Talleres de Formaci´n Matem´tica
                    o       a
  Maracaibo, 26 al 31 de julio de 2004




    Resoluci´n d...
Prefacio

    Estas notas constituyen el material de apoyo de un taller para estudiantes
Licenciatura en Matem´ticas dirig...
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Indice general

Introducci´n
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4. Un     problema y varias soluciones                                                                         37
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Introducci´n
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    La palabra problema proviene del griego πρoβαλλειν, “lanzar adelante”.
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Principios Generales

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1.1 Resoluci´n de Problemas y Creatividad
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Etapa III: Ejecuci´n del plan.
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aplicadas con ´xito incluso por un comput...
1.4 El trabajo de Alan Schoenfeld                                           13


          1) Reemplazando condiciones por...
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Ejemplos sencillos

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2.1 Aritm´tica y Algebra
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Por lo tanto x = 28 × 9/3 = 84. Verifiquem...
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2.1 Aritm´tica y Algebra
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Problema 2.3. Tres recipientes contiene...
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Por consiguiente la respuesta es 8 + 216 ...
2.3 Geometr´
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consultar [12].
    Hay una gran variedad...
2.3 Geometr´
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calcular, por proporcionalidad...
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completo en una regi´n de las...
Cap´
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Algunas Estrategias B´sicas
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    En este cap´ıtulo se enuncian algunas estrategias...
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  1. 1. Talleres de Formaci´n Matem´tica o a Maracaibo, 26 al 31 de julio de 2004 Resoluci´n de o Problemas Matem´ticos a Jos´ Heber Nieto Said e
  2. 2. Prefacio Estas notas constituyen el material de apoyo de un taller para estudiantes Licenciatura en Matem´ticas dirigido a desarrollar la habilidad para resolver a problemas. Aunque por lo general los problemas juegan un rol importante en cual- quier curso de matem´tica y la habilidad para resolverlos es un aspecto a importante de la evaluaci´n, los profesores suelen centrar sus esfuerzos en o los aspectos t´cnicos espec´ e ıficas de su asignatura y no en los aspectos gene- rales de la resoluci´n de problemas. El objetivo de esta obra en cambio es o ayudar al lector a desarrollar su habilidad general para resolver problemas. Es bueno dejar en claro que el desarrollo de esta habilidad es b´sica- a mente el resultado del trabajo personal, de la pr´ctica adquirida resolviendo a problemas y de la reflexi´n sobre esa pr´ctica. No es posible convertirse en o a un solucionista experto mediante la mera lectura pasiva de un libro, del mismo modo que no es posible convertirse en un buen nadador o pianista simplemente leyendo un manual. Sin embargo el conocimiento de las t´cni- e cas apropiadas y de los errores t´ ıpicos que es preciso evitar puede ser tan util para el solucionista como lo es para el nadador o el pianista. ´ Con el fin de que la obra sea de utilidad para el mayor n´mero posible u de estudiantes se ha procurado que los problemas analizados no requieran de conocimientos especializados. Sin embargo las mismas t´cnicas y estra- e tegias que ejemplificamos con problemas elementales se aplican a los m´s a avanzados.
  3. 3. ´ Indice general Introducci´n o 1 1. Principios Generales 3 o 1.1. Resoluci´n de Problemas y Creatividad . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1. Invertir el problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2. Pensamiento lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3. Principio de discontinuidad . . . . . . . . . . . . . . . 5 o 1.1.4. Imitaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.5. Tormenta de cerebros (Brainstorming) . . . . . . . . . 5 1.1.6. Mapas mentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 o 1.1.7. Programaci´n neuroling¨´ uıstica (PNL) . . . . . . . . . 6 1.1.8. Factores afectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.9. Bloqueos mentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 o a 1.2. La Creaci´n Matem´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 ıa o 1.3. La metodolog´ de P´lya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4. El trabajo de Alan Schoenfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2. Ejemplos sencillos 14 ´ 2.1. Aritm´tica y Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 e 2.2. Combinatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3. Geometr´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ıa 3. Algunas Estrategias B´sicas a 26 3.1. Figuras y diagramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2. Examen de casos especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3. Transformaciones e Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.4. El Principio Extremal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 iii
  4. 4. 4. Un problema y varias soluciones 37 4.1. Inducci´n . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.2. Teor´ de grafos . . . . . . . . . . . ıa . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.3. Pruebas por Integraci´n . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.4. El m´todo de perturbaciones . . . e . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.5. Funciones escalonadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.6. Triangulaciones y Lema de Sperner . . . . . . . . . . . . . . . 43 5. Problemas para pensar 45 6. Soluciones y sugerencias 51 Bibliograf´ ıa 60 iv
  5. 5. Introducci´n o La palabra problema proviene del griego πρoβαλλειν, “lanzar adelante”. Un problema es un obst´culo arrojado ante la inteligencia para ser superado, a una dificultad que exige ser resuelta, una cuesti´n que reclama ser aclarada. o Todos vivimos resolviendo problemas: desde el m´s b´sico de asegurar la a a cotidiana subsistencia, com´n a todos los seres vivos, hasta los m´s com- u a plejos desaf´ planteados por la ciencia y la tecnolog´ La importancia de ıos ıa. la actividad de resoluci´n de problemas es evidente; en definitiva, todo el o progreso cient´ıfico y tecnol´gico, el bienestar y hasta la supervivencia de la o especie humana dependen de esta habilidad. No es de extra˜ar por lo tanto n que la misma se haya convertido en un nuevo objeto de estudio, atrayendo por igual la atenci´n de psic´logos, ingenieros, matem´ticos, especialistas o o a en inteligencia artificial y cient´ ıficos de todas las disciplinas. En el campo educativo se ha reconocido ampliamente su importancia. y en muchas Uni- versidades el desarrollo de la creatividad y de la habilidad para resolver problemas es una parte integral del curriculum. Pero lamentablemente todav´ es muy com´n que se expongan ante el ıa u alumno los productos y resultados de la resoluci´n de problemas, pero no el o proceso mismo. Si examinamos un libro de texto con problemas resueltos de matem´tica, encontraremos por lo general soluciones tersas y acabadas. a Rara vez el autor incluye comentarios sobre los intentos fallidos de soluci´n, o los casos particulares examinados antes de llegar a la soluci´n general o los o refinamientos realizados a una primera soluci´n no totalmente satisfactoria. o Estos y otros elementos del proceso son cuidadosamente eliminados y lo que se nos presenta es el producto final, conciso y elegante. Hay muchas posibles razones para que esto sea as´ un estilo de exposici´n matem´tica consa- ı: o a grado por la tradici´n, criterios est´ticos de concisi´n y elegancia, razones o e o econ´micas de las editoriales, etc. Pero la consecuencia es que el estudiante o obtiene una visi´n falseada de lo que es resolver problemas y de la actividad o 1
