numeri reali ed insiemi

1. I NUMERI REALI (N, Z, Q, I, R) come ampliamenti successivi
RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI REALI (N, Z, Q, I, R)
SULLA RETTA ORIENTATA
GLI INSIEMI

2. 1 2 3 4 …
Numeri interi positivi o Naturali
Con i numeri Naturali è sempre possibile fare
l’addizione e la moltiplicazione p.es.: 5+4 = 9;
3*2 = 6; ma non sempre la sottrazione p. es.:
7-9 = -2.
 Per poter effettuare sempre anche la
sottrazione occorre ampliare i n. Naturali
aggiungendo anche i numeri interi
negativi… -1 –2 –3 –4 …
Insieme
numerico
+ Si
* Si
- No
: No

3. 1 2 3 4 …
Numeri interi positivi o
Naturali
-1-2-3-4…
Numeri interi con segno o Relativi
0
Con i numeri interi Relativi è sempre possibile
fare l’addizione, la moltiplicazione e la
sottrazione p.es.: 5+4 = 9; 3*2 = 6; 7-9 = -2 ;
ma non sempre la divisione p.es.: 3/2 = 1,5
 Per poter effettuare sempre anche la
divisione occorre ampliare i n. interi Relativi
aggiungendo anche tutte le altre possibili
frazioni m
n
Insieme
numerico
+ Si
* Si
- Si
: No

4. 1 2 3 4 …
Numeri interi positivi o
Naturali
-1-2-3-4…
Numeri interi con segno o Relativi
Numeri esprimibili come frazioni o
Razionali
m
n
0
Tutti i numeri sono esprimibili
sotto forma di frazione eccetto
i numeri decimali illimitati
aperiodici che vengono detti
Irrazionali
I numeri Naturali ampliati con
i numeri interi relativi e
successivamente con tutti i
numeri esprimibili sotto forma
d frazione vengono detti
numeri Razionali
2
π
e
Numeri
decimali
illimitati
aperiodici o
Irrazionali
Insieme
numerico
+ Si
* Si
- Si
: Si

5. 1 2 3 4 …
Numeri interi positivi o
Naturali
-1-2-3-4…
Numeri interi con segno o Relativi
Numeri esprimibili
come frazioni o
Razionali
m
n
2
π
e
Numeri decimali
illimitati aperiodici o
Irrazionali
Numeri Reali
0
Con i numeri Naturali è sempre possibile fare
l’addizione e la moltiplicazione p.es.: 5+4 = 9;
3*2 = 6; ma non sempre la sottrazione p. es.:
7-9 = -2
Con i numeri interi Relativi è sempre possibile
fare l’addizione, la moltiplicazione e la
sottrazione p.es.: 5+4 = 9; 3*2 = 6; 7-9 = -2 ;
ma non sempre la divisione p.es.: 3/2 = 1,5
Tutti i numeri sono esprimibi
sotto forma di frazione eccett
i numeri decimali illimitati
aperiodici che vengono detti
Irrazionali

6. u
1 2 3 4 5 6 7 8 9 …
0
I Numeri interi positivi o Naturali sulla retta orientata: la retta è in realtà
una semiretta costituita da un numero discreto di punti.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 …0-1-2-3-4-5-6…
u Numeri interi con segno o Relativi sulla retta orientata (costituita da un
numero discreto di punti)
u
1
2− 1
2
13
4
− 3
2
Numeri esprimibili come frazioni o Razionali rappresentati sulla Retta
orientata : la retta presenta ancora “buchi” determinati dai numeri
Irrazionali
1 2 30-1-2-3 2 e π
1
2− 1
2
13
4
− 3
2 1 2 30-1-2-3 2 e π
Numeri Reali: Razionali ed Irrazionali sulla retta reale; i numeri Reali
“coprono”, in modo continuo, tutti i punti della retta orientata.
u

8. A,B,C…..
PROPRIETA’ caratteristica
Si rappresentano mediante
Eulero-Venn
ELENCAZIONE
Si possono definire
UNIONE 
OPERAZIONI
INTERSEZIONE 
Se è vuota
DIFFERENZA
PRODOTTO CARETESIANO
Insiemi DISGIUNTI
COMPLEMENTAZIONE
INSIEME UNIVERSO
RELAZIONI BINARIE
Sono composti da
Insiemi VUOTI
Insiemi FINITI num.(....)
Insiemi INFINITI
Insiemi UGUALI
ELEMENTI
a,b,c .....
( ∈ , ∉ )
SOTTOINSIEMI ⊆
mediante i quali si definisce
INSIEME DELLE PARTI PARTIZIONE
definito mediante
che si rappresenta mediante
COPPIE ORDINATE
Diagramma ad albero
Tabella doppia entrata
Diagramma cartesiano
∅
×

9. x
yA
z
Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole, i loro elementi si
indicano con le lettere minuscole
Una rappresentazione spesso usata per gli insiemi è quella con i diagrammi di Eulero Venn:
 l’insieme viene rappresentato da una linea chiusa;
 la linea chiusa racchiude gli elementi che appartengono all’insieme;
 gli elementi vengono rappresentati con un punto al di sopra del quale è scritto il nome dell’elemento
stesso

10. x
y
y A∈ x A∉
A
Ilsimbolo diappartenenza" "∈
 l’insieme che non ha
elementi si indica con il
simbolo ” “ ed è
detto insieme vuoto
∅

11. A
B
B A⊂
Ilsimbolo di inclusione " "⊂

12. A B
L'operazione di Unione " "
A
B

13. A B
A
B
L'operazione di Intersezione " "

14. A
A
L'operazione di Complementazione"A"

15. x
y
y A∈ x A∉
A
A
B
B A⊂
A B A B A
A
Ilsimbolo diappartenenza" "∈
L'operazione di Complementazione"A"
L'operazione di Intersezione " "
L'operazione di Unione " "
Ilsimbolo di inclusione " "⊂