Licenciatura en Sistemas de
Información
Lógica y Matemática Computacional
Trabajo Práctico N°1
Prof.: Roberto Rodriguez
1) Dadas las siguientes proposiciones compuestas:
i) Reconocer las proposiciones simples que constituyen las
proposiciones...
a) San Martín nació en Yapeyú y murió en Francia.
p : San Martín nació en Yapeyú
q : San Martín murió en Francia
𝑝 ∧ 𝑞
𝑉 𝑝...
b) Si 8 es múltiplo de 9, entonces, es múltiplo de 3.
p : 8 es múltiplo de 9
q : 8 es múltiplo de 3
𝑝 ⇒ 𝑞
𝑉 𝑝 ⇒ 𝑞 = 1
Prof...
c) Maradona es argentino, sólo si es santafesino.
p : Maradona es argentino
q : Maradona es santafesino
𝑝 ⇒ 𝑞
𝑉 𝑝 ⇒ 𝑞 = 0
...
d) Los alumnos de primer año de Licenciatura en Sistemas de
Información cursan Lógica o Sociología.
p : Los alumnos de pri...
e) Río de Janeiro no es la capital de Brasil ni de Uruguay.
p : Río de Janeiro es la capital de Brasil
q : Río de Janeiro ...
f) Un triángulo es equilátero si, y sólo si, sus tres lados son
congruentes.
p : Un triángulo es equilátero
q : Los 3 lado...
g) 7 es par o impar.
p : 7 es par
q : 7 es impar
𝑝 ∨ 𝑞
𝑉 𝑝 ∨ 𝑞 = 1
Prof.: Roberto Rodriguez
h) Que hoy sea 28 de febrero equivale a que mañana es 1 de marzo
p : Hoy es 28 de febrero
q : Mañana es primero de marzo
𝑝...
2) Dadas las siguientes proposiciones simples:
• p: 6 es un número entero par.
• q: 6 es un número entero, divisible por 3...
i) 𝑝 ∧ ¬𝑞
• p: 6 es un número entero par.
• q: 6 es un número entero, divisible por 3.
6 es un número entero par y no es d...
ii) 𝑞 ⇒ ¬𝑝
• p: 6 es un número entero par.
• q: 6 es un número entero, divisible por 3.
Si 6 es un número entero divisible...
iii) p ⇔ (𝑞 ∧ 𝑟)
• p: 6 es un número entero par.
• q: 6 es un número entero, divisible por 3.
• r: 6 es menor que 5.
6 es ...
iv) p ∨ ¬𝑞 ⇒ ¬𝑟
• p: 6 es un número entero par.
• q: 6 es un número entero, divisible por 3.
• r: 6 es menor que 5.
Si 6 e...
v) ¬𝑝 ∧ 𝑞
• p: 6 es un número entero par.
• q: 6 es un número entero, divisible por 3.
6 no es un número entero par y es d...
vi) ¬(𝑝 ∧ 𝑞)
• p: 6 es un número entero par.
• q: 6 es un número entero, divisible por 3.
No es cierto que, 6 sea un enter...
vii) p ∨ 𝑟 ⇔ (¬𝑟 ∧ ¬𝑞)
• p: 6 es un número entero par.
• q: 6 es un número entero, divisible por 3.
• r: 6 es menor que 5....
b) Construir las tablas de verdad de las proposiciones compuestas
dadas en a), considerando ahora que p, q y r son proposi...
i) 𝑝 ∧ ¬𝑞
Observar que el valor de verdad de la última columna es la negación de
𝑝 ⇒ 𝑞
𝒑 𝒒 ¬𝒒 𝒑 ∧ ¬𝒒
1 1 0 0
1 0 1 1
0 1 0...
ii) 𝑞 ⇒ ¬𝑝
𝒑 𝒒 ¬𝒑 𝒒 ⇒ ¬𝒑
1 1 0 0
1 0 0 1
0 1 1 1
0 0 1 1
Prof.: Roberto Rodriguez
iii) p ⇔ (𝑞 ∧ 𝑟)
𝒑 𝒒 𝒓 𝒒 ∧ 𝒓 p ⇔ (𝑞 ∧ 𝑟)
1 1 1 1 1
1 1 0 0 0
1 0 1 0 0
1 0 0 0 0
0 1 1 1 0
0 1 0 0 1
0 0 1 0 1
0 0 0 0 1
P...
iv) p ∨ ¬𝑞 ⇒ ¬𝑟
𝒑 𝒒 𝒓 −𝒒 𝑝 ∨ ¬𝒒 −𝒓 p ∨ ¬𝑞 ⇒ ¬𝑟
1 1 1 0 1 0 0
1 1 0 0 1 1 1
1 0 1 1 1 0 0
1 0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 0 0 1
0 1 0...
v) ¬𝑝 ∧ 𝑞
𝒑 𝒒 ¬𝒑 ¬𝒑 ∧ 𝒒
1 1 0 0
1 0 0 0
0 1 1 1
0 0 1 0
Prof.: Roberto Rodriguez
vi) ¬(𝑝 ∧ 𝑞)
𝒑 𝒒 𝒑 ∧ 𝒒 ¬(𝒑 ∧ 𝒒)
1 1 1 0
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 0 1
Prof.: Roberto Rodriguez
vii) p ∨ 𝑟 ⇔ (¬𝑟 ∧ ¬𝑞)
𝒑 𝒒 𝒓 𝒑 ∨ 𝒒 ¬𝒓 ¬𝒒 ¬𝒓 ∧ ¬𝒒 p ∨ 𝑟 ⇔ (¬𝑟 ∧ ¬𝑞)
1 1 1 1 0 0 0 0
1 1 0 1 1 0 0 0
1 0 1 1 0 1 0 0
1 0 0 1...
