1 funções - parte 1

05/03/2015 Funções parte 1
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Funções parte 1
Funções parte 1
Site: AVA Moodle UTFPR
Curso: CDI1 Câmpus CP, FB, MD, PG e TD
Livro: Funções parte 1
Impresso por: RODRIGO PEREIRA ALVES
Data: quinta, 5 março 2015, 12:05

Sumário
2.1 Objetivos
2.2 Introdução
2.3 O Conceito de função
2.4 O Domínio de uma função real de variável real
2.5 Operações
2.6 Gráficos
2.7 Características de uma função
2.8 Função constante
2.9 Função identidade
2.10 Função do primeiro grau
2.11 Função modular e definida por várias sentenças
2.12 Função quadrática
2.13 Função polinomial
2.14 Função Racional e Função Algébrica

2.1 Objetivos
Reconhecer uma função e formalizar o conceito matemático de função;
Identificar o domínio, o contradomínio e a imagem de uma função;
Construir e interpretar diferentes representações, como gráficos e equações de uma função;
Realizar operações com funções;
Determinar a inversa de uma função;
Distinguir e manipular funções polinomiais, racionais, modulares, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas;
Resolver problemas que envolvam o conceito de funções.

Nesta segunda unidade, estudaremos um dos mais importantes conceitos da matemática, o de função. Serão apresentados
problemas que evidenciam a importância do estudo das funções em diferentes áreas do conhecimento, ampliando, assim, o nosso
olhar para o estudo das funções.
No decorrer dos exemplos será possível observar que o uso de recursos computacionais pode auxiliar na visualização das
propriedades e características das funções.
Ao final de cada tópico, você poderá praticar e verificar sua compreensão dos conteúdos estudados através da resolução dos
exercícios propostos.
apresentacao_michelle_klaiber.flv

2.2 Introdução
A palavra função geralmente é usada para exprimir a ideia de que um fato pode ser determinado, conhecido, a partir
de outro (o valor gasto foi conhecido a partir do número de refrigerantes comprados, o tempo que você leva para
chegar à universidade, a pé, depende da velocidade da caminhada, entre outros exemplos). O conceito de função
nos permite descrever relações que existem em aplicações, como, por exemplo, relacionar a temperatura de uma
compostagem com o número de dias em que ela começou a ser realizada.
Exemplos particulares do uso de funções podem ser encontrados desde a antiguidade, como por exemplo, um pastor
realizava a contagem de suas ovelhas fazendo uma correspondência entre os objetos a serem contados (as ovelhas)
com os objetos de algum conjunto de contagem (como os dedos da mão, pedras, etc.).

Historicamente, um dos primeiros matemáticos que mais se aproximou do conceito de função foi Oresme (1323 –
1382), em sua teoria, estão presentes algumas noções gerais sobre variáveis dependentes e independentes. No
entanto, o conceito matemático de função foi formalizado somente no final do século XVII, sendo relativamente
recente.

Descartes (15961650) afirmou em um de seus estudos que uma equação de duas variáveis, geometricamente
representada por uma curva, indica uma dependência entre quantidades variáveis.

Newton (16421727) foi um dos primeiros matemáticos a mostrar como uma função poderia ser desenvolvida em
séries de potência infinita, permitindo a intervenção de processos infinitos. Ele teria usado o termo "fluent" para
designar as variáveis independentes, “relata quantitas" para indicar variáveis dependentes, e "genita" para se referir
a quantidades obtidas a partir de outras utilizando as quatro operações aritméticas fundamentais (João Pedro
Pontes, 1992). O termo “função” foi utilizado pela primeira vez por Leibniz (16461716) no ano de 1673.

Atualmente, podemos notar o uso de funções em muitas áreas diferentes, como por exemplo: um médico utiliza
funções para calcular a quantidade de medicamento que receitará ao seu paciente, um engenheiro agrônomo pode
utilizar funções para calcular o crescimento de uma planta, um vendedor utiliza funções para estimar o seu lucro...

2.3 O Conceito de função
Imaginemos que queiramos descobrir quanto gastamos com refrigerantes na cantina da universidade em um
determinado período. Claramente percebemos que o valor gasto depende da quantidade de refrigerantes
comprados, ou seja, o valor gasto é uma função do número de refrigerantes comprados. Se cada refrigerante custar
R$ 2,50, a tabela seguinte nos dá o valor gasto em função do número comprado. Veja:
Tabela 1: valor gasto em função do número de refrigerantes comprados
Número refrigerantes comprados 1 2 3 4 5 20 ... x
valor gasto 2,50 5,00 7,50 10,00 12,50 50,00 .... 2,50x

Observe que para descobrir o valor gasto sempre multiplicamos o número de refrigerantes comprados pelo valor de
cada refrigerante. Quando escrevemos uma sentença matemática para representar essa relação (a qual
denominamos expressão algébrica), estamos determinando um “modelo matemático”. Em particular, nesse item
trataremos dos modelos chamados de funções matemáticas.
São várias as situações que usamos essa relação, porém, dificilmente nos damos conta que estamos determinando
um modelo matemático, que estamos trabalhando com uma função.
Uma função associa elementos de um conjunto a elementos de outro conjunto. Em nosso estudo, os conjuntos
envolvidos sempre serão subconjuntos de . As funções neles definidas são chamadas funções reais de uma
variável real.

