1. ÍNDICE
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA CINEMÁTICA.................................................................................. 02
MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME................................................................................................. 05
GRÁFICO HORÁRIO DO MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME.................................................... 06
MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE 15
VARIADO................................................................
VETORES VELOCIDADE E ACELERAÇÃO......................................................................................... 22
ADIÇÃO DE VETORES............................................................................................................................ 24
MÉTODO DA POLIGONAL..................................................................................................................... 24
REGRA DO PARALELOGRAMO............................................................................................................ 25
MÉTODO DAS PROJEÇÕES.................................................................................................................... 26
SUBTRAÇÃO DE VETORES.................................................................................................................... 27
MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR........................................................... 27
VETOR DESLOCAMENTO...................................................................................................................... 28
LEI DA INÉRCIA....................................................................................................................................... 31
LEI FUNDAMENTAL............................................................... ............................................................... 32
LEI DA AÇÃO E REAÇÃO............................................................... ...................................................... 34
FORÇA PESO............................................................... ............................................................................. 35
ACELERAÇÃO E CAMPO GRAVITACIONAL............................................................... ..................... 36
APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON.................................................................................................. 36
TRABALHO DE UMA FORÇA............................................................... ................................................. 41
O TRABALHO DA FORÇA – PESO............................................................... ........................................... 43
EXERCÍCIOS............................................................... .............................................................................. 46
TERMOMETRIA............................................................... ........................................................................ 49
ESCALA FAHRENHEIT............................................................... ............................................................ 50
ESCALA KELVIN............................................................... ...................................................................... 50
ESCALA CELSIUS............................................................... ................................................................... 52
DILATAÇÃO DOS SÓLIDOS E DOS LÍQUIDOS................................................................................... 52
CONCEITO DE CALOR............................................................... ........................................................... 56
CAPACIDADE TÉRMICA DE UM CORPO............................................................................................ 58
ÓPTICA GEOMÉTRICA............................................................... ............................................................ 61
EXERCÍCIOS............................................................... .......................................................................... 67
ONDAS............................................................... ............................................................... ........................ 68
CARACTERÍSTICAS DA ONDA............................................................................................................. 70
REFLEXÃO DAS ONDAS SONORAS............................................................... ..................................... 73
EXERCÍCIOS............................................................... ............................................................................. 74
AUTOAVALIAÇÃO............................................................... .................................................................. 76
ELETRICIDADE............................................................... ........................................................................ 79
ISOLANTES E CONDUTORES............................................................... ................................................ 81
CAMPO ELÉTRICO............................................................... ................................................................... 82
CORRENTE ELÉTRICA............................................................... ........................................................... 82
RESISTÊNCIA ELÉTRICA............................................................... ....................................................... 85
CIRCUITOS ELÉTRICOS............................................................... .......................................................... 89
ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES EM SÉRIE...................................................................................... 91
ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES EM PARALELO................................................................................ 92
EXERCÍCIOS............................................................... .............................................................................. 94
BIBLIOGRAFIA A CONSULTAR............................................................................................................ 100
1

2. Texto : INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA CINEMÁTICA
A Cinemática é a parte da mecânica que estuda e descreve os movimentos, sem se
preocupar com as suas causas. Ela se baseia em quatro conceitos fundamentais: posição,
tempo, velocidade e aceleração.
É comum, ao estudarmos o movimento de um corpo qualquer , tratá-lo como uma
partícula. Dizemos que um corpo é uma partícula quando suas dimensões são muito
pequenas, desprezíveis , em comparação com as demais dimensões que participam do
fenômeno . Por exemplo: se um automóvel, de 3,5 m de comprimento , se desloca 15
metros, ele não pode ser considerado uma partícula mas, se ele se desloca por cerca de 200
quilômetros , seu comprimento é desprezível, em relação a essa distância .
A todo instante você pode ver aviões cortarem o céu, automóveis percorrerem ruas e
estradas, pessoas andarem de um lado para outro na cidade. O movimento está presente em
cada momento do seu dia – a – dia .
Como podemos verificar com exatidão se um corpo está em movimento ou em
repouso? Vejamos exemplo: uma pessoa está sentada dentro de um ônibus e você, parado
na calçada, a vê passar .
Essa pergunta tem duas respostas. Veja:
 Primeira resposta : poderíamos dizer que a pessoa está em movimento, em relação a
você ( que estava parado na calçada ) ; ou
 Segunda resposta : poderíamos dizer que a pessoa está em repouso ( ausência de
movimento ), em relação ao motorista do ônibus.
Veja que, dependendo do ponto tomado como referência, há ou não movimento de um
corpo, ......
REFERENCIAL É TODO CORPO OU PONTO EM RELAÇÃO AO QUAL SE
VERIFICA A MUDANÇA DE POSIÇÃO DE UM OUTRO CORPO.
Ou:
REFERENCIAL É UM CORPO RÍGIDO AO QUAL ASSOCIAMOS UM SISTEMA DE
EIXOS PARA FACILITAR A CARACTERIZAÇÃO DA POSIÇÃO DE UM CORPO OU
PARTÍCULA .
Movimento , repouso e trajetória
Quando a posição de um corpo ou partícula varia, em relação a um dado referencial,
no decurso de um intervalo de tempo qualquer, diz-se que há movimento. Por outro lado, se
a posição de um corpo não varia , em relação a um referencial, durante um intervalo de
tempo, diz-se que esse corpo está em repouso.
O caminho percorrido por uma partícula ou corpo em movimento é chamado de
trajetória.
A trajetória de uma partícula em relação a um referencial é dada pela linha contínua
que une as sucessivas posições ocupadas pela partícula durante o seu movimento .
Intervalo de tempo
Para podermos situar um acontecimento em relação a outro, precisamos ordenar os
fatos em passado , presente e futuro, ou seja, precisamos estabelecer um referencial.
Assim, em um deslocamento de uma partícula qualquer, dizemos que ela passou por um
2

3. determinado ponto P0 em instante t0 , e está no ponto p1 no instante t1 . O tempo que a
partícula levou de sua posição inicial P0 a posição P1, denomina-se intervalo de tempo .
O intervalo de tempo ∆t é então definido como a diferença entre o instante final e o
instante inicial .
∆t = tf – t1
O deslocamento dessa partícula pode também ser definido como a diferença entre a
sua posição final , no ponto P1, e a sua posição inicial no ponto P0 . Dessa forma, teremos,
chamado o deslocamento de ∆s, a posição final de Sf e a inicial de Si :
∆s = Sf - Si
A relação existente entre o deslocamento realizado por um móvel e o tempo gasto
por esse móvel para realizar esse deslocamento é chamado de velocidade média.
A velocidade média vai, então, indicar a rapidez com que um móvel mudou de
posição . Representamos a velocidade média ( Vm ), assim :
Vm = ∆s = Sf - Si
∆t tf - t i
As grandezas físicas podem ser medidas usando-se diversas unidades. Por exemplo,
o comprimento pode ser medido em metros , centímetros, quilômetros, pés, milhas, etc.
A medição das grandezas físicas deve ser feita de forma coerente . Para isso, foram
estabelecidos alguns sistemas de unidades físicas, dos quais os mais usados são três : O
Sistema Internacional (SI ) , também chamado de sistema MKS – metro, quilograma,
segundo; o sistema CGS centímetro , grama, segundo; e o sistema MK*S ou MKgfS –
Metro , quilograma – força, segundo.
Na resolução de qualquer problema é necessário que todas as unidades sejam de um
mesmo sistema de unidades.
Assim sendo, elaboramos a tabela que se segue, a fim de que você possa se
familiarizar com as grandezas dos vários sistemas. Pedimos que você tenha especial
atenção com os sistema MKS, CGS, pois serão os que você mais empregará no seu estudo.
( Decreto nº 52 423, de 30/08/63. )
GRANDEZAS SI CGS MK*S
Comprimento M Cm M
Massa Kg g utm (2 )
Tempo s ( ou seg ) s ( ou seg ) s ( ou seg )
Velocidade m/s cm/s m/s
Seja , por exemplo, dada a velocidade de um móvel igual a 90 Km/h. Vamos transformar o
valor da sua velocidade para os sistema MKS e CGS.
3

4. 1 ) Transformando para o sistema MKS, temos :
90 km/h = 90 km = 90 000 = 25 m/s
1 hora 3 600s (3)
2) Transformando para o sistema CGS, temos :
90 km/h = 90 km = 9 000 000 cm = 2 500 cm / s
1 hora 3 600 s
Pense e responda.
A velocidade média reflete a velocidade de um móvel em cada ponto de sua trajetória ?
não. Nós sabemos que durante um deslocamento qualquer, um móvel pode variar a sua
velocidade e que a velocidade média pode ser, então, muito diferente da velocidade em
determinado ponto da trajetória.
A velocidade de um móvel em determinado instante é chamada de velocidade instantânea.
(V) , que traduz a velocidade em cada ponto da trajetória .
Nesse nosso curso, iremos tratar apenas da velocidade média.
1 EXERCÍCIO
AGORA VOCÊ VAI FAZER A VERIFICAÇÃO DO QUE APRENDEU NESTE TEXTO,
PARA RESOLVER OS EXERCÍCIOS QUE SE SEGUEM VOCÊ DEVE SABER:
 O QUE É CINEMÁTICA , REFERENCIAL, TRAJETÓRIA, INTERVALO DE TEMPO,
DESLOCAMENTO E VELOCIDADE MÉDIA .
 TRANSFORMAR PARA OS SISTEMA MKS E CGS AS UNIDADES DE
COMPRIMENTO, TEMPO E VELOCIDADE.
1 – COMPLETE AS LACUNAS .
1. A Cinemática á a parte da .......................................... que estuda e descreve os
.................................... sem se preocupar com as suas causas.
2. Referencial é um corpo ........................................ ao qual associamos um
.................................. para facilitar a caracterização da ............................................de
um corpo.
3. Trajetória é o ............................................. percorrido por uma partícula em
....................
4. Intervalo de tempo é definido como a ................................................... entre o
............................................... e o ................................................... .
5. O deslocamento de uma partícula é definido como a ..........................................................
entre a sua posição .......................................... e a posição ......................................................
6. A relação entre o deslocamento realizado por um móvel e o tempo gasto por esse móvel
para realizar esse deslocamento é chamado de .......................................................................
II – Transforme os valores das velocidades para o sistema MKS.
1. 108 quilômetros por hora
2. 60 metros por minuto
1 – Chave de Correção .
I – 1 . Mecânica / movimentos
4