  6. 6. 2 matem´tica en general. a Si tiene la suerte de tener un profesor que entienda y valore el proceso de resolver problemas entonces las actividades de aula suplir´n las deficiencias a del texto. Pero si no es as´ y el profesor sigue al libro al pie de la letra, al ı enfrentarse al primer fracaso el estudiante terminar´ frustrado, perder´ la a a confianza en s´ mismo y creer´ que la resoluci´n de problemas es una acti- ı a o vidad incomprensible, accesible solamente a unos pocos superdotados. Nuestro principal objetivo en esta obra es ayudar al lector a desarrollar su habilidad para resolver problemas. Es bueno dejar claro desde el principio que el desarrollo de esta habilidad es el resultado del trabajo personal, de la pr´ctica adquirida resolviendo problemas y de la reflexi´n sobre esa pr´ctica. a o a No es posible convertirse en un solucionista experto mediante la mera lectura pasiva de un libro, del mismo modo que no es posible convertirse en un buen nadador o pianista simplemente leyendo. Sin embargo el conocimiento de las t´cnicas apropiadas y de los errores t´ e ıpicos que es preciso evitar puede ser tan util para el solucionista como lo es para el nadador o el pianista. ´
  7. 7. Cap´ ıtulo 1 Principios Generales “La principal raz´n de existir del matem´tico es re- o a solver problemas, y por lo tanto en lo que realmente consisten las matem´ticas es en problemas y solu- a ciones.” Paul R. Halmos [14] En este cap´ ıtulo nos ocuparemos de los m´todos y principios generales e que resultan utiles para la resoluci´n de problemas. Pero recordemos que la ´ o unica manera de aprender a resolver problemas es . . . resolviendo problemas! ´ Por lo tanto la lectura de este cap´ ıtulo solamente ser´ util si se combina con a´ la pr´ctica constante. Para quienes tengan poca experiencia es recomendable a pasar r´pidamente por las p´ginas siguientes, para volver a ellas m´s tarde, a a a como referencia, mientras est´n trabajando en la resoluci´n de problemas e o concretos. Quienes se interesen por el estudio en profundidad de la habilidad para resolver problemas pueden consultar [27]. 1.1. Resoluci´n de Problemas y Creatividad o Evidentemente la resoluci´n de problemas est´ estrechamente relaciona- o a da con la creatividad, que algunos definen precisamente como la habilidad para generar nuevas ideas y solucionar todo tipo de problemas y desaf´ ıos. La especie humana es creativa por naturaleza. Todo ser humano nace con un gran potencial para la creaci´n, pero mientras algunos lo aprovechan o al m´ximo, otros casi no lo utilizan. Sin embargo la creatividad, al igual que a
  8. 8. 4 Principios Generales cualquier otra habilidad humana, puede desarrollarse a trav´s de la pr´ctica e a y el entrenamiento adecuado. Lamentablemente tambi´n puede atrofiarse, si e no se ejercita adecuadamente. El pensamiento creativo se ha dividido en divergente y convergente. El primero consiste en la habilidad para pensar de manera original y elabo- rar nuevas ideas, mientras que el segundo se relaciona con la capacidad cr´ıtica y l´gica para evaluar alternativas y seleccionar la m´s apropiada. o a Evidentemente ambos tipos de pensamiento juegan un rol fundamental en la resoluci´n de problemas. o Tres aspectos de la creatividad han recibido mucha atenci´n: el proceso o creativo, las caracter´ ısticas de la personalidad creativa, y las circunstancias que posibilitan o favorecen el acto creativo. Como consecuencia de estos es- tudios se han desarrollado t´cnicas y m´todos generales dirigidos a desarro- e e llar el potencial creativo. En esta obra nos concentraremos en las t´cnicas e y estrategias espec´ıficas que han demostrado ser m’s utiles para la resolu- ´ ci´n de problemas matem´ticos. Sin embargo haremos a continuaci´n una o a o breve rese˜a de algunos de los m´todos m´s generales, remitiendo al lector n e a interesado a la bibliograf´ correspondiente. ıa 1.1.1. Invertir el problema Cada concepto tiene uno contrario y la oposici´n entre ellos genera una o tensi´n favorable al hecho creativo. Esta idea, que tiene profundas ra´ o ıces tanto en la filosof´ oriental como en la occidental, se refleja en la sabidur´ ıa ıa popular en aforismos tales como: “Para saber mandar hay que aprender a obedecer” o “Para ser un buen orador hay que saber escuchar”. Como ejemplo de esta t´cnica supongamos que deseamos dise˜ar un zapato que e n sea muy c´modo. El problema inverso ser´ dise˜ar un zapato inc´modo. o ıa n o Pero el an´lisis de este problema nos llevar´ seguramente a descubrir los a a factores que causan incomodidad, y al evitarlos habremos dado un buen paso hacia la soluci´n del problema original. Vea [38]. o 1.1.2. Pensamiento lateral Consiste en explorar alternativas inusuales o incluso aparentemente ab- surdas para resolver un problema. En otras palabras: evitar los caminos trillados, intentar lo que nadie ha intentado, ensayar percepciones y puntos de vista diferentes. Vea [5].
  9. 9. 1.1 Resoluci´n de Problemas y Creatividad o 5 1.1.3. Principio de discontinuidad La rutina suprime los est´ ımulos necesarios para el acto creativo, por lo tanto si experimenta un bloqueo temporal de su capacidad creadora in- terrumpa su programa cotidiano de actividades y haga algo diferente a lo acostumbrado. Vaya a dar un paseo por sitios que no conoce, ensaye una nueva receta de cocina, escuche m´sica diferente a la que escucha habi- u tualmente, lea un libro que no ten´ pensado leer, asista a alg´n tipo de ıa u espect´culo diferente a sus favoritos. a 1.1.4. Imitaci´n o La mayor parte de los grandes artistas comienzan imitando a sus maes- tros. M´s a´n se ha llegado a afirmar, en parte en broma y en parte en serio, a u que “la originalidad no es otra cosa que un plagio no detectado”. En cual- quier caso es claro que la imitaci´n puede ser un primer paso v´lido hacia o a la originalidad. En particular observe y no vacile en imitar las t´cnicas de e resoluci´n de problemas empleadas con ´xito por sus compa˜eros, maestros o e n o colegas. 1.1.5. Tormenta de cerebros (Brainstorming) Es una t´cnica desarrollada en el mundo de la publicidad, en el cual el e ´xito depende de la generaci´n de nuevas y brillantes ideas. Para ello se e o re´ne un grupo de personas y se les invita a expresar todas las ideas que u se les ocurran en relaci´n a un problema o tema planteado, sin importar lo o estrafalarias o rid´ ıculas que parezcan. La evaluaci´n y la cr´ o ıtica se posponen, esperando crear un clima estimulante que favorezca el surgimiento de algunas ideas realmente utiles. La utilidad de esta t´cnica es dudosa fuera de ciertos ´ e campos o situaciones muy espec´ ıficas. 1.1.6. Mapas mentales Es una t´cnica desarrollada por Tony Buzan (vea [6] y [7]) que trata de e representar en forma gr´fica el car´cter asociativo de la mente humana. Se a a comienza con la idea principal ubicada en el centro de la hoja y alrededor de ella se van colocando las ideas asociadas y sus respectivos v´ ınculos. Uti- lizando diversos colores y s´ ımbolos esta t´cnica puede llegar a ser muy util e ´ para organizar las ideas que van surgiendo en torno a un problema.