Antes de definirmos formalmente o que é uma função, podemos pensar em um valor que depende de outro. Por
exemplo:

             I.    Uma relação que expresse a área A de um quadrado em função do comprimento L do lado.

Sabemos que a área de um quadrado é calculada multiplicandose a medida do seu lado por ela mesma, ou seja,
Área do quadrado =  L x L
Portanto, obtemos a equação   .
           II.    A área A de um círculo depende de seu raio r. A lei que conecta r e A é dada pela equação .
A cada número real r positivo existe associado um único valor de A, e dizemos que A é uma função de r. Como a
área é calculada a partir do comprimento do raio, dizemos que a variável raio é independente enquanto a área A
é dependente, pois usa o valor do raio para ser calculada.
Vejamos então, qual a definição formal de função.


IMPORTANTE:

         I.        não deve haver exceções: se  f  tem o conjunto A como domínio, a regra deve fornecer f(x) B para todo
x A;
        II.        não deve haver ambiguidades: a cada x A, a regra deve fazer corresponder um único f(x) B.

Exemplo 1: Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5}.
Solução:
(a)  f : A → B mostrada na Figura 2.1 abaixo é uma função, pois todo elemento do conjunto A está associado a um
único elemento do conjunto B. Note que, embora os elementos 2 e 3 tenham a mesma imagem (4), isso não contraria
a definição de função, pois a única imagem do 2 é o 4, e a única imagem do 3 é o 4. Não importa que os dois
elementos do domínio estejam com a mesma imagem no contradomínio.

Figura 2.1: Diagrama de uma função

Para representar que o elemento    está associado ao , segundo a função estabelecida nesse exemplo,
escrevemos: . Para as outras relações, podemos escrever: , e .
(b) g : A → B  mostrada na Figura 2.2 abaixo é uma função de A em B.

Para confirmar essa afirmação, basta calcularmos as imagens de todos os elementos de , pela relação . Se todas
as imagens estiverem em , confirmamos a afirmação. Veja:
Os elementos de A são: 1, 2, 3, 4. Os elementos de B são: 2,3,4,5. A relação é: , onde está
representando genericamente cada elemento do domínio . Façamos os cálculos:
De fato, é uma função de em . A relação entre os elementos de e também pode ser representada
geometricamente, como mostra a Figura 2.2.

Figura 2.2: Diagrama de uma função

Exemplo 2: Sejam A = {3, 4, 5}  e  B = {1, 2}.
Solução:
(a)  f : A → B mostrada na Figura 2.3 abaixo não é uma função de A em B, pois o elemento  4 A tem dois
correspondentes em B, isto é, existe um elemento no domínio da função (nesse caso, o 4) que não possui uma
única imagem.

Figura 2.3: Diagrama de uma relação
  (b)Verifique se  g:  A → B        representa uma função.

Esta notação deixa claro que o domínio da função é o conjunto A, que o contradomínio é o conjunto B e que a
relação entre A e B que se quer verificar é dada por . Para ser função, todo elemento de A deve estar
associado a um único elemento de B. Vejamos:
Elementos de A: {3,4,5}.            Elementos de B: {1,2}
Testando a associação:
Logo,   Não é uma função de A em B, pois o elemento 5   A não tem correspondente em B.

Conceito de função
2_2_ConceitoFuncao1.flv

Continuação: Conceito de função
2_2_ConceitoFuncao2.flv
determinacaodeumaexpressaoalgebricaparaumproblema.flv


No exemplo 1, . Não necessariamente precisamos ter sempre .