5. 2. Rígido / sistema de eixos / posição
3. caminho / movimento .
4. diferença / instante final / instante inicial
5. diferença / final / inicial
6. velocidade média
II – 1 . 108 km /h = 180 km = 180 000 m = 30 m/s
1 hora 3 6000
2. 60 m/m = 60 m = 60 m = 1 m/s
1 minuto 60 s
MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME
Vimos que a velocidade de um corpo é a rapidez com que ele muda de posição . Essa
mudança de posição pode ser efetuada de diferentes maneira . Cada maneira caracteriza um
determinado tipo de movimento. Vejamos m desses tipos: o movimento retilíneo uniforme
(MRU ).
Chamamos de MRU àquele em que o deslocamento do corpo ( em relação a um
referencial ) se dá em uma trajetória retilínea ( em linha reta ) com o valor de velocidade
constante.
Assim, quando afirmamos que um móvel executa movimente retilíneo uniforme
com velocidade de 10 m/s, isto significa que em qualquer instante o valor da velocidade
deste móvel será de 10 m/s.
Sabemos que todo corpo em movimento sofre uma variação de posição . Para indicar a
posição de um corpo em um determinado instante, usamos a equação denominada equação
horária.
Veja o exemplo.
Um móvel está se movendo em MRU. Tomamos um ponto X com referencial. O móvel
parte do ponto 1 no instante t1 = 0 e chega ao ponto 2 no instante tf = t, como mostra o
esquema a seguir
2
Ti = 0
Tf = t
∆S
Si
S
Quando o móvel atinge o ponto 2, sua posição em relação ao ponto x é dada pela expressão
S = si + ∆s
Como a velocidade do móvel é constante, podemos aplicar a fórmula de Vm.
Vm = ∆s ⇒ ∆s = Vm . ∆t ou ∆s = Vm . ( tf – ti )
∆t
como, pelo enunciado tf - t , temos ainda que:
Vs = Vm . ( t – t1 ) , mas t1 = 0 , então
5

6. ∆s = Vm . t , ou simplesmente
∆s = V . t
Se substituirmos ∆s por ( s – sj ) , teremos :
S – Sj = V . t , ou
S = Sj + V t
Que é a equação horária do Movimento Retilíneo Uniforme.
Vejamos um problema resolvido.
1. A posição de um móvel em Movimento Retilíneo Uniforme é representada pela
equação S = 2 + 5 t. Usando as unidades do sistema MKS. Calcule :
a) a posição inicial do móvel :
s = 2 + 5t : ( para t = 0 ) s = 2 + 5 . 0
s= 2 +0 :(s=2 )
Resp. A posição inicial do móvel é 2 metros.
b) A posição do móvel no instante t = 3
s=2 + 5t
s=2 +(5 .3 )
s = 2 + 15 .
S = 17
Resp. A posição do móvel no instante t = 3 é 17 metros.
c) O deslocamento do móvel no instante t = 10
s=2 + 5t
s = 2 + ( 5 . 10 )
s = 2 + 50
s = 52 ( posição do móvel em t= 10 )
∆s = s – sj
∆s = 52 – 2
∆s = 50 resp: o deslocamento do móvel é de 50 metros.
d) a velocidade do móvel
Vm = ∆s tomando –se t= 10 e ∆s = 50 m
∆t
Vm = 50 m : Vm = 5m/s
10s
Resp. A velocidade do móvel é de 5 m/s
Os gráficos são de grande valia para análise dos movimentos e a resolução de
problemas. Sabendo-se interpretar um gráfico, dele extraímos um grande número de
informações .
6

7. GRÁFICO HORÁRIO DO MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME
O gráfico horário de um movimento retilíneo uniforme é a representação gráfica de
sua equação horária , num sistema de coordenadas cartesianas. Nele, marcamos os tempos
no eixo das abscissas e os espaços no eixo das ordenadas.
Vamos fazer uma tabela tempo x posição para a equação s = 10 + 5t ; atribuindo
valores para o tempo, Assim teremos ;
 Para t = 0 ⇒ s = 10 + ( 5 . 0 ) = 10
 Para t = 1 ⇒ s = 10 + ( 5 . 1 ) = 15
 Para t = 2 ⇒ s = 10 + (5 . 2 ) = 20
 Para t = 3 ⇒ s = 10 + (5 . 3 ) = 25
 Para t = 4 ⇒ s = 10 + (5 . 4 ) = 30
 Para t = 5 ⇒ s = 10 + ( 5 . 5 ) = 35
 Para t = 6 ⇒ s = 10 + ( 5 . 6 ) = 40
 Para t = 7 ⇒ s = 10 + ( 5 . 7 ) = 45
Vamos transportar os valores da tabela para o gráfico s x t , onde o eixo das abscissas
terá os valores do tempo e o eixo das ordenadas, os valores da posição.
A equação horária do MRU é uma equação do 1º grau em t. Assim sendo, seu
gráfico sempre será uma reta.
No gráfico que acabamos de construir , o movimento é progressivo, pois o valor de
s diminui com o aumento dos valores de t.
Dizemos que um movimento é progressivo quando seu sentido coincide com o
sentido convencionado como positivo e que o movimento é regressivo quando, em caso
contrário, seu sentido é oposto ao convencionado com positivo.
1. Gráfico da velocidade do Movimento Retilíneo Uniforme
O gráfico da velocidade é o gráfico que obtemos marcando o tempo no eixo das
abscissas e a velocidade no eixo das ordenadas.
No caso do MRU, onde a velocidade é constante, a ordenada é a mesma para todos
os pontos.
Vejamos um exemplo.
Um formiga percorre uma escala graduada, em movimento retilíneo uniforme, para
pegar um grão de açúcar. Sabendo-se que no instante t = 0 ela se achava na origem da
escala, e que após percorrer o espaço de 15cm , havia se passado 10 segundos , pede-se :
a) calcular a velocidade da formiga
7

8. b) fazer o gráfico da velocidade do movimento
Resolução
Dados : t = 0 ⇒ s = 0
t = 10 ⇒ s = 15
Vm = ∆s .
∆t
Vm = 15 cm
10 s
Vm = 1,5 cm/s
Resp. A velocidade da formiga é de 1,5 cm/s.
Observe que:
1º) a velocidade constante é um paralela
2º) a área hachurada, no gráfico, representa o deslocamento da formiga, pois ∆s = S1 = vt e
nesse caso Si = 0 ( ela estava na origem da escala no instante t = 0 ) , então ∆s = v. t. Isso
nos mostra que :
AO TRAÇARMOS O GRÁFICO DE UM MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME, O
VALOR NUMÉRICO DO ESPAÇO PERCORRIDO ENTRE DOIS INSTANTES É
IGUAL A ÁREA DELIMITADA PELO EIXO DAS ABSCISSAS , PELA RETA DA
VELOCIDADE E PELAS DUAS PERPENDICULARES A ESTE EIXO, TRAÇADAS
PELOS PONTOS DOS DOIS INSTANTES CONSIDERADOS.
Exercícios
Faça a verificação do que você aprendeu nesse texto. Para resolver os exercícios que se
seguem, você deve saber:
O que é movimento retilíneo uniforme.
O que representa a equação horário .
Resolver problemas de movimento retilíneo uniforme.
Fazer tabelas e gráficos do movimento retilíneo uniforme.
Interpretar gráficos do MRU.
I – Escreva nos parênteses, (V) se afirmativa for verdadeira ou (f) se for falsa.
II – Preencha o quadro:
Equação da Posição Inicial Deslocamento Posição em 3s Velocidade do
posição (t=0) em 3s Móvel ( em m/s )
S = 2 + 3t
S = 5 + 2t
S = 4t
III – Resolva os Problemas . ( use folha avulsa.)
8

9. 1. Um móvel percorre, num movimento uniforme, uma trajetória retilínea com a
velocidade de 1,5 m/s. Sabendo-se que o espaço inicial é de 40 m , calcule o valor do
espaço percorrido ao fim de 5 minutos.
2. Uma tartaruga encontra-se a quatro metros de uma folha de alface e começa a se mover
em direção a folha com velocidade constante igual a um décimo de quilômetro por
hora. Quanto tempo a tartaruga vai gastar para atingir a folha ?
3. Dois Móveis deslocam-se sobre uma reta, em movimento uniforme, partindo
simultaneamente de dois pontos A e B da reta, afastados 70 cm . Quando eles se movem
em sentidos opostos ( um ao encontro do outro ) , encontram-se 7 segundos após a
partida. Quando eles se movem no mesmo sentido, um deles alcança o outro ao cabo de
35 segundos . Calcule a velocidade dos dois móveis .
2 Chave de correção
I–
1.(v);
2.(f) – um movimento retilíneo uniforme pode ser progressivo ou regressivo.
3.(v)
II-
Equação da Posição Inicial Deslocamento Posição em Velocidade do
Posição (t=0) em 3s 5s Móvel ( em m/s)
S = 2 + 3t 2m 9m 17m 3m/s
S = 5 + 2t 5m 6m 15m 2m/s
S = 4t 0 12m 20m 4m/s
III –
1. v = 1,5 m/s
Tj = 0 Sj = 40 m
Sf = ? Tf = 5 min = 300s
Usando a equação horário S = Sj + v . t , teremos :
S = 40 + ( 1,5 . 300 )
S = 40 + 450
S = 490 metros
Resp. o espaço percorrido ao final de 5 minutos é de 490 metros.
A primeira coisa a se fazer em um problema é converter todos os dados para um mesmo
sistema de unidade, assim tf = 5 minutos que correspondem a 300 segundos.
2.
V = 0,1 km/h = 100 m = 100m = 0,027 m/s
1h 3600s
s = sj + vt
9

10. 4 = 0 0,027 . t
t = 4 t = 148 segundos
0,027
resp. a tartaruga vai gastar 148 segundos para atingir a folha.
A C B
3.
Sa Sb
AB = s = 70 cm
T1 = 7s 70 cm
T2 = 35s s = sj + v . t
Quando os dois móveis se deslocam em sentido opostos, encontram-se um ponto qualquer
do segmento AB ao qual chamaremos de C ( veja o desenho ) . Neste caso, a soma dos
espaços percorridos pelos dois móveis é de 70 cm e podemos escrever que :
Sa = Va . T1 ⇒ Sa = Va . 7 ⇒ Sa = 7 Va
Sb = Vb . T1 ⇒ Sb = Vb . 7 ⇒ Sb = 7 Vb
Somando membro a membro as duas equações, temos:
Sa = 7 Va
Sb = 7 Vb .
As + Sb = 7 Va + 7 Vb
Mas sa + sb = s = 70 cm, então :
7 Va + 7 Vb = 70
dividindo ambos os membros por 7 ,
Va + Vb = 10 equação I
Por outro lado, quando os móveis se deslocam no mesmo sentido , temos :
A C B D
Sb
Sa
as = Va . 35 ⇒ Sa = 35 Vz
Sb = Vb + 35 ⇒ Sb = 35 Vb
10