  10. 10. 6 Principios Generales 1.1.7. Programaci´n neuroling¨´ o uıstica (PNL) Tambi´n conocida como “la ciencia de la experiencia subjetriva”, es un e conjunto de t´cnicas muy desarrolladas a trav´s de las cuales se trata de e e caracterizar el contexto (f´ ısico, fisiol´gico, psicol´gico, ambiental, etc.) en o o el cual somos m´s creativos, para luego reproducirlo a voluntad. Los prac- a ticantes de la PNL han incluso “modelado” el comportamiento de algunos personajes famosos, tales como Walt Disney, para tratar de aprovechar sus modos y procedimientos m´s creativos. Vea [10] y [11]. a 1.1.8. Factores afectivos La resoluci´n de problemas no es un asunto puramente intelectual. Las o emociones, y en particular el deseo de resolver un problema, tienen tambi´n e una gran importancia. La incapacidad que manifiestan algunos alumnos para resolver incluso el ejercicio m´s sencillo no es producto por lo general de una a deficiencia intelectual, sino de una absoluta falta de inter´s y motivaci´n. A e o veces no existe ni siquiera el deseo de comprender el problema, y por lo tanto el mismo no es comprendido. El profesor que desee realmente ayudar a un alumno con estas caracter´ ısticas deber´ ante todo despertarle su curiosidad a dormida, motivarlo y transmitirle deseos de logro y superaci´n. o Algunas creencias negativas para el proceso creativo est´n asociadas a a una baja autoestima y pueden tener ra´ emocionales profundas. Por ejem- ıces plo hay quienes enfrentados a un problema creen a priori que no podr´n a resolverlo, y que si lo intentan s´lo conseguir´n terminar con un dolor de o a cabeza. El maestro o profesor debe en estos casos apelar a todas sus dotes y conocimientos como educador, aunque en casos extremos ser´ necesaria a tambi´n la ayuda de un orientador o la de un psic´logo. e o En el polo opuesto, alguien que tenga confianza en su propia capacidad y crea que un problema es un desaf´ que vale la pena enfrentar y que re- ıo solverlo le proporcionar´ una satisfacci´n intelectual al mismo tiempo que a o ser´ una experiencia valiosa para su formaci´n, estar´ en excelentes condi- a o a ciones psicol´gicas para abordar el proceso resolutivo. Para profundizar en o estos aspectos vea [4], [24], [25], [26]. 1.1.9. Bloqueos mentales James Adams, profesor de dise˜o en la Universidad de Stanford, centra su n enfoque de la creatividad en la superaci´n de los bloqueos mentales, barreras o
  11. 11. 1.2 La Creaci´n Matem´tica o a 7 que nos impiden percibir un problema en la forma correcta y encontrarle soluci´n. En [1] analiza diferentes tipos de bloqueos y propone ejercicios o para identificarlos y superarlos. Su clasificaci´n es la siguiente: o Bloqueos perceptivos: estereotipos, dificultad para aislar el proble- ma, delimitar demasiado el espacio de soluciones, imposibilidad de ver el problema desde varios puntos de vista, saturaci´n, no poder utilizar o toda la informaci´n sensorial. o Bloqueos emocionales: miedo a cometer errores, a arriesgar, a fra- casar; deseo de seguridad y orden; preferir juzgar ideas a concebirlas; inhabilidad para relajarse; falta de est´ ımulo; entusiasmo excesivo; falta de control imaginativo. Bloqueos culturales: tab´es; el peso de la tradici´n; roles predeter- u o minados asignados a la mujer y al hombre. Bloqueos ambientales: distracciones; falta de apoyo para llevar ade- lante una idea; falta de cooperaci´n entre colegas. o Bloqueos intelectuales: inhabilidad para seleccionar un lenguaje apropiado para el problema (verbal, matem´tico, visual); uso inade- a cuado de las estrategias; falta de informaci´n o informaci´n incorrecta. o o Bloqueos expresivos: t´cnicas inadecuadas para registrar y expresar e ideas (a los dem´s y a uno mismo) a 1.2. La Creaci´n Matem´tica o a Una de las reflexiones m´s profundas que se han hecho sobre la creativi- a dad en matem´tica es la realizada a principios de siglo por Henri Poincar´, a e uno de los m´s grandes matem´ticos de su tiempo. En una conferencia pro- a a nunciada ante la Sociedad Psicol´gica de Par´ [30] hizo interesant´ o ıs ısimas revelaciones sobre sus propias experiencias como creador: “¿Qu´ es, de hecho, la creaci´n matem´tica? No consiste en e o a hacer combinaciones nuevas con entes matem´ticos ya conoci- a dos. Cualquiera podr´ hacerlo, pcro las combinaciones que se ıa podr´ hacer as´ ser´ un n´mero limitado y en su mayor´ ıan ı ıan u ıa totalmente desprovistas de inter´s. Crear consiste precisamente e
  12. 12. 8 Principios Generales no en construir las combinaciones in´tiles, sino en construir las u que son utiles y que est´n en ´ ´ a ınfima minor´ Crear es discernir, ıa. es escoger. . . ” “A menudo, cuando se trabaja en un problema dif´ ıcil, no se consigue nada la primera vez que se comienza la tarea. Luego se toma un descanso m´s o menos largo y uno se sienta de nuevo a ante la mesa. Durante la primera media hora se contin´a sin u encontrar nada. Despu´s, de repente. la idea decisiva se presenta e ante la mente. . . ” “Hay que hacer otra observaci´n a prop´sito de las condicio- o o nes de este trabajo inconsciente. Se trata de que tal trabajo no es posible, y en todo caso no es fecundo, si no est´ por una parte a precedido y por otra seguido de un per´ ıodo de trabajo conscien- te. Estas inspiraciones s´bitas no se presentan . . . m´s que tr´s u a a algunos d´ de esfuerzos voluntarios, aparentemente est´riles, en ıas e los que uno ha cre´ no hacer nada interesante, y piensa haber ıdo tomado un camino falso totalmente. Estos esfuerzos no fueron, por tanto, tan est´riles como se pensaba. Pusieron en movimien- e to la m´quina inconsciente y sin ellos ´sta no habr´ funcionado a e ıa ni hubiera producido nada. . . ” Poincar´ esboza luego una teor´ del trabajo del yo subliminal, en la e ıa cual atribuye un rol fundamental a la sensibilidad y el sentido est´tico del e matem´tico en el proceso de selecci´n, durante el trabajo inconsciente, de a o las combinaciones m´s significativas. a Una conclusi´n pr´ctica: cuando un problema se resiste a nuestros mejo- o a res esfuerzos, nos queda todav´ la posibilidad de dejarlo durante un tiempo, ıa descansar, dar un paseo, y volver a ´l m´s tarde. Sin embargo solamente e a aquellos problemas que nos han apasionado, manteni´ndonos en una con- e siderable tensi´n mental, son los que vuelven m´s tarde, transformados, a o a la mente consciente. La inspiraci´n o iluminaci´n s´bita, que los antiguos o o u consideraban un don divino, hay que merecerla. 1.3. La metodolog´ de P´lya ıa o En 1945 el insigne matem´tico y educador George P´lya (1887–1985) a o public´ un libro que r´pidamente se convirtir´ en un cl´sico: How to solve o a ıa a it [31]. En el mismo propone una metodolog´ en cuatro etapas para resolver ıa
  13. 13. 1.3 La metodolog´ de P´lya ıa o 9 problemas. A cada etapa le asocia una serie de preguntas y sugerencias que aplicadas adecuadamente ayudar´n a resolver el problema. Las cuatro etapas a y las preguntas a ellas asociadas se detallan a continuaci´n: o Etapa I: Comprensi´n del problema. o ¿Cu´l es la inc´gnita? ¿Cu´les son los datos? ¿Cual es la condici´n? a o a o ¿Es la condici´n suficiente para determinar la inc´gnita? ¿Es insufi- o o ciente? ¿Redundante? ¿Contradictoria? Etapa II: Concepci´n de un plan. o ¿Se ha encontrado con un problema semejante? ¿Ha visto el mismo problema planteado en forma ligeramente diferente? ¿Conoce un problema relacionado con ´ste? ¿Conoce alg´n teorema e u que le pueda ser util? Mire atentamente la inc´gnita y trate de recordar ´ o un problema que le sea familiar y que tenga la misma inc´gnita o una o inc´gnita similar. o He aqu´ un problema relacionado con el suyo y que se ha resuelto ya. ı ¿Podr´ utilizarlo? ¿Podr´ emplear su resultado? ¿Podr´ utilizar su ıa ıa ıa m´todo? ¿Podr´ utilizarlo introduciendo alg´n elemento auxiliar? e ıa u ¿Podr´ enunciar el problema en otra forma? ¿Podr´ plantearlo en ıa ıa forma diferente nuevamente? Refi´rase a las definiciones. e Si no puede resolver el problema propuesto, trate de resolver primero alg´n problema similar. ¿Podr´ imaginarse un problema an´logo un u ıa a tanto m´s accesible? ¿Un problema m´s general? ¿Un problema m´s a a a particular? ¿Un problema an´logo? ¿Puede resolver una parte del pro- a blema? Considere s´lo una parte de la condici´n; descarte la otra parte; o o ¿en qu´ medida la inc´gnita queda ahora determinada? ¿en qu´ forma e o e puede variar? ¿Puede usted deducir alg´n elemento util de los datos? u ´ ¿Puede pensar en algunos otros datos apropiados para determinar la inc´gnita? ¿Puede cambiar la inc´gnita? ¿Puede cambiar la inc´gnita o o o o los datos, o ambos si es necesario, de tal forma que la nueva inc´gnita o y los nuevos datos est´n m´s cercanos entre s´ e a ı? ¿Ha empleado todos los datos? ¿Ha empleado toda la condici´n? ¿Ha o considerado usted todas las nociones esenciales concernientes al pro- blema?