2.4 O Domínio de uma função real de variável real
O domínio de uma função é o conjunto de números reais possíveis para a variável independente, ou seja, todos os
valores de possíveis. Quando uma determinada função é representada graficamente, podemos analisar o domínio
da função por meio da projeção do gráfico sobre o eixo x. Da mesma forma, podemos dizer quem é o conjunto
imagem projetando os pontos do gráfico sobre o eixo y. Já no caso da função estar representada algebricamente
(com uma fórmula), analisamos o domínio da função a partir das restrições numéricas que temos para a fórmula em
questão. Veja os exemplos seguintes:
Exemplo 1: Determinar os conjuntos domínio e imagem da função representada no gráfico seguinte (Figura 2.4):
Figura 2.4: Gráfico de uma função definida por partes
Solução:
Não importa a expressão algébrica da função que está representada graficamente. Para determinar o seu domínio,
basta projetar o gráfico (linha em vermelho) sobre o eixo x. Ao fazer isso, você perceberá que a projeção "cobre" todo
o eixo. Portanto, o domínio da função é o conjunto dos números reais. Escrevemos:
Para o conjunto imagem, basta projetar o gráfico (linha vermelha) sobre o eixo y. Faça isso e perceba que todos os
valores maiores ou igual a são imagem de algum número em x. Escrevemos, para essa função:
ou .
dominioeimagemnografico.flv
Quando uma função é representada apenas pela sua lei de formação, sua expressão algébrica, o domínio da função
é determinado por meio da análise das restrições da função. Observe o exemplo 2:
Exemplo 2: Determinar o domínio das seguintes funções:
a)
b)
c)
d)
Solução:
a) Sabemos que uma divisão só pode ser efetuada quando o denominador da fração for um número não nulo, assim,
para determinar o domínio dessa função, precisamos impor a condição de que o denominador seja diferente de
zero e resolver a inequação escrita, isto é:
Logo,
b) No universo dos números reais, só é possível calcular a raiz quadrada de números positivos ou do zero. Assim,
nesse caso, a solução é encontrada a partir da restrição: radicando maior ou igual a zero (essa restrição é válida
sempre que o índice da raiz for um número par), que determinará o domínio da função. Isto é:

Logo,

c) Da mesma forma que o item b) devemos resolver a inequação: radicando maior ou igual a zero. Isto é,
ou
Lembramos que essa é uma inequação do 2. grau. Para resolvêla, precisamos analisar o sinal da função quadrática
correspondente: . Você lembra?
• Passo 1 achar os zeros da função:
• Passo 2 analisar o sinal da função: para isso, uma das alternativas é usar o gráfico da função, o qual já
aprendemos no Ensino Médio que é uma parábola, com a concavidade voltada para cima, que interceptará o eixo x
nos pontos de abscissas e . O intervalo para o qual o gráfico estiver acima do eixo x, anotamos o sinal de +
(mais) para significar que, naquele intervalo, a função é positiva. O intervalo para o qual o gráfico estiver abaixo do
eixo x, anotamos o sinal de (menos), para significar que, naquele intervalo, a função é negativa. Veja a Figura 2.5.
Figura 2.5: Sinal da função
Note que a função ser positiva ou negativa não depende do valor de x ser positivo ou negativo, mas depende do
valor de y. Isso nos dá outra alternativa para verificar o sinal de uma função: fazer cálculos. Como?
Se pensarmos na reta numérica, os zeros da função a dividem em três partes:
os números menores que ;
os números entre e ;
os números maiores que .
Para verificar o sinal da função, atribuímos um valor para x em cada um desses intervalos e verificamos o sinal da
imagem desse número. Esse sinal valerá para todo o intervalo.
Seja , temos . Como esse resultado é positivo, assumimos que
para todo número menor que 1,
Seja , temos . Como esse resultado é negativo, assumimos que para
todo número entre e , .
Seja , temos . Como esse resultado é positivo, assumimos que para todo
número
Isso é o que está apresentado na figura anterior.
• Passo 3 escolher o sinal adequado para resolver a inequação.
Como queremos , devemos escolher os intervalos em que a função apresenta sinal de + (positivo) ou
zero.
Assim,
d) Aqui são apresentadas as situações tratadas nos itens a e b. Para cada “parte” da função , devemos
encontrar as restrições, ou seja, aqueles números que se substituídos no lugar do resultam em uma divisão por
zero ou numa raiz de índice par e radicando negativo. Ou seja,
       (1)
       (2)

(3)
O domínio da função é o conjunto de todos os números reais que satisfazem as condições de , e ,
simultaneamente, isto é, resta ainda determinar a interseção das restrições em (1), (2) e (3).
Logo,
dominiodeumafuncaoreal.flv
Exemplo3: Determinar o domínio e a imagem da função :
Solução:
Antes de afirmar que o , lembrese que o denominador nunca dever ser igual a 0, assim temos:
Para determinar o conjunto imagem, temos que achar os valores possíveis para (lembrando que ).
Isolando o temos:


Antes de afirmar que , lembrese que o denominador nunca dever se igual a 0, assim temos:
Exemplo 4: Determinar o domínio e a imagem da função :
Solução:
Antes de afirmar que o , lembrese que raiz quadrada de números negativos não está definida no
conjunto , portanto fazemos:
Isolando o temos:
(lembrando que )

http://ecalculo.if.usp.br/funcoes/logaritmica/logaritmo/conceito_log.htm
Exemplo 5: Determinar o domínio e a imagem da função :
Solução:
Antes de afirmar que o , lembrese que não existe de valores menores ou iguais a zero. Temos:

Isolando o temos:
(aplicando o para cancelar o )
(lembrando que o )
(para qualquer valor de , o resultado será sempre maior que 0)
http://moodle2.md.utfpr.edu.br/videos/videoaula/Calculo/funcao/2_2_Dominio.flv
Respostas:

http://www.youtube.com/watch?v=aqbD1hRYvI
http://www.youtube.com/watch?v=5D7Pht5AcDw
Tarefa: Observe que aqui aparecem vários termos associados às funções. Redija um texto estabelecendo as
diferenças entre eles e como determinálos. Se necessário, pesquise em outras fontes, elabore situações...
Com as funções podemos também realizar operações, assim como fazemos com os números, e destas operações
formaremos novas funções, como veremos a seguir:

2.5 Operações
Estudaremos agora as operações que podemos realizar entre as funções.

O domínio das funções é a intersecção dos domínios de e . O domínio de é a
intersecção dos domínios de   e , excluindose os pontos onde .