11. Subtraindo membro a membro as duas equações , temos
Sa = 35 Va
Sb = 35 Vb .
As – Sb = 35 Va – 35 Vb
Mas Sa - Sb é igual ao segmento AB = 70 cm , então
35 Va – 35 Vb = 70
Dividindo ambos os membros por 35,
Va – Vb = 2 equação II
Consideremos agora o sistema formado pelas duas equações
Va + Vb = 10
Va - Vb = 2 , resolvendo , temos :
2 Va = 12 ⇒ Va = 6
Substituindo o valor de Va na primeira equação :
Va + Vb = 10 ⇒ 6 + Vb = 10 ⇒ Vb = 10 – 6 = 4
Como as unidades desse problema são do sistema CGS, as velocidade são :
Va = 6 cm / s
Vb = 4 cm/s
Resp ⇒ as velocidades dos móveis são 6 cm/s e 4 cm/s.
Atividades de ensino
Movimento Retilíneo Uniformemente Variado
Nestas atividades de ensino, você vai ler o texto e resolver exercícios que lhe permitirão :
1
Caracterizar Aceleração .
2
Resolver problemas e analisar gráficos sobre movimento retilíneo uniformemente variado,
3
Identificar e resolver Problemas sobre queda livre.
1 – Texto : Aceleração
Nas atividades de ensino B, você estudou o movimento retilíneo uniforme , cuja
característica fundamental é a velocidade constante.
11

12. Na nossa vida diária , entretanto, o MRU é pouco comum . Se entrarmos em um
ônibus ou em um carro e ficarmos observando o ponteiro do velocímetro, veremos que a
velocidade raramente será constante, aumentando e diminuindo várias vezes .
Assim, um ônibus ou automóvel no trânsito de uma cidade , um jogador de futebol
durante uma partida, uma criança brincado são exemplos típicos de movimento variado.
O Movimento Retilíneo Uniforme Variado é aquele que se realiza em uma trajetória
retilínea e que o valor numérico da sua velocidade varia com o decorrer do tempo.
UM MOVIMENTO É RETILÍNEO E UNIFORMEMENTE VARIADO QUANDO UM
CORPO PERCORRE UMA TRAJETÓRIA RETILÍNEA , COM ACELERAÇÃO
ESCALAR CONSTANTE E DIFERENTE DE ZERO.
Suponhamos que um automóvel esteja percorrendo uma estrada com uma
velocidade V1 qualquer e que seu motorista resolva ultrapassar outro veículo. Ele pisará
mais fundo no acelerador e o automóvel aumentará a velocidade, que passará para um valor
V2. Haverá , então , uma variação da velocidade ∆v = V2 – V1.
Suponhamos ainda que esta variação da velocidade tenha ocorrido durante um
intervalo de tempo ∆t = t2 – t1 .
A aceleração escalar média entre os instante t1 e t2 é definida, então , como sendo a
relação entre a variação da velocidade e a variação de tempo, assim :
a = ∆v = V2 - V1
∆t t2 – t1
vejamos um exemplo. Um automóvel, com velocidade de 18 m/s em um instante t = 0 ,
passa por um ponto t = 5 s a uma velocidade de 26 m/s.
 a variação da velocidade foi : ∆ v = 26 m/s – 18 m/s = 8 m/s
 a variação do tempo foi : ∆t = 5s – 0s = 5s
 a aceleração foi : a = ∆ v = 8 m/s = 8 m ÷ 5s
∆t 5s 1s
a = 8 m x 1 = 8m ⇒a = 1,6 m/s 2
1s 5s 5s2
Voltamos a lembra-lhe que , antes de resolver qualquer problema, as unidades das
grandezas devem ser todas convertidas para um mesmo sistema.
Você já sabe que a aceleração é a relação existente entre a variação da velocidade e
a variação do tempo: a = ∆v .
∆t
O denominador dessa fração, ∆t, representa um intervalo de tempo e é sempre positivo.
O numerador , ∆v, pode ser positivo ou negativo, portanto a aceleração pode ser positiva ou
negativa.
Relacionando as grandezas e aceleração, chegamos a quatro combinações
diferentes:
1. velocidade crescente, em módulo, no sentido positivo.
 VELOCIDADE MÉDIA MAIOR QUE ZERO
 ACELERAÇÃO MÉDIA MAIOR QUE ZERO
 VELOCIDADE, EM MÓDULO, CRESCENTE.
Neste caso, temos o movimento chamado de progressivo e acelerado.
2 . velocidade crescente, em módulo, no sentido negativo.
12

13.  VELOCIDADE MÉDIA MENOR QUE ZERO
 ACELERAÇÃO MÉDIA MENOR QUE ZERO
 VELOCIDADE, EM MÓDULO, CRESCENTE.
Neste caso, temos o movimento chamado de regressivo e acelerado.
2. velocidade decrescente , em módulo , no sentido negativo.
 VELOCIDADE MÉDIA MENOR QUE ZERO
 ACELERAÇÃO MÉDIA MAIOR QUE ZERO
 VELOCIDADE, EM MÓDULO , DECRESCENTE
Neste caso , temos o movimento chamado de regressivo e retardado.
Podemos, então , concluir que :
O MOVIMENTO É ACELERADO QUANDO A VELOCIDADE E A ACELERAÇÃO
TÊM O MESMO SINAL , OU SEJA, QUANDO AMBAS SÃO POSITIVAS OU
NEGATIVAS.
E que :
O MOVIMENTO É RETARDADO QUANDO A VELOCIDADE E A ACELERAÇÃO
TÊM SINAIS DIFERENTES , OU SEJA , QUANDO UMA É POSITIVA E A OUTRA ,
NEGATIVA.
O movimento é acelerado quando o módulo da velocidade aumenta com o decorrer
do tempo – o móvel tende a andar mais rápido, mesmo que seu deslocamento seja em
sentido oposto ao convencionado com positivo.
O movimento é retardado quando o módulo da velocidade diminui com o decorrer
do tempo – o móvel tende a parar, mesmo que seu deslocamento seja em sentido positivo.
1 – Exercícios
VOCÊ AGORA VAI VERIFICAR O QUE APRENDEU DO ESTUDO DO TEXTO E, SE
FOR O CASO O QUE PRECISA ESTUDAR MAIS .
SUGERIMOS QUE VOCÊ NÃO TENTE RESOLVER OS EXERCÍCIOS SEM QUE
TENHA CERTEZA DA RESPOSTA QUE VAI DAR.
PARA RESOLVÊ-LO , VOCÊ DEVE SABER :
 O QUE É ACELERAÇÃO
 QUAIS OS TIPOS DE MOVIMENTO EM FUNÇÃO DOS VALORES DA
VELOCIDADE E DA ACELERAÇÃO.
 COMO CALCULAR OS VALORES DA VELOCIDADE E DA ACELERAÇÃO
I –RESPONDA
1 . O que é o movimento retilíneo uniformemente variado ?
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
2. O que é aceleração escalar média ?
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
13

14. 3. Quando um movimento é acelerado ?
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
II – COMPLETE AS SEGUINTES FRASES.
1. No movimento progressivo e acelerado, temos
a ) velocidade média ________________________________________________________
b) aceleração média _________________________________________________________
c) módulo da velocidade _____________________________________________________
2. No movimento progressivo e retardado, temos
a) velocidade média _________________________________________________________
b) aceleração média _________________________________________________________
c) módulo da velocidade _____________________________________________________
III - Resolva ( use folha avulsa. )
1. Um automóvel, percorrendo uma estrada retilínea, passa por um ponto t= a uma
velocidade de 18 m/s . Um minuto depois, sua velocidade e de 48 m/s . Qual a sua
aceleração ?
2. Um carro de corrida, saindo do repouso, alcança uma velocidade de 234 km/h em
13 segundos. Qual a sua aceleração ?
1 – Chave de correção
I – 1 . o movimento retilíneo uniformemente variado é aquele que se realiza em uma
trajetória retilínea e que o valor numérico da sua velocidade varia com o decorrer do
tempo .
2. Aceleração escalar média é a relação entre a variação da velocidade e a variação de
tempo entre dois instantes .
3. Um movimento é acelerado quando o módulo da velocidade aumenta com o decorre do
tempo.
II – 1. No movimento progressivo e acelerado, temos
a) velocidade média maior que zero
b) aceleração média maior que zero
c) módulo da velocidade crescente.
2. No movimento progressivo e retardado, temos
a) velocidade média maior que zero
b) aceleração média menor que zero
c) módulo da velocidade decrescente.
III – 1 - dados : to = 0 e t = 1 minuto = 60s
Vo = 18 m/s v1 = 48 m/s
a= ∆v .
∆t
a = v1 - vo = 48 m/s - 18 m/s = 30 m/s ⇒ a = 0,5 m/s 2
t1 - to 60 s - 0 s 60 s
resp ⇒ a aceleração do automóvel é de 0,5 m/s2
14

15. Texto : MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO
Terminado nosso estudo sobre aceleração, vamos nos aprofundar um pouco mais no
estudo do Movimento retilíneo uniformemente variado .
Consideremos um móvel em MRUV com uma velocidade inicial a vo no instante
to = 0 , em que vamos começar o estudo do movimento. Se o móvel está em MRUV, ele
possui uma aceleração a constante; então , usando a equação a = ∆v , que nos define a
aceleração , podemos escrever : ∆t
∆v = a . ∆t
como ∆v = v – vo e ∆t = t – to, temos que
v – vo = a ( t – to ), mas to = 0 , então
v – vo = a t,
e v = vo + a . t, que é a equação que nos permite calcular a velocidade de um
móvel, depois de decorrido um tempo t qualquer .
Para completar a descrição do MRUV , precisamos conhecer, além da aceleração e
da velocidade, a posição do corpo com o decorrer do tempo .
No movimento retilíneo uniformemente variado, a variação da velocidade escalar é
proporcional ao tempo , o que nos permite dizer que a velocidade escalar média entre dois
pontos é igual a media aritmética das velocidade escalares instantâneas nos pontos
considerados .
Vm = v + vo .
2
os , substituindo v pela sua equação ( v = vo = at ),
Vm = ( vo at ) + vo ⇒ vm = 2 vo + at ⇒ vm = vo + at .
2 2 2
mas você sabe que Vm = s – so , ⇒ Vo + at ⇒ s – so = vo . t + a . t . t,
2 2 2
daí s= s0 + vo t + at2 que é a equação horária do MRUV.
2
vejamos um problema resolvido.
1. um avião percorre a pista de decolagem de um aeroporto, com aceleração constante de
5m/s2. Em determinado instante o avião está com a velocidade de 40 m/s.
Responda .
a) qual será a velocidade do avião 10 segundo após esse instante ?
b) quantos segundos foram necessários para que o avião atingisse a velocidade de 40
m/s ?
c) qual será o espaço percorrido pelo avião nos primeiros 20 segundos de movimento e
qual sua velocidade nesse instante ?
resolução :
a ) Dados : a = 5 m/s2 t = 10s
vo = 40 m /s v=?
v = vo + at
v = 40 + 5 . 10 ⇒ v = 40 + 50 ⇒ v = 90 m/s
resp : a velocidade do avião será de 90 m/s.
b) dados : a = 5 m/s2 vo = 0
v= 40 m/s t=?
v = vo + a t
40 = 0 + 5 t ⇒ t = 40 ⇒ t = 8 s
15

