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Vectores en el plano y en el espacio
Roc´ıo Meza Moreno
Universidad Aut´onoma Metropolitana, Iztapalapa
Roc´ıo Meza Moreno Vectores
Coordenadas cartesianas
Vectores
Puntos en el plano
Puntos en el espacio
Distancia entre dos puntos
Coordenadas cartesianas
El plano cartesiano, o R2, consta de dos rectas num´ericas
perpendiculares, una horizontal y una vertical.
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Puntos en el espacio
Distancia entre dos puntos
Un punto del plano es una pareja de n´umeros reales denotada
por (x, y).
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Puntos en el espacio
Distancia entre dos puntos
Un punto del plano es una pareja de n´umeros reales denotada
por (x, y). Todo punto puede representarse gr´aficamente en el
plano cartesiano.
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Distancia entre dos puntos
El espacio tridimensional, o R3, consta de tres rectas
num´ericas perpendiculares entre s´ı.
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Distancia entre dos puntos
Un punto del en el espacio es una terna de n´umeros reales
denotada por (x, y, z).
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Distancia entre dos puntos
Un punto del en el espacio es una terna de n´umeros reales
denotada por (x, y, z). Y puede representarse gr´aficamente
usando las coordenadas cartesianas espaciales.
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Distancia entre dos puntos
Observe que R2 est´a contenido en R3, pues
R2
= {(x, y, 0) | x, y ∈ R}
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Distancia entre dos puntos
Observe que R2 est´a contenido en R3, pues
R2
= {(x, y, 0) | x, y ∈ R}
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Distancia entre dos puntos en el plano
La distancia entre dos puntos P = (x1, y1) y Q = (x2, y2), del
plano cartesiano est´a dada por:
d(P, Q) = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
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La distancia entre dos puntos P = (x1, y1, z1) y
Q = (x2, y2, z2) en el espacio est´a dada por:
d(P, Q) = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2
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Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Vectores
Un vector es una cantidad que tiene magnitud y direcci´on.
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Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
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Un vector es una cantidad que tiene magnitud y direcci´on.
Geom´etricamente un vector v puede especificarse por medio de
su punto inicial y su punto final.
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Un vector es una cantidad que tiene magnitud y direcci´on.
Geom´etricamente un vector v puede especificarse por medio de
su punto inicial y su punto final.
En el plano
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Operaciones con vectores
Las caracter´ısticas importantes de un vector son su
magnitud y su direcci´on.
As´ı pues, vamos a considerar dos segmentos que tienen la
misma magnitud y direcci´on como representaciones del mismo
vector, independientemente de la posici´on en que se encuentre
su punto inicial.
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Por ejemplo, los siguientes segmentos representan todos al
mismo vector v.
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Operaciones con vectores
Como no importa la posici´on de un vector, se acostumbra
representarlo por medio del segmento dirigido que tiene la
misma magnitud y sentido, cuyo punto inicial se encuentra en el
origen. Un vector tal se llama vector de posici´on.
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Vectores de posici´on
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Operaciones con vectores
Como no importa la posici´on de un vector, se acostumbra
representarlo por medio del segmento dirigido que tiene la
misma magnitud y sentido, cuyo punto inicial se encuentra en el
origen. Un vector tal se llama vector de posici´on.
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Para determinar un vector de posici´on, basta conocer su
punto final. Para denotar un vector de posici´on v usaremos el
s´ımbolo:
v = a, b
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Para determinar un vector de posici´on, basta conocer su
punto final. Para denotar un vector de posici´on v usaremos el
s´ımbolo:
v = a, b
donde a y b son las coordenadas del punto final del vector v.
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¡Atenci´on!
(a, b) a, b
⇓ ⇓
Punto con coordenadas Vector de posici´on
a y b con punto final (a, b)
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¡Atenci´on!
(a, b) a, b
⇓ ⇓
Punto con coordenadas Vector de posici´on
a y b con punto final (a, b)
Nota: En muchos libros se usa la notaci´on (a, b) para punto y
vector. En esos casos, se debe entender a cu´al de los dos se
est´a haciendo referencia por el contexto.
