Funções reais de várias variáveis

Fun¸˜es reais de v´rias vari´veis
co a a
´
MODULO 1 – AULA 1

Aula 1 – Fun¸˜es reais de v´rias vari´veis
co a a

Objetivo
• Apresentar as fun¸˜es de v´rias vari´veis.
co a a

Introdu¸õ
ca

A partir desta aula, at´ o fim do semestre, o foco de nossas aten¸˜es ser´
e co a
as fun¸˜es de v´rias vari´veis. Vocˆ j´ estudou as fun¸˜es reais e vetoriais
co a a e a co
de uma vari´vel que servem para descrever fenˆmenos que dependem de um
a o
unico parˆmetro ou vari´vel. Como exemplos, vocˆ pode tomar a posi¸õ
´ a a e ca
de uma part´ ıcula, a sua velocidade e a sua acelera¸õ. Nesses casos, os
ca
fenˆmenos variam em fun¸õ do tempo. No entanto, h´ diversas situa¸˜es
o ca a co
nas quais o resultado depende de mais de uma vari´vel. Vamos a um exemplo.
a
Podemos usar uma fun¸õ para descrever as diversas temperaturas em
ca
diferentes pontos de uma dada placa de metal. Isto ´, a cada ponto P da
e
placa associamos a sua temperatura T (P ), dada em graus Celsius, digamos.
Muito bem; para determinarmos um ponto em uma placa, precisamos
de duas informa¸˜es: uma latitude e uma longitude. Isto ´, necessitamos de
co e
duas coordenadas. Ou seja, T ´ uma fun¸õ de duas vari´veis.
e ca a
Veja uma outra situa¸õ. Dado um corpo com a forma de um parale-
ca
lep´
ıpedo, podemos associar a cada um de seus pontos P a densidade δ(P )
do objeto nesse exato ponto. Isso nos d´ uma fun¸õ δ, que depende de trˆs
a ca e
vari´veis, uma vez que, para localizar um ponto no paralelogramo, necessi-
a
tamos de trˆs informa¸˜es: altura, largura e profundidade.
e co
Vocˆ seria capaz de imaginar uma situa¸õ que demandasse uma fun¸õ
e ca ca
de quatro vari´veis para descrever um determinado fenˆmeno?
a o

Fun¸˜es de duas vari´veis
co a
Chamamos fun¸˜es de duas vari´veis as fun¸˜es do tipo
co a co

f : A ⊂ lR 2 −→ lR ,

cuja lei de defini¸õ tem a forma
ca

z = f (x, y).

7 CEDERJ

co a a

Isto ´, x e y sõ as vari´veis independentes. O subconjunto A de lR 2 ´
e a a e
o dom´ınio da fun¸õ.
ca

Exemplo 1.1
Seja f : lR 2 −→ lR a fun¸õ definida por f (x, y) = x + 2y.
ca
Este exemplo ´ bem simples. Esta fun¸õ de duas vari´veis ´ chamada,
e ca a e
´
na Algebra Linear, de um funcional linear.
As fun¸˜es de duas vari´veis tˆm um papel importante no nosso estudo
co a e
de fun¸˜es de v´rias vari´veis, pois podemos esbo¸ar seus gr´ficos. Em geral,
co a a c a
o gr´fico de uma fun¸õ de duas vari´veis ´ uma superf´ em lR 3 . No caso
a ca a e ıcie
em questõ, esta superf´ ´ um plano que cont´m a origem. Sua interse¸õ
a ıcie e e ca
e e ´
com o plano xOz ´ a reta z = x e com o plano yOz ´ a reta z = 2y. E claro
que na figura representamos apenas parte do plano. Veja a seguir.

z

x y

Em geral, representamos o espa¸o tridimensional com o plano z = 0,
c
gerado pelos eixos Ox e Oy, fazendo o papel de chõ onde estamos, o plano
a
x = 0, gerado pelos eixos Oy e Oz, como se fosse uma parede ligeiramente a`
nossa frente e o plano y = 0, gerado pelos eixos Ox e Oz, como se fosse uma
outra parede ligeiramente a nossa esquerda.
`
Note, tamb´m, que representamos apenas parte da superf´
e ıcie. Na ver-
dade, o gr´fico da fun¸õ ´ um plano e, como tal, deve continuar em todas as
a ca e
dire¸˜es. No entanto, limitamo-nos a representar sua interse¸õ com o plano
co ca
zOy, fazendo x = 0, obtendo a reta z = 2y, e a sua interse¸õ com o plano
ca
zOx, fazendo y = 0 e obtendo a reta x = x. Al´m disso, na regiõ x ≥ 0,
e a
y ≥ 0, desenhamos apenas uma parte do plano, sobre um dom´ triangular.
ınio
´
E bom acostumar-se com essas representa¸˜es. Temos de contar com a
co
ajuda delas para visualizar a geometria das fun¸˜es de v´rias vari´veis.
co a a

CEDERJ 8

co a a
´
MODULO 1 – AULA 1

A seguir, mais duas fun¸˜es com seus gr´ficos.
co a

Exemplo 1.2

f (x, y) = x2 + y 2 g(x, y) = 1 − x2 − y 2

Note que estas duas superf´
ıcies sõ conhecidas da Geometria Anal´
a ıtica.
O gr´fico de f ´ o parabolíde de revolu¸õ definido pela equa¸õ z = x + y 2
a e o ca ca 2

e o gr´fico de g ´ uma semi-esfera. Isto ´, os pontos (x, y, z) que pertencem
a e e
ao gr´fico de g satisfazem ` equa¸õ z = 1 − x2 − y 2 e, portanto, tamb´m
a a ca e
2 2 2
satisfazem ` equa¸õ x + y + z = 1, pertencendo, por isso, a esfera de raio
a ca `
1, centrada na origem.

Dom´
ınios das fun¸˜es de duas v´rias vari´veis
co a a

Seguindo a mesma regra geral usada no C´lculo I, quando dizemos “seja
a
z = f (x, y) uma fun¸õ”, estamos subentendendo que seu dom´ ´ o maior
ca ınio e
2
subconjunto de lR no qual a lei esteja bem definida.

Exemplo 1.2 (Revisitado)
No caso de f (x, y) = x2 + y 2 , cujo gr´fico ´ um parabolíde, o dom´
a e o ınio
2
´ todo o plano lR . Esta ´ uma fun¸õ polinomial, pois sua lei de defini¸õ
e e ca ca
´ um polinˆmio em duas vari´veis.
e o a
Nesses casos, costumamos usar a expressõ “o plano todo”.
a
Consideremos agora a fun¸õ g(x, y) =
ca 1 − x2 − y 2 , que est´ bem
a y

definida, desde que 1 − x − y ≥ 0. Em outras palavras, o dom´
2 2
ınio de g ´
e
o conjunto
1 x
A = { (x, y) ∈ lR ; x2 + y2 ≤ 1 },

a que chamamos disco fechado de raio 1, centrado na origem.