16. 5
resp: o tempo necessário para que o avião atingisse a velocidade de 40 m/s foi de 8
segundos.
c) dados : a = 5 m/s so = 0
t = 20 s vo = 0
s = so + vo t + at2
2
s = 0 + 0 . t + 5 . ( 20 )2
2
s = 5 . 400 = 2000 ⇒ s = 1000 m
2 2
v = v o + at
v = 0 + 5 . 20 ⇒ v = 100 m/s
resp ⇒ o espaço percorrido pelo avião . nos primeiros 20 segundo de movimento , será de
1000 m e sua velocidade será 100 m /s.
Equação de Torricelli.
A equação de Torricelli permite resolver problemas de movimento retilíneo
uniformemente variado, sem a utilização da grandeza tempo.
Vejamos um exemplo: Um carro está desenvolvendo uma velocidade de 20 m/s
quando o motorista aciona o freio, produzindo uma desaceleração ( aceleração negativa ) de
2 m /s . Qual a distância que o carro vai percorre desse instante até parar ?
Com os conhecimentos já adquiridos , você certamente resolveria esse problema em
duas etapas :
1ª etapa : cálculo do tempo que o veículo leva para parar
dados : a = - 2 m/s2
v=0
vo = 20 m/s
t=?
v= vo + at
0 = 20 + (-2 )t ⇒ 2t = 20 ⇒ t = 10 s
2ª etapa : cálculo da distância que o móvel vai percorrer
dado : vo = 20 m/s
t = 10s
a = - 2 m/s2
so = 0
s = s0 + v . t + at2 .
2
s = 0 + 20 . 10 = ( - 2 ) . 102 ⇒ s = 200 + ( - 200 ) ⇒ s = 200 – 100 ⇒ s = 100 m
2 2
vejamos .
temos os dados : a = - 2 m/s2
v=0
vo = 20 m/s
aplicando a equação de Torricelli, temos :
2 = 202 + 2 . –2 . ( s – so ) , mas so = 0 , então:
0 = 400 + 2 . –2s ⇒ 0 = 400 – 4s ⇒ 4s = 400 ⇒ s = 100 m
resolvemos o mesmo problema com maior rapidez e simplicidade, não foi ?
16

17. Antes de continuarmos , gostaríamos que você percebesse não ser necessário
memorizar todas as variantes das equações apresentadas. Qualquer problema sobre
movimento retilíneo uniformemente variado será resolvido por você com o auxílio de
apenas três fórmulas :
 a equação horária s = so + vot + at2 .
 a equação da velocidade 2
 a equação de Torricelli v = vo + at
v2 = vo2 + 2a ( s – so )
Gráficos do MRUV
Assim como os gráficos do Movimento Retilíneo Uniforme, os do movimento retilíneo
uniformemente variado nos fornecem todos os dados necessários à análise do movimento.
1. Gráfico v x t
7O gráfico da equação da velocidade é uma função do 1º grau : v = vo + at 9 sempre
com a ≠ 0 . Vamos construir a tabela e o gráfico para v= 2 + 3 t .
O gráfico v x t nos dá, além da variação da velocidade em função do tempo, o valor da
aceleração ( a = ∆v ⇒ a = 8 - 5 ⇒ a = 3 ou a = 17 - 11 = 6 = 3 ) e o valor do
deslocamento , ∆t 2 - 1 5 - 3 2
Representado pela área hachurada
No trapézio do gráfico anterior, o lado AB é a base maior, o lado 0C é a base
menor e o lado 0A a altura. Calculando o valor numérico da área hachurada,
obteremos 47,5 que é o mesmo valor que encontraremos se calcularmos o
deslocamento,através da fórmula
2 . Gárfico s x t
a equação horária do MRUV é uma equação do 2º grau em t:
s = so + vot + at2
2
17

18. A representação gráfica de uma equação do segundo grau é sempre uma parábola,
então , vamos construir o gráfico para um movimento que tenha a equação s = t + 2t2 .
2
T S 12
0 0
1 2 20
2 6
3 12
4 20 6
1
1 2 3 4
Observe o problema resolvido a seguir.
1. Um móvel descreve um movimento uniformemente variado. Sua velocidade varia
em função do tempo, de acordo com a tabela:
T(s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
V(m/s 16 12 8 4 0 -4 -8 -12 -16 -20
Determine :
a) a velocidade inicial vo do movimento
b) a aceleração a do movimento
c) a equação horária da velocidade no intervalo de tempo da tabela
d) em que intervalo de tempo o movimento é retardado
e) em que intervalo de tempo o movimento é acelerado
f) em que intervalo de tempo o movimento é progressivo
g) em que intervalo de tempo o movimento é regressivo
h) o espaço percorrido pelo móvel entre os instantes to e t9
i) o gráfico da função v x t
j) o gráfico da função s x t .
resolução :
a ) a velocidade inicial do movimento é a velocidade do móvel no instante t= 0s . Da tabela
obtemos vo = 16 m/s
c) pelo anunciado do problema , sabemos que o móvel está em MRUV e que sua
aceleração e´constante em qualquer intervalo de tempo considerado. Entre os instantes t
= 0s e t = 1s, temos : a = ∆s ⇒ a = 12 – 16 ⇒ a = -4 m/s
18

19. ∆t 1
d) como o movimento é uniformemente variado, a equação da velocidade é expressa por v
= vo + at. Com os valores já obtidos, temos :
v = 16 – 4t
e) como o movimento é retardado quando o módulo da sua velocidade cresce com o
decorrer do tempo, Portanto, o movimento é acelerado entre os instantes t = 4s e t = 9s,
pois | 0 | < | -4 | < | - 8 | < | -12 | < | -16 | < | -20 | ⇒ 0 < 4 < 8 < 12 < 16 < 20 .
f) O movimento é progressivo quando sua velocidade é maior que zero, ou seja, é
positiva. Pela tabela, temos que a velocidade do móvel é positiva entre os instantes
t= 0s e t = 4s , que é o intervalo de tempo no qual o movimento é progressivo.
g) O movimento é regressivo quando sua velocidade e negativa.Na tebela , vemos que isso
ocorre entre os instantes t = 4s e t = 9s
h) Vamos calcular o espaço percorrido pelo móvel em duas etapas . A primeira entre os
instantes t = 0s e t = 4s e a segunda entre os instantes t = 4s e t = 9s .
Entre os instantes t = 0s e t = 4s , o móvel percorreu :
S = so + vot + at2 ⇒ s = 0 + ( 16 . 4 ) + ( - 4 . 42 ) ⇒ s = 64 – 32 = 32 m
2 2
entre os instantes t = 4s e t = 9s , o móvel percorreu :
s = so + vo t + at2 ⇒ s = 0 + 0 . 5 + | ( - 4 . 52 ) | ⇒ s = 100 = 50 m
2 2 2
o espaço percorrido pelo móvel entre os instantes to e t 9 foi de 32m + 50 m = 82 m .
Calculamos separadamente os espaços percorridos porque , caso contrário , a
aplicação direta da equação s= so + vot + at 2 /2 nos daria a distância entre os pontos t = 9s e
t = 0s , o que é completamente diferente, uma vez que o móvel, como se pode ver pela
tabela, fez o seguinte percurso como e ilustrado a seguir:
Note que o instante t = 4s, quando a velocidade do móvel se anula, ocorre mudança
no sentido do movimento .
Poderíamos, também , resolver essa questão da seguinte forme:
Considerar o espaço inicial So como sendo o percorrido entre os instantes t = 0s e t = 4s
Calcular o módulo do espaço percorrido entre os instantes t = 4s e t = 9s e somá-lo ao
espaço inicial , assim :
19

20. S = So
( t = 0 ⇒ t = 4 f) + Vot + at2
2
⇒ s = 16 . 4 + ( - 4 . 42 ) + | 0 . 5 + ( -4 . 52) ⇒ s = 64 + ( - 32 ) + | - 50 |
⇒ s = 32 + 50 = 82 m 2
j ) o gráfico v x t obedeceria a tabela dada no enunciado :
Vamos aproveitar o gráfico V x T para calcular as áreas dos triângulos A e B que
somadas terão o valor do deslocamento do móvel.
Sabe-se que a área de um triângulo retângulo ( A e B são triângulos retângulos ) é
calculada pela fórmula :
A = base x altura
2
então a área do triângulo A é : 4 x 16 = 64 = 32 m
2 2
e a área do triângulo B é : 9 – 4 x 20 = 5 x 20 = 50 m
2 2
A soma do valor das áreas dos triângulos A e B , então, é 32m + 50m = 82m m que
é o valor do deslocamento do móvel.
J ) Vamos construir a tabela da função s x t , substituindo o valor de t na equação
S = Vot + at2 e transportar os dados para o gráfico
2
20

21. 2. Exercícios
Faça a verificação do que aprendeu do estudo deste texto, sugerimos a você não tentar
responder aos exercícios sem ter certeza do domínio do conteúdo apresentado.
Para resolvê-los você deverá saber :
Quais as principais equações do MRUV.
Como construir os gráficos do MRUV.
Como resolver problemas sobre MRUV.
I - Escreva , nos parênteses, (v) se a afirmação for verdadeira ou (f) se for falsa.
1 ( ) No movimento retilíneo uniformemente retardado, o gráfico sx t fornece uma reta
inclinada em relação ao eixo dos tempos.
2 ( ) No MRUV , a reta obtida ao se construir o gráfico V x T indica o espaço percorrido
pelo móvel.
3 ( ) A velocidade média de um móvel em MRUV , entre dois instantes, vale a média
aritmética das velocidades instantâneas que o móvel apresenta em cada um desses instantes.
4 ( ) No movimento retilíneo uniformemente variado, a variação da velocidade é
proporcional ao tempo.
II – Relacione a coluna da esquerda com seus correspondentes à direita escrevendo, nos
parênteses, a letra adequada.
1. ( ) Equação horária do MRUV A – v = vo + at
2. ( ) Equação da velocidade do MRUV B - a = ∆v .
3. ( ) Equação da aceleração média ∆t
C - s = so + vot + at2
2
D – v2 = vo2 + 2a ( s – so )
III – Resolva os problemas apresentados. ( use folha avulsa.)
21