O domínio de coincide com o domínio de .
A composição de funções, também é considerada uma operação de funções:


O domínio de g ○ f (lêse "g bola f" ou "g composta com f") é o conjunto de todos os pontos no domínio de tais
que está no domínio de .
Simbolicamente,
Veja o diagrama abaixo na Figura 2.6:

Figura 2.6: Diagrama da função composta

funcaocomposta.flv
Exemplo 1: Sejam e .
Solução:


Exemplo 2: Sejam e . Encontre .
Solução:
Lêse “ ” onde o valor da (no caso, ) é substituído no lugar da variável que aparece na ,
assim temos:

Exemplo 3: Sejam e . Encontre:
Solução:
Temos,

Exemplo 4: Sejam e funções de em . Determine o valor de .

(TAN, 2011)
Solução:
Como , temos que .
Assim, .
Da igualdade segue:
Logo, .
Exemplo 5: Muitos problemas em matemática são abordados pela decomposição de funções em uma composição
de uma ou mais funções mais simples. Por exemplo, considere a função . Para calcular para
um dado valor, primeiro temos que fazer e depois fazemos o quadrado do resultado, não é isso? Essas duas
operações são executadas pelas funções: e . Podemos expressar em função de e
fazendo:
É importante entender a composição das funções porque precisaremos disso para derivar ou integrar funções
compostas mais adiante...
Desafio: Expresse como a composição de duas funções.
Resposta do desafio:

2_3_OperacoesCompostas.flv

Gabarito:

2.6 Gráficos

Exemplo 1: Seja dada a seguinte descrição em palavras de uma função: é a população brasileira no instante .
A tabela de valores da população brasileira (tabela 2) fornece uma representação conveniente dessa função. Ao
plotarmos esses pontos, obtemos a representação apresentada na Figura 2.7, que nos é bastante útil pela inferência
que podemos fazer a respeito da população brasileira. Naturalmente, é impossível calcular uma fórmula exata para a
população brasileira P(t), porém, é possível encontrar uma solução aproximada para ela, que nos permite estimar
populações em momentos em que não temos disponíveis dados do censo. A figura 2.8 representa a população
brasileira para o período de 1900 a 2000, bem como o modelo matemático aproximado correspondente.
Tabela 2: População Brasileira
Ano População
1583 57000
1600 100000
1700 300000
1800 3660000
1872 9930478
1890 14333915
1900 17438434
1920 30635605

1940 41236315
1950 51944397
1960 70191370
1970 93139037
1980 119002706
1991 146825475
2000 166112500
Fonte: IBGE
Figura 2.7: Representação gráfica da População Brasileira
Figura 2.8: Modelo matemático aproximado para a população brasileira no período de 1900 a 2000.
Solução: Na tabela 2 temos a população brasileira para diversos momentos, no entanto, se estivéssemos
interessados em estimála para o ano de 1975, por exemplo, precisaríamos de algum modo, já que esse valor não
consta nela. Com o uso do modelo matemático, podemos obter essa informação, bastando para isso considerar
e calcular o valor de pessoas.
Você pode determinar essa função usando o software GeoGebra e o comando "regressão exponencial" . Você
deverá encontrar a função: em que é o ano e é a
população no ano .

Definiremos agora o gráfico de uma função, que é uma das formas que podemos utilizar para representar uma

função.

Exemplo 2: Esboçar o gráfico da função :
Solução:
Note que esta função tem como , isto nos permite montar uma tabela e atribuir quaisquer valores para
,substituindo estes valores na função, encontramos os valores de correspondentes. Os números e serão as
coordenadas de um ponto no plano cartesiano. Assim temos:

Figura 2.9: Representação dos pontos da tabela 2.3

Em seguida trace uma reta (ou uma curva) seguindo os pontos do plano cartesiano, assim teremos um esboço do
gráfico, como na Figura 2.10:

Figura 2.10: Gráfico da função


Exemplo 3: Esboçar o gráfico da função :
Solução:
Observando que   podemos atribuir qualquer valor para que encontraremos um valor para . Dessa forma é
importante atribuir vários valores para para podermos visualizar e esboçar o gráfico.

