puede aportar una serie de objetos, simulando que él también ha participado en la actividad como uno más, y enseñarlos y explicarlos. 2. Una fase de análisis, en donde se comiencen a analizar las figuras, señalasen las características estudiadas en cada uno de ellos y las comparasen, viesen qué tenían en común y de diferente cada una de ellas, clasificasen las figuras de alguna manera (por
  5. 5. ejemplo, según número de lados, estableciendo una etiqueta para ellas, habiendo antes ya diferenciado entre un triángulo y un cuadrado, que son las figuras planas más básicas que han visto a lo largo de su escolaridad y experiencia) y, dentro de las clasificaciones, diferencias los tipos de cuadriláteros y vistos y que ellos mismos establezcan las relaciones. Luego, una vez que ya tengan zanjadas las diagonales y su relación con la figura, están listos para ir mas allá y pedirles que dividan las figuras en partes iguales y, mediante ensayo y error, llegar a establecer los ejes de simetría, y lo mismo con la descomposición de las figuras en triángulos, planteándoles que tienen que descomponer las figuras en un mismo tipo de polígono, probando a ver cuál se adecúa, visualizando primero las figuras y experimentando con ellas, y con la finalidad de que para poder acceder a una cierta sala, tienen que ser de un mismo tipo de figura, y no puede haber más variedad, así que si descomponemos las figuras en dicho tipo de figura, podemos pasar y luego ya las volvemos a componer. Es una manera de contextualizar la actividad para que sea más divertida. Hallaran ellos sólos que se trata de los triángulos, ya que es la única forma de descomponer un polígono en varios polígonos del mismo tipo. Una situación similar podemos plantear para trabajar el perímetro, en donde tengamos que repartir una serie de objetos en una habitación, de manera que cubran todas las paredes de la habitación, de manera que ni sobre ni falte, y que luego se les ocurra una manera de medir la longitud cubrida mediante la suma de todos los lados. Son situaciones en donde los alumnos trabajan sólos y luego exponen sus resultados a sus compañeros, debatiéndolos, y fomentando el razonamiento y el aprendizaje por descubrimiento, aparte de que parten de sus concepciones. 3. En una fase de deducción informal, vamos entre todos sacando conclusiones sobre todo lo que hemos trabajado y anotando en la pizarra los conceptos y sus relaciones, incluyendo las clasificaciones realizadas y sus relaciones entre ellas (por ejemplo, clasificaciones según número de lados, ángulos, etc). Es una manera de hacer una puesta en común de todo el proceso que hemos llevado a cabo, el punto final de lo que hemos trabajado, pero que en un futuro puede volver a retomarse. Como ya he comentado, los dos últimos niveles requieren un nivel de pensamiento lógico- matemático demasiado elevado para unos alumnos de Educación Primaria. SEGUNDA PARTE DEL TRABAJO (PARTE DEL BLOQUE II) Este apartado del trabajo corresponde al trabajo específico que realicé, concretamente los niveles de Van-Hiele. En el anterior trabajo, realicé una introducción sobre en qué consistían los niveles de Van-Hiele y apliqué algunos apartados que apliqué en el trabajo común que hicimos en su día, incluyendo una remodelación del tema que analicé de geometría para aplicar los niveles de Van- Hiele estudios, y que se siguieran secuencialmente. Iré realizando las nuevas actividades que se me han enviado: ¿QUÉ ENFOQUE PRESENTA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DEL TEMA ANALIZADO? A modo recordatorio, debo señalar que el tema trabajaba los polígonos, en un libro de texto de 4º de Educación Primaria, según la resolución de problemas, presenta el enfoque de “enseñanza para la resolución de problemas” ya que, tras enseñar los conocimientos matemáticos (elementos de
  6. 6. un polígono, la simetría, la triangulación de polígonos, el perímetro, etc), se realizan ejercicios para fomentar ese aprendizaje y que sepan utilizarlo, gracias a la aplicación en casos reales, con ejercicios de dibujar y señalar partes, de realizar medidas, de clasificar, de reconocimiento, etc, y no se ve en ningún momento un fomento de la heurística de Polya, porque son ejercicios diferentes, no sirve aplicar el esquema para resolver problemas, sino haber entendido las teorías matemáticas y saber utilizarlas. Si no sabes qué es el perímetro, pues poco vas a hacer, por mucho que sepas la dinámica de resolver problemas y manejar las cuatro operaciones aritméticas básicas. ALTERNATIVAS AL PLANTEAMIENTO DEL LIBRO DE TEXTO En el anterior trabajo ya realicé un adelanto de esto, pero aquí voy a realizar algunas pinceladas. Voy a profundizar más en el tipo de material a utilizar y concretar las tareas a realizar. Vamos a realizar una dinámica grupal, en donde se realice un enfoque constructivista, que parta de las concepciones y que pueda ayudar a adaptarse al ritmo del alumnado. Como ya comenté en el anterior trabajo, solamente nos centraremos en los tres primeros niveles, ya que los dos últimos pertenecían a un nivel de abstracción al que los niños de 4º de Educación Primaria, el grupo con el que estamos trabajando, no pueden llegar. Vamos a clarificar estas alternativas, divididas por cada fase para evitar confusiones, pero antes que nada, convendría realizar una exploración de concepciones. Para ello, el docente lanzará una serie de preguntas para debatir entre todos: - ¿Qué es una figura? ¿A qué nos estamos refiriendo cuando decimos que algo presenta una forma determinada? ¿Qué características podemos tener en cuenta para discriminar entre una figura u otra? - ¿Algunos recordáis algunas características? ¿podríais explicarlo a vuestros compañeros, a modo de aprendizaje? A continuación, tras haber hablado y activado las concepciones, el docente pasará a sus alumnos un cuestionario, en el cual tendrán que discriminar entre figuras geométricas, reconocerlas en el entorno, ...Y luego, en las posteriores actividades, cada uno tendrá una misión partiendo de dichas concepciones, y luego ya poco a poco, gracias al trabajo grupal, irá avanzando. 1-Fase de visualización: En una primera fase de visualización, pienso que es mejor que los alumnos analicen la realidad con la que se encuentran. Necesitamos un punto de partida y, ¿qué mejor punto de partida que analizando su propio entorno y sacando de allí los polígonos, las figuras geométricas representadas en los objetos cotidianos? Lo ideal sería salir a la calle, pero como puede que los padres nos pongan pegas por temor a que sus hijos se pierdan (aunque tengan un plano callejero) o que simplemente les pase algo, pues nos quedamos dentro del centro educativo. Les pedimos