  14. 14. 10 Principios Generales Etapa III: Ejecuci´n del plan. o Al ejecutar el plan, compruebe cada uno de los pasos. ¿Puede ver claramente que el paso es correcto? ¿Puede demostrarlo? Etapa IV. Visi´n retrospectiva. o ¿Puede usted verificar el resultado? ¿Puede verificar el razonamiento? ¿Puede obtener el resultado en forma diferente? ¿Puede verlo de golpe? ¿Puede emplear el resultado o el m´todo en alg´n otro problema? e u La primera etapa es obviamente insoslayable: es imposible resolver un problema del cual no se comprende el enunciado. Sin embargo en nuestra pr´ctica como docentes hemos visto a muchos estudiantes lanzarse a efectuar a operaciones y aplicar f´rmulas sin reflexionar siquiera un instante sobre lo o que se les pide. Por ejemplo si en el problema aparece una funci´n comienzan o de inmediato a calcularle la derivada, independientemente de lo que diga el enunciado. Si el problema se plantea en un examen y luego, comentando los resultados, el profesor dice que el c´lculo de la derivada no se ped´ y m´s a ıa a a´n que el mismo era irrelevante para la soluci´n del problema, algunos le u o responder´n: ¿o sea que no nos va a dar ning´n punto por haber calculado a u la derivada? Este tipo de respuesta revela una incomprensi´n absoluta de o lo que es un problema y plantea una situaci´n muy dif´ al profesor, quien o ıcil tendr´ que luchar contra vicios de pensamiento arraigados, adquiridos tal a vez a lo largo de muchos a˜os. n La segunda etapa es la m´s sutil y delicada, ya que no solamente est´ re- a a lacionada con los conocimientos y la esfera de lo racional, sino tambi´n con e la imaginaci´n y la creatividad. Observemos que las preguntas que P´lya o o asocia a esta etapa est´n dirigidas a llevar el problema hacia un terreno co- a nocido. Con todo lo utiles que estas indicaciones son, sobre todo para el tipo ´ de problemas que suele presentarse en los cursos ordinarios, dejan planteada una interrogante: ¿qu´ hacer cuando no es posible relacionar el problema e con algo conocido? En este caso no hay recetas infalibles, hay que trabajar duro y confiar en nuestra propia creatividad e inspiraci´n. o La tercera etapa es de car´cter m´s t´cnico. Si el plan est´ bien concebi- a a e a do, su realizaci´n es factible y poseemos los conocimientos y el entrenamiento o necesarios, deber´ ser posible llevarlo a cabo sin contratiempos. Sin embar- ıa go por lo general en esta etapa se encontrar´n dificultades que nos obligar´n a a
  15. 15. 1.4 El trabajo de Alan Schoenfeld 11 a regresar a la etapa anterior para realizar ajustes al plan o incluso para modificarlo por completo. Este proceso puede reperirse varias veces. La cuarta etapa es muchas veces omitida, incluso por solucionistas exper- tos. P´lya insiste mucho en su importancia, no solamente porque comprobar o los pasos realizados y verificar su correcci´n nos puede ahorrar muchas sor- o presas desagradables, sino porque la visi´n retrospectiva nos puede conducir o a nuevos resultados que generalicen, ampl´ o fortalezcan el que acabamos ıen de hallar. 1.4. El trabajo de Alan Schoenfeld Si bien la mayor´ de los matem´ticos reconocen en las estrategias heur´ ıa a ıs- ticas de P´lya los m´todos que ellos mismos utilizan habitualmente, no es o e tan f´cil para el que no tiene experiencia aplicarlas exitosamente. En otras a palabras, dichas estrategias son m´s descriptivas que prescriptivas. Alan a Schoenfeld (ver [34], [35], [36]) es uno de los que m´s han estudiado esta a problem´tica. En su an´lisis identifica los siguientes cuatro factores relevan- a a tes para la resoluci´n de problemas: o Recursos cognitivos. Son nuestros conocimientos matem´ticos ge- a nerales, tanto de conceptos y resultados como de procedimientos (al- goritmos). Heur´ ıstica. Es el conjunto de estrategias y t´cnicas para resolver e problemas que conocemos y estamos en capacidad de aplicar. Control o metacognici´n. Es la capacidad de utilizar lo que sabe- o mos para lograr un objetivo. Creencias. Se refiere a aquellas creencias y opiniones relacionadas con la resoluci´n de problemas y que pueden afectarla favorable o o desfavorablemente. La importancia del primer factor es obvia. Sin embargo se ha demostra- do (ver [9]) que no es suficiente poseer un amplio bagaje de conocimientos matem´ticos para ser un solucionista experto. Tambi´n es necesario dominar a e algunas t´cnicas y estrategias que nos ayuden a atacar el problema. En do- e minios restringidos y bien delimitados, en los cuales los problemas a resolver son m´s o menos rutinarios, se han desarrollado estrategias que pueden ser a
  16. 16. 12 Principios Generales aplicadas con ´xito incluso por un computador, con resultados tan buenos o e mejores que los obtenidos por los expertos humanos (estos son los famosos sistemas expertos, producto de las investigaciones en inteligencia artificial y ciencia cognitiva). Sin embargo para resolver problemas no rutinarios en dominios ricos en contenido, como la matem´tica, se requiere algo m´s que a a conocimientos y estrategias. Ese factor adicional es lo que llamamos con- trol; act´a como una voz interior que nos dice qu´ ideas y estrategias (entre u e muchas alternativas posibles) nos conviene aplicar para el problema que te- nemos entre manos, o bien si debemos abandonar un camino que no parece arrojar resultados o por el contrario redoblar esfuerzos y perseverar en ´l. e Los solucionistas inexpertos tienen evidentes deficiencias en este aspecto: se apresuran a transitar el primer camino que se les ocurre y luego se mueven en c´ırculos, cayendo una y otra vez en el mismo error. El ultimo factor puede influir tambi´n de manera importante en el pro- ´ e ceso de resoluci´n de problemas. Algunas creencias comunes, sobre todo o entre estudiantes de ense˜anza media, son las siguientes: “todo problema n se resuelve mediante alguna f´rmula”, “lo importante es el resultado y no o el procedimiento”, “la respuesta del libro no puede estar equivocada”. Este tipo de creencias es un obst´culo para el desempe˜o de cualquier persona a n como solucionista. Schoenfeld elabor´ tambi´n una lista de las estrategias m´s utilizadas: o e a 1. An´lisis. a a) Dibuje un diagrama siempre que sea posible. b) Examine casos especiales. 1) Seleccione algunos valores especiales para ejemplificar el pro- blema e irse familiarizando con ´l. e 2) Examine casos l´ ımite para explorar el rango de posibilidades. 3) Si hay un par´metro entero, dele sucesivamente los valores a 1, 2, . . . , m y vea si emerge alg´n patr´n inductivo. u o c) Trate de simplificar el problema. 1) Explotando la existencia de simetr´ ıa. 2) Usando argumentos del tipo “sin p´rdida de generalidad”. e 2. Exploraci´n. o a) Considere problemas esencialmente equivalentes.