9 CEDERJ

co a a

Exerc´ 1
ıcio
Determine o dom´
ınio de

f (x, y) = ln (x + y − 2)

e fa¸a um esbo¸o, representando-o.
c c

Fun¸˜es de trˆs ou mais vari´veis
co e a

No caso das fun¸˜es com mais do que duas vari´veis, nõ dispomos dos
co a a
esbo¸os de seus gr´ficos, senõ de maneira simplificada, uma vez que eles sõ
c a a a
subconjuntos de lR n , com n ≥ 4. No entanto, podemos esbo¸ar os dom´
c ınios
3
de fun¸˜es de trˆs vari´veis, pois eles sõ subconjuntos de lR . Veja um
co e a a
exemplo a seguir.
Quando o dom´ ınio da fun¸õ
ca
Exemplo 1.3
´ um subconjunto de lR 3 ,
e
costumamos usar as letras Vamos determinar o dom´
ınio da fun¸õ
ca
x, y e z para indicar as
coordenadas de um ponto
gen´rico, estabelecendo, as-
e w = f (x, y, z) = 4 − x2 − y 2 − z 2
sim, essa nomenclatura para
as vari´veis independentes,
a
usando, em geral, w para a e fazer um esbo¸o deste subconjunto de lR 3 .
c
vari´vel dependente. Isto ´,
a e
atribu´ ıdos valores para x, y Nesse caso, para que a fun¸õ esteja bem definida, as coordenadas do
ca
e z, de modo que (x, y, z)
´ um elemento do dom´
e ınio
ponto devem satisfazer a condi¸õ
ca
da fun¸õ, o valor de w =
ca
f (x, y, z) fica determinado.
4 − x2 − y 2 − z 2 ≥ 0.

z
Ou seja, o dom´
ınio de f ´ o conjunto
e

y
A = { (x, y, z) ∈ lR 3 ; x2 + y2 + z2 ≤ 4 },
2
x
que corresponde aos pontos interiores a esfera de raio 2 e o seu bordo.
`

Exerc´ 2
ıcio
Determine o dom´
ınio da fun¸õ
ca

√
g(x, y, z) = x2 + y 2 − z 2 − 1 + z

e fa¸a um esbo¸o desse conjunto.
c c

CEDERJ 10

co a a
´
MODULO 1 – AULA 1

Alguns gr´ficos de fun¸˜es (simples) de duas vari´veis
a co a
Em geral, esbo¸ar o gr´fico de uma fun¸õ de duas vari´veis pode ser
c a ca a
uma tarefa trabalhosa, a menos que vocˆ disponha de um computador com
e
algum programa pr´prio para fazer isso. Mas vocˆ j´ acumula uma consi-
o e a
der´vel bagagem matem´tica, enriquecida nos cursos de Pr´-C´lculo, C´lculo
a a e a a
I, Geometria Anal´ ´
ıtica e Algebra Linear I, que lhe permite lidar com alguns
casos mais simples.

Superf´
ıcies quadr´ticas
a

Comecemos com os casos que usam as superf´
ıcies quadr´ticas que vocˆ
a e
estudou na Geometria Anal´
ıtica.

Exemplo 1.4
Vamos determinar o dom´
ınio e esbo¸ar o gr´fico da fun¸õ
c a ca

f (x, y) = 36 − 9x2 − 4y 2.
y
O dom´ ´ determinado pela condi¸õ 36−9x2 −4y 2 ≥ 0, equivalente
ınio e ca
a
` inequa¸õ
ca
x2 y 2 x
+ ≤ 1,
4 9 2

que corresponde ao interior de uma elipse, incluindo o seu bordo.
Agora, o gr´fico da fun¸õ. Para determinarmos o gr´fico de f , po-
a ca a 3

demos observar que os pontos cujas coordenadas satisfazem a equa¸õ z =
ca
36 − 9x2 − 4y 2 tamb´m satisfazem a equa¸õ
e ca

x2 y 2 z 2
+ + = 1,
4 9 36
que determina um elipsíde com centro na origem. O gr´fico ´ a parte do
o a e
elipsíde que est´ contida no semi-espa¸o determinado por z ≥ 0:
o a c

6

2 3

11 CEDERJ

co a a

Exerc´ 3
ıcio
Esboce o gr´fico da fun¸õ f : lR 2 −→ lR 2 , definida por
a ca

 − x2 + y 2 − 1, se x2 + y 2 ≥ 1,

f (x, y) =


1 − x2 − y 2 , se x2 + y 2 ≤ 1.

Superf´
ıcies cil´
ındricas

Veremos, agora, gr´ficos de fun¸˜es que sõ superf´
a co a ıcies cil´
ındricas. Lem-
bre-se, superf´
ıcies cil´
ındricas sõ aquelas obtidas por um feixe de retas pa-
a
ralelas colocadas ao longo de uma curva plana. Exemplos de tais superf´ ıcies
do nosso dia-a-dia sõ um cano de pvc ou uma telha de cobertura.
a

Os gr´ficos das fun¸˜es de duas vari´veis cujas leis de defini¸õ envolvem
a co a ca
apenas uma vari´vel independente sõ superf´
a a ıcies cil´
ındricas. O feixe de retas
paralelas ´ paralelo ao eixo correspondente a vari´vel que est´ faltando. Veja
e ` a a
a seguir alguns exemplos.

Exemplo 1.5
z

z

y
x y x

z = f (x, y) = 6 + sen x z = g(x, y) = y 2

z
z

x y
y
x
z = h(x, y) = x2 z = k(x, y) = |y|

CEDERJ 12

co a a
´
MODULO 1 – AULA 1

Superf´
ıcies de revolu¸õ
ca

As fun¸˜es cujas leis de defini¸õ tˆm a forma
co ca e

z = f (x, y) = g(x2 + y 2 ),

em que g ´ uma fun¸õ real de uma vari´vel, sõ relativamente simples.
e ca a a
Essas fun¸˜es sõ constantes ao longo dos c´
co a ırculos concˆntricos na origem.
e
Realmente, se (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ) sõ tais que x2 + y1 = x2 + y2 , entõ
a 1
2
2
2
a

f (x1 , y1) = f (x2 , y2 ).

Portanto, os gr´ficos de tais fun¸˜es sõ superf´
a co a ıcies de revolu¸õ em
ca
torno do eixo Oz.
Para esbo¸ar o gr´fico de alguma dessas fun¸˜es, basta esbo¸ar o gr´fico
c a co c a
da fun¸õ
ca
z = f (x, 0),
por exemplo, e girar esta curva sobre o eixo Oz. A superf´ obtida ser´ o
ıcie a
gr´fico da fun¸õ z = f (x, y). O parabolíde e a semi-esfera apresentados no
a ca o
exemplo 21.2 ilustram essa situa¸õ. Vejamos um outro exemplo.
ca

Exemplo 1.6
Vamos esbo¸ar o gr´fico da fun¸õ
c a ca

f (x, y) = arctg (x2 + y 2).

Usando a tćnica que aprendemos no C´lculo I, conclu´
e a ımos que o gr´fico
a
2
da fun¸õ z = h(x) = f (x, 0) = arctg x ´
ca e

Portanto, o gr´fico de f (x, y) = arctg (x2 + y 2) ´
a e

13 CEDERJ

co a a

Chegamos, assim, ao fim da primeira aula sobre fun¸˜es de v´rias
co a
vari´veis. Vocˆ deve ter percebido que a maior parte do conte´ do, de al-
a e u
guma forma, nõ lhe era estranho. No entanto, muito provavelmente vocˆ
a e
reviu essas coisas numa nova perspectiva. As inequa¸˜es que vocˆ estudou
co e
no Pr´-C´lculo lhe serõ uteis no momento em que vocˆ for determinar os
e a a ´ e
dom´ ınios dessas novas fun¸˜es. Os conte´ dos de Geometria Anal´
co u ıtica estarõ
a
constantemente servindo como fonte de exemplos, atrav´s das cˆnicas e das
e o
qu´dricas. Vocˆ usar´ tudo o que aprendeu no C´lculo I sobre as fun¸˜es
a e a a co
o a a ´
de uma vari´vel real e, nas pr´ximas aulas, ver´ a importˆncia da Algebra
a
Linear. Espero que esta aula, assim como as pr´ximas, sejam de grande
o
est´
ımulo para vocˆ. Aproveite bem esta experiˆncia.
e e
Agora, as respostas dos exerc´
ıcios propostos acompanhadas de uma
pequena lista de mais alguns.