22. 1.Um móvel gasta 15 segundos para passar da velocidade de 11 m/s para 29 m/s . Qual é a
sua aceleração ?
2. Um móvel tem movimento retilíneo uniformemente acelerado, com aceleração de
6 cm/s2. Sabendo-se que a velocidade inicial vale 4 cm/s e o espaço inicial vale 20 cm,
qual a equação horária desse movimento e qual será o espaço percorrido no instante t= 4s ?
3. Um automóvel acha-se a uma velocidade de 54 km/h e seu motorista é obrigado a frear
repentinamente. Sabendo-se que os freios imprimem ao carro uma aceleração negativa de
2m/s2, pergunta-se quanto tempo gasta o carro até parar e que distância percorre nesse
tempo?
4. Um cano de fuzil tem 90 cm de comprimento e uma bala deixa o fuzil com uma
velocidade de 600 m/s . Que aceleração média age sobre a bala durante seu percurso dentro
do cano e qual é o tempo gasto pela bala para percorrer o cano ?
2 . Chave de correção
I–
1. ( F ) no movimento retilíneo uniformemente retardado e no movimento retilíneo
uniformemente acelerado, o gráfico s x t fornece uma parábola.
2. ( F ) No MRUV, a reta que se obtém ao se construir o gráfico v x t indica a velocidade e
a aceleração do móvel. O espaço percorrido é indicado pela área delimitada pelo eixo dos
tempos ( abscissa ), pela reta e pelas perpendiculares ao eixo dos tempos traçadas pelos
pontos dos intervalos de tempo inicial e final .
3. ( V ) 4. ( V )
II - 1. ( c ) ; 2. ( d ) ; 3 (a ) ; 4. ( b ) .
III – 1. Dados : vo = 11 m/s
V = 29 m/s
V – vo + at ⇒ 29 = 11 + a . 15 ⇒ 29 – 11 = 15a ⇒ 15a = 18 ⇒ a = 1,2 m/s2
Resp. a aceleração do móvel e de 1,2 m/s2
2. Dados :
a = 6 cm/s2 So = 20 cm
vo = 4 cm/s t =4s s=?
a equação horária do MRUV é : s = so + vot + at2
2
inserindo nessa equação os dados do problema, temos :
VETORES VELOCIDADE E ACELERAÇÃO
1. direção e sentido
Quando automóveis se encontram em quatro pontos distintos de um cruzamento de
ruas , como indica a figura abaixo.
22

23. Se todos estão se movimentando a 36 km/h, podemos dizer que possuem a mesma
velocidade escalar. Entretanto, observe que:
 Os móveis A e C movimentam–se na mesma direção, indicada pela reta em que se
encontram ( no caso, a rua ), mas em sentidos opostos( o sentido é indicado pela seta ),
o mesmo ocorrendo com os móveis B e D;
 Os móveis A e B movimentam – se em direções e sentidos diferentes, o mesmo
ocorrendo com os móveis C e D.
A necessidade de associar os conceitos de direção e sentido aos valores numéricos da
velocidade e da aceleração, torna-se clara quando analisamos os movimentos dos
corpos no plano. Neste estudo, vamos aplicar uma parte de Matemática denominada
Cálculo vetorial , que fornecerá base suficiente para a resolução de problemas
envolvendo Cinemática vetorial .
Antes, porém, vamos ver o que é vetor.
2. Vetor
Se você observar um conjunto de retas paralelas, verá que elas apresentam uma
característica comum : têm a mesma direção .
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
A cada direção podemos associar uma orientação ou sentido:
A B
Sentido de B para A
A B
Sentido de A para B
Um segmento de reta orientado possui, além de direção e sentido, uma medida
(número real não – negativo ) chamada módulo.
módulo
vetor ( do latim vector = condutor ) é o ente matemático que reúne em si módulo, direção e
sentido . Todo segmento que apresenta essas três características pode representar um vetor:
direção
Vetor sentido
Módulo ( número real não – negativo )
23

24. Representação vetorial :
Gráfica Algébrica Do módulo
A
X, Y, Z , M , a , b , ...
|X|, |Y|, |Z|, |M|, | a |, | b | , ...
O
Dois vetores são
 Iguais quando apresentam mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido.
 Opostos quando apresentam mesmo módulo e mesma direção, mas sentidos contrários.
O vetor oposto pode ser indicado pelo sinal negativo, precedendo a notação algébrica :
C
D
C = D
ADIÇÃO DE VETORES
Uma importante aplicação prática da adição de vetores é a determinação da rota de
embarcações e aviões. Por exemplo, quando um avião está está voando de um lugar ( A)
para outro ( B ) e enfrenta uma vento que sopra em ângulo reto em sua direção , o piloto
deve alterar sua rota, fazendo um desvio como o representado na figura. A nova direção é
dada pela adição dos vetores .
Rumo do avião C
Direção
A Do vento
Rota a seguir
B
Existem várias maneiras de efetuar a adição de vetores. Veremos três delas : o
método da poligonal , a regra do paralelogramo e o método das projeções.
Método da poligonal
Para efetuar a adição de vetores, devemos colocá-los em um plano, a partir de um
ponto de origem ( P ), escolhido arbitrariamente, de modo que a extremidade de um
coincida com a origem do outro.
O vetor soma ( S ) é obtido ligando a origem do primeiro vetor ( A ) com a
extremidade do último ( C ) .
A
A
P
S
C B B
Q
C
24

25. P : Ponto do plano no qual começa o processo
Q : Ponto do plano no qual termina o processo
Logo : S=A+B+C
Observação :
P=Q A
A
B C B
S=O
C
Nas adições vetoriais, pode acontecer que a extremidade do último vetor
coincida com a extremidade do primeiro. Nesses casos, o vetor soma ( S ) é chamado vetor
nulo ( O ) . Veja que A + B = - C , oposto do vetos C .
Regra do paralelogramo
Para obter o vetor soma por esta regra, construímos um paralelogramo com origem
comum par cada par de vetores :
A S=A+ B
| S | = √ |A|2 + |B|2 + 2|A| |B| . cos ∝ ( obtido a partir
∝ S
B da lei dos cossenos )
O arco – e flecha é um dos poucos esporte em que deficies
físicos podem competir em pé de igualdade com outras pessoas.
O que faz com que a flecha atinja altas velocidades é a ação da
soma vetorial de duas forças, que será denominada resultante
( R ) , como veremos posteriormente no estudo da Dinâmica.
F1
R
F2
25

26. Método das projeções
A figura a seguir representa os vetores A, B, C e D e seus respectivos componentes
nos eixos x e y , obteremos traçando-se , pela origem e pela extremidade de cada vetor ,
retas perpendiculares ao sistema de eixos predeterminado .
A medida algébrica do segmento obtido pela ligação dos pontos de intersecção das
perpendiculares com os eixos recebe o nome de projeção do vetor no eixo:
Ax, Bx, Cx e Dx : projeções dos vetores A,
B, C e D no eixo x
Ay, By,Cy e D projeções dos vetores A, B
C e D no eixo y
Somando todas as projeções, encontramos , em cada eixo, a projeção do vetor soma :
Sx = Ax + Bx + Cx + D
Sy = Ay + By + Cy + Dy
Compondo Sx e Sy, obtemos o vetor soma procurando ( S ) :
26

27. Observação :
Para operar com vetores é importante conhecer as seguiste relações trigonométricas no
triângulo retângulo:
4. Subtração de Vetores
Na figura a seguir, vemos que para subtrair dois vetores, devemos adicionar um
deles ao oposto do outro.
Então
D = A – B = A + (-B)
Sendo D o vetor diferença.
5. Multiplicação de um número real por um vetor
O resultado da multiplicação de um número real K por um vetor X é o vetor
produto P, que apresenta as seguintes características:
Direção : a mesma de P
P= ks Sentido : para k > 0 : o mesmo de P
Para k < 0 : contrário ao de P
Módulo : |P| = |k| . |x|
Por exemplo, vamos considerar o vetor A representado abaixo e os números k = 2 e
k = -0,5
A
27

28. Para determinar os vetores B = ka e C = K’A procedemos da seguinte maneira :
Direção : a mesma de A
B sentido : o mesmo de A
|B| = 2|A|
B
Direção : a mesma de A
C sentido : contrário ao de A
|C| = | - 0,5 | |A|
c
1 . Dados os vetores abaixo, determine :
B
2
A
C
a) o vetor soma pelo método poligonal ;
b) o vetor soma pelo método das projeções ;
c) o vetor diferença D = A – B;
d) os vetores produtos x = 2A, y = - 0,5 B e z = -4C.
6. Vetor deslocamento
Um móvel parte da praça da Sé, em São Paulo , às 8h e chega à praça da Apoteose,
no Rio de Janeiro, às 13h.
Com base nessa informação , podemos representar o vetor deslocamento ( ∆r) do
corpo e conhecer previamente sua trajetória, apenas ligando as posições iniciais e final,
através de um segmento orientado de reta.
O vetor deslocamento possui direção, sentido e intensidade . Esta corresponde ao
módulo do vetor acompanhado da unidade de medida. Veja um exemplo:
10 km
∆r B
30º
reta A
28

29. Direção : a mesma da reta que forma ângulo de 30º com a horizontal
Sentido : de A para B
Intensidade : 10 km(|Rr| = 10 ; unidade : km )
7 . Vetor velocidade média
Imagine que um automóvel se desloca numa estrada como indica a figura :
Entre os pontos A e B, o automóvel efetuou um deslocamento ∆r, num intervalo de tempo
∆t.
O quociente de ∆r
∆t
é denominado vetor velocidade média ( Vm ) , o qual possui as seguintes características:
direção a mesma de ∆r
Vm sentido: o mesmo ∆r
intensidade : Vm = ∆r .
∆t
No SI, a unidade de intensidade da velocidade média é m/s
8 . vetor velocidade
O vetor velocidade ( V) de um móvel, num determinado ponto de sua trajetória , é
obtido calculando o vetor deslocamento em intervalo de tempo infinitamente pequenos:
V = ∆r ( ∆t muito pequeno )
∆t
A figura ao lado mostra a trajetória de um móvel .Para representar o vetor
velocidade no ponto A, devemos tomar pontos cada vez mais próximos de A e estudar de
que maneira a direção do vetor deslocamento varia :
29

30. A parti daí, concluímos que a direção do vetor velocidade nesse ponto é tangente à
trajetória e possui o sentido do movimento ; concluímos também que a intensidade da
velocidade vetorial em cada ponto coincide com a intensidade da velocidade escalar .
Assim, para qualquer ponto de uma trajetória, o vetor velocidade é sempre
tangente a ela.
Podemos observar evidências dessa conclusão em experiências simples como girar
uma pedra amarrada num barbante : soltando o barbante em qualquer posição , a pedra
prossegue na direção tangente à trajetória e no mesmo sentido do movimento.
A pedra é forçada a descrever uma trajetória curvilínea. Se o barbante arrebentar, ela
continuará o movimento na direção tangente à trajetória e no
sentido do movimento .
Portanto, podemos estabelecer, para o vetor velocidade :
Direção :
tangente à trajetória
v sentido : do movimento
intensidade : igual à da velocidade escalar
0
10 . Vetor aceleração média
Sempre que observamos uma variação no vetor velocidade de um móvel, podemos
determinar de que maneira essa variação ocorre no tempo . O resultado obtido recebe o
nome de aceleração vetorial média ou vetor aceleração média :
Direção : igual à de ∆v
Sentido : igual ao de ∆v
Intensidade : ym = |∆v| .
∆t
11. Vetor aceleração
Se durante um movimento observamos variação no vetor velocidade, podemos
dizer que em cada ponto o móvel possui um vetor aceleração y.
Esse vetor pode ser representado como a soma de dois outros vetores
perpendiculares entre si, que são seus componentes : aceleração tangencial e aceleração
centrípeta .
30

