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  1. 1. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 1 MATEMÁTICAS BÁSICAS DESIGUALDADES DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE La expresión ba ≠ significa que " a " no es igual a " b ". Según los valores particulares de a y de b , puede tenerse ba > , que se lee “ a mayor que b ”, cuando la diferencia ba − es positiva y ba < que se lee “ a menor que b ”, cuando la diferencia ba − es negativa. La notación ba ≥ , que se lee “ a es mayor o igual que b ”, significa que ba > o que ba = pero no ambos. Por su parte, la notación ba ≤ que se lee “ a es menor o igual que b ”, significa que ba < o que ba = pero no ambos. Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos ≥<> ,, o ≤. Ejemplos de desigualdades: 1) 34 > 2) 10<a 3) 5≥b 4) 12 ≤x Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los términos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definición de desigualdad, se deduce que: • Todo número positivo es mayor que cero • Todo número negativo es menor que cero • Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto • Si ba > entonces ab < . Los signos > o < determinan dos sentidos opuestos en las desigualdades, dependiendo si el primer miembro es mayor o menor que el segundo. Se dice que una desigualdad cambia de sentido, cuando el miembro mayor se convierte en menor o viceversa. Existen dos clases de desigualdades: las absolutas y las condicionales. • Desigualdad absoluta es aquella que se verifica para cualquier valor que se atribuya a las literales que figuran en ella. Por ejemplo: xx >+12 • Desigualdad condicional es aquella que sólo se verifica para ciertos valores de las literales. Por ejemplo: 0153 >−x que solamente satisface para 5>x . En este caso se dice que 5 es el límite de x .
  2. 2. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 2 Las desigualdades condicionales se llaman inecuaciones. Sean ∈b,a R y 0≠a , una desigualdad de primer grado en una variable x se define como:        ≤+ <+ ≥+ >+ 0 0 0 0 bax bax bax bax Propiedades de las desigualdades: Sean c,b,a tres números reales. I. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se añade o se resta un mismo número a cada miembro Esto es, si ba > , entonces se cumple que cbca +>+ . Ejemplos. 1) Si a la desigualdad 37 > se le suma 2 a ambos miembros, entonces, se cumple que 2327 +>+ , ya que: 59 > 2) Si a la desigualdad 816 > se le resta 5 a ambos miembros, entonces, se cumple que 58516 −>− , ya que: 311 > Consecuencia de esta propiedad, puede suprimirse un término en un miembro de una desigualdad, teniendo cuidado de agregar en el otro miembro el término simétrico del suprimido. Es decir, se puede pasar un término de un miembro a otro, cambiando su signo, porque esto equivale a sumar o restar una misma cantidad a los dos miembros. Ejemplo. 9348 −>− xx 4938 +−>− xx II. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividen por un mismo divisor, también positivo. Esto es, dado un número 0>c , si ba > entonces se cumple que cbca ⋅>⋅ y que c b c a > Ejemplos. 1) Si a la desigualdad 25 > se multiplica por 3 a ambos miembros, entonces, se cumple que 3235 ⋅>⋅ , ya que 615 > 2) Si a la desigualdad 2836 > se divide por 4 a ambos miembros, entonces, se cumple que 4 28 4 36 > , ya que 79 > III. Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo, o se dividen por un mismo divisor, también negativo. Esto es, dado un número 0<c , si ba > entonces se cumple que cbca ⋅<⋅ y que c b c a <
