Modulo matematica 1_año

COLEGIO PARTICULAR A DISTANCIA
“CONTINENTAL”
Acuerdo Ministerial Numero Nº 3701
Matemática Primer Año de Bachillerato Página 1

“CONTINENTAL”

“CONTINENTAL”
PRIMER QUIMESTRE
BLOQUE 1:
Funciones Lineales
FICHA N°1:
Función Matemática
OBJETIVOS:
Fomentar el análisis y evaluación de las
funciones matemáticas, además interactuar con los teoremas y sus aplicaciones en este amplio
campo de las Funciones.
Destreza de Criterio de desempeño:
 Desarrollo de evaluaciones funcionales.
 Graficación de funciones lineales.
 Aplicación de teoremas de evaluación funcional.
Objetivo Educativo.
En la actualidad el ser humano requiere cada vez con mayor frecuencia el uso de funciones
lineales y otros tipos para resolver problemas económicos, administrativos y de la vida misma.
El conocimiento de sus características y comportamiento nos permite
tomar decisiones importantes.
Una función, en matemáticas es el término usado para indicar la relación
o correspondencia entre dos o más cantidades. El termino función fue
usado por primera vez en 1637 por el matemático francés Rene
Descartes. (1596 – 1560).
En una función se asocian dos variables x e y tal forma que al asignar un valor a x entonces, por
alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a y es una función
(univoca) de x.

“CONTINENTAL”
La variable x a la que se le asigna libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la
variable y cuyos valores depende de la x, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de
x constituye el dominio de definición de la función y los valores que toma x constituye su recorrido
x y
Dominio Recorrido.
Una función es una correspondencia entre conjuntos que se produce cuanto todos de los elementos
del primer conjunto (Dominio) se halla relacionado con un solo elemento del segundo conjunto
(Recorrido)
Ejemplo
x y
Si es una función, pues todos los elementos del conjunto salida tienen una sola imagen
(Correspondencia) en el conjunto de llegada.
X y
Dominio Recorrido
1
2
3
4
55
55
5
a
b
c
d
1
2
3
4
a
b
c
d
1
2
3
4
a
b
c
d

“CONTINENTAL”
No es una función pues no todos los elementos del conjunto salida tienen una imagen
(correspondencia) en el conjunto de llegada
X y
Dominio Recorrido
FUNCIONES LINEALES
Es aquella relación de correspondencia que define como grafica una línea recta cuando es representado
en el plano cartesiano. Su forma característica es
𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏
Donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta y
b es el punto de corte de la recta con el eje y. Cuando cambiamos m modificamos la inclinación de la
recta y cuando cambiamos b desplazamos la línea arriba o abajo.
Ejemplo
Graficar la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3
La grafica nos confirma lo que dice la ecuación que la pendiente de la recta es 2, mientras que el punto
de corte con el eje vertical es -3.
𝑥 𝑓(𝑥)
-2 -7
-1 -4
0 -3
1 -1
2 1
1
2
3
4
a
b
c
d

“CONTINENTAL”
FICHA Nº 1
INVESTIGO Nº 1
1. Escribir una definición de Función.
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
2. Cuál es el Dominio y el Recorrido de una función.
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
3. Identifique en la siguiente ecuación la pendiente de las líneas rectas y el punto de corte. Con el
eje de las ordenadas.
𝑓(𝑥) = 4 − 2𝑥
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
4. Dibujar la gráfica de la siguiente ecuación e identificar la pendiente y el punto de corte con el
eje y. Encuentre las coordenadas. 𝑓(𝑥) = 2 − 𝑥
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
FECHA: ___________________________________

“CONTINENTAL”
FUNCIONES
GLOSARIO Nº 1
Escribir las definiciones correspondientes.
 Función:………………………………………………………………………………………………………………
 Dominio………………………………………………………………………………………………………………
 Recorrido……………………………………………………………………………………………………………
 Contra dominio:………………………………………………………………………………………………….
 Pendiente…………………………………………………………………………………………………………..
Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
RESUMO Nº 1
Complete el siguiente mapa conceptual.
F. lineales F. Cuadráticas

“CONTINENTAL”
CUESTIONARIO Nº 1
Identificar si los siguientes gráficos corresponden a una función, argumentar la respuesta en cada
caso.
x y
Dominio Recorrido
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
Dibujar las gráficas de las siguientes ecuaciones e identificar en cada caso la pendiente y el punto de
corte con el eje y.
a. 𝑓(𝑥) = 2 − 3𝑥
b. 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1
c. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3
d. 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 5
e. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 5
Firma del Profesor Calificación Firma del Estudiante
1
2
3
4
a
b
c
d

“CONTINENTAL”
BLOQUE 1:
Funciones Lineales
FICHA N°2:
Evaluación de Funciones
OBJETIVOS:
Fomentar el análisis y evaluación de las funciones matemáticas, además interactuar con los
teoremas y sus aplicaciones en este amplio campo de las Funciones.
 Desarrollo de evaluaciones funcionales.
 Graficación de funciones lineales.
 Aplicación de teoremas de evaluación funcional.
Objetivo Educativo.
Evaluar numéricamente una función es encontrar el valor de la función para un valor
numérico de sus variables. Si la función se escribe como ƒ(x), la función evaluada para una valor
numérico, por ejemplo 6, se escribe ƒ(6). Para realizar la evaluación se sustituye el valor
numérico en cualquier parte de la función en que aparezca la variable y se realizan las
operaciones aritméticas necesarias.
Ejemplo. Evaluar la función
ƒ(x) = x4+ x3- 11x2- 9x + 18 cuando el valor numérico de x es 4.
ƒ(4) = 44
+ 43
- 11(4)2
- 9(4) + 18
ƒ(4) = 256 + 64 - 11(16) - 36 + 18
ƒ(4) = 256 + 64 - 176 - 36 + 18
ƒ(4) = 126

“CONTINENTAL”
Cuando una función se evalúa para un valor determinado del dominio, significa que dicho valor
se puede sustituir por la literal x que forma a esa función. El valor de y (contra dominio o
imagen) se denomina f(x) cuando el dominio está formado por dicha letra x; por tanto, en una
pareja ordenada el dominio es el primer valor y el contra dominio el segundo. Es decir: (x, y).
Ejemplos
Consideremos f(x)=2x2–6x+8, si queremos evaluar f(a) quedaría: f (a)=2a 2– 6a+8
Así mismo, para f(p) tenemos:
f(p)=2p2– 6p+8
Para f(2x–3) el resultado sería:
f(2x–3)= 2(2x–3)2–6(2x–3)+8
= 2(4x2–12x+9)–12x+18+8
= 8x2–24x+18–12x+18+8
f(2x–3)= 8x2– 36x + 44
Como podemos observar, en todos los casos el valor de x fue sustituido por el valor con el que
se quiere evaluar la función.
Encontremos f(2) si f(x)=4x3–8x2+9x– 8
Evaluando tenemos:
f(2)= 4(2)3– 8(2)2+ 9(2) – 8
f(2)= 4(8) – 8(4) + 18 – 8
f(2)= 32 – 32 + 18 - 8
f(2)=10

“CONTINENTAL”
LECCIÓN Nº 2
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
FECHA: __________________________________
PARALELO: ________________________________
PROFESOR: ________________________________
INVESTIGO Nº 2
1. Escribir una definición de evaluación de una Función.
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
2. Cuál es el Dominio y el Recorrido de una función.
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
3. Identifique que se debe hacer para realizar una evaluación de una función
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
4. Investiga sobre el valor numérico.
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________

“CONTINENTAL”
RESUMO Nº 2
Complete el mapa conceptual.
EVALUACION DE UNA FUNCION
Evaluar numéricamente Valor numérico
GLOSARIO Nº 2
Evaluar:………………………………………………………………………………………………………………...................
Dominio…………………………………………………………………………………………………………………..…………..
Recorrido………………………………………………………………………………………………………………………………
Valor:………………………………………………………………………………………………………………………………......
Valor numérico……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………..………………………………………

“CONTINENTAL”
CUESTIONARIO Nº 2
Evalúa las siguientes funciones con respecto a lo que se pide y escribe aquí el resultado.
1. f(x)= 2x2 + 8x – 4, Calcular f(–3).
2. f(x)=4x3–10x2+8x–8, Calcular f(2x–8).
3. f(x)=12x5+4x4–5x3+ 3x 2–3x +1, Calcular f(–1).
4. f(x)=6x7+8x5–7x3–3x+12, Calcular f(–2).
5. f(x)=6x2
–12x+6, Calcular f(1–x7
).

