Crecimiento en un punto

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Crecimiento en un punto

  1. 1. INTRODUCCION El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en el siglo XVII hasta la noción de derivada. El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituyen el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX no se simplificaron. A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer. Crecimien t o en un pun t o S i f es der iv ab le en a: f es estr ictamente creciente en a si: f'(a ) > 0 D ecrecimien t o en u n p u nt o S i f es der iv ab le en a: f es estr ictamente d ecreciente en a si: f'(a ) < 0 Intervalos de crecimiento y decrecimiento Par a hallar el crecimien t o y d ecrecimient o seg uir emo s lo s sig uientes p aso s: 1. D eriva r la fu n ción.
  2. 2. 2. Obt en er la s ra íces d e la d eriv ad a p rimera , p a ra ello ha cemos: f'(x ) = 0 . 3. F orma mos in t erva los a biert os con los ceros (r aíces) d e la d eriv ad a p rimera y los pu nt os d e d is cont inu ida d (si lo s hub iese) 4. T oma mos un v a lor d e ca da int erv alo, y h a lla mos el s ig no q u e t ien e en la d eriva d a p rimera . S i f'(x ) > 0 es crecien t e. S i f'(x ) < 0 es d ecrecien t e. 5. E s cribimos los in terv a los d e crecimiento y d ecrecimien t o . E jemp lo C alcular lo s interv alo s d e cr ecimiento y d ecr ecimiento d e la f unció n:
  3. 3. E x t remos rela tiv os S i f es der iv ab le en a, a es u n ext remo rela tiv o o lo cal si: 1. S i f'(a ) = 0 . 2. S i f''(a ) ≠ 0 .
  4. 4. Má x imos relat iv os S i f y f' so n d er iv ab les en a, a es un máx imo rela t iv o si se cump le: 1. f'(a ) = 0 2. f''(a ) < 0 Mín imos relat iv os S i f y f' so n d er iv ab les en a, a es un mínimo rela t iv o si se cump le: 1. f'(a ) = 0 2. f''(a ) > 0 Cálculo de máximos y mínimos Par a hallar los ext remos loca les seg uir emo s lo s sig uientes p aso s: 1. Ha lla mos la d eriv ad a p rimera y ca lcu lamos s us ra íces . 2. Rea lizamos la 2 ª d eriv ad a , y ca lculamos el s ig n o qu e t oman en ella la s raíces d e d eriv ad a p rimera y s i: f''(a ) < 0 es un má x imo r elativ o f''(a ) > 0 es un mín imo r elativ o 3. Ca lcu lamos la imag en (en la fun ción ) de los ext remos relat iv os .
  5. 5. E jemp lo C alcular lo s má ximos y mín imos de: f (x ) = x 3 − 3x + 2 f '(x ) = 3 x2 − 3 = 0 f ''(x ) = 6 x f ''(−1 ) = −6 Máx imo f ''(1 ) = 6 Mínimo f (− 1 ) = (− 1 )3 − 3 (−1 ) + 2 = 4 f (1 ) = (1 ) 3 − 3 (1 ) + 2 = 0 Má x imo(−1 , 4 ) Mínimo(1 , 0 ) S i y a hemo s estud iado el crecimiento y d ecr ecimiento d e una f unció n hab r á: 1. Un máx imo en el p unto , d e la f unció n, en la q ue ésta p asa d e crecien t e a d ecrecien t e. 2. Un mín imo en el p unto , d e la f unció n , en la q ue ésta p asa d e d ecrecien t e a crecien t e . E jemp lo Hallar lo s máx imos y mín imos d e:
  6. 6. Tenemo s un mínimo en x = 3 Mín imo(3 , 2 7 /4 ) En x = 1 no hay un máx imo po rq ue x = 1 no p er tenece al do minio de la f unció n. S i f y f' so n d er iv ab les en a, a es: Cón ca va S i f''(a ) > 0 Con v exa S i f''(a ) < 0 Intervalos de concavidad y convexidad
  7. 7. Par a calcular lo s in terv a los la con cav ida d y conv ex id ad d e una f unció n seg uir emo s lo s sig uientes p aso s: 1. Ha lla mos la d eriv ad a s eg un d a y ca lcu lamos s us ra íces . 2. F ormamos int erva los a b iert os con los ceros (ra íces ) de la d eriv ad a s eg un da y los pu nt os d e dis con t in u id a d (s i los h ub iese). 3. T oma mos un v a lor d e ca da int erv alo, y h a lla mos el s ig no q u e t ien e en la d eriva d a s eg un d a . S i f''(x ) > 0 es cón cav a . S i f''(x ) < 0 es conv ex a . 4. Escr ib imo s lo s interv alo s: E jemp lo d e in t erv a los d e con cav id a d y conv ex ida d
  8. 8. S i f y f' so n d er iv ab les en a, a es un: Pu nt o d e in flexión S i f'' = 0
  9. 9. y f''' ≠ 0 Cálculo de los puntos de inflexión Par a hallar los pun t os d e in flex ión , seg uir emo s lo s sig uientes p aso s: 1. Ha lla mos la d eriv ad a s eg un d a y ca lcu lamos s us ra íces . 2. Rea liza mos la deriv a da t ercera , y ca lcu lamos el s ign o q ue t oma n en ella los ceros d e d eriva d a s egu nd a y si: f'''(x ) ≠ 0 T en emos un pu nt o d e in flexión . 3. Ca lcu lamos la imag en (en la fun ción ) del p un t o d e in flex ión . E jemp lo Hallar lo s p un tos d e in flex ión d e: f (x ) = x 3 − 3x + 2 f ''(x ) = 6 x 6 x = 0 x = 0 . f '''(x ) = 6 S er á un p unto d e inf lex ió n. f (0 ) = (0 ) 3 − 3 (0 ) + 2 = 2 Pu nt o d e in flexión: (0 , 2 ) S i y a hemo s estud iado la co ncav id ad y co nv exid ad d e una f unció n hab r á:
  10. 10. Pu nt os d e in flex ión en lo s p unto s en q ue ésta p asa d e cón cav a a con v exa o v icecers a . E jemp lo C alcular lo s p untos d e inf lex ió n d e la f unció n: Tenemo s un p unt o d e in flexión en x = 0 , y a q ue la f unció n p asa de co nv ex a a co ncav a. Pu nt o d e in flexión (0, 0 )
  11. 11. Optimización de funciones La optimización es una aplicación directa del cálculo diferencial y sirve para calcular máximos y mínimos de funciones sujetas a determinadas condiciones. La aplicación práctica de los problemas de optimización es bien clara: calcular superficies o volúmenes máximos, costes mínimos, forma óptima de determinadas figuras... Es importante en este tipo de problemas identificar claramente la función a optimizar que suele depender de dos variables. El ejercicio nos dará una condición que liga a ambas y lo que debemos hacer es despejar una de ellas y sustituirla en la función a optimizar, de forma que tengamos una sola variable. A partir de aquí aplicaremos la teoría del cálculo diferencial para identificar máximos o mínimos. Aquí van algunos ejemplos
  12. 12. BIBLIOGRAFÍA Intervalos de crecimiento y decrecimiento - Vitutor Crecimiento y decrecimiento de una función. Definición ... Unidad 5: DERIVADAS Y APLICACIONES - Matemáticas I UNEXPO sites.google.com/site/.../4-unidades/unidad-5-derivadas-y-aplicaciones DIFERENCIABILIDAD DE FUNCIONES. OPTIMIZACI´ON

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