Este documento apresenta um projeto de aprendizagem sobre demonstrações geométricas do software R.e.C. O projeto visa estimular o raciocínio lógico dos alunos para cálculo de áreas de figuras planas, como retângulo, triângulo e losango, por meio de construções no software. O projeto será realizado em três etapas: cálculo da área do paralelogramo em função do retângulo, do triângulo em função do retângulo e do losango em função do retângulo.

1. Informática Educativa I :: Projeto de Aprendizagem
Título: Algumas demonstrações geométricas com o software R.e.C
Nome do Aluno: Robson de Oliveira Bastos
1. Disciplina e anos envolvidos:
Área das figuras planas: RETÂNGULO, TRIÂNGULO e LOSANGO
2. Tema central :
Estabelecer conjecturas, estimular o raciocínio para o cálculo de
áreas das figuras planas em tela, com base no conhecimento da
área do retângulo.
3. Temas de apoio:
O uso de softwares educacionais e mídias no ensino da
matemática, com foco na álgebra e na geometria.
4. Justificativa:
No mundo atual estudante deverá ser solicitado a justificar
processos de resolução, a encadear raciocínios, a confirmar
conjecturas, a demonstrar fórmulas e alguns teoremas. Assim o
professor deverá procurar incentivar a criatividade deste aluno
com a finalidade de promover o seu desenvolvimento, lançando
mão de recurso tecnológicos e mídias eletrônicos para dinamizar
os conteúdos.
5. Objetivos gerais e específicos:
Promover a compreensão do raciocínio de demonstração, partindo
de demonstrações geométricas simples.
6. Enfoque pedagógico :
Construtivista. Em resumo:
Participação ativa do aluno;
Aprendizagem através da descoberta;
Exploração de alternativas.
7. Recursos tecnológicos:
Notebook do Professor, de preferência o laboratório de
informativa, mas em sua ausência, o uso do projetor multimídia em
sala de aula, software de uso livre R.e.C – Régua e Compasso.
8. Etapas e suas estratégias de realização:
ETAPA I
Apresentação do trabalho com foco na questão da área do
retângulo, ponto de fundamental importância para compreensão e
estabelecimentos de conjecturas com relação as figuras objeto de
estudo : paralelogramo, triângulo e losango.
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2. ETAPA II
Familiarização com o software R.e.C, com a apresentação das
ferramentas básicas, objetivando permitir um melhor
aproveitamento do trabalho, com relação as construções a serem
realizadas para o estabelecimento das conjecturas propostas.
ETAPA III
Realização das construções propriamente ditas e, com base no PPM
– Princípio da Propriedade Mantida, própria do software promover
as alterações, digo, as investigações necessárias e a conseqüente
demonstração visual. Esta etapa será assim definida:
3.1 – Área do paralelogramo em função da área do retângulo:
Roteiro de construção:
1 – Construção do retângulo
1.1 - Abra o software R.e.C;
1.2 – Na barra de ferramentas, clique no ícone “ Segmento” e na
área de trabalho determinando o segmento AD;
1.3 – Nomear os vértices. Clique com o botão direito do mouse
sobre o ponto e na caixa de diálogo digite: nome : A e seguindo
clique em “exibir nomes dos objetos” , “Use negrito” , “ Use
fontes grandes” , finalizando com Ok;
OBS.: Este procedimento será adotado para nomear todos os pontos
expostos neste trabalho.
1.4 – Na barra de ferramentas, clique no ícone “ perpendicular”,
seguindo clique sobre o segmento AD e finalize clicando sobre o
ponto A. Clique novamente sobre o segmento AD e finalize
clicando sobre o ponto D.
1.5 – Na barra de ferramentas, clique no ícone “ paralela” e
seguindo clique sobre o segmento AD s sobre a reta perpendicular
a AB, que passa por A, determinando o retângulo;
1.6 – Na barra de ferramentas, clique no ícone “ ponto” e sobre os
pontos de interseção das retas, pontos C e D;
1.7 – Na barra de ferramentas, clique no ícone “ ocultar objeto”,
para excluir as retas paralelas e perpendiculares, que determinaram
o retângulo ABCD;
1.8 – Na barra de ferramentas, clique no ícone “segmento”,
seguindo clique respectivamente no pontos B e C, C e D, A e B,
determinando o retângulo;
1.9 – Transformação da figura(retângulo) em polígono. Na barra de
ferramentas, clique no ícone “ cor padrão do objeto”, seguindo
clique no ícone “ polígono” e nos pontos A,B,C,D,A
respectivamente. Note que a figura agora é um polígono na cor
determinada.
2 – Determinação do paralelogramo
2.1 – Na barra de ferramentas clique no ícone “ponto” e sobre o
segmento BC, determinando o ponto E;
2.2 – Na barra de ferramentas, clique no ícone “ segmento” e
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3. seguindo sobre os pontos A e E, determinando o segmento AE;
OBS.: Clicando com o botão direito do mouse sobre o nome dado
ao ponto, é possível movê-lo para uma posição qualquer.