Exerc´
ıcios

Exerc´ 1
ıcio
Determine o dom´
ınio de

f (x, y) = ln (x + y − 2)

e fa¸a um esbo¸o, representando-o.
c c
Solu¸õ:
ca
O dom´
ınio de f ´ o conjunto
e

Dom(f ) = { (x, y) ∈ lR 2 ; x + y > 2 }.

Este ´ o conjunto dos pontos do plano que estõ acima da reta x+y = 2.
e a

CEDERJ 14

co a a
´
MODULO 1 – AULA 1

Exerc´ 2
ıcio
Determine o dom´
ınio da fun¸õ
ca
√
g(x, y, z) = x2 + y 2 − z 2 − 1 + z

e fa¸a um esbo¸o desse conjunto.
c c
Solu¸õ:
ca
Nesse caso, temos duas condi¸˜es que devem ser simultaneamente sa-
co
tisfeitas. Assim, o dom´
ınio de g ´ a interse¸õ de dois conjuntos:
e ca

Dom(g) = { (x, y, z) ∈ lR 3 ; x2 + y2 ≥ z2 + 1 } ∩ { (x, y, z) ∈ lR 3 ; z ≥ 0 }.

A equa¸õ x2 + y 2 − z 2 = 1 determina um hiperbolíde de uma folha.
ca o
3
Este hiperbolíde divide o espa¸o tridimensional lR em duas regi˜es: uma
o c o
que cont´m o eixo Oz, que chamaremos interior ao hiperbolíde, e a outra,
e o
que chamaremos exterior ao hiperbolíde. A condi¸õ x2 + y 2 ≥ z 2 + 1, mais
o ca
z ≥ 0, determina o subconjunto do espa¸o que ´ exterior ao hiperbolíde e
c e o
que fica acima do plano xOy:

Exerc´ 3
ıcio
Esboce o gr´fico da fun¸õ f : lR 2 −→ lR 2 , definida por
a ca

 − x2 + y 2 − 1, se x2 + y 2 ≥ 1,

f (x, y) =


1 − x2 − y 2 , se x2 + y 2 ≤ 1.

Solu¸õ:
ca
Na regiõ determinada por x2 + y 2 ≤ 1, a fun¸õ ´ dada pela equa¸õ
a ca e ca
z = 1−x 2 − y 2 . Nesta regiõ, seu gr´fico ´ uma semi-esfera.
a a e
Na regiõ x2 + y 2 ≥ 1, a fun¸õ ´ definida por z = − x2 + y 2 − 1.
a ca e
Esta equa¸õ define a parte inferior de um hiperbolíde de uma folha (veja
ca o
exerc´
ıcio anterior). Combinando as partes das superf´ ıcies, chegamos ao
gr´fico esperado:
a

15 CEDERJ

co a a

Exerc´ 4
ıcio
Determine e fa¸a um esbo¸o do dom´
c c ınio de cada uma das fun¸˜es
co
a seguir:
a) f (x, y) = x2 − 4y 2 − 4. b) g(x, y) = ln (x2 + y 2 − 1).

c) h(x, y) = sec (x + y). d) k(x, y, z) = 1 + x2 + y 2 − z 2 .

Exerc´ 5
ıcio
Esboce o gr´ﬁco das seguintes fun¸˜es:
a co

 4−x

2 − y2, se x2 + y 2 ≤ 4;
a) f (x, y) =


0, se x2 + y 2 ≥ 4.
b) g(x, y) = 1 + x2 + y 2.

Exerc´ 6
ıcio
Esboce o gr´ﬁco de cada uma das fun¸˜es a seguir:
a co
2
a) f (x, y) = cos y. b) g(x, y) = e1−y .

2 −y 2
c) h(x, y) = ln (x). d) k(x, y) = e1−x .

CEDERJ 16

Derivadas parciais
´
MODULO 1 – AULA 5

Aula 5 – Derivadas parciais

Objetivos
• Aprender a calcular as derivadas parciais de fun¸˜es de v´rias vari´veis.
co a a

• Conhecer a interpreta¸õ geom´trica desse conceito.
ca e

Introdu¸õ
ca
Ao longo das quatro ultimas aulas vocˆ aprendeu os conceitos b´sicos da
´ e a
teoria das fun¸˜es de v´rias vari´veis, incluindo o conceito de continuidade.
co a a
Nesta aula, iniciaremos uma nova etapa, o estudo das no¸˜es de di-
co
ferenciabilidade das fun¸˜es de v´rias vari´veis. Na verdade, esse assunto
co a a
ocupar´ todas as nossas aulas, de agora em diante.
a
As derivadas parciais desempenham um papel relevante nesse contexto,
especialmente do ponto de vista pr´tico; por´m, como veremos um pouco
a e
mais adiante, nõ completamente decisivo. Mas estamos antecipando demais
a
nossa hist´ria. Tudo a seu tempo.
o
Seguindo a pr´tica j´ rotineira, estabeleceremos os conceitos para os
a a
casos das fun¸˜es de duas e de trˆs vari´veis, observando que eles podem ser
co e a
estendidos para fun¸˜es com mais vari´veis.
co a
Antes de atacarmos o nosso tema principal, no entanto, precisamos de
um novo conceito sobre conjuntos.

Conjuntos abertos
Essa no¸õ caracterizar´ os dom´
ca a ınios das fun¸˜es que estudaremos de
co
agora em diante.
Intuitivamente, podemos dizer que um subconjunto do plano lR 2 ou do
espa¸o lR 3 ´ aberto se for um conjunto sem fronteiras ou bordos. Exemplos
c e
t´
ıpicos sõ
a

D = { (x, y) ∈ lR 2 ; (x − a)2 + (y − b)2 < r },

o disco de centro em (a, b) e raio r, aberto em lR 2 ,

B = { (x, y, z) ∈ lR 3 ; (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c) < r },

55 CEDERJ

Derivadas parciais

a bola de centro em (a, b, c) e raio r > 0, aberta em lR 3 .

Um detalhe importante: a no¸õ conjunto aberto ´ uma no¸õ relativa.
ca e ca
Isto ´, depende do ambiente. Veja, a sintaxe ´: A ´ aberto em lR 2 .
e e e
Para tornarmos este conceito mais preciso, introduziremos a no¸õ de
ca
ponto interior ponto interior. Dizemos que um ponto (a, b) ∈ A ⊂ lR ´ um ponto interior
2
e
do conjunto A se existe um disco aberto D de centro em (a, b) e raio r > 0
contido em A. Em s´ ımbolos matem´ticos, (a, b) ∈ D ⊂ A ⊂ lR 2 .
a
Analogamente, um ponto (a, b, c) ∈ A ⊂ lR 3 ´ um ponto interior de A
e
se existe uma bola aberta B de centro em (a, b, c) e raio r > 0 contida em A.
Intuitivamfente, um ponto (a, b) ´ um ponto interior de A se todos os
e
2
pontos de lR que o cercam tamb´m sõ pontos de A.
e a

Exemplo 5.1
Seja H = { (x, y) ∈ lR 2 ; y ≥ 1 }. O ponto (1, 2) ´ um ponto interior
e
de H, pois o disco aberto de centro em (1, 2) e raio 1/2, por exemplo, est´ a
contido em H. J´ o ponto (2, 1) ∈ H nõ ´ ponto interior de H, pois qualquer
a a e
disco que tomarmos, com centro em (2, 1), conter´ pontos do tipo (2, b), com
a
b < 1 e, portanto, pontos que nõ pertencem a H. Em outras palavras, (2, 1)
a
pertence a H mas nõ est´ envolvido por pontos de H. Veja a ilustra¸õ
a a ca
a seguir.

