4. y
x y 7 x y 3
คู่อันดับ (5,2)
x

5. 3.1 ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

6. ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร หมายถึง สมการเชิงเส้นสอง
ตัวแปร สองสมการมาเกี่ยวข้องกัน ซึงเมื่อเขียนกราฟจะได้กราฟ
่
เส้นตรงสองเส้น ลักษณะต่างๆ
ตัวอย่าง จงเขียนกราฟที่กาหนดโดยสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
ต่อไปนี้และหาจุดตัดของกราฟทั้งสองเส้น

7. y
2x  y  2
3x  y  3
กราฟตัดกันที่
จุด (1,0 ) ซึ่ง
เป็นคาตอบของ
ระบบสมการ
คู่อันดับ (1,0)
เมื่อแทนค่า
x x = 1 และ
y = 0 จะทา
ให้สมการทั้ง
สองเป็นจริง

8. 2) x – 2y = 1 และ 2x - 4y = 2
y
x – 2y = 1 กราฟสองเส้น
ซ้อนทับกัน
หมายความว่า
ทุกจุดที่กราฟผ่าน
เป็นคาตอบ
x ของระบบ
2x - 4y = 2
สมการ
( คาตอบของระบบสมการ คือทุกจุดที่กราฟผ่าน จึงมีมากกว่าหนึ่งคาตอบ )

9. 3) 3x – 2y = -6 และ 2y - 3x = -3
3x – 2y = -6
y
2y – 3x = -3
กราฟสองเส้น
ขนานกัน
หมายความว่า
ไม่มีจุดใด
เป็นคาตอบ
x ของระบบ
สมการ
( กราฟสองเส้นขนานกัน ดังนันระบบสมการไม่มีคาตอบ )
้

10. ทา ... แบบฝึกหัด 3.1 หน้า 124 - 127
1. จงเขียนกราฟ แล้วหาว่าระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรต่อไปนี้
มีคาตอบเดียว หรือไม่มีคาตอบ
1) x + 2y = 4 และ 2x + 3y = 7
2) y + x = -2 และ 2y + 2x = -4
3) x – 3y = 6 และ 2x - 6y = 8
4) 2x + y = -3 และ 4x + 2y = -6
5) 2y – x = 6 และ 2y = x - 4
6) 2x – 3y -14 = 0 และ 3x + 2y = 8

11. 1) x + 2y = 4 และ 2x + 3y = 7
y กราฟตัดกันที่
จุด (2,1) เป็น
2x + 3y = 7
คาตอบของ
ระบบสมการ
เมื่อแทนค่า
x + 2y = 4
คู่อันดับ (2,1)
x = 2 และ
y = 1 จะทา
x ให้สมการทั้ง
สองเป็นจริง

12. 2) y + x = -2 และ 2y + 2x = -4
y
กราฟสองเส้น
y + x = -2 ซ้อนทับกัน
หมายความว่า
ทุกจุดที่กราฟผ่าน
เป็นคาตอบ
2y + 2x = -4 ของระบบ
สมการ
x
( คาตอบของระบบสมการ คือทุกจุดที่กราฟผ่าน จึงมีมากกว่าหนึ่งคาตอบ )

13. 3) x – 3y = 6 และ 2x - 6y = 8
y
กราฟสองเส้น
ขนานกัน
หมายความว่า
ไม่มีจุดใด
2x - 6y = 8 เป็นคาตอบ
ของระบบ
สมการ
x
x – 3y = 6
( กราฟสองเส้นขนานกัน ดังนันระบบสมการไม่มีคาตอบ )
้

14. 4) 2x + y = -3 และ 4x + 2y = -6
4x + 2y = -6 y
กราฟสองเส้น
ซ้อนทับกัน
หมายความว่า
ทุกจุดที่กราฟผ่าน
2x + y = -3 เป็นคาตอบ
ของระบบ
สมการ
x
( คาตอบของระบบสมการ คือทุกจุดที่กราฟผ่าน จึงมีมากกว่าหนึ่งคาตอบ )

15. 5) 2y – x = 6 และ 2y = x - 4
y
กราฟสองเส้น
2y - x = 6
ขนานกัน
หมายความว่า
ไม่มีจุดใด
เป็นคาตอบ
ของระบบ
สมการ
x
2y = x - 4
( กราฟสองเส้นขนานกัน ดังนันระบบสมการไม่มีคาตอบ )
้