3) Suponer que p, q, r, s y t son, en cada caso, proposiciones
simples. Analizar si la información que se da, en cada ítem...
a) 𝑝 ∧ 𝑞 ⇒ ¬𝑠 𝑉 𝑠 = 0
𝑉 𝑠 = 0 ⇒ 𝑉 ¬𝑠 = 1
Si el consecuente de una implicación es verdadera, la implicación es
verdadera.
L...
b) [𝑝 ∧ 𝑞 ∨ 𝑟 ] ⇒ ¬𝑠 𝑉 𝑠 ∧ 𝑞 = 1
𝑉 𝑠 ∧ 𝑞 = 1 ⇒ [𝑉 𝑠 = 1 ∧ 𝑉 𝑞 = 1]
Luego
𝑉 ¬𝑠 = 0
Si el consecuente es falso, debemos aver...
c) ¬𝑞 ∧ (𝑟 ∨ 𝑝) 𝑉 −𝑝 ∨ 𝑞 = 0
𝑉 −𝑝 ∨ 𝑞 = 0 ⇔
𝑉 −𝑝 = 1 ∧ 𝑉 𝑞 = 1 ∨ 𝑉 −𝑝 = 0 ∧ 𝑉 𝑞 = 0 ⇔
𝑉 𝑝 = 0 ∧ 𝑉 ¬𝑞 = 0 ∨ 𝑉 𝑝 = 1 ∧ 𝑉 −𝑞 ...
d) 𝑝 ∧ −𝑝 ∨ (𝑠 ∨ 𝑡) 𝑉 𝑡 ∨ ¬𝑠 = 0
𝑝 ∧ −𝑝 ∨ (𝑠 ∨ 𝑡)
0 ∨ (𝑠 ∨ 𝑡)
𝑠 ∨ 𝑡
𝑠 ∧ ¬𝑡 ∨ ¬𝑠 ∧ 𝑡
Por otro lado 𝑉 ¬ 𝑡 ∨ ¬𝑠 = 1 ⇒ 𝑉 −𝑡 ∧ ...
e) 𝑝 ⇒ 𝑞 ⇒ 𝑟 𝑉 𝑟 = 1
Si el consecuente es verdadero, la implicación es verdadera.
Prof.: Roberto Rodriguez
f) 𝑝 ⇒ 𝑞 ⇒ 𝑞 𝑉 𝑝 ⇒ 𝑞 = 0
Si el antecedente es falso, la implicación es verdadera.
Prof.: Roberto Rodriguez
g) 𝑝 ∨ ¬𝑞 ⇔ (¬𝑞 ∧ 𝑝) 𝑉 ¬𝑝 ⇔ 𝑞 = 1
Si 𝑉 ¬𝑝 = 1 ∧ 𝑉 𝑞 = 1 ⇒ 𝑉 𝑝 = 0 ∧ 𝑉 ¬𝑞 = 0
Luego el bicondicional es FALSO.
Si 𝑉 ¬𝑝 = 0 ...
h) 𝑝 ⇒ 𝑟 ∨ (¬𝑠 ⇔ 𝑟) ⇒ ¬(𝑞 ∨ 𝑝) 𝑉 𝑠 ⇒ 𝑝 = 0
𝑉 𝑠 = 1 ∨ 𝑉 𝑝 = 0
Luego
𝑉 𝑝 ⇒ 𝑟 = 1
𝑉 𝑝 ⇒ 𝑟 ∨ (¬𝑠 ⇔ 𝑟) =1
Si el antecedente es ...
4) Negar los siguientes esquemas proposicionales y obtener
expresiones equivalentes más simples.
a) 𝑞 ⇒ (¬𝑝 ∨ 𝑞)
¬ 𝑞 ⇒ ¬𝑝 ...
b) 𝑝 ∧ ¬𝑞 ⇔ 𝑝
¬ 𝑝 ∧ ¬𝑞 ⇔ 𝑝
¬{ 𝑝 ∧ ¬𝑞 ⇒ 𝑝 ∧ [𝑝 ⇒ 𝑝 ∧ ¬𝑞 ]}
¬ 𝑝 ∧ ¬𝑞 ⇒ 𝑝 ∨ ¬[𝑝 ⇒ 𝑝 ∧ ¬𝑞 ]
𝑝 ∧ ¬𝑞 ∧ ¬𝑝 ∨ [𝑝 ∧ ¬ 𝑝 ∧ ¬𝑞 ]
𝑝 ∧ ...
c) [ 𝑝 ⇒ 𝑞 ∧ 𝑟] ⇒ [s ∨ 𝑞 ⇒ 𝑝 ]
¬ [ 𝑝 ⇒ 𝑞 ∧ 𝑟] ⇒ [s ∨ 𝑞 ⇒ 𝑝 ]
𝑝 ⇒ 𝑞 ∧ 𝑟 ∧ ¬ [s ∨ 𝑞 ⇒ 𝑝 ]
¬𝑝 ∨ 𝑞 ∧ 𝑟 ∧ [¬𝑠 ∧ (𝑞 ∧ ¬𝑝)]
¬𝑝 ∧ ...
d) ¬𝑝 ∨ ¬𝑞 ⇔ ¬(¬𝑟 ∧ 𝑠)
¬ ¬𝑝 ∨ ¬𝑞 ⇔ ¬ ¬𝑟 ∧ 𝑠
(¬𝑝 ∨ ¬𝑞) ∨ ¬ ¬𝑟 ∧ 𝑠
¬(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑟 ∨ ¬𝑠)
Prof.: Roberto Rodriguez
5) Demostrar que las siguientes propiedades son tautologías
Involución
¬ ¬𝑝 ⇔ 𝑝
𝒑 ¬𝒑 ¬(¬𝒑) ¬ ¬𝑝 ⇔ 𝑝
1 0 1 1
1 0 1 1
0 1 0 ...
