Dokumen tersebut membahas tentang pola bilangan, barisan bilangan, dan deret bilangan. Terdapat penjelasan mengenai konsep-konsep tersebut beserta contoh-contoh penerapannya. Dibahas pula rumus-rumus untuk menentukan suku ke-n barisan aritmatika dan jumlah n suku deret aritmatika.

1. BARISAN DAN DERET BILANGAN 2014
D H U R O T U L K H A M I D A H Page 1
Perhatikan deretan bilangan-bilangan berikut:
a. 1 2 3 ...
b. 4 9 16 ...
c. 31 40 21 30 16 ...
Deretan bilangan di atas mempunyai pola tertentu. Dapatkah anda
menentukan bilangan yang belum diketahui sesuai dengan aturan yang
dipunyai?
BAB I
POLA, BARISAN, DAN DERET BILANGAN
Kompetensi Dasar
Mengidentifikasi pola, barisan dan deret bilangan
Tujuan Pembelajaran
 Siswa dapat mengidentifikasikan pola bilangan,
barisan, dan deret berdasarkan ciri-cirinya.
 Siswa dapat nenggunakan notasi sigma untuk
menyederhanakan suatu deret
A. POLA BILANGAN

2. BARISAN DAN DERET BILANGAN 2014
D H U R O T U L K H A M I D A H Page 2
Pada a, bilangan ke 4 adalah 4, sebab deretan bilangan nomor 1, mempunyai
aturan: bilangan ke 2 = 1 + 1 = 2, bilangan ke 3 = bilangan ke 2 + 1 = 2 +1 = 3.
Jadi bilangan ke 4 = bilangan ke 3 + 1 = 3 + 1 = 4.
Pada b, bilangan ke 4 adalah 25, sebab deretan bilangan nomor 2,
mempunyai aturan: bilangan ke 1 = (1 + 1)2 = 22 = 4, bilangan ke 2 = (2 +1)2
= 32 = 9, bilangan ke 3 = (3 + 1)2 = 42 = 16. Jadi bilangan ke 4 = (4 +1)2 = 52
= 25.
Pada c, bilangan ke 6 adalah 25, sebab deretan bilangan nomor 3,
mempunyai aturan: bilangan ke 3 = bilangan pertama - 10 = 31 - 10 = 21,
bilangan ke 4 = bilangan ke 2 - 10 = 40 - 10 = 30, bilangan ke 5 = bilangan ke 3 -
5 = 21 - 5 = 16,. Jadi bilangan ke 6 = bilangan ke 4 - 5 = 30 - 5 = 25.
Aturan yang dimiliki oleh deretan bilangan di atas disebut pola bilangan
pada deretan itu. Pola sebuah deretan bilangan tidak tunggal. Sebagai
contoh, pada deretan bilangan nomor 2, bilangan ke n = (n + 1)2 dengan n= 1,
2, 3, 4.
Barisan bilangan real adalah suatu fungsi dengan domain himpunan semua
bilangan asli dan kodomain himpunan semua bilangan real. Jika U merupakan
fungsi dari bilangan asli ke bilangan real , maka barisannya sering ditulis dengan
U1,U2, U3, ..., Un, .... Pada barisan U1, U2, U3, ..., Un, ... ,
Un disebut unsur ke n atau elemen ke n dari barisan itu.
B. BARISAN BILANGAN
Contoh
1. 1, 2, 3,... merupakan barisan dengan unsur ke n dari barisan
itu adalah Un= n.
2. 1, -1, 1, -1,.... adalah barisan dengan unsur ke n dari barisan
itu adalah Un = (-1)n.

3. BARISAN DAN DERET BILANGAN 2014
D H U R O T U L K H A M I D A H Page 3
Jika U1, U2, U3,..., Un,... merupakan barisan bilangan real, maka U1 + U2
+ U3,... + Un +... disebut deret, dan Un disebut suku ke n barisan itu.
C. DERET BILANGAN
Contoh
1. 1 + 2 + 3 +..., maka suku ke n barisan itu adalah Un = n.
2. 1 + (-1) + 1+ (-1) + ...., maka suku ke n dari deret itu
adalah Un =(-1)
n
.
3. 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 +..., maka ke 7 dari barisan itu adalah
13.
Dari materi pola bilangan,
barisan bilangan, dan deret
bilangan, dapatkah kalian
menjelaskan mengenai
perbedaan dari kettiganya?
DISKUSI KELOMPOK

