FIRMANÚMERO DE CEDULA DE IDENTIDAD (O PASAPORTE)
DECLARACIÓN: Estoy en conocimiento de la normativa que rige el proceso de...
MODELO MAT 2015
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INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS
1. A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consulta...
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1. ¿Cuál(es) de las siguientes operaciones da(n) por resultado la unidad?
I)
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7. Sean a y b números racionales distintos de cero y sean m, n y k números enteros.
¿Cuál de las sig...
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10. En cada una de las rectas numéricas que se muestran en I), en II) y en III), el punto
C es un pu...
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13. La expresión  2
66  es
A) un número irracional positivo.
B) un número racional positivo.
C) ...
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16. Sea q una aproximación por exceso a la centésima de 2 y p una aproximación
por defecto a la cent...
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19. Para x  0, la expresión 1 +
x
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22. Un vehículo ha recorrido pq kilómetros, donde p es el dígito de las decenas y q el
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24. Juan para una tarea debe cortar, en forma rectangular, un cartón cuya área debe
ser de 2.500 cm...
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27. ¿Cuáles son todos los valores de x que satisfacen simultáneamente las
inecuaciones 2x + 1  3 ...
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30. Sean f y g funciones, tales que, g(x) = 1, para x  2; g(x) = 1, para x < 2 y
f(x) = x , para ...
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34. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s), con respecto a las
funciones de...
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37. Al punto (6, 4) se le aplica una traslación obteniendo el punto (12, 8). Si ...
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40. Dos vértices de un cuadrado son los puntos (0, 0) y (3, 4). ¿Cuál de los siguientes
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43. Si  ABC   DEF, donde AB es homólogo con DE, AB = a cm y DE = 3a cm,
¿cuál de las siguientes ...
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46. En la figura 7, M, N, P, Q y R están en la circunferencia de centro O. El valor del
ángulo x es...
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49. Si la ecuación de la recta L1 es y = 3x + 3, la recta L2 intersecta al eje y en el punto
(0, 6...
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51. Sean L y M dos rectas en el plano cartesiano tales que M tiene pendiente 1 y pasa
por el origen...
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54. En la figura 9 se muestran dos homotecias: una de centro O y razón de homotecia 2
que trans...
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56. En la figura 11, AB = AD y los puntos A, B, C y D pertenecen a los ejes
coordenados. Para obten...
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61. Se tienen los puntajes del total de estudiantes de un curso en un examen de
matemática, los cua...
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64. Sea el conjunto A formado por los elementos a1, a2, a3, a4, a5 y a6, con desviación
estándar  ...
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67. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I) Al lanzar un dado co...
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70. Una caja contiene en total 10 fichas del mismo tipo y solo de dos colores, m son
azules y n son...
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72. Si P es una función de probabilidad en un experimento aleatorio donde se definen
dos sucesos A ...
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EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS
INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS Nº 74 A LA Nº 80
En las siguien...
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74. Se construye un rectángulo de perímetro L. Se puede determinar que las medidas
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77. En un sistema de ejes coordenados se puede determinar el radio de una
circunferencia, si...
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Frecuencia
Edades
79. El histograma de la figura 15 muestra la distribución de las edad...
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C L A V E S
ÍTEM CLAVE ÍTEM CLAVE ÍTEM CLAVE ÍTEM CLAVE
1 D 21 C 41 B 61 E
2 E 22 B 42* A 62 C
3* D...
MODELO MAT 2015
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ejemplo, en la Prueba de Matemática, el postulante que quedó en el Percentil 90, quiere
decir que s...
MODELO MAT 2015
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Matemática Matemática
PC PS Percentil PC PS Percentil
0 150 1 38 590 79
1 163 1 39 594 80
2 176 1 4...
UNIVERSIDAD DE CHILE
Vicerrectoría de Asuntos Académicos
Departamento de Evaluación, Medición y Registro Educacional
Aveni...