Idempotencia de la conjunción
𝑝 ∧ 𝑝 ⇔ 𝑝
𝒑 𝑝 ∧ 𝑝 𝑝 ∧ 𝑝 ⇔ 𝑝
1 1 1
1 1 1
0 0 1
0 0 1
Prof.: Roberto Rodriguez
Idempotencia de la disyunción
𝑝 ∨ 𝑝 ⇔ 𝑝
𝒑 𝑝 ∨ 𝑝 𝑝 ∨ 𝑝 ⇔ 𝑝
1 1 1
1 1 1
0 0 1
0 0 1
Prof.: Roberto Rodriguez
Asociativa de la conjunción
𝑝 ∧ 𝑞 ∧ 𝑟 ⇔ 𝑝 ∧ (𝑞 ∧ 𝑟)
𝒑 𝑞 𝑟 𝑝 ∧ 𝑞 𝑝 ∧ 𝑞 ∧ 𝑟 𝑞 ∧ 𝑟 𝑝 ∧ (𝑞 ∧ 𝑟) 𝑝 ∧ 𝑞 ∧ 𝑟 ⇔ 𝑝 ∧ (𝑞 ∧ 𝑟)
1 1 1 ...
Asociativa de la disyunción
𝑝 ∨ 𝑞 ∨ 𝑟 ⇔ 𝑝 ∨ (𝑞 ∨ 𝑟)
𝒑 𝑞 𝑟 𝑝 ∨ 𝑞 𝑝 ∨ 𝑞 ∨ 𝑟 𝑞 ∨ 𝑟 𝑝 ∨ (𝑞 ∨ 𝑟) 𝑝 ∨ 𝑞 ∨ 𝑟 ⇔ 𝑝 ∨ (𝑞 ∨ 𝑟)
1 1 1 ...
6) Demostrar que 𝑝 ∧ ¬𝑝 es una contradicción
𝑝 ∧ ¬𝑝
𝒑 ¬𝒑 𝑝 ∧ ¬𝑝
1 0 0
1 0 0
0 1 0
0 1 0
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7) Demostrar la validez de las siguientes reglas de inferencia:
a) Silogismo hipotético 𝑝 ⇒ 𝑞 ∧ 𝑞 ⇒ 𝑟 ⇒ (𝑝 ⇒ 𝑟)
𝒑 𝑞 𝑟 𝑝 ⇒ ...
b) Modus Ponens 𝑝 ⇒ 𝑞 ∧ 𝑝 ⇒ 𝑞
𝒑 𝑞 𝑝 ⇒ 𝑞 𝑝 ⇒ 𝑞 ∧ 𝑝 𝑝 ⇒ 𝑞 ∧ 𝑝 ⇒ 𝑞
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 0 0 1
0 1 1 0 1
0 1 1 0 ...
c) Modus Tollens 𝑝 ⇒ 𝑞 ∧ ¬𝑞 ⇒ ¬𝑝
𝒑 𝑞 𝑝 ⇒ 𝑞 ¬𝑞 𝑝 ⇒ 𝑞 ∧ ¬𝑞 ¬𝑝 𝑝 ⇒ 𝑞 ∧ ¬𝑞 ⇒ ¬𝑝
1 1 1 0 0 0 1
1 1 1 0 0 0 1
1 0 0 1 0 0 1
1 0 ...
8) En cada ítem establecer las condiciones posibles (𝑝 ⇒ 𝑞 ∧ 𝑞 ⇒ 𝑝) y
determinar los valores de verdad.
b) En los casos en...
X es correntino ⇒ X es argentino
𝑝 ⇒ 𝑞 es 1
Es suficiente saber p para afirmar q.
Es necesario que sea q para afirmar p.
q...
X es argentino ⇒ X es correntino
𝑞 ⇒ 𝑝 es 0
No es suficiente saber p para afirmar q.
No es necesario que sea q para afirma...
i) p: El auto se detuvo. q: El semáforo está en rojo.
𝑉 𝑝 ⇒ 𝑞 = 0
No es necesario q para p
𝑉 𝑞 ⇒ 𝑝 = 1
q es condición sufi...
ii) p: Juan es correntino. q: Juan es argentino.
𝑉 𝑝 ⇒ 𝑞 = 1
p es condición suficiente para q
𝑉 𝑞 ⇒ 𝑝 = 0
p no es necesari...
iii) p: Hoy es feriado. q: Hoy es domingo.
𝑉 𝑝 ⇒ 𝑞 = 0
p no es condición suficiente para q
𝑉 𝑞 ⇒ 𝑝 = 1
q es condición sufi...
iv) p: Hoy es sábado. q: Ayer fue viernes.
𝑉 𝑝 ⇒ 𝑞 = 1
𝑉 𝑞 ⇒ 𝑝 = 1
p es condición necesaria y suficiente para q
Prof.: Rob...
v) p: (abc) es un triángulo equilátero.
q: (abc) es un triángulo isósceles.
