El cuaderno de trabajo de Matemáticas fue elaborado para el Programa Intensivo deReforzamiento Académico para Maestros de ...
Índice                                                                              PáginaPresentación                    ...
PresentaciónLa Secretaría de Educación y Cultura de Coahuila se propone en el marco de la políticaeducativa, desplegar una...
IntroducciónEn la actualidad el papel de los docentes esta centrado fundamentalmente en que las reformaseducativas lleguen...
Contextos numéricos y funciones del número          • Cardinal          • Ordinal          • Mixto          • Códigos     ...
Interpretación del significado de un texto        Estrategias de lectura                   • Activación de conocimientos p...
Estrategia de activación escolar para el tratamiento de los contenidos de difícilcomprensiónEl Programa Intensivo de Refor...
El modelo de trabajo se fundamenta en la capacitación continua, como apoyo, se presenta esteCuaderno de Trabajo para el tr...
5.- Utilizamos los materiales para el fortalecimiento del trabajo en el aula y profundizamos enlos temas de los libros de ...
Organización del programa de matemáticas en la RIEBLos contenidos que se estudian en la educación primaria se han organiza...
Componentes curriculares y contenidos de difícil comprensión en el 2do. y 3er.Ciclo de Educación Primaria     EJE TEMÁTICO...
Aprendizajes EsperadosComo resultado del trabajo de nuestra propuesta se espera que el alumno tenga disponibleslos siguien...
I.- Los Números Fraccionarios y sus OperacionesEl concepto de fracciónObjetivo: Propiciar en el alumno la construcción del...
y en especial el aspecto conceptual, hay que señalar algunas consideraciones de sumaimportancia que requieren de un tratam...
2. La fracción como razón. Esta interpretación se da cuando se comparan unidades dediferente magnitud,”una razón es pues l...
Para alimentar a dos ponis se necesitan 22 kg. de pasto al día. ¿A cuántos ponis se podráalimentar con 110kg. de pasto al ...
Un hombre al morir dispone que su fortuna, que asciende a 2’000,000.00 pesos, se entregueel 35% a su hijo mayor, el 40% de...
6. La fracción como cociente. Esta interpretación se asocia a la operación de dividir unnúmero natural entre otro.Si José ...
c) Observa y completa la siguiente tabla                          Fracción común con           Fracción común        Objet...
g) Con los datos que se encentraran en la etiqueta de las botellas completa la      siguiente tabla.                      ...
Ejercicios de reafirmación   •   Si el área del triángulo mayor es 640 cm2 ¿Cuál es área del triángulo rectángulo y qué   ...
•   Sandra, Julia y Francisco han recibido la misma cantidad de bombones. Sandra se ha       comido 5/6, Francisco 7/12 y ...
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II Geometría1.- Trazo de Paralelas y de PerpendicularesDesde la antigüedad, el hombre ha dado mucha importancia al trazo d...
Lo que sí podemos medir es una parte de una recta. Cualquier parte de una recta se conocecon el nombre de segmento.       ...
Para trazar líneas perpendiculares usa la escuadra, así:Para hacer un cuadrado usa siempre la escuadra y serán perpendicul...
Para trazar líneas paralelas usa la escuadra apoyada sobre la regla, así:Las dos líneas que en el cuadrado forman el ángul...
Ejercicios de reafirmación   a) Dado el segmento de recta    AB   traza la bisectriz ED                           A       ...
d) En cada caso determine que recta es mayor:            C                          B                    A                ...
2. Principales Figuras PlanasLos triángulos, cuadriláteros, polígonos y círculos se llaman figuras planas porque todas sus...
Triángulo escaleno. Ejemplo: un lado de 4 cm. otro de 3 cm y otro de 2 cm                                   3 cm          ...
c) En una recta de 6 cm. marca el centro, con la regla y el compás traza un triángulo   equilátero. Indica la medida de su...
3. CuadriláterosLa palabra cuadrilátero significa cuatro lados. Los cuadriláteros se dividen en tres grandesgrupos:       ...
Ejercicios de reafirmación          a) Doña Tere le pidió a Don Toño el albañil, que cambiara el azulejo de las paredes de...
d) Julio va a colocar piso en la parte central de su patio y en los extremos pondrá        pasto, el siguiente dibujo mues...
i)     Un perro está atado a una cadena de 2 m de largo unida mediante una argolla, a      una barra en forma de ángulo re...
4. El CírculoInstrucciones: Trabajando primero con la figura adjunta y los datos que se te dan, en parejas,relacionen las ...
Ejercicios de reafirmación     El círculo en el cilindro     1.- En parejas, respondan lo que se les pide y justifiquen su...
2.- En parejas resolvamos el siguiente problema.                Algunas medidas de una llanta de automóvil son las siguien...
3.- Para responder a las siguientes preguntas trabaja primero con la figura adjunta y los datosque se te dan.¿Qué es un cí...
5. El círculo y los polígonos inscritos                                            El trazo de la circunferencia es muy út...
6. El círculo y sus ángulosLos ángulos se miden en grados (º), y se da el valor de 360º al ángulo de una vuelta.Cada grado...
Ejercicios de retroalimentación1.- Con un poco de imaginación el presente gráfico representa el dispositivo mecánico de la...
4.- En el terreno de mi abuelito Lorenzo, que está en Monclova, Coahuila, queremos hacer unapista para patinar. El arquite...
7. PolígonosLa palabra polígono significa muchos ángulos, y con ella se pueden nombrar todas las figurasplanas limitadas p...
Trazando los radios que van a los vértices de cualquier polígono regular inscrito, el polígonoqueda dividido en triángulos...
2.- Observa las figuras del recuadro y contesta las preguntas:a) ¿Cuál de las figuras no tiene diagonales ni ejes simétric...
8. Cuerpos geométricosLa siguiente guía de trabajo te permitirá reforzar y ejercitar estos contenidos. Lee atentamentelas ...
2. Describe cada uno de los elementos que se señalan.3.- La siguiente guía te permitirá ampliar los contenidos trabajados....
4.- La familia Hernández se mudará a otra ciudad por lo que necesitan empacar sus muebles¿Cuántos metros de cartón necesit...
Ejercicios de Retroalimentación   •   Si el volumen de un cubo es 512 cm3, encuentra su área total y la dimensión de su   ...
9. ÁngulosObservemos esta figura:                                    Del punto 0 parten dos rayos: el señalado con a y el ...
Los ángulos se clasifican de acuerdo con su valor:1.    Recto es el que mide un cuarto de vuelta (90º).2.    Colineal, el ...
El transportador lo debes colocar así:El punto que marca la mitad en la base del transportador tiene que colocarse en el v...
Existen otros que pueden construirse utilizando el juego de escuadras.Con una escuadra podemos trazar ángulosde 45º y 90º,...
2.- Luis invitó a sus amigos a jugar al tiro al blanco, él tiene una ruleta como la siguiente.                            ...
Ejercicios de Retroalimentación   •   Encuentra la medida del tercer ángulo interior de un triángulo, si la medida de los ...
Como determinar el valor de los ángulos internos de un polígono regular                                  Suma de los      ...
III. Manejo de la InformaciónMedidas de tendencia central en un conjuntos de datosUna medida de posición es un valor calcu...
Ejemplo 2. Durante uno de los meses del verano, los ocho vendedores de una empresa de servicios decalefacción y aire acond...
en cuanto a frecuencias máximas asociadas con ellos, la distribución se llama bimodal. Lasdistribuciones de medidas con va...
Ejercicios de retroalimentación1.- En el grupo de Rubén se les pidió que registraran en una tabla el nombre y el peso de l...
2.- Carmen revisó en el periódico las ofertas de fin de semana, ella comparó el precio del quesoen diferentes establecimie...
4.- El departamento de mercadotecnia de una fábrica de tenis realizó una encuesta relativa alas tallas de los alumnos de u...
6.- Con el siguiente gráfico, responde las 3 preguntas siguientes¿Cuál es la diferencia de espectadores entre la película ...
7- Consultando el archivo de cierto hospital, vemos que los pesos (expresados en Kg.) de losniños nacidos durante un mes f...
8.- Con los siguientes datos, responde desde las siguientes 5 preguntas.Los datos que se muestran corresponden a la califi...
IV. Unidades del Sistema Métrico Decima1. Equivalencia entre las distintas unidades de longitudLa principal unidad de long...
Realiza las siguientes conversiones                 metros                        hectómetros                      decámet...
2.- Un coche A lleva una velocidad constante de 90 km por hora y otro coche B lleva unavelocidad constante de 120 km por h...