“CONTINENTAL”
BLOQUE 1:
Funciones Lineales
FICHA N°3:
Dominio de una Función
OBJETIVOS:
Reconocer los dominios e intervalos de una función, mediante sus análisis correspondientes
determinar sus pociones crecientes y decrecientes.
 Reconocer los intervalos de una función.
 Aplicación de teoremas de los dominios funcionales.
 Analizar los recorridos de las funciones lineales.
Objetivo Educativo.
Se llama dominio de definición de una función al conjunto de los valores al conjunto de valores
de las variables independientes x para los que existe la función, es decir, para los que hay un
valor de la variable dependiente.
Para calcular el dominio de la función hay que hacer todas las consideraciones para definir el o
los intervalos de los valores que pueden adoptar la variable independiente.
El todo los casos el intervalo que represente el dominio de función siempre será el menor
subconjunto de todos
Ejemplo:
Determine el dominio de la siguiente función:
f(2)= 4(2)3– 8(2)2+ 9(2) – 8
f(2)= 4(8) – 8(4) + 18 – 8
f(2)= 32 – 32 + 18 - 8
f(2)=10

“CONTINENTAL”
El único valor que no puede tomar la variable independiente es 2, porque en tal caso el
denominador de la fracción se haría cero, y como sabemos no existe la división por cero por
esto hay que restringir este valor es todos los números reales (R) que si puede adoptar, por
tanto:
Recorrido de una función.
El recorrido de una función es el conjunto de valores que toma la variable dependiente, es
decir, todos los valores de la variable dependiente que son imagen de algún valor de la variable
independiente.
Cuando el dominio de la función ha sufrido alguna restricción en los reales, el recorrido
automáticamente aumentara adopta valores determinados. Un método clásico de calcular el
recorrido de una función es el de despejar de la variable dependiente y en esa expresión
analizar la variable dependiente como si se trataría de encontrar el dominio.
Dominio y recorrido
El dominio de una función es el conjunto de todas las coordenadas x de los puntos de la gráfica de la
función, y el recorrido es el conjunto de todas las coordenadas en el eje y. Los valores en el dominio
usualmente están asociados con el eje horizontal (el eje x) y los valores del recorrido con el eje vertical
(el eje y).
Ejemplo:
Determina el dominio y el recorrido de la función f cuya gráfica es:
La función f(x) = x + 1 es una función creciente en los números reales.

“CONTINENTAL”
LECCIÓN Nº 3
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
FECHA: ___________________________________
PARALELO: ________________________________
PROFESOR: ________________________________
INVESTIGO Nº 3
1. Establece una semejanza y diferencia entre dominio y recorrido de una función.
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
2. Que es el despeje de una variable.
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
3. Investiga que se refiere función definida a trazos. Elabora un ejemplo:
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________

“CONTINENTAL”
RESUMO Nº 3
Completar el cuadro sinóptico.
Dominio de una función
Dominio Recorrido
eses
Ejemplos
GLOSARIO Nº 3
Punto de llegada:…………………………………………………………………………………………
Punto de salida……………………………………………………………………………………………
Intervalo cerrado…………………………………………………………………………………………
Intervalo abierto:…………………………………………………………………………………………
Punto de corte……………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………..………………………………………

“CONTINENTAL”
CUESTIONARIO Nº 3
Encuentre el dominio y el recorrido de la función:
1. 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 5
2. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 4
3. 𝑓(𝑥) = 𝑥2
− 1
4. 𝑓(𝑥) = 𝑥3
+ 1

“CONTINENTAL”
BLOQUE 1:
Funciones Lineales:
FICHA N°4:
Intervalos De Funciones
OBJETIVOS:
Reconocer los intervalos de los diferentes tipos de funciones con su respectivo análisis,
aplicando métodos numéricos.
 Determinación de las funciones crecientes.
 Determinación de funciones decrecientes.
 Graficar funciones mediante sus intervalos iniciales.
Objetivo Educativo.
Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la
primera le corresponda un único valor de la segunda. Pueden representar de diferentes
maneras:
a. Mediante una expresión matemática, ecuación o formula.
b. Como una tabla de valores que permite representar algunos valores discretos de la
función.
c. Como proposición: una descripción por comprensión de lo que hace la función.
d. Mediante una representación gráfica.
Algunas actividades corporales tales como el sueño, el ritmo cardíaco y la locomoción son
funciones biológicas que se llevan a cabo en casi todos los seres vivos. Así también en la vida
cotidiana los modelos de función han servido a las ciencias para explicar y predecir muchos
fenómenos, tanto de la vida científica como de la vida social. La función exponencial, por
ejemplo, explica y predice fenómenos de crecimiento de bacterias o del fenómeno de
desintegración radiactiva. Igualmente la función exponencial puede reflejar el crecimiento de la
población.

“CONTINENTAL”
Una función es estrictamente creciente en un intervalo , si para dos valores
cualesquiera la función toma su sentido creciente dese el punto de análisis.
Del intervalo, y , se cumple que:
Cuando en la gráfica de una función estrictamente creciente nos movemos hacia la derecha
también nos movemos hacia arriba:
Función creciente en un intervalo
Una función es creciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo,
y , se cumple que:
Función estrictamente decreciente en un intervalo
Una función es estrictamente decreciente en un intervalo , si para dos valores
cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:
Cuando en la gráfica de una función estrictamente decreciente nos movemos hacia la derecha
también nos movemos hacia abajo:

“CONTINENTAL”
Función decreciente en un intervalo
Una función es decreciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera de
intervalo, y , se cumple que:
Observa, a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento del recorrido,
entonces es función.
A cada elemento del dominio le corresponde un único elemento del recorrido, por lo tanto es
función.
No es función, pues a un elemento del dominio le corresponde dos elementos del recorrido.

“CONTINENTAL”
LECCION Nº4
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
PROFESOR: ________________________________
FECHA: ____________________________________
INVESTIGO Nº 4
Establece una diferencia entre función creciente y decreciente.
______________________________________________________________________________
Que condición se debe cumplir para que una función sea creciente.
______________________________________________________________________________
Que condición se debe cumplir para que una función sea decreciente.
______________________________________________________________________________
GLOSARIO Nº 4
Función:………………………………………………………………………………………………………………………
Creciente:………………………………………………………….…………………………………………………………
Decreciente:…………………………………………………………………………………………………………………
Intervalo:……………………………………………………………………………………………………..……………
Punto de corte…………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………..……………………………………………………………………….

“CONTINENTAL”
RESUMO Nº 4
Creciente Decreciente
eses
ejemplos
CUESTIONARIO Nº 4
Demuestra si las siguientes funciones son crecientes o decrecientes y representa gráficamente:
FUNCION

“CONTINENTAL”
BLOQUE 1:
Funciones Lineales
FICHA N°5:
Rectas y Pendientes
OBJETIVOS:
Analizar y determinar las variaciones de las pendientes en las rectas ubicadas en el plano
cartesiano, además verificar la dirección de recta en función de la pendiente.
 Calcular la pendiente de una recta si se conocen dos puntos de dicha recta.
 Determinar la monotonía de una función lineal a partir de la pendiente de la recta que
representa dicha función.
Objetivo Educativo.
Se denomina pendiente de la recta la inclinación de un elemento respecto de la horizontal.
La pendiente de una recta en un sistema cartesiano, se representa con la letra m y está
definido como el cambio o variación en el eje “y” dividido por el respecto cambio en el eje “x”
entre dos puntos de la recta.
La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección
positiva de eje OX.
Pendiente dado el ángulo
Pendiente dado el vector director de la recta
Pendiente dados dos puntos

“CONTINENTAL”
Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo, la pendiente es positiva y crece
al crecer el ángulo.
Calculo de la pendiente de la recta:
Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5).
Escribir su ecuación punto pendiente.
Hallar la ecuación de la recta que pasan por los puntos A(-2, -3) y B(4,2).
Hallar la ecuación de la recta que pasan por A(-2, -3) y tenga una inclinación de 45°.
RECTAS PARALELAS
Dos rectas son paralelas si tienen sus pendientes iguales.

“CONTINENTAL”
RECTAS PERPENDICULARES
Dos rectas son perpendiculares cuando el ángulo que forman entre ellas es de 90°.
Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo.
Para que el producto de las dos pendientes de dos líneas rectas sea igual a -1 una de ellas
debe ser inverso negativo de la otra y viceversa
Ejemplo:
Determinar la pendiente de la recta que pasa por los puntos de coordenadas (2, 3) y (-3,-2) y
compararla con la recta que pasa por los puntos de coordenadas (2,3) y (0,5).
𝑥1 = 2 𝑥2 = 3 𝑦1 = −3 𝑦2 = −2
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑚 =
(−2) − (−3)
(3) − (2)
𝑚 = 1 𝑚2 = −1
5 (0,5)
4
3 (2,3)
2
1
-3 -2 -1 1 1 2
-2
(-3,-2) -

“CONTINENTAL”
LECCION N°5
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
FECHA: ___________________________________
PROFESOR: ________________________________
INVESTIGO N°5
Escriba en que caso se dice que dos rectas son perpendiculares:
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Escriba que significa la pendiente de una recta.
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Sintetizar como se calcula la pendiente de una recta conociendo dos puntos de esta:
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
GLOSARIO N°5
Pendiente…………………………………………………………………………………………………………………………….
Rectas Paralelas……………………………………………………………………………………………………………………
Rectas perpendiculares……………………………………………………………...……………………………………………
Ángulos:……………………………………………………………………………………………………………………………….
Variación………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………..………………………………………………………………………………………………………………………….