  3. 3. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 3 Ejemplos. 1) Si a la desigualdad 36 > se multiplica por 4− a ambos miembros, entonces, se cumple que ( ) ( )4346 −<− , ya que 1224 −<− 2) Si a la desigualdad 1016 > se divide por 2− a ambos miembros, entonces, se cumple que 2 10 2 16 − < − , ya que 58 −<− Consecuencia de la propiedad anterior pueden cambiarse todos los signos de una desigualdad, con tal que se cambie el sentido de la misma; porque esto equivale a multiplicar sus dos miembros por -1. Ejemplo. xx 42186 −<+− xx 42186 +−>− INECUACIONES ENTERAS Las inecuaciones son desigualdades entre expresiones algebraicas. A diferencia de las ecuaciones, que sólo se verifican para algunos valores de la variable, las inecuaciones tienen infinitas soluciones. El procedimiento para resolverlas es similar al de las ecuaciones, sólo que deben tenerse en cuenta las propiedades de las desigualdades. Para resolver una inecuación de primer grado se transponen los términos (pasar los términos de un miembro a otro cambiando el signo equivale a aplicar la propiedad I) para que aquellos que contienen a la incógnita queden en el primer miembro y los términos independientes en el otro. Finalmente, para despejar la incógnita se divide por el valor del coeficiente, teniendo en cuenta la segunda o tercera propiedad de las desigualdades, según el signo del coeficiente. Ejemplos. Resolver las siguientes inecuaciones enteras: 1) 8264 −>+ xx Solución. Se transponen términos: 6824 −−>− xx se reducen los términos semejantes: 142 −>x dividiendo por 2 : 7 2 14 −>⇒ − > xx 2) 621052313 ++−≥−+− xxxx Solución. Se transponen términos: 261025313 −+−≥−−− xxxx se reducen los términos semejantes: 63 −≥x dividiendo por 3 : 2 3 6 −≥⇒ − ≥ xx
  4. 4. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 4 3) 10834365 −+>−+ xxx Solución. Se transponen términos: 61034835 −−>−− xxx se reducen los términos semejantes: 186 >− x dividiendo por 6− y aplicando la tercera propiedad, la desigualdad cambia de sentido: 3 6 18 −<⇒ − < xx 4) xxxxx 4234813610523 +++−>−−−− Solución. Se transponen términos: 6223413481053 ++++>−+−− xxxxx se reducen los términos semejantes: 488 >− x dividiendo por 8− y aplicando la tercera propiedad, la desigualdad cambia de sentido: 6 8 48 −<⇒ − < xx 5) ( ) ( ) ( ) ( ) xxxxx ++++≤−++− 8241035341325 Solución. Eliminando paréntesis: xxxxx ++++≤−++− 328303201211510 Se transponen términos: 201153230831210 +−++≤−−−+ xxxxx se reducen los términos semejantes: 9610 ≤x dividiendo por 10: 5 48 10 96 ≤⇒≤ xx Una inecuación de primer grado literal es aquella que contiene otras expresiones literales aparte de la incógnita, las cuales deben considerarse como valores constantes. Para resolver inecuaciones literales se efectúa el mismo procedimiento aplicado en los ejemplos anteriores. La variante es que cuando se tengan todos los términos que contengan a la incógnita en el primer miembro de la inecuación, se factoriza para poder despejarla. 6) ( ) ( ) abaxabxxbax −+>−−− 56432 Eliminando paréntesis: abaxabxbbxax −+>−+− 5561232 Se transponen términos: babaxabxbxax 1255632 −−>−−− factorizando x : ( ) babaabbax 1255632 −−>−−− si ( ) 05632 >−−− abba , entonces la solución es 5632 125 −−− −− > abba baba x si ( ) 05632 <−−− abba , entonces la solución es 5632 125 −−− −− < abba baba x