31. Aceleração tangencial ( at): tem sempre a direção da velocidade do móvel, e o sentido
depende do movimento ser acelerado ou retardado :
Movimento acelerado at e v têm o mesmo sentido
Movimento retardado ar e v têm sentidos contrários.
Sua intensidade coincide com a da aceleração escalar e ocorre sempre que há
variação na intensidade da velocidade vetorial (v):
at = |a |
Aceleração centrípeta ( ac) : é perpendicular à velocidade e aponta para o centro de
curvatura da trajetória. Ocorre sempre que há variação na direção de v.
Sua intensidade pode ser calculada por :
V – velocidade escalar no instante t.
2
ac = V , em que
r r = raio da trajetória .
observação :
A aceleração centrípeta também pode ser chamada de aceleração normal ou aceleração
radial.
LEI DA INÉRCIA
Aristóteles afirmava que o estado natural do corpo era o repouso, ou seja, quando
um corpo adquire velocidade, sua tendência natural é voltar ao repouso ( daí a explicação
dos antigos filósofos de que os corpos celestes deviam ser empurrados por anjo ...)
Em oposição ao que afirmava Aristóletes, Galileu elaborou hipótese de que não há
necessidade de forças para manter um corpo com velocidade constante, pois uma
aceleração nula está necessariamente associada a uma força resultante nula :
V = o ( repouso ou equilíbrio estático )
R = O ⇒ v = constante
V ≠ O ( MRU ou equilíbrio dinâmico )
Nos Diálogos sobre os dois principais sistemas do mundo, Galileu formulou pela
primeira vez a Lei da Inércia : Numa situação ideal ( como o caso de uma esfera lançada
sobre um plano horizontal perfeitamente polido ), o corpo adquire um movimento retilíneo
e uniforme.
Nesse caso , o movimento seria perpétuo.
Galileu não chegou a comprovar experimentalmente sua hipótese, pois, na prática, a
situação por ele imaginada é difícil de realizar-se . Uma comprovação experimental pode
31

32. ser feita em laboratório, com discos de bases polidas, que deslizam em movimento retilíneo o
Puxando bruscamente
Quando o ônibus parte, o motorista e os passageiros tendem a
e uniforme, sobre camadas de ar ou gás carbônico . cartão na direção
continuar em repouso em relação ao solo. Quando o ônibus
Mas podemos pensar num caso quase ideal , como , por exemplo, a patinação no cai
horizontal , a moeda
freia, o motorista e os passageiros tendem a continuar em dentro do copo
gelo : quando o patinador é empurrado, seu movimento tende a persistir durante razoável
movimento em relação ao solo
intervalo de tempo .
Em os princípios, Newton formulou as três leis básicas do movimento , sendo a Lei
da Inércia a primeira : todo corpo tende a manter seu estado de repouso ou de movimento
retilíneo e uniforme, a menos que forças externas provoquem variação nesse movimento.
As figuras a seguir ilustram algumas aplicações dessa lei.
Resolva:
1. A lei da inércia é válida para qualquer referencial ?
2. Indique a diferença entre o raciocínio de Aristóteles e o de Galileu , que levou à
descoberta da Lei da Inércia .
3. Newton ao enunciar suas leis, deu razão a Aristóteles ou a Galileu ? Justifique .
4. Por que , na prática, o princípio da inércia é de difícil comprovação ?
5. Os lançamentos espaciais se baseiam rigorosamente nas leis de Newton. O êxito
desse lançamento solidifica a crença nessas leis ?
6. Qual a importância do uso do cinto de segurança nos automóveis ?
7. Um pára-quedista desce verticalmente , próximo à superfície da Terra, com
velocidade constante . Qual a resultante das forças que agem sobre o conjunto ?
Lei Fundamental
Considerando a queda livre dos corpos próximos à superfície da Terra, verificamos
que sobre eles atua uma força resultante diferente de zero, pois, de acordo com a Lei da
Inércia, se a resultante fosse nula, o corpo deveria estar em repouso ou em movimento
retilíneo e uniforme
Vamos analisar, agora ,as experiências representadas nas figuras a seguir , feitas
com discos que deslizam sobre camadas de ar ou gás.
Na figura 1, a força resultante ( r ) é medida através de um dinamômetro, e
verificamos que o disco desliza com movimento . uniformemente variado de aceleração y.
Na figura 2, o disco é o mesmo, mas a força resultante foi dobrada ( 2 r ) ; verificamos,
então , que a aceleração adquirida pelo corpo também dobrou ( 2y ).
Fazendo uma série
de experiências
32

33. semelhantes, chegamos à conclusão de que a resultante (R) e aceleração ( y) são grandezas
diretamente proporcionais. Levando em conta que a aceleração adquirida apresenta sempre
a mesma direção e o mesmo sentido da força aplicada, podemos escrever .
R=ky
Mas ,qual o significado físico da constante de proporcionalidade k ?
É mais difícil acelerar uma locomotiva que um automóvel , e esse fato pode ser
verificado idealizando outra experiência, como a da figura:
A força resultante, neste caso, é a mesma da figura 1 , mas aplicada a dois discos
idênticos e superpostos. Em conseqüência, a aceleração fica reduzida à metade.
Podemos dizer , portanto, que o coeficiente k recebe o nome de massa inercial (m)
do corpo.
Experiências desse tipo permitiram o surgimento da mais importante relação
Fundamental da Dinâmica, que é a formalização matemática da Segunda lei de Newton:
R = my
As características de y são ;
Direção : a mesma de R
Sentido : o mesmo de R
Intensidade : y = R .
M
Devemos lembrar também que :
Y = at + a c
Nos movimentos retilíneos :
Y = at ⇒ |y| = |at| = |a |
No movimento circula uniforme :
|y| = |ac| = v2 .
r
sendo r o raio da trajetória .
A formalização dessa lei data de 1736, quando o matemático suíço Euler ( 1707 -
1783 ) elaborou o primeiro tratado científico do ponto material. Seu enunciado é: a
resultante R produz num corpo de massa m uma aceleração y na mesma direção e sentido
da resultante e de intensidade proporcional a R (Lei Fundamental da dinâmica).
De acordo com essa equação, no SI, 1N corresponde à intensidade da força
resultante que , aplicada num corpo com 1 kb de massa , produz uma aceleração de 1 m/s2
1 N = 1 kg . 1 m/s2
Exercícios resolvidos
33

34. 1 – Sobre um corpo de 10 kg de massa agem duas forças constantes, que formam entre si
um ângulo de 60º e cujas intensidades são respectivamente iguais a 12N e 16N. Sabendo
que o corpo se encontrava inicialmente em repouso, determine:
a) a aceleração do corpo;
b) sua velocidade escalar após 5s;
c) o movimento do corpo a partir do instante t = 5s, quando as forças deixam de agir.
2 – Sob a ação exclusiva de duas forças, F1 e F2, de mesma direção , um corpo de 6,0 kg
de massa adquire aceleração de módulo igual a 4,0 m/s2. se o módulo de F1 vale 20 N, o
módulo de F2, em Newton , só pode valer :
a) 0. b) 4,0 c)40. d)44. e)4,0 ou 44.
3 – Um carrinho de massa m = 25 kg é puxado por uma força resultante horizontal F = 50
N , conforme a figura ao lado. De acordo com a Segunda Lei de Newton, a aceleração
resultante no carrinho será, em m/s2 , igual a :
a) 1 250. b) 50. c) 25. d) 2. e)
0,5.
4 – Um automóvel de 1 200 kg desloca-se em uma
trajetória retilínea e sua velocidade varia de 0s a 10s.
De acordo com o gráfico ao lado.
a) Determine a intensidade da resultante sobre o
automóvel de 0s a 4s; de 4s a 6s; de 6s a 10s.
b ) O deslocamento do automóvel de 0s a 10s.
Lei da Ação e Reação
Imagine dois patinadores, de massas inercias iguais parado um em frente ao outro
numa superfície horizontal de gelo.
Se um empurrar o outro, os dois adquirirão movimento na mesma direção e em
sentido opostos, e os deslocamentos serão efetuados no mesmo intervalo de tempo,
sugerindo que as forças aplicadas são opostas.
Essa situação ilustra a Terceira Lei de Newton, chamada Lei ou Princípio da Ação e
Reação.
Se um corpo A exercer força em um corpo B, este reage em A com força oposta.
34

35. Tipo de máquina a vapor, construída para explicar a Terceira lei de Newton. A
qualquer ação corresponde uma reação oposta.
Essa lei sugere que na natureza as forças ocorrem sempre aos pares , não havendo
ação sem uma correspondente reação .
O remo troca forças com a água .
Diretamente em tais sistemas, porque , para essas partículas, o aumento da massa,
em relação à massa de repouso , é suficientemente grande para que possa ser medido com
precisão .
Os resultados de todas as experiências como essas, indicam que o efeito existe
realmente, sendo expresso exatamente pela equação acima.
Força peso
Vimos anteriormente que a força peso (P) é uma força de campo, pois ocorre pela
ação a distância entre os corpos.
Imagine, então, a seguinte situação: duas bolas, de massas m1 e m2, foram
abandonadas em repouso no mesmo nível e estão em queda livre vertical próximo à
superfície da Terra.
Nesta situação , a única força que atua sobre cada bola é a força gravitacional P.
A intensidade de P pode ser calculada multiplicando a massa m pela intensidade da
aceleração da gravidade g.
P = mg
Vetorialmente, temos :
P = mg
De acordo com a Lei Fundamental da Dinâmica , a força P é resultante e tem a
mesma direção e o mesmo sentido da aceleração g.
Observe a figura. Sendo P1 e P2 as resultantes em cada corpo , temos :
P1 = m1 y1 = m1g ⇒ y1 = g m2
m1
P2 = m2 y2 ⇒ m2g ⇒ y2 = g
Logo h
P1
Y1 = Y2 = g P2
Embora as massas dos dois corpos sejam diferentes, verificamos experimentalmente
que suas acelerações são iguais a g. Desprezando-se a resistência do ar. Se um dos corpos
tem o dobro da massa do outro, a força peso também é o dobro. Ser mais pesado quer dizer
exatamente ser mais puxado ou mais atraído pela Terra.
35

