Folio EST 02-01DEFORMACIONES EN VIGAS                 Materia: Estructura II                 Folio:   EST 2-01            ...
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Para determinar la flecha máxima se calcula la desviacióntangencial en el extremo de la viga con r   especto a latangente ...
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3.- VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON CARGA PUNTUALAPLICADA EN 3L/43.a.- POR MÉTODO DE ÁREA DE MOMENTOS.Establecemos el equilib...
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5.- VIGA EN VOLADIZO CON CARGA UNIFORMEMENTEREPARTIDA5.a.- POR MÉTODO DE ÁREA DE MOMENTOEstablecemos el equilibrio externo...
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Ecuación general de flecha.                   qx 4 qL3 x qL4        EI y = −         .             +     −                ...
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Deformacion en vigas

  1. 1. Folio EST 02-01DEFORMACIONES EN VIGAS Materia: Estructura II Folio: EST 2-01 Fecha: Julio/2000 Autores: Arqto. Verónica Veas B. Arqto. Jing Chang Lou.
  2. 2. 2
  3. 3. Folio EST 02-01 MORFOLOGÍA ESTRUCTURALI.- INTRODUCCIONEl análisis estructural de las vigas suele dividirse en vigasisostáticas e hiperestáticas. Recordemos que esta divisióncorresponde a las condiciones de apoyo que presente elelemento a analizar Si la viga tiene un número igual oinferior a tres incógnitas en sus reacciones, bastará conaplicar las condiciones de equilibrio estático pararesolverla.ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0Si en cambio, la viga presenta un mayor número deincógnitas, no bastará con las ecuaciones antes indicadas,sino que será necesario incorporar nuevas expresiones.Para abordar el análisis de las vigas hiperestáticas oestáticamente indeterminadas resulta necesario analizarlas deformaciones que experimentará la viga, luego de sercargada. Las distintas cargas sobre la viga generantensiones de corte y flexión en la barra, y a su vez la hacendeformarse. El análisis de las deformaciones tienebásicamente dos objetivos. Por una parte, el poder obtenernuevas condiciones, que traducidas en ecuaciones, nospermitan resolver las incógnitas en vigas hiperestáticas. Ypor otra parte, las deformaciones en sí, deben serlimitadas. Los envigados de madera o acero, por ejemplo,pueden quedar correctamente diseñados por resistencia,vale decir, no se romperán bajo la carga, pero podrándeformarse más allá de lo deseable, lo que llevaría consigoel colapso de elementos de terminación como cielos falsoso ventanales. No resulta extraño entonces que muchosdimensionamientos queden determinados por la deformacióny no por la resistencia.MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 3
  4. 4. 4
  5. 5. Folio EST 02-01 MORFOLOGÍA ESTRUCTURALII.- DEFORMACION EN VIGAS1.- LINEA ELASTICA o ELASTICADenominaremos línea elástica a la curva que forma la fibraneutra una vez cargada la viga, considerando que ésta seencontraba inicialmente recta.2.- SUPUESTOS BASE.Para establecer una serie de relaciones al interior de lasección, indicamos que se trata de una viga, cuyo materialse encuentra solicitado dentro del rango deproporcionalidad entre tensiones y deformaciones, y endonde se admite la conservación de las caras planas. Dichoen otra forma, donde se cumplen la ley de Hooke y lahipótesis de Bernouilli-Navier.a.- LEY DE HOOKE.Establece que la relación entre la tensión y la deformaciónunitaria es una constante y se denomina módulo deelasticidad. τ1. E = ε E = Elasticidad (kg/cm 2). τ = Tensión (kg/cm 2) e = Deformación Unitariao expresado de otra forma: τ= E eb.- DEDUCCION DE LA FORMULA DE FLEXIONDe la deducción realizada para dimensionar elementossometidos a la flexión simple sabemos que: MV2. ? τ= I τ = Tensión (kg/cm 2) M = Momento flector (kg.cm). V = Distancia desde la fibra neutra a la fibra más traccionada o más comprimida. (cm). I = Inercia (cm 4).Si igualamos las expresiones 1. y 2. tenemos que:MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 5