4. BARISAN DAN DERET BILANGAN 2014
D H U R O T U L K H A M I D A H Page 4
Perhatikan jumlahan bilangan-bilangan berikut.
1. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7.
2. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12.
3.
27
1
9
1
3
1

4. 1 + 3 + 5 + 7 + 9.
Jumlahan bilangan-bilangan dari deretan bilangan yang mempunyai pola
dapat dituliskan dengan notasi  (dibaca: sigma), Sehingga jumlahan bilangan
diatas dapat ditulis kembali :
1. 

7
1
7654321
n
n
2. 

6
1
212108642
n
n
3. 

3
1 3
1
27
1
9
1
3
1
n n
4. 

5
1
)12(97531
n
n
D. NOTASI SIGMA

5. BARISAN DAN DERET BILANGAN 2014
D H U R O T U L K H A M I D A H Page 5
Sifat notasi sigma
Jika m dan n adalah bilangan asli, dengan m ≤ n dan c R ,
maka berlaku :
1.  

n
mk
k
n
mk
k
n
mk
kk baba )(
2.  

n
mk
k
n
mk
k acca
3. cmnc
n
mk
)1( 
4. paa
pn
pmk
k
n
mk
k  


5.  

n
mk
k
n
mk
kk
n
mk
k
n
mk
kk bbaaba
22
.2)(
NOTICE
Buktikan dengan contoh sifat dari
notasi sigma
DISKUSI KELOMPOK

6. BARISAN DAN DERET BILANGAN 2014
D H U R O T U L K H A M I D A H Page 6
E. EVALUASI
Kerjakan secara individu soal berikut ini
1. Tentukan suku yang dicantumkan di akhir barisan dan juga suku ke-
n dari setiap barisan berikut:
a. 13, 9, 5, ...., 31U
b. 25, 21, 17, 13, ..., 20U
c. -10, -8, -6, -4, ..., 100U
2. Tentukan bentuk notasi sigma dari setiap deret berikut :
a. 2 + 5 + 8 + ... + 119
b. 100 + 90 + 80 + ... + 0
c. 4 + 1 +
4
1
+ ...
3. Hitunglah deret-deret berikut :
a. 

5
1
)12(
n
n
b. 

4
1
1
2
n
n
c. 
6
1
2.3
n
n

7. BARISAN DAN DERET BILANGAN 2014
D H U R O T U L K H A M I D A H Page 7
Terkadang, suatu barisan mempunyai pola khusus. Pada barisan 1, 2, 3, 4, …,
selisih antara unsur yang berurutan, yaitu: ke 1 dengan ke 2, ke 2 dengan ke 3, ke n
dengan ke n + 1, dan seterusnya adalah tetap, yaitu sama dengan 1. Barisan
semacam ini disebut barisan aritmatika.
Barisan U1, U2, U3,..., Un,... disebut barisan aritmatika jika
Un - Un-1 = konstan,
BAB II
BARISAN DAN DERET ARITMATIKA
A. BARISAN ARITMATIKA
Kompetensi Dasar
Menerapkan konsep barisan dan deret aritmatika
Tujuan Pembelajaran
 Siswa dapat menentukan nilai suku ke-n suatu barisan
aritmatika dengan menggunakan rumus barisan aritmatika
 Siswa dapat menentukan jumlah n suku suatu deret
aritmatika dengan menggunakan rumus jumlah barisan
aritmatika

8. BARISAN DAN DERET BILANGAN 2014
D H U R O T U L K H A M I D A H Page 8
dengan n = 2, 3, 4,.... Konstanta pada barisan aritmatika di atas
disebut beda dari barisan itu dan sering dinotasikan dengan b, dan U1
sering dinotasikan dengan a.
Jika diperhatikan U1 = a, U2, U3,..., Un,... merupakan barisan aritmatika,
maka unsur ke n dari barisan itu dapat diturunkan dengan cara berikut.
U1 = a
U2 = a + b
U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b
U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b
U5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b
Un = a + (n -1)
Jadi unsur ke-n dari barisan aritmatika dapat dirumuskan
Contoh
1. 1, 2, 3,... merupakan barisan aritmatika dengan beda, b = 1.
2. 1, 3, 5, … merupakan barisan aritmatika dengan beda, b = 2.
3. 1, -1, 1, -1,.... bukan barisan aritmatika sebab
U2 – U1 = -1 – 1 = -2
2 = 1 – (-1) = U3 – U2
Un = a + (n-1) b