H

2

1

1 2
CEDERJ 56

Derivadas parciais
´
MODULO 1 – AULA 5

Conjunto aberto

Um subconjunto A ⊂ lR 2 ´ dito aberto em lR 2 se todos os seus pontos
e
forem pontos interiores.
O conjunto H, do Exemplo 25.1, nõ ´ um subconjunto aberto de lR 2 ,
a e
pois (2, 0) ∈ H, mas nõ ´ ponto interior. Aqui estõ alguns exemplos de
a e a
subconjuntos abertos de lR 2 .

Exemplo 5.2
A1 = { (x, y) ∈ lR 2 ; y > 1 };
A2 = { (x, y) ∈ lR 2 ; x = y };
A3 = { (x, y) ∈ lR 2 ; 0 < x < 1, 0 < y < 1 };
A4 = { (x, y) ∈ lR 2 ; (x, y) = (1, 2) }.

O argumento usado no Exemplo 25.1, para mostrar que (1, 2) ´ um e
ponto interior de H, pode ser adaptado para mostrar que todos os elementos
de A1 sõ pontos interiores. Note que A1 se diferencia de H exatamente por
a
nõ conter os pontos do tipo (a, 1), que estõ no bordo.
a a
Para se convencer de que cada ponto (a, b) ∈ A2 ´ ponto interior, basta
e
observar que a distˆncia de (a, b) at´ a reta x = y ´ positiva, uma vez que
a e e
a = b. Assim, basta tomar o disco D, de centro em (a, b), com raio igual a `
metade dessa distˆncia, por exemplo.
a
Caso (a, b) ∈ A3 , sabemos que 0 < a, b < 1. Escolha r > 0, um n´ mero
u
menor do que qualquer um dos n´ meros |a|, |b|, |a − 1|, |b − 1|. O disco D,
u
de centro em (a, b) e raio r, nõ tocar´ nenhum dos bordos do quadrado.
a a
Portanto, estar´ contido em A3 .
a
Para constatar que A4 ´ um conjunto aberto (A4 ´ o plano todo menos
e e
um ponto), basta escolher r > 0 menor do que a distˆncia entre (a, b) e (1, 2).
a
O disco D centrado em (a, b), com tal raio, nõ cont´m o ponto (1, 2). Logo,
a e
D est´ contido em A4 e isso mostra que A4 ´ um subconjunto aberto de lR 2 .
a e
Os discos abertos de lR 2 e as bolas abertas de lR 3 fazem o papel dos
intervalos abertos de lR . Al´m disso, se A ´ um subconjunto aberto de lR 2 ,
e e
entõ A ´ igual a uma uniõ de discos abertos, pois todos os seus pontos
a e a
sõ interiores. Al´m disso, todos os pontos de A sõ, tamb´m, pontos de
a e a e
acumula¸õ de A.
ca
´
E bom lembrar que o plano lR 2 ´, ele mesmo, um aberto em lR 2 e,
e
como ´ imposs´ exibir um elemento do conjunto vazio que nõ seja ponto
e ıvel a
interior, dizemos que ∅ ´ um conjunto aberto (em qualquer ambiente).
e

57 CEDERJ

Derivadas parciais

A uniõ qualquer de conjuntos abertos ´ um conjunto aberto, mas,
a e
surpreendentemente, a interse¸õ infinita de conjuntos abertos pode nõ ser
ca a
um conjunto aberto.
Terminamos agora essa conversa, que est´ um pouco longa, e vamos ao
a
nosso tema principal.

Derivadas parciais
Seja f : A ⊂ lR 2 → lR uma fun¸õ tal que A ´ um subconjunto aberto
ca e
de lR , e seja (a, b) ∈ A. Entõ, existe um certo n´ mero r > 0, tal que, se
2
a u
x ∈ (a − r, a + r), entõ f (x, b) est´ bem definida.
a a
Assim, z = f (x, b), com x ∈ (a−r, a+r), ´ uma fun¸õ de uma vari´vel
e ca a
O s´ ımbolo ∂ ´ chamado
e e podemos, portanto, considerar a existˆncia da derivada de tal fun¸õ em
e ca
derronde, que ´ uma
e
x = a. Isto ´, considere
e
corruptela do francˆs de
e
rond que quer dizer dˆ e f (x, b) − f (a, b) f (a + h, b) − f (a, b)
lim = lim .
redondo. Isso se deveu ao x→a x−a h→0 h
fato de os franceses, na
´poca da Revolu¸õ
e ca Se esse limite for um n´ mero real, ele ser´ chamado derivada parcial de
u a
Francesa, adotarem essa
forma especial de escrever a
f em rela¸ao a x, no ponto (a, b). Nesse caso, usamos as seguintes nota¸˜es
c˜ co
letra d. Esse s´
ımbolo ´ e para represent´-lo:
a
particularmente util para
´
∂f ∂z
diferenciar a derivada parcial (a, b) = (a, b) = fx (a, b).
de uma fun¸õ de v´rias
ca a ∂x ∂x
vari´veis, em rela¸õ a
a ca
“ ∂f ” Analogamente, podemos considerar a derivada parcial de f em rela¸õ ca
alguma delas , da
∂x a y no ponto (a, b). Nesse caso, tomamos
derivada de uma fun¸õ de
ca
“ df ”
uma vari´vel
a
dx
. f (a, y) − f (a, b) f (a, b + h) − f (a, b)
lim = lim ,
y→b y−b h→0 h
e, caso o limite seja um n´ mero, denotamos por
u
∂f ∂z
(a, b) = (a, b) = fy (a, b).
∂y ∂y
Exemplo 5.3
Vamos calcular a derivada parcial da fun¸õ f (x, y) = sen xy, em
ca
rela¸õ a x, no ponto (a, b).
ca
∂f f (a + h, b) − f (a, b)
(a, b) = lim =
∂x h→0 h
sen (a + h)b − sen ab
= lim =
h→0 h
sen ab cos hb + cos ab sen hb − sen ab
= lim =
h→0 h
sen ah (cos hb − 1) + sen hb cos ab
= lim .
h→0 h

CEDERJ 58

Derivadas parciais
´
MODULO 1 – AULA 5

cos hb − 1 sen hb
Observe que lim = 0 e lim = b. Assim,
h→0 h h→0 h
∂f sen ah (cos hb − 1) sen hb
(a, b) = lim + cos ab =
∂x h→0 h h

= b cos ab.

