O documento apresenta uma introdução ao método dos elementos de contorno (MEC). Discute-se a dedução da equação integral de contorno, as vantagens e desvantagens do MEC em relação aos elementos finitos, e exemplos de problemas que podem ser resolvidos com MEC, como potencial e elasticidade.

1. Introdução ao Método dos
Elementos de Contorno
Prof. Raul Bernardo Vidal Pessolani
Depto de Eng Mecânica - PGMEC
Universidade Federal Fluminense
raul@vm.uff.br

2. Programa
1. Aspectos Gerais
Dedução da Eq. integral de Contorno
2. Implementação Numérica
Resolução
3. Exemplos
Potencial, Elasticidade
Interação Fluido-estrutura
4. Técnicas Adaptativas
Estratégias
Medidores
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3. Aspectos Gerais
Introdução
Visão Geral
Histórico
Exemplos
Vantagens e Desvantagens do MEC
Dedução da equação integral de Contorno
Premissas Teóricas
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4. Bibliografia
Brebbia e Dominguez, Boundary Element Method: an
Introductory Course, CMP Publications, 1994.
Brebbia, C.A., The Boundary Element Methods for
Engineers, Pentech Press, London, 1978.
Brebbia, C.A., Telles, J.C, e Wrobel, L.C., Boundary
Element Echniques - Theory dan applications in
Engineering, Springer-Verlag, 1984
Outras publicações: www.witpress.com
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5. 1. Introdução
Duas maneiras de se abordar a Mecânica Computacional
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6. A idéia do MEC
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7. Histórico
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8. Exemplos: Discretização (3D)
MEC – 500 elementos MEF – 10000 elementos
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9. Ex 2D: Placa tracionada com furo no Centro
1,0Kg/m
(10,10)
* * *
D C
*
*
E
***
*
*
*
A B
* * * * * * *
(0,0)
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10. Resposta para Forças de superfície
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11. Discretização
MEC MEF
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12. 2. Vantagens e Desvantagens
1) Redução do problema em
uma dimensão
a) Simplificação dos dados de
entrada
b) Especialmente atraente para os
problemas que requerem
uma interface ou alteração
de malha
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13. Vantagens
2) Menos operações aritméticas
Diminuição da ordem do sistema final de equações
Maior economia computacional
a11 a12 ... a1n   X1   b1 
a  X  b 
 21 ... ... . 2  =  2 
   
 ...   ...   ... 
    
a n1 a n2 a nn  Xn  bn 
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14. Vantagens
3) Os valores para os pontos
internos são calculados P
posteriormente em função
das variáveis externas.
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15. Vantagens
4) Eficiência comprovada em zonas de concentração de
tensões
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16. Vantagens
5) Representa com fidelidade problemas com
domínio infinito
Geologia
Acústica
Escoamento em superfície livre
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17. Desvantagens
1) A matriz do Sistema final é cheia e não
simétrica.
2) Exige o cálculo de integrais singulares.
3) Comercialmente menos utilizado.
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18. 3.Equação integral de Contorno
Transformação
Equação diferencial original do problema
Solução 2ª Identidade
Fundamental de Green
Equação Integral de Contorno
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19. Problema Potencial
Equação de Laplace para 2D
2 2
2 ∂ u( x, y) ∂ u( x, y)
∇ u( x, y) = 2
+ 2
=0
∂x ∂y
2
∇ = ∇.∇ = operador Laplaciano
u( x, y) = Função Potencial (escalar)
x, y = Coordenadas cartesianas
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20. Solução Fundamental
É o potencial no ponto Q do domínio, devida à aplicação de uma
carga unitária em P
∇ 2U * ( P, Q) = δ p
Propriedades:
δp = Função Delta de Dirac (vale 1,0 (um) em P e zero no resto)
P => Ponto Fonte e Q => Ponto Campo
Integração:
Fornece o valor da função no ponto Q:
∫∇ U
2 *
( P − Q).w( x)dΩ = w(Q )
Ω
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21. Solução Fundamental para Potencial 2D
* 1  1 
U ( P, Q ) = ln 
2π  r ( P, Q ) 

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22. Dedução da equação do Contorno
Aplica-se a equação de Laplace para o potencial e para a solução
Fundamental.
2 2 *
∇ u ( x, y ) = 0 e ∇ U ( x, y ) = δ pq
Integra-se a diferença no domínio.
∫ (u∇ U )
2 *
− ∇ 2uU * dΩ = 0
Ω
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23. Dedução da equação do Contorno
Transforma-se a integral de Dominio em uma integral de contorno,
mediante a Segunda identidade de Green.
 ∂U * ∂U 
∫(
Ω
)
u∇ 2U * − U *∇ 2u dΩ = ∫  u
Γ
 ∂n
−U *
∂n
dΓ


 * ∂U ∂U * 
A eq. se torna: u ( p ) = ∫ U
 −u dΓ
Γ
 ∂n ∂n 
Valor do Potencial em qualquer posição do
domínio exclusivamente em função do contorno!
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24. Eq integral de contorno
• Toma-se um ponto P do contorno e faz-
Γε
se um semi-circulo de raio ε com ε 0
Γε ε
• O novo contorno é (Γ - Γε + Γε ) Ω P
• A eq. fica:
Γ
 * ∂U (Q) ∂U * ( P, Q) 
u ( P) = lim ε→0 ∫  U ( P, Q ) − u (Q ) dΓ
Γ −Γe + Γe  ∂n ∂n 
 
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25. Eq integral de contorno
Desmembra-se em 3 parcelas
Faz-se a transformação de coordenadas
dΓ = ε.dα
Chega-se à:
 * ∂U ∂U *  u ( P)
lim ε→0 ∫  U −u dΓ = − (α 2 − α1 )
Γe ∂n ∂n  2π

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26. Potencial no contorno em função dos
valores do contorno (eq. Básica)
 * ∂U (Q) ∂U * ( P, Q ) 
C ( P)u ( P) = ∫ U ( P, Q)
 − u (Q) dΓ(Q)

Γ
 ∂n ∂n 
θ
C ( P) =
2π
 1 P∈Ω

C(P) =  1/ 2 P ∈ Γ (Contorno suave)
(α1 − α2 )
 2π
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27. Resolução
A eq. integral de Contorno deduzida pode ser aplicada
para qualquer problema 2D governado pela equação de
Laplace, tais como:
Condução de calor (regime estacionário)
Escoamento invíscido e incompressível
Campo elétrico, etc.
Para outros tipos de problemas, deduz-se de maneira
similar, modificando a solução fundamental
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