Tabela 2.4
Figura 2.11: Representação dos pontos da Tabela 2.4



Traçando uma curva seguindo os pontos do plano cartesiano, teremos um esboço do gráfico, como na Figura 2.12:


É importante observar que, nesse exemplo, só pudemos traçar uma curva unindo os pontos marcados no plano
cartesiano porque o domínio da função é o conjunto dos números reais.
http://ecalculo.if.usp.br/funcoes/grandezas/exemplos/exemplo1.htm

2.7 Características de uma função
Mais adiante, precisaremos que as funções tenham algumas características especiais, como, por exemplo, ser bijetora ou ser
crescente. Vamos apresentar algumas dessas características, para que saibamos do que se trata, quando for oportuno.
Exemplo 1: A função com não é injetora, pois para e , ou seja ,
encontramos , o que contraria a definição. Observe a Figura 2.14 e perceba que há várias duplas de
números reais (por exemplo, e , e ) que possui a mesma imagem. Graficamente, podemos reconhecer se uma função é
injetora se ao traçarmos linhas paralelas ao eixo das abscissas, essas linhas interceptarem o gráfico em apenas um ponto (por que
mesmo???? Analise bem!).
Figura 2.14: Representação gráfica da função com
Exemplo 2: Seja a função com . Nessas condições, a função é injetora. Note que, nesse exemplo,
restringimos o domínio da função para apenas os números reais não negativos, e isso permitiu que a função se tornasse injetora.
Veja a representação gráfica na Figura 2.15.
Figura 2.15: Representação gráfica da com
Exemplo 3: A função com é injetora pois , com temse .

A definição 2 nos permite concluir que uma função é sobrejetora quando seu conjunto imagem for igual ao contradomínio da
função. Na notação da Definição 2, o contradomínio de é o conjunto .
Exemplo 1: A função definida por é sobrejetora pois .
Exemplo 2: A função definida por não é sobrejetora pois e, nesse exemplo,
estamos tomando o contradomínio da função como sendo o conjunto . Logo, .
Exemplo 3: Uma função , com e , e não é sobrejetora pois,
Isto é,
Exemplo 1: A função com é bijetora. Verifique!!
Note que para existir a inversa de uma função, é preciso que esta seja bijetora. Por que isso? A função bijetora é sobrejetora e
injetora. Sendo sobrejetora, temse que , o que significa dizer que existe pelo menos um tal que
, e esse é único, porque f é injetora. Sendo assim, então podemos definir uma função que associa a
cada o único tal que .
Exemplo 1: Seja com . Esta função associa a cada número real o número . A função
inversa associa o número ao número . A função inversa é dada por: .
Como podemos determinar a inversa de uma função? Basta seguir o seguinte procedimento (ou use a sua lógica, "desfazendo" as
operações realizadas para determinar o ):
1. Troque por e por ;
2. Isole
3. Escrevemos

Veja, vamos determinar a inversa de
Passo 1: Escrevemos
Passo 2: Isolamos :
Passo 3: .
Graficamente, as funções e são simétricas em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares (que é representada pela
reta ). A Figura 2.16 mostra a representação gráfica da função do Exemplo 1 e de sua inversa.

Figura 2.16: Representação gráfica da função e de sua inversa
Exemplo 2: Determinar a inversa da função dada por .
Solução:
A função dada é bijetora, pois:
a) Considere , então
Assim, é injetora.
b) é sobrejetora, pois dado , existe tal que .
De fato, se , então
Para calcular a função inversa, vamos seguir os passos apresentados no exemplo 1.
Passo 1:
Passo 2:
Logo, para

A Figura 2.17 mostra a representação gráfica das funções (em azul) e (em vermelho).
Figura 2.17: Representação gráfica da função e sua inversa.
Exemplo 1: Verifique se a função real de variável real dada por é crescente ou decrescente.
Solução:
Seja . Temos:
Logo a função é crescente.
Figura 2.18: Representação gráfica da função
Para verificar se uma função cresce ou decresce a partir da representação gráfica, basta acompanhar o crescimento da linha do

gráfico, com o cuidado de observar esse crescimento da esquerda para a direita, conforme o sentido de crescimento dos valores
que estão no eixo .
Exemplo 2: Verifique se a função real de variável real, dada por é crescente ou decrescente.
Solução:
Seja . Temos:

Logo, como , a função é decrescente. A Figura 2.19 mostra a representação gráfica da função
.
Figura 2.19: Representação Gráfica da função
Nem todas as funções são crescentes ou decrescentes. Muitas delas são crescentes em um intervalo e decrescentes em
outro, como podemos observar na Figura 2.20, que mostra parte do gráfico da função
O gráfico nos permite ver que essa função é crescente para valores de menores que 2 ou maiores que 3, e decrescente para
valores entre 2 e 3. Normalmente escrevemos:
A função é crescente em
A função é decrescente em
No ponto de abscissa 2 (ponto B) temos um ponto de máximo relativo da função; no ponto de abscissa 3 (ponto D) temos um
ponto de mínimo relativo da função.
Com o estudo das derivadas, encontramos métodos mais eficazes para determinar em qual intervalo uma função cresce e/ou
decresce, se existem e onde estão localizados pontos de máximo e mínimo.

