El documento describe los conceptos básicos de vectores en el plano y en el espacio, incluyendo puntos, coordenadas cartesianas, distancia entre puntos, vectores, magnitud y dirección de vectores. Explica que un vector tiene magnitud y dirección y puede representarse por su punto inicial y final, y cómo calcular la distancia entre dos puntos tanto en el plano como en el espacio tridimensional.
1. Vectores en el plano y en el espacio
Roc´ıo Meza Moreno
Universidad Aut´onoma Metropolitana, Iztapalapa
Roc´ıo Meza Moreno Vectores
2. Coordenadas cartesianas
Vectores
Puntos en el plano
Puntos en el espacio
Distancia entre dos puntos
Coordenadas cartesianas
El plano cartesiano, o R2, consta de dos rectas num´ericas
perpendiculares, una horizontal y una vertical.
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3. Coordenadas cartesianas
Vectores
Puntos en el plano
Puntos en el espacio
Distancia entre dos puntos
Un punto del plano es una pareja de n´umeros reales denotada
por (x, y).
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4. Coordenadas cartesianas
Vectores
Puntos en el plano
Puntos en el espacio
Distancia entre dos puntos
Un punto del plano es una pareja de n´umeros reales denotada
por (x, y). Todo punto puede representarse gr´aficamente en el
plano cartesiano.
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5. Coordenadas cartesianas
Vectores
Puntos en el plano
Puntos en el espacio
Distancia entre dos puntos
El espacio tridimensional, o R3, consta de tres rectas
num´ericas perpendiculares entre s´ı.
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6. Coordenadas cartesianas
Vectores
Puntos en el plano
Puntos en el espacio
Distancia entre dos puntos
Un punto del en el espacio es una terna de n´umeros reales
denotada por (x, y, z).
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7. Coordenadas cartesianas
Vectores
Puntos en el plano
Puntos en el espacio
Distancia entre dos puntos
Un punto del en el espacio es una terna de n´umeros reales
denotada por (x, y, z). Y puede representarse gr´aficamente
usando las coordenadas cartesianas espaciales.
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8. Coordenadas cartesianas
Vectores
Puntos en el plano
Puntos en el espacio
Distancia entre dos puntos
Observe que R2 est´a contenido en R3, pues
R2
= {(x, y, 0) | x, y ∈ R}
Roc´ıo Meza Moreno Vectores
9. Coordenadas cartesianas
Vectores
Puntos en el plano
Puntos en el espacio
Distancia entre dos puntos
Observe que R2 est´a contenido en R3, pues
R2
= {(x, y, 0) | x, y ∈ R}
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15. Coordenadas cartesianas
Vectores
Puntos en el plano
Puntos en el espacio
Distancia entre dos puntos
Distancia entre dos puntos en el plano
La distancia entre dos puntos P = (x1, y1) y Q = (x2, y2), del
plano cartesiano est´a dada por:
d(P, Q) = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
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25. Coordenadas cartesianas
Vectores
Puntos en el plano
Puntos en el espacio
Distancia entre dos puntos
Distancia entre dos puntos en el espacio
La distancia entre dos puntos P = (x1, y1, z1) y
Q = (x2, y2, z2) en el espacio est´a dada por:
d(P, Q) = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2
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26. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Vectores
Un vector es una cantidad que tiene magnitud y direcci´on.
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27. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Vectores
Un vector es una cantidad que tiene magnitud y direcci´on.
Geom´etricamente un vector v puede especificarse por medio de
su punto inicial y su punto final.
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28. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Vectores
Un vector es una cantidad que tiene magnitud y direcci´on.
Geom´etricamente un vector v puede especificarse por medio de
su punto inicial y su punto final.
En el plano
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30. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Las caracter´ısticas importantes de un vector son su
magnitud y su direcci´on.
As´ı pues, vamos a considerar dos segmentos que tienen la
misma magnitud y direcci´on como representaciones del mismo
vector, independientemente de la posici´on en que se encuentre
su punto inicial.
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31. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Por ejemplo, los siguientes segmentos representan todos al
mismo vector v.
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32. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Como no importa la posici´on de un vector, se acostumbra
representarlo por medio del segmento dirigido que tiene la
misma magnitud y sentido, cuyo punto inicial se encuentra en el
origen. Un vector tal se llama vector de posici´on.
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33. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Como no importa la posici´on de un vector, se acostumbra
representarlo por medio del segmento dirigido que tiene la
misma magnitud y sentido, cuyo punto inicial se encuentra en el
origen. Un vector tal se llama vector de posici´on.
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34. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Para determinar un vector de posici´on, basta conocer su
punto final. Para denotar un vector de posici´on v usaremos el
s´ımbolo:
v = a, b
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35. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Para determinar un vector de posici´on, basta conocer su
punto final. Para denotar un vector de posici´on v usaremos el
s´ımbolo:
v = a, b
donde a y b son las coordenadas del punto final del vector v.