  6. 6. MV Eε = o I3. ε = MV EIc.- ANALISIS DE LA SECCIONLa sección cc’tt’, inicialmente recta, se curva con un radioR como indica el gráfico. La fibra cc’ se acorta a cc”. La fibra tt’ se alarga a tt”, y La fibra nn’ permanece del mismo largo.Por triángulos semejantes non’ y t’n’t” obtenemos ∆ds V4. = = ε ??(Deformación unitaria) ds REl arco es igual al producto del ángulo por el radio. ds = dφ R o I dφ5. = R dsIgualando las ecuaciones 3. con 4. , obtenemos: V MV = /:V R EI 1 Mo = R EIReemplazamos en la ecuación 5. I M dφ = = R EI ds M .ds dφ = EIComo nos estamos refiriendo a una sección infinitamentepequeña, la diferencia entre un arco y su proyecciónhorizontal es mínima: ds ≈ dxLa expresión final indica que la curvatura de la líneaelástica es una variable proporcional al momento flector. M.dx dφ = EI6
  7. 7. Folio EST 02-01 MORFOLOGÍA ESTRUCTURAL3.- METODOS DE CALCULOExisten diferentes métodos para abordar el análisis de lasdeformaciones en las vigas: Método de Área de Momentos. Método de Doble Integración. Método de la Viga Conjugada.Si bien, todos presentan su mecánica propia, a la veztienen una partida común, que es justamente el análisis dela elástica expuesto anteriormente.A través de ellos buscaremos determinar el ángulo decurvatura de la línea elástica y sus deflexiones o flechas.Cada método tiene ventajas o desventajas dependiendo dela viga a analizar.3.a.-METODO DE AREA DE MOMENTOSLa deducción del capítulo anterior establece que lacurvatura de la línea elástica está en función del momentoflector de la viga. Si analizamos la relación de los ángulosen el siguiente gráfico tenemos que:Los triángulos rectángulos OAE y OBC formanrespectivamente en E y C un ángulo de 90º-dφ, por lo tantolos triángulos rectángulo ACD y BED necesariamente debeformar en D el ángulo dφ. De esta forma, también podemosreferirnos a dφ, como el ángulo que forman las tangentes ados puntos de la línea elástica y establecer nuevasrelaciones.MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 7
  8. 8. PRIMER TEOREMA DE MOHREl ángulo entre las tangentes trazadas a la elástica en dospuntos cualquiera A y B, es igual al área de momentoflector entre esos dos puntos, dividido por EI. 1 φ AB = Area entre A y B EI B B 1 1o φ AB = EI ∫ dφ = EI Mdx ∫ A ASEGUNDO TEOREMA DE MOHRLa distancia desde un punto B de la elástica de una viga,medida perpendicularmente a la posición original hasta latangente trazada por otro punto A de la elástica, es igual almomento del área de momento flector entre los dospuntos, respecto a la ordenada que pasa por B, dividido porEI. Esta distancia la denominaremos desviación tangencial. dt = x dφ (gráfico superior) A A 1 1 t BA = EI∫dt = EI ∫ x.d φ B B A 1 tBA = EI∫x.M.dx B 1 tBA = Area.AB.x EI8
  9. 9. Folio EST 02-01 MORFOLOGÍA ESTRUCTURALEJEMPLO:VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON CARGA UNIFORMEMENTEREPARTIDAEstablecemos el equilibrio externo de la viga. qL Ra = Rb = 2Determinamos la ecuación general de momento flector dela viga. qLx qx 2 Mx = − 2 2Aplicando el Primer Teorema de Mohr, podemos determinarel ángulo en el apoyo calculando el ángulo entre latangente trazada en el extremo izquierdo de la elástica y latangente trazada en el punto medio, siendo ésta latangente de pendiente nula. 1 L/2 φ AB = EI 0 Mdx ∫ L /2 1  qLx qx 2  φ AB = EI 0 ∫   2  − 2  dx  L /2 1  qLx 2 qx 3  φ AB =  −  EI  4 0 6   qL 3 qL 3 φ AB = − 16EI 48EI φ AB = φ ASiendo la viga simétrica se deduce que este valor de ánguloes también válido para el extremo derecho de ésta.MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 9
  10. 10. Otra forma de enfrentar el ejercicio, si conocemos el áreaes: 1 φ AB = φ A = EI Area entre A y B 1 qL 2 2 L φA = EI 8 3 2 qL3 φA = 24 EIPara obtener la flecha máxima aplicamos el segundoteorema de Mohr. Calculamos la desviación tangencial en elextremo izquierdo de la elástica con respecto a la tangentetrazada en el punto de flecha máxima, que en este casocorresponde a L/2. 1B t AB = EIA ∫ M.x.dx L/ 2 1  qLx qx 2  Ymáx = EI 0 ∫     2 − 2 .x .dx  L/2 1  qLx 2 qx 3  Ymáx = EI 0 ∫   2  − 2  .dx  L/ 2 1  qLx3 qx 4  Ymáx =  −  EI  6 0 8   qL4 qL4 Ymáx = − 48EI 128EI 5qL4 Ymáx = 384EISi conocemos el área y su centroide podemos realizar laoperación de la siguiente forma: 1 t AB = EI AreaAB . xA 1 qL 2 2 L 5 L t AB = EI 8 3 2 8 2 ? 5qL 4 Ymáx = 384EI10