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Operaciones con vectores
Dado un vector
−−→
PQ con punto inicial P = (x1, y1) y punto
final Q = (x2, y2).
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Dado un vector
−−→
PQ con punto inicial P = (x1, y1) y punto
final Q = (x2, y2).
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Dado un vector
−−→
PQ con punto inicial P = (x1, y1) y punto
final Q = (x2, y2).
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Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Si consideramos su correspondiente vector de posici´on:
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Si consideramos su correspondiente vector de posici´on:
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las coordenadas de su punto final son
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las coordenadas de su punto final son (x2 − x1, y2 − y1)
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Operaciones con vectores
Dado un vector en el plano v =
−−→
PQ con punto inicial
P = (x1, y1) y punto final Q = (x2, y2). Su representaci´on como
vector de posici´on est´a dada por
v = x2 − x1, y2 − y1
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En el espacio ocurre lo mismo
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Dado un vector en el espacio v =
−−→
PQ con punto inicial
P = (x1, y1, z1) y punto final Q = (x2, y2, z2). Su representaci´on
como vector de posici´on est´a dada por
v = x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1
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Operaciones con vectores
Magnitud de un vector
La magnitud de un vector
−−→
PQ es la distancia que hay entre el
punto inicial P y el punto final Q.
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Magnitud de un vector
La magnitud de un vector
−−→
PQ es la distancia que hay entre el
punto inicial P y el punto final Q.
Se denota por el s´ımbolo
−−→
PQ
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En el plano:
Si P = (x1, y1) y Q = (x2, y2),
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En el plano:
Si P = (x1, y1) y Q = (x2, y2), entonces
−−→
PQ = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
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En el plano:
Si P = (x1, y1) y Q = (x2, y2), entonces
−−→
PQ = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
En particular, la magnitud de un vector de posici´on
v = x, y es la distancia del origen al punto final (x, y), esto es,
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En el plano:
Si P = (x1, y1) y Q = (x2, y2), entonces
−−→
PQ = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
En particular, la magnitud de un vector de posici´on
v = x, y es la distancia del origen al punto final (x, y), esto es,
v = x2 + y2
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Magnitud y direcci´on
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En el espacio:
Si P = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2),
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En el espacio:
Si P = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2), entonces
−−→
PQ = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2
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En el espacio:
Si P = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2), entonces
−−→
PQ = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2
Y en particular, la magnitud de un vector de posici´on
v = x, y, z es la distancia del origen al punto final (x, y, z),
esto es,
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En el espacio:
Si P = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2), entonces
−−→
PQ = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2
Y en particular, la magnitud de un vector de posici´on
v = x, y, z es la distancia del origen al punto final (x, y, z),
esto es,
v = x2 + y2 + z2
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Direcci´on de un vector
La direcci´on de un vector en el plano es el ´angulo 0 ≤ θ < 2π
medido en radianes que forma dicho vector con el lado positivo
del eje x.
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Operaciones con vectores
Muchos conceptos f´ısicos pueden representarse por medio de
vectores:
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Operaciones con vectores
Muchos conceptos f´ısicos pueden representarse por medio de
vectores:
Velocidad:
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Fuerza:
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Desplazamiento:
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Suma de vectores
Para sumar geom´etricamente dos vectores v1 y v2
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Operaciones con vectores
se traza una copia del primer vector de manera que su punto
inicial coincida con el punto final del segundo vector
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se traza una copia del primer vector de manera que su punto
inicial coincida con el punto final del segundo vector
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Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
La suma v1 + v2 es el vector cuyo punto inicial es el punto
inicial de v1 y cuyo punto final es el punto final de v2.
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Operaciones con vectores
La suma v1 + v2 es el vector cuyo punto inicial es el punto
inicial de v1 y cuyo punto final es el punto final de v2.
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Obs´ervese que si se traza una copia del segundo vector con su
punto inicial en el punto final del primero, se obtiene el mismo
resultado. Es decir, la suma de vectores es conmutativa.
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Operaciones con vectores
En el espacio la suma de vectores se obtiene de igual manera.