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  1. 1. El cuaderno de trabajo de Matemáticas fue elaborado para el Programa Intensivo deReforzamiento Académico para Maestros de la Secretaría de Educación y Cultura del Estadode Coahuila, implementado con el propósito de mejorar los aprendizajes de niños, niñas yjóvenes de Educación Inicial y Básica.Coordinación GeneralSecretaría Técnica de la SECAsesoría, Sección, Estrategias Generales:Dolores Flores OrtizJ. Guadalupe Villegas DíazRosario García RodríguezCudberto Barajas CoronadoAutores:Elías Lumbreras FloresEnrique González RamírezJ. Guadalupe Villegas DíazMa. Adelaida Gutiérrez RomoCoordinación EditorialDolores Flores OrtizDiseñoJorge Alberto Cano RosilesLiliana Isabel Gutiérrez OrozcoPrimera Edición Secretaría de Educación y Cultura 1
  2. 2. Índice PáginaPresentación 3Introducción 4Estrategia de activación escolar para el tratamiento de los contenidos de difícilcomprensión 7Organización del programa de matemáticas en la RIEB 10Componentes curriculares y contenidos de difícil comprensión en el 2do. Y 3er.Ciclo de Educación Primaria 11Aprendizajes esperados 12I. Los Números Fraccionarios y sus Operaciones 13II. Geometría 24III. Manejo de la Información 59IV. Unidades del Sistema Métrico Decima 68Bibliografía 83Comentarios y sugerencias 84 2
  3. 3. PresentaciónLa Secretaría de Educación y Cultura de Coahuila se propone en el marco de la políticaeducativa, desplegar una serie de acciones para impulsar el mejoramiento de la enseñanza enla Educación inicial y básica. Con éste propósito se pone en marcha para el ciclo escolar2010-2011, el “Programa Intensivo de Reforzamiento Académico para Maestros”.Dentro de las acciones previstas, se asume el compromiso de proveer estrategias y recursosde enseñanza destinados a los maestros que han de capitalizar su funcionalidad. Este materialse incorpora a las escuelas para que los maestros dispongan de herramientas que faciliten suretroalimentación académica y el trabajo didáctico en el aula.La voluntad de aportar al trabajo pedagógico de los docentes en las escuelas el siguientematerial a través de este programa, logrará mejores concreciones si se alimenta del análisis yde una reflexión compartida, de criterios a partir de los cuales se tomen las mejores decisiones.Por ello, es fundamental que todo docente primero lo trabaje de manera personal y con elcolectivo escolar, para que después lo ponga en práctica con sus alumnos y alumnas. Seráindispensable además que a partir de ello, evalúe el material y haga llegar sus comentarios ysugerencias que permitan mejorar tanto el material como la estrategia de formación docenteimplementada.La participación de las autoridades educativas será fundamental ya que ellas tendrán laresponsabilidad de crear las condiciones que hagan posible el desarrollo de ésta propuesta, asímismo serán los responsables de identificar las fortalezas y debilidades de la misma al tiempoque se este desarrollando de manera que les permita orientar sobre el rumbo que deben tomare intervenir oportunamente. Secretaría de Educación y Cultura Coahuila 3
  4. 4. IntroducciónEn la actualidad el papel de los docentes esta centrado fundamentalmente en que las reformaseducativas lleguen a la escuela y a las aulas, por lo tanto, el docente se convierte en el actorclave del proceso de transformación educativa.Se han desarrollado diversas iniciativas en este rubro, sin embargo en esta ocasión el reto esanalizar y reflexionar sobre la importancia de reconocer que la enseñanza de las matemáticas yel español se pueden guiar sólo y sí el docente tiene consolidado el contenido del currículo deEducación inicial y básica.La principal forma de abordar esta acción es dándole énfasis al trabajo docente en colectivo,donde se encuentra una fuente inagotable de experiencias de aprendizaje decente que en lacotidianeidad del quehacer escolar se intercambia e impacta la práctica pedagógica, además,el colectivo es un elemento sustancial para dar fundamento a las decisiones didácticastomadas y acordadas en la escuela.El colectivo, en su totalidad es el responsable del trabajo pedagógico en la escuela, de ellosdepende el éxito o el fracaso en cada una de las aulas, así como el resultado de las estrategiaspedagógicas y didácticas implementadas,La sociedad actual exige ciudadanos cada vez más competentes que logren obtener eidentificar información, que resuelvan problemas más complejos que aquellos que establecenuna relación directa y evidente, que realicen deducciones, que interpreten relaciones directasen contextos específicos y puedan llegar a conclusiones sobre temas relevantes que lespermita mejorar su nivel de vida.Para estructurar este material, un equipo de asesores técnico se dio a la tarea de identificar lasproblemáticas de aprendizaje, es decir se realizó un diagnóstico de los aprendizajes noconsolidados que prevalecen en la educación de Coahuila, el referente principal fueron losresultados de las evaluaciones internacionales, nacionales y estatales, aplicadas tanto aalumnos y alumnas como docentes, (ENLACE, EXCALE, Olimpiada del Conocimiento,Diagnóstico Estatal y Exámenes Nacionales de Actualización para Maestros en Servicio).El análisis de resultados permitió identificar con precisión los contenidos de difícil comprensióny elaborar estrategias comunes, que con rumbo y eficacia, permitan a los docentes y colectivosescolares de educación inicial y básica decidir y actuar en forma racionalizada.Este fue un análisis funcional, colectivo, participativo e inclusivo, ya que los diferentes niveles yáreas de la Secretaría de Educación y Cultura del Estado estuvieron representadas por losasesores técnico pedagógicos responsables de los procesos de la capacitación y actualizacióndocente.En general a continuación se enlistan los contenidos de difícil comprensión identificados parallevar a cabo el “Programa Intensivo de Reforzamiento Académico para Maestros”.Matemáticas 4
  5. 5. Contextos numéricos y funciones del número • Cardinal • Ordinal • Mixto • Códigos • Cálculo • Memoria de la cantidad • Valores y equivalencias • SecuenciasNúmeros fraccionarios y sus operacionesConteoResolución de problemas • Aditivos • Multiplicativos (razones y proporciones) • Tablas y gráficas • EscalaGeometría • Relaciones topológicas (área) • Relaciones tridimensionales (cuerpos) • Ángulos, lados, paralelismo, simetríaPrincipios de álgebra • Identifica regularidades numéricas y patrones • Complementos aditivos y multiplicativos • Fórmulas • La potencia • El porcentajeMedición • Abstraer las propiedades de magnitudes continuas y discontinuas de los objetos- sistema de medición decimal.Cálculo mental • Descomposición de números • Regularidades numéricos • Complementos aditivos, multiplicativos • Desarrollos aritméticosEspañol 5
  6. 6. Interpretación del significado de un texto Estrategias de lectura • Activación de conocimientos previos • Predicación • Anticipación • Muestreo • InferenciaIdentificación y uso de diferentes tipos de texto Textos informativos • Noticia • Folleto • Instructivo Textos literarios • Cuento • Relato • Fábula • Leyenda • Anécdota • HistorietaObtener y organizar información • Diccionario • Mapas • Planos • Cuadros sinópticos • Esquemas • Gráficas, etc.Conocimiento y uso de estructuras lingüísticas • Sustantivos colectivos, propios, comunes, adjetivos, adverbios, verbos, pronombres y artículosConocimiento y uso de la lengua escrita • Identificación y uso de reglas ortográficas • Función de los signos de puntuaciónLa función comunicativa de la escritura • Conocimiento y redacción de diferentes tipos de texto (reporte, reportaje, entrevista, narración, resumen, crónica, reseña, informe, documentos legal) • Revisión y escritura de texto (recuperación de contenido en textos informativos, descriptivos, explicativos, manejo de conclusiones, paráfrasis, cita textual, ficha bibliográfica) 6
  7. 7. Estrategia de activación escolar para el tratamiento de los contenidos de difícilcomprensiónEl Programa Intensivo de Reforzamiento Académico para Maestros de Educación Inicial yBásica es un programa de acompañamiento pedagógico, que se concibe como una alternativade mejora continua, para la escuela y en la escuela.El programa pretende apoyar los esfuerzos educativos que se realizan en el aula, ofrece a losmaestros experiencias pedagógicas que le permitan generar aprendizajes integrales para eltratamiento de los contenidos de difícil comprensión.Objetivos: 1. Mejorar el rendimiento académico de los alumnos y alumnas de educación inicial y básica. 2. Fortalecer los aprendizajes docentes que permitan a los profesores resolver problemas, analizar, aplicar y producir conocimientos. 3. Implementar un modelo sistemático e integrador de actualización y capacitación socioconstructivista en el que los docentes construyan y retroalimenten sus conocimientos en colaboración con sus pares.En el aula el maestro es el animador, es quien encarga de propiciar el desarrollo intelectual desus alumnos y alumnas, por lo anterior, el dominio y manejo didáctico de los contenidoscurriculares, son una exigencia para el desempeño profesional del docente.El programa Intensivo de Reforzamiento Académico es una más de las acciones para laprofesionalización de los docentes de educación inicial y básica que la Secretaría de Educacióny Cultura emprende.El siguiente esquema muestra las etapas de nuestro modelo de trabajo. 7