“CONTINENTAL”
RESUMO N°5
Pendiente de una Recta
Concepto Rectas paralelas
es es
Formulas

“CONTINENTAL”
CUESTIONARIO N°5

“CONTINENTAL”
BLOQUE 2:
Álgebra y Geometría
FICHA N°6:
Progresiones
OBJETIVOS:
Aprender y analizar los sistemas que ameritan progresiones en funciones matemáticas, y el
entendimiento de las mismas para su correcta aplicación.
 Reforzar los conocimientos anteriores.
 Interpolar medios geométricos.
 Resolver ejercicios de suma con progresiones geométricas
Objetivo Educativo.
INTERPOLACION DE MEDIOS GEOMETRICOS
Interpolar m medios geométricos entre dos números a y b consiste en incluir m términos entre
dichos números y formar una progresión geométrica de m+2 términos.
Es decir a……………. …………..b

“CONTINENTAL”
Medios entre a y b
Para realizar interpolaciones, primero calculamos la razón (r) geométrica y luego formamos la
progresión geométrica, la fórmula es:
𝑟 = √
𝑡 𝑛
𝑡1
𝑚+1
𝒕 𝒏 = ú𝒍𝒕𝒊𝒎𝒐 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐.
𝒕 𝟏 = 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐.
𝒓 = 𝒓𝒂𝒛𝒐𝒏 𝒈𝒆𝒐𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂
𝒎 = 𝑬𝒔 𝒆𝒍 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒂 𝒚 𝒃
Ejemplo:
Interpolar 3 medios geométricos entre
1
4
𝑦 4
DATOS:
𝒕 𝒏 = 𝟒 𝒕 𝟏 =
𝟏
𝟒
𝒎 = 𝟑 𝒓 =
𝑟 = √
𝑡 𝑛
𝑡1
𝑚+1
= √
4
1
4
3+1
= √16
4
= 2
Escribimos la progresión geométrica:
1
4
,
𝟏
𝟐
, 𝟏, 𝟐, 4.
3 medios geométrico
SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA.
Si tenemos la sucesión de 2, 6, 18, 54…..
La suma de los 4 términos es: 𝑆4 = 2 + 6 + 18 + 54 = 80

“CONTINENTAL”
Para sumar los 100 primeros términos resulta molesto, para simplificar la suma de términos
podemos utilizar una fórmula:
𝑆 =
𝑡1(1 − 𝑟 𝑛)
1 − 𝑟
𝑆 =
𝑡1 − 𝑡 𝑛
1 − 𝑟
Ejemplo:
Hallar la suma de los 7 primeros términos de. 10, 30, 90, …………….
𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝑡 𝟕 =? 𝒕 𝟏 = 𝟏𝟎 𝑺 =? 𝒓 = ?
Desarrollo:
Calculamos r: 𝒓 = 𝟑𝟎 ÷ 𝟏𝟎 = 𝟑
Calculamos S:
𝑆 =
𝑡1(1 − 𝑟 𝑛)
1 − 𝑟
; 𝑆 =
10(1 − 37)
1 − 3
; 𝑆 =
10(−2186)
−2
; 𝑆 = 10930

“CONTINENTAL”
LECCION N°6
INVESTIGO N°6
Que es INTERPOLAR medios geométricos.
______________________________________________________________________________
Escriba la fórmula para calcular los medios geométricos.
______________________________________________________________________________
Indique cuales son los pasos para realizar una suma de n términos.
______________________________________________________________________________
Escriba las fórmulas para determinar la suma de n términos.
______________________________________________________________________________
GLOSARIO N°6
Busque el significado de las siguientes palabras:
Interpolar:……………………………………………………………………………………………………………………
Medios geométricos:…………………………………………………………………………………………………..
Términos:……………………………………………………………………………………………………………………….
Serie:………………………………………………………………………………………………………………………………
Expresión:……………………………………………………………………………………………………………………..
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
PROFESOR: ________________________________
FECHA: ____________________________________

“CONTINENTAL”
Proceso
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
RESUMO N°6
Interpolación de medios Suma de n términos
Proceso
es es
Formula Formula

“CONTINENTAL”
CUESTIONARIO N°6
Determine la solución de las siguientes series de progresiones.
1. Interpolar 3 medios geométricas entre 6250 y 10
2. Interpolar 4 medios geométricos entre1
1
2
𝑦
16
81
3. Calcular la suma de. 54, 18, 6……………………
2
27
4. Calcular el dato que falta:
a. 𝑡1 = 1 𝑡7 = 64 𝑟 =? 𝑆 =?
b. 𝑡1 = 2 𝑡 𝑛 = 162 𝑟 = 3 𝑆 =
c. 𝑡 𝑛 = 54 𝑡1 =
2
9
𝑟 =? 𝑛 = ? 𝑆 = 80
8
9
d. 𝑡6 = ? 𝑡1 = 3 𝑟 = 2 𝑆 =?

“CONTINENTAL”
BLOQUE 2:
FICHA N°7:
ECUACIÓN DE LA
RECTA
OBJETIVOS:
Determinar la función de una recta en el plano cartesiano y poder representar gráficamente, al
igual que la determinación de la pendiente y su sentido de inclinación.
 Determinar la pendiente de una recta a partir de su ecuación escritas en sus diferentes
formas
 Graficar una recta, dada su ecuación en sus diferentes formas.
Objetivo Educativo.
Sea la recta de la pendiente m que pasa por el punto de coordenadas (𝑥1, 𝑦1), que tiene como
ecuación la siguiente expresión
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 = 𝑚𝑥 − 𝑚𝑥1 + 𝑦1
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑚(𝑦1 − 𝑥1)
Siendo la pendiente y las coordenadas (𝑥1, 𝑦1) valores reales, entonces la expresión (𝑥1, −𝑚𝑦1)
también es un valor real que lo nombraremos con “b” , entonces la ecuación queda expresada
de la siguiente manera:
𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃
En esta forma como ya vimos “m” es la pendiente y “b” es la ordenada de intersección de la
recta con el eje vertical. Ejemplo:

“CONTINENTAL”
Hallar la ecuación reducida de la recta que pasa por los puntos (2,3) 𝑦 (−1, −3) y
comprobaron el valor de la pendiente y el punto de corte con el eje vertical (-1,-3).
4
3
2 (2,3)
1
-3 -2 -1 1 1 2
-2
Determinación.
𝑚 =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
=
3−(−3)
2−(−1)
=
3+3
2+1
=
6
3
= 2
Escribimos la ecuación punto pendiente, transformemos la forma reducida y comprobemos los
parámetros:
𝑦 − 3 = 2(𝑥 − 2)
𝑦 − 3 = 2𝑥 − 4
𝑦 − 3 = 2𝑥 − 1
Y-3+2=2x
y=2x+1
𝑚 = 2 → 𝑏 = 1

“CONTINENTAL”
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA:
Tomemos como referencia la misma recta anterior:
𝒚 − 𝟑 = 𝟐(𝒙 − 𝟐)
𝑦 − 3 = 2𝑥 − 4
0 = 2𝑥 − 𝑦 − 4 + 3
𝟐𝒙 − 𝒚 − 𝟏 = 𝟎
Realicemos esta expresión con la fórmula de la ecuación general de la recta:
𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎
En donde:
𝐴 = 2 𝐵 = −1 𝐶 = −1
𝑚 = −
𝐴
𝐵
𝐵 = −
𝐶
𝐵
Comprobemos las relaciones en la ecuación estudiada:
𝟐𝒙 − 𝒚 − 𝟏 = 𝟎
𝑚 = −
2
(−1)
= 2
𝑏 = −
(−1)
(−1)
= −1
GRAFICA DE LA ECUACIÓN REDUCIDA DE LA RECTA
Conociendo el significado de cada elemento de la ecuación de reducida de la recta , la
elaboración de la gráfica se facilita de manera significativa. Ejemplo:
𝑦 = −2𝑥 − 6

“CONTINENTAL”
En esta ecuación observamos lo siguiente:
1. La pendiente es negativa, por lo tanto la recta es decreciente en todo su dominio.
2. La ordenada que determina el punto de corte con el eje vertical es -6.
3. La abscisa que determina el punto de corte con el eje horizontal es -3 este valor se
obtiene cuando y = 0
𝑦 = −2𝑥 − 6
𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦 = 0, 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒:
0 = −2𝑥 − 6
2𝑥 = −6
𝑥 = −
6
2
= −3
Estos parámetros son suficientes para graficar la recta con absoluta precisión:
Hallar la ecuación reducida de la recta que pasa por los puntos (2,3) 𝑦 (−1, −3) y
comprobaron el valor de la pendiente y el punto de corte con el eje vertical.
GRAFICA DE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.
De manera análoga a la anterior, se conoce el significado de cada elemento de la ecuación de
general de la recta, la gráfica es igual de sencilla:
Ejemplo:
Graficar la recta 2𝑥 − 3𝑦 − 6 = 0
Igualmente de esta ecuación podemos deducir lo siguiente:
1. La pendiente es positiva, por lo por lo tanto la ecuación es creciente en tanto que su
dominio:
𝐴 = 2 𝐵 = −3 𝐶 = −6
𝑚 = −
𝐴
𝐵
𝐵 = −
2
−3
=
2
3
2. La pendiente que determina el punto de corte con el eje vertical es 3
𝑏 = −
𝐶
𝐵
= −
−6
−3
= −2

“CONTINENTAL”
3. La abscisa que determina el punto de corte con el eje horizontal es 3 y se calcula así:
𝑎 = −
𝐶
𝐴
= −
−6
2
= 3
𝑦 = −2𝑥 − 6
𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟔 = 𝟎
-
4
3
2
1
-3 -2 -1 -1 1 2 3
-2
Corte en el eje horizontal (3) -3
Corte eje vertical (-2)

“CONTINENTAL”
LECCIÓN N°7
INVESTIGO N°7
Escribir el significado geométrico de m y b de la ecuación reducida de la recta.
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Explica el proceso para graficar una recta a partir de su ecuación reducida.
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Explicar el proceso para graficar una recta a partir de su ecuación general:
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
FECHA: ___________________________________
PROFESOR: ________________________________

“CONTINENTAL”
Formula
Es
RESUMO N°7
Complete el siguiente mapa conceptual.
Ecuación reducida de la recta Ecuación general de la recta
Proceso
es
GLOSARIO N°7
Ecuación reducida:……………………………………………………………………………………………………………
Decreciente……………………………………………………………………………………………………………………….
Punto de intersección horizontal……………………………………………………………………………………….
Punto de intersección vertical…………………………………………………………………………………………..
Abscisa……………………………………………………………………………………………………………………………..