Na verdade, podemos concluir que, se f (x, y) = sen xy, entõ, subs-
a
titutindo o termo gen´rico a por x e b por y, temos
e

∂f
(x, y) = y cos xy.
∂x

∂f ∂f
As fun¸˜es
co ,
∂x ∂y
Seja z = f (x, y) uma fun¸õ definida num subconjunto aberto A de lR 2 .
ca
Suponha que f admita derivadas parciais, em rela¸õ a x e a y, em todos os
ca
∂f
pontos (x, y) ∈ A. Nesse caso, obtemos duas fun¸˜es, denotadas por
co e
∂x
∂f ∂z ∂z
, definidas em A. As nota¸˜esco e tamb´m sõ muito usadas para
e a
∂y ∂x ∂y
representar essas fun¸˜es.
co
∂w ∂w ∂w
De maneira an´loga, se w = g(x, y, z), usamos
a , e para
∂x ∂y ∂z
denotar as respectivas fun¸˜es obtidas pela deriva¸õ parcial, no caso das
co ca
fun¸˜es de trˆs vari´veis.
co e a

Exemplo 5.4
Seja
f (x, y, z) = xy 2 + z sen xyz.
∂f ∂f ∂f
Esta fun¸õ est´ definida no espa¸o lR 3 . Vamos calcular
ca a c , e .
∂x ∂y ∂z
Isto ´, queremos calcular as derivadas parciais de f . Podemos fazer isso di-
e
retamente, usando as regras de deriva¸õ aprendidas no C´lculo I. Basta que
ca a
derivemos em rela¸õ a vari´vel indicada, considerando as outras vari´veis
ca ` a a
como constantes.
∂f
(x, y, z) = y 2 + yz 2 cos xyz.
∂x
Veja que usamos a Regra da Cadeia na segunda parcela.

∂f
(x, y, z) = 2xy + xz 2 cos xyz.
∂y

59 CEDERJ

Derivadas parciais

∂f
(x, y, z) = sen xyz + xyz cos xyz.
∂z
No caso da derivada em rela¸õ a z, a derivada da primeira parcela
ca
´ nula, pois ´ constante em rela¸õ a z. A derivada da segunda parcela ´
e e ca e
calculada com a Regra do Produto de duas fun¸˜es: z × sen xyz.
co

Exerc´ 1
ıcio
∂f ∂f
Calcule (x, y) e (1, −1), onde f (x, y) = 3x sen (x + y).
∂x ∂y
H´ situa¸˜es em que o c´lculo da derivada parcial requer a defini¸õ.
a co a ca
Veja mais um exemplo.

Exemplo 5.5


 2 1
 (x + y 2 ) sen
 , se (x, y) = (0, 0)
 x2 + y2
Seja f (x, y) = .




 0, se (x, y) = (0, 0)

∂f ∂f
Vamos verificar que (0, 0) = 0 e (0, 0) = 0.
∂x ∂y
Note que a fun¸õ nõ se altera se trocarmos a ordem das vari´veis:
ca a a
f (x, y) = f (y, x) . Isso significa que, caso a fun¸õ admita alguma das
ca
derivadas parciais em (0, 0), a primeira igualdade j´ estar´ estabelecida. Por-
a a
tanto, basta calcular, digamos,

∂f f (h, 0) − f (0, 0)
(0, 0) = lim =
∂x h→0 h
1
h2 sen −0
h2 1
= lim = lim h sen = 0,
h→0 h h→0 h2

1
pois lim h = 0 e a fun¸õ g(x) = sen
ca , definida em lR − { 0 },
h→0 x2
´ limitada.
e
∂f ∂f
Conclu´
ımos, entõ, que
a (0, 0) = 0 e (0, 0) = 0.
∂x ∂y

Exemplo 5.6

 x3 + 2y 2

 2
 x + y2 , se (x, y) = (0, 0)
Seja f (x, y) = .



 0, se (x, y) = (0, 0)

CEDERJ 60

Derivadas parciais
´
MODULO 1 – AULA 5

∂f
Esse exemplo nos reserva uma surpresa. Vamos calcular (0, 0).
∂x

∂f f (h, 0) − f (0, 0)
(0, 0) = lim =
∂x h→0 h
h3
2
−0
= lim h = lim 1 = 1.
h→0 h h→0

No entanto,

∂f f (0, h) − f (0, 0)
(0, 0) = lim =
∂y h→0 h
3h2
2
−0 2
= lim h = lim .
h→0 h h→0 h

2
Como a fun¸õ g(x) = , definida em lR − { 0 }, nõ admite limite
ca a
x
quando x → 0, dizemos que a fun¸õ f nõ admite derivada parcial em
ca a
rela¸õ a y no ponto (0, 0).
ca

Interpreta¸õ geom´trica da derivada parcial
ca e

Vamos usar o fato de que a derivada g (a), de uma fun¸õ y = g(x), no
ca
ponto a, pode ser interpretada geometricamente como o coeficiente angular
da reta tangente ao gr´fico de g no ponto (a, b), para uma interpreta¸õ
a ca
geom´trica para as derivadas parciais.
e
Seja z = f (x, y) uma fun¸õ que admite derivadas parciais, em rela¸õ
ca ca
a x e em rela¸õ a y, num dado ponto (a, b) de seu dom´
ca ınio. Ao fixarmos uma
das vari´veis, digamos y = b, estamos considerando a restri¸õ da fun¸õ f
a ca ca
sobre a reta y = b. Geometricamente, estamos considerando a interse¸õ do
ca
gr´fico de f com o plano y = b. Essa interse¸õ ´ uma curva do plano e pode
a ca e
ser vista como o gr´fico da fun¸õ z = f (x, b).
a ca

61 CEDERJ

Derivadas parciais

Na figura da esquerda, vemos o gr´fico de f com o plano y = b e, na
a
figura da direita, vemos o plano y = b com curva obtida da sua interse¸õ
ca
com o gr´fico de f .
a
A derivada parcial de f , em rela¸õ a x, no ponto (a, b), pode ser
ca
interpretada como o coeficiente angular da reta tangente a curva de interse¸õ
` ca
do plano com o gr´fico de f , no ponto (a, b, f (a, b)). Veja, a seguir, mais
a
uma ilustra¸õ.
ca
z z

x
x y
Chegamos ao fim da aula. Aqui est´ uma s´rie de exerc´
a e ıcios para vocˆ
e
colocar em pr´tica os conceitos e tćnicas que aprendeu.
a e

Exerc´
ıcios

Exerc´ 1
ıcio
∂f ∂f
Calcule (x, y) e (1, −1), onde f (x, y) = 3x sen (x + y).
∂x ∂y
Solu¸õ:
ca

∂f
(x, y) = 3 sen (x + y) + 3x cos(x + y).
∂x
∂f ∂f
(x, y) = 3x cos(x + y) =⇒ (1, −1) = 3.
∂y ∂y

Exerc´ 2
ıcio
Em cada um dos seguintes exerc´
ıcios, calcule a derivada parcial indi-
cada.

∂f ∂f
a) f (x, y) = 2xy + y 2 ; (x, y), (x, y).
∂x ∂y

∂f ∂f ∂f
b) f (x, y, z) = 2xy(1 − 3xz)2 ; , , .
∂x ∂y ∂z

x ∂z ∂z
c) z = x ln ; , .
y ∂x ∂y

CEDERJ 62

Derivadas parciais
´
MODULO 1 – AULA 5

d) x = 1 + x2 + y 2 + z 2 ; wx , wz , wy (0, 0, 0).

∂f
e) f (u, v) = uv − u2 + v 2 ; , fv (0, −1).
∂u

∂g ∂g
f) g(r, θ) = r cos θ + r sen θ; , .
∂r ∂θ

y ∂z ∂z
g) z = arctg ; , .
x ∂x ∂y

∂f ∂f ∂f
h) f (x, y, z) = (x + y) ex−y+2z ; , , .
∂x ∂y ∂z

∂f ∂f
i) f (u, v) = u2 arcsen v; , .
∂u ∂v

Exerc´ 3
ıcio
Seja f (x, y) = ln x2 + y 2 .
a) Mostre que Dom(f ) ´ um conjunto aberto.
e
b) Determine a curva de n´ 0.
ıvel
∂f ∂f
c) Verifique que x +y = 1.
∂x ∂y

Exerc´ 4
ıcio
y
Seja f (x, y, z) = . Verifique que
x2 + y2 + z2

x fx + y fy + z fz = −f.