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36. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
¡Atenci´on!
(a, b) a, b
⇓ ⇓
Punto con coordenadas Vector de posici´on
a y b con punto final (a, b)
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37. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
¡Atenci´on!
(a, b) a, b
⇓ ⇓
Punto con coordenadas Vector de posici´on
a y b con punto final (a, b)
Nota: En muchos libros se usa la notaci´on (a, b) para punto y
vector. En esos casos, se debe entender a cu´al de los dos se
est´a haciendo referencia por el contexto.
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38. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Dado un vector
−−→
PQ con punto inicial P = (x1, y1) y punto
final Q = (x2, y2).
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39. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Dado un vector
−−→
PQ con punto inicial P = (x1, y1) y punto
final Q = (x2, y2).
Roc´ıo Meza Moreno Vectores
40. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Dado un vector
−−→
PQ con punto inicial P = (x1, y1) y punto
final Q = (x2, y2).
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41. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Si consideramos su correspondiente vector de posici´on:
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42. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Si consideramos su correspondiente vector de posici´on:
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44. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
las coordenadas de su punto final son (x2 − x1, y2 − y1)
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45. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Dado un vector en el plano v =
−−→
PQ con punto inicial
P = (x1, y1) y punto final Q = (x2, y2). Su representaci´on como
vector de posici´on est´a dada por
v = x2 − x1, y2 − y1
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47. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Dado un vector en el espacio v =
−−→
PQ con punto inicial
P = (x1, y1, z1) y punto final Q = (x2, y2, z2). Su representaci´on
como vector de posici´on est´a dada por
v = x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1
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48. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Magnitud de un vector
La magnitud de un vector
−−→
PQ es la distancia que hay entre el
punto inicial P y el punto final Q.
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49. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Magnitud de un vector
La magnitud de un vector
−−→
PQ es la distancia que hay entre el
punto inicial P y el punto final Q.
Se denota por el s´ımbolo
−−→
PQ
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51. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
En el plano:
Si P = (x1, y1) y Q = (x2, y2), entonces
−−→
PQ = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
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52. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
En el plano:
Si P = (x1, y1) y Q = (x2, y2), entonces
−−→
PQ = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
En particular, la magnitud de un vector de posici´on
v = x, y es la distancia del origen al punto final (x, y), esto es,
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53. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
En el plano:
Si P = (x1, y1) y Q = (x2, y2), entonces
−−→
PQ = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
En particular, la magnitud de un vector de posici´on
v = x, y es la distancia del origen al punto final (x, y), esto es,
v = x2 + y2
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54. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
En el espacio:
Si P = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2),
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55. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
En el espacio:
Si P = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2), entonces
−−→
PQ = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2
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56. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
En el espacio:
Si P = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2), entonces
−−→
PQ = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2
Y en particular, la magnitud de un vector de posici´on
v = x, y, z es la distancia del origen al punto final (x, y, z),
esto es,
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57. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
En el espacio:
Si P = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2), entonces
−−→
PQ = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2
Y en particular, la magnitud de un vector de posici´on
v = x, y, z es la distancia del origen al punto final (x, y, z),
esto es,
v = x2 + y2 + z2
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58. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Direcci´on de un vector
La direcci´on de un vector en el plano es el ´angulo 0 ≤ θ < 2π
medido en radianes que forma dicho vector con el lado positivo
del eje x.
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59. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Muchos conceptos f´ısicos pueden representarse por medio de
vectores:
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60. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Muchos conceptos f´ısicos pueden representarse por medio de
vectores:
Velocidad:
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63. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Suma de vectores
Para sumar geom´etricamente dos vectores v1 y v2
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64. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
se traza una copia del primer vector de manera que su punto
inicial coincida con el punto final del segundo vector
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65. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
se traza una copia del primer vector de manera que su punto
inicial coincida con el punto final del segundo vector
Roc´ıo Meza Moreno Vectores
66. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
La suma v1 + v2 es el vector cuyo punto inicial es el punto
inicial de v1 y cuyo punto final es el punto final de v2.
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67. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
La suma v1 + v2 es el vector cuyo punto inicial es el punto
inicial de v1 y cuyo punto final es el punto final de v2.
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68. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Obs´ervese que si se traza una copia del segundo vector con su
punto inicial en el punto final del primero, se obtiene el mismo
resultado. Es decir, la suma de vectores es conmutativa.
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69. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
En el espacio la suma de vectores se obtiene de igual manera.
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70. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Desigualdad del tri´angulo
Para cualesquiera dos vectores v1 y v2 se cumple que
v1 + v2 ≤ v1 + v2
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71. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Algebraicamente la suma de vectores se define como sigue.