  17. 17. 1.4 El trabajo de Alan Schoenfeld 13 1) Reemplazando condiciones por otras equivalentes. 2) Recombinando los elementos del problema de maneras dife- rentes. 3) Introduciendo elementos auxiliares. 4) Reformulando el problema: Mediante un cambio de perspectiva o notaci´n. o Mediante argumentos por contradicci´n o contraposici´n. o o Asumiendo que tenemos una soluci´n y determinando sus o propiedades. b) Considere un problema ligeramente modificado. 1) Escoja submetas (tratando de satisfacer parcialmente las con- diciones). 2) Relaje una condici´n y luego trate de reimponerla. o 3) Descomponga el dominio del problema y trabaje caso por caso. c) Considere problemas sustancialmente modificados. 1) Construya un problema an´logo con menos variables. a 2) Deje todas las variables fijas excepto una, para determinar su impacto. 3) Trate de aprovechar cualquier problema relacionado que ten- ga forma, datos o conclusiones similares. 3. Verificaci´n de la soluci´n. o o a) ¿Pasa su soluci´n estas pruebas espec´ o ıficas? 1) ¿Usa todos los datos pertinentes? 2) ¿Est´ de acuerdo con estimaciones o predicciones razonables? a 3) ¿Soporta pruebas de simetr´ an´lisis dimensional y escala? ıa, a b) ¿Pasa estas pruebas generales? 1) ¿Puede ser obtenida de manera diferente? 2) ¿Puede ser sustanciada por casos especiales? 3) ¿Puede ser reducida a resultados conocidos? 4) ¿Puede utilizarse para generar alg´n resultado conocido? u
  18. 18. Cap´ ıtulo 2 Ejemplos sencillos “Resolver un problema es hacer un descubrimiento. Un gran problema significa un gran descubrimien- to, pero hay una part´ıcula de descubrimiento en la soluci´n de cualquier problema. El suyo puede ser o modesto, pero si pone a prueba la curiosidad que induce a poner en juego las facultades inventivas, y si lo resuelve por medios propios, puede experimen- tar la tensi´n y el encanto del descubrimiento y el o goce del triunfo.” George P´lya [31] o En este cap´ıtulo pondremos en pr´ctica los principios examinados en el a cap´ıtulo anterior. Para ello hemos seleccionado varios problemas sencillos y de f´cil soluci´n, de modo que nos podamos concentrar en el proceso de a o resoluci´n m´s que en el contenido de los mismos. o a 2.1. ´ Aritm´tica y Algebra e Algunos de los problemas m´s antiguos que se conocen son de tipo a aritm´tico. Es t´ e ıpico que se pida hallar una cantidad determinada por cier- tas condiciones, o bien efectuar un reparto cumpliendo ciertos requisitos. Los siguientes problemas pertenecen a esta categor´ ıa. Problema 2.1. Diofanto fue un notable matem´tico griego que desarroll´ su a o actividad en Alejandr´ en el siglo III A.C. y del cual se conservan muy pocos ıa
  19. 19. ´ 2.1 Aritm´tica y Algebra e 15 datos biogr´ficos. Sin embargo se dice que su epitafio conten´ la siguiente a ıa inscripci´n: o Caminante: aqu´ yacen los restos de Diofanto. Y los n´me- ı u ros pueden mostrar cu´n larga fue su vida, cuya sexta parte a constituy´ su hermosa infancia. Hab´ transcurrido adem´s una o ıa a duod´cima parte cuando sus mejillas se cubrieron de vello. Lue- e go de una s´ptima parte se cas´, y transcurrido un quinquenio e o le hizo dichoso el nacimiento de su primog´nito, cuya existencia e dur´ tan s´lo la mitad de la de su padre. Luego de cuatro a˜os o o n buscando consuelo en la ciencia de los n´meros, descendi´ Dio- u o fanto a la sepultura. e o e o a n o ¿Qu´ edad alcanz´ Diofanto? ¿A qu´ edad se cas´? ¿Cu´ntos a˜os vivi´ su hijo? Soluci´n. Veamos si comprendemos bien el problema. ¿Cu´l es la inc´gnita? o a o El n´mero de a˜os que vivi´ Diofanto (las preguntas restantes se responden u n o f´cilmente conociendo la respuesta a la primera). ¿Cu´les son los datos? Una a a serie de informaciones sobre las etapas sucesivas de su vida, desde su infan- cia hasta su muerte. Ahora debemos concebir un plan. ¿Se ha encontrado con un problema semejante? Es de esperar que s´ ya que la mayor´ de los ı, ıa problemas resolubles por m´todos algebraicos elementales son semejantes. e El plan general consiste en escribir ecuaciones que reflejen las condiciones planteadas, resolver el sistema resultante y finalmente interpretar las solu- ciones obtenidas en el contexto original del problema. Llamemos x al n´mero u de a˜os vividos por Diofanto. Esta cantidad debe ser igual a la suma de las n duraciones de las etapas de su vida, a saber: su infancia (x/6), la duod´cima e parte transcurrida hasta que le sali´ barba (x/12), los a˜os transcurridos o n hasta que contrajo matrimonio (x/7), los a˜os transcurridos hasta que na- n o e n ci´ su primog´nito (5), los a˜os que ´ste vivi´ (x/2) y los 4 a˜os que Diofanto e o n le sobrevivi´. Por lo tanto escribimos: o x x x x x= + + +5+ +4 (2.1) 6 12 7 2 Agrupando t´rminos semejantes resulta: e 1 1 1 1 (1 − − − − )x = 5 + 4 6 12 7 2 y simplificando queda 3 x = 9. 28
  20. 20. 16 Ejemplos sencillos Por lo tanto x = 28 × 9/3 = 84. Verifiquemos el resultado: 84 84 84 84 + + +5+ + 4 = 14 + 7 + 12 + 5 + 42 + 4 = 84 6 12 7 2 Diofanto se cas´ cuando contaba 84/6 + 84/12 + 84/7 = 33 a˜os, y su hijo o n vivi´ 84/2 = 42 a˜os. o n Los documentos matem´ticos m´s antiguos que se conservan son dos a a rollos de papiro egipcios que datan aproximadamente de la XII dinast´ ıa (2078 a 1788 A.C.). Uno de ellos, conocido como el papiro Rhind, consta de unos 85 problemas y ejemplos pr´cticos. El siguiente es uno de ellos: a Problema 2.2. Dividir cien panes entre cinco hombres, de modo que las porciones que reciban est´n en progresi´n aritm´tica y que la s´ptima parte e o e e de la suma de las tres mayores sea igual a la suma de las dos porciones menores. Soluci´n. Asegur´monos de comprender bien el problema. ¿Qu´ se nos pide? o e e Dividir cien panes entre cinco hombres, de modo que se cumplan ciertas con- diciones. ¿Cu´les son los datos? El n´mero total de panes (100), la cantidad a u de porciones (5) y las condiciones que debe cumplir el reparto. ¿Cu´les son a las inc´gnitas? Obviamente, la cantidad de panes que le corresponder´ a ca- o a da uno. ¿Comprendemos la condici´n? En primer lugar las porciones deben o estar en progresi´n aritm´tica; esto significa que si escribimos las porciones o e en orden creciente de magnitud, la diferencia de cada una de ellas con la siguiente es constante. En otras palabras, si llamamos x a la menor de las porciones y r a la diferencia com´n o raz´n de la progresi´n, entonces las u o o cinco porciones deber´n ser x, x + r, x + 2r, x + 3r y x + 4r. Utilizando esta a notaci´n podemos describir la ultima condici´n del problema mediante una o ´ o ecuaci´n: o (x + 2r) + (x + 3r) + (x + 4r) = x + (x + r) (2.2) 7 ¿Es la condici´n suficiente para determinar la inc´gnita? ¿Es insuficiente? o o Estas preguntas vienen muy bien en este momento, ya que nos hacen ob- servar que tenemos dos inc´gnitas x y r pero una sola ecuaci´n. En general o o (pero por supuesto hay excepciones) esto significa que el problema es inde- terminado, es decir que en vez de una unica soluci´n admite varias, tal vez ´ o hasta un n´mero infinito de ellas. Pero otra posibilidad a tener en cuenta u es que no tengamos suficientes ecuaciones sencillamente por haber pasado