Exemplo 1: Seja . Esta é uma função par, pois:
temos: .
Observe a simetria, em relação ao eixo , no gráfico dessa função. Veja a Figura 2.21. Toda função simétrica em relação ao eixo
é uma função par.
Figura 2.21: Representação gráfica da função par
Exemplo 1: Seja . Esta é uma função ímpar, pois:
, temos:
Em termos gráficos, uma função é ímpar se ela for simétrica em relação à origem. A Figura 2.22 mostra a representação gráfica
da função .
Figura 2.22: Representação Gráfica da função
A relação entre duas grandezas, representada por uma função, pode se apresentar de diferentes formas. De acordo com o padrão
estabelecido nas relações, é feito um agrupamento, no qual as características semelhantes nomeiam o grupo. Dessa forma, temos
uma subdivisão no tema “função”, dadas pelas similaridades das relações em estudo.

2.8 Função constante

A representação gráfica será sempre uma reta paralela ao eixo dos , passando por .
O domínio da função é .
O conjunto imagem é o conjunto unitário do .
Exemplo 1: Considere a função constante .
O gráfico de é uma reta paralela ao eixo , passando pelo .
Para essa função, temos: e .
Exemplo 2: Considere a função constante
O Gráfico de é mostrado na Figura 2.24.
Na função constante, consideramos que a taxa de crescimento é nula.
A função constante está presente no nosso cotidiano. Considere o valor pago por uma refeição no Restaurante
Universitário. Ao considerarmos a variável independente como sendo a quantidade de comida no prato, e a
variável dependente como sendo o valor a pagar, estabelecemos que . Isto é, independe de
quanto você comer, você pagará apenas R$ 2,50.
Situações semelhantes aparecem em outros casos, como na taxa mínima de água cobrada pela Companhia de
Saneamento do Paraná (SANEPAR). Para qualquer gasto entre 0 e 10 metros cúbicos de água, com esgoto, sua
conta de água custará R$ 44,26 (valor residencial cobrado para a região de Campo Mourão). Isto é, se é o

consumo e é o valor a pagar, para o intervalo de consumo de

2.9 Função identidade
O gráfico desta função é uma reta bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes. Ela já apareceu antes, você lembra?
Os gráficos de uma função e de sua inversa são simétricos em relação a essa reta!

Figura 2.25: Gráfico da função Identidade

O domínio de é .
O conjunto imagem é
Para construir o gráfico da função identidade, basta montar uma tabela atribuindo valores a . O conjunto de pontos
compõe o gráfico da função identidade.

2.10 Função do primeiro grau
Para determinar o domínio de uma função de primeiro grau, note que não há restrições para , logo, devemos ter
.
Como , qualquer que seja , sempre existe , tal que . Logo, .
Ou seja, para toda função de primeiro grau sempre teremos: e .
Para esboçar o gráfico de função de primeiro grau, basta atribuir valores a e calcular os respectivos valores de ,
conforme a função dada.

Exemplo 1: Esboce o gráfico da função .
Solução:
Vamos montar uma tabela auxiliar e, em seguida, marcar os pontos no plano cartesiano:
Olhe mais atentamente a tabela auxiliar e observe que quando os valores de aumentam em 1 unidade, os valores
de aumentam em 3 unidades.

Essa taxa de crescimento é justamente o valor do coeficiente angular da função. Como a taxa de crescimento é
positiva, dizemos que essa função é crescente.
Agora, analisemos um outro exemplo.
Exemplo 2: Esboce o gráfico e determine se é crescente ou decrescente a função .
Solução:
Note que para cada unidade aumentada em , o valor de correspondente diminui 2 unidades. Ou seja, essa função
possui uma taxa de crescimento negativa. Nesse caso, dizemos que essa função é decrescente. Observe que
essa taxa de crescimento é também o valor do coeficiente angular da função.
O gráfico da função está apresentado na Figura 2.27.
Nos exemplos 1 e 2 perceba, ainda, que o coeficiente linear representa a ordenada do ponto no qual a reta
intercepta o eixo
De modo geral, dizemos que: Quando , a função é crescente e quando , a função
é decrescente.
Exemplo 3: é uma função do primeiro grau crescente porque .

Exemplo 4: é uma função do primeiro grau decrescente porque .

Exemplo 5: O salário mensal do vendedor de uma determinada loja é calculado da seguinte maneira: uma parte fixa,
no valor de R$ 1000,00 e uma parte variável, a comissão, que é de 10% sobre o valor de suas vendas mensais.
Determine uma função que relacione o salário com o valor das vendas de um determinado mês.
Solução:
Note que: Salário Mensal = Valor Variável + Valor Fixo
onde                Valor Fixo = 1000
         Valor Variável =  10% de x =0,1x
Assim,
É uma função de primeiro grau que relaciona o salário mensal   às vendas   do vendedor.
Neste problema, cabe salientarmos que o domínio da função é   pois as vendas sempre
serão um valor positivo ou nulo. Da mesma forma, temos a imagem pois o
mínimo que o vendedor receberá por mês é R$ 1000,00, no caso de ele não receber comissão.