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  1. 1. FIRMANÚMERO DE CEDULA DE IDENTIDAD (O PASAPORTE) DECLARACIÓN: Estoy en conocimiento de la normativa que rige el proceso de admisión a las universidades chilenas y soy consciente de que me expongo a sanciones legales en caso de colaborar, de algún modo, con la reproducción, sustracción, almacenamiento o transmisión, por Internet o cualquier medio, de este folleto o alguna de sus partes. ESTE DOCUMENTO ADEMÁS INCLUYE LAS RESPUESTAS CORRECTAS Y LA TABLA DE TRANSFORMACIÓN DE PUNTAJES. LA HOJA DE RESPUESTA DESCÁRGUELA EN WWW.DEMRE.CL MODELO DE PRUEBA DE MATEMÁTICA INSTRUCCIONES 11.- 12.- 10.- 9.- 8.- 7.- 6.- 5.- 4.- 3.- 2.- 1.- Este modelo consta de 80 preguntas, de las cuales 75 serán consideradas para el cálculo del puntaje. Cada pregunta tiene 5 opciones, señaladas con las letras A, B, C, D y E, una sola de las cuales es la respuesta correcta. COMPRUEBE QUE LA FORMA QUE APARECE EN SU HOJA DE RESPUESTAS SEA LA MISMA DE SU FOLLETO. Complete todos los datos pedidos, de acuerdo con las instrucciones contenidas en esa hoja, porque ÉSTOS SON DE SU EXCLUSIVA RESPONSABILIDAD. Cualquier omisión o error en ellos impedirá que se entreguen sus resultados. Se le dará tiempo suficiente para ello antes de comenzar la prueba. DISPONE DE 2 HORAS Y 40 MINUTOS PARA RESPONDERLA. Lea atentamente las instrucciones específicas para responder las preguntas de la Nº 74 a la Nº 80 de este modelo, en donde se explica la forma de abordarlas. Las respuestas a las preguntas se marcan en la hoja de respuestas que se le ha entregado. Marque su respuesta en la fila de celdillas que corresponda al número de la pregunta que está contestando. Ennegrezca completamente la celdilla, tratando de no salirse de ella. Hágalo exclusivamente con lápiz de grafito Nº 2 o portaminas HB. NO SE DESCUENTA PUNTAJE POR RESPUESTAS ERRADAS. Silodesea,puedeusarestefolletocomoborrador,peronoolvidetraspasaroportunamentesusrespuestas a la hoja de respuestas. Tenga presente que se considerarán para la evaluación, exclusivamente las respuestas marcadas en dicha hoja. Cuide la hoja de respuestas. No la doble. No la manipule innecesariamente. Escriba en ella solo los datos pedidos y las respuestas. Evite borrar para no deteriorar la hoja. Si lo hace, límpiela de los residuos de goma. El número de serie del folleto no tiene relación con el número del código de barra que aparece en la hoja de respuestas. Por lo tanto, pueden ser iguales o distintos. ES OBLIGATORIO DEVOLVER ÍNTEGRAMENTE ESTE FOLLETO ANTES DE ABANDONAR LA SALA. Cualquier irregularidad que se detecte durante el proceso, facultará a la Universidad de Chile para dar curso a las acciones legales y reglamentarias pertinentes. Finalmente, anote su Número de Cédula de Identidad (o Pasaporte) en los casilleros que se encuentran en la parte inferior de este folleto, lea y firme la declaración correspondiente. UNIVERSIDAD DE CHILE PROCESO DE ADMISIÓN 2015
  2. 2. MODELO MAT 2015 - 2 - INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS 1. A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el desarrollo de los ejercicios. 2. Las figuras que aparecen en el modelo son solo indicativas. 3. Los gráficos que se presentan en este modelo están dibujados en un sistema de ejes perpendiculares. 4. Se entenderá por dado común, a aquel que posee 6 caras, donde al lanzarlo las caras son equiprobables de salir. SÍMBOLOS MATEMÁTICOS  es menor que  es congruente con  es mayor que  es semejante con  es menor o igual a  es perpendicular a  es mayor o igual a  es distinto de ángulo recto // es paralelo a ángulo  pertenece a log logaritmo en base 10 AB trazo AB  conjunto vacío x valor absoluto de x  unión de conjuntos x! factorial de x  intersección de conjuntos Ac complemento del conjunto A u vector u Registro de Propiedad Intelectual Nº 242648  2014. Universidad de Chile. Derechos reservados . Prohibida su reproducción total o parcial.
  3. 3. MODELO MAT 2015 - 3 - 1. ¿Cuál(es) de las siguientes operaciones da(n) por resultado la unidad? I) 12 5 12 7  II) 7 12 12 7  III) 13 12 : 12 13 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III 2. 0,1 0,11,0 32  = A) 1 B) 0 C) 0,1 D) 0,009 E) 0,09 3. Al realizar la operación 20  3 en una calculadora, ella da como resultado 6,666666667. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) La calculadora redondea a la novena cifra decimal. II) La calculadora trunca a la novena cifra decimal. III) 3 20 es un número decimal periódico. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III