  8. 8. El modelo de trabajo se fundamenta en la capacitación continua, como apoyo, se presenta esteCuaderno de Trabajo para el tratamiento de los contenidos de difícil comprensión, se buscapromover el aprendizaje en colectivo, la autodidaxia y el papel activo del maestro en y para suformación.La práctica educativa cotidiana constituye el elemento central de nuestra propuesta, por lotanto, concebimos a la escuela como el espacio en donde la capacitación se concreta comomodelo de mejora de los aprendizajes.El programa y su modelo de capacitación aspiran a la formación de un profesor responsable ycomprometido con su escuela, sus alumnos, alumnas y su profesión.Estrategia Metodológica:El Programa Intensivo de Reforzamiento Académico para Maestros es una propuesta didácticadirigida a docentes con el propósito de impactar el aprendizaje de los alumnos y alumnas, suimplementación se realiza dentro de la escuela y a través del colectivo docente como principalgenerador de estrategias áulicas.El papel fundamental de esta estrategia de trabajo lo llevan quienes la hacen realidad en elcontexto escolar, los maestros, así entonces su participación comprometida y responsable es laclave para el éxito, el logro docente está centrado en la capacidad de aprendizaje interactivoque tiene lugar en la escuela.Los directores serán promotores del desarrollo y participación comprometida de los docentesen esta tarea, deberán involucrarse en el proceso y evaluar el resultado de las actividadespropuestas, intervendrán de acuerdo a la necesidad para asegurar el éxito del colectivo, encoordinación con el supervisor de zona verificarán y apoyarán a los docentes para que en laplaneación diaria, incluyan las actividades para la atención de los contenidos de difícilcomprensión.El desarrollo del trabajo comprende la siguiente ruta que presenta los diferentes momentos delproceso de aprendizaje y retroalimentación docente, en una secuencia lógica y organizada.1.- Identificamos y discutimos a partir de la lectura general del material los retos, necesidadespersonales y del colectivo con respecto a los contenidos del documento y proponemosalternativas que contribuyan a su dominio académico y a la definición de formas efectivas deenseñanza.2.- Definimos qué contenidos y de qué forma los revisaremos en colectivo, considerandosiempre que la interacción con el conocimiento y el intercambio de experiencias son la fuenteprincipal de aprendizaje.3.- Revisamos juntos los ejercicios, retroalimentamos nuestros contenidos académicos,consultamos si es necesario y damos una amplia explicación a cada ejercicio, los resolvemos yaclaramos nuestras dudas.4.- Conversamos acerca de la experiencia compartida, identificamos nuestros descubrimientos,aprendizajes, necesidades, dominios, gustos e intereses académicos relacionados con loscontenidos del material y tomamos acuerdos y decisiones colectivas. 8
  9. 9. 5.- Utilizamos los materiales para el fortalecimiento del trabajo en el aula y profundizamos enlos temas de los libros de texto.6.- Promovemos el conocimiento y reforzamiento de los contenidos de difícil comprensión conlos alumnos y alumnas que así lo requieran, aplicando las actividades según las necesidades.7.- Valoramos que los alumnos y alumnas logren la comprensión de los contenidos abordados8.- Informamos a los padres de familia sobre la propuesta de trabajo y los contenidosabordados con el propósito de promover su participación en ella.9.- Promovemos el apoyo y el dialogo con otros maestros invitándolos a participar con nuestrogrupo, ya sea como apoyo para abordar un contenido o como demostración de un logroalcanzado.10.- Recibimos la visita de nuestras autoridades y mostramos en evidencias claras la atenciónen el aula de los contenidos de difícil comprensión, para retroalimentarnos y obtener laorientación necesaria cuando así se requiera.11.- Empleamos diversos medios para hacer públicos nuestros resultados y las estrategias detrabajo implementadas en ésta experiencia.12.- Participamos en las evaluaciones internacional, nacionales y estatales seguros de obtenermejores resultados, para posteriormente hacer análisis, reflexión, toma de decisión eintervención sobre los mismos.Estrategia de implementación en la escuela 9
  10. 10. Organización del programa de matemáticas en la RIEBLos contenidos que se estudian en la educación primaria se han organizado en tres ejestemáticos, que coinciden con los de secundaria:Sentido numérico y pensamiento algebraico alude a los fines más relevantes del estudio de laaritmética y del álgebra: • La modelización de situaciones mediante el uso del lenguaje matemático. • La exploración de propiedades aritméticas que en la secundaria podrán ser formuladas y validadas con el álgebra. • La puesta en juego de diferentes formas de representar y efectuar cálculos.Forma, espacio y medida encierra los tres aspectos esenciales alrededor de los cuales gira, enla educación inicial y básica, el estudio de la geometría y la medición: • Explorar las características y propiedades de las figuras geométricas. • Generar las condiciones para que los alumnos y alumnas ingresen en un trabajo con características deductivas. • Conocer los principios básicos de la ubicación espacial y el cálculo geométrico.Manejo de la información incluye aspectos que en la sociedad actual, asediada por una grancantidad de información que proviene de distintas fuentes, hace que su estudio desde laeducación básica sea fundamental. Los alumnos y alumnas de primaria tendrán la posibilidadde: • Formular preguntas y recabar, organizar, analizar, interpretar y presentar la información que dé respuesta a dichas preguntas. • Conocer los principios básicos de la aleatoriedad. • Vincular el estudio de las matemáticas con el de otras asignaturas.En estos programas, la vinculación se favorece mediante la organización en bloques temáticosque incluyen contenidos de los tres ejes. Algunos vínculos ya se sugieren en las orientacionesdidácticas y otros quedan a cargo de los profesores o de los autores de materiales dedesarrollo curricular, tales como libros de texto o ficheros de actividades didácticas.Un elemento más que atiende la vinculación de contenidos es el denominado “aprendizajesesperados”, que se presenta al principio de cada bloque y donde se señalan, de modosintético, los conocimientos y las habilidades que todos los alumnos y alumnas deben alcanzarcomo resultado del estudio del bloque correspondiente. Cabe señalar que los conocimientos yhabilidades en cada bloque se han organizado de tal manera que los alumnos y alumnastengan acceso gradual a contenidos cada vez más complejos y a la vez puedan relacionar loque ya saben con lo que están por aprender. Sin embargo, es probable que haya otros criteriosigualmente válidos para establecer la secuenciación y, por lo tanto, no se trata de un ordenrígido.Lo que aquí te presentamos, es una alternativa para la autoformación, en términos de loscontenidos de bajo dominio que las evaluaciones externas no han arrojado, no pretendemossustituir los componentes curriculares que la RIEB ha prescrito para la educación básica ennuestro país. 10
  11. 11. Componentes curriculares y contenidos de difícil comprensión en el 2do. y 3er.Ciclo de Educación Primaria EJE TEMÁTICO TEMA SUBTEMA Significado y uso de los Los números números. naturales SENTIDO Números fraccionarios Números decimales NUMÉRICO Y Significado y uso de las Problemas aditivos operaciones. Problemas multiplicativos y ALGEBRÁICO la división Estimación y cálculo mental Números naturales Números fraccionarios Figuras Figuras planas FORMA Cuerpos ESPACIO Ubicación espacial Representación Y MEDIDA Medida Conceptualización Estadística y cálculo Unidades Búsqueda y organización Representación de la de la información información MANEJO DE Diagramas y tablas Relaciones de LA proporcionalidad Análisis de la información y representación de la INFORMACIÓN Nociones de información. proporcionalidad 11
  12. 12. Aprendizajes EsperadosComo resultado del trabajo de nuestra propuesta se espera que el alumno tenga disponibleslos siguientes aprendizajes en 6° grado:BLOQUE IUsa fracciones para expresar cocientes.Interpreta información en distintos portadores, como tablas y gráficos, y la usa para resolverproblemas.Traza circunferencias y algunos de sus elementos (radio, diámetro, centro) y resuelveproblemas que implican calcular su longitud.Conoce las características de los cuadriláteros.Traza y define rectas paralelas, perpendiculares y secantes, así como ángulos agudos, rectos yobtusos.BLOQUE IIAplica el factor constante de proporcionalidad para resolver problemas de valor faltante.Resuelve problemas que involucran el uso de las medidas de tendencia central (media,mediana y moda).Construye y calcula la superficie lateral y total de prismas y pirámides.BLOQUE IIIDetermina, por estimación, el orden de magnitud de un cociente.Calcula porcentajes y los identifica en distintas expresiones (n de cada 100, fracción, decimal).Resuelve problemas que implican conversiones del Sistema Internacional (si) y el SistemaInglés de Medidas.BLOQUE IVOrdena, encuadra, compara y convierte números fraccionarios y decimales.Resuelve problemas que implican comparar razones.Traza polígonos regulares inscritos en circunferencias o a través de la medida del ángulointerno del polígono.Resuelve problemas que implican calcular el volumen de prismas mediante el conteo deunidades cúbicas.Resuelve problemas que implican usar la relación entre unidades cúbicas y unidades decapacidad.BLOQUE VUtiliza las propiedades de la proporcionalidad para resolver problemas con diferentes unidadesde medida.Selecciona el modo adecuado de presentar información mediante diagramas y tablas.Compara las probabilidades: teórica y frecuencial de un evento simple. 12