Exemplo 6: Sejam e funções de em dadas por e . Determine para
quais valores de teremos
Solução 1:
Uma forma de compararmos as funções e é estudar o sinal da função dada por
Temos que
Assim, podemos notar que para .
Logo   quando .
Solução 2:
Podemos resolver esse mesmo exemplo 6 graficamente. Os valores de para os quais podem ser
determinados verificando em qual (ou quais) intervalo(s) o gráfico da função fica acima do gráfico da função .
Observe a Figura 2.30.

Figura 2.30: Resolução gráfica de uma desigualdade
Exemplo 7: Obtenha a representação algébrica da função cuja representação gráfica está apresentada na Figura
2.31.
Figura 2.31: representação gráfica de uma função
Solução:
Como o gráfico é uma reta, sabemos que se trata de uma função de primeiro grau, logo, a representação
algébrica é do tipo: . Ou seja, precisamos determinar os valores das incógnitas e .
Sabemos que a função passa por dois pontos conhecidos: e . Assim, para cada um desses pontos
podemos escrever uma equação:
Logo, a representação algébrica da função é: .
A função com é chamada de Função Afim por muitos autores. Os seguintes casos são os
casos particulares:
I. Função do primeiro grau, quando ;

               II.             Função linear, quando e ;
              III.             Função constante, quando

2_7_FuncaoPrimeiroGrau.flv

A animação abaixo mostra o que acontece com o gráfico de uma função linear quando variamos o valor do
coeficiente angular .

CoeficienteAngular.flv

Esta outra animação, mostra o que acontece com o gráfico de uma função do primeiro grau quando fixamos o valor
de e variamos o valor do coeficiente linear .

CoeficienteLinear.flv
Uma característica peculiar das funções lineares é que elas crescem (ou decrescem) a uma taxa constante. Você
deve ter percebido isso quando analisou a variação da função para cada unidade de variação de . Agora, vejamos
alguns exemplos de utilização dessas ideias...
Exemplo 8:
a) À medida que o ar seco movese para cima, ele se expande e se esfria. Se a temperatura do solo for de 20℃ e a
temperatura a uma altura de 1 km for de 10℃, expresse a temperatura (em ℃) como uma função da altura (em
km), supondo que um modelo linear seja apropriado.
b) Faça um gráfico da função da parte a). O que representa a inclinação?
c) Qual a temperatura a 2,5 km de altura?
Solução:
a) sejam a temperatura do ar seco e a altura. Como se supõe que o modelo linear seja apropriado, podemos
escrever , com . O problema nos fornece os seguintes dados:
• a temperatura do solo é de 20℃, isto é, para , o que podemos escrever como:
• a temperatura a uma altura de 1 km é de 10℃, isto é, para ou
Agora basta encontrar os valores de e , usando os dados fornecidos e o modelo adotado, por meio da resolução
do sistema linear:
A solução do sistema é e . Logo o modelo linear que associa altura e temperatura é
.
b) O Gráfico está apresentado na Figura 2.32.

Figura 2.32. Gráfico temperatura x altura
A inclinação representa a taxa de variação da temperatura em relação à altura. Ou seja, a cada
quilômetro de altura, a temperatura diminui 10℃.
c)
Exemplo 9: A tabela seguinte fornece uma lista de níveis médios de dióxido de carbono na atmosfera, medidos em
partes por milhão, no Observatório de Mauna Loa, de 1972 a 1990. Use os dados da tabela para encontrar um
modelo para o nível de dióxido de carbono.
Solução:
Inicialmente, devemos plotar os dados num diagrama de dispersão (Figura 2.30) para verificar o comportamento dos
dados.
Figura 2.33. Diagrama de dispersão Nível de x ano
Observe que os pontos parecem alinhados, o que nos sugere que o modelo linear é adequado para representar o
nível de . A questão agora é: como calcular esse modelo?

Podemos escolher dois pontos aleatórios e calcular a equação da reta que passa por esses dois pontos. Lembre que
estamos usando um modelo linear. Experimentemos usando os pontos (1974,330) e (1986,347).
Assim, sejam o ano e o nível de . Então:
A inclinação da reta que passa pelos pontos (1974,330) e (1986,347). é dada por:
Observe que aqui usamos outro método para determinar (usamos o modo como normalmente aprendemos em
Geometria Analítica), porém. se tivéssemos usado o mesmo método do Exemplo 8 teríamos obtido o mesmo
resultado.
Para concluir, fazendo e , encontramos:
Logo,
Esse é um bom modelo? Se testarmos com outros dados da tabela veremos o quanto ele é, ou não, bom. Se os
resultados forem bastante próximos dos tabelados, é um bom modelo. Você vai aprender como determinar o melhor
modelo para extrapolar dados quando fizer a disciplina de Estatística.