16. 6) 2x – 3y -14 = 0 และ 3x + 2y = 8
กราฟตัดกัน
y
ที่ จุด (4,-2)
3x + 2y = 8
เป็นคาตอบของ
ของระบบสมการ
เมื่อแทนค่า
2x – 3y - 14 = 0 x = 4 และ
y = -2 จะทา
ให้สมการทั้ง
x สองเป็นจริง
คู่อันดับ (4,-2)

17. การแก้ระบบสมการโดยการคานวณ
ba
วิธีการแก้ระบบสมการโดยการคานวณ
ทาได้โดยพยายามกาจัดตัวแปร ออก 1 ตัว

18. ตัวอย่าง จงแก้ระบบสมการต่อไปนี้ และเขียนกราฟของระบบสมการ
1) x+ y = 8
x - y = 2
วิธีทา x+ y = 8 ----------- ( 1 )
x - y = 2 ----------- ( 2 )
( 1 ) + ( 2 ), 2x = 10
นา 2 มาหารทั้งสองข้าง
x = 5
แทนค่า x = 5 ในสมการที่ ( 1 )
5+ y = 8
นา 5 มาลบทั้งสองข้าง
y = 8-5
y = 3
ดังนั้นคาตอบของระบบสมการ คือ (5,3)

19. เขียนกราฟของระบบสมการ
x 0 2 4
x+ y = 8
y 8 6 4
x 4 6 8
x - y = 2
y 2 4 6
x+ y = 8 y
x - y = 2
จุดตัดของกราฟคือจุด (5,3)
ดังนั้นคาตอบของระบบสมการ
x คือ (5,3) หรือ x = 5 , y = 3

20. ข้อ 2 หน้า 135) จงแก้ระบบสมการต่อไปนี้ และเขียนกราฟของระบบสมการ (ข้อ 3)
3
x  y 5 ---------- ( 1 )
2
12 y  8x  12 ---------- ( 2 )
(1)x8, 8 x  12 y  40 ---------- ( 3 )
( 2 ) + ( 3 ), นา 12 y มาลบ
12 y  12 y  52
ออกทั้งสองข้าง
0  52 เป็นสมการที่ไม่เป็นจริง
ดังนั้น ระบบสมการชุดนี้ไม่มีคาตอบ

21. เขียนกราฟของระบบสมการ
3 x -5 -2 1
x  y 5 y
2 0 2 4
x 0 3 6
12 y  8x  12
y -1 1 3
3
y x y 5
2
12 y  8x  12 ดังนั้นระบบสมการนี้
x ไม่มีคาตอบ เพราะ
กราฟ ไม่ตัดกัน

22. ทำแบบฝึกหัด 3.2 หน้ำ 135

23. 1 ) จงแก้ระบบสมการต่อไปนี้ และเขียนกราฟของระบบสมการ
ข้อ1) x  7y  8
3x  2 y  5
วิธีทา x  7y  8 ..................... (1)
3x  2 y  5 ..................... (2)
(1) x 3 , 3x  21y  24 ..................... (3)
(2) - (3) , 2 y  21y  5  24
นา -19 มาหารทั้งสองข้าง
 19 y  19
y 1
นา 7 มาลบ
แทนค่า y ลงในสมการที่ ( 1 ) , x  7(1)  8 ทั้งสองข้าง
x  87
x 1
ดังนั้นคาตอบของระบบสมการ คือ ( 1 , 1 )

24. เขียนกราฟของระบบสมการ x  7y  8
x 1 -6 8 7 y  x  8
x  7y  8  x 8
y 1 2 0 y
3x  2 y  5 x 1 -1 3 7
y 1 4 -2 1  8 7
x  1; y   1
7 7
3x  2 y  5
2 y  3 x  5  (6)1  8 6  8 14
x  6; y    2
7 7 7
 3x  5
y
2 88 0
x  8; y   0
 3(1)  5  3  5 2 7 7
x  1; y    1
2 2 2
 3(1)  5 3  5 8
x  1; y    4
2 2 2
 3(3)  5  9  5  4
x  3; y     2
2 2 2