9. BARISAN DAN DERET BILANGAN 2014
D H U R O T U L K H A M I D A H Page 9
Contoh
Diketahui barisan aritmatika dengan unsur ke 2 adalah 10 dan beda
= 2. Tentukan unsur ke 7 barisan itu.
Penyelesaian
Diketahui U2 = 10, b = 2. Dengan menggunakan rumus
Un = a + (n -1) b, diperoleh
U2 = a + (2-1)b
U2 = a + b a = U2 - b = 10 – 2 = 8
U7 = a + (7-1) b = a + 6 b = 8 + 6 (2) = 8 + 12 = 20.
Jadi unsur ke 7 dari barisan adalah 20.
Mbak Suci, seorang pengerajin batik di Gunung Kidul, ia dapat menyelesaikan
6 helai kain batik berukuran 2,4 m × 1,5 m selama 1 bulan. Permintaan kain
batik terus bertambah sehingga Mba Suci harus menyediakan 9 helai kain
batik pada bulan kedua, dan 12 helai pada bulan ketiga. Dia menduga, jumlah
kain batik untuk bulan berikutnya akan 3 lebih banyak dari bulan sebelumnya.
Dengan pola kerja tersebut, pada bulan berapakah Mbak Suci menyelesaikan
63 helai kain batik?
DISKUSI KELOMPOK

10. BARISAN DAN DERET BILANGAN 2014
D H U R O T U L K H A M I D A H Page 10
Jika U1, U2, U3, ..., Un, .... merupakan barisan aritmatka, maka
U1 + U2 + U3 + ... + Un
disebut deret aritmatika. Un disebut suku ke n dari deret itu.
Jika Sn menyatakan jumlah n suku pertama deret aritmatika U1 + U2 + U3
+ ... + Un, ...., maka Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un dapat diturunkan
dengan cara sebagai berikut.
Sn = Un + (Un - b) + (Un - 2b) + ... + a
Sn = a + (a - b) + (a + 2b) +..... + Un +
2Sn = (a + Un) + (a + Un) + (a + Un) +... + (a + Un), sebanyak n suku.
2 Sn = n. (a + Un)
Sn = )(
2
1
nUan 
Jadi untuk mencari jumlah n suku pertama dari deret aritmatika dapat
menggunakan rumus
B. DERET ARITMATIKA
Sn = )(
2
1
nUan 
atau
Sn = ))1(2(
2
1
bnan 

11. BARISAN DAN DERET BILANGAN 2014
D H U R O T U L K H A M I D A H Page 11
Dengan a = suku pertama dan b = beda
Contoh
Carilah jumlah bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 9!
𝑆10 =
1
2
10 9 + 99 = 540
Penyelesaian
Bilangan bulat yang habis dibagi 9 diantara 1 dan 100 adalah 9, 18, 27, …, 99
Bilangan-bilangan tersebut membentuk barisan aritmetika dengan a = 9, b = 9, dan
Un = 99. Selanjutnya akan ditentukan nilai n sebagai berikut:
Un = 99 ⇔ a + (n – 1)b = 99
⇔ 9 + (n – 1)9 = 99
⇔ 9 + 9n – 9 = 99
⇔ 9n = 99
⇔ n = 10
Jadi, banyak bilangan yang habis dibagi 9 diantara 1 dan 100 adalah 10. Dengan
menggunakan rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika diperoleh:
Dengan demikian, 9 + 18 + 27 + 36 + 45 + … + 99 = 540.
Diketahui deret aritmetika tingkat satu dengan sn adalah jumlah n suku
pertama. Jika 𝑆 𝑛 = 𝑚3
− 1 𝑛2
− 𝑚2
+ 2 𝑛 + 𝑚 − 3 + ⋯ maka
tentukanlah jumlah suku ke – 10 pada barisan tersebut
DISKUSI KELOMPOK