  13. 13. I.- Los Números Fraccionarios y sus OperacionesEl concepto de fracciónObjetivo: Propiciar en el alumno la construcción del concepto de fracción.La fracción como signo pertenece al campo de la semiótica – estudio de los signos-; como talrequiere de recursos conceptuales, vocabulario y mediación significativa para su cognición, yaque la fracción como signo, a su vez, requiere de la comprensión sintáctica y semántica delnúmero –signo-.La sintaxis describe las reglas de construcción de las grafías matemáticas. La semánticadescribe en la fracción la contraposición del uso convencional del signo –número-, lacomprensión por contraposición requiere de mediaciones cognitivas. Por ello, el análisisprogramático, la diferenciación progresiva del contenido y las mediaciones cognitivas(manipulación objetiva), determinarán en gran medida la instrumentación didáctica y laapropiación del contenido.En un proceso de enseñanza es necesario que el docente conozca las diferentesinterpretaciones de la fracción: 1. La fracción como expresión numérica. Es importante que los niños manejen la fracción asociadas a una unidad de medida. Por ejemplo, ¾ de litro, ½ metro y no como fracciones sin ninguna relación( ½ , ¾) 2. La fracción como razón. Esta interpretación se da cuando se comparan unidades de diferente magnitud, la forma natural de la unidad no existe como tal, existe la idea de par ordenado y la relación se escribe a:b. 3. La fracción como porcentaje. Es la relación de proporcionalidad entre el número cien y la cantidad en referencia, por eso se le llama porcentaje. Ejemplo: 2 de cada 5 niños tienen zapatos, es lo mismo que decir 40 %. 4. La fracción como medida. La pulgada es un buen auxiliar – en principio -, para conceptuar a la fracción como unidad de medida, ya que en esta situación la fracción está asociada a un punto en la recta y representa el valor de cada segmento en el que se ha dividido la unidad base. 5. La fracción como parte de una figura. La fracción representa la relación existente entre el todo y el número de partes en que se ha dividido la figura, ¾, tres de cuatro. 6. La fracción como cociente. Esta interpretación se asocia a la operación de dividir un número natural entre otro.Desde la perspectiva del uso de la fracción en la solución de problemas, podríamosplantearnos la siguiente pregunta: ¿Es posible que el alumno comprenda todos los significados de la fracción?Si intentáramos encontrar la respuesta, posiblemente encontraríamos las mismas dificultadesque los alumnos y alumnas. En relación con el proceso enseñanza/aprendizaje de la fracción, 13
  14. 14. y en especial el aspecto conceptual, hay que señalar algunas consideraciones de sumaimportancia que requieren de un tratamiento especial: a) Hay que trabajar primero las relaciones conceptuales. b) El significado o aspecto conceptual (constructo), debe ser enriquecido en diversos contextos y no sólo con la idea de fraccionamiento o partición secuencial. c) Ejercitar el uso de la fracción como medida, cociente, razón y operador; no limitarse al uso mecánico del algoritmo. d) El algoritmo y su uso convencional han de ser la parte final del proceso y no el principio.Ejercicios:1. La fracción como expresión numérica. Es importante que los niños manejen la fracciónasociadas a una unidad de medida. Por ejemplo, ¾ de litro, ½ metro y no como fracciones sinninguna relación (½, ¾)Si tienes los siguientes envases: 1 kilo 1/2 kilo ¼ kilo¿De cuántas maneras diferentes puedes reunir 1 kilogramo de azúcar?_____________________________¿De cuántas maneras diferentes puedes reunir 1 y medio kilogramo de frijol?________________________¿De cuántas maneras diferentes puedes reunir 1 ¾ kilogramo de arroz?_______________________________Utilizando los medios y los cuartos, ¿puedes hacer 5 Kilos de frijol? ______________¿Cuántos de cada uno utilizaste?_________________________________________Si quieres 2 ½ kilos de azúcar utilizando sólo los cuartos, ¿puedes hacerlo?¿Cómo?_______________________________________________________________ 14
  15. 15. 2. La fracción como razón. Esta interpretación se da cuando se comparan unidades dediferente magnitud,”una razón es pues la comparación entre dos cantidades”. Una razón sepuede escribir en forma de quebrado. Al primer término se le llama numerador o antecedente,al segundo se le llama denominador (divisor), consecuente; para encontrar el valor de unarazón se divide su antecedente entre el consecuente.Ejemplos:La razón de 4 a 5 se escribe 4: 5 = 4/5; 4 entre 5 = .8 = 8/10 = 80/100 = 80%La razón de 3 a 4 se escribe 3: 4 = 3/4; 3 entre 4 =.75 = 75/100 = 75 %En un aula, por cada 4 hombres hay 7 mujeres. Si el número de alumnos es 16 ¿Cuántasalumnas tiene el aula? Se lee 4 es a 7, 16 es a 28; 4/7 = 16/28. Hombres 4 8 12 16 Mujeres 7 14 21 28En parejas trabajen con los siguientes ejercicios, completen la tabla y justifiquen susrespuestas.Si por 4 tacos se pagan 6 pesos, ¿cuánto se pagará por 10 tacos? Tacos PesosEn un puesto de frutas, las mandarinas se venden a 3 por 5 pesos. ¿Cuántos pesos se pagarápor 2 docenas de mandarinas?En una tienda de mascotas, el precio de 3 codornices alcanza para comprar 2 docenas depollitos ¿Cuántos pollitos se necesitan para canjearlos por 5 codornices? 15
  16. 16. Para alimentar a dos ponis se necesitan 22 kg. de pasto al día. ¿A cuántos ponis se podráalimentar con 110kg. de pasto al día?En la siguiente tabla anota la fracción que representa la razón de cada uno de los ejercicios Tacos Mandarinas Codornices Ponis3. La fracción como porcentaje. Es la relación de proporcionalidad entre el número cien y lacantidad en referencia, por eso se le llama porcentaje. Ejemplo: 2 de cada 5 niños tienenzapatos, es lo mismo que decir 40 %.Pedro tenía $ 80 pesos. Si gastó el 20% y dio a su hermano el 15% del resto, ¿cuánto lequeda? Cantidad 20% 15% del resto Diferencia 80¿A cómo hay que vender una camisa que costó $ 680 pesos para ganar el 15% en la venta?Determina: 35% de una 20% de 45 l5% de 4 25% del 20% 70% de 5/2 hora de 80Calcula el número que aumentado en un 25% es igual a 400 _____________Una persona gastó 1.475 pesos, lo que equivale al 25% de su dinero. ¿Cuánto tenía?______ 16
  17. 17. Un hombre al morir dispone que su fortuna, que asciende a 2’000,000.00 pesos, se entregueel 35% a su hijo mayor, el 40% del resto a su hijo menor y lo restante a un asilo. ¿Cuánto lecorrespondió al asilo? 35% hijo mayor 40% del resto Cantidad para el asilo4. La fracción como medida. La pulgada y el metro son un buen auxiliar – en principio -, paraconceptuar a la fracción como unidad de medida, ya que en esta situación la fracción estáasociada a un punto en la recta y representa el valor de cada segmento en el que se hadividido la unidad base. 0 100 cma) la fracción que representa 4/5 del metro se ubica en_________b) el 30% de la medida del metro es igual a: __________c) 7/10 del metro es igual a:_______________d) .20 del metro es igual a:________________5. La fracción como parte de una figura. La fracción representa la relación existente entre eltodo y el número de partes en que se ha dividido la figura, ¾, tres de cuatro.Si tenemos los siguientes dibujos que simulan un vaso cilíndrico: 1/4 1/2 1/2 ¾ 4/8 1/2 3/4 2/4a).¿En cuáles vasos no se derramaría el líquido si pasamos el de la izquierda hacia el de laderecha? __________________b). En los otros casos. ¿Qué cantidad de líquido habría que dejar en el primer vaso para queno se derrame? ______________________________c). ¿Qué porcentaje en el recipiente que contiene ¾ quedaría? _____________________ 17
  18. 18. 6. La fracción como cociente. Esta interpretación se asocia a la operación de dividir unnúmero natural entre otro.Si José tiene 24 chivas, ¿cuántas tendrá cuando las represente como 7/6? ______________¿Cuál es el monto de 2/7 de un depósito bancario de 4,582.45 pesos? _______________De un grupo de personas que solicitan trabajo, sólo se acepta a 65. Estas representan 5/6 deltotal ¿Cuál es el número de solicitantes? ____________Ejercicios a) Completa la siguiente tabla. Fracción Fracción Razón % de N° Nº de Nº de de de decimal perros gatos gatos perros perros gatos b) Observa y luego completa.Cuerpos en total ____________ Cubos en total _____________ Conos en total___________Cilindros en total __________ Esferas en total _____________Fracción de cubos Fracción común simplificadaFracción de conos Fracción común simplificadaFracción de esferas Fracción común simplificadaFracción cilindros Fracción común simplificada 18
  19. 19. c) Observa y completa la siguiente tabla Fracción común con Fracción común Objetos Tanto por ciento denominador 10 simplificada Cubos Cilindros Esferas Conos d) Si estos objetos estuvieran en una caja y te taparán los ojos ¿qué objeto sería más probable que sacaras?Es más probable sacar _____________ Es poco probable sacar_______________Es igual de probable sacar_______________________________________________ e) La probabilidad de un evento indica la posibilidad de que este evento ocurra. La probabilidad se puede representar aritméticamente.Utilizando los datos de la tabla anterior determina mediante un número fraccionario laprobabilidad que tienes al sacar un objeto.La probabilidad de sacar una esfera es La probabilidad sacar un cilindro esLa probabilidad de sacar una cubo es La probabilidad de sacar el cono es f) La probabilidad también se puede expresar porcentualmenteExiste un de probabilidades de sacar una esfera. La probabilidad sacar un cilindro esLa probabilidad de sacar un cubo es La probabilidad de sacar el cono esEl es la misma probabilidad para sacar cilindro o una esfera. 19
  20. 20. g) Con los datos que se encentraran en la etiqueta de las botellas completa la siguiente tabla. Litro Fracción expresados común con NúmeroCm3 mililitros gramos en fracción Se lee % denominador decimal común 100 simplificada 1/2 75 por ciento 200 20/100 .25 60 20
  21. 21. Ejercicios de reafirmación • Si el área del triángulo mayor es 640 cm2 ¿Cuál es área del triángulo rectángulo y qué porcentaje del triángulo mayor es? • De una caja que contiene un lápiz rojo, un azul, un verde y un negro ¿Cuál es la probabilidad de sacar el lápiz rojo, sin ver en su interior? • Sin ver en el interior de un bote que contiene los siguientes botones: dos verdes, tres amarillos, cinco rojos y dos blancos ¿Cuál es la probabilidad de sacar un botón blanco? • Sofía puso a llenar una cubeta en la llave del agua a la mitad, su tía le sacó 4 litros y quedó un cuarto. ¿Cuál será la capacidad de la cubeta? • Tres de cada cinco libros de una biblioteca tienen ilustraciones, si en la sección de ciencias hay un total de 530 libros, ¿cuántos de éstos tienen ilustraciones? • A un estadio asistieron 4800 personas, de éstas el 68% son hombres, el 25% son mujeres y el resto son menores de edad. ¿Cuántos menores de edad hay en el estadio? • Tres llaves tardan en llenar una pipa de agua 4, 6, y 12 horas respectivamente, si se abren las tres llaves al mismo tiempo para llenar más rápido la pipa, ¿Qué porcentaje de la pipa se cubrirá en una hora? ¿En cuánto tiempo se llenará? • En la parte baja de una cisterna hay 500 litros de agua, lo que representa ¼ del total, por su forma la capacidad se reduce en un 20% cada cuarta parte de su altura. ¿Cuál es la capacidad total de la cisterna?___________________________________ ¿Cuántos decímetros cúbicos habrá cuando su capacidad está al 75%) ___________ 21