𝑉 𝑝 ⇒ 𝑞 = 1
𝑉 𝑞 ⇒ 𝑝 = 0
Es suficiente saber qu...
9) Dadas las siguientes implicaciones . Determinar, para cada una de
ellas, su negación y sus implicaciones asociadas.
𝑝 ⇒...
i) Si un número es múltiplo de 8, dicho número es múltiplo de 2 y de
4.
𝑝 ⇒ (𝑞 ∧ 𝑟)
• Negación: Un número es múltiplo de 8...
ii) (abcd) es un cuadrado, sólo si (abcd) es un rectángulo.
𝑝 ⇒ 𝑞
• Negación: (abcd) es un cuadrado y no es un rectángulo....
iii) Una condición necesaria, pero no suficiente, para que un número
sea nulo es que dicho número coincida con su cuadrado...
10) En cada uno de los siguientes casos, enunciar la correspondiente
conclusión de modo que el razonamiento resulte formal...
Si hay luz solar, entonces es de día.
No es de día.
Conclusión: No hay luz solar
Si está lloviendo, te esperará en el teat...
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Lógica y Matemática Computacional TP1

  1. 1. Licenciatura en Sistemas de Información Lógica y Matemática Computacional Trabajo Práctico N°1 Prof.: Roberto Rodriguez
  2. 2. 1) Dadas las siguientes proposiciones compuestas: i) Reconocer las proposiciones simples que constituyen las proposiciones compuestas dadas. ii) Escribir en símbolos las proposiciones compuestas dadas y determinar sus valores de verdad. Prof.: Roberto Rodriguez
  3. 3. a) San Martín nació en Yapeyú y murió en Francia. p : San Martín nació en Yapeyú q : San Martín murió en Francia 𝑝 ∧ 𝑞 𝑉 𝑝 ∧ 𝑞 = 1 Prof.: Roberto Rodriguez
  4. 4. b) Si 8 es múltiplo de 9, entonces, es múltiplo de 3. p : 8 es múltiplo de 9 q : 8 es múltiplo de 3 𝑝 ⇒ 𝑞 𝑉 𝑝 ⇒ 𝑞 = 1 Prof.: Roberto Rodriguez
  5. 5. c) Maradona es argentino, sólo si es santafesino. p : Maradona es argentino q : Maradona es santafesino 𝑝 ⇒ 𝑞 𝑉 𝑝 ⇒ 𝑞 = 0 Prof.: Roberto Rodriguez
  6. 6. d) Los alumnos de primer año de Licenciatura en Sistemas de Información cursan Lógica o Sociología. p : Los alumnos de primer año de LSI cursan Lógica q : Los alumnos de primer año de LSI cursan Sociología 𝑝 ∨ 𝑞 𝑉 𝑝 ∨ 𝑞 = 1 Prof.: Roberto Rodriguez
  7. 7. e) Río de Janeiro no es la capital de Brasil ni de Uruguay. p : Río de Janeiro es la capital de Brasil q : Río de Janeiro es la capital de Uruguay ¬𝑝 ∧ ¬𝑞 𝑉 ¬𝑝 ∧ ¬𝑞 = 1 Prof.: Roberto Rodriguez
  8. 8. f) Un triángulo es equilátero si, y sólo si, sus tres lados son congruentes. p : Un triángulo es equilátero q : Los 3 lados de un triángulo son congruentes 𝑝 ⇔ 𝑞 𝑉 𝑝 ⇔ 𝑞 = 1 Prof.: Roberto Rodriguez Prof.: Roberto Rodriguez
  9. 9. g) 7 es par o impar. p : 7 es par q : 7 es impar 𝑝 ∨ 𝑞 𝑉 𝑝 ∨ 𝑞 = 1 Prof.: Roberto Rodriguez
  10. 10. h) Que hoy sea 28 de febrero equivale a que mañana es 1 de marzo p : Hoy es 28 de febrero q : Mañana es primero de marzo 𝑝 ⇔ 𝑞 𝑉 𝑝 ⇔ 𝑞 = 0 Prof.: Roberto Rodriguez
  11. 11. 2) Dadas las siguientes proposiciones simples: • p: 6 es un número entero par. • q: 6 es un número entero, divisible por 3. • r: 6 es menor que 5. a) Escribir en lenguaje coloquial, las siguientes proposiciones compuestas: Prof.: Roberto Rodriguez