12. BARISAN DAN DERET BILANGAN 2014
D H U R O T U L K H A M I D A H Page 12
C. EVALUASI
Kerjakan secara individu soal berikut ini
1. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan aritmatika dibawah ini :
a. 3, 6, 9, 12, ...
b. 1, 6, 11, 16, ...
c. -15, -8, -1, 6, ...
2. Carilah suku yang diminta dalam setiap barisan aritmatika berikut :
a. 1, 4, 7, 10, ..., suku ke-50
b. 25, 21, 17, 13, ..., suku ke-20
c. -10, -8, -1, 6, ..., suku ke-50
3. Tentukan nilai dari:
a. 2 + 7 + 12 +.... + 297
b. 30 + 26 + 22 +... + 2.
4. Tentukan x jika:
a. 100 + 96 + 92 + … + x = 0.
b. 1 + 4 + 7 + … + x = 835.
5. Pola A B B C C C D D D D A B BC C C D D D D A B B C C C D D
D D ... berulang sampai tak hingga. Huruf apakah yang menempati
urutan 26
.32
?

13. BARISAN DAN DERET BILANGAN 2014
D H U R O T U L K H A M I D A H Page 13
Barisan geometri adalah barisan bilangan yang nilai pembanding (rasio)
antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Rasio, dinotasikan r merupakan nilai
perbandingan dua suku berurutan. Nilai r dinyatakan
𝑟 =
𝑈2
𝑈1
=
𝑈4
𝑈3
=
𝑈6
𝑈5
= ⋯ =
𝑈𝑛
𝑈𝑛−1
BAB III
BARISAN DAN DERET GEOMETRI
Kompetensi Dasar
Menerapkan konsep barisan dan deret geometri
Tujuan Pembelajaran
 Siswa dapat menentukan nilai suku ke-n suatu barisan
geometri menggunakan rumus
 Siswa dapat menentukan jumlah n suku suatu deret geometri
dengan menggunakan rumus
 Siswa dapat menentukan jumlah suku tak hingga suatu deret
geometri dengan menggunakan rumus
A. BARISAN GEOMETRI

14. BARISAN DAN DERET BILANGAN 2014
D H U R O T U L K H A M I D A H Page 14
Rumus unsur ke n barisan geometri U1, U2, U3, U4,..., Un dengan U1= a dan
rasio r dapat diturunkan dengan cara berikut.
U1 = a
U2 = a r
U3 = U2 r = (a r)r = ar2
U4 = U3 r = (a r2
)r = ar3
Un = Un-1 r = arn-1
Jadi rumus unsur ke n barisan geometri U1, U2, U3, U4,..., Un,.... dengan
U1 = a dan rasio r adalah:
Un = a.rn-1
Contoh
Diketahui barisan 27, 9, 3, 1, .... Tentukanlah rumus suku ke-n
Penyelesaian
Rasio pada barisan tersebut adalah tetap yaitu r =
3
1
sehingga barisan
tersebut adalah barisan geometri.
Rumus suku ke-n barisan geometri tersebut adalah
1
)
3
1
.(27 
 n
nU
= 33
.(3-1
)n-1
= 33
.3-n + 1
= 34 – n

15. BARISAN DAN DERET BILANGAN 2014
D H U R O T U L K H A M I D A H Page 15
Jika U1, U2, U3, ..., Un. merupakan barisan geometri dengan unsur
pertama adalah a = U1 dan rasio r, maka U1 + U2 + U3 + ... + Un disebut deret
geometri dengan Un = arn-1
Rumus jumlah n suku pertama deret geometri dengan suku pertama a dan
rasio r, dapat diturunkan dengan cara sebagai berikut. Misalkan Sn = U1 + U2 +
U3 + ... + Un, maka
Sn = a + ar
2
+ ar
3
+ ..... + ar
n-1
r Sn = ar + ar
3
+ ar
4
+ ..... + ar
n-1
+ ar
n
Sn - r Sn = a – ar
n
(1 - r) Sn = (1 -r
n
)a
Jadi rumus jumlah n suku pertama deret geometri dengan suku pertama a dan
rasio r adalah
r
ra
S
n
n



1
)1(
untuk r < 1 atau
1
)1(



r
ra
S
n
n untuk r > 1
B. DERET GEOMETRI
Contoh
Suatu deret geometri mempunyai suku ke-5 sama dengan 64 dan suku ke-2
sama dengan 8. Tentukanlah jumlah 10 suku pertama dan jumlah n suku
pertama deret geometri tersebut.