36. Aceleração e campo gravitacional
Na queda de corpos muitos leves ou de baixo
densidade, a influência do ar é tão importante a ponto de
atrasá-los na queda. Por isso, alguns anos depois de Galileu,
Newton imaginou um tubo cujo interior o ar fosse retirado.
Não havendo ar, podemos ver uma pena e uma pedrinha
caírem juntas. Isso acontece também na Lua, onde não existe
atmosfera .
A aceleração com que os corpos caem caracteriza o
campo gravitacional . Nos lugares em que os corpos caem
mais depressa, isto é , com maior aceleração, dizemos que o
campo gravitacional é mais intenso.
A experiência de Newton mostrou que, sem a resistência do
ar, dois corpos de massas diferentes , em queda livre a partir
do repouso, chegam juntos
Uma forma prática de determinar a intensidade do peso é através do dinamômetro
No caso da figura a seguir, o corpo pende estacionário
de um fio conectado ao dinamômetro. Apesar daTerra
continuar aplicando peso no corpo, ele é impedido de cair pela
força de tração T aplicado pelo fio, que tem a mesma
intensidade da força peso ( se a força de tração fosse menos
intensa que a força peso, o fio se ronperia e o corpo cairia). È
importante saber que a escala do dinamômetro apresenta a
intensidade da força de tração, e não a da força peso.
O peso de um corpo também não deve ser confundido com sua
massa: enquanto a massa é uma propriedade da matéria e seu valor é constante em qualquer
lugar, o peso é uma força e sua intensidade varia dependendo do local onde o corpo se
encontra.
No SI, a unidade de massa é o quilograma (kg) e a unidade de peso é o Newton (n)
Observação
Uma unidade de força muito utilizada na engenharia é o quilograma – força ( kgf).
Definido como a intensidade da força peso de um corpo de 1 kg de massa, próximo à
superfície terrena
1 kgf = 9,8 n
Aplicações das leis de Newton
As leis de Newton serão aplicadas na resolução de problemas que envolvem forças de
atrito, conforme veremos neste capítulo.
Força de atrito
A força e atrito pode ser observada freqüentemente em nosso cotidiano : quando
caminhamos, acendemos um palito de fósforo, escovamos os dentes, escrevemos etc.
O homem primitivo conseguiu obter o fogo das faíscas que saíam esfregar dois
pedaços de pedra ou madeira. Em ambos os casos, as faiscas deveriam atingir matérias de
fácil combustão, como folhas e gravetos, para que surgisse o fogo. Foi uma descoberta
fundamental na história da humanidade.
36

37. Mas , o que são forças de atrito?
São forças tangenciais que aparecem quando há escorregamento ( ou tendência de
escorregamento ) entre superfícies sólidas que se comprimem. A ocorrência desse
fenômeno depende, entre outras coisas, do estado de polimento e da natureza das
superfícies.
Vamos analisar a força de atrito conforme ela se apresenta na realidade : estático
( sem movimento relativo ) estético ( com movimento relativo ).
Força de Atrito Estático
A força de atrito estático (FAe)ocorre quando existe tendência a um deslizamento
relativo entre duas superfícies que se comprimem.
A figura a seguir representa um bloco apoiado numa superfície horizontal; nele é
aplicada uma força solicitadora de movimento (F) também horizontal .
As faces de contato do bloco e da superfície são
comprimidas, trocando forças normais . A compressão
dessas faces é devida ao peso do bloco , que representa a
atração que a terra exerce sobre ele.
Enquanto o bloco permanece em repouso, temos:
FAc = F
Aumentando gradativamente a intensidade de F, o bloco continua em repouso até que F
atinja um valor – limite entre o repouso e o movimento iminente. Nesse momento, o bloco
se encontra na iminência de movimento e temos;
FAe = Fams = F
Experimentalmente , podemos estabelecer as seguiste leis para o atrito:
 A intensidade da força de atrito estático varia de zero até o valor máximo de Famx
 A intensidade da força de atrito máxima é diretamente proporcional à intensidade da
força Normal (N) que a superfície aplica sobre o bloco.
FAmas = µeN
Sendo µe o coeficiente de atrito estático.
O coeficiente de atrito estático depende do estado de polimento e da natureza das
duas superfícies em contato.
A intensidade da força de atrito estático é independente da área de contato entre as
superfícies sólidas que se comprimem .
37

38. Força de Atrito Cinético
Quando a força solicitadora do movimento (f) atinge o valor da força de atrito
máxima ( FAmax ) , o bloco fica na iminência de deslizamento . A partir daí, um pequeno
acréscimo na intensidade da força solicitadora produz o movimento do bloco , ocorrendo,
então , a força de atrito cinético ( FAe ).
Experimentalmente, verificamos que, quando o bloco está em movimento , a força
de atrito é constante e não depende da velocidade de escorregamento das superfícies, desde
que essa velocidade não atinja valores muito elevados .
O gráfico seguinte mostra de que maneira variam os atritos estático e cinético entre
as superfícies .
Para a força de atrito cinético, temos
Fac = µeN
Em que µe é o coeficiente de atrito cinético. Comparando µe com µc, vem :
µe > µc
As forças de atrito possuem sentidos opostos ao sentido do deslizamento relativo
das superfícies. Mas isso não deve ser confundido com oposição ao movimento dos corpos.
Por exemplo, quando uma pessoa se movimenta sobre uma superfície, a força de atrito é
oposta ao escorregamento da sola do sapato.
A força de atrito é oposta ao movimento relativo .
A força de atrito (FA) e a força normal ( N ) são perpendiculares entre si. Na
verdade, elas são componentes de uma mesma força de contato ( F ) que a superfície aplica
no corpo . Observe a figura a seguir. Dela, temos :
38

39. 1 . um bloco de 5 kg de massa está em repouso numa superfície. Os coeficientes de atrito
estático e cinético são respectivamente iguais a 0,4 e 0,3 e g = 10 m/s2.
a) Determine a intensidade da força horizontal com que o
bloco deve ser puxado para que fique na iminência de
deslizamento.
b) Se o bloco for puxado por uma força 30 N que forma com
a horizontal um ângulo de 60º , ele começará a se move? Justifique.
c) Determine a intensidade da aceleração e da força normal sobre o bloco quando ele é
puxado por uma força de 50N que forma um ângulo de 60º com a horizontal.
F’ = N + FA
2. Um corpo de 2 Kg de massa se desloca sobre uma superfície horizontal lisa. Nele ,
alem da força cuja intensidade é F = 8N, estão aplicadas apenas a força normal e o peso.
Considerando sem 60º = 0,5, determine :
a) a resultante sobre o corpo;
b) a aceleração;
c) a intensidade do peso
d) a normal
3. Dois corpos, A e B, de massas respectivamente iguais a 2,0 kg e 3,0 kg estão apoiados
sobre uma superfície horizontal perfeitamente lisa. Uma força horizontal F = 20,0 N,
constante , é aplicada no bloco A. determine :
a) a aceleração dos blocos;
b) a intensidade da força F.
Superfície lisa
4. A figura representa um “trem de blocos” A e B , massa mA e mB. A intensidade da tração
no fio ideal é T = 9,6 N. Determine:
a) em que sentido o bloco A se movimenta; justifique:
b) a aceleração dos blocos
c) a intensidade da tração no fio.
5. Na figura o bloco A tem massa mA = 80 kg, e o bloco b, mb = 20 kg. A força F tem
intensidade 600 N. Desprezando os atritos , determine :
a) em que sentido o bloco A se movimenta; justifique
b) a aceleração dos blocos;
c) a intensidade da tração no fio.
39

40. 6. Na figura ao lado a roldana e os fios são ideais e os atritos são desprezíveis. O corpo B
tem massa mB = 10 m/s . Determine :
a) a tração no fio.
b) a massa do bloco A
S = 20 + 4t + 6 t2 ⇒ s = 20 + 40 + 3 t2 que é a equação desse movimento
2
para obter o espaço percorrido no instante t = 4 segundos , basta substituir nessa equação o
valor de t .
s = 20 + 4 . 4 + 3 . 42 ⇒ s = 20 + 16 + 48 ⇒ s = 84
resp: a equação horária do movimento é s = 20 + 4t + 3t2 e o espaço percorrido no instante t
= 4s será de 84 cm.
3 . Dados : Vo = 54 km/h = 15 m/s a = -2 m/s2
t=? s=?
Se queremos calcular o tempo que o carro gasta até parar V = 0 m/s, então temos :
V = Vo + at ⇒ 0 = 15 ( -2t ) ⇒ 2t = 15 ⇒ t = 7,5s
O espaço percorrido será dado por : S = 0 + 15 . 7,5 + ( - 2 + 7,52 ) ⇒ s = 112,5 – 56,25
⇒ s = 56 ,25 m ⇒ resp. O carro gasta 7,5 segundos para parar e percorre 56,25 metros
nesse tempo.
4. Dados : Vo = 0 s = 90 cm = 0,9 m
V = 600 m/s a=?
A bala acelera desde Vo = 0 até a velocidade v = 600 m/s, em um espaço de 0,9 m
(cano de fuzil). Aplicando a equação de Torricelli, temos :
V2 = Vo2 + 2a . ( S – So ) ⇒ 6002 = 0 + 2a . 0,9 ⇒ 1,8a = 360 000 ⇒ a = 360 000 ⇒
a = 200 00 m/s2 1,8
o tempo de percurso da bala dentro do cano do fuzil é dado por : v = vo + at
600 = 0 + 200 000 + t ⇒ t = 600 ⇒ t = 0,003s
200 000
Resp. A aceleração média da bala durante seu percurso dentro do cano do fuzil é de
200.000 m/s2 e a bala gasta 0,003 s para percorrer o cano.
40

41. TEXTO : TRABALHO DE UMA FORÇA
No nosso dia –a – dia , a palavra trabalho é usada para designar genericamente uma
atividade física ou intelectual : fabricar um móvel, dirigir um caminhão ou um ônibus,
cuidar da lavoura, escrever um livro são algumas formas de trabalho. Em física, o termo
trabalho está associado a forças e não a corpos; assim, para a física, se um operário estiver
parado segurando uma carga qualquer, ele não estará realizando nenhum trabalho, por
maior que seja essa carga.
EM FÍSICA , DEFINIMOS TRABALHO COMO O DESLOCAMENTO DO PONTO DE
APLICAÇÃO DE UMA FORÇA.
Para uma força realizar um trabalho, é necessário que ela se desloque e que admita
um componente na direção desse deslocamento.
Vamos considerar um ponto material que se desloca sobre uma reta, de A para B,
sob a ação de um sistema de força. Seja d o vetor deslocamento, F um força constante entre
as que atuam sobre o ponto , e θ o ângulo formado por F e d. O trabalho da força F no
deslocamento d é definido pela grandeza escalar:
τ = F . d . cos θ F
θ
A d B
onde F é a intensidade da força F e d, o módulo do vetor deslocamento d.
Como F e d não têm sinal ( são módulos ) , o sinal do trabalho τ ( lê-se tau) é dado
pelo sinal do cosseno do ângulo θ. Vejamos
a) se o ângulo θ for agudo, temos cós θ > 0 e , nesse caso , o trabalho da força F será
positivo, o que significa que a força esta ajudando o movimento do ponto material;
b) se o ângulo θ for abtuso, temos cós θ < 0 , e o trabalho da força F será negativo,
significando que a força está agindo contra o movimento do ponto;
c) se o ângulo θ for reto, temos cós θ = 0, o que fará com que o trabalho da força F
seja nulo, o trabalho da força F não ajudará nem atrapalhará o movimento .
Pense e responda.
Se uma força F forma com o deslocamento de um corpo em movimento um ângulo
de 90º , quem é o responsável por esse movimento ?
Você deve ter respondido que, se o trabalho da força F é nulo, outras forças
estão agindo sobre a partícula ou já agiram sobre ela para fazê-la entrar em movimento .
Unidades de trabalho
A unidade de trabalho no sistema SI é o joule (J) 2, equivalente ao trabalho de
uma força constante de intensidade de 1N que desloca seu ponto de aplicação na
direção e no sentido de uma força em um comprimento de um metro : J = N . m . São
usadas, também , outras unidades como o erg = dyn . cm , no sistema CGS ; o kgm =
kgf . m , no sistema MK*S. o quilowatt- hora ( kwh) = 3,6 . 106j; o elétron-volt ( eV) =
1,602 . 10 –19 J e a caloría ( cal ) = 4,1868 j(3).
Vejamos ,a seguir, um problema resolvido .
41