  7. 7. que, en un cuaderno, recojan objetos con diferentes formas, diferentes figuras planas que aparezcan en ellos, y luego tienen que exponerlos. Para evitar que todos se dirijan al mismo sitio, programaremos a cada alumno una ruta diferente (tú te vas al gimnasio, tú te vas a la sala de profesores, tú te quedas en la clase, tú te vas al patio, tú te vas a los aseos, etc). Tienen que decir de dónde lo han sacado, cómo es la figura y si conocen el nombre. Aquí pueden recogerse diferentes tipos de cuadriláteros y de triángulos, y sino, el docente puede aportar una serie de objetos, simulando que él también ha participado en la actividad como uno más, y enseñarlos y explicarlos. A cada uno puede que se le pida algo diferente, según las concepciones que presentaron, por ejemplo, una tarea más simple o más compleja, en relación con la búsqueda de figuras o incluso de ciertas partes determinadas. Por ejemplo, si tienen un nivel avanzado en cuanto a las partes de la figura, como actividad complementaria, podemos pedirles que calculan los ángulos de los caminos que se forman en el centro educativo o que presenten diversos objetos, explicando cómo son y realizando estimaciones sobre su medida. Lo mismo con cada característica (vértices, lados, etc). Pero solamente nos dedicamos a nombrar y a etiquetar para que por su forma física reconozcan todo, aún no nos vamos a parar para analizar. Como actividad final de esta fases, podemos ir nombrando cada figura que ha salido, incluyendo las propuestas por el docente, e incluso entender un poco de dónde viene cada uno (por ejemplo, triángulos, pues “tri-“ es de “trío”, es decir, “tres”; “cuadrado”, pues “cua-“ de “cuatro”, es decir, cuatro lados; etc). Evidentemente, cada figura tiene otras características para diferenciarlas, pero centrémonos en lo básico, como ya hemos dicho. Luego haremos un esquema en la pizarra con todas ellas, las fundamentales, para que los alumnos las anoten en sus cuadernos. 2 y 3-Fase de análisis y de deducción informal: Son dos fases distintas pero, ¿por qué las he juntado? Porque prácticamente estamos analizando y realizando deducciones formales, es decir, actividades individuales y cooperativas que conllevan una serie de análisis, con una posterior puesta en común, debate y luego llegando a una conclusión, paso por paso, relacionando todas las características. La deducción formal prácticamente es dejar que los alumnos expongan sus descubrimientos, los alumnos opinen sobre él, comenten otras formas de desarrollarlos y el docente aporte orientaciones o incluso informaciones al final de todo el proceso, una vez que esas concepciones estén evolucionadas, que se vea que ha habido un razonamiento por su parte. Vamos a partir de lo que hicimos en la fase anterior. Esta actividad tendrá una parte individual, una parte en pequeño grupo y una parte en gran grupo. La parte individual consiste en analizar las figuras, señalando las características estudiadas y partiendo de lo que estuvimos analizando y sacando como conclusión en la fase anterior. Les pediremos que intenten hacer comparaciones, las que puedan, y que establezcan diferencias entre ellas. Luego se forman pequeños grupos de hasta cuatro miembros, y tienen que enseñar sus figuras a los demás y establecer comparaciones. Para ir dando pistas de lo que nos interesa analizar, les decimos “decidme cuánto está abierto desde este lado hasta este otro lado (ángulo)”, “decidme cuántas puntitas o esquinas tiene (vértice)”, etc. Es decir, en cierta medida, parto un poco de lo que dijo Schoenfeld de expresar los problemas con otras palabras, acercándonos a las concepciones que tienen, un vocabulario aceptado para empezar. Ya luego, cuando se vaya avanzando, podemos ir estableciéndo terminología y saber nombrar cada una de estas características. Entre todos, lo realizarán con
  8. 8. cada figura y luego saldrá un portavoz de cada grupo a exponer los resultados, y el resto tendrá que analizar la validez de su análisis, ver si ha cometido despistes o si no ha entendido la meta de la actividad, etc, y el docente les orientará. Tras este momento en el que tenemos nuestras concepciones más evolucionadas, llega el momento de darles un nombre. Primero dejaremos a los compañeros que hablen, que digan los nombres de dichas características y expliquen qué quiere decir, poniendo el docente algunos ejemplos para que entre todos los hagan (¿podríais decirme qué son los lados exactamente de esa figura y contármelos? ¿qué ángulo es mayor, y cuál menor?). Aquí podemos ir ya clasificando las figuras de alguna manera (por ejemplo, según número de lados, estableciendo una etiqueta para ellas, habiendo antes ya diferenciado entre un triángulo y un cuadrado, que son las figuras planas más básicas que han visto a lo largo de su escolaridad y experiencia) y, dentro de las clasificaciones, diferencias los tipos de cuadriláteros y vistos y que ellos mismos establezcan las relaciones. Para ello, partiremos de las figuras que han salido, las iremos anotando en la pizarra a modo de repaso y les preguntaremos si piensan que existe