Exerc´ 5
ıcio 
 x2 y

 2
 x + y2 , se (x, y) = (0, 0)
Seja f (x, y) = .



 0, se (x, y) = (0, 0)

∂f ∂f
Calcule e . (Veja que vocˆ dever´ usar as regras de deriva¸õ
e a ca
∂x ∂y
∂f ∂f
para calcular (x, y) e (x, y), no caso de (x, y) = (0, 0), e a defini¸õ
ca
∂x ∂y
∂f ∂f
de derivada parcial num ponto espec´
ıfico para calcular (0, 0) e (0, 0)).
∂x ∂y

63 CEDERJ

Derivadas parciais

As derivadas parciais sõ usadas para expressar um par de equa¸˜es
a co
muito importantes, na teoria das fun¸˜es de vari´vel complexa, chamadas
co a
Equa¸˜es de Cauchy-Riemann.
co
Um par de fun¸˜es u(x, y) e v(x, y) que satisfazem as equa¸˜es
co co

∂u ∂v ∂u ∂v
= e = −
∂x ∂y ∂y ∂x
sõ, respectivamente, a parte real e a parte complexa de uma fun¸õ dife-
a ca
renci´vel (num sentido complexo) de uma vari´vel complexa.
a a

Exerc´ 6
ıcio
Mostre que cada par de fun¸˜es de duas vari´veis a seguir satisfaz as
co a
Equa¸˜es de Cauchy-Riemann.
co

a) u(x, y) = x2 − y 2; v(x, y) = 2xy.

b) u(x, y) = ex cos y; v(x, y) = ex sen y.

c) u(x, y) = x3 + x2 − 3xy 2 − y 2 ; v(x, y) = 3x2 y + 2xy − y 3 .
x −y
d) u(x, y) = ; v(x, y) = .
x2 + y2 x2
+ y2
1 y
e) u(x, y) = ln (x2 + y 2); v(x, y) = arctg .
2 x

CEDERJ 64

Plano tangente, diferencial e gradiente
´
MODULO 1 – AULA 9

Aula 9 – Plano tangente, diferencial e
gradiente

Objetivos
• Aprender o conceito de plano tangente ao gr´fico de uma fun¸õ dife-
a ca
renci´vel de duas vari´veis.
a a

• Conhecer a nota¸õ cl´ssica para a melhor aproxima¸õ linear de uma
ca a ca
fun¸õ diferenci´vel – a diferencial.
ca a

• Aprender o conceito de vetor gradiente como o dual da diferencial.

As duas ultimas aulas apresentaram a no¸õ de diferenciabilidade de
´ ca
uma fun¸õ de v´rias vari´veis e as suas implica¸˜es imediatas. Foram aulas
ca a a co
teoricamente mais densas e, portanto, o car´ter um pouco mais simples que
a
esta aula pretende ter deve ser uma bem-vinda mudan¸a de ritmo.
c
Antes de prosseguir, no entanto, vamos reconhecer um d´bito que ser´
e a
pago na pr´xima aula de exerc´
o ıcios. Veja, na aula anterior, foi provado que
toda fun¸õ de classe C 1 ´ diferenci´vel. Isto ´, ser de classe C 1 ´ uma
ca e a e e
condi¸õ suficiente para ser diferenci´vel. Diante disso, vocˆ deve conside-
ca a e
rar a questõ da necessidade dessa condi¸õ para a diferenciabilidade. Em
a ca
outras palavras, essa condi¸õ suficiente ´ tamb´m necess´ria? Muito bem,
ca e e a
adiantando a resposta: nõ! H´ fun¸˜es diferenci´veis cujas fun¸˜es deriva-
a a co a co
das parciais nõ sõ cont´
a a ınuas. Vocˆ ver´ um exemplo na pr´xima aula de
e a o
exerc´
ıcios. Promessa ´ d´
e ıvida!
Muito bem, com isso fora da pauta, vamos ao primeiro tema desta aula.

Plano tangente
Na defini¸õ de diferenciabilidade de uma fun¸õ f : A ⊂ lR 2 −→ lR ,
ca ca
no ponto (a, b) ∈ A, subconjunto aberto de lR , a equa¸õ
2
ca
∂f ∂f
f (x, y) = f (a, b) + (a, b) (x − a) + (a, b) (y − b) + E(x, y)
∂x ∂y
desempenha um papel fundamental, pois define o erro E(x, y), que converge
para zero mais rapidamente do que |(x, y) − (a, b)|. Isso quer dizer que a
aplica¸õ afim
ca
∂f ∂f
A(x, y) = f (a, b) + (a, b) (x − a) + (a, b) (y − b),
∂x ∂y

95 CEDERJ


no caso de f ser diferenci´vel em (a, b), ´ aquela que, entre todas as aplica¸˜es
a e co
afins, d´ as melhores aproxima¸˜es aos valores da fun¸õ f , em alguma vizi-
a co ca
nhan¸a do ponto (a, b).
c
Mas, como sabemos, equa¸˜es do tipo
co

z = c + mx + ny

definem planos em lR 3 .
Isso nos motiva a estabelecer o seguinte.

Defini¸õ 9.1:
ca
Seja f : A ⊂ lR 2 −→ lR , uma fun¸õ definida no subconjunto aberto
ca
2
A de lR , diferenci´vel no ponto (a, b). Dizemos que o plano definido pela
a
equa¸õ
ca
∂f ∂f
z = f (a, b) + (a, b) (x − a) + (a, b) (y − b)
∂x ∂y
´ o plano tangente ao gr´fico da fun¸õ f , no ponto (a, b).
e a ca

Exemplo 9.1
Vamos calcular a equa¸õ do plano tangente ao gr´fico de f (x, y) =
ca a
x − xy − y no ponto (1, 1, −1).
2 2

Para isso, calculamos as derivadas parciais:
∂f ∂f
(x, y) = 2x − y, (x, y) = −x − 2y.
∂x ∂y
Substituindo (x, y) por (1, 1), obtemos:
∂f ∂f
(1, 1) = 1, (1, 1) = −3.
∂x ∂y
Assim, a equa¸õ procurada ´
ca e
∂f ∂f
z = f (1, 1) + (1, 1) (x − 1) + (1, 1) (y − 1);
∂x ∂y
z = −1 + (x − 1) − 3(y − 1);
z = x − 3y + 1.

CEDERJ 96

´
MODULO 1 – AULA 9

Exemplo 9.2
Vamos calcular a equa¸õ do plano tangente ao gr´fico de f (x, y) =
ca a
2xy − y que seja paralelo ao plano z = 2x + 4y.
2

∂f ∂f
Para que os planos z = f (a, b) + (a, b) (x − a) + (a, b) (y − b) e
∂x ∂y
∂f ∂f
z = 2x + 4y sejam paralelos, ´ preciso que
e (a, b) = 2 e (a, b) = 4.
∂x ∂y
∂f ∂f
Como (x, y) = 2y e (x, y) = 2x − 2y, temos de achar os valores
∂x ∂y
a e b tais que 2b = 2 e 2a − 2b = 4. Portanto, o ponto que procuramos ´ e
(a, b) = (3, 1), e a equa¸õ do plano tangente procurado ´
ca e

z = f (3, 1) + 2(x − 3) + 4(x − 1);
z = 2x + 4y − 5.