  22. 22. • Sandra, Julia y Francisco han recibido la misma cantidad de bombones. Sandra se ha comido 5/6, Francisco 7/12 y Julia 3 de cada cuatro. ¿A quién le quedan más bombones?_______________ • En un reloj de manecillas…. a).¿Cuántos minutos son dos quintas partes de una hora? b).¿Qué parte de una hora son cinco minutos? c).¿Cuántos minutos son dos terceras partes de tres cuartos de hora?Considera los siguientes esquemas para las cuestiones que se te plantean. A B C D a). ¿Cuántas unidades del tipo B caben en el cuadrado C?__________________ b). ¿Cuántas unidades del tipo D caben en C?____________________________ c). ¿Qué parte de B es C?___________________________ d). ¿qué parte de B es D?___________________________ • Del dinero que le regalaron a Juan Carlos -180. 00 - por su cumpleaños, utilizó tres quintas partes para comprar un juguete. ¿Cuánto costó el juguete? _______________ 22
  23. 23. 0 1 2 A C D a) ¿Qué fracción representa la letra C? ______ B b) ¿Qué letra corresponde al salto 1.7? ______ c) ¿Qué letra representa 3/10? _____________ d) ¿Qué letra corresponde a la fracción menor? ________ ¿Por qué? R= ________________________ • Completa la siguiente tabla Repartir en partes A cada uno le Fracción Entre iguales corresponden del total 8 personas media manzana 1 pizza 4 personas 12 chocolates 4 chocolates 2 personas 1 plátano 6 dulces 1/3 • El equipo de caminataOrganizados en parejas, resuelvan el siguiente problema:El equipo de caminata de la escuela practica en un circuito de 4 km. El maestro registra elrecorrido de cada uno de los integrantes en una tabla como la siguiente; analicen los datos ycompleten la tabla anotando su equivalente en kilómetros.Nombre Pedro Víctor Silvio Eric Irma Adriana Luis MaríaVueltas 1/2 1/4 4/5 2 7/8 0.75 1.25 1.3 2.6Km 23
  24. 24. II Geometría1.- Trazo de Paralelas y de PerpendicularesDesde la antigüedad, el hombre ha dado mucha importancia al trazo de paralelas yperpendiculares, ya que son la base de todas sus construcciones. En Egipto, por ejemplo, nose levantó ningún edificio sin examinar cuidadosamente cada paso de su construcción. Con estacas y cordeles Cada bloque se examinaba La plomada servía, para hacían las perpendiculares con la escuadra hacer verticales los muros Para trazar paralelas utilizamos las Para trazar perpendiculares, se puede usar escuadras, como se ve enseguida la escuadra y también el compásUna recta completa no puede medirse porque no tiene fin; su extensión es ilimitada.Supongamos que queremos terminar la recta empezada aquí: _______________________________________________________Aunque añadiésemos a ambos lados de esta hoja, otras hojas o tiras de papel de 100 metros ode 1,000 metros, nunca acabaríamos de trazar la línea, pues podríamos seguir agregando yagregando tiras y más tiras de papel y seguiríamos trazando la recta sin acabarla jamás. 24
  25. 25. Lo que sí podemos medir es una parte de una recta. Cualquier parte de una recta se conocecon el nombre de segmento. __________________ Este segmento mide 4 centímetros. __________ Este segmento mide 2 centímetros.Cuando nos dicen: “traza una recta”, debemos entender que lo único que se traza es unsegmento de ella; pero éste basta para indicar la posición de toda la recta.Las rectas se nombran con dos letras mayúsculas, cada una de las cuales nos indica un punto.Así, al decir recta AB, entendemos que es la recta que pasa por los puntos A y B. A BSi se trata de un segmento usamos las mismas letras, pero ponemos una rayita arriba AB , loque indica que se trata de la distancia que hay entre A y B.Toda recta que divide en dos partes iguales a una figura se llama bisectriz. Las líneas depuntos son las bisectrices de las figuras:Si una recta divide a un segmento en dos partes iguales es, pues, su bisectriz; pero si, además,es perpendicular a él recibe el nombre de mediatriz. Para construir la mediatriz de unsegmento, se apoya el compás alternativamente en cada uno de los extremos del segmento, setrazan arcos a ambos lados y se unen los puntos donde se cruzan los arcos, como se indica enla ilustración: 25
  26. 26. Para trazar líneas perpendiculares usa la escuadra, así:Para hacer un cuadrado usa siempre la escuadra y serán perpendiculares sus lados: mideéstos con una regla, para que tengan exactamente la misma medida.Los lados opuestos del cuadrado son paralelos, porque están siempre a la misma distancia.ParalelasLas líneas paralelas son como las rayas de tu cuaderno, los rieles del ferrocarril, los alambresde la luz, etc. 26
  27. 27. Para trazar líneas paralelas usa la escuadra apoyada sobre la regla, así:Las dos líneas que en el cuadrado forman el ángulo recto se llaman: perpendiculares.Estas líneas también son perpendiculares: 27
  28. 28. Ejercicios de reafirmación a) Dado el segmento de recta AB traza la bisectriz ED A B b) Dada el segmento AB construye un triángulo cuya perpendicular sea 3 unidades y el punto de intersección esté a 2 unidades del punto A. A B c) El triángulo construido es: _____________________________-Dado el siguiente par de rectas traza la mediatriz. 28
  29. 29. d) En cada caso determine que recta es mayor: C B A C A B A D C D BRecta:___________ Recta:___________ Recta:____________ e) Escribe el nombre de las siguientes líneas • ¿Qué ángulos forman dos rectas perpendiculares? • Traza la mediatriz del siguiente segmento f) Escribe el nombre a cada uno de estos ángulos: g) Observa el siguiente ángulo: ¿Cómo se le puede llamar a la recta que divide al ángulo en partes iguales? a).______________________________________ A B b).______________________________________ c).______________________________________ 29
  30. 30. 2. Principales Figuras PlanasLos triángulos, cuadriláteros, polígonos y círculos se llaman figuras planas porque todas suspartes están en un mismo plano, como el plano de una hoja de papel, el plano del pizarrón, elplano de una pared, etc.Las figuras planas limitadas por líneas rectas tienen el mismo número de lados que de ángulos.Se dividen en dos grandes grupos:1º Figuras regulares: las que tienen sus ángulos y sus lados iguales.2º Figuras irregulares: las que tienen ángulos y lados desiguales. Regular Regular Irregular IrregularTriángulosLa palabra triángulo significa tres ángulos; luego, los triángulos son las figuras que tienen tresángulos y tres lados.a) El triángulo regular, o sea el que tiene sus ángulos y sus lados iguales, se llama triángulo equilátero. La siguiente ilustración nos muestra cómo podemos trazar un triángulo equilátero usando el compás y la regla.b) Los triángulos irregulares son: el isósceles, que tiene sólo dos lados iguales, y elescaleno, cuyos tres lados son diferentes. Triángulo Triángulo isósceles escalenoTambién se construyen usando el compás y la regla. Las ilustraciones indican cómoTriángulos isósceles. Ejemplo: lado desigual o base, 2 cm; lados iguales, 2.4 cm cada uno. 2.4 cm 2.4 cm 2 cm 2 cm 2 cm 30
  31. 31. Triángulo escaleno. Ejemplo: un lado de 4 cm. otro de 3 cm y otro de 2 cm 3 cm 3 cm 2 cm 2 cm 4 cm 4 cmEjercicios de reafirmación a) Marca en los siguientes triángulos su altura. • Señala los triángulos que estén delineados por un ángulo obtuso. • Marca los triángulos que tienen dos ángulos iguales y dos lados perpendiculares. • Escribe a cada triángulo su nombre. • ¿Cuál es la suma de la medida de los ángulos internos de un triángulo?_________. b) Dado el triángulo ABC, identifique su punto medio P. A C B 31
  32. 32. c) En una recta de 6 cm. marca el centro, con la regla y el compás traza un triángulo equilátero. Indica la medida de sus ángulos internos.d) El maestro Enrique propuso a sus alumnos y alumnas la siguiente actividad: Construyan un triángulo equilátero de 9 cm. de lado. Posteriormente dividan cada lado en tres segmentos iguales. Unan los límites de los segmentos intermedios; Observa la figura que se construyó. ¿Qué perímetro tiene? A D E I F C H G B 32
  33. 33. 3. CuadriláterosLa palabra cuadrilátero significa cuatro lados. Los cuadriláteros se dividen en tres grandesgrupos: Cuadrado { Los 4 lados iguales y los 4 ángulos rectos. Paralelogramos Son los que tienen Rombo { Los 4 lados iguales, 2 ángulos agudos iguales y 2 obtusos iguales. sus lados opuestos paralelos Rectángulo { Lados iguales de 2 en 2 y los 4 ángulos rectos. Romboide { Lados iguales de 2 en 2, 2 ángulos agudos iguales y 2 obtusos iguales. Trapecios Sólo tienen 2 lados paralelos { Trapecios Trapezoides: Los que no tienen lados paralelos {El único cuadrilátero regular es el cuadrado. Para construir un cuadrado se necesita conocer lamedida de unos de sus lados o una de sus diagonales. Por ejemplo: 90°Lado:Diagonal: 33
  34. 34. Ejercicios de reafirmación a) Doña Tere le pidió a Don Toño el albañil, que cambiara el azulejo de las paredes de su cocina. Don Toño le contesto – yo cobro 60 pesos por metro cuadrado-. La parte sombreada representa el área del azulejo que hay que cambiar. ¿Cuánto tendrá que pagar doña Tere? R:__________ 4m 4m 3m 2m 2m 2m b) Determina el área de la parte sombreada de las figuras. 3.1 cm2.3 cm 5 cm 7M 14 cm 7M c) De la siguiente figura determina el área de las figuras inscritas: Semicírculo:_____________, cuadrado:____________ , triángulo:____________ ¿Qué área es mayor, la blanca o la negra? R:_______________ 1 cm 3.5 cm 2.5 cm 34
  35. 35. d) Julio va a colocar piso en la parte central de su patio y en los extremos pondrá pasto, el siguiente dibujo muestra como lo hará, ¿qué cantidad de piso necesita?_________________________ Si el rollo de pasto cuesta 75 pesos el metro cuadrado, ¿cuánto costará cubrir las7m áreas?________ 12m 8m e) María camina diariamente, si da cuatro vueltas y la alameda mide .15km de ancho y .57 km de largo ¿Cuántos kilómetros camina diarios?______ ¿Cuántos kilómetros camina durante quince días?________ f) La escuela “México” presentará una tabla gimnástica alusiva a la Revolución Mexicana, para lo cual elaboraron mosaicos de 45 X 45 cm, si participan 15 filas con doce alumnos y alumnas en cada una, ¿qué medida tendrá la imagen formada con los mosaicos?__________ ¿Cuál es el perímetro ocupado por la imagen?_________ g) ¿Cuántas piezas de mosaico se necesitan para cubrir el piso de una habitación que mide 6m de largo y 4 m de ancho? considera que las dimensiones del mosaico son de 45 cm por lado. _____________________________________ h) En el grupo de Luis hay 45 alumnos, cada uno de ellos construyó con cartoncillo un dm lineal de 1 cm de ancho, para luego juntarlos y formar metros cuadrados. ¿Cuántos metros cuadrados se podrán formar? 1 cm 35