alguna posibilidad más, sea porque las conozcan o porque, por lógica, tendría sentido su existencia. Sino, la señalará el docente y pondrá un ejemplo de ella dentro del entorno cotidiano (por ejemplo, un rombo, pues tiene por ejemplo unos pendientes, unas losas, etc). Podemos ya aquí introducir los tipos de cada característica (ángulo recto, ángulo agudo, ángulo obtuso, ...) y explicarlo con palabras adecuadas (por ejemplo, si es agudo, es porque es tan tímido que se encoge, se cierra, no quiere que nadie entre porque no se atrevería a hablar con él; si es recto, es que acepta las visitas pero que tampoco es una persona demasiado abierta y campechana, sino solamente una persona muy educada y formal; cuando es obtuso, todo lo contrario, muy campechano, abierto, que trata bien a todo el mundo y ayuda al que sea, ...). Para analizar las diagonales y las simetrías, vamos a pedirles que se traigan a clase una pastilla de jabón, como ejemplo de un material manipulativo, incluyendo un cuchillo de cubierto para realizar los cortes. A nivel individual, ya que siempre viene bien incluir una parte individual para fomentar la autonomía del alumnado, les pediremos que representen las figuras que estudiamos la vez anterior (si es necesario, el docente las copiará en la pizarra, a modo de repaso) y que las representen en la pastilla, cortando las figuras con el cuchillo, y les pedimos que analicen su simetría y su diagonal (en el supuesto de que no hubiesen salido hasta el momento, el docente tendrá que partir de las concepciones que exploró al principio y, para el tema de la simetría, separar las mesas y jugar todos al juego del espejo, para a partir de ahí hablar de lo que es un espejo y su relación con la detección de la simetría de una figura; para el tema de las diagonales, podemos realizarles un mapa con forma de cada figura y que cada vértice sea un poblado, y se establezcan los caminos que hay entre un poblado y otro, y que los representen en otras figuras de manera que solamente puedan crear caminos si se encuentran en lados distintos, y ya luego lo aplicamos en figuras geométricas y señalamos el por qué de su existencia). Para el primer caso, traeremos un espejo a clase para que lo comprueben, teniendo que salir la figura totalmente simétrica, su original, cuando cortemos las figuras por sus respectivos ejes de simetría. Con ello, ahora pasaremos a representar en la pizarra todas las figuras que hemos estado analizando y señalando sus características, entre todos. Si hay algún alumno que no hable, le pedimos su opinión, y pensamos en diferentes maneras de clasificar las figuras, a raíz de sus características. Por ejemplo, podemos proponer clasificarlas según número de lados, estableciendo una etiqueta para ellas, diferenciando entre triángulo y cuadrilátero y luego, en
  9. 9. cada una, según el resto de características y otras diferencias, diciendo los tipos: rombo, rectángulo, etc. Ahora aquí podríamos pasar a la triangulación de polígonos. Se trata de que un polígono puede dividirse en diferentes triángulos, y una manera de que los alumnos experimenten es con la plastilina. Se le da a cada alumno un puñadito de plastilina, y cada uno debe ocuparse de una figura plana de las que hemos visto. Ahora no tienen que ponerse a señalar lados, vértices, ángulos, ...No. Les vamos a pedir que dividan una figura en partes, en diferentes figuritas y que sean del mismo tipo, pero no que sean iguales al 100%, sino que, dentro de las clasificaciones y tipos de figuras según determinados criterios (ej: lados) que hemos establecido, pues que seleccionen una de ellas para dividir la figura en piezas iguales de ese tipo. Si hay una sola que no cumple los requisitos o que falten o sobre, esa no sirve. Por ejemplo, si nos ponemos a dividirlo en rectángulos y éstos acaben deformándose o quedando incluso un huequecito y que se correspondería con un triangulito, pues no vale. Van probando mediante ensayo y error, razonando, hasta que por fin dan con ella. Cuando los alumnos expongan su procedimiento, y veamos que todos hayan llegado en común que la mejor división de sus figuras, para cumplir con los requisitos de la tarea, ha sido con triángulos, pues el docente está preparado para aportarles información sobre el tema y su utilidad (por ejemplo, para la medida de áreas, conectándolo con un próximo tema que pueda darse). Todo esto a través del análisis y de la profundización. Para una fase final de deducción informal, podemos pedirles que, por pequeños grupos, realicen un esquema con las conclusiones de todo lo que se ha trabajado, sus concepciones actuales, y se aclaren entre ellos las dudas mediante aprendizaje cooperativo y si alguien anotó algo, preferimos que no lo utilicen. No se trata de copiar, sino de deducir, de analizar lo que han aprendido verdaderamente, lo que han comprendido. Luego un portavoz de cada grupo expone las conclusiones, y el resto de grupos comentan si no lo han entendido bien, si tiene lagunas, si hay características que están mal relacionadas, ...El docente guiará todo el proceso, y ayudará a estos alumnos. Entre todos, vamos elaborando un esquema que incluiremos en el portafolios de clase, y cada uno anotará en sus cuadernos. Es como una especie de punto final pero entre comillas, porque volverá a retomarse para seguir profundizando más en niveles posteriores, pero que aquí, al menos en el curso de 4º de Educación Primaria, no entra. ¿QUÉ RELACIÓN TIENE TODO ESTO CON LAS TEORÍAS QUE HEMOS ESTUDIADO? Durante todas estas actividades que he ido creando, me he ido basando en el constructivismo, desarrollado por Piaget y que casualmente estuvo muy centrado en el desarrollo del pensamiento lógico-matemático. Durante todo el tiempo estamos manipulando objetos, reflexionando, razonando, contrastando concepciones. En ningún momento el docente se ocupa de transmitir los conocimientos como un mero exponedor, siendo el alumnado un receptor pasivo, un “banco de conocimientos”. El alumno es el protagonista del aprendizaje, siendo un sujeto activo. Analiza el entorno, no recibe la información directamente de él para memorizarla. De ahí tenemos la primera premisa del constructivismo de Piaget: “El conocimiento es activamente construido por el sujeto