“CONTINENTAL”
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
CUESTIONARIO N°7
1. Hallar la ecuación reducida de la recta que pasa por el punto (3, −5) y es paralela a la
recta 𝑦 = −2𝑥 + 2
2. Encuentre la pendiente y el punto de corte con el eje vertical de la recta2𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0.
3. Escriba la ecuación reducida y general de la recta que pasa por los puntos 𝐴(−2,5) 𝑦 𝐵(4, −3)

“CONTINENTAL”
BLOQUE 2:
FICHA N°8:
ECUACIONES LINEALES
OBJETIVOS:
Plantear sistemas de ecuaciones lineales y determinar soluciones aplicando diversos métodos
de solución analizados a continuación
 Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos variables de la gráfica y analítica.
 Plantear sistema de ecuaciones lineales.
 Optimizar el medio de solución del sistema de ecuaciones.
Objetivo Educativo.
SISTEMA DE DOS ECUACIONES
Un sistema es un conjunto de ecuaciones agrupadas con la finalidad de buscarles una solución
común. Las coordenadas del punto de corte o intersección entre dos líneas rectas, constituye la
solución al sistemas planteado.
SISTEMAS CONSISTENTES E INCONSISTENTES:
𝒍 𝟐 𝒍 𝟏 𝒍 𝟏
𝒍 𝟐
Sistema Consistente Sistema inconsistente

“CONTINENTAL”
𝑦 = 3
Un sistema consistente, cuanto tiene solución, es decir, las rectas se intersectan en un punto que tiene
coordenadas reales. Un sistema, inconsistente cuando no tiene solución, es decir, que las rectas no se
intersectan en ningún punto.
Para poder resolver un sistema de ecuaciones se debe cumplir con una condición básica y elemental:
“El número de ecuaciones debe ser igual al número de incógnitas presentes en el sistema”
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales existen varios métodos como el de reducción,
sustitución, igualación, a través de la regla de Kramer y también se puede resolver de manera
gráfica aunque no es tan confiable.
MÉTODO DE REDUCCIÓN
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, por el método de
reducción, se recomienda los siguientes pasos:
1. Se prepara las dos ecuaciones, multiplicándola por el número que convenga. La idea es igualar
los coeficientes de una misma variable pero con signo contrario para poderlas suprimirlas.
2. Restamos o suprimimos los términos igualados, y de esa manera desaparece una de las
incógnitas.
3. Se resuelve la ecuación resultante.
4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y luego se resuelve.
5. Los dos valores obtenidos constituye la solución del sistema.
Ejemplo:
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
2𝑥 − 3𝑦 = −5 (1)
𝑥 + 2𝑦 = −8 (2)
En este caso es mejor igualar los coeficientes de “x”, para ello la ecuación (2), se multiplica por (-2) y de
esa manera está lista para reducirse.
2𝑥 − 3𝑦 = −5
𝑥 + 2𝑦 = −8𝑥 (−2)

“CONTINENTAL”
En la primera ecuación.
2𝑥 − 3𝑦 = −5
2𝑥 − 3(3) = −5
2𝑥 = 9 − 5
𝑥 =
4
2
X=2
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN:
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, por el método de sustitución, se
recomienda los siguientes pasos:
1. Se despeja una de las variables o incógnitas en cualquiera de las incógnitas, en lo posible
despejar la variable del término cuyo coeficiente sea uno.
2. Una vez despejada la variable, remplazar esta expresión en la otra ecuación, de esta manera se
obtiene una tercera ecuación. Con una sola incógnita.
3. Se despeja la variable y se remplaza en la tercera ecuación para hallar el valor de la incógnita
resultante.
Ejemplo:
2𝑥 − 3𝑦 = −5
𝑥 + 2𝑦 = 8
En este caso lo mejor es despejar la variable 𝑥 de la segunda ecuación por tener al uno como
coeficiente.
En la segunda ecuación.
𝑥 + 2𝑦 = 8
𝑥 = 8 − 2𝑦
Reemplazamos la variable despejada en este caso la “x”
2(8 − 2𝑦) − 3𝑦 = −5
16 − 4𝑦 − 3𝑦 = −5

“CONTINENTAL”
𝑦 = 3
x= 2
Resolvemos la función.
−7𝑦 = −5 − 16
y =
−21
−7
Finalmente reemplazamos en valor obtenido, en este caso obtuvimos el valor de “y”.
𝑥 = 8 − 2(3)
𝑥 = 8 − 6

“CONTINENTAL”
LECCION N° 8
INVESTIGO N° 8
Sintetizar el método de reducción para resolver el sistema de ecuaciones lineales.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Sintetizar el método de sustitución para resolver el sistema de ecuaciones lineales.
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
RESUMO N° 8
. Elabore un mapa conceptual sobre el sistema de ecuaciones lineales: método de
reducción y el método de sustitución.
5.
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
FECHA: ___________________________________
PROFESOR: ________________________________

“CONTINENTAL”
GLOSARIO N° 8
Sistema es:
Ecuaciones:
1.
Rectas de intersección.
1.
Rectas paralelas es:
1.
Igualdad es:
6.

“CONTINENTAL”
CUESTIONARIO N° 8
1. Determine el resultado de los valores de y y de x en el siguiente sistema de
Ecuaciones lineales por el método reducción: Señale la respuesta
2𝑥 − 3𝑦 = −19
− 𝑥 + 5𝑦 = 27
 ( )𝑥1 = −2 𝑦 = 5
 ( )𝑥1 = 12 𝑦 = −5
 ( ) 𝑥1 = −3 𝑦 = 2
2. Determine el resultado de los valores de (y) y de x en el siguiente sistema de
Ecuaciones lineales por el método sustitución: Señale la respuesta
𝑥 + 3𝑦 = 8
𝑥 + 2𝑦 = 1
 ( )𝑥1 = −13 𝑦 = 7
 ( )𝑥1 = 13 𝑦 = −7
 ( ) 𝑥1 = 7 𝑦 = 1
3. Determine el resultado de los valores de yy de x en el siguiente sistema de
Ecuaciones lineales por el método sustitución: Señale la respuesta
𝑥 + 3𝑦 = 8
2𝑥 + 3𝑦 = 7
 ( )𝑥1 = −1 𝑦 = 2
 ( )𝑥1 = 3 𝑦 = −2

“CONTINENTAL”
BLOQUE 2:
FICHA N°9:
Intersecciones y Determinantes
OBJETIVOS:
Dar solución al sistema de ecuaciones mediante métodos gráficos que analizaremos en esta
lección, fomentar el desempeño gráfico y desarrollo del pensamiento.
 Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos variables de la gráfica y analítica.
 Resolver un sistema de ecuaciones por el método de determinantes.
Objetivo Educativo.
Entonces x e y pueden ser encontradas con la regla de Cramer, con una división de determinantes, de
la siguiente manera:
Literalmente planteamos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y planteamos la siguiente
matriz, que nos permitirá determinar los valores de “X” y ”Y”.
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒
𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓

“CONTINENTAL”
Para mejor entendimiento realizamos una demostración con un sistema de ecuaciones de dos
incógnitas.
Ejemplo:
Resuelva el sistema anterior para comprobar la validez del método:
{
2𝑥 + 3𝑦 = 1 (1)
2𝑥 − 𝑦 = 3 (2)
𝑥 =
|
1 3
×
3 − 1
|
|
2 3
×
2 − 1
|
=
1(−1) − (3)(3)
2(−1) − 3(2)
=
−1 − 9
−2 − 6
→ =
−10
−8
𝒙 =
𝟓
𝟒
𝑦 =
|
2 1
×
2 3
|
|
2 3
×
2 − 1
|
=
2(3) − (1)(2)
2(−1) − 3(2)
=
6 − 2
−2 − 6
→=
4
−8
𝒙 = −
𝟏
𝟐
El método es Válido.
MÉTODO GRAFICO
Habíamos determinado que las ecuaciones lineales rectas pueden ser representadas en el plano
cartesiano, entonces las coordenadas del punto de corte o intersección entre dos líneas rectas,
constituye la solución del sistema planteado:
Ejemplo:
Resolver gráficamente el siguiente sistema:
{
3𝑥 − 𝑦 = 6 (1)
−𝑥 − 2𝑦 = 5 (2)
Usaremos la gráfica que se obtiene a través de la ecuación general de la recta.
3𝑥 − 𝑦 − 6 = 0 𝑎 = 3 𝑏 = −1 𝑐 = −6
𝑏 = −
𝑐
𝑏
=
(−6)
(−1)
= 6 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦

“CONTINENTAL”
𝑎 = −
𝑐
𝑎
=
(−6)
(−1)
= 2 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥
En (2)
−𝑥 − 2𝑦 = 5
𝑎 = −1 𝑏 = −2 𝑐 = −5
𝑏 = −
𝑐
𝑏
=
(−5)
(−2)
= −
5
2
𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒
𝑎 = −
𝑐
𝑎
=
(−5)
(−1)
= −5 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥
El punto de intersección entre ellas corresponderá la solución del sistema:
Para comprobar analíticamente el resultado, las
coordenadas del punto de corte deben satisfacer las
ecuaciones del sistema.
𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛. (1, −3)
𝑬𝒏(𝟏)
𝟑𝒙 − 𝒚 = 𝟔
𝟑(𝟏) − (−𝟑) = 𝟔
𝟑 + 𝟑 = 𝟔 → 𝒔𝒂𝒕𝒊𝒔𝒇𝒂𝒄𝒆 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏
𝑬𝒏 (𝟐)
−𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟓
−𝟏 + 𝟔 = 𝟓 → 𝒔𝒂𝒕𝒊𝒔𝒇𝒂𝒄𝒆 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏

“CONTINENTAL”
LECCION Nº 9
INVESTIGO Nº 9
Investigue sobre el método de Gabriel Cramer
7.
RESUMO Nº 9
Elabore un mapa conceptual sobre de la aplicación del método de Cramer:
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
FECHA: ___________________________________
PROFESOR: ________________________________

“CONTINENTAL”
GLOSARIO Nº 9
Sintetizar es: _________________________________________________________________
Ecuación: ______________________________________________________________
Paralelos. ______________________________________________________________
Rectas paralelas es: _______________________________________________________
Intersección:____________________________________________________________
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CUESTIONARIO Nº 9
Determine los valores de “X” y de “Y” en el siguiente sistema de ecuaciones lineales por el
método Cramer. Señale la respuesta
{
2𝑥 − 3𝑦 = −19
− 𝑥 + 5𝑦 = 27


“CONTINENTAL”
Determine los valores de “X” y de “Y” en el siguiente sistema de ecuaciones lineales por el
método Cramer:
{
𝑥 + 3𝑦 = 8
𝑥 + 2𝑦 = 1
 ( )𝑥1 = −13 𝑦 = 7
 ( )𝑥1 = 13 𝑦 = −7
 ( ) 𝑥1 = 7 𝑦 = 1
Responda falso o verdadero:
El método más adecuado para resolver una ecuación lineal es de sustitución.
Con el método de sustitución es posible que existan dos soluciones para un sistema de
ecuaciones lineales.
Es posible que existan dos soluciones para un sistema de ecuaciones lineales con tres
incógnitas.
Con el método de Cramer es posible que existan seis soluciones para un sistema de
ecuaciones lineales con tres incógnitas.

“CONTINENTAL”
BLOQUE 2:
FICHA N°10:
Modelado de Sistemas de
Ecuaciones.
OBJETIVOS:
Analizar problemas que ameriten una solución múltiple por los métodos analizados
anteriormente, aplicación de las herramientas de solución para los sistemas de ecuaciones.
Destreza de Criterio de desempeño
 Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos variables de la gráfica y analítica
 Plantear un sistema de ecuaciones lineales
 Determinar soluciones al sistema de ecuaciones lineales
Objetivo Educativo.
Resolver un problema implica trasformar un enunciado en un modelo matemático; el proceso
no es fácil pero con un poco de práctica y cierta metodología se facilita el proceso de
resolución-
Comprensión del enunciado:
Constituye la parte fundamental para iniciar la construcción del modelo matemático, es importante,
mientras se lee, identificar lo que se desea averiguar y con esto viene implícito lo identificación de las
variables
Modelo matemático:
Significa traducir el problema en una o varias ecuaciones que tengan un
planteamiento lógico y consistente.

“CONTINENTAL”
Ejecución del modelo:
Aquí se aplica todos los métodos aprendidos para la resolución del modelo matemático. Es fundamental
comprobar los resultados después del proceso.
Ejemplo:
María ha comprado 2 pantalones y cinco camisas en $ 160 dólares ¿En este problema está claro que se
desea investigar el valor de cada artículo, sabiendo que su prima en el mismo almacén pago $ 130
dólares por 3 pantalones y 2 camisas?
Comprensión del enunciado
En este problema está claro que se desea investigar el valor de cada artículo y a través de una simple
comparación de precios, sin duda cada mujer ha comprado diferente cantidad de artículos sabiendo que
el precio de los mismos no ha cambiado, puesto que el problema dice que fueron adquiridos en el
mismo almacén.
Modelo matemático.
Para el modelo matemático, usaremos p para identificar la variable pantalones y c para la variable
camisas.
Lo que compro María:
2𝑝 + 5𝑐 = 160
Lo que compro la prima:
3𝑝 + 2𝑐 = 130
Con estos datos podemos ya plantear el modelo matemático a trasvés de un sistema, puesto que se
tiene dos incógnitas y dos ecuaciones:
{
2𝑝 + 5𝑐 = 160
3𝑝 + 2𝑐 = 130
Ejecución del modelo: Apliquemos reducciones para resolver el sistema:
Cada camisa costo $20 dólares
y $30 dólares cada pantalón.
Estos valores satisfacen las
ecuaciones del sistema.

“CONTINENTAL”
LECCION N° 10
INVESTIGO N° 10
8. Investigue sobre el proceso para la solución de ecuaciones lineales con dos incógnitas y
poner un ejemplo:
9.
RESUMO N° 10
Elabore un mapa conceptual sobre la solución de problemas:
10.
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
FECHA: ___________________________________
PROFESOR: ________________________________

“CONTINENTAL”
GLOSARIO N° 10
Compresión:
Modelo matemático:
2.
Enunciado.
2.
Ejecución del modelo:
2.
Ecuación lineal:
11.

“CONTINENTAL”
CUESTIONARIO N° 10
EN LOS SIGUIENTE PROBLEMAS SEÑALE CON UNA X LA RESPUESTA SEGÚN DONDE
CORRESPONDA:
1. Carlos y José fueron a pescar. Al fin del día Carlos dijo “si tú me das uno de tus peces, entonces yo
tendré el doble que tú”. José le respondió: Si tú me das uno de tus peces, yo tendré el mismo número
de peces que tú”. ¿Cuántos peces tenían cada uno al final del día.
 ( )𝑥1 = −13 𝑦 = 7
 ( )𝑥1 = 13 𝑦 = −7
 ( ) 𝑥1 = 7 𝑦 = 1
H
2. La diferencia de dos números es 14 y
1
4
de su suma es 13. Hallar los números.
 ( )𝑥1 = 33 𝑦 = 19
 ( )𝑥 = 12 𝑦 = −5
 ( ) 𝑥 = −3 𝑦 = 2


“CONTINENTAL”
3.6 libras de café y cinco libras de azúcar costaron $ 2, 27 y 5 libras de café y 4 libras de azúcar
(a los mismos precios) costaron $ 1.88. Hallar el precio de una libra de café y una de azúcar.
 ( )𝑥 = 33 𝑦 = 19
 ( )𝑥1 = 32 𝑦 = 7
 ( ) 𝑥 = −3 𝑦 = 2


“CONTINENTAL”
SEGUNDO QUIMESTRE
BLOQUE 3:
MATEMÁTICA DISCRETA
FICHA N°11:
SISTEMAS
TRIDIMENSIONALES
OBJETIVOS:
Analizar problemas que ameriten una solución múltiple por los métodos analizados
anteriormente, aplicación de las herramientas de solución para los sistemas de ecuaciones.
Destreza de Criterio de desempeño
 Resolver un sistema de dos ecuaciones con 3× 3 en función a las reglas establecidas.
 Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos variables de la gráfica y analítica
 Plantear un sistema de ecuaciones lineales
Objetivo Educativo.
SISTEMAS DE ECUACIONES DE 3x3
Estos sistemas se caracterizan por tener tres incógnitas, por lo tanto se necesitarán al menos
tres ecuaciones para poder resolverlos. Para solucionar estos sistemas se usan de forma
pormenorizada los mismos métodos usados en los sistemas anteriores, usando siempre una de
las ecuaciones como enlace entre las otra dos.
El a nuestro alrededor es tridimensional a simple vista, pero en realidad hay más dimensiones,
por lo que también puede ser considerado un espacio tetra-dimensional si incluimos
el tiempo como cuarta dimensión.