  11. 11. Folio EST 02-01 MORFOLOGÍA ESTRUCTURAL3.b.- METODO DE DOBLE INTEGRACIONDe la deducción del Primer Teorema Mohr se obtuvo laexpresión: 1 dφ = M.dx /:dx EI dφ M = dx EILa derivada en cualquier punto de la una curva es igual a lapendiente de la tangente a la curva en ese punto. dy = Tgφ dxComo ? es d φ ⇒ Tg φ ≈ φ dy ≈ φ= dxReemplazando en la ecuación inicial obtenemos laEcuación Diferencial de la Elástica de una viga d dy M = dx dx EI d 2y M 2 = dx EIIntegrando obtenemos la Ecuación General de Pendiente. dy 1 = dx EI ∫ Mdx + C1Integrando nuevamente obtenemos la Ecuación General deFlecha. 1 y= EI ∫∫ Mdx + C 1 + C2Este método nos permite calcular las pendientes ydeflexiones de la viga en cualquier punto. La dificultadradica en despejar las constantes de integración. Esto selogra analizando las condiciones de apoyo y la deformaciónde la vigaMATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 11
  12. 12. EJEMPLO:VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON CARGA UNIFORMEMENTEREPARTIDALa ecuación diferencial de la elástica de una viga está dadapor la expresión: d2 y M d2 y = o EI =M dx 2 EI dx 2El valor de momento varía en función de X de acuerdo a laecuación general antes establecida: qLx qx 2 Mx = − 2 2Entonces la ecuación diferencial de la elástica para estaviga es: d2 y qLx qx 2 EI = − dx 2 2 2Integrando obtenemos la ecuación de pendiente paracualquier punto de la elástica. dy qLx qx 2 EI dx = ∫ 2 − 2 dy qLx 2 qx 3 EI = − + C1 dx 4 6Por simetría, la flecha máxima está en el punto medio de laviga, por lo que la tangente trazada en este punto de laelástica es de pendiente nula, es decir, dy si: X = L/2 =0 dx12
  13. 13. Folio EST 02-01 MORFOLOGÍA ESTRUCTURALPor lo tanto: qL L2 q L3 0= − + C1 4 4 6 8 qL3 C1 = − 24Entonces la ecuación general de la pendiente es: dy qLx 2 qx 3 qL 3 φ= = − − dx 4EI 6EI 24EILa ecuación de flecha la obtenemos integrando la ecuaciónde anterior: qLx3 qx 4 qL3 x EI.y = − − + C2 12 24 24Según las condiciones de apoyo, la flecha es nula cuando X=0o X=L Si X=0 0 = C2 qLx 3 qx 4 qL 3 x Si X=L 0= − − + C2 12 24 24Por lo tanto C2 = 0Entonces la ecuación general de flecha es: qLx 3 qx 4 qL 3 x y= − − 12EI 24EI 24EILos ángulos en los apoyos se obtiene reemplazando X=0 yX=L en la ecuación correspondiente qL3 φA = − 24EI qL3 φB = 24 EIy la flecha máxima reemplazando en X = L/2. 5qL4 Ymáx = 384EIMATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 13
  14. 14. 3.c.- METODO DE VIGA CONJUGADAEste método se basa en los mismos principios del métodode área de momento, pero difiere en su aplicación.Consiste en generar, una nueva viga ficticia de la mismalongitud, y con las mismas condiciones de apoyo que la vigaoriginal, pero cargada con el diagrama del momento flectorde la viga original dividido por EI. De esta manera, elángulo de la tangente trazada en cualquier punto de laelástica de la viga real está dada por el cortante (Q’ ) de lanueva viga, y la flecha se determina calculando elmomento flector (M’) de esa viga ficticiaSegún lo anterior, podemos establecer las siguientesequivalencias: VIGA REAL VIGA FICTICIA. momento M carga M/EI ángulo φ cortante Q’ flecha Y momento M’Podemos afirmar que existe una analogía entre lasrelaciones carga - cortante - momento - y momento -pendiente - flecha.EJEMPLOVIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON CARGA UNIFORMEMENTEREPARTIDAPara la aplicación del método es necesario determinar elgráfico de momento flector y sus valores característicos. qL 2 M max = 8Para obtener los valores de ángulo y flecha generamos unaviga ficticia o conjugada.VIGA FICTICIAGeneramos una viga y le aplicamos como carga el momentoflector de la viga dada dividido por EI Mmáx qL 2 q = = EI 8EI14
  15. 15. Folio EST 02-01 MORFOLOGÍA ESTRUCTURALEl cortante de la viga ficticia corresponde a la pendienteque adquiere la tangente trazada a la curva elástica de laviga real, por lo que el gráfico de cortante de la vigaficticia representa los cambios en la pendiente. El ánguloen el punto de apoyo de la viga original equivale a lareacción de la viga conjugada. qL2 2 L φA = Ra = 8EI 3 2 qL 3 φA = 24EIEl momento flector de la viga ficticia corresponde aldescenso de la viga real al deformarse. En este caso, elgráfico de momento de la viga ficticia representará losvalores de deformación de la viga real. Como el descensomáximo de la viga es en L/2, determinamos el momentomáximo de la viga ficticia en ese punto. qL3 L qL2 2 L 3 L YMAX = M MAX = − 24EI 2 8EI 3 2 8 2 5qL 4 YMAX = 384EIMATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 15