  10. 10. congnoscente, no pasivamente recibido del entorno”. Las experiencias previas son fundamentales a la hora de manipular un objeto. Por ejemplo, si un niño no tiene ni idea de lo que es una figura plana, o al menos saber lo que es un círculo, un triángulo, ...que se suele aprender desde la etapa de Educación Infantil. El razonamiento que emplean en el constructivismo es fundamental para favorecer la comprensión, evolución de las concepciones y, definitivamente, el desarrollo del pensamiento lógico-matemático. En relación con el R.M.E, los alumnos no tienen aquí el material ya hecho, ni siquiera el procedimiento para realizar las actividades. Ellos tienen que deducirlo con su esfuerzo y razonamiento, dejarles que se equivoquen, porque será un punto de partida para seguir trabajando y no volver a cometer los mismos errores, que ellos mismos elaboren sus procedimientos para resolver los problemas, ya que así favorece la comprensión de éstos, como por ejemplo hemos vistos en las experiencias del texto de Kamii, y adjunto una cita del primer bloque para concretar esto: “El principio de actividad significa que los estudiantes son confrontados con situaciones problema en las cuales, por ejemplo, pueden producir fracciones y desarrollar gradualmente una forma algorítmica de multiplicación y división, basadas en una manera informal de trabajar. De acuerdo con este principio, las “producciones propias” juegan un papel importante en el R.M.E”. En relación con el principio de realidad, todo está contextualizado en situaciones de su vida cotidiana, como la misión de reconocer las figuras en uno de sus contextos más cercanos, el de la escuela, para que así logren relacionar las matemáticas con la vida real, y así comprender su utilidad. Y como hemos trabajado en contextos de problemas, ya que era la principal finalidad de este trabajo, pues favorece más el desarrollo de herramientas y la comprensión matemática, el poner en juego todo lo que saben y saber aplicar las matemáticas. Y también se da el principio de nivel, por ejemplo, partiendo de maneras informales de resolver problemas, mediante manipulación de materiales, nombramiento de las partes de manera personal e informal, representaciones gráficas personales, ...hasta que, definitivamente, van madurando a una representación informal, llegando al algoritmo, en su caso, pero tras haber pasado por un proceso de razonamiento, profundización y reflexión, favoreciendo la comprensión de las matemáticas, su aprendizaje significativo y relevante. Se da también un principio de interacción, ya que permitimos que los alumnos compartan sus descubrimientos, sus opiniones, ...provocando la reflexión entre todos, o incluso aclarándose dudas entre ellos. Puede decirse que “toda la clase enseña”. Cada uno va a su ritmo y luego puede, en pequeño grupo, contrastar e ir avanzando. Y se intenta en todo momento adaptarse al ritmo de cada uno, a sus concepciones, para qe vaya progresando a su nivel y luego aporte sus conocimientos. Por ejemplo, en el trabajo específico de los niveles de Van-Hiele, tras analizar las concepciones del alumnado, a algunos alumnos que estaban muy avanzados, se les puso una actividad complementaria, a modo de refuerzo. El docente, a raíz del principio de guía, es un orientador, guía lo que tiene que aprender, en lo que debe de fijarse, pero jamás dice las respuestas, como mucho, al final de todo el proceso, cuando se hace una puesta en común, aporta una nueva información pero al igual que ellos mismos han aportado información para sus compañeros. Prácticamente, entre todos se “construye” el conocimiento. Como bien dice el texto: “Para alcanzar esto, el profesor debe facilitar a los alumnos un entorno rico en el cual los procesos de construcción puedan emerger. Un requisito es que los profesores deben ser capaces de prever dónde y cómo anticipar la habilidad y la comprensión de los alumnos que empiezan a aparecer. Los programas educativos deberían contener escenarios educativos que tengan la potencia para
  11. 11. trabajar en un nivel y cambiar el conocimiento de los estudiantes.” Y aquí se encuentra el escenario de analizar el centro educativo, o la propia agrupación de clase y el manipular nuevos materiales como el jabón ya resulta muy motivador para ellos, y puede ayudarles a cambiar el conocimiento de los estudiantes. En relación con la teoría de las situaciones didácticas, todo el proceso en sí es un enfrentamiento a un contexto lleno de dificultades, de contradicciones, ...y se cumplen los tipos de situaciones que hemos estudiado (la situación de acción cuando tienen que ponerse manos a la tarea en las que les hemos enviado y ponerse a razonar y a activar sus concepciones; la situación de formulación cuando tienen que trabajar en pequeños grupos cooperativos y saber transmitir sus progresos a sus compañeros y contrastar diferentes puntos de vista, opinando sobre ellos e intentando justificar la suya a menos que vea que le convenzan los argumentos de otros compañeros; la situación de validación, cuando el docente les pide que expongan sus argumentaciones y las defiendan ante sus compañeros, explicándoles cómo han llegado hasta ahí y todos opinamos sobre ellas, aportamos sugerencias, surgen discrepancias, el docente realiza comentarios, ...; y por último, la situación de institucionalización, en donde, tras la deducción informal, realizan ya las formulaciones teóricas que anotaran en sus mentes, la “conclusión” de lo que han estado aprendiendo en ese momento. Y bueno, al final