  12. 12. i) 𝑝 ∧ ¬𝑞 • p: 6 es un número entero par. • q: 6 es un número entero, divisible por 3. 6 es un número entero par y no es divisible por 3. Prof.: Roberto Rodriguez
  13. 13. ii) 𝑞 ⇒ ¬𝑝 • p: 6 es un número entero par. • q: 6 es un número entero, divisible por 3. Si 6 es un número entero divisible por 3, entonces no es par. Prof.: Roberto Rodriguez
  14. 14. iii) p ⇔ (𝑞 ∧ 𝑟) • p: 6 es un número entero par. • q: 6 es un número entero, divisible por 3. • r: 6 es menor que 5. 6 es un número entero par, si y sólo si es divisible por 3 y es menor que 5. Que 6 sea un entero par equivale a que sea divisible por 3 o menor que 5. Prof.: Roberto Rodriguez
  15. 15. iv) p ∨ ¬𝑞 ⇒ ¬𝑟 • p: 6 es un número entero par. • q: 6 es un número entero, divisible por 3. • r: 6 es menor que 5. Si 6 es un número entero par o no es divisible por 3, entonces no es menor que 5. Prof.: Roberto Rodriguez
  16. 16. v) ¬𝑝 ∧ 𝑞 • p: 6 es un número entero par. • q: 6 es un número entero, divisible por 3. 6 no es un número entero par y es divisible por 3. Prof.: Roberto Rodriguez
  17. 17. vi) ¬(𝑝 ∧ 𝑞) • p: 6 es un número entero par. • q: 6 es un número entero, divisible por 3. No es cierto que, 6 sea un entero par y divisible por 3. Prof.: Roberto Rodriguez
  18. 18. vii) p ∨ 𝑟 ⇔ (¬𝑟 ∧ ¬𝑞) • p: 6 es un número entero par. • q: 6 es un número entero, divisible por 3. • r: 6 es menor que 5. Que 6 sea un número entero par o menor que 5, es equivalente a que no sea menor que 5 ni divisible por 3. Que 6 sea un número entero par o menor que 5, es equivalente a que no sea menor que 5 y que no sea divisible por 3. Prof.: Roberto Rodriguez
  19. 19. b) Construir las tablas de verdad de las proposiciones compuestas dadas en a), considerando ahora que p, q y r son proposiciones simples cualesquiera. Prof.: Roberto Rodriguez
  20. 20. i) 𝑝 ∧ ¬𝑞 Observar que el valor de verdad de la última columna es la negación de 𝑝 ⇒ 𝑞 𝒑 𝒒 ¬𝒒 𝒑 ∧ ¬𝒒 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 Prof.: Roberto Rodriguez
  21. 21. ii) 𝑞 ⇒ ¬𝑝 𝒑 𝒒 ¬𝒑 𝒒 ⇒ ¬𝒑 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 Prof.: Roberto Rodriguez
  22. 22. iii) p ⇔ (𝑞 ∧ 𝑟) 𝒑 𝒒 𝒓 𝒒 ∧ 𝒓 p ⇔ (𝑞 ∧ 𝑟) 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 Prof.: Roberto Rodriguez
  23. 23. iv) p ∨ ¬𝑞 ⇒ ¬𝑟 𝒑 𝒒 𝒓 −𝒒 𝑝 ∨ ¬𝒒 −𝒓 p ∨ ¬𝑞 ⇒ ¬𝑟 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 Prof.: Roberto Rodriguez
  24. 24. v) ¬𝑝 ∧ 𝑞 𝒑 𝒒 ¬𝒑 ¬𝒑 ∧ 𝒒 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 Prof.: Roberto Rodriguez
  25. 25. vi) ¬(𝑝 ∧ 𝑞) 𝒑 𝒒 𝒑 ∧ 𝒒 ¬(𝒑 ∧ 𝒒) 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 Prof.: Roberto Rodriguez
  26. 26. vii) p ∨ 𝑟 ⇔ (¬𝑟 ∧ ¬𝑞) 𝒑 𝒒 𝒓 𝒑 ∨ 𝒒 ¬𝒓 ¬𝒒 ¬𝒓 ∧ ¬𝒒 p ∨ 𝑟 ⇔ (¬𝑟 ∧ ¬𝑞) 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 Prof.: Roberto Rodriguez
  27. 27. 3) Suponer que p, q, r, s y t son, en cada caso, proposiciones simples. Analizar si la información que se da, en cada ítem, es suficiente para determinar el valor de verdad de las proposiciones compuestas dadas a continuación, sin construir la tabla. Si la información es suficiente, determinar el valor de verdad y justificar la respuesta. Si la información no es suficiente, construir la tabla de verdad para los casos que correspondan. Prof.: Roberto Rodriguez