“CONTINENTAL”
Para mejorar el entendimiento resolvemos el sistema tridimensional de ecuaciones.
Ejemplo:
Nombramos a las ecuaciones como se indica.
{
𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 10
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = −12
−𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 7
Con (1) y (2)
(1)
(2)
(3)
𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 10
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = −12
.
× (−1)
𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 10
−𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 12
.
5𝑦 − 4𝑧 = 17
Con (1) y (3)
𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 10
−𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 7
.
4𝑦 − 3𝑧 = 17
Con (4) y (5)
5𝑦 − 4𝑧 = 22 (−4)
4𝑦 − 3𝑧 = 17 (5)
−20𝑦 + 16𝑧 = −88
20𝑦 − 15𝑧 = 85
.
𝒛 = −𝟑
Como vemos se ha tomado la ecuación (1)como enlace entre los otros dos ecuaciones y en cada caso
se ha procedido a reducir la misma variable para obtener las ecuaciones (4) 𝑦 (5 ) se ha procedido a
reducir la variable y para poder hallar la variable z

“CONTINENTAL”
Con el valor de “z” calculado se puede remplazar en cualquiera de las ecuaciones (4) 𝑜 (5 )para hallar
el valor del variable “y”.
En (4)
5𝑦 − 4𝑧 = 22
4𝑦 − 4(−3) = 22
5𝑦 + 12 = 22
5𝑦 = 22 − 12
5𝑦 = 10
𝑦 =
10
5
𝒚 = 𝟐
Si remplazamos el valor de “z” en la ecuación (5), deberíamos obtener el mismo resultado para “y”
En (5)
4𝑦 − 3𝑧 = 17
4(2) − 3𝑧 = 17
8 − 3𝑧 = 17
−3𝑦 = 17 − 8
−3𝑧 = 9
𝒛 =
𝟗
−𝟑
→ 𝑧 = −3
Conociendo los valores de “Z” y “Y”, entonces se puede reemplazar en cualquiera de las ecuaciones
(1), (2)𝑜 (3)
𝒚 = 𝟐 𝒛 = −𝟑
Reemplazamos en la tercera ecuación del sistema.
−𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 7
−𝑥 + (2) − 2(−3) = 7
−𝑥 + 2 + 6 = 7 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 − 𝑥 + 8 = 7
𝒙 = 𝟏𝟓

“CONTINENTAL”
LECCION N° 11
INVESTIGO N°11
Elabore un concepción general sobre el sistema de ecuaciones:
12.
RESUMO N°11
Elabore un mapa conceptual sobre la solución de problemas:
13.
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
FECHA: ___________________________________
PARALELO: ________________________________
PROFESOR: ________________________________

“CONTINENTAL”
GLOSARIO N°11
Determinante:
Matriz:
3.
Sistema.
3.
Constante:
3.
Variable:
Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado
1.

“CONTINENTAL”
CUESTIONARIO N°11
EN LOS SIGUIENTES EJERCICIOS SEÑALE CON UNA X LA RESPUESTA SEGÚN DONDE
CORRESPONDA:
1. {
𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = 6
2𝑥 + 5𝑦 − 7𝑧 = −9
3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2
 ( )𝑥1 = 1 𝑦 = 2 𝑧 = 3
 ( )𝑥1 = 3 𝑦 = −7 𝑧 = 3
 ( ) 𝑥1 = 7 𝑦 = 1 𝑧 = 2

H
2.{
2𝑥 − 5𝑦 = 13
4𝑦 + 𝑧 = −8
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = −2
 ( )𝑥 = 1 𝑦 = 2 𝑧 = 3
 ( )𝑥 = −1 𝑦 = −3 𝑧 = 4
 ( ) 𝑥 = 7 𝑦 = 1 𝑧 = 2
 ( )𝑥1 = −13 𝑦 = 7

“CONTINENTAL”
3. {
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4
2𝑥 − 3𝑦 + 5𝑧 = −5
3𝑥 + 4𝑦 + 7𝑧 = 10
 ( )𝑥 = 5 𝑦 = 4 𝑧 = 3
 ( )𝑥 = 1 𝑦 = 3 𝑧 = 4
 ( ) 𝑥 = 5 𝑦 = 4 𝑧 = 2
1.

“CONTINENTAL”
BLOQUE 3:
MATEMÁTICA DISCRETA:
FICHA N°12:
FUNCIONES E
INTERSECCIONES
Objetivos
Determinación de los puntos donde se intersecan las funciones lineales en los ejes vertical y
horizontal respectivamente.
 Determinar la intersección de una recta con el eje horizontal a partir de la resolución de
la ecuación 𝑓 (𝑥) = 0 en donde f es la función cuya gráfica es la recta.
 Puntos de solución de un sistema de ecuaciones.
 Análisis gráfico y determinación de soluciones a los sistemas presentados.
Objetivo Educativo.
INTERSECCIÓN DE UNA RECTA CON EL EJE HORIZONTAL.
Otro de los procedimientos prácticos para hallar analíticamente la intersección de una recta
con el eje horizontal es a través de la consideración de la siguiente condición:
Primeramente determinamos la ecuación de la recta.
Cuando la línea recta corta el eje horizontal, el recorrido de la función (𝑦) se ubica en el cero
del eje horizontal; por lo tanto si igualamos la función a cero y despejamos la variable
independiente “x”, se obtendrá el punto de corte con el eje horizontal.
Para determinar el punto de intersección en el eje horizontal “x” la variable “y” toma el valor de
cero, igualmente para determinar el valor del punto en el eje vertical “y” el valor de la variable
“x” toma el valor de cero.

“CONTINENTAL”
𝑦 = 3𝑥 − 6
Para determinar el procedimiento de intersección de una función con los ejes procedemos de la
siguiente manera.
Ejemplo:
a) Hallar el punto de intersección de la recta que pasa por los puntos 𝐴(0, −6) 𝑦 𝐵(1, −3) con
el eje x.
Apoyémonos en el gráfico para comprobar la validez del procedimiento.
Hallemos y comprobemos la ecuación
de la recta:
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑚 =
−3 − (−6)
1 − 0
=
−3 + 6
1
= 3
𝑚 = 3
Con el punto 𝐵(1, −3)
𝑦 − 𝑦1 = m(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − (−3) = 3(𝑥 − 1)
𝑦 + 3 = 3𝑥 − 3
𝑦 = 3𝑥 − 3 − 3
El punto de intersección de esta recta con el eje horizontal se calcula cuando 𝑓(𝑥) = 0
𝑓(𝑥) = 0
0 = 3𝑥 − 6
6 = 3𝑥
𝑥 = 2

“CONTINENTAL”
LECCION N° 12
INVESTIGO N° 12
Sintetice el proceso para determinar la intersección de una recta con el eje vertical a partir de
la evaluación de la función en x = 0:
2.
RESUMO N° 12
Elabore un mapa conceptual sobre la Intersección de una recta con el eje horizontal y la
intercepción de una recta con el eje vertical:
3.
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
FECHA: ___________________________________
PROFESOR: ________________________________

“CONTINENTAL”
GLOSARIO N° 12
Eje vertical:
Eje horizontal:
4.
Abscisa.
4.
Corte:
4.
Intersección:


“CONTINENTAL”
CUESTIONARIO N°12
CORRESPONDA:
1. Hallar analíticamente el punto de intercesión de la recta 𝟐𝒙 − 𝟓𝒚 = 𝟗 con el eje horizontal
 ( ) 𝑥 = 0 𝑦 = −
9
2
 ( ) 𝑥 = 0 𝑦 = 4
 ( ) 𝑥 = 0 𝑦 = −
3
2

H
2. Hallar el punto de intersección de la recta que pasa por los puntos 𝑨(𝟎, −𝟔)(𝟏, −𝟑)
 ( )𝑥 = 1 𝑦 = 0
 ( )𝑥 = 2 𝑦 = 0
 ( ) 𝑥 = −2 𝑦 = 0
 ( )𝑥1 = −13 𝑦 = 7


“CONTINENTAL”
3. Hallar analíticamente el punto de intersección de la recta 3𝑥 + 2𝑦 − 12 = 0 con el eje de la
horizontal.
 ( ) 𝑥 =
10
2
𝑦 = 0
 ( ) 𝑥 = 1 𝑦 = 3
 ( ) 𝑥 =
9
2
𝑦 = 0
 ( )𝑁𝐴

4. Hallar el punto de intersección con el eje vertical de la recta que pasa por los puntos de coordenadas
𝐴(−2, 3 ) 𝑦 𝐵(2, −5)
 ( ) 𝑥 = −1 𝑦 = 0
 ( ) 𝑥 = −1 𝑦 = 3
 ( ) 𝑥 =
8
3
𝑦 = 0

“CONTINENTAL”
BLOQUE 3:
FICHA N°13:
FUNCIONES E
INTERSECCIONES
Objetivos.
Comprender el teorema que rige las intersecciones en los ejes del plano cartesiano, como lo
son los ejes verticales representados por la f(x).
 Resolver la intersección de una recta sobre el eje vertical en función a una puntos
dados
 Analizar las intersecciones en el eje vertical del plano cartesiano
Objetivo Educativo.
INTERSECCIÓN DE UNA RECTA CON EL EJE VERTICAL
De igual manera, otro de los procedimientos prácticos para hallar analíticamente la intersección
de la recta con eje vertical es atreves de la consideración de las siguientes condiciones:
Cuando la línea recta corta el eje vertical el dominio de la función se ubica en el cero del eje
vertical; por lo tanto si despejamos de la función la variable “x” y evaluamos cuando 𝑓(𝑥) = 0
entonces encontraremos la intersección de la recta con eje vertical.
Los puntos de intersección de cualquier curva (en este caso es recta) con los ejes coordenados
los obtienes haciendo x=0 e y=0.
Por ejemplo x=0,
2x-3y-12=0
2(0)-3y-12=0
3y=-12
y=-4.
Por tanto, el punto de intersección será (0, -4).