del tema se habla casualmente de los niveles de Van-Hiele, en donde lo he estructurado de manera que primero explore sus concepciones (las preguntas en el estado inicial), la realización de tareas en donde estudian las características que se suelen estudiar en cada nivel y los materiales a manipular (en el texto se mencionan geoplanos, doblar papeles, construcción de figuras, ...yo he hecho algo parecido pero con otros materiales como jabones, plastilina o el propio entorno), siendo algunas más abiertas (por ejemplo, la de invetigar en el entorno) que otras (por ejemplo, la del jabón). En relación con el tema dos, hemos estado aquí trabajando la resolución de problemas, en todo momento he creado problemas que les marcasen, que fuesen para ellos un reto, porque sino sería un mero ejercicio, no un problema, y evitando que directamente se les dé el algoritmo, sino que cada uno saque su propio procedimiento y evitando repetir el mismo tipo de ejercicio, porque prácticamente acabarían haciéndolo como mecánica y no enterándose de lo que se les pide el problema y luego, cuando se les pide algo “extraño”, lo rechazan, y además hasta voy cambiando los materiales. Esta cita del tema 2 lo justifica bastante bien: “Hay estudios que muestran el efecto negativo de estas repeticiones, el problema se va alejando del alumno, ya que lo que tiene que hacer es algo parecido al procedimiento anterior. Está más pendiente del procedimiento que tiene que aplicar que del problema en si. Esto se produce porque todos los problemas del tema se suelen referir al mismo procedimiento de resolución. El problema radica en que le han dado un procedimiento que le soluciona el problema y esto no le deja pensar.” En todo el tiempo evito los truquitos, solamente se les dan orientaciones para ayudarles a seguir el proceso, y mucho menos decirles las respuestas. Los trucos no los veo adecuado porque serían lo mismo que un algoritmo en el sentido de que sería algo mecánico, con lo que no favorece la comprensión del problema. A continuación, adjunto, a modo de anexo, el cuestionario de exploración de concepciones que comenté que realizaba al principio:
  12. 12. CUESTIONARIO INICIAL DEL DISEÑO DIDÁCTICO (VAN-HIELE) Nombre: ................................................................. Fecha: ................ Curso: ...... 1-Une con flechas: Triángulo Rectángulo Romboide
  13. 13. Cuadrado 2-¿Qué es un rombo? ¿Piensas que un cuadrado podría ser un rombo? 3-Dibuja un rombo y señala sus partes. 4-Divíde estas figuras por la mitad siempre y cuando al juntarlas, las puntas coincidan. Puedes ayudarte de papel y tijeras si lo deseas.
  14. 14. 5-¿Qué es un triángulo equilátero? ¿Un triángulo equilátero puede ser a la vez un triángulo isósceles? Justifica tu respuesta. TRABAJO ESPECÍFICO: LOS NIVELES DE VAN-HIELE (PARTE 3) En esta ocasión, voy a realizar los mismos apartados que he realizado para el trabajo común, aplicados a mi trabajo específico, el de los niveles de Van-Hiele. OBSTÁCULOS DE ORIGEN DIDÁCTICO EN EL LIBRO DE TEXTO En general, son similares los obstáculos didácticos en el libro de texto que he analizado. En relación con los elementos de un polígono, no les dejan analizar a los niños las figuras y directamente les dicen sus partes y a qué se refiere. Los cuerpos geométricos aparecen directamente, sin permitirles que los construyan con papel o cartulina y por su propia cuenta (es decir, que no se trata de que les entreguemos los desarrollos plano de los polígonos para que luego las construyan haciendo las dolbeces que le indica el desarrollo). No les deja investigar cómo poder calcular el área de un polígono complejo, que reflexionen y establezcan relaciones con todo lo que saben hasta el momento. Directamente les dicen cómo tienen que hacerlo, y no les permite reflexionar si existen otros métodos, en donde combinen diversos polígonos (cuadrados, rombos, etc) a la hora de calcular las áreas para luego sumar el total de todas ellas. El no establecer diferencias entre área y perímetro puede llevar a confusiones, sobretodo cuando se les habla de medir. ¿Qué quieren que midamos? Lo mismo digo con las clasificaciones de polígonos: ¿cómo entiende el alumno esa clasificación? ¿sabe de dónde viene o simplemente se la cree
  15. 15. porque viene en el libro de texto, el mayor sabio de todos? Directamente les da la clasificación hecha, tanto la de los triángulos como la de los cuadriláteros. ¿CÓMO HE SUPERADO LOS OBSTÁCULOS DE ORIGEN DIDÁCTICO EN MI DISEÑO? Antes que nada, parto de sus concepciones, activándolas y explorándolas, para ver su punto de partida. Cada uno tiene una misión diferente según sus concepciones, y no se les dice nada desde el principio, sino que ellos lo descubren mediante sus análisis, incluso partiendo de su propio entorno (es decir, visualizar en la calle) para poder establecer mejor las relaciones (partimos de sus experiencias) y manipulando materiales (jabón, plastilina, ...), que vean que no es nada imaginario y que ellos, mediante sus análisis, pueden acabar descubriendo las propiedades (la triangulación de polígonos, la simetría, las clasificaciones, etc), y antes de analizar tendrán una visualización general, que les ayude a reconocer las figuras. Todo el conocimiento de va construyendo de menos a más, de manera secuenciada, cuando en el libro de texto, el obstáculo principal de origen didáctico era que daba toda la información directamente, sin permitirles que analicen, que establezcan relaciones o al menos que recuerden lo que saben, y aunque aprueben el examen que se haga, se les olvida enseguida. Tal vez tenía que haber profundizado más sobre el perímetro para así establecer más diferencias con el área, que las vean, pero me centré sobretodo en el resto de propiedades. DISEÑO DE FICHAS PARA MI SITUACIÓN FUNDAMENTAL He diseñado cuatro fichas, similares a las que he diseñado para el trabajo