  21. 21. ´ 2.1 Aritm´tica y Algebra e 17 por alto alg´n dato o condici´n del problema. Recordemos las preguntas u o de P´lya: ¿Ha empleado todos los datos?, ¿Ha empleado toda la condici´n? o o Bueno, leyendo una vez m´s el enunciado del problema vemos que no hemos a utilizado el hecho de que los panes a dividir son cien. Este dato nos permite escribir otra ecuaci´n: o x + (x + r) + (x + 2r) + (x + 3r) + (x + 4r) = 100 (2.3) Bien, ya tenemos dos ecuaciones y dos inc´gnitas. El plan a seguir es simple: o resolver el sistema. Para ello simplificamos primero las ecuaciones 2.2 y 2.3 hasta obtener 11x − 2r = 0 (2.4) x + 2r = 20 (2.5) de donde resulta x = 5/3 y r = 55/6. Las cinco porciones ser´n entonces: a 5/3 = 1 2 , 5/3 + 55/6 = 65/6 = 10 5 , 65/6 + 55/6 = 20, 20 + 55/6 = 175/6 = 3 6 29 1 y finalmente 175/6 + 55/6 = 115/3 = 38 1 . 6 3 Visi´n retrospectiva: ¿Puede usted verificar el resultado? Esto es f´cil: 5/3 + o a 65/6 + 20 + 175/6 + 115/3 = 100 y 65/6 − 5/3 = 20 − 65/6 = 175/6 − 20 = 115/3 − 175/6 = 55/6. ¿Puede obtener el resultado en forma diferente? Bueno, si se tiene cierta experiencia resolviendo problemas con progresiones aritm´ticas se observa que muchas veces resulta m´s c´modo representar la e a o progresi´n de manera sim´trica, alrededor de un t´rmino central. En nuestro o e e caso, si llamamos z al t´rmino central y r a la raz´n, los cinco t´rminos ser´n e o e a z − 2r, z − r, z, z + r y z + 2r. Ahora la condici´n de que las partes suman o cien se escribe as´ı: (z − 2r + +(z − r) + z + (z + r) + (z + 2r) = 100 que se reduce a 5z = 100 y por tanto z = 20. La otra condici´n es o 20 + (20 + r) + (20 + 2r) = (20 − 2r) + (20 − r) 7 que luego de simplificar nos da 60 + 3r = 7(40 − 3r), de donde podemos despejar r = (280 − 60)/24 = 55/6. Obtenemos por supuesto la misma soluci´n que antes, pero el procedimiento luce m´s limpio y elegante: en lugar o a de resolver un sistema de dos ecuaciones con dos inc´gnitas s´lo tenemos que o o resolver un par de ecuaciones de primer grado. Esto se debe a que la simetr´ıa hace que se cancelen los t´rminos con r en la primera ecuaci´n. e o
  22. 22. 18 Ejemplos sencillos Problema 2.3. Tres recipientes contienen agua. Si se vierte 1/3 del conte- nido del primer recipiente en el segundo, y a continuaci´n 1/4 del contenido o del segundo en el tercero, y por ultimo 1/10 del contenido del tercero en el ´ primero, entonces cada recipiente queda con 9 litros de agua. ¿Qu´ cantidad e de agua hab´ originalmente en cada recipiente? ıa Soluci´n. Este problema puede tratarse en principio con el mismo m´todo o e que los anteiores: si llamamos x, y, z a los contenidos iniciales de los recipien- tes es posible escribir unas ecuaciones que reflejen las condiciones del pro- blema. Por ejemplo, despu´s de la primera operaci´n el contenido del primer e o recipiente ser´ (2/3)x y el del segundo y + x/3. Luego de la segunda opera- a ci´n el contenido del segundo recipiente ser´ (3/4)(y + x/3) = x/4 + (3/4)y o a y el del tercero z + (1/4)(y + x/3) = x/12 + y/4 + z. Luego de la tercera operaci´n el contenido del tercer recipiente ser´ (9/10)(x/12 + y/4 + z) y el o a del primero (2/3)x + (1/10)(x/12 + y/4 + z). Igualando ahora el contenido final de cada recipiente con 9 obtenemos un sistema de tres ecuaciones con tres inc´gnitas, cuya soluci´n es la respuesta buscada. Los detalles se los o o dejamos al lector como ejercicio. Visi´n retrospectiva: No cabe duda de que el m´todo anterior, aunque in- o e falible, es bastante aburrido y proclive a errores num´ricos. ¿No habr´ otra e a forma de proceder m´s apropiada para este tipo de problema? S´ la hay, a ı y consiste en sustituir el an´lisis hacia adelante que realizamos, partiendo a de la configuraci´n inicial y estudiando la evoluci´n del contenido de los o o recipientes con cada operaci´n, por un an´lisis retrospectivo. Este tipo de o a an´lisis consiste en partir de la configuraci´n final y estudiar c´mo se lleg´ a a o o o ella. En nuestro caso los tres recipientes finalizan con 9 litros, y la ultima ´ operaci´n consisti´ en trasvasar 1/10 del contenido del tercer recipiente al o o primero. Pero si el tercer recipiente, luego de perder la d´cima parte de su e contenido, qued´ con 9 litros, es obvio que deb´ contener diez litros. Y el o ıa primero, como qued´ con 9 luego de ganar un litro, antes conten´ 8 litros. o ıa En otras palabras, despu´s de la segunda operaci´n y antes de la tercera el e o contenido de los recipientes era 8, 9 y 10 litros, en ese orden. Del mismo mo- do se ve que antes de la segunda operaci´n el segundo recipiente conten´ 12 o ıa litros, para poder quedar en 9 al perder la cuarta parte de su contenido. Y el tercero, por consiguiente, ten´ 7 litros. Los contenidos antes de la segunda ıa operaci´n eran entonces 8, 12 y 7. Razonando de igual forma llegamos a que o inicialmente los recipientes conten´ 12, 8 y 10 litros de agua. Este an´lisis ıan a retrospectivo se resume en la siguiente tabla:
  23. 23. 2.2 Combinatoria 19 1◦ 2◦ 3◦ 9 9 9 8 9 10 8 12 7 12 8 10 2.2. Combinatoria Hay una clase importante de problemas en los cuales tenemos que contar o enumerar configuraciones resultantes de combinar, de alguna manera, un n´mero finito de elementos. La rama de la matem´tica que se ocupa de esto u a se conoce como combinatoria. Los siguientes son algunos ejemplos sencillos. Problema 2.4. Un cubo s´lido de madera de lado 20 cm se pinta de rojo. o Luego con una sierra se hacen cortes paralelos a las caras, de cent´ ımetro en ımetro, hasta obtener 203 = 8000 cubitos de lado 1 cm. ¿Cu´ntos de cent´ a esos cubitos tendr´n al menos una cara pintada de rojo? a Soluci´n. El problema es de f´cil comprensi´n. El primer plan que se nos o a o ocurre es sencillamente contar los cubitos pintados. Por ejemplo: en cada cara del cubo hay 202 = 400 cubitos pintados, por lo tanto en total ser´n a . . . ¿400×6? No, porque estar´ıamos contando m´s de una vez los cubitos que a est´n en los v´rtices y aristas del cubo. Pero al menos esto nos da una pista a e para mejorar el plan (y una cota superior: el n´mero de cubitos pintados u debe ser menor que 2400). Contemos entonces por separado los diferentes tipos de cubitos pintados: Los correspondientes a los v´rtices del cubo, que tienen tres caras e pintadas y son ocho en total. Los correspondientes a las aristas del cubo, exclu´ ıdos los v´rtices (tie- e nen exactamente dos caras pintadas). Cada arista tiene contacto con 20 cubitos, pero dos de ellos son v´rtices (que ya contamos aparte) por e lo cual nos quedan 18. Como el cubo tiene 12 aristas, el n´mero total u es 18 × 12 = 216. Los cubitos con exactamente una cara pintada. En cada cara del cubo, las caras pintadas de estos cubitos forman un cuadrado de 18 × 18, por lo tanto en total ser´n 18 × 18 × 6 = 1944. a