  28. 28. a) 𝑝 ∧ 𝑞 ⇒ ¬𝑠 𝑉 𝑠 = 0 𝑉 𝑠 = 0 ⇒ 𝑉 ¬𝑠 = 1 Si el consecuente de una implicación es verdadera, la implicación es verdadera. La información es suficiente. 𝑉 𝑝 ∧ 𝑞 ⇒ ¬𝑠 = 1 Prof.: Roberto Rodriguez
  29. 29. b) [𝑝 ∧ 𝑞 ∨ 𝑟 ] ⇒ ¬𝑠 𝑉 𝑠 ∧ 𝑞 = 1 𝑉 𝑠 ∧ 𝑞 = 1 ⇒ [𝑉 𝑠 = 1 ∧ 𝑉 𝑞 = 1] Luego 𝑉 ¬𝑠 = 0 Si el consecuente es falso, debemos averiguar el valor de verdad del antecedente. Prof.: Roberto Rodriguez
  30. 30. c) ¬𝑞 ∧ (𝑟 ∨ 𝑝) 𝑉 −𝑝 ∨ 𝑞 = 0 𝑉 −𝑝 ∨ 𝑞 = 0 ⇔ 𝑉 −𝑝 = 1 ∧ 𝑉 𝑞 = 1 ∨ 𝑉 −𝑝 = 0 ∧ 𝑉 𝑞 = 0 ⇔ 𝑉 𝑝 = 0 ∧ 𝑉 ¬𝑞 = 0 ∨ 𝑉 𝑝 = 1 ∧ 𝑉 −𝑞 = 1 En el primer caso la proposición compuesta es FALSA. Si V(¬q)=0 la conjunción es FALSA. En el segundo caso la proposición compuesta es VERDADERA. La disyunción es verdadera y la conjunción también. Prof.: Roberto Rodriguez
  31. 31. d) 𝑝 ∧ −𝑝 ∨ (𝑠 ∨ 𝑡) 𝑉 𝑡 ∨ ¬𝑠 = 0 𝑝 ∧ −𝑝 ∨ (𝑠 ∨ 𝑡) 0 ∨ (𝑠 ∨ 𝑡) 𝑠 ∨ 𝑡 𝑠 ∧ ¬𝑡 ∨ ¬𝑠 ∧ 𝑡 Por otro lado 𝑉 ¬ 𝑡 ∨ ¬𝑠 = 1 ⇒ 𝑉 −𝑡 ∧ 𝑠 = 1. Por lo tanto la conjunción es VERDADERA. Prof.: Roberto Rodriguez
  32. 32. e) 𝑝 ⇒ 𝑞 ⇒ 𝑟 𝑉 𝑟 = 1 Si el consecuente es verdadero, la implicación es verdadera. Prof.: Roberto Rodriguez
  33. 33. f) 𝑝 ⇒ 𝑞 ⇒ 𝑞 𝑉 𝑝 ⇒ 𝑞 = 0 Si el antecedente es falso, la implicación es verdadera. Prof.: Roberto Rodriguez
  34. 34. g) 𝑝 ∨ ¬𝑞 ⇔ (¬𝑞 ∧ 𝑝) 𝑉 ¬𝑝 ⇔ 𝑞 = 1 Si 𝑉 ¬𝑝 = 1 ∧ 𝑉 𝑞 = 1 ⇒ 𝑉 𝑝 = 0 ∧ 𝑉 ¬𝑞 = 0 Luego el bicondicional es FALSO. Si 𝑉 ¬𝑝 = 0 ∧ 𝑉 𝑞 = 0 ⇒ 𝑉 𝑝 = 1 ∧ 𝑉 ¬𝑞 = 1 Luego el bicondicional es VERDADERO. Por lo tanto la información es insuficiente, no permite determinar el valor de verdad del bicondicional. Prof.: Roberto Rodriguez
  35. 35. h) 𝑝 ⇒ 𝑟 ∨ (¬𝑠 ⇔ 𝑟) ⇒ ¬(𝑞 ∨ 𝑝) 𝑉 𝑠 ⇒ 𝑝 = 0 𝑉 𝑠 = 1 ∨ 𝑉 𝑝 = 0 Luego 𝑉 𝑝 ⇒ 𝑟 = 1 𝑉 𝑝 ⇒ 𝑟 ∨ (¬𝑠 ⇔ 𝑟) =1 Si el antecedente es verdadero, debemos averiguar el valor de verdad del consecuente. Pero el valor de verdad 𝑞 ∨ 𝑝 depende del valor de 𝑞 que es desconocido. Por lo tanto no podemos determinar el valor de verdad. Prof.: Roberto Rodriguez
  36. 36. 4) Negar los siguientes esquemas proposicionales y obtener expresiones equivalentes más simples. a) 𝑞 ⇒ (¬𝑝 ∨ 𝑞) ¬ 𝑞 ⇒ ¬𝑝 ∨ 𝑞 Usando la negación de una implicación 𝑞 ∧ ¬(¬𝑝 ∨ 𝑞) Usando la negación de una conjugación 𝑞 ∧ ¬ ¬𝑝 ∧ ¬𝑞 Usando Idempotencia y conmutatividad 𝑝 ∧ 𝑞 ∧ ¬𝑞 𝑝 ∧ 0 0 http://www.wolframalpha.com Prof.: Roberto Rodriguez
  37. 37. b) 𝑝 ∧ ¬𝑞 ⇔ 𝑝 ¬ 𝑝 ∧ ¬𝑞 ⇔ 𝑝 ¬{ 𝑝 ∧ ¬𝑞 ⇒ 𝑝 ∧ [𝑝 ⇒ 𝑝 ∧ ¬𝑞 ]} ¬ 𝑝 ∧ ¬𝑞 ⇒ 𝑝 ∨ ¬[𝑝 ⇒ 𝑝 ∧ ¬𝑞 ] 𝑝 ∧ ¬𝑞 ∧ ¬𝑝 ∨ [𝑝 ∧ ¬ 𝑝 ∧ ¬𝑞 ] 𝑝 ∧ ¬𝑝 ∧ ¬𝑞 ∨ [𝑝 ∧ (¬𝑝 ∨ 𝑞] 0 ∧ ¬𝑞 ∨ [ 𝑝 ∧ ¬𝑝 ∨ 𝑝 ∧ 𝑞 ] 0 ∨ 0 ∨ 𝑝 ∧ 𝑞 𝑝 ∧ 𝑞 wolframalpha.com Prof.: Roberto Rodriguez
  38. 38. c) [ 𝑝 ⇒ 𝑞 ∧ 𝑟] ⇒ [s ∨ 𝑞 ⇒ 𝑝 ] ¬ [ 𝑝 ⇒ 𝑞 ∧ 𝑟] ⇒ [s ∨ 𝑞 ⇒ 𝑝 ] 𝑝 ⇒ 𝑞 ∧ 𝑟 ∧ ¬ [s ∨ 𝑞 ⇒ 𝑝 ] ¬𝑝 ∨ 𝑞 ∧ 𝑟 ∧ [¬𝑠 ∧ (𝑞 ∧ ¬𝑝)] ¬𝑝 ∧ 𝑟 ∨ 𝑞 ∧ 𝑟 ∧ ¬𝑠 ∧ 𝑞 ∧ ¬𝑝 [ ¬𝑝 ∧ 𝑟 ∧ ¬𝑠 ∧ 𝑞 ∧ ¬𝑝 ] ∨ [ 𝑞 ∧ 𝑟 ∧ ¬𝑠 ∧ 𝑞 ∧ ¬𝑝 ] ¬𝑝 ∧ 𝑞 ∧ 𝑟 ∧ ¬𝑠 http://www.wolframalpha.com/ Prof.: Roberto Rodriguez
  39. 39. d) ¬𝑝 ∨ ¬𝑞 ⇔ ¬(¬𝑟 ∧ 𝑠) ¬ ¬𝑝 ∨ ¬𝑞 ⇔ ¬ ¬𝑟 ∧ 𝑠 (¬𝑝 ∨ ¬𝑞) ∨ ¬ ¬𝑟 ∧ 𝑠 ¬(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑟 ∨ ¬𝑠) Prof.: Roberto Rodriguez