  4. 4. MODELO MAT 2015 - 4 - 4. El resultado de        7 2 6 1 3 1 , truncado a la décima es A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3 D) 0,8 E) 0,7 5. Se repartirá un premio de $ 624.000 entre Ingrid, Gerardo y Jaime. Ingrid recibe 8 3 del total, Gerardo recibe 3 2 de lo que quedará y Jaime el resto. ¿Cuánto reciben Gerardo y Jaime, respectivamente? A) $ 234.000 y $ 260.000 B) $ 156.000 y $ 134.000 C) $ 260.000 y $ 364.000 D) $ 260.000 y $ 130.000 E) $ 416.000 y $ 208.000 6. Mario planea viajar de la ciudad M a la ciudad N, para lo cual deberá recorrer en su auto 1,344  106 m en tres días, de modo que cada día recorrerá la misma distancia. Si el primer día Mario recorrerá, adicionalmente a lo que va a recorrer en un día, 11 km en su auto para conocer el pueblo donde parará a descansar, ¿cuántos metros recorrerá durante el primer día en su auto, sabiendo que éste lo usará solo para los dos motivos mencionados? A) 11.000,448  106 B) 11,448  106 C) 4,59  105 D) 4,48011  105 E) 0,814  1010
  5. 5. MODELO MAT 2015 - 5 - 7. Sean a y b números racionales distintos de cero y sean m, n y k números enteros. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones podría ser FALSA? A) (a)3 = a3 B) 0 b a       = 0 a b       C) (a)2n = n2 a 1 D) (an )k + m = ank + anm E) (am  b)n = n mn b a 8. Si a, b y c son números negativos tales que 1c 1 1b 1 1a 1      , ¿cuál(es) de las siguientes relaciones es (son) verdadera(s)? I) 222 )1(c 1 )1(b 1 )1a( 1      II) 1c 1b 1 1a 1b      III) c  b  a A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III 9. Si A = 90,6 ; B = 36 25 y C = 100 70 , ¿cuál de las siguientes relaciones es verdadera? A) B < A < C B) B < A = C C) A = B < C D) A = B = C E) A = C < B
  6. 6. MODELO MAT 2015 - 6 - 10. En cada una de las rectas numéricas que se muestran en I), en II) y en III), el punto C es un punto tal que AC = 3 AB . ¿En cuál(es) de ellas C = 3,0 ? A) Solo en I B) Solo en II C) Solo en III D) Solo en I y en II E) En I, en II y en III 11. Si se ordenan de menor a mayor los siguientes números: 5 , 2 3 , 3 2 , 7 y 3 11 , entonces el término del medio es A) 5 B) 2 3 C) 3 2 D) 7 E) 3 11 12. Si 3 es aproximadamente 1,7320, entonces 27,0 aproximado por redondeo a la centésima es A) 0,50 B) 0,51 C) 0,52 D) 0,05 E) ninguno de los valores anteriores. A B 0,3 0,4 C A B 0,33 0,34 C A BC 0,333 0,444 I) II) III)
  7. 7. MODELO MAT 2015 - 7 - 13. La expresión  2 66  es A) un número irracional positivo. B) un número racional positivo. C) un número racional negativo. D) un número irracional negativo. E) cero. 14. Sean p, q y r números mayores que 1. Si log5 p > log4 q > log3 (2r), entonces se cumple que A) p > q > r B) r > p > q C) r > q > p D) q > p > r E) p > r > q 15. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I)  2 43  = 19 II) 15   15  = 2 III) 8 184502  = 11 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo II y III E) I, II y III
  8. 8. MODELO MAT 2015 - 8 - 16. Sea q una aproximación por exceso a la centésima de 2 y p una aproximación por defecto a la centésima de 2 . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) q = p II) 2 qp  = 2 III) q = 2  k, con k un número real positivo. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo II y III E) Ninguna de ellas. 17. Si el área de una figura plana está representada por la expresión I) x2 + 4x + 4, entonces la figura puede ser un cuadrado de lado (x + 2). II) x2  9, entonces la figura puede ser un cuadrado de lado (x  3). III) x2 + 7x + 12, entonces la figura puede ser un rectángulo donde uno de sus lados es (x + 4). Es (son) verdadera(s) A) solo I. B) solo II. C) solo I y III. D) solo II y III. E) ninguna de ellas. 18. Se tienen $ 16.000 en monedas de $ 500 y de $ 50. Si el total de monedas es 50, entonces la cantidad de monedas de $ 500 es A) 32 B) 30 C) 27 D) 20 E) 18
  9. 9. MODELO MAT 2015 - 9 - 19. Para x  0, la expresión 1 + x 1 + 2 x 1 es igual a A) 2 2 x 1xx  B) x2 + x + 1 C) 2 xx1 3  D) 1 + 2 x 2 E) 2 2 x )1x(  20. Sean a, b y p números reales, tales que a > b y p = 22 22 bab2a ba   . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera? A) p = 1 B) Si b < 0, entonces p < 1. C) p > 1 D) Si b > 0, entonces p < 1. E) p = 0 21. ¿Cuál de los siguientes sistemas está compuesto por dos ecuaciones lineales? 2xy + 3y = 7 x  y = 0 x + y = 1 4x2  y2 = 0 3x + 2y = 0 3x + 2y = 2 y x = 2 + y x  y = 7 x  4y = 2 (x  2)(5 + 6y) = 0 A) B) C) D) E)
  10. 10. MODELO MAT 2015 - 10 - 22. Un vehículo ha recorrido pq kilómetros, donde p es el dígito de las decenas y q el dígito de las unidades. La suma de los dígitos que componen dicho número es ocho. Dieciocho kilómetros más adelante ha recorrido qp kilómetros, donde q es el dígito de las decenas y p el dígito de las unidades. ¿Cuál de los siguientes sistemas permite determinar los kilómetros recorridos? 23. Las soluciones de la ecuación 3(x  2)2 = 7 están representadas en A) 3 7 2  B)  3 7 2  C) 3 7 2  D) 3 132  E) 3 72  p + q = 8 10q + p = 10p + q + 18 p + q = 8 p + q = 10q + p  18 A) B) p + q = 8 p + q  18 = 10p + q C) p + q = 8 10q + p + 18 = 10p + q D) p + q = 8 p + q + 18 = 10p + q E)