Roc´ıo Meza Moreno Vectores
72. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Algebraicamente la suma de vectores se define como sigue.
En el plano:
Si v1 = x1, y1 y v2 = x2, y2 , el vector suma es
v1 + v2 = x1 + x2, y1 + y2
Roc´ıo Meza Moreno Vectores
73. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Algebraicamente la suma de vectores se define como sigue.
En el plano:
Si v1 = x1, y1 y v2 = x2, y2 , el vector suma es
v1 + v2 = x1 + x2, y1 + y2
En el espacio:
Si v1 = x1, y1, z1 y v2 = x2, y2, z2 , el vector suma es
v1 + v2 = x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2
Roc´ıo Meza Moreno Vectores
74. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Algebraicamente la suma de vectores se define como sigue.
En el plano:
Si v1 = x1, y1 y v2 = x2, y2 , el vector suma es
v1 + v2 = x1 + x2, y1 + y2
En el espacio:
Si v1 = x1, y1, z1 y v2 = x2, y2, z2 , el vector suma es
v1 + v2 = x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2
Es decir, la suma de vectores se obtiene sumando
componente a componente.
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75. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Ejercicio.
Explique por qu´e cuando se suman geom´etricamente dos
vectores en el plano v = v1, v2 y w = w1, w2 , el vector
resultante en efecto tiene componentes
v + w = v1 + w1, v2 + w2
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76. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Multiplicaci´on por un escalar
El producto de un vector por un n´umero es un vector que se
define en la siguiente forma.
Roc´ıo Meza Moreno Vectores
77. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Multiplicaci´on por un escalar
El producto de un vector por un n´umero es un vector que se
define en la siguiente forma.
En el plano:
Si v = x, y y λ ∈ R el producto del v por λ es
λv = λx, λy
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78. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Multiplicaci´on por un escalar
El producto de un vector por un n´umero es un vector que se
define en la siguiente forma.
En el plano:
Si v = x, y y λ ∈ R el producto del v por λ es
λv = λx, λy
En el espacio:
Si v = x, y, z y λ ∈ R el producto de v por λ es
λv = λx, λy, λz
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79. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Multiplicaci´on por un escalar
El producto de un vector por un n´umero es un vector que se
define en la siguiente forma.
En el plano:
Si v = x, y y λ ∈ R el producto del v por λ es
λv = λx, λy
En el espacio:
Si v = x, y, z y λ ∈ R el producto de v por λ es
λv = λx, λy, λz
Es decir, para multiplicar un vector por un escalar se
multiplica cada componente por dicho escalar.
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80. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Multiplicar un vector por un escalar positivo no modifica su
direcci´on, solo modifica su magnitud.
Roc´ıo Meza Moreno Vectores
81. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Multiplicar un vector por un escalar positivo no modifica su
direcci´on, solo modifica su magnitud.
Esto es porque si v es un vector en el plano o en el espacio y
λ es un n´umero real, entonces la magnitud de λv es
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82. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Multiplicar un vector por un escalar positivo no modifica su
direcci´on, solo modifica su magnitud.
Esto es porque si v es un vector en el plano o en el espacio y
λ es un n´umero real, entonces la magnitud de λv es
λv = |λ| · v = λ · v
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83. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Multiplicar un vector por un escalar positivo no modifica su
direcci´on, solo modifica su magnitud.
Esto es porque si v es un vector en el plano o en el espacio y
λ es un n´umero real, entonces la magnitud de λv es
λv = |λ| · v = λ · v
Por ejemplo,
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84. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Si el escalar λ es negativo entonces
λv = |λ| · v = −λ · v
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85. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Si el escalar λ es negativo entonces
λv = |λ| · v = −λ · v
En este caso, adem´as de modificarse la magnitud del vector v
por un factor |λ| el vector λv tiene direcci´on opuesta a v.
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87. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Ejercicio.
¿Qu´e ocurre cuando se multiplica un vector por un escalar
con |λ| < 1?
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88. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Vectores paralelos
Dos vectores se llaman paralelos si tienen la misma direcci´on
o bien tienen direcciones opuestas.
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89. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Vectores paralelos
Dos vectores se llaman paralelos si tienen la misma direcci´on
o bien tienen direcciones opuestas.
Algebraicamente, dos vectores v y w son paralelos si se puede
escribir
v = λw
para alg´un n´umero real λ.
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90. Coordenadas cartesianas
Vectores
Vectores de posici´on
Magnitud y direcci´on
Operaciones con vectores
Vectores paralelos
Dos vectores se llaman paralelos si tienen la misma direcci´on
o bien tienen direcciones opuestas.
Algebraicamente, dos vectores v y w son paralelos si se puede
escribir
v = λw
para alg´un n´umero real λ.
Si λ es positivo v y w tienen la misma direcci´on, pero si λ es
negativo tienen direcciones opuestas.
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