2.3 – Clique com o botão direito do mouse sobre o segmento AE,
na caixa de diálogo, clique no ícone “ espessura” , opção
“ tracejado” , finalizando com ok. Caso haja necessidade, a cor
poderá ser alterada, clicando sobre a cor desejada na caixa de
diálogo.
2.4 – Na barra de ferramentas, clique no ícone “paralela”,
seguindo clique sobre o segmento AE e finalize clicando sobre o
ponto D. Clique sobre o segmento BC e seguindo sobre o ponto C;
2.5 – Na barra de ferramentas, clique no ícone “ponto” e sobre a
interseção das retas, determinando o ponto F;
2.6 – clique no ícone “ segmento” e respectivamente sobre os
pontos E e F, F e D, D e A;
2.7 – Excluir as retas que determinaram o ponto F, conforme
exposto no item 1.7;
2.8 – Transformação do paralelogramo EFAD em polígono.
Proceder conforme item 1.9;
2.9 – Determinação da medida do segmento AB = h(altura do
retângulo). Clique com o botão direito do mouse sobre o segmento
AB, na caixa de diálogo digite: Nome: AB = h, seguindo clique nos
ícones “ exibir nomes dos objetos” , “ mostrar valores dos
objetos”, “ Use negrito” , “ Use fontes grandes” ,finalizando com
ok.
OBS.: Adote este procedimento para determinação das medidas e
identificação dos demais segmentos.
2.10 – Determinação das áreas dos polígonos. Clique com o botão
direito do mouse sobre o polígono( observar sua cor), na caixa de
diálogo digite, Nome: Área(ADFE), seguindo, clique nos ícones “
exibir nomes dos objetos”, “ mostrar valores dos objetos” , “ Use
negrito” , “ Use fontes grandes”, finalizando com ok.
OBS.: 1)Adote o mesmo procedimento para o polígono ABCD;
2) Para mover o texto proceder conforme observado no item
2.2.
NOTA : Através do PPM – Princípio da Propriedade Mantida –
característica do software, podemos fazer uma investigação e
proceder o estabelecimento das conjecturas relacionadas.
2.11 – Clique no ícone “ Mover ponto”, e com base nos pontos A,
D e E, faça uma investigação e tire as conclusões necessárias.
3.2 – Área do triângulo em função da área do retângulo
Roteiro de construção:
1 – Construção do retângulo, Idem item 3.1 de 1.1 a 1.9 iniciando
pelo segmento YZ.
2 – Determinação do ponto Q;
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4. 3 – Determinação da perpendicular a YZ, passando por Q;
4 – determinação dos segmentos QR , XQ e QR;
5 – Exclusão da reta perpendicular;
6 – Determinação dos polígonos XYZW(retângulo) e
XQW(triângulo);
7 – Determinação das áreas dos polígonos;
8 – Investigação através do PPM, com base no pontos X, Y Q e Z.
3.3 – Área do losango em função da área do retângulo
Roteiro de construção:
1 – Na barra de ferramentas clique no ícone “segmento” e na ára
de trabalho, determine uma segmento horizontal qualquer;
2 – Clique com o botão direito do mouse sobre o primeiro ponto do
segmento e na caixa de diálogo digite : K, seguindo clique nas
opções : “Exibir nomes dos objetos” , “ Use negrito” , “ Use fontes
grandes”, finalizando com ok. Adote este procedimento para
nomear o ponto L;
3 – Na barra de ferramentas, clique no ícone “perpendicular”,
seguindo clique sobre o segmento KL e finalize clicando sobre o
ponto K, determinando a perpendicular ao segmento KL passando
por K. Adote o mesmo procedimento para determinar a
perpendicular passando por L;
4 – Na barra de ferramentas, clique sobe o ícone “ paralela” e
sobre o segmento KL, finalizando clique sobre a reta
perpendicular, de forma que se configure o retângulo;
5 – Na barra de ferramentas, clique sobre o ícone “segmento” e
respectivamente sobre os pontos de interseção das retas( vértices
do retângulo), determinando os segmentos KN, NM e LM;
6 – Exclusão das retas perpendiculares e da reta paralelas. Na
barra de ferramentas, clique no ícone “ ocultar objeto”, seguindo,
clique sobre as retas perpendiculares e sobre a paralela que
determinaram o retângulo. Note que temos agora apenas o
retângulo KLMN;
7 – Transformação do retângulo em polígono. Na barra de
ferramentas, clique no ícone “ cor padrão do objeto” e seguindo
sobre o ícone “ polígono” e respectivamente sobre os pontos
K,L,M,N,K, note que há alteração na cor do objeto(retângulo);
8 – Na barra de ferramentas, clique no ícone “ bissetriz
perpendicular” , seguindo clique sobre os vértices K e L
respectivamente;
9 – Na barra de ferramentas, clique sobre o ícone “ponto” e sobre
os pontos de interseção da reta perpendicular com os segmentos
KL e NM, determinando os pontos O e P;
10 – Exclusão da reta perpendicular que passa por O e P. adote o
mesmo procedimento do item 6.