42. 1. Determine o trabalho realizado pela força constante F, de intensidade F = 20N, que
atua sobre uma partícula , deslocando –a ao longo de uma reta com extensão de 5
metros, conforme os esquemas:
Resp. O trabalho realizado pela força F é de –50 joules.
Nos itens a e d, você observou que a força F favorece o deslocamento da partícula
e, nesse caso, dizemos que a força F realiza um trabalho motor. Por outro lado, nos
itens b e e, a força F age contra o deslocamento e dizemos que ela realiza um trabalho
resistente. No item c, você viu que o trabalho da força f não influi no deslocamento da
partícula ( não age contra nem a favor ) e, nesse caso, sendo θ um ângulo reto,
chamamos o trabalho da força F de trabalho nulo.
42

43. O TRABALHO DA FORÇA – PESO
Vamos , agora , estudar um caso muito particular. Trata-se do trabalho realizado
quando uma partícula, sob a ação do seu peso, passa de uma posição inicial A para uma
posição final B. Consideremos dois casos distintos.
1º caso : a partícula desloca-se na vertical em sentido
descendente. Neste caso, a força e o deslocamento têm o
mesmo sentido . O ângulo θ formado pela força P e pelo
deslocamento é 0º, então cos θ = 1 . O trabalho realizado pela
força P é dado por
τ = p . h , mas P = m . g , então τ = m g h
2º caso: a partícula se desloca na vertical em sentido ascendente
. Neste caso, a força e o deslocamento têm a mesma direção,
mas sentidos opostos, O ângulo θ formado pela força P e pelo
deslocamento é 180º , então cos θ = - 1. O trabalho realizado
pela força P é u trabalho resistente e é dado por τ = p . h mas,
neste caso . P = - m . g , então
τ=-m g h
Quando uma partícula descreve uma trajetória não
vertical, o trabalho da força – peso é calculado como nos dois
caso vistos, dependendo apenas do sentido do movimento,
devido ao Princípio da Independência do Movimentos que você já estudou.
Podemos , então , concluir que :
ENTRE A MESMA POSIÇÃO INICIAL E A MESMA POSIÇÃO FINAL, O
TRABALHO REALIZADO PELA FORÇA – PESO NÃO DEPENDE DA
TRAJETÓRIA PERCORRIDA ENTRE A POSIÇÃO INICIAL E Á POSIÇÃO
FINAL; ESSE TRABALHO DEPENDE EXCLUSIVAMENTE DA POSIÇÃO
INICIAL E DA POSIÇÃO FINAL .
Vejamos, agora , o que vem a ser potência . Suponhamos que , em um grande depósito
de materiais ,um empregado eleve uma caixa de 60 quilos a uma altura de um metro, em 30
segundos , e que uma empilhadeira gaste apenas 10 segundos para elevar a mesma caixa à
mesma altura . Embora o empregado tenha realizado o mesmo trabalho que a empilhadeira ,
a máquina realizou o trabalho em menos tempo.
A POTÊNCIA É UMA GRANDEZA FÍSICA, ESCALAR, QUE DEFINE A RAPIDEZ
COM QUE O TRABALHO DE UMA FORÇA É REALIZADO .
Seja uma força F que , num intervalo de tempo ∆t qualquer, realiza um trabalho τ.
Chamamos de potência média (pm) da força F, no intervalo de tempo, ao quociente:
Pm = τ .
∆t
Vamos calcular a relação existente entre a potência e a velocidade quando uma partícula se
movimenta retilineamente sob a ação de uma força constante F, paralela ao deslocamento.
Suponhamos que uma partícula se desloque de A para B sob a ação de um força F.
Nesse caso, o trabalho da força F será dado por :
τ=F.d
43

44. A F B
A potência média de F será dada por:
d
Pm = τ .
∆t
mas τ = F . d , então : Pm = F . d
∆t
sendo a relação existente entre o deslocamento e o espaço de tempo gasto igual á
velocidade média ,temos que
Pm = F . Vm
Unidade de Potência
Você já sabe que a potência é o quociente entre o trabalho e o intervalo de tempo, então as
unidades de potência serão quocientes das unidades trabalho pelas unidades de tempo,
assim temos:
a) no sistema MKS (SI )
unidade trabalho: J (joule )
unidade de tempo: s (segundo )
unidade de potência : J que recebe o nome de watt e tem o símbolo W.
s
um watt (lw) é a potência de um sistema capaz de realizar uma trabalho de 1 joule em 1
segundo.
b) no sistema CGS
unidade de trabalho : erg
unidade de tempo : s
unidade de potência : erg/s (erg por segundo ).
Um erg por segundo é a potência de um sistema capaz de realizar o trabalho de 1 erg
em 1 segundo .
c) no sistema MK*S:
unidade de trabalho : kgm ( quilogrâmetro )
unidade de tempo : s
unidade de potência : kgm / s ( quilogrametro por segundo ).
Além dessas unidades temos , também , algumas unidades de potência e a sua relação
com o watt.
SISTEMA UNIDADE DE POTÊNCIA RELAÇÃO COM 1W
MKS ( S. ) Watt ( W ) -
CGS Erg /s 1 erg/s = 10 –7w
MK*S Kgm/s 1 kgm/s = 908w
MTS Kw 1 kw = 103 w
- Cv 1 cv = 735,5 w
- HP 1 HP = 746 w
É importante relembrar que o quilowatt – hora ( kwh ) , usado para medir o
consumo de energia elétrica, não é uma unidade de potência mas sim, uma unidade de
trabalho, como você já aprendeu.
44

45. O conceito de rendimento é comum em nossa vida diária “ meu carro não tem
apresentado bom rendimento” “ estou tendo um ótimo rendimento no estudo desta
disciplina”, são frases que você já deve ter dito e ouvido várias vezes . Para estudarmos o
que é rendimento , vejamos alguns conceitos novos.
Consideremos um motor de um automóvel que tem a finalidade de fazer o veículo
se deslocar. Para que o motor possa funcionar, devemos fornecer uma certa quantidade de
combustível e, em troca, ele nos fornece um trabalho (o deslocamento do
automóvel ).
O trabalho que fornecemos ao sistema, chama-se trabalho motriz , e o trabalho que
o sistema nos devolve, chama-se trabalho útil. O trabalho útil é sempre menor que o
trabalho motriz, porque uma certa parte é gasta para vencer o atrito e outras resistências, a
que chamamos de resistências passivas ou trabalho passivo.
TRABALHO ÚTIL = TRABALHO MOTRIZ – TRABALHO PASSIVO
Para qualificar o motor quanto à sua eficiência, ou seja, quanto ao grau de
aproveitamento do trabalho motriz, é que foi definida a grandeza de rendimento .
O RENDIMENTO É A RELAÇÃO ENTRE O TRABALHO ÚTIL E O TRABALHO
MOTRIZ.
Chamando o rendimento de R e lembrando que o trabalho útil é sempre menor que o
trabalho motriz, podemos escrever:
R =τu .
τm
Onde R será sempre menor que a unidade.
Sabendo que a potência é dada pela relação existente entre o trabalho e a unidade de
tempo, podemos calcular, também o rendimento R em função da potência :
R=Pu
Pm
Onde, como você já sabe, R será menor que 1.
Geralmente, o rendimento é expresso em percentual. Assim , se na resolução de um
problema chegarmos a obter : R = τ u ⇒ R = 80 ⇒ R = 0,8
τm 100
é mais comum dizer que “ o rendimento é de 80%” do que “ o rendimento é de 0,8” ,
embora ambar as formas estejam corretas.
Vejamos , agora , algumas aplicações do conteúdo estudado.
1. um homem segura um corpo de peso P = 50 N suspendendo –o verticalmente
com velocidade constante, desde o assoalho até uma altura de 1,2 m do assoalho . Calcule:
a ) o trabalho realizado pela força – peso do corpo
b ) o trabalho realizado pela força aplicada pelo homem.
Resolução:
a) dados
P = 50 N velocidade constante
AB = h = 1,2m
O sentido do deslocamento do ponto de aplicação da força- peso é contrário ao sentido
desta força, então:
τ = -p . h
τ = -50 . 1,2 ⇒ τ = -60 j
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46. b) como o corpo está sendo suspenso com velocidade constante, concluímos que o homem
equilibra a força – peso durante o trajeto, aplicando ao corpo uma força F de mesma
intensidade , mesma direção ( vertical ) . Porém de sentido oposto ao da força P : F = - P.
Sendo o sentido da força aplicada pelo homem, o mesmo do sentido do deslocamento, o
trabalho é dado por
τ=p. h
τ = 50 . 1,2 ⇒ τ = 60 j ⇒ τ = , o que já era de se esperar visto que F = - P
resp : A força aplicada pelo homem é de 60 j
2. Uma força realiza um trabalho de 25 j num intervalo de tempo ∆t = 5s , Calcule a
potência média da força em watts e em HP.
Resolução:
Dados : τ = 25j ∆t = 5s
Pm = τ ⇒ Pm = 25 ⇒ Pm = 5 j /s ⇒ Pm = 5w
∆t 5
para transformar 5 watts em Hp, faz-se uma regra de três simples:
1 HP ------------- 746W
X HP------------- 5W
X = 5 J /S
Para acionar uma máquina são fornecidos 5 HP, dos quais 3 HP são gastos para vencer as
resistências passivas. Calcule o rendimento dessa máquina.
Resolução .
Dados : Potência motriz = 5 HP potência útil = 2 HP
R = Pu ⇒ r = 2 ⇒ r = 0,4
Pm 5
O rendimento da máquina é de 40% ( ou 0,4 ).
EXERCÍCIOS:
FAÇA A VERIFICAÇÃO DO QUE VOCÊ APRENDEU NO ESTUDO DO TEXTO,
REALIZANDO OS EXERCÍCIOS QUE SE SEGUEM.
PARA RESOLVÊ-LOS, VOCÊ DEVE SABER :
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