Reta normal ao gr´fico
a
O espa¸o tridimensional lR 3 ´ munido de um produto que o torna
c e
muito especial. Dados v1 , v2 ∈ lR 3 , podemos efetuar o produto vetorial,
v1 × v2 , obtendo um terceiro vetor. Se v1 e v2 sõ linearmente independentes,
a
entõ v1 × v2 ´ perpendicular ao plano gerado por eles.
a e
v1 × v2

v1
v2

Isso est´ ligado ao fato de todo plano contido em lR 3 ter uma unica
a ´
dire¸õ ortogonal. Ou seja, dado um plano π ⊂ lR e um ponto (a, b, c) ∈ lR 3 ,
ca 3

existe uma unica reta r, tal que r ´ perpendicular a π e (a, b, c) ∈ r.
´ e
E ainda, se a equa¸õ cartesiana do plano tem a forma
ca

α x + β y + γ z = δ,

´ fćil obter uma equa¸õ param´trica da reta ortogonal:
e a ca e

r(t) = (α t + a, β t + b, γ t + c).

97 CEDERJ


Portanto, reescrevendo a equa¸õ do plano tangente ao gr´fico de f , no
ca a
ponto (a, b, f (a, b)) como
∂f ∂f ∂f ∂f
(a, b) x + (a, b) y − z = (a, b) a + (a, b) b − f (a, b),
∂x ∂y ∂x ∂y
obtemos uma equa¸õ param´trica da reta normal ao gr´fico de f no ponto
ca e a
(a, b, f (a, b)):

∂f ∂f
r(t) = (a, b) t + a, (a, b) t + b, −t + f (a, b) .
∂x ∂y

Exemplo 9.3
Vamos calcular uma equa¸õ param´trica da reta normal ao gr´fico de
ca e a
f (x, y) = xy no ponto (−1, −2, 2).
Come¸amos calculando as derivadas parciais de f :
c
∂f ∂f
(x, y) = y e (x, y) = x,
∂x ∂y
ımos (x, y) por (−1, −2):
e substitu´
∂f ∂f
(1, −1) = −2 e (1, −1) = −1.
∂x ∂y
Aqui est´ uma equa¸õ param´trica da reta normal ao gr´fico de z = xy
a ca e a
no ponto (−1, −2, 1):

r(t) = (−2t − 1, −t − 2, 2 − t).

O pr´ximo tema ´ um cl´ssico da Matem´tica: a diferencial.
o e a a

Diferencial
Vocˆ deve ter notado que, em diversas situa¸˜es, usamos a termino-
e co
logia “melhor aproxima¸õ linear”, enquanto em outras usamos “a melhor
ca
aproxima¸õ afim”. Vamos esclarecer a diferen¸a que h´ entre uma e outra
ca c a
terminologia. No fundo, ´ uma questõ de referencial.
e a

CEDERJ 98

´
MODULO 1 – AULA 9

O termo linear ´ usado para caracterizar um tipo especial de fun¸˜es:
e co
as transforma¸˜es lineares. Uma transforma¸õ linear de um espa¸o vetorial
co ca c
V no espa¸o vetorial W (digamos, reais) ´ uma fun¸õ T : V −→ W , com as
c e ca
seguintes propriedades: ∀v, w ∈ V, ∀λ ∈ lR ,

• T (v + w) = T (v) + T (w);

• T (λv) = λ T (v).

Ou seja, T preserva as opera¸˜es que caracterizam V como um espa¸o
co c
vetorial, na imagem em W .
Em particular, as transforma¸˜es lineares de lR 2 em lR , tamb´m cha-
co e
2
madas funcionais lineares de lR , tˆm a forma geral
e

T (x, y) = α x + β y,

onde α e β sõ n´ meros reais.
a u
Isto ´, cada funcional linear de lR 2 ´ caracterizado unicamente por um
e e
par ordenado (α, β).
O gr´fico de um funcional linear de lR 2 ´ um plano contido em lR 3 que
a e
cont´m a origem, pois T (0, 0) = 0.
e
J´ uma aplica¸õ afim de lR 2 em lR tem a forma geral
a ca

A(x, y) = α x + β y + γ,

onde α, β e γ sõ n´ meros reais.
a u
O gr´fico de A ´ um plano contido em lR 3 que intersecta o eixo Oz na
a e
altura γ.
No caso das aplica¸˜es afins, temos um grau de liberdade a mais em
co
rela¸õ aos funcionais lineares, pois temos um n´mero extra γ para determi-
ca u
nar a aplica¸õ.
ca
Suponha que f : A ⊂ lR 2 −→ lR seja uma fun¸õ diferenci´vel em
ca a
(a, b). A aplica¸õ
ca
∂f ∂f
A(x, y) = f (a, b) + (a, b) (x − a) + (a, b) (y − b)
∂x ∂y
´ a melhor aproxima¸õ afim da fun¸õ f , numa pequena vizinhan¸a do
e ca ca c
ponto (a, b).
H´ uma maneira cl´ssica de apresentar este tema, isto ´, a no¸õ de
a a e ca
diferencial. A terminologia usada ´ a de acr´scimos. Usando a nota¸õ de
e e ca

99 CEDERJ


acr´scimos, mudaremos a aplica¸õ afim para uma linear, que passar´ a ser
e ca a
chamada diferencial.
Coloquemos z = f (x, y). Nesses termos, x e y sõ as vari´veis indepen-
a a
dentes e z ´ a vari´vel dependente.
e a
Veja: se colocarmos h = x−a e k = y−b, podemos reescrever a equa¸õ
ca
que define a aplica¸õ afim A da seguinte maneira:
ca

∂f ∂f
A(a + h, b + k) − f (a, b) = (a, b) h + (a, b) k.
∂x ∂y

A f´rmula do lado direito da igualdade define um funcional linear nas
o
vari´veis h e k, os respectivos acr´scimos de x e de y, aplicados em (a, b):
a e

∂f ∂f
T (h, k) = (a, b) h + (a, b) k,
∂x ∂y

∂f ∂f
determinada unicamente pelo par ordenado (a, b), (a, b) .
∂x ∂y
∂f ∂f
Resumindo, dados os acr´scimos h e k, T (h, k) =
e (a, b) h+ (a, b) k
∂x ∂y
´ a melhor aproxima¸õ linear ao acr´scimo obtido na vari´vel z. Isto ´,
e ca e a e
T (h, k) ´ a melhor aproxima¸õ ao acr´scimo f (a + h, b + k) − f (a, b).
e ca e
Classicamente, denotam-se os acr´scimos em x e em y por dx e dy
e
(h = dx e k = dy). O acr´scimo real, f (a + dx, b + dy) − f (a, b), em z, ´
e e
denotado por ∆z, para diferenci´-lo do acr´scimento obtido com a diferencial,
a e
denotado por dz.
Assim, representamos a transforma¸õ linear T (h, k) por
ca

∂f ∂f
dz = dx + dy,
∂x ∂y

chamada diferencial da fun¸õ z = f (x, y).
ca
Como
∂f ∂f
E(h, k) = f (a + h, b + k) − f (a, b) − (a, b) h − (a, b) k
∂x ∂y
∂f ∂f
= f (a + h, b + k) − f (a, b) − (a, b) dx + (a, b) dy
∂x ∂y
= ∆z − dz,

denotamos dz ∆z para indicar que dz ´ uma aproxima¸õ de ∆z. Eles
e ca
diferem pelo erro E(h, k) que ´ tõ menor quanto mais h e k estiverem
e a
pr´ximos de zero.
o