11 – Reflexão do ponto P sobre o segmento NM. Na barra de
ferramentas, clique sobre o ícone “ reflexão de uma linha”,
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5. seguindo clique sobre o segmento NM e mova o cursor
verticalmente em direção ao ponto O e clique sobre ele,
determinando o ponto P’;
12 – Na barra de ferramentas, clique sobre o ícone “segmento” e
determine os segmentos NP’, MP’ , clicando respectivamente sobre
os pontos N e P’ e P’ e M. adote este procedimento para
determinar os segmentos NO, OM e OP’;
13 – Vamos agora cotar o segmento KN. Clique com o botão
direito do mouse sobre o segmento KN, na caixa de diálogo digite:
Nome: D/2 = KN, seguindo clique nos ícones “ exibir nomes dos
objetos” , “mostrar valores dos objetos” , “ Use negrito” e “ Use
fontes grandes” , finalizando com ok;
OBS.: Adotar o mesmo procedimento para demais segmentos.
14 – Determinação dos polígonos . Clique na barra de ferramentas
no ícone “ cor padrão do objeto” e determina uma cor, seguindo
clique no ícone “ polígono” especificamente sobre os pontos
KLMNK(retângulo), note que ao concluir a cor escolhida aparece.
Adote para o polígono (ONP’M);
15 – Área dos polígonos. Clique com o botão direito do mouse
sobre o polígono KLMN. Na caixa de diálogo digite: Nome
:Área(KLMN), seguindo clique sobre os ícones “ exibir nomes dos
objetos” , “ mostrar valores dos objetos” , “ Use negrito” , “ Use
fontes grandes” , finalizando com ok.
OBS.: Adote o mesmo procedimento para o polígono ONP’M.
NOTA ; Através do PPM – Princípio da Propriedade Mantida –
podemos movimentar os pontos K , N e L e estabelecer conjecturas
e conclusões sobre o problema proposto.
9. Definição de papéis:
PROFESSOR : Auxiliar o aluno na construção da figuras com o uso
do software e responder questões pertinentes oriundas das
conjecturas estabelecidas.
ALUNO: Executar a construção e fazer as investigações
necessárias, apresentando sua impressão para que possa ser
estabelecida a discussão do problema e retirados os conceitos e
estabelecida a do problema.
10. Sites e bibliografia de apoio:
1)Programa R.e.C, disponível em:
http://www.professores.uff.br/hjbortol/car/ , acessado em
19/10/2012
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6. 2) Geometria no plano e no espaço I. Algumas demonstrações
Geométricas. Tópicos em Geometria. Curso de Extensão.
Fundação Cederj. 2012.
3)Motta, Carlos Eduardo Mathias. Programa de geometria
dinâmica plana : Uma apresentação através do R.e.C . Unidade
3. Curso de especialização em novas tecnologias no ensino da
matemática. Universidade Aberta do Brasil. 2012.
4)Motta, Carlos Eduardo Mathias. Programa de geometria
dinâmica plana : Realizando construções mais avançadas no
R.e.C. Unidade 4. Curso de especialização em novas tecnologias
no ensino da matemática. Universidade Aberta do Brasil. 2012.
11. Coleta de dados:
Material extraído do trabalho denominado “ Algumas
demonstrações geométricas”, fonte de estudo para o curso de
Extensão Tópicos em Geometria da Fundação Cederj,
disponibilizado na forma escrita, adaptado para este trabalho para
o software de geometria dinâmica R.e.C,
12. Seleção do material:
Pesquisa em livros didáticos, material disponibilizado nos cursos
de extensão e através de discussões em Fóruns de curso de
extensão e Formação Continuada da Fundação Cederj.
13. Programação visual:
Uso do software de geometria dinâmica R.e.C – Régua e
Compasso.
14. Meios para a execução:
Ambiente de sala de aula com o auxílio de projetor multimídia e
notebook,com a construção sendo executado pelo Professor.
Uso do laboratório de informática, com a construção sendo
realizada pelos alunos com o auxílio do Professor – Situação ideal.
15. Avaliação:
A avaliação constará de duas etapas:
1a etapa:
Qualitativa: Focada na participação, no interesse e nas idéias
agregadas ao trabalho;
Quantitativa: Avaliação escrita, com questões propostas
envolvendo as figuras estudadas, não especificamente focada no
cálculo, mas sim no raciocínio e na criatividade.
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7. 16. Cronograma:
O trabalho proposto envolve 12 aulas de 50 minutos.
Duas aulas : Destaque ao retângulo, suas propriedades e a
determinação de sua área através da fórmula Ar = b.h.
Duas aulas : Uso das ferramentas básicas do software R.e.C.
6 aulas:
- duas destinadas ao estudo da área do paralelogramo em função da
área do retângulo( construção através software)
- duas destinadas ao estudo da área do triângulo em função da área
do retângulo( construção através do software);
- duas destinadas ao estudo da área do losango em função da área
do retângulo( construção através do software).
Duas aulas : Análise das figuras e o uso do PPM – Princípio da
Propriedade Mantida, nos figuras propostas.
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