16. BARISAN DAN DERET BILANGAN 2014
D H U R O T U L K H A M I D A H Page 16
Penyelesaian
U2 = 8, berarti ar = 8
U3 = 64, berarti ar4
= 64
ar.r3
= 64
8r3
= 64
r3
= 8
didapat r = 2
dengan mensubstitusikan r = 2 ke persamaan ar = 8, akan didapatkan a.2 = 8
sehingga a= 4.
Jumlah n suku pertama deret ini adalah
21
)21(4



n
nS
=
1
2.44

 n
= 4.2n
– 4
= 22
.2n
– 4
= 22 + n
– 4
Jumlah 10 suku pertama deret ini adalah S10 = 22+10
– 4
= 212
– 4
= 4096 – 4
= 4092

17. BARISAN DAN DERET BILANGAN 2014
D H U R O T U L K H A M I D A H Page 17
Deret geometri tak hingga adalah deret geometri dengan | r | < 1. Jumlah
deret geomatri tak hingga adalah :
r
a
SS n
n 



1
lim
Rumus pada deret geometri berlaku juga untuk n tak terhingga. Adapun
untuk n tak terhingga ada dua kasus :
a. Jika -1 < r < 1, maka rn
menuju 0 akibatnya
r
a
r
a
S





11
)01(
Deret geometri dengan -1 < r < 1 ini disebut deret geometri konvergen
(memusat)
b. Jika r < -1 atau r > 1, maka untuk n   nilai rn
makin besar akibatnya




r
a
S
1
)1(
Deret geometri dengan r < -1 atau r > 1 disebut deret geometri divergen
(memencar)
C. DERET GEOMETRI TAK HINGGA
Buktikan rumus jumlah n
suku pertama deret geometri
diatas!
DISKUSI KELOMPOK

18. BARISAN DAN DERET BILANGAN 2014
D H U R O T U L K H A M I D A H Page 18
Himpunlah minimal tiga buah masalah penerapan barisan dan deret
geometri serta deret aritmatikadalam bidang fisika, teknologi
informasi dan masalah nyata di sekitarmu. Ujilah berbagai konsep dan
aturan barisan dan deret geometri di dalam pemecahan masalah
tersebut. Buatlah laporan hasil kerjamu dan sajikan di depan kelas.
TUGAS PROYEK
Diskusikan dengan kelompkmu tentang pola barisan bilangan berikut!
a) 1, 3, 7, 9, …
b) 1, 4, 9, 16, …
c) 3, 1, 4, 2, 5, …
Apakah barisan tersebut termasuk barisan aritmetika atau barisan geometri?
Tentukanlah suku ke 10 dari pola barisan di atas!
DISKUSI KELOMPOK

19. BARISAN DAN DERET BILANGAN 2014
D H U R O T U L K H A M I D A H Page 19
D. EVALUASI
Kerjakan secara individu soal berikut ini
1. Tentukan suku yang diminta dari barisan geometri pada setiap soal berikut :
a. 2, 4, 8, 16, ..., U12
b. 3, -9, 27, -81, ..., U10
c. ,...,63,23,3,2 U5
2. Tulislah rumus suku ke-n dari barisan berikut :
a. 1, 2, 4, ...
b. ,....
8
1
,
4
1
,
2
1
c. ,...22,2,2
3. Diketahui deret geometri : ...
9
1
3
1
13  Tentukan :
a. Rasio
b. Suku ke-10
c. Jumlah 10 suku pertama
4. Diketahui deret geometri suku ke-3 adalah 16 dan suku ke-5 sama dengan 64.
Tentukan :
a. rasio
b. rumus jumlah n suku pertama
5. Jika jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 72 dan jumlah semua
sukunya yang berindeks ganjil adalah 48, tentukan suku ke-3 deret tersebut!

20. BARISAN DAN DERET BILANGAN 2014
D H U R O T U L K H A M I D A H Page 20
DAFTAR PUSTAKA
MGMP Matematika Kota Semarang. 2006. Matematika SMA/MA Kelas XII Program Ilmu
Pengetahuan Sosial. Semarang : PT Mascom Graphy, Semarang.
Soedyarto, Nugroho & Maryanto.2008. Matematika Jilid 2 untuk SMA dan MA kelas XI
Program IPA. Jakarta: Kemendikbud