  24. 24. 20 Ejemplos sencillos Por consiguiente la respuesta es 8 + 216 + 1944 = 2168. Visi´n retrospectiva: ¿Podemos obtener el resultado en forma diferente? Una o primera alternativa es partir de nuestro primer resultado err´neo, 2400, y o efectuar las correcciones necesarias. Como los cubos de los v´rtices se con- e taron tres veces cada uno, restemos 8 × 2 = 16. Y como los de las aristas se contaron dos veces, restemos 216. El resultado ser´ 2400 − 16 − 216 = 2168. a Otra idea (posiblemente la m´s elegante) se obtiene invirtiendo el proble- a ma. Contemos los cubitos que no tienen ninguna cara pintada. Es claro que estos cubitos forman un cubo interior al primero, de lado 18. Por lo tanto son 183 = 5832. Los que tiene al menos una cara pintada se pueden obtener ahora restando esta ultima cantidad del total de cubitos, a saber ´ 203 − 183 = 8000 − 5832 = 2168. Problema 2.5. En cada una de las 64 casillas de un tablero de ajedrez hay un grano de az´car. Una hormiga comienza en un v´rtice del tablero, come u e el az´car, y se traslada a una casilla adyacente, desplaz´ndose en direcci´n u a o horizontal o vertical (pero nunca en diagonal). Contin´a de este modo hasta u acabar con todo el az´car, y sin pasar dos veces por una misma casilla. ¿Es u posible que su trayecto finalice en el v´rtice diagonalmente opuesto al inicial? e Soluci´n. Este problema es de naturaleza diferente a los anteriores. No se o nos pide calcular nada, por lo cual muchos pensar´n que no es un verdadero a problema de matem´tica. Sin embargo, si hacemos abstracci´n de la hormiga a o y el az´car (que obviamente se han incluido para hacer m´s atractivo el u a enunciado) vemos que el problema trata de la existencia de trayectorias con ciertas caracter´ısticas geom´tricas. e Por alguna raz´n, la mayor´ de las personas a quienes les he planteado o ıa este problema contestan de inmediato que s´ Cuando les pido que dibujen ı. en la pizarra la trayectoria, demuestran que no han comprendido cabalmente el enunciado: trazan l´ ıneas diagonales, pasan m´s de una vez por la misma a casilla o simplemente finalizan en un v´rtice que no es el opuesto al inicial, e y a´n as´ creen haber solucionado el problema. Cuando por fin comprenden u ı las condiciones, luego de dos o tres intentos fallidos cambian s´bitamen- u te de posici´n y contestan que es imposible. Ahora bien, es claro que una o respuesta afirmativa queda suficientemente justificada con s´lo exhibir una o trayectoria que cumpla las condiciones pedidas. ¿Pero c´mo podemos jus- o tificar una respuesta negativa? Es muy importante comprender la enorme diferencia que existe entre las afirmaciones “no puedo hallar ninguna solu- ci´n” y “no existe ninguna soluci´n”. Para poder afirmar esto ultimo hay o o ´
  25. 25. 2.3 Geometr´ ıa 21 b´sicamente dos maneras de proceder. Una de ellas consiste en dibujar todas a las trayectorias posibles que parten de un v´rtice y recorren todo el tablero, e desplaz´ndose en direcci´n horizontal o vertical y sin pasar dos veces por a o ninguna casilla. Una vez hecho esto podemos examinar las trayectorias y verificar que ninguna finaliza en el v´rtice opuesto al inicial. Un inconve- e niente de este procedimiento es que resulta muy lento y engorroso para un ser humano, aunque ser´ factible realizarlo con ayuda del computador. Otro ıa inconveniente es que si se nos ocurre generalizar el problema para tableros m´s grandes r´pidamente el problema se vuelve inmanejable, incluso para a a el computador. M´s a´n, si queremos una respuesta general, para tableros a u de n × n, este procedimiento resulta completamente in´til. u La segunda manera de proceder es demostrar que no existe trayectoria alguna que cumpla las condiciones exigidas. Para esto resulta util el hecho ´ de que las casillas de un tablero de ajedrez est´n pintadas de dos colores, a digamos blanco y negro, en forma alternada. La observaci´n clave es que o cada movimiento unitario en direcci´n horizontal o vertical nos lleva de una o casilla a otra de diferente color. Ahora bien, como el tablero tiene 8 × 8 = 64 casillas, comenzando en cualquiera de ellas se requieren 63 movimientos para recorrerlas todas. Pero es claro que despu´s de 1, 3, 5 o cualquier n´mero e u impar de movimientos estaremos en una casilla de color diferente a la inicial. Esto demuestra que la respuesta al problema que nos ocupa es negativa, ya que un v´rtice y el opuesto son del mismo color. e Visi´n retrospectiva: Una generalizaci´n obvia de este problema consiste en o o considerar tableros de n × n, para cualquier entero positivo n. Es claro que si n es par entonces la respuesta es negativa, por el mismo argumento usado para el caso 8 × 8. En cambio si n es impar el argumento no se aplica. De hecho es f´cil ver que la respuesta es afirmativa. Otras generalizaciones que a se resuelven con el mismo m´todo: especificar dos casillas cualesquiera como e inicio y fin de la trayectoria; cambiar el tipo de movimiento b´sico, usando a por ejemplo saltos de caballo; plantear el problema en tres dimensiones, por ejemplo en un cubo. El lector interesado en estos temas puede consultar [29]. 2.3. Geometr´ ıa La otra clase importante de problemas que encontramos en la matem´ti- a ca elemental son los de geometr´ El lector interesado en este tema puede ıa.
  26. 26. 22 Ejemplos sencillos consultar [12]. Hay una gran variedad de problemas geom´tricos: problemas de construc- e ci´n, de c´lculo, de demostraci´n, etc. El siguiente es un ejemplo sencillo. o a o Problema 2.6. Los lados del tri´ngulo ABC miden AB = 26cm, BC = a 17cm y CA = 19cm. Las bisectrices de los ´ngulos de v´rtices B y C se a e cortan en el punto I. Por I se traza una paralela a BC que corta a los lados AB y BC en los puntos M y N respectivamente. Calcule el per´ ımetro del tri´ngulo AM N . a Soluci´n. La primera de las estrategias que Schoenfeld coloca en su lista o es hacer un diagrama, toda vez que sea posible. Si bien esta recomendaci´n o se aplica a todo tipo de problemas, es casi insoslayable si el problema es de car´cter geom´trico. Muchas veces el enunciado de estos problemas va a e acompa˜ado de un dibujo, pero otras veces (como en este caso) no es as´ n ı, y hacerlo es la primera tarea que debemos realizar. Tal vez usted haya o´ ıdo frases tales como “un dibujo no constituye demostraci´n”, “razonar en base o a un dibujo puede conducir a errores”, etc. Todo eso es cierto, sin embargo un dibujo nos ayuda en primer lugar a comprender el problema. Adem´s a estimular´ nuestra imaginaci´n y es posibleque nos sugiera alg´n plan para a o u hallar la soluci´n. Si tiene a mano instrumentos geom´tricos uselos; sin em- o e ´ bargo incluso un bosquejo aproximado suele ser de mucha ayuda (¡H´galo a antes de seguir leyendo!). Hay muchas maneras de resolver este problema. El que tenga afici´n a los o c´lculos complicados podr´ por ejemplo comenzar por hallar el ´rea del a ıa a tri´ngulo ABC (usando la f´rmula de Heron). Dividiendo el ´rea entre el a o a semiper´ımetro se obtiene el radio de la circunferencia inscripta, es decir la distancia de I a los lados del tri´ngulo ABC. Con estos datos es posible a