“CONTINENTAL”
Determinamos otra intersección.
Ejemplo:
𝑓(𝑥) = −2𝑥 − 15
Hallemos comprobemos la ecuación de la recta:
𝑚
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑚
−5 − 3
2 − (2)
𝑚
−8
4
= −2
Con el punto 𝐴(−2,3)
𝑦 − 3 = −2[𝑥 − (−2)]
𝑦 − 3 = −2[𝑥 + 2]
𝑦 − 3 = −2𝑥 − 1
Para hallar el punto de intersección de la recta con el eje vertical , debemos expresar la función en
términos de “y” es decir despejar “x”
𝑦 = −2𝑥 − 1
𝑦 + 1 = −2𝑥
𝑥 =
(𝑦 + 1)
2
𝑓(𝑥) = 0
0 =
(𝑦 + 1)
2
0 = −𝑦 − 1
𝑦 = −1
El punto de intersección con el eje vertical es(−1,0)

“CONTINENTAL”
LECCION N° 13
INVESTIGO N°13
Sintetice el proceso para determinar la intersección de una recta con el eje vertical a partir de
la evaluación de la función en x = 0: (l0 líneas)
4.
RESUMO N°13
Elabore un mapa conceptual sobre la Intersección de una recta con el eje horizontal y la
intercepción de una recta con el eje vertical:
5.
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
FECHA: ___________________________________
PROFESOR: ________________________________

“CONTINENTAL”
GLOSARIO N°13
Eje vertical:
Eje horizontal:
5.
Abscisa.
5.
Corte:
5.
Intersección:


“CONTINENTAL”
CUESTIONARIO Nº13
CORRESPONDA:
1. Hallar analíticamente el punto de intercesión de la recta 𝟐𝒙 − 𝟓𝒚 = 𝟗 con el eje horizontal
 ( ) 𝑥 = 0 𝑦 = −
9
2
 ( ) 𝑥 = 0 𝑦 = 4
 ( ) 𝑥 = 0 𝑦 = −
3
2

2. Hallar el punto de intersección de la recta que pasa por los puntos 𝑨(𝟎, −𝟔)(𝟏, −𝟑)
 ( )𝑥 = 1 𝑦 = 0
 ( )𝑥 = 2 𝑦 = 0
 ( ) 𝑥 = −2 𝑦 = 0
1.
 ( )𝑥1 = −13 𝑦 = 7

“CONTINENTAL”
3. Hallar analíticamente el punto de intersección de la recta 3𝑥 + 2𝑦 − 12 = 0 con el eje de la
horizontal.
 ( ) 𝑥 =
10
2
𝑦 = 0
 ( ) 𝑥 = 1 𝑦 = 3
 ( ) 𝑥 =
9
2
𝑦 = 0
 ( )𝑁𝐴
4. Hallar el punto de intersección con el eje vertical de la recta que pasa por los puntos de coordenadas
𝐴(−2, 3 ) 𝑦 𝐵(2, −5)
 ( ) 𝑥 = −1 𝑦 = 0
 ( ) 𝑥 = −1 𝑦 = 3
 ( ) 𝑥 =
8
3
𝑦 = 0


“CONTINENTAL”
BLOQUE 3:
FICHA N°14:
INECUACIONES
Objetivos.
Reconocer la simbología de las inecuaciones y determinar sus soluciones analíticas mediante el
uso del plano cartesiano.
 Resolver la intersección de una recta sobre el eje vertical en función a una puntos
dados
 Graficar las inecuaciones determinado sus símbolos de igualdad y desigualdad.
 Resolver sistemas de inecuaciones de dos incógnitas.
Objetivo Educativo.
Una inecuación es una expresión matemática que se caracteriza por tener los signos de una
desigualdad (>, <). Al tratarse de una expresión algebraica el resultado es un conjunto, en el
cual la variable independiente puede tomar un valor cualquier con las condiciones planteadas
en la desigualdad. A este conjunto se le conoce como intervalo
INECUACIONES
Los intervalos pueden ser de varios tipos
a. Intervalo cerrado, es decir que incluye los límites.
[𝒂, 𝒃] → 𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃
b. Intervalo abierto, es decir que no incluye los limites.
(𝒂, 𝒃 ) → 𝒂 < 𝑥 < 𝑏

“CONTINENTAL”
c. Intervalo semiabierto, es decir que no incluye uno de los limites, esto por lo general sucede
con los intervalos al infinito.
(−∞, 𝒂] → 𝒙 ≤ 𝒂
𝐆𝐑𝐀𝐅𝐈𝐂𝐀𝐒 𝐃𝐄 𝐔𝐍𝐀 𝐈𝐍𝐄𝐂𝐔𝐀𝐂𝐈𝐎𝐍
Para graficar una inecuación lineal se recomienda tomar en cuenta los siguientes pasos:
1. Siendo la inecuación 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 < 0, realiza la gráfica de la recta 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
Para ello se puede seguir cualquier de los procedimientos estudiados anteriormente,
sin olvidar que para graficar una recta dos puntos son suficientes
2. Una vez elaborada la gráfica de la recta, seleccionar un punto que se encuentra afuera
de la línea recta.
3. Si las coordenadas del punto seleccionados satisfacen las condiciones planteadas en la
inecuación, entonces sombrear le semiplano que contiene ese punto. Si no satisface la
inecuación, entonces se deberá sombrear el otro semiplano.
El semiplano sombreado constituye la solución de la inecuación.
Ejemplo:
Graficar la inecuación 2𝑥 − 3𝑦 > 12 y determina r el semiplano solución. Usemos los
puntos de intersección de la recta 2𝑥 − 3𝑦 > 0 con el eje horizontal y vertical.
2𝑥 − 3𝑦 = 12
2𝑥 − 12 = 3𝑦
𝑦 =
2𝑥 − 12
3
𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦 = 0
2𝑥 − 12 = 0
𝑥 = 6 → (0,6) 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙

“CONTINENTAL”
Punto de corte en el eje vertical.
Con eje vertical
2𝑥 = 3𝑦 + 12
𝑦 =
12 + 3𝑦
2
𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = 0
12 + 3𝑦 = 0
𝑦 =
12
3
→ (0, −4) 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
Ejemplo
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 -1 2 3 6
-2 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒(1, −3)

“CONTINENTAL”
LECCION N° 14
INVESTIGO N°14
Elabore una concepción de inecuaciones
1.
RESUMO N°14
Elabore un mapa conceptual sobre las inecuaciones
2.
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
FECHA: ___________________________________
PARALELO: ________________________________
PROFESOR: ________________________________

“CONTINENTAL”
GLOSARIO N°14
Inecuación lineal:
Inecuación cuadrática:
6.
Intervalo cerrado.
6.
Intervalo abierto:
6.
Intervalo semiabierto:
3.

“CONTINENTAL”
CUESTIONARIO N°14
CORRESPONDA: REALICE EL PROCESO.
Que significa inecuación
Responda falso o verdadero según la respuesta:
Inecuación es una expresión matemática que se caracteriza por tener presente el signo de la
igualdad.
Grafiqué la inecuación dada:
2𝑥 − 3𝑦 > 12

H
2 Grafiqué la inecuación dada:
2𝑥 − 3𝑦 < 6
 ( )𝑥1 = −13 𝑦 = 7

“CONTINENTAL”
3. Grafiqué la inecuación dada:
3𝑥 − 𝑦 ≥ 9
1.

“CONTINENTAL”
BLOQUE 3:
MATEMÁTICA
DISCRETA
FICHA N°15:
La Parábola
Objetivos:
Estudiar la ecuación cuadrática, determinar su gráfica y sus comportamientos en el plano
cartesiano.
 La ecuación cuadrática y su método de resolución de la misma, de igual manera que tipo
de grafica representa la ecuación cuadrática en el plano.
 Curvatura y solución de sistemas cuadráticos
 Punto vértice y recorridos.
Objetivo Educativo.
La ecuación cuadrática o también conocida como la ecuación de segundo grado es aquella
ecuación que obedece a un polinomio de segundo grado de la forma ax2 + bx + c igual a cero.
Donde el coeficiente "a" es necesariamente diferente a cero (En el caso que a = 0 se obtiene
una ecuación lineal o de primer orden)
El teorema fundamental del álgebra garantiza que un polinomio de grado dos tiene dos
soluciones que son precisamente las que se generan con el signo “+” y “-“ de la x que se obtuvo
Lo que para determinar la solución al sistema de ecuaciones cuadráticas nos da una función
más conocida como la “ fórmula general ” la misma que será de gran ayuda para determinar la
respuesta del sistema de funciones.

“CONTINENTAL”
De esta manera se tiene
Si la ecuación tiene dos raíces reales diferentes entre sí
Si las dos raíces son reales e iguales
Si las dos raíces son complejas conjugadas
Dibujemos la gráfica de f(x) = x2 -2 x - 3.
x -1 0 1 2 3 4
f(x) 0 -3 -4 -3 0 5
Completando la gráfica obtengo:

“CONTINENTAL”
La intersección de rectas y parábolas
Determine los puntos donde las curvas se intersecan
La intersección se da en (1,1) y (-2,2)

“CONTINENTAL”
LECCIÓN N° 15
INVESTIGO N° 15
Investigue todo concerniente a la parábola
2.
RESUMO N° 15
Haga un mapa conceptual acerca de cómo se utiliza la ecuación del teorema fundamental del
algebra
3.
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
FECHA: ___________________________________
PARALELO: ________________________________
PROFESOR: ________________________________

“CONTINENTAL”
GLOSARIO N° 15
Vértice:
Ecuación cuadrática:
7.
Eje focal:
7.
Parábola:
7.
4.