común, con los mismos personajes. En la primera ficha, está conectada con la actividad en la cual tienen que investigar el entorno, y aquí se les da una ficha en donde aparecen una serie de objetos, comunes, y tienen que señalar polígonos por los que esté formados, en algunos casos puede que solamente aparezca un tipo y en otros más de uno. Así, refuerzan más su capacidad de visualización. En la segunda ficha, realizan ejercicios en donde tienen que dibujar, dentro de una cuadrícula, las mitades de unas figuras, de manera que éstas sean simétricas. No solamente se trata de reconocer los ejes o de representarlos, sino de intentar reconstruir figuras simétricas. En la tercera y última ficha, presentan una figura peculiar con lados rectos, que representa una cara (aunque de casualidad) y tienen que calcular el perímetro. Es un polígono peculiar, con muchas irregularidades, para así aumentar la dificultad. Tienen que coger sus respectivas reglas y medirlas, y detallar el proceso que han seguido. Pueden realizarse en el momento en el que se haya trabajado esa parte de la situación fundamental, como algo complementario, y también para acostumbrarlos a que sigan resolviendo fichas, tareas propias de libros de texto, que también trabajan ciertas habilidades. En la cuarta ficha, recoge contenidos diferentes, como la triangulación y la clasificación de polígonos. En línea general, se recoge prácticamente todos los contenidos clave que se han visto.
  16. 16. POSIBLES OBSTÁCULOS EPISTEMOLÓGICOS EN ALGUNAS DE LAS ACTIVIDADES DE MI SECUENCIA Y DE MIS FICHAS Al igual que en el trabajo común, siempre realizo un cuestionario para explocar las concepciones que presenta el alumnado, y si nos encontramos con alguna respuesta “peculiar”, realizamos una entrevista al alumno para que nos explique su respuesta, de dónde procede, y proponerle algunas experiencias para provocarle un replanteamiento de concepciones. Intentaremos con nuestras actividades chocar sus concepciones, sobretodo con aquellos momentos en los que tiene que trabajar en pequeño grupo y en gran grupo. En relación con los posibles obstáculos, puede que, al trabajar con polígonos, como son figuras comunes, puede que introduzcan el círculo, una figura muy común, como uno más de la familia, pero esto tenemos que trabajarlo en la parte de visualización, cuando estemos visualizando polígonos y dándoles nombres. Otro posible obstáculo es la relación que muchos realizan entre área y perímetro, y que al calcular el perímetro, alguien, debido a lo que hemos visto sobre la triangulación, divida la figura en triángulos y calcule su área, cuando no es eso lo que le estamos pidiendo. Otro puede ser que las diagonales, al pensarse que es una línea recta que unes dos vértices de diferentes lados, como hay vértices compartidos, pues se piensen que es otra diagonal. Otro obstáculo puede ser que, con estos ejercicios, dé a entender que, cuando haya un mosaico, también se trata de poner un eje para decir que son simétricas, cuando en realidad es una simetría traslacional. No se me ocurren otros posibles obstáculos epistemológicos. De todas formas, necesito una mayor formación, ya que hasta ahora he visto posibles obstáculos epistemológicos en relación con la aritmética, pero no con geometría. ¿CÓMO INCLUIRÍA EN LA SECUENCIA UN ALUMNO CON DIFICULTADES VISUALES Y OTRO CON DIFICULTADES AUDITIVAS? En relación con el alumno con dificultades visuales, la geometría puede ser de las más sencillas para trabajar con él, ya que las personas con dificultades visuales pueden ayudarse a través del tacto. Por ello, cuando realicemos las visualizaciones en el entorno, alguien irá con él, un alumno- tutor, de los que estén más avanzados. Irá con él y le pedirá que vaya tocando los objetos, sintiendo su forma, y le explicará cómo es cada figura. Antes de salir, sería conveniente que tuviésemos una sesión con ellos, en donde les enseñásemos cada forma y que ellos la sintiensen, y les pusiésemos una etiqueta: “Mira, X, esta cosa tan redonda, que tiene esta forma, es un círculo”. Luego él saldrá a exponerlos como todo el mundo, comentando lo que ha visto, lo que recuerda, y si tiene objetos, exponerlos, los cuales reconocerá por sus formas. El cuestionario de explorar concepciones, a menos que lo imprimamos en relieve o que esté escrito en Braille, pues se lo haremos oral. A la hora de contar sus partes, ese alumno-tutor puede guiarle. Por ejemplo, para orientarle sobre las partes, el alumno puede presentarle un par de polígonos de papel, recortados, y moverle los dedos para que vaya tocando cada parte del polígono: “mira, cada una de estas puntitas que unen cada lado se llama vértice”, “el grosor que hay entre este lado y este
  17. 17. otro se llama ángulo”, ...y así con todo. Pueden realizarse varios ejercicios de práctica para que vaya asimilándolo. Para manipular plastilina y jabón, es de lo mejor que puede hacer, ya que gracias a unas orientaciones previas, guiados por el docente y el alumno-tutor, puede ir asimilándolo y poco a poco pudiéndo hacerlo sólo, y en los trabajos cooperativos, se vigilará que participe, y se les pedirá a los alumnos que les pregunte su opinión, y para que pueda visualizar sus propuestas, les dejaremos hojas de papel positivo para que lo representen todo en ellas y permitan a este alumno tocarlo. En cuanto a las fichas, todas en papel positivo para que pueda participar en el análisis de las figuras y así poder participar en las tareas, y las que no pueda, se les hará oralmente. En las situaciones de formulación y validación nos preocuparemos de que participe, de que está prestando atención y de que no está perdido, y de que pregunte las dudas necesarias. No estaría mal poder contar con algún especialista, pero eso no siempre depende de nosotros, así que al menos damos una serie de orientaciones de manera que no sea difícil para nuestros docentes intervenir