  27. 27. 2.3 Geometr´ ıa 23 calcular, por proporcionalidad, las longitudes de AM , M N y AN . Sin em- bargo esto es bastante engorroso. ¿No habr´ una manera m´s sencilla? Si a a miramos el dibujo detenidamente, buscando alguna relaci´n interesante, ob- o servaremos (sobre todo si el dibujo est´ bien hecho) que los tri´ngulos BM I a a y CN I parecen is´sceles. Si esto fuese cierto la soluci´n ser´ inmediata, ya o o ıa que de las igualdades M I = M B y IN = N C se obtiene: AM + M N + AN = AM + M I + IN + AN = AM + M B + AN + N C = AB + AC = 26 + 19 = 45. Ahora bien, ¿podremos probar que los tri´ngulos BM I y CN I son is´sce- a o les? Para probar por ejemplo que BM I es is´sceles es suficiente probar que o los ´ngulos ∠M BI y ∠M IB son iguales. Pero sabemos que M N es paralela a a BC, por lo tanto ∠M IB = ∠IBC ya que son ´ngulos alternos internos. a Pero BI es la bisectriz de ∠ABC, por lo tanto ∠M BI = ∠IBC y hemos completado la demostraci´n (por supuesto que para el tri´ngulo CN I se o a razona de modo an´logo). a Visi´n retrospectiva: Si revisamos los datos del problema vemos que hay o uno de ellos que no fue utilizado: la longitud del lado BC. En realidad para cualquier tri´ngulo con AB = 26 cm y CA = 19 la soluci´n ser´ la misma, a o ıa 26 + 19 = 45. ¿Y si variamos AB y CA? Bueno, es f´cil ver que la respuesta a ser´ siempre AB + CA. En otras palabras, los valores 26 y 19 no juegan a ning´n papel especial, y mucho menos BC = 17. Estos datos en vez de ayu- u dar a resolver el problema m´s bien estorban, dirigiendo nuestra atenci´n a o hacia detalles sin importancia. Son elementos distractores , que aumentan la dificultad del problema suministrando m´s informaci´n que la estrictamente a o necesaria para resolverlo. Para aclarar mejor este punto supongamos que el enunciado del problema hubiese sido: En un tri´ngulo ABC las bisectrices de los ´ngulos de v´rtices B a a e y C se cortan en el punto I. Por I se traza una paralela a BC que corta a los lados AB y BC en los puntos M y N respectivamente. Calcule el per´ımetro del tri´ngulo AM N en funci´n de los lados a o AB y AC. Este problema, a pesar de ser m´s general, es probablemente m´s f´cil de a a a resolver ya que nuestra atenci´n se enfocar´ directamente hacia los lados o a AB y AC. Este es el sentido de la recomendaci´n de P´lya: “eonsidere un o o problema m´s general”, la cual parece parad´jica ya que un problema m´s a o a
  28. 28. 24 Ejemplos sencillos general deber´ ser por l´gica m´s dif´ Sin embargo una abstracci´n ade- ıa o a ıcil. o cuada, al eliminar la hojarasca innecesaria, puede permitirnos ver el camino con m´s claridad. Ahora bien, ¿es posible detectar y evitar el efecto de es- a tos elementos distractores? Es bastante dif´ıcil, ya que a priori no podemos saber cu´les datos son esenciales y cu´les superfluos para resolver un pro- a a blema. Sin embargo es razonable desconfiar de los datos que parecen muy particulares para la naturaleza del problema. Pero hay que tener cuidado, ya que hay propiedades que s´ dependen de valores muy particulares de los ı datos (esto es muy com´n en problemas de aritm´tica, por ejemplo). u e Muchos problemas no se pueden clasificar de manera clara dentro de una rama de la matem´tica, sino que se encuentran en la frontera entre dos o a m´s de ellas. El siguiente, por ejemplo, pertenece tanto a la geometr´ como a ıa a la combinatoria. Problema 2.7. ¿En cu´ntas regiones queda dividido el plano por 6 rectas a en posici´n gen´rica (es decir tales que no haya dos de ellas paralelas ni tres o e concurrentes en un punto)? Soluci´n. Evidentemente una recta divide el plano en dos regiones, y dos o rectas no paralelas lo dividen en cuatro. Pero ya para tres rectas el problema comienza a complicarse. Si trazamos unos cuantos diagramas veremos que la tercera recta atraviesa siempre a tres de las cuatro regiones determinadas por las dos primeras, pero no a la cuarta, y por lo tanto la respuesta para tres rectas parece ser siete. ¿Pero podemos estar seguros de esto? ¿Y qu´ pa- e sar´ cuando tracemos la cuarta, la quinta y la sexta recta? Lamentablemente a los dibujos se complican demasiado, algunas rectas se cortan fuera de la ho- ja y no es f´cil contar las regiones sin equivocarnos. Adem´s pareciera que a a la respuesta depende de como dibujemos las rectas. Volvamos entonces al principio. ¿Podr´ imaginarse un problema an´logo un tanto m´s accesible? ıa a a Bueno, en vez de disminu´ el n´mero de rectas podemos disminu´ la di- ır u ır mensi´n, es decir considerar en cu´ntas regiones queda dividida una recta o a por cierto n´mero de puntos. Este problema s´ es f´cil, n puntos dividen a u ı a la recta en n + 1 regiones (a saber n − 1 segmentos y 2 semirrectas). ¿Y no podemos aprovechar este resultado para el problema en el plano? Veamos, si ya hemos trazado n − 1 rectas entonces al trazar la n-sima ´sta cortar´ a e a las anteriores en n − 1 puntos diferentes (por la hi´tesis de genericidad). Por o lo tanto la n-sima recta quedar´ dividida en n partes por esos puntos de a intersecci´n. Pero es claro que cada una de esas partes estar´ contenida por o a
  29. 29. 2.3 Geometr´ ıa 25 completo en una regi´n de las determinadas por las primeras n − 1 rectas, o regi´n que quedar´ dividida en dos por la n-sima recta. Por lo tanto hemos o a descubierto que al trazar la n-sima recta el n´mero de regiones aumenta en u n unidades. Apliquemos ahora este resultado desde el comienzo y de mane- ra sucesiva. Inicialmente hay una sola regi´n: el plano. Al trazar la primera o recta el n´mero de regiones aumenta en una unidad, y tendremos 1 + 1 = 2 u regiones. Al trazar la segunda recta el n´mero de regiones aumenta en dos u unidades, y tendremos 2 + 2 = 4 regiones. Al trazar la tercera recta el n´me- u ro de regiones aumenta en tres unidades, y tendremos 4 + 3 = 7 regiones. Hasta aqu´ los resultados concuerdan con lo que ya sab´ ı ıamos. Ahora resulta f´cil continuar: para cuatro rectas son 7 + 4 = 11 regiones, para cinco rectas a son 11 + 5 = 16 regiones, para seis rectas son 16 + 6 = 22 regiones. Visi´n retrospectiva: Resulta natural preguntarse cu´l ser´ el n´mero de re- o a a u giones en que queda dividido el plano por un n´mero n cualquiera de rectas u en posici´n gen´rica. Recordando que la suma de los enteros desde 1 hasta o e n es n(n + 1)/2 es f´cil obtener a 1 + 1 + 2 + 3 + · · · + n = 1 + n(n + 1)/2 = (n2 + n + 2)/2 Hay otras generalizaciones y problemas similares a los cuales se puede aplicar el mismo m´todo. e
  30. 30. Cap´ ıtulo 3 Algunas Estrategias B´sicas a En este cap´ıtulo se enuncian algunas estrategias b´sicas y se ilustra su a aplicaci´n a la soluci´n de varios problemas, muchos de ellos tomados de o o competencias matem´ticas internacionales. a 3.1. Figuras y diagramas El proverbio una figura vale m´s que mil palabras tiene plena validez en a la resoluci´n de problemas matem´ticos. Por eso nuestra primera estrategia o a es: Estrategia 1. Dibuje una figura o un diagrama siempre que sea posible. La importancia de este principio es obvia cuando se trata de resolver un problema de geometr´ Pero hay muchos problemas que, sin ser de geome- ıa. tr´ admiten una interpretaci´n geom´trica, lo cual ampl´ mucho el verda- ıa, o e ıa dero alcance de esta estrategia. Los siguientes ejemplos ilustran lo dicho. Problema 3.1.1 (Olimpiada Bolivariana 2000). Sean a1 , A1 , a2 , A2 , a3 , A3 n´meros reales positivos tales que ai + Ai = k, u donde k es una constante dada. a) Demostrar que a1 A2 + a2 A3 + a3 A1 < k 2 .

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