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  17. 17. Folio EST 02-01 MORFOLOGÍA ESTRUCTURALIII. APLICACIÓN.1.- VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON CARGA PUNTUALAPLICADA EN L/2.1.a.- POR MÉTODO DE AREA DE MOMENTOSEstablecemos el equilibrio externo. P RA = RB = 2Determinamos la ecuación general de momento flector. Px Mx = 2Por simetría de la viga, deducimos que la pendiente de latangente trazada en el punto medio de la curva elástica esnula. Para la aplicación de los Teoremas de Mohr, debemosconsiderar la tangente trazada en el extremo izquierdo dela elástica y la tangente trazada en el punto medio de ésta.Para determinar los valores de ángulo en los apoyoscalculamos el ángulo entre las dos tangentes 1B φ AB = EIA ∫ Mdx . φ AB = φ A 1L / 2 ∫  2 .dx  Px φA = EI 0 L/ 2 1  Px  2 φA =   EI  4    0 PL2 φA = 16EIMATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 17
  18. 18. y la flecha máxima la obtenemos calculando la desviacióntangencial en el extremo izquierdo con respecto a latangente trazada por el punto medio de la curva elástica. 1B Ymáx = EI A ∫ M.x.dx L /2 1  Px  Ymáx = EI 0 ∫  2 .x.dx   L /2 1  Px 3  Ymáx =   EI 0 6  PL3 Ymáx = 48EI1.b.- POR MÉTODO DOBLE INTEGRACIÓN.Como la viga es simétrica analizamos sólo el primer tramo.Con la ecuación general de momento, establecemos laecuación diferencial de la elástica. d 2 y Px EI. = dx 2 2Integrando dos veces la ecuación obtenemos: dy Px 2 EI = + C1 dx 4 Px 3 EI.y = + C1x + C 2 12Según la deformación de la viga, la pendiente de latangente trazada en el centro de la viga es nula, es decir: dy Si X = L/2 =0 dx P L2 0= + C1 4 4 PL2 C1 = − 16Entonces la ecuación general de ángulo es: dy Px 2 PL 2 EI = − dx 4 1618
  19. 19. Folio EST 02-01 MORFOLOGÍA ESTRUCTURALSegún las condiciones de apoyo, la flecha es nula en elapoyo de la viga, es decir cuando X = 0 Por lo tanto C2 = 0Entonces la ecuación general de flecha es Px 3 PL2 x EI.y = − 12 16El ángulo en el apoyo se obtiene reemplazando X=0 en laecuación correspondiente PL 2 φA = 16EIY la flecha máxima reemplazando en X = L/2. Pl 3 Ymáx = 48.EI1.c.- POR MÉTODO DE VIGA CONJUGADA.VIGA REALDeterminamos el gráfico de momento flector y sus valo rescaracterísticos PL M máx = 4Generamos una viga ficticia y le aplicamos como carga elmomento flector de la viga dada dividido por EI. Y ledeterminamos las reacciones y el momento máximo,valores correspondientes a los ángulos en los apoyos y aldescenso máximo de la viga dada.VIGA FICTICIA PL Mmáx = q = 4EI PL L 1 PL2 φA = Ra = = 4EI 2 L 16EI PL2 φA = 16EIMATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 19
  20. 20. Este valor de ángulo es válido también para el otroextremo, porque la viga es simétrica. Y por la mismacondición, el momento máximo se produce cuando X=L/2 PL2 L PL 1 L 1 L Ymáx = Mmáx = − 16 EI 2 4EI 2 2 3 2 PL 3 Ymáx = 48EI20
  21. 21. Folio EST 02-01 MORFOLOGÍA ESTRUCTURAL2.- VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON CARGA TRIANGULAR2.a.- POR MÉTODO DE AREA DE MOMENTOEstablecemos el equilibrio externo. qL R A = RB = 4Determinamos la ecuación general de momento flector. q* q = x L/2 2 qx q* = L qLx 2qx x x Mx = − 4 L 3 2 qLx qx 3 Mx = − 4 3LComo la viga es simétrica, la tangente trazada por el puntomedio de la elástica es de pendiente nula. Para determinarel ángulo en el apoyo calculamos el ángulo entre latangente trazada en el extremo y la tangente trazada enL/2. L/ 2 1  qLx qx 3  φ AB = φ A = EI 0 ∫   4 − 3L .dx   L/2 1  qLx 2 qx 4  φA =  −  EI 0  8  12L   qL3 qL3 φA = − 32EI 192 EI 5qL3 φA = 192 EIMATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 21
  22. 22. Para determinar la flecha máxima se calcula la desviacióntangencial en el extremo de la viga con r especto a latangente trazada en L/2. L/2 1  qLx qx 3  t AB = EI 0 ∫   4  − 3L .x.dx   L/ 2 1  qLx 2 qx 4  t AB = EI 0 ∫   4 − 3L .dx   L /2 1  qLx 3 qx 5  t AB =  −  EI 0 12 15L  qL4 qL 4 t AB = − 96EI 480EI qL4 YMAX = 120 EI2.b.- POR METODO DE DOBLE INTEGRACIONLa viga es simétrica por lo tanto se puede analizar un sólotramo. Con la ecuación general de momento flectorestablecemos la ecuación diferencial de la elástica para elprimer tramo. qLx qx 3 Mx = − 4 3L d2 y qLx qx 3 EI. = − dx 2 4 3LIntegrando la ecuación dos veces obtenemos: dy qLx2 qx 4 EI. = − + C1 dx 8 12L qLx 3 qx 5 EI.y = − + C 1x + C 2 24 60LSegún la deformación de la viga, la pendiente es nulacuando X = L/222