  11. 11. MODELO MAT 2015 - 11 - 24. Juan para una tarea debe cortar, en forma rectangular, un cartón cuya área debe ser de 2.500 cm2 y donde el largo (x) debe exceder al ancho en 75 cm. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones permite a Juan determinar el largo y el ancho del cartón, en cm? A) x2  75x = 2.500 B) x2 + 75x = 2.500 C) x2  75 = 2.500 D) x2 + 75 = 2.500 E) 4x  150 = 2.500 25. Leonardo tiene una cierta cantidad de dinero en monedas de $ 500. Si le regalaran otras 5 de estas monedas tendría menos de $ 50.000, pero si gastara $ 10.000 le quedarían más de 20 monedas de $ 500. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera, con respecto al dinero que tiene Leonardo? A) Tiene $ 20.000. B) Tiene $ 47.500. C) Tiene más de $ 47.500. D) Tiene menos de $ 20.000. E) Tiene más de $ 20.000 y menos de $ 47.500. 26. El gráfico que representa el conjunto de los números reales que son menores o iguales a 3 ó mayores que 2, es A) B) C) D) E) 23 23 23 23 23
  12. 12. MODELO MAT 2015 - 12 - 27. ¿Cuáles son todos los valores de x que satisfacen simultáneamente las inecuaciones 2x + 1  3  x y 1 2x 1   ? A) x < 1 y x ≠ 2 B) 2 < x < 1 C) x  3 2 y x ≠ 2 D) 2 < x  3 2 E) 1 < x  3 2 28. En un  ABC, BC = m, AC = x y AB = 2x  1. Si x  1, entonces m pertenece al intervalo A)  1x3,1x  B)  1x2,x  C)  1x3,0  D)  1x3,1  E)  1x3,x  29. Un técnico cobra un cargo fijo de $ 17.000 más $ 1.500 por hora de trabajo. ¿Cuál de las siguientes funciones modela el cobro, en pesos, para un trabajo de n horas de este técnico? A) g(n) = 17.000n + 1.500 B) f(n) = 17.000 + 1.500n C) h(n) = 18.500n D) p(n) = 17.000  1.500n E) q(n) = n + 18.500
  13. 13. MODELO MAT 2015 - 13 - 30. Sean f y g funciones, tales que, g(x) = 1, para x  2; g(x) = 1, para x < 2 y f(x) = x , para x  0. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) f(g(x)) solo está definida para x  2. II) g(f(x)) está definida para todos los números reales. III) f(g(4)) = g(f(4)) A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) I, II y III 31. Sea p un número real distinto de cero y f la función definida por f(x) = px, con dominio los números reales. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA, con respecto a f, para algún valor de p? A) La imagen de la suma de dos números reales es la suma de sus imágenes. B) La preimagen de un número entero es un número entero. C) La preimagen del cero es el cero. D) La imagen del doble de un número es el doble de la imagen del número. E) La imagen de p es un número real no negativo. 32. Si f(x) = 22 x5x  , entonces f(2) es igual a A) 5 B) 1 C) 1 D) 3 E) ninguno de los valores anteriores. 33. Sea la función f definida por f(x) = x2 + 2ax  1, con a  0 y dominio el conjunto de los números reales. El valor de x donde la función alcanza su valor mínimo es A) 1 B) 3a2  1 C) a D) a2  1 E) a
  14. 14. MODELO MAT 2015 - 14 - 34. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s), con respecto a las funciones de la forma f(x) = x2  p, con dominio los números reales? I) Si p > 0, entonces la gráfica de f intersecta al eje x en un solo punto. II) Si p < 0, entonces la gráfica de f no intersecta al eje x. III) Si p < 0, entonces la ordenada del punto donde la gráfica de f intersecta al eje y es positiva. A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III 35. Sean las funciones f(x) = x4 y g(x) = x2 , con dominio el conjunto de los números reales. ¿Cuál es el menor conjunto que contiene a todos los números reales que satisfacen la desigualdad f(x)  g(x)? A) IR B)  1,    ,1 C)  1,1 D)  1,0 E)  1,1 36. En la figura 1, MNPQ es un trapecio isósceles, S pertenece a QN y R pertenece a MP . Si O es la intersección de las diagonales, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I)  MRQ   NSP II)  OSP   NSP III)  MOQ   NOP A) Solo II B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III Q P N SR O M fig. 1
  15. 15. MODELO MAT 2015 - 15 -  BDA  C fig. 2 37. Al punto (6, 4) se le aplica una traslación obteniendo el punto (12, 8). Si al punto (3, 5) se le aplica la misma traslación, entonces se obtiene el punto A) (6, 10) B) (9, 9) C) (9, 3) D) (3, 1) E) (6, 9) 38. En la figura 2, CD es una altura del triángulo ABC. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones NO permite concluir que el triángulo ADC sea congruente con el triángulo BDC? A)  =  B) D es el punto medio de AB . C)  +  = 90 D) AC = CB E) CD es un eje de simetría del triángulo ABC. 39. Dados v = (m, 2) y u = (3, 4), ¿cuál de los siguientes números puede ser el valor de m para que la longitud de v sea el doble de la longitud de u ? A) 96 B) 104 C) 46 D) 21 E) 1
  16. 16. MODELO MAT 2015 - 16 - D C E B A 40. Dos vértices de un cuadrado son los puntos (0, 0) y (3, 4). ¿Cuál de los siguientes puntos NO puede ser otro de los vértices del cuadrado? A) (4, 3) B) (7, 1) C) (5, 0) D) (4, 3) E) (1, 7) 41. En la figura 3, AB = 6 cm, AE = 10 cm y BC = 24 cm. La medida de AD es A) 20 cm B) 30 cm C) 3 110 cm D) 5 114 cm E) 3 80 cm 42. En la figura 4, AC = 24 cm y AC : AD = 2 : 3. La medida del segmento CD es igual a A) 12 cm B) 14,4 cm C) 16 cm D) 36 cm E) ninguno de los valores anteriores. fig. 3 fig. 4 A C D