de manera inclusiva con este alumno. En relación con el alumno con dificultades auditivas, las mayores dificultades las tendrá cuando tengan sus compañeros que exponer sus descubrimientos o en las interacciones con los compañeros en las situaciones de formulación y de validación, respectivamente. Por ello, aparte de intentar esquematizar las ideas claves en la pizarra para que pueda leerlas, y con un vocabulario sencillo que no lleve a malas interpretaciones (es decir, nada de ambigüedades). En el caso de que tuviésemos pizarra digital, podríamos presentar las figuras geométricas en ella, buscándolas en Internet, de las que han visualizado en el entorno (por ejemplo, una farola, o una placa de una calle), y escribir en un word lo básico que se diga. El resto, al ser manipulación de materiales, no tiene que tener problemas. Lo que haga falta, se le presentará por escrito, por ejemplo, guías orientativas (por ejemplo: ¿para qué vamos a usar esta pastilla de jabón?), y también tendrá un alumno-tutor para lo que haga falta. Sería recomendable, al igual que señalé en el trabajo común, que se enseñase a los alumnos la lengua de signos, al menos el vocabulario básico y, en este caso, el vocabulario específico de los polígonos: cuadrado, vértice, diagonal, perímetro, etc. Lo primero se haría a principios de curso y lo segundo pues antes de comenzar la situación fundamental. En el caso de que no hubiese pizarra digital pero sí ordenadores, puede presentársele alguna presentación en Powerpoint con lo que se haya visualizado, y con los análisis, con los contenidos que se estén trabajando una vez finalizadas las investigaciones, porque hay que intentar que él mismo lo vaya descubriendo, a pesar de sus dificultades auditivas. Queremos que desarrolle las mismas habilidades que sus compañeros, la misma capacidad metacognitiva, así que sería injusto no poder intentar desarrollar esas habilidades, al menos lo que pueda conseguir. Tenemos que intentar aprovechar todo lo que tenemos para lograr la inclusión de este alumno, al igual que con el anterior caso. ¿CÓMO SE HARÍA AQUÍ LA EVALUACIÓN? En relación con la evaluación, tenemos que tener en cuenta que no sólo vamos a evaluar al alumnado, también la propia situación en sí. Si ha habido dificultades, o no se han conseguido los objetivos, tal vez ha sido porque la actividad ha estado mal planteada, o ha sido muy complicada, o la organización de los recursos se ha llevado mal, o que nosotros, al intervenir, no hemos sabido orientarles bien ni atender a los casos de NEAE (por ejemplo, al alumno con déficit visual y al
  18. 18. alumno con déficit auditivo). Aquí podemos aplicar las técnicas de observación, discusión y entrevista que aquí se plantean, pero ahora centrémonos en el alumnado. Es lo mismo que planteé en el trabajo común. En relación con el alumnado, antes que nada, veo adecuado que, antes que solamente basarnos en la resolución de los problemas que se van planteando a lo largo de la situación fundamental, valorarle más cómo se esfuerzan, ver su proceso evolutivo, el interés que mantienen y los diálogos con nosotros y con otros compañeros, ver cómo discuten entre ellos, ver cómo reflexionan sobre la resolución y sus justificaciones, argumentaciones en relación con la resolución que plantean, las estrategias, etc. Son cosas que no podríamos ver si solamente nos fijásemos en los materiales que elaboran a mano. Podríamos hacer una discusión al final del proceso para analizar el aprendizaje cosechado, y entrevistar a aquellos alumnos que hayan dado unas respuestas o un proceso peculiar, para analizar de dónde han venido sus respuestas y analizar cómo, partiendo de ellas (evidentemente, tendremos en cuenta la exploración de concepciones como punto de partida), han llegado hasta donde han llegado. En la situación de institucionalización, puede consensuarse una serie de ideas que nos permita analizar la evolución y el punto de partida para la siguiente vez, a raíz de la discusión y también veremos cómo participan en los debates que se realizan tanto en la situación de formulación (es decir, cuando trabajan en pequeños grupos cooperativos) como en la de validación (cuando todos exponen sus procedimientos y se producen discrepancias) y el desarrollo de la actividad, tanto en la del huerto como en la compra. Tendremos un diario de campo para anotar todo esto y una lista de control de conductas. Aunque claro, evidentemente también tendremos en cuenta los materiales elaborados, ya que aportan una información más, aparte de todo lo que hemos dicho, para así acaparar la máxima información posible para realizar la evaluación. En relación a qué voy a evaluar, evaluamos el proceso evolutivo (partiendo de sus concepciones), la capacidad metacognitiva, las argumentaciones que den, el esfuerzo e interés, ...y nosotros tenemos que intentar mantener un ambiente así, de trabajo e ir motivando al alumnado cuando haya momentos de bajón, tanto cuando trabajen sólos como cuando trabajan en grupo. Como sabemos, los niveles de Van-Hiele presentan un proceso de aprendizaje de la geometría, en donde todo va secuenciado, de menos a más, así que iremos viendo cómo va ese proceso, viendo cómo se desenvuelve en las tareas y cómo va manipulando los materiales y las justificaciones que da a sus respuestas. Ya dentro de esto, evaluaríamos lo siguiente: v Comprensión de los conocimientos que se están abordando, relacionados con los polígonos y sus propiedades y características más fundamentales, incluyendo las relaciones establecidas entre los triángulos y los cuadriláteros. v La capacidad y formar de expresar los resultados, las concepciones, los conceptos que se han trabajado, ...por parte del alumnado. v La capacidad para aplicar las concepciones e interpretar, plantear y resolver los problemas. v Las estrategias y procedimientos utilizados para plantear y resolver los problemas.