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Desigualdad del tri´angulo
Para cualesquiera dos vectores v1 y v2 se cumple que
v1 + v2 ≤ v1 + v2
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Operaciones con vectores
Algebraicamente la suma de vectores se define como sigue.
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Operaciones con vectores
Algebraicamente la suma de vectores se define como sigue.
En el plano:
Si v1 = x1, y1 y v2 = x2, y2 , el vector suma es
v1 + v2 = x1 + x2, y1 + y2
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Operaciones con vectores
Algebraicamente la suma de vectores se define como sigue.
En el plano:
Si v1 = x1, y1 y v2 = x2, y2 , el vector suma es
v1 + v2 = x1 + x2, y1 + y2
En el espacio:
Si v1 = x1, y1, z1 y v2 = x2, y2, z2 , el vector suma es
v1 + v2 = x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2
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Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Algebraicamente la suma de vectores se define como sigue.
En el plano:
Si v1 = x1, y1 y v2 = x2, y2 , el vector suma es
v1 + v2 = x1 + x2, y1 + y2
En el espacio:
Si v1 = x1, y1, z1 y v2 = x2, y2, z2 , el vector suma es
v1 + v2 = x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2
Es decir, la suma de vectores se obtiene sumando
componente a componente.
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Operaciones con vectores
Ejercicio.
Explique por qu´e cuando se suman geom´etricamente dos
vectores en el plano v = v1, v2 y w = w1, w2 , el vector
resultante en efecto tiene componentes
v + w = v1 + w1, v2 + w2
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Operaciones con vectores
Multiplicaci´on por un escalar
El producto de un vector por un n´umero es un vector que se
define en la siguiente forma.
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Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Multiplicaci´on por un escalar
El producto de un vector por un n´umero es un vector que se
define en la siguiente forma.
En el plano:
Si v = x, y y λ ∈ R el producto del v por λ es
λv = λx, λy
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Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Multiplicaci´on por un escalar
El producto de un vector por un n´umero es un vector que se
define en la siguiente forma.
En el plano:
Si v = x, y y λ ∈ R el producto del v por λ es
λv = λx, λy
En el espacio:
Si v = x, y, z y λ ∈ R el producto de v por λ es
λv = λx, λy, λz
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Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Multiplicaci´on por un escalar
El producto de un vector por un n´umero es un vector que se
define en la siguiente forma.
En el plano:
Si v = x, y y λ ∈ R el producto del v por λ es
λv = λx, λy
En el espacio:
Si v = x, y, z y λ ∈ R el producto de v por λ es
λv = λx, λy, λz
Es decir, para multiplicar un vector por un escalar se
multiplica cada componente por dicho escalar.
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Operaciones con vectores
Multiplicar un vector por un escalar positivo no modifica su
direcci´on, solo modifica su magnitud.
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Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Multiplicar un vector por un escalar positivo no modifica su
direcci´on, solo modifica su magnitud.
Esto es porque si v es un vector en el plano o en el espacio y
λ es un n´umero real, entonces la magnitud de λv es
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Operaciones con vectores
Multiplicar un vector por un escalar positivo no modifica su
direcci´on, solo modifica su magnitud.
Esto es porque si v es un vector en el plano o en el espacio y
λ es un n´umero real, entonces la magnitud de λv es
λv = |λ| · v = λ · v
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Multiplicar un vector por un escalar positivo no modifica su
direcci´on, solo modifica su magnitud.
Esto es porque si v es un vector en el plano o en el espacio y
λ es un n´umero real, entonces la magnitud de λv es
λv = |λ| · v = λ · v
Por ejemplo,
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Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Si el escalar λ es negativo entonces
λv = |λ| · v = −λ · v
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Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Si el escalar λ es negativo entonces
λv = |λ| · v = −λ · v
En este caso, adem´as de modificarse la magnitud del vector v
por un factor |λ| el vector λv tiene direcci´on opuesta a v.
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Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Por ejemplo,
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Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Ejercicio.
¿Qu´e ocurre cuando se multiplica un vector por un escalar
con |λ| < 1?