  17. 17. MODELO MAT 2015 - 17 - 43. Si  ABC   DEF, donde AB es homólogo con DE, AB = a cm y DE = 3a cm, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera? A) Si el área del triángulo ABC es 16 cm2 , entonces el área del triángulo DEF es 48 cm2 . B) 3 ABC = DEF C) El perímetro del triángulo ABC es un tercio del perímetro del triángulo DEF. D) AB // DE, AC // DF y BC // EF E) Ninguna de las anteriores. 44. En la circunferencia de centro O y radio 12 cm de la figura 5, CD = 5 cm. ¿Cuánto mide el segmento AC? A) 95 cm B) 60 cm C) 7 cm D) 35 cm E) Indeterminable con los datos dados. 45. En el rectángulo de la figura 6 el punto G está en AB y F en la diagonal AC . Si AD = 4 cm, AG = 6 cm y AB = 2AD, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) 6 : GF = 2 : BC II) FC = 5 cm III)  ACD   FAG A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III A B CD G F fig. 6 A B O C D fig. 5
  18. 18. MODELO MAT 2015 - 18 - 46. En la figura 7, M, N, P, Q y R están en la circunferencia de centro O. El valor del ángulo x es A) 42,5 B) 70 C) 35 D) 31,25 E) 125 47. En un triángulo ABC rectángulo en C cuya hipotenusa mide p, la medida de la proyección de un cateto sobre ella es m. ¿Cuál de las siguientes expresiones siempre representa al cuadrado de la medida del otro cateto? A) pm B) p2  m2 C) (p  m)2 D) (pm)2 E) p2  pm 48. Sean ABC y ´C´B´A dos triángulos semejantes, con AC y ´C´A lados homólogos, AC = 20 cm y ´C´A = 8 cm. Si el triángulo ABC tiene un área de M cm2 , ¿cuál de las siguientes expresiones representa el área del triángulo ´C´B´A , en cm2 ? A) M 4 25  B) M 5 2  C) M 2 5  D) M 25 4  E) Ninguna de las anteriores. 55 O x 15 M N P Q R fig. 7
  19. 19. MODELO MAT 2015 - 19 - 49. Si la ecuación de la recta L1 es y = 3x + 3, la recta L2 intersecta al eje y en el punto (0, 6) y L1 // L2, entonces L2 intersecta al eje x en el punto A) (18, 0) B) (2, 0) C) (0, 6) D) (1, 0) E) (2, 0) 50. En la figura 8 se muestra la representación gráfica de cuatro sistemas de ecuaciones. ¿Cuál de los siguientes sistemas NO ha sido representado en la figura? A) x = 1 ; y = x B) x = 1 ; y = 1 C) y = x + 2 ; y = 2 x + 2 1 D) 2y  x = 1 ; y = x E) y = 2 x + 2 1 ; 2y  x = 1 y x 1 1 1 1 y x 1 x y 1 1 2 2 x y 1 1 1 fig. 8
  20. 20. MODELO MAT 2015 - 20 - 51. Sean L y M dos rectas en el plano cartesiano tales que M tiene pendiente 1 y pasa por el origen, L es una recta que tiene pendiente 0 y es distinta al eje x. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) L es paralela al eje x. II) L puede intersectar a M en el tercer cuadrante. III) Si L pasa por el punto (0, 4), entonces ambas rectas se intersectan en el punto (4, 4). A) Solo I B) Solo III C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III 52. El punto B(5, 4) se rota en torno al punto A(1, 1) en 90, obteniéndose el punto B’. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B’? A) y =  3 4 x + 3 1 B) y =  3 4 x + 3 7 C) y =  4 3 x + 4 7 D) y = 4 3 x + 4 1 E) y = 3 4 x  3 1 53. Sean los puntos M y P de coordenadas (2, 3) y (5, p), respectivamente, con P en el cuarto cuadrante. Si la distancia entre estos puntos es 7 unidades, entonces el valor de p es A) 3  2 10 B) 3 + 2 10 C) 31 D)  31 E)  67
  21. 21. MODELO MAT 2015 - 21 - A B 54. En la figura 9 se muestran dos homotecias: una de centro O y razón de homotecia 2 que transforma a ABCD en PQRS y la otra de centro O y razón de homotecia 0,5 que transforma a ABCD en EFGH. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Si BQ es igual a 5 cm, entonces BF es igual a 2,5 cm. II) OH = 3 1 SH III) EH // PS A) Solo I B) Solo III C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III 55. Si el polígono de la figura 10 se hace girar indefinidamente en torno al lado AB , entonces se obtiene un cuerpo que está formado por A) seis cubos. B) tres cilindros. C) doce cubos. D) un cono. E) una pirámide. B C D S Q F GH O A R P E fig. 9 fig. 10
  22. 22. MODELO MAT 2015 - 22 - 56. En la figura 11, AB = AD y los puntos A, B, C y D pertenecen a los ejes coordenados. Para obtener los dos conos cuya base es la circunferencia que tiene a CA como diámetro, se puede girar en forma indefinida I) el triángulo AOB en torno al eje y, luego en torno al eje x. II) el triángulo CAB en torno al eje x. III) el cuadrilátero ABCD en torno a CA . Es (son) verdadera(s) A) solo I. B) solo II. C) solo III. D) solo II y III. E) ninguna de ellas. 57. En la figura 12, ABEH, BCDE y EFGH son cuadrados. Si V1 es el volumen del sólido generado al rotar indefinidamente el triángulo AFG en torno al segmento AG, V2 es el volumen del sólido generado al rotar indefinidamente el triángulo ABF en torno al segmento AB y V3 es el volumen del sólido generado al rotar indefinidamente el triángulo AHD en torno al segmento AH, entonces se cumple que A) V1 = V2 = V3 B) V1 < V2 = V3 C) V1 < V3 < V2 D) V1 < V2 < V3 E) V2 = V3 < V1 x D O C B y A z fig. 11 A B C DE FG H fig. 12