  5. 5. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 5 INECUACIONES FRACCIONARIAS Para resolver una inecuación fraccionaria de primer grado, se multiplican sus dos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores con el objeto de eliminarlos y se reduce para convertirla en una inecuación entera. Cuando el denominador contiene la incógnita, tiene que analizarse cuando es tanto positiva como negativa. Para ambos casos debe obtenerse la respectiva intersección de las restricciones. La solución de la inecuación, es la unión de los dos intervalos obtenidos. Ejemplos. Resolver las siguientes inecuaciones fraccionarias: 1) 3 7 5 4 3 1 5 2 −>+ xx Se multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es 15:       −>      + 3 7 5 4 15 3 1 5 2 15 xx se efectúan las operaciones para cada término: 351256 −>+ xx se transponen términos: 635125 −−>− xx Se reducen los términos semejantes: 417 −>− x dividiendo por 7− y aplicando la tercera propiedad, la desigualdad cambia de sentido: 7 41 7 41 <⇒ − − < xx 2) xxx 3 2 1 5 2 8 3 2 4 5 −−≥−+ Se multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es 60 :       −−≥      −+ xxx 3 2 1 5 2 608 3 2 4 5 60 se efectúan las operaciones para cada término: xxx 18030244804075 −−≥−+ se transponen términos: 48075301802440 +−−≥+− xxx Se reducen los términos semejantes: 375196 ≥x dividiendo por 196: 196 375 ≥x 3) xxx 6 8 4 10 6 2 4 3 5 4 9 ++>−+ Se multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es 12:       ++>      −+ xxx 6 8 4 10 6 2 124 3 5 4 9 12 se efectúan las operaciones para cada término: xxx 16304482027 ++>−+
  6. 6. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 6 se transponen términos: 48273016420 +−>−− xxx Se reducen los términos semejantes: 510 >x como la división por cero no está definida, entonces la expresión presenta un enunciado falso. Nótese que simplificando la inecuación se llega a 2 5 3 5 4 7 3 5 +>− xx , expresión que es imposible que se cumpla. 4) xx 4 1 6 8 3 5 6 7 −>+ Se multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es x12 : Si 0>x se tiene:       −>      + x x x x 4 1 6 8 12 3 5 6 7 12 se efectúan las operaciones para cada término: 3162014 −>+ xx se transponen términos: 1431620 −−>− xx Se reducen los términos semejantes: 174 −>x dividiendo por 4 : 4 17 −>x dadas las restricciones 0>x y 4 17 −>x , su intersección es 0>x Si 0<x entonces el resultado de la desigualdad cambia de sentido 4 17 −<x dadas las restricciones 0<x y 4 17 −<x , su intersección es 4 17 −<x la solución está dada por: ( )∞      −∞− ,, 0 4 17 ∪ 5) xxxx 2 7 3 1 2 2 1 3 2 5 4 −−≤−− Se multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es x30 : Si 0>x se tiene:       −−≤      −− xx x xx x 2 7 3 1 230 2 1 3 2 5 4 30 se efectúan las operaciones para cada término: 1051060152024 −−≤−− xx se transponen términos: 1524105106020 +−−−≤−− xx Se reducen los términos semejantes: 12480 −≤− x dividiendo por 80− y aplicando la tercera propiedad, la desigualdad cambia de sentido:
  7. 7. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 7 20 31 80 124 ≥⇒ − − ≥ xx dadas las restricciones 0>x y 20 31 ≥x , su intersección es 20 31 >x Si 0<x entonces el resultado de la desigualdad cambia de sentido: 20 31 ≤x dadas las restricciones 0<x y 20 31 <x , su intersección es 0<x Por lo tanto, la solución está dada por: ( )       ∞∞− ,, 20 31 0 ∪ 6) 03 5 2 >+ − x Se multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es x−5 : ( ) ( )053 5 2 5 x x x −>      + − − Si 05 >− x , que implica 5<x se tiene: ( ) 0352 >−+ x se efectúan las operaciones para cada término: 03152 >−+ x se transponen términos: 1523 −−>− x Se reducen los términos semejantes: 173 −>− x dividiendo por 3− y aplicando la tercera propiedad, la desigualdad cambia de sentido: 3 17 3 17 <⇒ − − < xx dadas las restricciones 5<x y 3 17 <x , su intersección es 5<x Si 05 <− x , que implica 5>x entonces el resultado de la desigualdad cambia de sentido 3 17 >x dadas las restricciones 5>x y 3 17 >x , su intersección es 3 17 >x Por lo tanto, la solución está dada por: ( )       ∞∞− ,, 3 17 5 ∪ 7) 1218 62 5 −<+ −x Se multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es 62 −x : ( ) ( )( )126218 62 5 62 −−<      + − − x x x Si 062 >−x , que implica 3>x se tiene: ( ) ( )( )126218625 −−<−+ xx
  8. 8. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 8 x21-1-2 2−>x x21-1-2 2−>x x0-2-6-8 21 125 −≤x -4-10 x0-2-6-8 21 125 −≤x -4-10 se efectúan las operaciones para cada término: 7224108365 +−<−+ xx se transponen términos: 1085722436 +−<+ xx Se reducen los términos semejantes: 17560 <x dividiendo por 60 : 12 35 60 175 <⇒< xx dadas las restricciones 3>x y 12 35 <x , su intersección es 3 12 35 << x Si 062 <−x , que implica 3<x entonces el resultado de la desigualdad cambia de sentido 12 35 >x dadas las restricciones 3<x y 12 35 >x , no existe intersección Por lo tanto, la solución está dada por: 3 12 35 << x . GRÁFICA DE UNA INECUACIÓN DE PRIMER GRADO Resolver una inecuación es encontrar el conjunto de valores de x que cumplan la desigualdad. Gráficamente, la solución de una inecuación de primer grado está representada por un intervalo del eje de las abscisas a partir de un valor límite a . Si la solución es de la forma ax > , entonces la región será todos los números que estén a la derecha de a sin incluirlo. Si la solución es de la forma ax ≥ , la región incluye al valor a . De la misma forma, si la solución es de la forma ax < , entonces la región será todos los números que estén a la izquierda de a sin incluirlo. Si la solución es de la forma ax ≤ , la región incluye al valor a . Dependiendo del tipo de desigualdad el conjunto solución puede ser uno o dos intervalos, la totalidad de los números reales o el conjunto vacío. Ejemplos. Representar gráficamente la solución de las siguientes inecuaciones de primer grado: 1) ( ) ( )623214 +−>+ xx Solución. 186244 −−>+ xx 418264 −−>+ xx 2010 −>x 10 20− >x 2−>x 2) 5 4 11 8 3 5 2 9 7 4 3 ++−≥−− xxx       ++−≥      −− 5 4 11 8 3 5 12 2 9 7 4 3 12 xxx 6033962054849 ++−≥−− xxx 5496020339684 +−+≥−+− xxx 12521 ≥− x