  36. 36. i) Un perro está atado a una cadena de 2 m de largo unida mediante una argolla, a una barra en forma de ángulo recto cuyos lados miden 2 m y 4 m. La argolla de la cadena puede desplazarse libremente por toda la barra. Sombrea toda la región en la que el perro puede estar. ¿Cuál es el área total de la región que abarca el perro? 4M 2M 2Mj) Un agente de bienes raíces fue a ofrecer un terreno, cuya superficie era de 216 metros cuadrados. El presunto comprador le preguntó cuales eran las dimensiones (largo y ancho) y el hombre contestó; se me olvidó el dato, pero recuerdo muy bien que el perímetro total del terreno es de 60 metros. ¿Podría deducir usted con estos datos el largo y ancho del terreno? ____________ 36
  37. 37. 4. El CírculoInstrucciones: Trabajando primero con la figura adjunta y los datos que se te dan, en parejas,relacionen las dos columnas; justifiquen y coloquen el número dentro del paréntesis que lecorresponde.1. La línea que limita uncírculo se llama. ( ) Cuerda.2. Su trazo es un segmentorecto que une dos puntos dela circunferencia y delinea asu vez un eje de simetría. ( ) Circunferencia.3. Segmento recto que unedos puntos y no pasa por elcentro de la circunferencia. ( ) Tangente.4. Delinea la distancia quehay del centro del círculo a unpunto cualquiera de lacircunferencia. ( ) Diámetro.5. Superficie delineada porángulo cerrado de 3600.6. Segmento recto que sólo ( ) Círculo.toca un punto del perímetro. ( ) Radio. 37
  38. 38. Ejercicios de reafirmación El círculo en el cilindro 1.- En parejas, respondan lo que se les pide y justifiquen sus respuestas.a) ¿Cuántas caras laterales tiene? ____________ ¿Qué forma tienen y cómo son entre sí?___________________________________________________________________b) ¿Cuántas bases tiene?__________________________________________________c) La circunferencia en este cuerpo se denomina:_____________________________d) La superficie que ocupa una de sus caras laterales la podemos determinar conociendo___________________________________________e) La longitud del perímetro de una de las bases circulares es igual a:________________ .1415926 38
  39. 39. 2.- En parejas resolvamos el siguiente problema. Algunas medidas de una llanta de automóvil son las siguientes ¿Cuál es la medida del diámetro total externo de una llanta185/60R14?El primer número nos da la medida de lo ancho de la llanta en milímetros.El segundo número es la medida de la altura del costado, dada en porcentaje del ancho de lallanta.El último número es el diámetro del rin en pulgadas. Ancho Altura Diámetro del rinMedida del diámetro externo de una llanta185/60R14:_______________________¿Cuál es la medida del segmento de recta que describe un giro de la llanta185/60R14?___________________________________________________Llantas: 185/60R14, 295/50R14, 235/70R14: Si la medida del rin es constante, ¿cuál de lasmedidas de la llanta nos dará mayor rendimiento por litro de combustible?_______________________________________________________ 39
  40. 40. 3.- Para responder a las siguientes preguntas trabaja primero con la figura adjunta y los datosque se te dan.¿Qué es un círculo?_________________________________________________¿Qué es una circunferencia?__________________________________________El perímetro de un círculo es igual a la medida de________________________ Radio = 5 cm. Diámetro =___________ Área = Perímetro =4.- Si a los datos anteriores les adjuntas 12 cm de altura ¿qué forma geométrica delinearías? Radio = 5 cm Diámetro = Área = Altura = Volumen =5.- Para determinar el volumen del cono realiza el ejercicio que se te propone.Materiales: agua, cono, y cilindro (misma altura y diámetro); llena el cono de agua y vacíalo enel cilindro. ¿Cuántas veces cabe el contenido del cono en el cilindro?___ El volumen de la pirámide es la tercera parte del prisma que la determina. 6cm 6 cmRadio = 5 cm, Altura = 12 cm 6 cmÁrea del círculo _________Volumen del cono ___________ 40
  41. 41. 5. El círculo y los polígonos inscritos El trazo de la circunferencia es muy útil para la construcción de polígonos inscritos en ellas. Así, para hacer un cuadrado se traza primero la circunferencia, y luego dos diámetros perpendiculares. Los extremos de los diámetros se unen y se forma el cuadrado. Para trazar un octágono basta trazar las bisectrices de los ángulos que forman dos diámetros perpendiculares y unir, sucesivamente, los puntos señalados en la circunferencia.Si con la medida del radio, trazamos tresarcos y los unimos ordenadamente,delineamos un triángulo equiláteroinscrito. Si con el radio de una circunferencia se trazan cuerdas, una a continuación de otra, se forma un hexágono inscrito. 41
  42. 42. 6. El círculo y sus ángulosLos ángulos se miden en grados (º), y se da el valor de 360º al ángulo de una vuelta.Cada grado tiene 60 minutos (‘), y cadaminuto, 60 segundos (“). 1º = 60’ 1’ = 60” 1º = 60’ = 3,600” Ángulo de = 360°El transportador lo debes colocar así: El punto que marca la mitad en la base del transportadortiene que colocarse en el vértice del ángulo (origen del radio). La línea base del ángulo(diámetro) debe señalar el 0 del transportador.Los ángulos se clasifican de acuerdo con su valor:1. Recto es el que mide un cuarto de vuelta (90º).2. Colineal, el que mide media vuelta (180º llano).3. Perígono, el que mide una vuelta entera (360º). 42
  43. 43. Ejercicios de retroalimentación1.- Con un poco de imaginación el presente gráfico representa el dispositivo mecánico de labicicleta, obsérvalo y responde las interrogantes que de él se desprenden. C A BSi el círculo B es tres veces menor que C y dos veces mayor que A;¿Cuántos giros da C cuando B da tres revoluciones?a) 1/3 de giro. b) 3 giros. c) 2 giros. d) 6 giros.2.- El avance de este dispositivo está determinado por:a) El perímetro de B. b) El perímetro de A. c) El perímetro de C. d) La relación entre A y B3.- Semánticamente al siguiente gráfico no se le puede llamar: a) ángulo llano b) perígono c) circunferencia d) círculo 43
  44. 44. 4.- En el terreno de mi abuelito Lorenzo, que está en Monclova, Coahuila, queremos hacer unapista para patinar. El arquitecto hace el siguiente diseño. La región del centro es pasto y elresto será cemento pulido.¿Cuál es el área del pasto? __________________¿Cuál es el área del cemento? _______________¿Cuál es el área total? _____________________ 7m 3.5 m5.- En el grupo de Carlos construirán un túnel de 1.8 m de altura y 2 m de fondo, ¿qué cantidadde varilla necesitan para una estructura de tres arcos y la base?______________Si el túnel lo van a cubrir con tela, ¿qué cantidad necesitan comprar?_____________________ 44
  45. 45. 7. PolígonosLa palabra polígono significa muchos ángulos, y con ella se pueden nombrar todas las figurasplanas limitadas por líneas rectas; así, un polígono de tres ángulos es un triángulo; uno decuatro ángulos es un cuadrilátero; los de cinco ángulos se llaman pentágonos; los de seisángulos hexágonos; los de ocho ángulos octágonos. Los hay de 15, 20, 100 ángulos, y asíhasta llegar al que tiene un número tan grande de lados que no se pueden contar y que sedenomina círculo. Pentágono Hexágono Octágono CírculoCírculoRecordemos que todo objeto que tiene la forma de una rueda, de una moneda, etc., escircular, ya que su superficie principal tiene la figura de un círculo.Cuando un polígono tiene sus vértices en unacircunferencia, ese polígono está inscrito en lacircunferencia (“inscrito” quiere decir trazado dentro); en esecaso la circunferencia está circunscrita al polígono(“circunscrito” significa trazado alrededor). Para trazar un octágono basta trazar las bisectrices de los ángulos que forman dos diámetros perpendiculares y unir, sucesivamente, los puntos señalados en la circunferencia. Como lo vimos en el tema anterior, si con el radio de una circunferencia se trazan cuerdas, una a continuación de otra, se forma un hexágono inscrito. 45
  46. 46. Trazando los radios que van a los vértices de cualquier polígono regular inscrito, el polígonoqueda dividido en triángulos iguales. Pentágono Hexágono OctágonoCada ángulo cuyo vértice está en el centro mide la quinta, la sexta o la octava parte de 360º,según los lados sean 5, 6 u 8; así, en el pentágono, cada ángulo mide 72º, en el hexágono 60ºy en el octágono 45º.Esta propiedad nos sirve para trazar un polígono regular de cualquier número de lados. Porejemplo, para construir un pentágono se traza una circunferencia y uno de sus radios; sobreeste radio, y con vértice en el centro, se traza un ángulo de 72º; se toma la medida de la cuerday se repite ordenadamente esta medida en toda la circunferencia; se unen los puntos y seobtiene el pentágono. La ilustración indica los pasos mencionados:Ejercicios de Retroalimentación1.- En los siguientes polígonos traza sus ejes de simetría y responde a las siguientespreguntas.a).- ¿Qué relación encuentras entre el número de ejes de simetría y el número de lados de lasfiguras regulares? __________________________________________b).- Las alturas del triángulo equilátero son ejes de simetría?_________________c).- ¿Las diagonales del cuadrado son ejes de simetría? ____________________e).- ¿Las diagonales de cualquier polígono regular son ejes de simetría? _______f).- Un polígono tiene 8 ejes de simetría. ¿Escribe tres características delpolígono?_________________________________________________________________________h).- ¿Qué clase de triángulo tiene más ejes de simetría? ___________________ 46
  47. 47. 2.- Observa las figuras del recuadro y contesta las preguntas:a) ¿Cuál de las figuras no tiene diagonales ni ejes simétricos?___________.b) ¿Qué figura tiene solamente un par de lados paralelos?_________________________.c) ¿Qué figura no es un polígono?________________________.d) ¿Qué figura al trazar sus diagonales coincide con los ejes simétricos?______________.e) ¿En cuáles figuras al trazar sus ejes simétricos se forman triángulos equiláteros?_________________.f) ¿En qué figura sus diagonales forman líneas perpendiculares?___________________. 47