  23. 23. Folio EST 02-01 MORFOLOGÍA ESTRUCTURAL qL L2 q L4 0= − + C1 8 4 12.L 16 5qL3 C1 = − 192Según las condiciones de apoyo, la flecha es nula cuandoX=0Por lo tanto C2 = 0Reemplazando C1 y C2 en las ecuaciones anterioresobtenemos:Ecuación general de ángulo: dy qLx 2 qx 4 5 qL3 EI. = − − dx 8 12L 192Ecuación general de flecha: qLx 3 qx 5 5qL3 x EI.y = − + 24 60L 192Determinamos el ángulo en los apoyos reemplazando X=0en la ecuación correspondiente 5qL 3 φA = − 192 EISiendo simétrica la viga, este valor también es válido parael otro extremo de la viga.Y la flecha máxima reemplazando en X = L/2. qL4 YMAX = − 120 EIMATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 23
  24. 24. 3.- VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON CARGA PUNTUALAPLICADA EN 3L/43.a.- POR MÉTODO DE ÁREA DE MOMENTOS.Establecemos el equilibrio externo determinando las reaccionesen los apoyos. P 3P Ra = Rb = 4 4Determinamos las ecuaciones de momento flector para losdos tramos:de 0 a 3L/4 y de 3L/4 a L Px M x T1 = 4 3PL 3Px Mx T 2 = − 4 4 3PL M MAX = 16En una viga asimétrica la curva elástica no es simétrica conrespecto a su centro, lo que produce una mayor dificultadpara determinar el punto cuya tangente sea de pendientenula. Para determinar los ángulos en los apoyos y la flechamáxima, debemos recordar algunos supuestos iniciales:El arco es el producto entre un ángulo y un radio. Ladeformación que se produce en una viga es muy pequeñaen comparación con la longitud de ella; por lo tanto elángulo que se genera es también reducido. De forma que,no existe gran diferencia entre un arco y su proyecciónvertical (desviación tangencial). Arco = ángulo x radio ≈ t = ángulo x largo24
  25. 25. Folio EST 02-01 MORFOLOGÍA ESTRUCTURALEntonces para calcular los ángulos en los apoyos debemoscalcular primero la desviación tangencial en un extremo dela viga con respecto a la tangente trazada en el otroextremo 1  3PL 3L 1  1 3L L  3PL L 1 2 L  t (L− 0 ) =   + +  EI  16 4 2  3 4 4  16 4 2 3 4  5PL3 t (L− 0 ) = 128EIComo t = ángulo x largo se deduce que ángulo (φ)= t/largo t(L − 0) = φ O .L 5PL3 1 t( L − 0) = φO = 128EI L 5PL2 φO = 128EIPara determinar el valor de la flecha máxima, necesitamossaber su ubicación. El ángulo corresponde a un área demomento dividido por EI. Ahora que conocemos el valor deesa área de momento (φO) podemos obtener su extensión. 5PL2 Px x φO = = 128 EI 4EI 2 40L2 x2 = 128 5.L x= 4Para determinar la flecha máxima calculamos la desviacióntangencial en 0, con respecto a la tangente trazada a laelástica en X=√5L/4 3 1  Px x 2  Px t (0− 5.L / 4) =  x = EI  4 2 3  12 EI 3 5 5.PL t (0− 5.L / 4) = 768EIMATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 25
  26. 26. 3.b.- POR MÉTODO DE DOBLE INTEGRACIÓN.Con las ecuaciones generales de momento establecemos lasecuaciones diferenciales para ambos tramos, integrándolados veces obtenemos:TRAMO 1 (0-3L/4) d2 y Px EI 2 = dx 4 dy Px 2 EI = + C1 dx 8 Px 3 EI.y = + C1 x + C 2 24TRAMO 2 (3L/4-L) d 2 y 3PL 3Px EI = − dx 2 4 4 dy 3PLx 3Px 2 EI = − + C3 dx 4 8 3PLx 2 3Px 3 EI.y = − + C3 x + C4 8 24Según las condiciones de apoyoLa flecha es nula cuando X = 0 para el primer tramo C2 = 0La flecha es nula cuando X = L para el segundo tramo 3PL3 3PL3 EI.0 = − + C 3 .L + C 4 8 24 PL3 C4 = − − C 3 .L 4Según la deformación de la viga la pendiente es única paraambos tramos cuando X=3L/4. Entonces igualamos lasecuaciones de pendiente de ambos tramos en 3L/4 Px 2 3PLx 3Px 2 + C1 = − + C3 8 4 826
  27. 27. Folio EST 02-01 MORFOLOGÍA ESTRUCTURAL 3PL2 9PL2 27 PL2 + C1 = − + C3 128 16 128 36PL2 C1 = + C3 128Del mismo modo igualamos las ecuaciones de flecha d eambos tramos en 3L/4 27PL3 108PL3 3L 27PL3 81 3 PL 3L PL4 + + C3 = − + C3 − C3 − C3L 1536 512 4 128 1536 4 4 41PL2 C3 = − 128Reemplazamos C3 en las ecuaciones anteriormente obtenidas. 36PL2 41PL2 5PL 2 C1 = − =− 128 128 128 PL3 41 3 9PL3 PL C4 = − + = 4 128 128Entonces las ecuaciones generales de ángulo y flecha son:TRAMO 1Ecuación de pendiente válida para 0 ≤ X ≤3L/4 dy Px 2 5PL2 EI = − dx 8 128Ecuación de flecha válida para 0 ≤ X ≤3L/4 Px 3 5PL2 x EI.y = − 24 128TRAMO 2Ecuación de pendiente válida para 3L/4 ≤ X ≤L dy 3PLx 3Px 2 41 2 PL EI = − − dx 4 8 128Ecuación de flecha válida para 3L/4 ≤ X ≤L 3PLx 2 3Px 3 41PL2 x 9PL 3 EI.y = − − + 8 24 128 128MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 27