  9. 9. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 9 21 125 −≤x 3) xx 8 5 4 13 2 73 −<+− si 0>x       −<      +− x x x x 8 5 4 13 8 2 73 8 5262824 −<+− xx 2452628 +−<− xx 192 <x 2 19 <x dadas las restricciones 0>x y 2 19 <x , su intersección es 2 19 0 << x Si 0<x entonces el resultado de la desigualdad cambia de sentido 2 19 >x dadas las restricciones 0<x y 2 19 >x , no hay intersección. Por lo tanto, la solución está dada por: 2 19 0 << x DESIGUALDADES DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE Una desigualdad de segundo grado o desigualdad cuadrática, tiene la forma: 02 >++ cbxax o 02 ≥++ cbxax o 02 <++ cbxax o 02 ≤++ cbxax donde b,a y c son números reales y 0≠a . Su solución generalmente representa un intervalo o la unión de dos intervalos de números reales. Para resolver una desigualdad cuadrática se usan los conceptos de número crítico y número de prueba. Un número crítico de la desigualdad mencionada es una raíz real de la ecuación cuadrática 02 =++ cbxax . x7531 9 2 19 0 << x 11-1 x7531 9 2 19 0 << x 11-1
  10. 10. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 10 Si 1r y 2r son números críticos y 21 rr < , entonces el polinomio cbxax ++2 sólo puede cambiar de signo algebraico en 1r y 2r por la tanto el signo más o menos de cbxax ++2 será constante en cada uno de los intervalos ( )1r,∞− , ( )21 r,r , ( )∞,r2 . Para determinar si estos intervalos son o no solución de la inecuación, se evalúa con un número x de prueba arbitrario en cbxax ++2 para cada intervalo. Los resultados obtenidos sirven para ubicar el conjunto de soluciones de la desigualdad. Un procedimiento sistemático para la resolución de inecuaciones cuadráticas es el siguiente: 1. Se trasladan todos los términos de la inecuación al miembro de la izquierda. 2. Se hallan los números críticos 1r y 2r de la ecuación cuadrática y se forman los intervalos ( )1r,∞− , ( )21 r,r , ( )∞,r2 . 3. Se prueban con valores de fácil sustitución localizados en dichos intervalos para determinar cuáles son los que satisfacen la desigualdad. Ejemplos. Resolver las siguientes inecuaciones: 1) 092 >−x Solución. 92 =x 9±=x 3±=x Los números críticos son: 31 =r y 32 −=r los intervalos solución pueden ser ( )3−∞− , , ( )33,− y ( )∞,3 probando con tres números ubicados en esos intervalos para saber si cumplen la desigualdad : para 4−=x del intervalo ( )3−∞− , se tiene: ( ) 0791694 2 >=−=−− para 0=x del intervalo ( )33,− se tiene: 0990902 <−=−=− para 4=x del intervalo ( )∞,3 se tiene: ( ) 0791694 2 >=−=− Los valores que cumplen la desigualdad son el primero y el tercero, por lo que la solución es: ( ) ( )∞−∞− ,, 33 ∪ . La gráfica de la parábola se ubica por arriba del eje x en los intervalos solución de la desigualdad porque sus ordenadas son mayores que cero: 092 >−x
  11. 11. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 11 x1 432 5-1-2-3-4-5 5 25 35 y 20 15 10 30 6 7-6-7 -10 ( ] [ )∞∞− ,, 33 ∪ 2) 042 <−x Solución. 42 =x 2±=x 2±=x Los números críticos son: 21 =r y 22 −=r los intervalos solución pueden ser ( )2−∞− , , ( )22,− y ( )∞,2 probando con tres números ubicados en esos intervalos para saber si cumplen la desigualdad 042 <−x : para 5−=x del intervalo ( )2−∞− , se tiene: ( ) 02142545 2 >=−=−− para 0=x del intervalo ( )22,− se tiene: 0440402 <−=−=− para 5=x del intervalo ( )∞,2 se tiene: 021425452 >=−=− El valor que cumple la desigualdad es el segundo, por lo que la solución es: ( )22,− . La gráfica de la parábola se ubica por abajo del eje x en los intervalos solución de la desigualdad porque sus ordenadas son menores que cero: x1 432 5-1-2-3-4-5 5 25 35 40 y 20 15 10 30 6 7-6-7 ( )22,− 3) xx 102 2 ≥ Solución. 0102 2 ≥− xx