25. ดังนั้นคาตอบของระบบสมการ
คือ (1,1) หรือ x = 1 , y = 1
y
3x  2 y  5
จุดตัดของกราฟคือจุด (1,1)
x  7 yx 8


26. ข้อ2 หน้า 135 ) จงแก้ระบบสมการต่อไปนี้
3)  2 x  2( y  2) ..................... (1)
2x  2 y  4 ..................... (2)
จากสมการที่ (1),  2x  2 y  4 สมบัติการแจงแจง
 2 x  2 y  4 นา 2y มาลบทั้งสองข้าง
นา -1 มาคูณทั้ง 2x  2 y  4 ..................... (3)
สองข้าง
พบว่าสมการที่ (2) และสมการที่ (3) เหมือนกัน
ดังนั้นคาตอบของระบบสมการ คือทุกๆจุดที่กราฟเส้นตรงผ่าน
จะหาจุดที่กราฟผ่านได้จากสมการที่ (1) หรือ (2) หรือ (3) ก็ได้
2 y  2 x  4
2x 4
y 
2 2
y  x  2

27. ข้อ7 หน้า 135 ) จงแก้ระบบสมการต่อไปนี้
0.2 x  0.3 y  0 .5 ..................... (1)
0.5 x  0.2 y  0 .7 ..................... (2)
สมการที่ (1)x 5, 5(0.2 x  0.3 y)  5  0.5
x  1.5 y  2.5 ..................... (3)
สมการที่ (2)x 2, 2(0.5x  0.2 y)  2  0.7
x  0.4 y  1.4 ..................... (4)
(3)- (4), 1.5 y  (0.4 y)  2.5  1.4
1.5 y  0.4 y  1.1
1.9 y  1.1
1.1
y
1.9
11
y
19

28. 11
2 x  3( )  5
19
33
2x   5
19
33
2x  5 
19
(5 19)  33
2x 
19
95  33
2x 
19
62
2x 
19
62
x
19  2
31
x
11 19
0.2 x  0.3( )  0.5
19
 11 
10  0.2 x  0.3( )  10  0.5
 19 

29. 3.3 การแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
หลักการแก้ปัญหา อ่านโจทย์ให้เข้าใจ
สมมติตัวแปรแทนสิ่งที่โจทย์ถาม
สร้างสมการจากเงื่อนไขของโจทย์
แก้สมการหาค่าของตัวแปร
ถูกต้อง ไม่ถกต้อง
ู
ตรวจคาตอบ
แทนค่าตัวแปร/ตอบคาถามของโจทย์

30. ตัวอย่ำง ผลบวกของจำนวนสองจำนวนเท่ำกับ 36 แต่ ผลต่ำงของจำนวน
ทั้งสองเท่ำกับ 4 จำนวนทั้งสองคือจำนวนใด
วิธีทำ กาหนดให้จานวนแรก คือ x และจานวนที่สองคือ y
x + y = 36 --------- ( 1 )
x-y = 4 --------- ( 2 )
(1) + (2), 2x = 40
x = 20
แทนค่า x = 20 ในสมการที่ ( 1 )
20 + y = 36
y = 36 - 20
y = 16
ดังนั้นจานวนแรก คือ 20 และจานวนที่สองคือ 16 Ans.

31. แบบฝึกหัด 3.3 ( หน้า 143 )
1. ถ้าครึ่งหนึ่งของจานวนหนึ่งเป็นสามเท่าของจานวนอีกจานวนหนึ่ง และ
สี่เท่าของผลต่างของสองจานวนนั้นเป็น 50 จงหาจานวนสองจานวนนั้น
วิธีทำ
1
x  3y ..................... (1)
2
4( x  y)  50 ..................... (2)
(1) X 4 , 4 x  24 y ..................... (3)
(2) - (3),  4 y  50  24 y
 4 y  24 y  50
20 y  50
5
y
2

32. 5
x  6
2

33. 4. ถ้าผลบวกของขนาดของมุมภายในสองมุมของรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง เป็น 137 องศา
และผลต่างของขนาดของมุมสองมุมนี้เป็น 73 องศา จงหำขนำดของมุมภำยในทั้งสำม
ของรูปสำมเหลี่ยมนั้น
วิธีทำ
x  y  137 --------- ( 1 )
x  y  73 --------- ( 2 )
(1) + (2), 2x  210
x  105
105  y  137
y  137  105  32
นั่นคือมุมทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม คือ 105 , 32 และ 43 องศา