  28. 28. Para determinar la ubicación de la flecha máxima en laviga es necesario considerar que la flecha es máximacuando el ángulo es nulo, para lo cual igualamos laecuación de ángulo del primer tramo a cero. Px 2 5PL2 0= − 8 128 40L2 5.L x2 = x= 128 4Los ángulos en los apoyos se obtiene reemplazando X=0 oX=L en la ecuación correspondiente 5 PL 2 φA = 128 EI 7 PL 2 φB = 128 EIY la flecha máxima reemplazando en X = √5L/4 5 5 .PL3 Ymáx = 768 .EI3.c.- POR MÉTODO DE VIGA CONJUGADACon el gráfico del momento flector y sus valorescaracterísticos generamos la viga ficticia. Px Mx T1 = 4 3PL 3Px Mx T 2 = − 4 4 3PL M MAX = 16A la viga ficticia le aplicamos como carga el momentoflector de la viga dada dividido por EI. Se determinan losángulos en los apoyos y el descenso máximo de la vigadada, calculando las reacciones en los apoyos y el momentomáximo de la viga ficticia.28
  29. 29. Folio EST 02-01 MORFOLOGÍA ESTRUCTURALVIGA FICTICIA 3PL q = M max = 16EI ? A= Ra’ ? B= Rb’ ΣMa=0 3PL 3L 1 3L 2 3PL L 1  1 L 3L  84PL3 Rb.L = +  + = 16EI 4 2 4 3 16EI 4 2  3 4 4  1536EI 7PL2 R B = φB = 128EI ΣFy=0 7PL2 3PL 1 3L 3PL L 1 Ra = − − 128 EI 16 EI 2 4 16EI 4 2 5PL 2 R A = φA = 128EIDonde Qx=0 el momento es máximo 5PL2 3PL 4 x x 0= − 128EI 16EI 3L 2 480L2 x= 1536 5.L x= = 0,559L 4 Ymax = M’max 5PL2 5.L 3PL 4 5.L 1 5.L 1 5.L 10 5 .PL3 Ymáx = − = 128EI 4 16EI 3L 4 2 4 3 4 1536EI 5 5.PL3 Ymáx = 768EIMATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 29
  30. 30. 4.- VIGA SIMPLEMENTE APOYADA CON UN MOMENTOAPLICADO EN EL EXTREMO4.a- POR MÉTODO DE ÁREA DE MOMENTO.Establecemos el equilibrio externo y determinamos laecuación general de momento flector. M M Ra = Rb = − L L Mx Mx = − LPara calcular los ángulos en los apoyos en esta vigaasimétrica, debemos calcular primero la desviacióntangencial en un extremo de la viga con respecto a latangente trazada en el otro extremo.Analizando la desviación tangencial en el punto Ldeterminamos el ángulo en 0 1  ML L  t (L− 0) = EI  2 3    ML2 t(L − 0 ) = 6 EILuego si t = ángulo x largo se deduce que ángulo = t / largo ML2 1 φ0 = 6EI L ML φ0 = 6 EI30
  31. 31. Folio EST 02-01 MORFOLOGÍA ESTRUCTURALAnalizando la desviación tangencial en el punto 0determinamos el ángulo en L 1  ML 2L  t (L− 0 ) = . EI  2 3    ML2 t(L − 0 ) = 3EI ML2 1 φL = 3EI L ML φL = 3EIPara determinar la ubicación del punto en donde la flechaes máxima aplicamos el Primer Teorema de Mohr. ML Mx x φA = = 6EI L.EI 2 ML Mx2 = 6EI 2LEI L2 L x2 = x= 3 3Para determinar la flecha máxima calculamos la desviacióntangencial desde el punto 0 con respecto a la tangentetrazada por L/√3 L/ 3 1 Mx t (o −L/ 3 ) = EI 0 ∫ L x.dx L/ 3 1 Mx2 t (o −L / 3 ) = EI 0 ∫ L L/ 3 1  Mx3  t (o−L / 3 ) =   EI 3L  0 3 1 M L  ML2 t (o −L/ 3) =   = EI 3L  3    9 3.EI ML2 Ymáx = 9 3.EIMATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 31
  32. 32. 4-b- POR MÉTODO DE DOBLE INTEGRACION.Con la ecuación general de momento flector establecemosla ecuación diferencial de la elástica. d2 y Mx EI 2 =− dx LIntegrando la ecuación diferencial dos veces obtenemos: dy Mx 2 EI =− + C1 dx 2L Mx 3 EI.y = − + C1 x + C 2 6LSegún las condiciones de apoyo, la flecha es nula cuandoX=0 y X=L Si X=0 0 = C2 ML2 Si X=L 0=− + C 1L + C 2 6 ML C1 = − 6Reemplazando los valores de C1 y C2 en las ecuacionescorrespondientes podemos determinar la ecuación generalde pendiente. dy Mx2 ML EI =− + dx 2L 6y la ecuación general de flecha. Mx3 MLx EI.y = − + 6L 6Los ángulos en los apoyos los obtenemos reemplazando X=0y X=L en la ecuación de pendiente ML φA = 6EI ML φB = − 3EIPara determinar l ubicación del punto en donde la flecha aes máxima igualamos la ecuación general de ángulo a cero. M x2 M L 0 =− + 2L 632
  33. 33. Folio EST 02-01 MORFOLOGÍA ESTRUCTURAL L2 L x2 = x= 3 3Determinamos la flecha máxima reemplazando la ecuacióngeneral de flecha en X = L/√3 ML2 YMAX = − 9 3.EI4.c.- POR MÉTODO DE VIGA CONJUGADACon el gráfico del momento flector y sus valorescaracterísticos generamos la viga ficticia. Mx Mx = − LA la viga ficticia le aplicamos como carga el momentoflector de la viga dada dividido por EI y calculando lasreacciones en los apoyos y el momento máximo de la vigaficticia determinamos los ángulos en los apoyos y eldescenso máximo de la viga dada M max M q = = EI EI M L L ML φ A = Ra =   /L =  EI 2 3  6EI ML φA = 6EI  M L 2L  ML φB = Rb =  / L =  EI 2 3  3EI ML φB = 3EI ML L M L L3 PL 2 Ymax = M max = − = 6EI 3 6LEI 2 3 3 3 9 3 .EI ML2 Ymax = 9 3 .EIMATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 33