  40. 40. 5) Demostrar que las siguientes propiedades son tautologías Involución ¬ ¬𝑝 ⇔ 𝑝 𝒑 ¬𝒑 ¬(¬𝒑) ¬ ¬𝑝 ⇔ 𝑝 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Prof.: Roberto Rodriguez
  41. 41. Idempotencia de la conjunción 𝑝 ∧ 𝑝 ⇔ 𝑝 𝒑 𝑝 ∧ 𝑝 𝑝 ∧ 𝑝 ⇔ 𝑝 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 Prof.: Roberto Rodriguez
  42. 42. Idempotencia de la disyunción 𝑝 ∨ 𝑝 ⇔ 𝑝 𝒑 𝑝 ∨ 𝑝 𝑝 ∨ 𝑝 ⇔ 𝑝 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 Prof.: Roberto Rodriguez
  43. 43. Asociativa de la conjunción 𝑝 ∧ 𝑞 ∧ 𝑟 ⇔ 𝑝 ∧ (𝑞 ∧ 𝑟) 𝒑 𝑞 𝑟 𝑝 ∧ 𝑞 𝑝 ∧ 𝑞 ∧ 𝑟 𝑞 ∧ 𝑟 𝑝 ∧ (𝑞 ∧ 𝑟) 𝑝 ∧ 𝑞 ∧ 𝑟 ⇔ 𝑝 ∧ (𝑞 ∧ 𝑟) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 Prof.: Roberto Rodriguez
  44. 44. Asociativa de la disyunción 𝑝 ∨ 𝑞 ∨ 𝑟 ⇔ 𝑝 ∨ (𝑞 ∨ 𝑟) 𝒑 𝑞 𝑟 𝑝 ∨ 𝑞 𝑝 ∨ 𝑞 ∨ 𝑟 𝑞 ∨ 𝑟 𝑝 ∨ (𝑞 ∨ 𝑟) 𝑝 ∨ 𝑞 ∨ 𝑟 ⇔ 𝑝 ∨ (𝑞 ∨ 𝑟) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 Prof.: Roberto Rodriguez
  45. 45. 6) Demostrar que 𝑝 ∧ ¬𝑝 es una contradicción 𝑝 ∧ ¬𝑝 𝒑 ¬𝒑 𝑝 ∧ ¬𝑝 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 Prof.: Roberto Rodriguez
  46. 46. 7) Demostrar la validez de las siguientes reglas de inferencia: a) Silogismo hipotético 𝑝 ⇒ 𝑞 ∧ 𝑞 ⇒ 𝑟 ⇒ (𝑝 ⇒ 𝑟) 𝒑 𝑞 𝑟 𝑝 ⇒ 𝑞 𝑞 ⇒ 𝑟 𝑝 ⇒ 𝑞 ∧ 𝑞 ⇒ 𝑟 𝑝 ⇒ 𝑟 𝑝 ⇒ 𝑞 ∧ 𝑞 ⇒ 𝑟 ⇒ (𝑝 ⇒ 𝑟) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 Prof.: Roberto Rodriguez
  47. 47. b) Modus Ponens 𝑝 ⇒ 𝑞 ∧ 𝑝 ⇒ 𝑞 𝒑 𝑞 𝑝 ⇒ 𝑞 𝑝 ⇒ 𝑞 ∧ 𝑝 𝑝 ⇒ 𝑞 ∧ 𝑝 ⇒ 𝑞 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 Prof.: Roberto Rodriguez
  48. 48. c) Modus Tollens 𝑝 ⇒ 𝑞 ∧ ¬𝑞 ⇒ ¬𝑝 𝒑 𝑞 𝑝 ⇒ 𝑞 ¬𝑞 𝑝 ⇒ 𝑞 ∧ ¬𝑞 ¬𝑝 𝑝 ⇒ 𝑞 ∧ ¬𝑞 ⇒ ¬𝑝 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 Prof.: Roberto Rodriguez
  49. 49. 8) En cada ítem establecer las condiciones posibles (𝑝 ⇒ 𝑞 ∧ 𝑞 ⇒ 𝑝) y determinar los valores de verdad. b) En los casos en que sea posible, determinar condición necesaria, condición suficiente o condiciones necesarias y suficientes. Prof.: Roberto Rodriguez
  50. 50. X es correntino ⇒ X es argentino 𝑝 ⇒ 𝑞 es 1 Es suficiente saber p para afirmar q. Es necesario que sea q para afirmar p. q si p p sólo si q Prof.: Roberto Rodriguez
  51. 51. X es argentino ⇒ X es correntino 𝑞 ⇒ 𝑝 es 0 No es suficiente saber p para afirmar q. No es necesario que sea q para afirmar p. Si 𝑝 ⇒ 𝑞 y 𝑞 ⇒ 𝑝 son verdaderos. p es condición necesaria y suficiente para q p si y sólo si q Prof.: Roberto Rodriguez
  52. 52. i) p: El auto se detuvo. q: El semáforo está en rojo. 𝑉 𝑝 ⇒ 𝑞 = 0 No es necesario q para p 𝑉 𝑞 ⇒ 𝑝 = 1 q es condición suficiente para p Prof.: Roberto Rodriguez
  53. 53. ii) p: Juan es correntino. q: Juan es argentino. 𝑉 𝑝 ⇒ 𝑞 = 1 p es condición suficiente para q 𝑉 𝑞 ⇒ 𝑝 = 0 p no es necesario para p Prof.: Roberto Rodriguez
  54. 54. iii) p: Hoy es feriado. q: Hoy es domingo. 𝑉 𝑝 ⇒ 𝑞 = 0 p no es condición suficiente para q 𝑉 𝑞 ⇒ 𝑝 = 1 q es condición suficiente para p Prof.: Roberto Rodriguez
  55. 55. iv) p: Hoy es sábado. q: Ayer fue viernes. 𝑉 𝑝 ⇒ 𝑞 = 1 𝑉 𝑞 ⇒ 𝑝 = 1 p es condición necesaria y suficiente para q Prof.: Roberto Rodriguez