  19. 19. v La participación, implicación e interés del alumnado por los contenidos que se debatan y por la realización de las actividades en sí, tanto la parte individual como la parte grupal. v Capacidad de reflexión sobre lo que hemos aprendido. Y en cuanto a la evaluación, siempre que evaluamos algo, debemos partir de objetivos y no de contenidos, y en este caso, los objetivos de aprendizaje que me marco son los siguientes: v Reconocer los polígonos en el entorno, en partes de diferentes elementos propios del entorno. v Comprender las propiedades de los polígonos y las relaciones existentes entre ellos y su función para clasificar polígonos. v Reconocer la simetría de una figura y saber dividirla en una o varios ejes, en el caso de que sea simétrica. v Valorar la triangulación como técnica para descomponer los polígonos en triángulos y su utilidad en la vida cotidiana y, en general, en el mundo matemático. v Comprender el concepto y uso del perímetro dentro de la geometría y su utilidad. Ahora vamos a pasar a profundizar sobre las características de la evaluación de los alumnos: 1-La situación: v Antes que nada, tiene que haber una exploración de concepciones. v Presentación de una serie de actividades que van de menos a más, desde la visualización hasta la deducción formal, en donde los alumnos van investigando, manipulando materiales, debatiendo entre ellos y sacando conclusiones, evolucionando sus concepciones y relaciones entre las propiedades de los polígonos y su existencia dentro de su entorno cotidiano. v Trabajo individual, discusión en pequeño grupo y en gran grupo. 2-La respuesta:
  20. 20. v Dibujo, representaciones. v Explicación escrita y oral del pensamiento que hay detrás de una solución, es decir, del proceso que ha llevado a cabo y su justificación, para así comprobar el grado de comprensión y rigurosidad. v Mediante la observación, entrevista y discusión, se ve el proceso de pensamiento que sigue el alumno y su evolución. v Materiales elaborados por los alumnos, resolución de las fichas. 3-La interpretación del docente o del alumno: v Estructura del alumno sobre el conocimiento matemático, su capacidad de analizar y procesar dicho conocimiento y su grado de consecución de los objetivos planteados con nuestras situaciones fundamentales. v Los compañeros pueden reflexionar sobre las respuestas de sus compañeros en las situaciones de formulación y validación, al compararlo con su planteamiento y producirse discrepancias, sugerencias, etc, ampliando a la vez su conocimiento. 4-Asignarle un significado a la interpretación de la respuesta del alumno: v Entrevista con el alumnado, tanto individual como en grupo, para analizar el significado de sus planteamientos. 5-Valoración y recogida de datos: v Valoración cualitativa de sus progresos, destacando tanto lo positivo como lo negativo o que necesita mejorar, para trabajarlo más a fondo. v Se debe de tener en cuenta el grado de implicación que ha tenido. v Las dificultades que han tenido se tendrán en cuenta para trabajarlas más a fondo y diseñar las situaciones fundamentales a partir de ellas, teniendo en cuenta también sus potencialidades. v Valorar si las actividades realizadas en la situación fundamental han dado sus frutos o han sido inadecuadas para la consecución de los objetivos, especificando la razón: demasiado compleja, demasiado simple, mal organizada, alumnos desorientados, etc.
  21. 21. v Valoración por parte de los alumnos de las dificultades que encuentran en la actividad, complementando la información recogida por el docente. En relación a quién corresponde evaluar, evaluarían todos, tanto alumnado como docente, y el alumno, en relación con momentos clave de su proceso evaluativo, se destaca el proceso de validación, en donde podemos comprobar el proceso metacognitivo del alumnado y su grado de comprensión de lo trabajado y de las estrategias empleadas, aparte de cómo ha utilizado sus concepciones. Si el alumno no es capaz de defender públicamente su solución al problema es que no ha obtenido ninguna solución de la que muestre seguridad. Podemos ver ahí las dificultades que han tenido para enfrentarse a la situación fundamental, y también los métodos utilizados y compararlo con otras estrategias más o menos primitivas, y ver de dónde ha partido. Bien, hasta aquí llega lo que llevo hecho del trabajo específico. En general, me ha gustado realizarlo, ya que ha sido aplicar todo lo que hemos aprendido hasta el momento en la asignatura (bueno, de los tres primeros temas) a un caso práctico, y además hacia un tema del que hasta la fecha no había hecho nada: los niveles de Van-Hiele. Una de las razones por las que escogí este tema es por la novedad, por querer aprender nuevas cosas para cuando ejerza en un futuro (aunque bueno, tiro más para otra vía, pero también puede aplicarse) y así darle más emoción, más “acción” a mi carrera estudiantil, ya que no me gusta mucho caer en la monotonía.

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