34. ทาแบบฝึกหัด 3.3 ( หน้า 143 )

35. ข้อ 5) ติ๊กมีเหรียญชนิดสิบบาท และหนึ่งบาท รวมกันได้ 200 เหรียญ คิดเป็นเงิน
รวมกันได้ 920 บาท อยากทราบว่า ติ๊กมีเหรียญแต่ละชนิดอย่างละกี่เหรียญ
วิธีทา
x  y  200 --------- ( 1 )
10 x  y  920 --------- ( 2 )
(2) - (1), 9x  720
720
x  80
9
80  y  200
y  200  80  120
ติ๊กมีเหรียญสิบบาท 80 เหรียญ และมีเหรียญหนึ่งบาท 120 เหรียญ

36. 7. เมื่อเฝ้าดูนกกระจาบบินจับดอกบัวในสระน้าแห่งหนึ่ง พบว่าถ้านกจับดอกบัว
ดอกละตัว จะเหลือนก 1 ตัวไม่มีบัวจับ และถ้านกจับดอกละ 2 ตัว จะเหลือดอกบัว
1 ดอกที่ไม่มีนกจับ อยากทราบว่าในสระนี้มีบัวกี่ดอกและมีนกกี่ตัว
วิธีทำ
แสดงว่ามีนกมากกว่า x  y 1 ………...( 1 ) แสดงว่าดอกบัว 1 ดอก
ดอกบัวอยู่ 1 ตัว x เท่ากับนก 2 ตัว
y  1 ………...( 2 )
2
สมการที่ (1) x 2 , 2y  x  2 ………...( 3 )
(1) + (3) , y3
x 3 1
x4
ดังนั้น มีนกอยู่ 4 ตัวและมีดอกบัวอยู่ 3 ดอก

37. 13. เมื่อเวลา 8.30 น. ก้องขับรถยนต์ออกจากเมืองดาหลาไปตามถนนสายหนึ่ง
ด้วยอัตราเร็ว 60 กิโลเมตรต่อชั่วโมง อีก 1 ชั่วโมงต่อมา ปอขับรถยนต์ออก
จากที่เดียวกันและไปตามเส้นทางเดียวกันกับก้องด้วยอัตราเร็วมากกว่าก้อง 20
กิโลเมตรต่อชั่วโมง จงหาว่าปอจะตามก้องทันในเวลาใด
9.30
8.30 น.
เมืองดาหลา
วิธีทา รถทั้งสองคันใช้ระยะทางเท่ากัน และใช้เวลาต่างกัน 1 ชั่วโมง
กาหนดให้ ก้อง ใช้เวลาในการขับรถยนต์ x ชั่วโมงด้วยความเร็ว 60 กม./ชม.
และให้ ปอ ใช้เวลาในการขับรถยนต์ y ชั่วโมงด้วยความเร็ว 80 กม./ชม.

38. วิธีทา รถทั้งสองคันใช้ระยะทางเท่ากัน และใช้เวลาต่างกัน 1 ชั่วโมง
กาหนดให้ ก้อง ใช้เวลาในการขับรถยนต์ x ชั่วโมงด้วยความเร็ว 60 กม./ชม.
และให้ ปอ ใช้เวลาในการขับรถยนต์ y ชั่วโมงด้วยความเร็ว 80 กม./ชม.
ในเวลา x ชั่วโมง ก้อง ขับรถยนต์ได้ระยะทาง 60x กม.
ในเวลา y ชั่วโมง ปอ ขับรถยนต์ได้ระยะทาง 80y กม.
ดังนั้น 60x = 80y .................( 1 )
และ x - y = 1 .................( 2 )

39. 60x = 80y .................( 1 )
x-y = 1 .................( 2 )
( 2 ) x 60 , 60x - 60y = 60 .................( 3 )
(1)– (2) , 60y = 80 y - 60
60y – 80y = - 60
– 20y = - 60
y = - 60
– 20
y = 3
ดังนั้น ปอใช้เวลาในการขับรถยนต์ y ชั่วโมง คือ 3 ชั่วโมง
ดังนั้น ปอ จะขับรถยนต์ตามก้องทันเมื่อเวลา 09.30 + 3 = 12.30 น.