  34. 34. 5.- VIGA EN VOLADIZO CON CARGA UNIFORMEMENTEREPARTIDA5.a.- POR MÉTODO DE ÁREA DE MOMENTOEstablecemos el equilibrio externo. Ra = qLDeterminamos la ecuación general de momento flector qx 2 Mx = − 2El ángulo entre las tangente trazadas en ambos extremosde la viga lo obtenemos aplicando el Primer Teorema deMohr. L 1 qx 2 φ OL = − EI 0 ∫ 2 dx L 1  qx 3  φ OL = −   EI0  6  qL3 φ OL = − 6EI qL 3 φ A = φOL = − 6EICalculando la desviación tangencial en 0 (extremo libre dela viga) con respecto a la tangente trazada en el otroextremo, determinamos la flecha máxima.34
  35. 35. Folio EST 02-01 MORFOLOGÍA ESTRUCTURAL L 1 qx 2 t (O − L ) = − EI 0 2 ∫ .x.dx L 1 qx 3 t (O − L ) = − EI 0 2 dx∫ L 1  qx 4  t (O− L ) = −   EI 0  8  qL4 t (O−L ) = − 8EI qL 4 Ymax = t (O −L ) = − 8EI5.b- POR MÉTODO DE DOBLE INTEGRACIONCon la ecuación general de momento flector establecemosla ecuación diferencial de la elástica. d2 y qx 2 EI 2 =− dx 2Integrando la ecuación diferencial dos veces se obtiene: dy qx 3 EI =− + C1 dx 6 qx 4 EI.y = − + C1x + C 2 24Según la deformación de la viga, la pendiente es nulacuando X = L qL3 C1 = 6Según las condiciones de apoyo, la flecha es nula cuandoX=L qL 4 C2 = − 8Reemplazando C1 y C2 en las ecuaciones anteriores seobtiene:Ecuación general de pendiente. dy qx 3 qL3 EI =− + dx 6 6MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 35
  36. 36. Ecuación general de flecha. qx 4 qL3 x qL4 EI y = − . + − 24 6 8El valor máximo de ángulo se obtiene reemplazando X=0 enla ecuación correspondiente qL3 φA = 6EIY la flecha máxima reemplazando en X = 0. qL4 Ymax = − 8EI5.c.- POR MÉTODO DE VIGA CONJUGADA.Con el gráfico de momento flector y los valorescaracterísticos generamos la viga ficticia. qx 2 Mx = − 2A la viga ficticia se le aplica como carga el momentoflector de la viga dada dividido por EILa relación establecida entre la viga ficticia y la viga real esque los valores de cortante y momento de la viga ficticiaequivalen a la pendiente y a la flecha de la viga real.Pero en el caso particular de las vigas en voladizo, lapendiente en el apoyo es nula, así como su descenso. Eneste punto no deberían existir R’ ni M’ por lo tanto para laaplicación de este método, es necesario invertir el apoyode la viga ficticia al otro extremo de la viga, de manera deencontrar R’ y M’max en el punto correspondiente M max qL2 q = = EI 2EI qL2 L φ A = Ra = 2EI 3 qL3 φA = 6EI qL2 L 3L Ymax = Mmax = 2EI 3 4 qL4 Ymax = 8EI36
  37. 37. Folio EST 02-01 MORFOLOGÍA ESTRUCTURAL6.- VIGA EN VOLADIZO CON CARGA PUNTUAL APLICADAEN EL EXTREMO LIBRE6.a.- POR MÉTODO DE AREA DE MOMENTO.Establecemos el equilibrio externo.Ra= PDeterminamos la ecuación general de momento flector.Mx= – PxEl ángulo entre las tangentes trazadas en ambos extremosde la viga lo obtenemos aplicando el Primer Teorema deMohr. L 1 φ L 0 = −P.L 2 EI PL2 φ L0 = − 2EL PL2 φ B = φ L0 = − 2EICalculando la desviación tangencial en 0 (extremo libre dela viga) con respecto a la tangente trazada en el otroextremo determinamos la flecha máxima PL2 2L t ( L −0 ) = − 2EI 3 PL3 t ( L −0 ) = − 3EI PL3 Ymax = t( L− 0 ) = − 3EIMATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 37
  38. 38. 6.b.- POR MÉTODO DE DOBLE INTEGRACIONCon la ecuación general de momento flector establecemosla ecuación diferencial de la elástica. d2 y EI = Px − PL dx 2Integrando dos veces la ecuación diferencial obtenemos: dy Px 2 EI = − PLx + C1 dx 2 Px 3 PLx 2 EI.y = − + C1 x + C2 6 2Según la deformación de la viga, la pendiente es nulacuando X = 0 C1 = 0Según las condiciones de apoyo, la flecha es nula cuandoX=0 C2 = 0Entonces las ecuaciones generales de ángulo y flecha son:Ecuación general de ángulo dy Px 2 EI = − PLx dx 2Ecuación general de flecha Px 3 PLx 2 EI.y = − 6 2El valor máximo de ángulo se encuentra en el lado derechoy se obtiene reemplazando X=L en la ecuacióncorrespondiente PL2 φB = − 2EIY la flecha máxima reemplazando en X = L. PL3 Ymax = − 3EI38