  48. 48. 8. Cuerpos geométricosLa siguiente guía de trabajo te permitirá reforzar y ejercitar estos contenidos. Lee atentamentelas instrucciones y no olvides revisar cada actividad una vez terminada.1. Completa la tabla siguiente. Cuerpo Número de Número de Número de caras vértices aristas • ¿Cuántas aristas tiene un prisma de base triangular? • ¿Y una pirámide de base triangular? • ¿Qué diferencia hay entre un prisma y una pirámide? _________________________________________________________________________ 48
  49. 49. 2. Describe cada uno de los elementos que se señalan.3.- La siguiente guía te permitirá ampliar los contenidos trabajados. Por medio de la resoluciónde problemas. Lee atentamente las instrucciones e identifica los cuerpos que se te describen. • Tacha los cuerpos que son pirámides. • Tacha los cuerpos que son cubos. • Tacha el o los cuerpos que tienen 6 vértices. • Tacha los cuerpos que no tienen 12 aristas. 49
  50. 50. 4.- La familia Hernández se mudará a otra ciudad por lo que necesitan empacar sus muebles¿Cuántos metros de cartón necesitarán para cubrir el refrigerador si mide 1.8 m de altura .8mde fondo y .9m de ancho?5- Elena tiene 48 cubos de colores y va a construir tres prismas diferentes. ¿Qué dimensionesdeberán tener los prismas si ocupa los 48 cubos en cada construcción? Dibújalos.6.- Un ladrillo mide 20 X 10 X 5 cm. ¿Cuántos ladrillos se necesitarán para formar un metrocúbico? _______________________________________________7.- Luis trabaja en una fábrica de perfumes, donde se encarga de acomodar paquetes de 1decímetro cúbico en grandes cajas de 1 metro cúbico. ¿Cuántos paquetes caben en una caja? 1m 1m 1m 50
  51. 51. Ejercicios de Retroalimentación • Si el volumen de un cubo es 512 cm3, encuentra su área total y la dimensión de su arista. • Calcula el volumen de un cilindro de altura 10 cm. y de radio basal 2 cm. • Calcula el área total y el volumen de un paralelepípedo de aristas 2 cm, 5 cm y 8 cm • Determina el área total y el volumen de un cubo: a) de arista 2 cm. b) en que el área de una de sus caras es 36 cm2. c) en que el perímetro de una cara es 36 cm. • Calcula el volumen de: a) un cilindro de altura 9 m. y de diámetro basal 2 m. b) Un cono de altura 8 cm. y perímetro basal 12 cm. • ¿Cuál es la medida de la arista de un cubo cuya área total es de 64 cm2? • Encuentra las dimensiones de la base de un paralelepípedo rectangular de 720 cm3 y 15 cm. de altura, si el largo de la base es el triple del ancho. • El radio basal de un cilindro es 35cm. y su altura es el doble del diámetro de la base. Calcula el volumen total del cilindro y el volumen del cono de las mismas medidas. 51
  52. 52. 9. ÁngulosObservemos esta figura: Del punto 0 parten dos rayos: el señalado con a y el señalado con b. Si el rayo a gira alrededor del punto 0 hasta llegar al b, se ha descrito el ángulo m; entonces podemos decir que un ángulo es la abertura entre dos rayos que parten de un mismo punto. En otras palabras: es la amplitud de la rotación de una recta que gira en torno de un punto fijo.El punto del que parten los rayos se llama vértice del ángulo, y los rayos, lados del ángulo.Los ángulos se miden en grados (º), y se da el valor de 360º al ángulo de una vuelta.Cada grado tiene 60 minutos (‘), y cada minuto, 60segundos (“). 1º = 60’ 1’ = 60” 1º = 60’ = 3,600”El valor de un ángulo no depende del tamaño de los lados, sino de la abertura de ellos, o sea,de la amplitud de la rotación. Todos estos ángulos son igualesComo el ángulo de una vuelta mide 360º, el ángulo de media vuelta medirá 180º, y el de uncuarto de vuelta, 90º. Lados perpendiculares 52
  53. 53. Los ángulos se clasifican de acuerdo con su valor:1. Recto es el que mide un cuarto de vuelta (90º).2. Colineal, el que mide media vuelta (180º).3. Perígono, el que mide una vuelta entera (360º).Para trazar estos ángulos no necesitan del transportador, los rectos (se trazan dosperpendiculares), los colineales y perígonos (basta una línea).4. Agudos son los ángulos que miden menos de un cuarto de vuelta, es decir, que están comprendidos entre 0º y 90º (como el ángulo a).5. Obtusos, los que miden más de un cuarto de vuelta, pero menos de una media vuelta, o sea, entre 90º y 180º (como el ángulo b).6. Entrantes, los que miden más de media vuelta y menos de una vuelta, o sea, entre 180º y 360º (como el ángulo c).Para medir y para trazar ángulos de determinada medida usamos el transportador. 53
  54. 54. El transportador lo debes colocar así:El punto que marca la mitad en la base del transportador tiene que colocarse en el vértice delángulo. La línea base del ángulo debe señalar el 0 del transportador. La perpendicular señalael número 90. Esto quiere decir que el ángulo mide 90 grados. Para escribir grados pones unpequeño cero a la derecha y arriba de la cantidad, ejemplo: 90º. Los ángulos rectos miden siempre 90ºEn el siguiente ángulo el transportador marca 45º, es un ángulo agudo. Ángulos agudos son lo que miden menos de 90ºLa línea señala 120º. Así formas un ángulo obtuso, porque mide más de 90º. Ángulos obtusos son los que miden más de 90º y menos de 180º 54
  55. 55. Existen otros que pueden construirse utilizando el juego de escuadras.Con una escuadra podemos trazar ángulosde 45º y 90º, y con la otra, ángulos de 30º,60º y también de 90º.Con las dos escuadras juntas podemostrazar otros muchos ángulos. A la derechavemos cómo trazar uno de 75º.Para trazar la bisectriz de un ángulo, como dijimos anteriormente, la semirrecta que lo divideen dos partes iguales, podemos medir el ángulo con el transportador y dividirlo entre dos; sinembargo, resulta más fácil usar el compás y la escuadra o la regla. 1.- En la siguiente figura el valor del ángulo C es: 21° a) 45° b) 43° c) 22° C 45º 22º 55
  56. 56. 2.- Luis invitó a sus amigos a jugar al tiro al blanco, él tiene una ruleta como la siguiente. A J R J O F D a) ¿Qué ángulo se forma con las líneas J, centro, R?___________________. b) ¿Con qué líneas se forma un ángulo llano?_________________________. c) ¿Cuánto mide el ángulo que se forma con las líneas D, centro J?_________________ d) ¿Qué nombre recibe el ángulo que se forma con las líneas F, centro, D?____________ e) ¿Con qué líneas se forma un ángulo obtuso?________________________.3.- Martín tiene un terreno de forma triangular y quiere comprar otro que lo colinda, que medidacorresponde a los siguientes ángulos. 60° medida del < h ___ medida del < x ___ terreno a comprar x h 56
  57. 57. Ejercicios de Retroalimentación • Encuentra la medida del tercer ángulo interior de un triángulo, si la medida de los otros dos son: a) 67° y 47° b) 22° y 135° • En un triángulo isósceles, el ángulo exterior del vértice mide 70º. ¿Cuánto miden los ángulos interiores de la base? • El ángulo A de un triángulo ABC cualquiera mide 52º; si el ángulo B es tres veces mayor que el ángulo C. ¿Cuánto mide el ángulo C? • En un triángulo rectángulo los ángulos agudos están en la razón de 5:4. ¿Cuánto miden estos ángulos? • Los ángulos interiores de un triángulo están en la razón 3:4:5. ¿Cuánto miden estos ángulos? • En un triángulo ABC cualquiera, el ángulo A tiene 15º más que el ángulo B y éste 12º más que el ángulo C. Determina el valor de los ángulos exteriores de este triángulo. • En un triángulo isósceles, la suma de uno de los ángulos exteriores de la base con el ángulo exterior del vértice es 243ª. Calcula la medida del ángulo interior del vértice. • En un triángulo un ángulo mide 47º y el segundo tiene 17º más que el tercero. Calcula la medida de los ángulos interiores del triángulo. • En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos agudos tiene 20º más que el otro. ¿Cuánto miden los ángulos agudos? 57
  58. 58. Como determinar el valor de los ángulos internos de un polígono regular Suma de los Figura Lados Forma Cada ángulo ángulos interiores Triángulo 3 180° 60° Cuadrilátero 4 360° 90° Pentágono 5 540° 108° Hexágono 6 720° 120° Cualquier n (n-2) × 180° (n-2) × 180° / n polígonoEjemplo: ¿Qué pasa con un decágono (10 lados)? Suma de los ángulos interiores = (n-2) × 180° = (10-2)×180° = 8×180° = 1440° Y, si es regular, cada ángulo interior = 1440°/10 = 144° 58
  59. 59. III. Manejo de la InformaciónMedidas de tendencia central en un conjuntos de datosUna medida de posición es un valor calculado de un grupo de datos que sirve para describir aéstos de alguna manera. Lo interesante es que este valor sea representativo de todos losvalores del grupo, motivo por el cual se trabaja con el promedio. En sentido estadístico, unpromedio es una medida de la tendencia central de una serie de valores.RangoEl rango, o R, es la diferencia entre el dato más alto y el dato más bajo de una serie de datos,Sí, My o Dm (valor mayor), Mn o dm (valor menor), entonces R = My – Mn o Dm – dmEjemplo 1.Dados los siguientes datos determinar el rango: 8, 11, 5, 14, 8, 11, 16, 11. R = Dm – dmR = 16 – 5 = 11.0 el rango al igual que otra medidas de variabilidad se reporta con un decimaladicional. 11.0 es el diferencial de nuestros datos.Media AritméticaLa media aritmética, o promedio aritmético, es la suma de los valores del grupo de datosdividida entre el número de valores.En estadística, una medida descriptiva de una población, o parámetro de la población, serepresenta por lo general con alguna de las letras del alfabeto griego, mientras que una medidadescriptiva de una muestra, o estadística muestral, se representa con alguna de las letras delalfabeto latino. Así, la medía aritmética de una población de valores se representa con elsímbolo µ (mu), en tanto que la media aritmética de una muestra de valores se representa conel símbolo X (equis barra). Las fórmulas de la media poblacional y la media muestral son:Operacionalmente, ambas fórmulas son idénticas: en ambos casos se suman todos los valoresy se les divide después entre el número de valores. Sin embargo, la distinción entre losdenominadores es que en el análisis estadístico la N mayúscula indica habitualmente elnúmero de elementos de la población, mientras que la a minúscula indica el número deelementos de la muestra. 59