  56. 56. v) p: (abc) es un triángulo equilátero. q: (abc) es un triángulo isósceles. 𝑉 𝑝 ⇒ 𝑞 = 1 𝑉 𝑞 ⇒ 𝑝 = 0 Es suficiente saber que el triángulo es equilátero para decir que es isósceles, pero no necesario. Es necesario saber que isósceles para que sea equilátero pero no es suficiente. Prof.: Roberto Rodriguez
  57. 57. 9) Dadas las siguientes implicaciones . Determinar, para cada una de ellas, su negación y sus implicaciones asociadas. 𝑝 ⇒ 𝑞 ¬𝑝 ⇒ ¬𝑞 𝑞 ⇒ 𝑝 ¬𝑞 ⇒ ¬𝑝 recíproca recíproca contraria contraria Las proposiciones equivalentes son las contrarrecíprocas. Prof.: Roberto Rodriguez
  58. 58. i) Si un número es múltiplo de 8, dicho número es múltiplo de 2 y de 4. 𝑝 ⇒ (𝑞 ∧ 𝑟) • Negación: Un número es múltiplo de 8 y dicho número no es múltiplo de 2 o de 4. 𝑝 ∧ (¬𝑞 ∨ ¬𝑟) • Recíproca: Si un número es múltiplo de 2 y de 4, entonces, es múltiplo de 8. (𝑞 ∧ 𝑟) ⇒ 𝑝 • Contraria: Si un número no es múltiplo de 8, entonces, no es múltiplo de 2 o de 4. ¬𝑝 ⇒ (¬𝑞 ∨ ¬𝑟) • Contrarrecíproca: Si un número no es múltiplo de 2 o de 4, no es múltiplo de 8. ¬𝑞 ∨ ¬𝑟 ⇒ ¬𝑝 Prof.: Roberto Rodriguez
  59. 59. ii) (abcd) es un cuadrado, sólo si (abcd) es un rectángulo. 𝑝 ⇒ 𝑞 • Negación: (abcd) es un cuadrado y no es un rectángulo. 𝑝 ∧ ¬𝑞 • Recíproca: Si (abcd) es un rectángulo, entonces, es un cuadrado. 𝑞 ⇒ 𝑝 • Contraria: Si (abcd) no es un cuadrado, entonces, no es un rectángulo. ¬𝑝 ⇒ ¬𝑞 • Contrarrecíproca: Si (abcd) no es un rectángulo, entonces, no es un cuadrado. ¬q⇒ ¬𝑞 Prof.: Roberto Rodriguez
  60. 60. iii) Una condición necesaria, pero no suficiente, para que un número sea nulo es que dicho número coincida con su cuadrado. • La implicación dada es: Si un número es nulo, entonces, dicho número coincide con su cuadrado. O, en símbolos: x = 0  x = x2. • Negación: Un número es nulo pero no coincide con su cuadrado. En símbolos: x = 0  x  x2. • Recíproca: Si un número coincide con su cuadrado, dicho número es cero. En símbolos: x = x2  x = 0. • Contraria: Si un número es no nulo, no coincide con su cuadrado. En símbolos: x  0   x  x2. • Contrarrecíproca: Si un número no coincide con su cuadrado, entonces, no es cero. En símbolos: x  x2 x  0. Prof.: Roberto Rodriguez
  61. 61. 10) En cada uno de los siguientes casos, enunciar la correspondiente conclusión de modo que el razonamiento resulte formalmente válido, justificando la respuesta. Si 4 es múltiplo de 5, 8 es múltiplo de 10. 8 no es múltiplo de 10. Conclusión: 4 no es múltiplo de 5 Si las rosas son rojas y las violetas azules, entonces el azúcar es dulce y María también. Las rosas son rojas y las violetas azules Conclusión: el azúcar es dulce y María también. Prof.: Roberto Rodriguez
  62. 62. Si hay luz solar, entonces es de día. No es de día. Conclusión: No hay luz solar Si está lloviendo, te esperará en el teatro. Está lloviendo. Conclusión: Te esperaré en el teatro. Juan es cordobés sólo si es argentino. Juan es cordobés. Conclusión: Juan es argentino. Prof.: Roberto Rodriguez

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