  39. 39. Folio EST 02-01 MORFOLOGÍA ESTRUCTURAL6.c- POR MÉTODO DE VIGA CONJUGADA.Con el gráfico de momento flector y los valores característicosgeneramos la viga ficticia. M = PLA la viga ficticia se le aplica como carga el momentoflector de la viga dada dividido por EIComo se ha explicado en el ejemplo anterior, en el caso delas vigas en voladizo, es necesario invertir su apoyo en elotro extremo de la viga para la aplicación del método. M max PL q = = EI EI PL L φB = R B = − EI 2 PL2 φB = − 2EI PL L 2L Ymax = Mmax = − EI 2 3 PL3 Ymax = − 3EIMATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 39
  40. 40. 40
  41. 41. Folio EST 02-01 MORFOLOGÍA ESTRUCTURALIV.- BIBLIOGRAFIAResistencia de Materiales. William A. Nash. Editorial McGraw-Hill – México. Año 1970.Resistencia de Materiales S. P. Timoshenko. Editorial Epasa-Calpe – Madrid. Año 1980.Resistencia de Materiales Ferdinand L. Singer / Andrew Pytel. Editorial Harle – México. Año 1982.MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 41
  42. 42. 42
  43. 43. Folio EST 02-01 MORFOLOGÍA ESTRUCTURALV.- INDICEI.- INTRODUCCIÓN.......................................................................... 3 .........II.- DEFORMACION EN VIGAS.............................................................. 5 1. Línea Elástica..................................................................... 5 2. Supuestos Base................................................................... 5 Ley de Hooke..................................................................... 5 Deducción de la Fórmula de Flexión.......................................... 5 Análisis de la sección........................................................... 6 3. Métodos de Cálculo.............................................................. 7 Método de Area de Momentos................................................. 7 Ejemplo....................................................................... 9 Método de Doble Integración.................................................. 11 Ejemplo....................................................................... 12 Método de Viga Conjugada..................................................... 14 Ejemplo....................................................................... 14III.- APLICACIÓN.............................................................................. 17 1. Viga simplemente apoyada con carga puntual aplicada en L/2.............. 17 Por Método de Area de Momento............................................. 17 Por Método de Doble Integración............................................. 18 Por Método de Viga Conjugada................................................ 19 2. Viga simplemente apoyada con carga triangular................................ 21 Por Método de Area de Momento............................................. 21 Por Método de Doble Integración............................................. 23 3. Viga simplemente apoyada con carga puntual aplicada en 3L/4........... 24 Por Método de Area de Momento............................................. 24 Por Método de Doble Integración............................................. 26 Por Método de Viga Conjugada................................................ 28 4. Viga simplemente apoyada con un momento aplicada en el extremo....... 30 Por Método de Area de Momento............................................. 30 Por Método de Doble Integración............................................. 32 Por Método de Viga Conjugada................................................ 33 5. Viga en voladizo con carga repartida uniformemente......................... 34 Por Método de Area de Momento............................................. 34 Por Método de Doble Integración............................................. 35 Por Método de Viga Conjugada................................................ 36 6. Viga en voladizo con carga puntual aplicada en el extremo libre............ 37 Por Método de Area de Momento............................................. 37 Por Método de Doble Integración............................................. 38 Por Método de Viga Conjugada................................................ 39IV.- BIBLIOGRAFIA........................................................................... 41V.- INDICE..................................................................................... 43MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 43

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