  60. 60. Ejemplo 2. Durante uno de los meses del verano, los ocho vendedores de una empresa de servicios decalefacción y aire acondicionado vendieron el siguiente número de unidades centrales de aireacondicionado: 8, II, 5, 14, 8, 11, 16, 11.Considerando ese mes como la población estadística de interés, el número medio de unidadesvendidas es:Nota: Para efectos de reporte, las medidas de posición contienen por lo general un dígitoadicional al nivel original de medición.MedianaLa mediana de un grupo de elementos es el valor del elemento intermedio cuando todos loselementos del grupo siguen, en términos de valor, un orden ascendente o descendente. En ungrupo con un número par de elementos, se supone que la mediana se halla a medio caminoentre los dos valores adyacentes al punto intermedio. Cuando el grupo contiene un grannúmero de valores, se emplea la siguiente fórmula para determinar la posición de la medianaen el grupo ordenado:Ejemplo 3.Los ocho vendedores mencionados en el ejemplo 1 vendieron el siguiente número de unidadescentrales de aire acondicionado, en orden ascendente: 5, 8, 8, 11, 11, 11, 14, 16. El valor de lamediana esEl valor de la mediana se halla entre el cuarto y quinto valores del grupo ordenado. Dado queen este caso ambos valores son de “1 1”, la mediana es igual a 11.0.ModaLa moda es el valor que ocurre más frecuentemente en un conjunto de valores. A estadistribución se le conoce como unimodal. Un conjunto pequeño de datos en el que no serepiten valores medidos carece de moda. Cuando dos valores no adyacentes son casi iguales 60
  61. 61. en cuanto a frecuencias máximas asociadas con ellos, la distribución se llama bimodal. Lasdistribuciones de medidas con varias modas se llaman multimodales.Ejemplo 4.Los ocho vendedores mencionados en el ejemplo 1 vendieron el siguiente número deunidades centrales de aire acondicionado: 8, 11,5, 14,8, 11, 16 y 11. La moda de este grupode valores es el valor con mayor frecuencia, o moda = 11.0.Relación entre media y medianaEn toda distribución simétrica, media, mediana y moda coinciden en valor* [véase figura 3-la)].En una distribución asimétrica positiva, la media siempre es mayor que la mediana [véasefigura 3-lb)]. En una distribución asimétrica negativa, la media siempre es menor que lamediana [véase figura 3-lc)]. Estas dos últimas relaciones son siempre verdaderas,independientemente de que la distribución sea unimodal o no. Una medida de asimetría enestadística, basada en la diferencia entre los valores de la media y la mediana de un grupo devalores, es el coeficiente de asimetría de Pearson, que se describe en la sección 4.12. Losconceptos de simetría y asimetría se explican en la sección 2.4.Ejemplo 5.En los datos de ventas considerados en los ejemplos 1, 3 y 4, la media es 10.5, mientras que lamediana es 11.0. Puesto que la media es menor que la mediana, la distribución de valoresobservados tiende a ser asimétrica negativa; es decir, sesgada a la izquierda. 61
  62. 62. Ejercicios de retroalimentación1.- En el grupo de Rubén se les pidió que registraran en una tabla el nombre y el peso de losalumnos para facilitar la información sugirieron realizarlo en equipos, como se muestra enseguida: EQUIPO 1 EQUIPO 2 EQUIPO 3ALUMNO PESO ALUMNO PESO kg. ALUMNO PESO kg. kg. Carmen 43. 2 Rubén 34. 2Jaime 34. 5 Martín 35. 5 Sergio 33. 5Andrea 32. 8 Ilda 29. 6 Nora 35Rosita 30. 5 Roberto 33. 4 Martha 34. 2Pablo 29. 7 Lupita 36. 7 Daniela 29. 8Néstor 33 Pablo 35. 2 Ricardo 38. 3Luis 32. 2 Sonia 43 Tomás 42. 3Paola 30. 5 José 38. 5 Laura 41Mary 34. 5Contesta las preguntas, considerando la información de las tablas:a) ¿Cuál es el peso promedio del equipo 1?_______________.b) Cuál es la mediana del equipo 2? _____________________.c) ¿Cuál es la moda del equipo 3? _______________________.d) ¿Cuál es la media de los tres grupos? _______________________.e) ¿Qué diferencia hay entre el promedio del equipo 1 y el del grupo?__________. 62
  63. 63. 2.- Carmen revisó en el periódico las ofertas de fin de semana, ella comparó el precio del quesoen diferentes establecimientos y concentró la información en la siguiente tabla: ESTABLECIMIENTO PRECIO La tiendita $ 21 por ¼ kg. Mi Súper $ 15 por 200 g. De todo un poco $ 9.50 por 100 g. La esquina $ 10 por 125 g.Considera la información anterior y contesta: a) ¿Cuál es el precio del kilogramo de queso en el Súper? _____________. b) ¿Cuánto cuesta el medio kilo de queso en la tienda de la esquina? ____ . c) ¿Cuál es el costo del kilogramo de queso en La Tiendita? ________ d) En dónde le conviene comprar el queso a la Sra. Carmen?_____________3.- Calcula la media, la mediana y la moda de los siguientes grupos de datos:a).- 5, 9, 12, 21, 5, 7, 13, 8, 5, 7, 5.b).- 2, 10, 3, 6, 9, 4, 7, 8, 5, 6, 8, 8, 8, 3, 7, 7, 6, 9, 9, 2, 6, 6, 7, 3, 5, 2, 7, 7, 9, 7, 6, 7. 4, 8, 8c).- 0.2, 0.4, 0.5, 0.1, 0.2, 0.6, 0.5, 0.4, 0.5, 0.2, 0.2, 0.1 63
  64. 64. 4.- El departamento de mercadotecnia de una fábrica de tenis realizó una encuesta relativa alas tallas de los alumnos de una escuela secundaria. TALLA FRECUENCIA 4 38 4.5 40 5 41 5.5 45 6 35 6.5 32a).- ¿Cuáles son la media, la mediana y la moda de los datos anteriores? Media ____________ Mediana _____________ Moda ___________b).- Si se decide la fabricación de sólo cinco tallas de cierto modelo de tenis. ¿Cuáles resultamás conveniente producir? _____________________________________________c).- ¿Cuál es la talla que se acerca más al promedio? _______________________________d).- ¿Es conveniente fabricar el mismo número de tenis de cada talla? ________________e).- Si se optara por fabricar solo una talla ¿Qué valor resultaría más útil la decisión: lamediana, la media o la moda? _________________________________________________f).- Cuántos datos de la encuesta son mayores que la media? _______________5.- Observa las estaturas, en metros, de los integrantes de dos equipos de basquetbol;Equipo A: 1.69, 1.68, 1.72, 1.77, 1.72, 1.76, 1.75.Equipo B: 1.50, 1.61, 1.91, 1.88, 1.61, 1.76, 1.87.a).- Calcula la media, la mediana y la moda de cada grupo.b).- Indica a cual grupo pertenecen los tres jugadores más altos.c).- Indica que equipo tiene la media y moda mayores. 64
  65. 65. 6.- Con el siguiente gráfico, responde las 3 preguntas siguientes¿Cuál es la diferencia de espectadores entre la película más vista y la menos vista?¿Cuál es el promedio (aproximado) de espectadores que vieron las cinco películas?Si el valor promedio pagado por los espectadores es de $2.000, ¿cuánto dinero se recaudó enlas cinco películas más vistas durante el 2006? 65
  66. 66. 7- Consultando el archivo de cierto hospital, vemos que los pesos (expresados en Kg.) de losniños nacidos durante un mes fueron los siguientes:3.010, 2.700, 2.420, 2.510, 2.940, 3.210, 3.2203.310 3.920, 3.520, 3.770, 3.440, 3.030, 2.8603.020, 3.000, 2.730, 2.260, 2.380, 3.100, 3.1503.710, 3.120, 3.110, 2.680, 3.160, 3.120, 2.9603.340, 3.410, 3.580, 2.680, 2.910, 2.350, 2.6502.710, 2.930, 2.910, 3.120, 3.125, 3.980, 3.4703.450, 3.610, 4.050, 3.520, 2.120, 2.940, 2.2902.710, 3.100, 3.030, 3.620, 3.530, 3.530, 2.2103.680, 2.840, 2.840, 2.850, 2.720, 3.150, 3.4702.680, 2.730, 2.380, 2.430, 2.375, 3.280, 3.3303.340, 3.110, 2.680, 2.860, 3.110, 2.860, 2.4502.390, 2.590, 3.470.a).- Clasifique estos pesos en intervalos de 300 kg. Entre 2.000 kg. Y 2.300 kg. Entre 2.300 kg. Y 2.600 kg. Entre 2.600 kg. Y 2.900 kg. Entre 2.900 kg. Y 3.200 kg. Entre 3.200 kg. Y 3.500 kg. Entre 3.500 kg. Y 3.800 kg. Entre 3.800 kg. Y 4.100 kg.b).- Represente en algún tipo de gráfica la información anterior:Gráfica de barras, histograma, gráfica circular, pictograma, etc. 66
  67. 67. 8.- Con los siguientes datos, responde desde las siguientes 5 preguntas.Los datos que se muestran corresponden a la calificación obtenida por los estudiantes del 6ºgrado sección C en una prueba de Estudio y Compresión de la Naturaleza:¿Porcentualmente cuántos estudiantes aprobaron el examen si la calificación aprobatoria es de6 puntos?Si el profesor da la oportunidad de presentar a todos aquellos que obtuvieron una calificaciónmenor a 6 y mayor a 4,5.¿Cuántos estudiantes deben presentar?¿Cuál es la media aritmética del conjunto de datos?¿Cuál es la moda del conjunto de datos?¿Cuál es la mediana del conjunto de datos? 67
  68. 68. IV. Unidades del Sistema Métrico Decima1. Equivalencia entre las distintas unidades de longitudLa principal unidad de longitud es el metro.Cada unidad de longitud es 10 veces mayor que la unidad inmediata inferior y 10 veces menorque la unidad inmediata superior.Unidad por 10 miriámetro kilómetro hectómetro decámetro metro decímetro centímetro milímetro mam Km hm dam m dm cm mm Unidad entre 10Para determinar la equivalencia coloca la cantidad dada en el cuadro de unidades.Unidad por 10 miriámetro kilómetro hectómetro decámetro metro mam Km hm dam m 2 3 4Ejemplo 1: 234 metros 2.34 hm 23.4 dam miriámetro kilómetro hectómetro decámetro metro mam Km hm dam m 1 2 3 4 Unidad entre 10Ejemplo 2: 1234 metros 1.234 km 12.34 hm 123.4 dam 68
  69. 69. Realiza las siguientes conversiones metros hectómetros decámetros32 km = 30 dm = 3,21 mam=390 dam = 29 mm = 42,3 m =362 hm = 125 m = 2,49 hm =2,3 mam = 428 cm = 3,21 dm=4,5 km = 4,9 m = 3,03 cm =2,14 dam = 36,31 cm= 12,4 mm =3,12 hm = 121,5 mm = 28,3 dm =4,96 dam = 314,2 dm = 1,143 mam =8,75 km = 1,418 dam = 2,145 km =Ejercicios1.- Andrea tiene una cinta azul y una cinta blanca. La cinta azul mide 1 m, 2 dm y 5 cm, la cintablanca mide 6 dm, 8 cm. a) Calcula la longitud en centímetros de cada cinta. b) La cinta azul, la ha cortado en 5 trozos iguales. ¿Cuál es la longitud en milímetros de cada trozo? c) Andrea necesita 1 metro de cinta blanca. ¿Cuántos centímetros más de cinta blanca tiene que comprar? 69
  70. 70. 2.- Un coche A lleva una velocidad constante de 90 km por hora y otro coche B lleva unavelocidad constante de 120 km por hora. Calcula.a) Los kilómetros que recorre cada coche en 1 minuto.b) Los metros que recorre cada coche en 1 minuto.c) Los metros que recorre cada coche en 1 segundo.3.- Las siguientes figuras representan el plano de un campo de fútbol, una piscina. Cada unode estos planos está hecho a escala 1: 2.000, es decir, 1 cm sobre el plano representa 2.000cm sobre el terreno real.Utiliza una regla y calcula las dimensiones reales en metros del campo de fútbol y la piscina.CAMPO DE FÚTBOL PISCINALargo = Largo =Ancho = Ancho = 70

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