  12. 12. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 12 0102 2 =− xx ( ) 0102 =−xx Los números críticos son: 01 =r 5 2 10 1020102 2 ==⇒=⇒=− rxx los intervalos solución pueden ser: ( ]0,∞− , [ ]50, y [ )∞,5 probando con tres números ubicados en esos intervalos para saber si cumplen la desigualdad 0102 2 >− xx : para 1−=x del intervalo ( ]0,∞− se tiene: ( ) ( ) 01210211012 2 >=+=−−− para 3=x del intervalo [ ]50, se tiene: ( ) ( ) 012301831032 2 <−=−=− para 6=x del intervalo [ )∞,5 se tiene: ( ) ( ) 012607261062 2 >=−=− Los valores que cumplen la desigualdad son el primero y el tercero, por lo que la solución es: ( ] [ )∞∞− ,, 50 ∪ . La gráfica de la parábola se ubica por arriba del eje x en los intervalos solución de la desigualdad porque sus ordenadas son mayores o iguales que cero: x1 432 5-1-2-3-4-5 5 25 35 y 20 15 10 30 6 7-6-7 -15 ( ) ( )∞∞− ,, 50 ∪ 4) xx 123 2 −≤ Solución. 0123 2 ≤+ xx 0123 2 =+ xx ( ) 0123 =+xx Los números críticos son: 01 =r 4 3 12 1230123 2 −= − =⇒−=⇒=+ rxx los intervalos solución pueden ser: ( ]4−∞− , , [ ]04,− y [ )∞,0 probando con tres números ubicados en esos intervalos para saber si cumplen la desigualdad : para 5−=x del intervalo ( ]4−∞− , se tiene: ( ) ( ) 015607551253 2 >=−=−+− 0123 2 <+ xx
  13. 13. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 13 para 2−=x del intervalo [ ]04,− se tiene: ( ) ( ) 012241221223 2 <−=−=−+− para 1=x del intervalo [ )∞,0 se tiene: ( ) ( ) 01512311213 2 >=+=+ El valor que cumple la desigualdad es el segundo, por lo que la solución es: [ ]04,− . La gráfica de la parábola se ubica por abajo del eje x en los intervalos solución de la desigualdad porque sus ordenadas son menores que cero: x1 432 5-1-2-3-4-5 5 25 y 20 15 10 30 6 7-6-7 -15 [ ]04,− 5) xx 282 <− Solución. Trasponiendo términos: 0822 <−− xx 0822 =−− xx 821 −=−== c,b,a Sustituyendo en la fórmula general se tiene: ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 62 2 362 2 3242 12 81422 2 ± = ± = +± = −−−±−− =x Los números críticos son: 4 2 8 2 62 1 == + =r 2 2 4 2 62 2 −= − = − =r Nótese que la ecuación también puede factorizarse y los números críticos pueden obtenerse más rápidamente: ( )( ) 024 =+− xx 404 1 =⇒=− rx 202 2 −=⇒=+ rx los intervalos solución pueden ser: ( )2−∞− , , ( )42,− y ( )∞,4 probando con tres números ubicados en esos intervalos para saber si cumplen la desigualdad 0822 <−− xx : para 3−=x del intervalo ( )2−∞− , se tiene: ( ) ( ) 078698323 2 >=−+=−−−− para 0=x del intervalo ( )42,− se tiene: ( ) 0880080202 <−=−+=−−
  14. 14. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 14 para 5=x del intervalo ( )∞,4 se tiene: ( ) 078102585252 >=−−=−− Por lo tanto, el valor que cumple la desigualdad es el segundo, por lo que la solución es: ( )42,− . La gráfica de la parábola se ubica por abajo del eje x en los intervalos solución de la desigualdad porque sus ordenadas son menores que cero: x1 432 5-1-2-3-4-5 5 25 35 y 20 15 10 30 6 7-6-7 ( )42,− 6) 3042 2 ≥+ xx Solución. Trasponiendo términos: 03042 2 ≥−+ xx Simplificando: 01522 ≥−+ xx 01522 =−+ xx ( )( ) 035 =−+ xx 505 1 −=⇒=+ rx 303 2 =⇒=− rx los intervalos solución pueden ser ( ]5−∞− , , [ ]35,− y [ )∞,3 probando con tres números ubicados en esos intervalos para saber si cumplen la desigualdad 03042 2 ≥−+ xx : para 6−=x del intervalo ( ]5−∞− , se tiene: ( ) ( ) 018302472306462 2 >=−−=−−+− para 0=x del intervalo [ ]35,− se tiene: ( ) ( ) 0303000300402 2 <−=−−=−+ para 4=x del intervalo [ )∞,3 se tiene: ( ) ( ) 018301632304442 2 >=−+=−+ Los valores que cumplen la desigualdad son el primero y el tercero, por lo que la solución es: ( ] [ )∞−∞− ,, 35 ∪ . La gráfica de la parábola se ubica por arriba del eje x en los intervalos solución de la desigualdad porque sus ordenadas son mayores que cero:
  15. 15. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 15 x1 432 5-1-2-3-4-5 -10 y 5 10 15 6 7-6-7 -30 -25 -15 -20 ( ] [ )∞−∞− ,, 35 ∪ 7) 4 3 1 6 1 2 <+ xx Solución. ( )46 3 1 6 1 6 2 <      + xx 2422 <+ xx Trasponiendo términos: 02422 <−+ xx 2421 −=== c,b,a Sustituyendo en la fórmula general se tiene: ( ) ( )( ) ( )12 241422 2 −−±− =x 2 9642 +±− = 2 1002 ±− = 2 102±− = Los números críticos son: 4 2 8 2 102 1 == +− =r 6 2 12 2 102 2 −= − = −− =r los intervalos solución pueden ser ( )6−∞− , , ( )46,− y ( )∞,4 probando con tres números ubicados en esos intervalos para saber si cumplen la desigualdad 02422 <−+ xx : para 7−=x del intervalo ( )6−∞− , se tiene: ( ) ( ) 01124144924727 2 >=−−=−−+− para 0=x del intervalo ( )46,− se tiene: ( ) 0242400240202 <−=−−=−+ para 5=x del intervalo ( )∞,4 se tiene: ( ) ( ) 01124102524525 2 >=−+=−+
  16. 16. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 16 Por lo tanto, el valor que cumple la desigualdad es el segundo, por lo que la solución es: ( )46,− . La gráfica de la parábola se ubica por abajo del eje x en los intervalos solución de la desigualdad porque sus ordenadas son menores que cero: x1 432 5-1-2-3-4-5 -10 20 y 5 10 15 6 7-6-7 -15 -20 ( )46,− 8) xxxx 2125 22 +<+− Solución. Trasponiendo términos: 0144 2 <+− xx 0144 2 =+− xx 144 =−== c,b,a Sustituyendo en la fórmula general se tiene: ( ) ( ) ( )( ) ( ) 8 04 8 04 8 16164 42 14444 2 ± = ± = −± = −−±−− =x Los números críticos son: 2 1 8 4 8 04 1 == + =r 2 1 8 4 8 04 2 == − =r los intervalos solución pueden ser       ∞− 2 1 , y       ∞, 2 1 probando con dos números ubicados en esos intervalos para saber si cumplen la desigualdad 0144 2 <+− xx : para 0=x del intervalo       ∞− 2 1 , se tiene: ( ) ( ) 010010404 2 >+−=+− para 1=x del intervalo       ∞, 2 1 se tiene: ( ) ( ) 0114411414 2 >=+−=+− Ninguno de los valores que cumplen la desigualdad, por lo que no tiene solución. Nótese como la desigualdad 0144 2 <+− xx se puede expresar como: ( ) ( ) 01222 2 <+− xx
  17. 17. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Desigualdades Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 17 Factorizando: ( ) 012 2 <−x Puesto que el cuadrado de cualquier número real siempre es mayor o igual a cero, entonces se comprueba que esta inecuación no tiene solución. Toda la parábola se localiza por arriba del eje x , por eso no hay solución: x21-1-2 4 8 2 y 7 6 5 3 3 9 -3 1 9) 543186 22 ++−<++− xxxx Solución. Trasponiendo términos: 0443 2 <−+− xx Convirtiendo esta desigualdad a un trinomio cuadrado perfecto, se tiene: 4 3 4 344304430443 2222 −>      −⇒−>+⇒>−+⇒<−+− xxxxxxxx 9 8 3 2 3 8 3 2 3 3 4 4 9 4 3 4 3 22 2 −>      −⇒−>      −⇒+−>      +−⇒ xxxx Puesto que el cuadrado de cualquier número real siempre es mayor o igual a cero, entonces se trata de una desigualdad absoluta. Toda la parábola se localiza por abajo del eje x y su solución es cualquier número real: -30 -10 y -15 -20 -25 -45 x1 432 5-1-2-3-4-5 6-6-7 -35 -40

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