  23. 23. MODELO MAT 2015 - 23 - Cantidad de alumnos 10 20 30 150 250 350 450 550 Puntajes 58. En las opciones se muestran ecuaciones vectoriales, para t variando en los números reales, ¿en cuál de ellas la recta asociada NO pasa por el origen? A) v (t) = t(1, 2, 3) B) p (t) = (2, 4, 6) + t(1, 2, 3) C) g (t) = (3, 9, 12) + t(1, 3, 4) D) n (t) = (2, 10, 28) + t(1, 5, 14) E) m (t) = (2, 10, 21) + t(1, 5, 7) 59. La tabla adjunta muestra algunos de los datos que resultan de encuestar a un grupo de adultos mayores sobre la edad que tienen. Con respecto a los datos de esta tabla, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? A) La marca de clase del segundo intervalo es 64,5 años. B) El rango de la variable edad es 15 años. C) La moda es 42. D) La mediana se encuentra en el intervalo  69,66 . E) La frecuencia relativa porcentual del último intervalo es 8%. 60. El gráfico de la figura 13 muestra los puntajes, en intervalos, obtenidos en una prueba por los alumnos de un curso. Se desconoce el número de personas que obtuvo puntajes entre 250 y 350 puntos. Si se sabe que el promedio total del curso, obtenido a partir de la marca de clase, es de 360 puntos, ¿cuántos alumnos rindieron la prueba? A) 50 B) 40 C) 30 D) 20 E) 10 Edad (años) Frecuencia Frecuencia acumulada  63,60 5  66,63 23  69,66 42  72,69 27  75,72 100 fig. 13
  24. 24. MODELO MAT 2015 - 24 - 61. Se tienen los puntajes del total de estudiantes de un curso en un examen de matemática, los cuales se agrupan posteriormente en intervalos como se muestra en la tabla adjunta. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? A) 39 alumnos obtuvieron al menos 20 puntos. B) 45 alumnos rindieron el examen. C) La mediana de los puntajes se encuentra en el intervalo  39,30 . D) 6 alumnos obtuvieron a lo más 19 puntos. E) Se puede deducir que la moda de los puntajes de los alumnos se encuentra en el intervalo  50,40 . 62. Al observar los grupos de datos P y Q de la tabla adjunta, se puede deducir que A) solo las medias aritméticas y las modas de P y Q son iguales. B) las medias aritméticas y las medianas de P y Q son iguales. C) las medianas y las modas de P y Q son iguales. D) las medias aritméticas, las medianas y las modas de P y Q son iguales. E) las medias aritméticas, las medianas y las modas de P y Q son diferentes. 63. Si a, b y c son tres números enteros cuya desviación estándar es , entonces la desviación estándar de na, nb y nc, con n un número entero positivo, es A) n2  B)  C) n  D) n E) 3n Puntajes Nº de alumnos  9,0 2  19,10 4  29,20 7  39,30 15  50,40 17 P 10 12 13 13 15 16 Q 10 12 13 13 15 17
  25. 25. MODELO MAT 2015 - 25 - 64. Sea el conjunto A formado por los elementos a1, a2, a3, a4, a5 y a6, con desviación estándar  y varianza 2 . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? A)  y 2 nunca serán iguales. B) 2 nunca será cero. C) Siempre 2 > . D) Si los elementos de A son números impares consecutivos, entonces  = 1. E) Si los elementos de A son números enteros positivos distintos entre sí, entonces  es mayor que cero. 65. Un grupo de veinte personas se reunió a comer en un restaurante. Doce comieron mariscos y ocho comieron carne. Al día siguiente, trece de ellos amanecieron enfermos, de los cuales nueve consumieron mariscos. Si de los enfermos se elige una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que hubiese consumido carne? A) 20 4 B) 13 4 C) 8 4 D) 13 9 E) 9 4 66. Carolina, Daniela, Antonia y Victoria pertenecen a un grupo. Un profesor debe elegir a dos de ellas para realizar un trabajo de matemática. ¿Cuál es el máximo número de combinaciones de parejas que se pueden formar con estas cuatro niñas? A) 8 B) 2 C) 6 D) 12 E) 16
  26. 26. MODELO MAT 2015 - 26 - 67. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) Al lanzar un dado común, para que salga un 6 es necesario lanzarlo como mínimo 6 veces. II) Al lanzar una moneda dos veces, los casos favorables de obtener dos caras es la misma de obtener dos sellos. III) Al lanzar seis dados comunes a la vez, la probabilidad de que en todos ellos aparezca el 1 es 0. A) Solo II B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 68. Se tienen tres cajas con dos bolitas, una de color azul y otra de color blanco, en cada una de ellas y todas las bolitas son del mismo tipo. Si se extrae al azar una bolita de cada caja, ¿cuál es la probabilidad de que éstas sean dos azules y una blanca? A) 9 2 B) 8 3 C) 4 1 D) 8 1 E) 4 3 69. Si se lanzan 5.000 veces dos dados comunes, entonces según la Ley de los Grandes Números, ¿en qué porcentaje, aproximadamente, de esas repeticiones, ocurrirá que la suma de los números obtenidos será mayor o igual a 6? A) En un 8% B) En un 14% C) En un 36% D) En un 58% E) En un 72%