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Vectores paralelos
Dos vectores se llaman paralelos si tienen la misma direcci´on
o bien tienen direcciones opuestas.
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Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Vectores paralelos
Dos vectores se llaman paralelos si tienen la misma direcci´on
o bien tienen direcciones opuestas.
Algebraicamente, dos vectores v y w son paralelos si se puede
escribir
v = λw
para alg´un n´umero real λ.
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Vectores paralelos
Dos vectores se llaman paralelos si tienen la misma direcci´on
o bien tienen direcciones opuestas.
Algebraicamente, dos vectores v y w son paralelos si se puede
escribir
v = λw
para alg´un n´umero real λ.
Si λ es positivo v y w tienen la misma direcci´on, pero si λ es
negativo tienen direcciones opuestas.
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Vectores en el plano

  • 1. Vectores en el plano y en el espacio Roc´ıo Meza Moreno Universidad Aut´onoma Metropolitana, Iztapalapa Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 2. Coordenadas cartesianas Vectores Puntos en el plano Puntos en el espacio Distancia entre dos puntos Coordenadas cartesianas El plano cartesiano, o R2, consta de dos rectas num´ericas perpendiculares, una horizontal y una vertical. Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 3. Coordenadas cartesianas Vectores Puntos en el plano Puntos en el espacio Distancia entre dos puntos Un punto del plano es una pareja de n´umeros reales denotada por (x, y). Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 4. Coordenadas cartesianas Vectores Puntos en el plano Puntos en el espacio Distancia entre dos puntos Un punto del plano es una pareja de n´umeros reales denotada por (x, y). Todo punto puede representarse gr´aficamente en el plano cartesiano. Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 5. Coordenadas cartesianas Vectores Puntos en el plano Puntos en el espacio Distancia entre dos puntos El espacio tridimensional, o R3, consta de tres rectas num´ericas perpendiculares entre s´ı. Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 6. Coordenadas cartesianas Vectores Puntos en el plano Puntos en el espacio Distancia entre dos puntos Un punto del en el espacio es una terna de n´umeros reales denotada por (x, y, z). Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 7. Coordenadas cartesianas Vectores Puntos en el plano Puntos en el espacio Distancia entre dos puntos Un punto del en el espacio es una terna de n´umeros reales denotada por (x, y, z). Y puede representarse gr´aficamente usando las coordenadas cartesianas espaciales. Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 8. Coordenadas cartesianas Vectores Puntos en el plano Puntos en el espacio Distancia entre dos puntos Observe que R2 est´a contenido en R3, pues R2 = {(x, y, 0) | x, y ∈ R} Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 9. Coordenadas cartesianas Vectores Puntos en el plano Puntos en el espacio Distancia entre dos puntos Observe que R2 est´a contenido en R3, pues R2 = {(x, y, 0) | x, y ∈ R} Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 10. Coordenadas cartesianas Vectores Puntos en el plano Puntos en el espacio Distancia entre dos puntos Distancia entre dos puntos En el plano Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 11. Coordenadas cartesianas Vectores Puntos en el plano Puntos en el espacio Distancia entre dos puntos Distancia entre dos puntos En el plano Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 12. Coordenadas cartesianas Vectores Puntos en el plano Puntos en el espacio Distancia entre dos puntos Distancia entre dos puntos En el plano Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 13. Coordenadas cartesianas Vectores Puntos en el plano Puntos en el espacio Distancia entre dos puntos Distancia entre dos puntos En el plano Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 14. Coordenadas cartesianas Vectores Puntos en el plano Puntos en el espacio Distancia entre dos puntos Distancia entre dos puntos En el plano Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 15. Coordenadas cartesianas Vectores Puntos en el plano Puntos en el espacio Distancia entre dos puntos Distancia entre dos puntos en el plano La distancia entre dos puntos P = (x1, y1) y Q = (x2, y2), del plano cartesiano est´a dada por: d(P, Q) = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 16. Coordenadas cartesianas Vectores Puntos en el plano Puntos en el espacio Distancia entre dos puntos En el espacio Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 17. Coordenadas cartesianas Vectores Puntos en el plano Puntos en el espacio Distancia entre dos puntos En el espacio Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 18. Coordenadas cartesianas Vectores Puntos en el plano Puntos en el espacio Distancia entre dos puntos En el espacio Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 19. Coordenadas cartesianas Vectores Puntos en el plano Puntos en el espacio Distancia entre dos puntos En el espacio Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 20. Coordenadas cartesianas Vectores Puntos en el plano Puntos en el espacio Distancia entre dos puntos En el espacio Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 21. Coordenadas cartesianas Vectores Puntos en el plano Puntos en el espacio Distancia entre dos puntos En el espacio Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 22. Coordenadas cartesianas Vectores Puntos en el plano Puntos en el espacio Distancia entre dos puntos En el espacio Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 23. Coordenadas cartesianas Vectores Puntos en el plano Puntos en el espacio Distancia entre dos puntos En el espacio Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 24. Coordenadas cartesianas Vectores Puntos en el plano Puntos en el espacio Distancia entre dos puntos En el espacio Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 25. Coordenadas cartesianas Vectores Puntos en el plano Puntos en el espacio Distancia entre dos puntos Distancia entre dos puntos en el espacio La distancia entre dos puntos P = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2) en el espacio est´a dada por: d(P, Q) = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2 Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 26. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Vectores Un vector es una cantidad que tiene magnitud y direcci´on. Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 27. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Vectores Un vector es una cantidad que tiene magnitud y direcci´on. Geom´etricamente un vector v puede especificarse por medio de su punto inicial y su punto final. Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 28. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Vectores Un vector es una cantidad que tiene magnitud y direcci´on. Geom´etricamente un vector v puede especificarse por medio de su punto inicial y su punto final. En el plano Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 29. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores En el espacio Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 30. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Las caracter´ısticas importantes de un vector son su magnitud y su direcci´on. As´ı pues, vamos a considerar dos segmentos que tienen la misma magnitud y direcci´on como representaciones del mismo vector, independientemente de la posici´on en que se encuentre su punto inicial. Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 31. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Por ejemplo, los siguientes segmentos representan todos al mismo vector v. Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 32. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Como no importa la posici´on de un vector, se acostumbra representarlo por medio del segmento dirigido que tiene la misma magnitud y sentido, cuyo punto inicial se encuentra en el origen. Un vector tal se llama vector de posici´on. Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 33. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Como no importa la posici´on de un vector, se acostumbra representarlo por medio del segmento dirigido que tiene la misma magnitud y sentido, cuyo punto inicial se encuentra en el origen. Un vector tal se llama vector de posici´on. Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 34. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Para determinar un vector de posici´on, basta conocer su punto final. Para denotar un vector de posici´on v usaremos el s´ımbolo: v = a, b Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 35. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Para determinar un vector de posici´on, basta conocer su punto final. Para denotar un vector de posici´on v usaremos el s´ımbolo: v = a, b donde a y b son las coordenadas del punto final del vector v. Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 36. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores ¡Atenci´on! (a, b) a, b ⇓ ⇓ Punto con coordenadas Vector de posici´on a y b con punto final (a, b) Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 37. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores ¡Atenci´on! (a, b) a, b ⇓ ⇓ Punto con coordenadas Vector de posici´on a y b con punto final (a, b) Nota: En muchos libros se usa la notaci´on (a, b) para punto y vector. En esos casos, se debe entender a cu´al de los dos se est´a haciendo referencia por el contexto. Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 38. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Dado un vector −−→ PQ con punto inicial P = (x1, y1) y punto final Q = (x2, y2). Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 39. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Dado un vector −−→ PQ con punto inicial P = (x1, y1) y punto final Q = (x2, y2). Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 40. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Dado un vector −−→ PQ con punto inicial P = (x1, y1) y punto final Q = (x2, y2). Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 41. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Si consideramos su correspondiente vector de posici´on: Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 42. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Si consideramos su correspondiente vector de posici´on: Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 43. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores las coordenadas de su punto final son Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 44. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores las coordenadas de su punto final son (x2 − x1, y2 − y1) Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 45. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Dado un vector en el plano v = −−→ PQ con punto inicial P = (x1, y1) y punto final Q = (x2, y2). Su representaci´on como vector de posici´on est´a dada por v = x2 − x1, y2 − y1 Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 46. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores En el espacio ocurre lo mismo Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 47. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Dado un vector en el espacio v = −−→ PQ con punto inicial P = (x1, y1, z1) y punto final Q = (x2, y2, z2). Su representaci´on como vector de posici´on est´a dada por v = x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1 Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 48. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Magnitud de un vector La magnitud de un vector −−→ PQ es la distancia que hay entre el punto inicial P y el punto final Q. Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 49. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Magnitud de un vector La magnitud de un vector −−→ PQ es la distancia que hay entre el punto inicial P y el punto final Q. Se denota por el s´ımbolo −−→ PQ Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 50. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores En el plano: Si P = (x1, y1) y Q = (x2, y2), Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 51. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores En el plano: Si P = (x1, y1) y Q = (x2, y2), entonces −−→ PQ = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 52. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores En el plano: Si P = (x1, y1) y Q = (x2, y2), entonces −−→ PQ = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 En particular, la magnitud de un vector de posici´on v = x, y es la distancia del origen al punto final (x, y), esto es, Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 53. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores En el plano: Si P = (x1, y1) y Q = (x2, y2), entonces −−→ PQ = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 En particular, la magnitud de un vector de posici´on v = x, y es la distancia del origen al punto final (x, y), esto es, v = x2 + y2 Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 54. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores En el espacio: Si P = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2), Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 55. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores En el espacio: Si P = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2), entonces −−→ PQ = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2 Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 56. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores En el espacio: Si P = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2), entonces −−→ PQ = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2 Y en particular, la magnitud de un vector de posici´on v = x, y, z es la distancia del origen al punto final (x, y, z), esto es, Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 57. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores En el espacio: Si P = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2), entonces −−→ PQ = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2 Y en particular, la magnitud de un vector de posici´on v = x, y, z es la distancia del origen al punto final (x, y, z), esto es, v = x2 + y2 + z2 Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 58. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Direcci´on de un vector La direcci´on de un vector en el plano es el ´angulo 0 ≤ θ < 2π medido en radianes que forma dicho vector con el lado positivo del eje x. Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 59. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Muchos conceptos f´ısicos pueden representarse por medio de vectores: Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 60. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Muchos conceptos f´ısicos pueden representarse por medio de vectores: Velocidad: Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 61. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Fuerza: Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 62. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Desplazamiento: Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 63. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Suma de vectores Para sumar geom´etricamente dos vectores v1 y v2 Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 64. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores se traza una copia del primer vector de manera que su punto inicial coincida con el punto final del segundo vector Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 65. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores se traza una copia del primer vector de manera que su punto inicial coincida con el punto final del segundo vector Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 66. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores La suma v1 + v2 es el vector cuyo punto inicial es el punto inicial de v1 y cuyo punto final es el punto final de v2. Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 67. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores La suma v1 + v2 es el vector cuyo punto inicial es el punto inicial de v1 y cuyo punto final es el punto final de v2. Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 68. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Obs´ervese que si se traza una copia del segundo vector con su punto inicial en el punto final del primero, se obtiene el mismo resultado. Es decir, la suma de vectores es conmutativa. Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 69. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores En el espacio la suma de vectores se obtiene de igual manera. Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 70. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Desigualdad del tri´angulo Para cualesquiera dos vectores v1 y v2 se cumple que v1 + v2 ≤ v1 + v2 Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 71. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Algebraicamente la suma de vectores se define como sigue. Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 72. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Algebraicamente la suma de vectores se define como sigue. En el plano: Si v1 = x1, y1 y v2 = x2, y2 , el vector suma es v1 + v2 = x1 + x2, y1 + y2 Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 73. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Algebraicamente la suma de vectores se define como sigue. En el plano: Si v1 = x1, y1 y v2 = x2, y2 , el vector suma es v1 + v2 = x1 + x2, y1 + y2 En el espacio: Si v1 = x1, y1, z1 y v2 = x2, y2, z2 , el vector suma es v1 + v2 = x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2 Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 74. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Algebraicamente la suma de vectores se define como sigue. En el plano: Si v1 = x1, y1 y v2 = x2, y2 , el vector suma es v1 + v2 = x1 + x2, y1 + y2 En el espacio: Si v1 = x1, y1, z1 y v2 = x2, y2, z2 , el vector suma es v1 + v2 = x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2 Es decir, la suma de vectores se obtiene sumando componente a componente. Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 75. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Ejercicio. Explique por qu´e cuando se suman geom´etricamente dos vectores en el plano v = v1, v2 y w = w1, w2 , el vector resultante en efecto tiene componentes v + w = v1 + w1, v2 + w2 Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 76. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Multiplicaci´on por un escalar El producto de un vector por un n´umero es un vector que se define en la siguiente forma. Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 77. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Multiplicaci´on por un escalar El producto de un vector por un n´umero es un vector que se define en la siguiente forma. En el plano: Si v = x, y y λ ∈ R el producto del v por λ es λv = λx, λy Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 78. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Multiplicaci´on por un escalar El producto de un vector por un n´umero es un vector que se define en la siguiente forma. En el plano: Si v = x, y y λ ∈ R el producto del v por λ es λv = λx, λy En el espacio: Si v = x, y, z y λ ∈ R el producto de v por λ es λv = λx, λy, λz Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 79. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Multiplicaci´on por un escalar El producto de un vector por un n´umero es un vector que se define en la siguiente forma. En el plano: Si v = x, y y λ ∈ R el producto del v por λ es λv = λx, λy En el espacio: Si v = x, y, z y λ ∈ R el producto de v por λ es λv = λx, λy, λz Es decir, para multiplicar un vector por un escalar se multiplica cada componente por dicho escalar. Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 80. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Multiplicar un vector por un escalar positivo no modifica su direcci´on, solo modifica su magnitud. Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 81. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Multiplicar un vector por un escalar positivo no modifica su direcci´on, solo modifica su magnitud. Esto es porque si v es un vector en el plano o en el espacio y λ es un n´umero real, entonces la magnitud de λv es Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 82. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Multiplicar un vector por un escalar positivo no modifica su direcci´on, solo modifica su magnitud. Esto es porque si v es un vector en el plano o en el espacio y λ es un n´umero real, entonces la magnitud de λv es λv = |λ| · v = λ · v Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 83. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Multiplicar un vector por un escalar positivo no modifica su direcci´on, solo modifica su magnitud. Esto es porque si v es un vector en el plano o en el espacio y λ es un n´umero real, entonces la magnitud de λv es λv = |λ| · v = λ · v Por ejemplo, Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 84. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Si el escalar λ es negativo entonces λv = |λ| · v = −λ · v Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 85. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Si el escalar λ es negativo entonces λv = |λ| · v = −λ · v En este caso, adem´as de modificarse la magnitud del vector v por un factor |λ| el vector λv tiene direcci´on opuesta a v. Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 86. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Por ejemplo, Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 87. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Ejercicio. ¿Qu´e ocurre cuando se multiplica un vector por un escalar con |λ| < 1? Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 88. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Vectores paralelos Dos vectores se llaman paralelos si tienen la misma direcci´on o bien tienen direcciones opuestas. Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 89. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Vectores paralelos Dos vectores se llaman paralelos si tienen la misma direcci´on o bien tienen direcciones opuestas. Algebraicamente, dos vectores v y w son paralelos si se puede escribir v = λw para alg´un n´umero real λ. Roc´ıo Meza Moreno Vectores
  • 90. Coordenadas cartesianas Vectores Vectores de posici´on Magnitud y direcci´on Operaciones con vectores Vectores paralelos Dos vectores se llaman paralelos si tienen la misma direcci´on o bien tienen direcciones opuestas. Algebraicamente, dos vectores v y w son paralelos si se puede escribir v = λw para alg´un n´umero real λ. Si λ es positivo v y w tienen la misma direcci´on, pero si λ es negativo tienen direcciones opuestas. Roc´ıo Meza Moreno Vectores