“CONTINENTAL”
CUESTIONARIO N° 15
Resuelva las ecuaciones cuadráticas con la ecuación de la forma a𝒙 𝟐
+ bx + c=0
3𝑥2
− 𝑦 = 9
2𝑥2
− 3𝑦 = 12

Grafiqué la ecuación dada:
2𝑥2
− 3𝑦 = 12


“CONTINENTAL”
Grafiqué la ecuación dada:
2𝑥2
− 3𝑦 = 4
Encuentre los puntos en que se cruzan las curvas:
3𝑥2
− 𝑦 = 9
𝑥 − 𝑦 = 3


“CONTINENTAL”
BLOQUE 4:
Probabilidad y Ecuaciones
Cuadráticas
FICHA N°16:
Intersección de Funciones
Cuadráticas.
OBJETIVOS:
Estudiar la parábola y sus diferentes componentes
 Comprender que las raíces de una ecuación cuadrática son los cruces de la parábola con
el eje u otra parábola.
 Determinar el comportamiento local y global de la función cuadrática a través del
análisis de su dominio, recorrido, crecimiento, decrecimiento, concavidad y simetría y
de la interpretación geométrica de los parámetros que la definen.
Objetivo Educativo.
CRUCES DE LA PARÁBOLA
La parábola al ser una gráfica que como ya vimos tiende una figura parecida con una u es
factible que toque a los ejes cartesianos en 2 ocasiones por lo general, siendo este el caso
podemos utilizar el teorema fundamental del algebra para resolver los puntos en los cuales la
gráfica se encuentra con el eje x o y.
Secuencia para determinaros puntos de intersección.
1) Despejar la “y” de las dos ecuaciones.
2) Igualas las dos fórmulas que te quedara una ecuación de segundo grado, teniendo en cuenta
que tiene que quedar igualada a cero, entonces, hallas “x” con la formula resolvente de la
función cuadrática para hallar las raíces ( x1 y x2 ).

“CONTINENTAL”
3) Una vez que tienes los valores de x, los reemplazas en cualquiera de las dos funciones del
principio para hallar los valores de y que le corresponden.
4) Escribir los dos puntos intersección como pares ordenados
(x1;y1) y (x2;y2)
Primer ejemplo la función esta igualada a cero-
2x2 – x – 1 = 0
Primero se identifican los coeficientes a = 2, b = -1 y c = -1
Luego se procede a reemplazarlos en la fórmula

“CONTINENTAL”
Domino y recorrido de una parábola
La función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c representa una parábola y tiene como dominio los
reales.
El punto máximo o mínimo de la parábola (o sea el vértice) tiene abscisa (coordenada
horizontal)
x = –b/2a.
EJEMPLO :
Graficar y obtener el dominio y recorrido de f(x) = 3x2 – 5x – 6.
El vértice de la parábola se encuentra en x = –(–5)/(2 ´ 3) = 5/6.
Generamos una tabla de valores alrededor de x = 5/6, graficamos y obtenemos el dominio y el
recorrido.
x –1 0 5/6 1 2
f(x) 2 –6 –97/12 –8 –4

“CONTINENTAL”
Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento
Las funciones cuadráticas presentan un tramo en el que son crecientes y otro en el que son
decrecientes. Si a>0, la función f(x) es creciente en el intervalo (+ ∞), y decreciente en el
intervalo (-∞;).Si a<0, la función f(x) es creciente en el intervalo (-∞) , y decreciente en el
intervalo (- ∞).
Concavidad
Otra característica es si la parábola es cóncava o convexa:
También suele decirse que:
* Si a > 0 la parábola es cóncava o con ramas hacia arriba.
* Si a < 0 la parábola es convexa o con ramas hacia abajo.
Simetría
La parábola presenta simetría respecto a una cierta recta vertical. Es decir, si conocemos dos
puntos del gráfico (x1, p) y (x2, p), el eje de simetría pasará por el punto medio entre estos, o
sea

“CONTINENTAL”
LECCION N°16
INVESTIGO N°16
Investigue como se calcula el foco de una parábola
5.
RESUMO N°16
Elabore un mapa conceptual con los tipos de parábolas por la orientación de la
Concavidad y sus gráficas.
6.
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
FECHA: ___________________________________
PARALELO: ________________________________
PROFESOR: ________________________________

“CONTINENTAL”
GLOSARIO N°16
Vértice:
Concavidad:
8.
Eje focal:
8.
Simetría:
8.


“CONTINENTAL”
CUESTIONARIO N°16
Obtener el dominio y el recorrido de las siguientes funciones cuadráticas.
1) f(x) = x2
– 5x – 3
2) f(x) = –2x2
+ 4x – 1
1.
Encuentre la concavidad de forma analítica de la ecuación dada.
2 𝑥2
− 3𝑦 = 12


“CONTINENTAL”
Encuentre el vértice analíticamente de la ecuación dada
𝑥2
− 2𝑦 = 6
Encuentre los puntos en que la parábola se cruza con el eje x y grafique
3 𝑥2
− 𝑦 = 9

“CONTINENTAL”
BLOQUE 4:
Probabilidad y Ecuaciones
Cuadráticas
FICHA N°17:
Máximos y Mínimos de
Funciones Cuadráticas.
OBJETIVOS:
Ampliar el estudio de la ecuación de segundo grado y la parábola.
Destreza de Criterio de desempeño.
 Realizar el análisis de los mínimos y máximos de una parábola.
 Analizar cómo se solucionan sistemas de ecuaciones de segundo grado.
 Determinación de los puntos máximos y mínimos.
Objetivo Educativo.
La parábola cuya ecuación es de la forma Y= a 𝑥2
+ bx + c, abre hacia arriba si a es positiva
entonces tienen un mínimo, cuando a es negativa abre hacia abajo y tiene un máximo.
El mínimo o máximo se encuentra en el punto x= -b / 2a que es el vértice.
Por ejemplo y = 2x^2 + 12x - 4 de donde a =2 , b = 12 sustituimos
x = -b / 2a
x= - 12 / 2*2
x= -12 /4 = -3
Es un mínimo ya que a = 2 es positiva para calcular cuánto vale el mínimo sustituimos en la
parábola y = 2 𝑥2
+ 12x – 4

“CONTINENTAL”
Evaluamos la función cuadrática.
y(3) = 2(−3)2
+ 12(-3) – 4
= 2*9 - 36 -4 = 18 - 36 - 4= -22
SISTEMAS DE ECUACIONES SEGUNDO GRADO
La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución, para ello
seguiremos los siguientes pasos:
1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente la de primer grado
2º Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación
3º Se resuelve la ecuación resultante.
4º Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así
los valores correspondientes de la otra incógnita.
Sistemas de ecuación lineales y rectas.
Al analizar las gráficamente la resolución de sistemas de ecuaciones podemos observar que de
hecho los resultado que vamos a obtener al resolver un sistema de ecuaciones en el cual hay un
ecuación cuadrática y una recta van a ser los puntos en los cuales las 2 se cortan.
Sistemas de Dos Ecuaciones Cuadráticas
Al analizar las gráficamente la resolución de sistemas de ecuaciones de segundo grado
podemos observar que de hecho los resultado que vamos a obtener al resolver un sistema de
ecuaciones en el cual hay dos ecuaciones cuadráticas van a ser los puntos en los cuales las 2 se
cortan.

“CONTINENTAL”
Análisis grafico de funciones lineales y cuadráticas con sus respuestas.
Análisis grafico entre funciones cuadráticas y sus respuestas

“CONTINENTAL”
Conclusiones gráficas.
EJEMPLO:
Ejercicios 1
1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado.
y = 7 − x
2º Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación.
3º Se resuelve la ecuación resultante. (En el lado derecho se muestran los cálculos auxiliares)

“CONTINENTAL”
4º Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así los
valores correspondientes de la otra incógnita.
(Recordar que en el paso 1 hallamos que y = 7 − x)
x = 3 y = 7 − 3 y = 4
x = 4 y = 7 − 4 y = 3
Ejercicio 2
Sistema de ecuaciones
3y = 𝑥2
+1
6y = 𝑥2
+6x-4

“CONTINENTAL”
LECCION N° 17
INVESTIGO N° 17
Investigue 2 métodos de resolución de sistemas de ecuaciones cuadráticas.
2.
RESUMO N° 17
Realice un resumen sobre cómo resolver un sistema de ecuaciones cuadráticas.
3.
NOMBRE: _________________________________
CURSO: ___________________________________
FECHA: ___________________________________
PARALELO: ________________________________
PROFESOR: ________________________________

“CONTINENTAL”
GLOSARIO N° 17
Sistema de ecuaciones
Mínimos de una ecuación
9.
Máximos de una ecuación
9.
Ecuaciones de segundo grado
9.
4.

“CONTINENTAL”
CUESTIONARIO N° 17
Determinar la solución de los sistemas de ecuaciones cuadráticas
y = x2
– 5x – 3
y = –2x2
+ 4x – 1
1.
Determinar la solución del sistema de ecuaciones de segundo grado
2 𝑥2
− 3𝑦 = 12𝑦 + 2𝑥
𝑥2
− 𝑦 = 6


“CONTINENTAL”
Determine la solución del siguiente sistema de ecuaciones
y = x ² + 4.x + 4
3x - 2y = -16
Determine la solución del siguiente sistema de ecuaciones
x ² - x - y = 0
5x + y = 17


Modulo matematica 1_año

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