  27. 27. MODELO MAT 2015 - 27 - 70. Una caja contiene en total 10 fichas del mismo tipo y solo de dos colores, m son azules y n son rojas. Si se extraen al azar 4 fichas a la vez de la caja y se define la variable aleatoria X como el número de fichas azules que se obtienen, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Si 3m = 7n, entonces los posibles valores de X son: 1, 2, 3 y 4. II) Si n = m + 6, entonces los posibles valores de X son: 2, 3 y 4. III) Si n m = 1, entonces los posibles valores de X son: 0, 1, 2, 3 y 4. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) I, II y III 71. Una urna contiene 20 bolitas, todas del mismo tipo, seis están marcadas con el 1, diez con el 2 y cuatro con el 3. Se saca una bolita al azar de la urna, se registra su número y se devuelve a la urna, luego se saca otra bolita al azar y se registra su número. Si se define la variable aleatoria X como “el producto de los números de las bolitas extraídas”, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Los valores que puede tomar la variable X son 1, 2, 3, 4, 6 ó 9. II) P(X = 2) = 20 3 III) P(X = 1) = 100 9 A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III
  28. 28. MODELO MAT 2015 - 28 - 72. Si P es una función de probabilidad en un experimento aleatorio donde se definen dos sucesos A y B, con P(A)  0 y P(B)  0, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces P(A/B) = 0. II) Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces P(B/A) = P(B). III) Si A y B son independientes, entonces P(A/B) = P(B/A). A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III 73. En el experimento de lanzar dos dados comunes se define la variable aleatoria X como el valor absoluto de la diferencia de los números que se obtienen. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? A) P(X  0) = 1 B) P(X  2) = 21 10 C) P(X = 0) = 36 6 D) El recorrido de X es 0, 1, 2, 3, 4, 5. E) P(X  5) = 1
  29. 29. MODELO MAT 2015 - 29 - EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS Nº 74 A LA Nº 80 En las siguientes preguntas no se pide la solución al problema, sino que se decida si con los datos proporcionados tanto en el enunciado como en las afirmaciones (1) y (2) se pueda llegar a la solución del problema. Es así, que se deberá marcar la opción: A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es, B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es, C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente, D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución. Ejemplo: Se puede determinar el monto total de una deuda, en términos de P y Q, si se sabe que: (1) La cuota mínima a pagar es el P% de la deuda. (2) La cuota mínima a pagar es de $ Q. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional En la afirmación (1) se tiene que la cuota mínima a pagar es el P% de la deuda. Si x representa el monto total de dicha deuda, entonces este porcentaje queda expresado por 100 Px , el cual no permite determinar el monto total de la deuda. Con la afirmación (2) se conoce la cuota mínima a pagar, que es de $ Q, pero esta información por sí sola es insuficiente para determinar el monto total de la deuda. Ahora, si se juntan los datos entregados en (1) y en (2) se tiene que 100 Px = Q, luego esta ecuación permite determinar el monto total de la deuda, en términos de P y Q. Por lo tanto, se debe marcar la opción C), Ambas juntas, (1) y (2).
  30. 30. MODELO MAT 2015 - 30 - 74. Se construye un rectángulo de perímetro L. Se puede determinar que las medidas de todos los lados del rectángulo son números enteros, si se sabe que: (1) L es un número entero. (2) Se puede construir un triángulo equilátero de perímetro L de manera que la medida de su lado es un número entero. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 75. La ecuación x + b = mx + n, cuya incógnita es x, tiene una solución distinta de cero, si: (1) b  n (2) m  1 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 76. Se puede determinar el valor de q en la función real f(x) = log3 (4x + q), si se sabe que: (1)       2 15 f = 3 (2) La gráfica de f intersecta al eje x en el punto (1, 0). A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional
  31. 31. MODELO MAT 2015 - 31 - BA D C 77. En un sistema de ejes coordenados se puede determinar el radio de una circunferencia, si se conoce: (1) El centro de la circunferencia y un punto de ella. (2) Dos puntos de la circunferencia. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 78. En el triángulo ACD de la figura 14, se puede determinar la medida del segmento BC, si: (1) AB = 3 cm (2) Se conoce la medida del segmento DC. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional fig. 14
  32. 32. MODELO MAT 2015 - 32 - 35 30 25 15 Frecuencia Edades 79. El histograma de la figura 15 muestra la distribución de las edades de un grupo de personas, en donde no se han indicado las edades de ellas. Se puede determinar la media aritmética de las edades dadas en el gráfico, si se conoce: (1) El valor de la mediana de la distribución. (2) El valor de las marcas de clases de cada intervalo de la distribución. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 80. Antonia salió a un restaurante a almorzar y debe elegir un menú consistente en a lo menos una ensalada y a lo menos un tipo de carne. Se puede determinar la cantidad de combinaciones distintas de este tipo de alimentos que puede elegir Antonia, si se sabe que: (1) Hay 9 ensaladas distintas y 3 tipos de carne. (2) Antonia elige solo una ensalada y solo un tipo de carne. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional fig. 15