CEDERJ 100

´
MODULO 1 – AULA 9

A(a + dx, b + dy) Esta figura ´ esquem´tica.
e a
Erro = |∆z − dz| Note que o dom´ ınio de f ,
f (a + dx, b + dy)
que est´ contido em lR 2 , foi
a
∆z dz representado como um
f (a, b) subconjunto de lR . Dessa
forma, o gr´fico de f , que ´
a e
uma superf´ ıcie, est´
a
representado por uma curva,
enquanto o gr´fico de A, que
a
´ um plano, est´
e a
(a, b) (a + dx, b + dy) representado por uma reta.
A pr´tica de representar
a
espa¸os de dimens˜es
c o
maiores por seus similares de
dimens˜es menores ´ comum
o e
em Matem´tica. Com isso
a
Veja como usar essa nota¸õ no seguinte exemplo.
ca facilita-se a visualiza¸õ e
ca
espera-se ajudar o
Exemplo 9.4 entendimento.

Vamos calcular a expressõ geral para a diferencial da fun¸õ
a ca

f (x, y) = 6 − x2 − y 2

e us´-la para calcular uma aproxima¸õ ao valor f (0.99, 1.02).
a ca

Para calcular a forma geral da diferencial, precisamos calcular as deri-
vadas parciais de f .

∂f −x ∂f −y
(x, y) = ; (x, y) = .
∂x 6 − x2 − y 2 ∂y 6 − x2 − y 2

Assim, se colocarmos z = f (x, y), a diferencial de f ´
e
x y
dz = − dx − dy
6 − x2 − y 2 6 − x2 − y 2
−x dx − y dy
dz = .
6 − x2 − y 2

Agora, vamos usar essa f´rmula para avaliar f (0.99, 1.02).
o
O ponto de referˆncia ´, nesse caso, (1, 1). Isto ´, a = 1, b = 1,
e e e
a + h = 0.99 e b + h = 1.02.
Calculada em (1, 1), a diferencial fica
1 1
dz = − dx − dy.
2 2
Os acr´scimos sõ: dx = 0.99 − 1 = −0.01 e dy = 1.02 − 1 = 0.02.
e a
Portanto,
0.01 − 0.02
dz = = −0.005.
2

101 CEDERJ


Como f (1, 1) = 2, f (0.99, 1.02) f (1, 1) + dz = 1.995.
Veja, usando uma m´quina de calcular, obtemos uma aproxima¸õ mais
a ca
acurada do valor f (0.99, 1.02), como 1.994868417. Nada mal para uma apro-
xima¸õ, vocˆ nõ acha?
ca e a
Chegamos ao ultimo tema da aula.
´

O vetor gradiente

A palavra dualidade ´ usada em circunstˆncias bem especiais, na Ma-
e a
tem´tica. Em geral, ela indica a existˆncia de uma bije¸õ entre certos
a e ca
conjuntos. Mas ´ mais do que isso.
e
Por exemplo, podemos dizer que h´ uma dualidade entre os s´lidos de
a o
Platõ, estabelecida pela rela¸õ entre n´ meros de v´rtices e n´ meros de
a ca u e u
faces. Veja, na tabela a seguir, o nome, o n´mero de v´rtices, o n´ mero de
u e u
arestas e o n´ mero de faces desses poliedros regulares.
u

Nome v´rtices
e arestas faces
Tetraedro 4 6 4
Hexaedro (cubo) 8 12 6
Octaedro 6 12 8
Dodecaedro 20 30 12
Icosaedro 12 30 20

Note que o nome do poliedro tem o prefixo grego que indica o n´mero
u
de faces. Assim, por exemplo, o hexaedro ´ o s´lido regular que tem seis
e o
´ o nosso popular cubo.
faces, todas quadradas. E
O hexaedro, ou cubo, ´ dual ao octaedro. Isso porque o cubo tem seis
e
faces e oito v´rtices (f = 6, v = 8), enquanto o octaedro tem oito faces e seis
e
v´rtices (f = 8, v = 6).
e
O dodecaedro ´ dual ao icosaedro. Assim, nõ ´ surpresa que, conhe-
e a e
cendo o dodecaedro, os gregos acabaram descobrindo o seu dual, o icosaedro.
Veja: se no centro de cada face do dodecaedro marcarmos um ponto, e li-
garmos todos esses pontos, obteremos um icosaedro inscrito no dodecaedro
original, e vice-versa.
Resta a pergunta: quem ´ o dual do tetraedro, o mais simples dos
e
s´lidos regulares? Ora, sem mais delongas, o tetraedro ´ auto-dual, pois ´ o
o e e
unico s´lido regular a ter o mesmo n´mero de faces e de v´rtices.
´ o u e

CEDERJ 102

´
MODULO 1 – AULA 9

Depois disso tudo, voltamos ` nossa aula.
a
H´ uma bije¸õ entre o espa¸o dos funcionais lineares de lR 2 e o pr´prio
a ca c o
2
lR , que associa o funcional definido por T (x, y) = α x + β y ao par
ordenado (α, β).
Isso ´ um outro exemplo de uma dualidade. Na verdade, o espa¸o dos
e c
2 A palavra gradiente prov´m e
funcionais lineares de lR ´ um espa¸o vetorial e ´ chamado espa¸o dual.
e c e c do latim gradientis,
partic´ıpio de gradi, que
significa caminhar, assim
∂f ∂f como a palavra grau prov´m e
Isso nos faz olhar para o vetor (x, y), (x, y) , como o dual da
∂x ∂y de gradus, que significa
∂f ∂f passo, medida, hierarquia,
diferencial dz = (x, y) dx + (x, y) dy, num ponto gen´rico (x, y) do
e intensidade.
∂x ∂y
A palavra gradiente
dom´
ınio de f , e nome´-lo gradiente de f . Usamos a nota¸õ
a ca significa, na linguagem
comum, a medida da
∂f ∂f declividade de um terreno.
∇f (x, y) = (x, y), (x, y) . Significa, tamb´m, a medida
e
∂x ∂y da varia¸õ de determinada
ca
caracter´ ıstica de um meio,
tal como pressõ ou
a
Esse vetor desempenhar´ um papel importante de agora em diante.
a
temperatura, de um ponto
Com isso, chegamos ao fim desta aula. A seguir, uma lista com alguns para outro desse meio.
Como tal, nada mais ´ do e
exerc´
ıcios para vocˆ praticar o que acabou de aprender.
e que uma taxa de varia¸õ. ca
O s´ ımbolo ∇, usado para
representar esse vetor, ´ e
chamado nabla.
Exerc´
ıcios

Exerc´ 1
ıcio
Calcule a equa¸õ do plano tangente e uma equa¸õ param´trica da
ca ca e
reta normal ao gr´fico de f no ponto indicado.
a

(a) f (x, y) = x2 − 2y (1, 0, 1);

(b) f (x, y) = ln (x2 + y 2 ) (1, −1, ln 2);

(c) f (x, y) = sen xy (π, 1/2, 1);
2y
(d) f (x, y) = ex (1, 0, 1);

(e) f (x, y) = xy − y 3 (1, 1, 0).

Exerc´ 2
ıcio
Determine o plano tangente ao gr´fico de f (x, y) = x2 + 3xy + y 2, que
a
´ paralelo ao plano z = 10x + 5y + 15.
e

103 CEDERJ

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