  33. 33. MODELO MAT 2015 - 33 - C L A V E S ÍTEM CLAVE ÍTEM CLAVE ÍTEM CLAVE ÍTEM CLAVE 1 D 21 C 41 B 61 E 2 E 22 B 42* A 62 C 3* D 23 C 43 C 63 D 4 E 24 A 44 A 64 E 5 D 25 E 45 D 65 B 6 C 26 A 46 A 66 C 7 D 27 B 47 E 67 A 8 C 28* A 48 D 68 B 9 B 29 B 49 B 69 E 10 D 30 D 50 D 70 D 11 B 31 B 51 E 71* C 12 C 32 A 52 B 72 A 13 D 33 E 53 A 73 B 14 A 34 D 54 E 74 E 15 D 35 E 55 B 75 C 16 E 36 C 56* E 76 D 17 C 37 D 57 B 77 A 18 B 38 C 58 E 78 C 19 A 39 A 59 C 79 B 20 B 40 C 60 A 80 C *: Preguntas que, para este Modelo, no se deben considerar para el cálculo de puntaje. EL SIGNIFICADO DE LOS PUNTAJES Definiciones: Puntaje corregido (PC): se obtiene de sumar todas las respuestas correctas, sin importar las respuestas incorrectas que se obtuvo en la prueba. Puntaje estándar (PS): se obtiene luego de aplicar una transformación (normalización) a los puntajes corregidos. Este puntaje permite comparar los puntajes entre sí y “ordenar” a las personas que rindieron cada prueba de acuerdo con sus puntajes, es decir, los puntajes individuales indican la posición relativa del sujeto dentro del grupo de estudiantes que rindió la prueba en cuestión. El puntaje estándar, para cada prueba, posee una escala común que va desde 150 a 850 puntos, con una media de 500 y una desviación estándar de 110. Percentil: es el valor bajo el cual se encuentra una proporción determinada de la población. El percentil es una medida de posición útil para describir una población. Por
  34. 34. MODELO MAT 2015 - 34 - ejemplo, en la Prueba de Matemática, el postulante que quedó en el Percentil 90, quiere decir que supera al 90% de la población que rindió esta prueba. TABLA DE REFERENCIA DE TRANSFORMACIÓN DE PUNTAJE DEL MODELO DE MATEMÁTICA La eliminación del descuento por respuestas erradas, a partir del Proceso de Admisión 2015 (diciembre 2014) significará que para el cálculo de los puntajes corregidos (PC) se considerará sólo las respuestas correctas. Por lo tanto, el puntaje estándar (PS) será el resultado de la “normalización” de la distribución del puntaje bruto a una escala con media 500 y desviación estándar 110, del grupo que rindió la prueba. Debido a que en la Aplicación 2015 será la primera vez que la población rinda la PSU sin el descuento por respuestas erradas, la tabla de transformación de PC a PS que se adjunta en este modelo es solo referencial. Este Modelo de prueba de Matemática consta de 80 ítemes, donde las 5 preguntas que están marcadas con (*) en el clavijero no se deben considerar para el cálculo del PC. Es importante destacar que, en la Prueba Oficial Admisión 2015, estas preguntas son de pilotaje y se incluyen para poder ser testeadas, las cuales no podrán ser identificadas por aquellas personas que rindan la prueba, por lo que no necesariamente ocuparán el mismo lugar que los ítemes con (*) de este Modelo. Se debe tener en cuenta que a partir del PC que se obtenga en el desarrollo de este Modelo, no se puede anticipar el PS que se obtendrá en la prueba del Proceso de Admisión 2015, por cuanto dependerá del comportamiento del grupo que rendirá dicha prueba. A continuación, se presenta un ejemplo de un PC y su correspondiente PS y percentil. Ejemplo: Primero: contabilice sus respuestas correctas excluyendo las 5 preguntas marcadas en el clavijero con (*). Segundo: si usted obtiene 54 respuestas correctas, entonces su PC es 54. Luego, según la tabla de referencia su PS es 650 y su percentil es 91.
  35. 35. MODELO MAT 2015 - 35 - Matemática Matemática PC PS Percentil PC PS Percentil 0 150 1 38 590 79 1 163 1 39 594 80 2 176 1 40 597 81 3 190 1 41 601 82 4 203 1 42 605 83 5 237 1 43 608 84 6 268 2 44 612 85 7 296 3 45 615 85 8 322 5 46 619 86 9 346 8 47 622 87 10 367 11 48 626 87 11 387 15 49 630 88 12 405 19 50 634 89 13 422 24 51 638 89 14 437 28 52 641 90 15 451 33 53 645 91 16 464 37 54 650 91 17 475 41 55 654 92 18 485 45 56 658 92 19 495 48 57 663 93 20 503 51 58 667 94 21 511 54 59 672 94 22 518 56 60 677 95 23 524 59 61 683 95 24 530 61 62 688 96 25 536 63 63 694 96 26 541 65 64 700 97 27 546 66 65 707 97 28 551 68 66 715 97 29 555 69 67 722 98 30 559 71 68 731 98 31 564 72 69 740 99 32 568 73 70 751 99 33 572 74 71 771 99 34 575 75 72 791 99 35 579 76 73 811 99 36 583 78 74 830 99 37 587 79 75 850 99
  36. 36. UNIVERSIDAD DE CHILE Vicerrectoría de Asuntos Académicos Departamento de Evaluación, Medición y Registro Educacional Avenida José Pedro Alessandri 685 Ñuñoa, Santiago - Chile Fono: (56 2) 2978 38 00. www.demre.cl

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