2.11 Função modular e definida por várias sentenças
O módulo de um número real é definido da seguinte forma:

A função definida por chamase função módulo. O seu domínio é o conjunto e o conjunto imagem é

Segue abaixo, na Figura 2.34, o gráfico desta função:

Tabela 2.5
Figura 2.34: Gráfico da função modular

Função modular
2_8_FuncaoModular1.flv

Continuação: Função modular
2_8_FuncaoModular2.flv

Exemplo 1: Vamos construir o gráfico da função
Solução 1:
Para fazer o gráfico, vamos escrever a função modular dada sem o módulo. Lembrese que quando o número é positivo, o módulo
do número é o próprio número, mas quando o número é negativo,o módulo do número é o oposto do número. Para a função em
questão, isso é traduzido na seguinte fórmula:
(compare essa escrita com a fórmula , comentada no início dessa seção)
Quando escrevemos a função modular como uma função de duas sentenças, nosso problema se reduz ao traçado de duas
semirretas. Para delimitar o domínio de cada uma das sentenças, precisamos resolver as inequações e
.

Assim, a fórmula
pode ser reescrita como:
Agora, basta traçarmos a reta de equação na região do plano cartesiano em que e traçar a reta de equação
na região em que . (Esses gráficos você pode fazer como você aprendeu na seção de função do primeiro
grau). Observe a figura 2.35.

Solução 2:
O método apresentado na solução 1 não é o único possível para esboçar o gráfico de uma função modular. Aqui, citaremos outro.
Primeiramente, encontramos o zero da função:

Depois, substituímos na função valores próximos ao valor encontrado . Nesse caso, o "bico" que aparece no gráfico está
no ponto cuja abscissa é o zero da função. Veja a figura 2.36.

Tabela 2.6


funcao_modular3.flv
Exemplo 2: No final de certo campeonato de sinuca, um dos jogadores precisava acertar a bola preta em uma das caçapas para
vencer a partida e o campeonato. Suponha que sobre a mesa de sinuca foi colocado um sistema de eixos coordenados em um dos
cantos da mesa. A bola preta, que estava na posição (1,6 ; 1,2), foi impulsionada pelo jogador, atingindo a lateral da mesa no
ponto de coordenadas (2,4 ; 0). Sabendo que o objetivo desse jogador era acertar a caçapa que estava na posição (3,6 ; 1,8)
resolva:

a) Escreva uma função do tipo que descreva a trajetória da bola na jogada (considere que na jogada a bola
realizou movimentos retilíneos).
b) O jogador conseguiu acertou a bola na caçapa pretendida? Justifique. (SOUZA, 2010)

Solução:
a) A função que representa a trajetória da bola é do tipo , substituindo nela os pontos dados no problema, temos:
   e
Da segunda equação obtemos
Substituindo na primeira equação
Portanto, a função procurada é .
b) Agora, para saber se o jogador acertou a caçapa, basta verificarmos se a caçapa estava na trajetória da bola. Fazemos isso
verificando se o ponto   pertence à função
Logo, o jogador acertou a caçapa pretendida.


Exemplo 3: (UERJ) O volume de água em um tanque varia com o tempo de acordo com a equação
. Nela, é o volume medido em após horas, contadas a partir de 8h de uma
manhã. Determine os horários inicial e final dessa manhã em que o volume permanece constante.
Solução:
Primeiramente vamos analisar os módulos, pela definição de módulo segue que
E
Teremos então três intervalos para a construção da função : e (esses intervalos são determinados
nas condições para as duas funções em estudo:  a primeira função muda se   ou se   ; já  a segunda muda se
ou   ). Vamos analisar a função V em cada  um desses intervalos:


Assim, pode ser escrita da seguinte forma

Portanto, o volume permanece constante para , ou seja, ente 10 e 11 horas.
Exemplo 4: a) Esboce o gráfico da função
b) Determine o conjunto imagem.

Solução:
a) Para esboçar o gráfico, vamos escrever a função sem o módulo:
Observe que , que está fora do módulo, não entrou na condição se ou . Da mesma forma, na
definição da função ele não alterou o seu sinal. Podemos reescrever (1) da seguinte maneira:
Agora, basta traçar o gráfico que representa cada uma dessas sentenças. O gráfico está apresentado na Figura 2.37.
b) Note que o conjunto dos valores de que são imagem de algum valor é o conjunto dos números reais maiores que .
Então, escrevemos:
Você deve ter notado que escrevemos a função modular como uma função de duas sentenças, para a qual não usamos o módulo.
Frequentemente, acontece de termos várias restrições para uma determinada situação, e isso nos obriga a escrever uma função
cuja lei de formação tem mais de uma sentença. Denominamos tais funções de "funções definidas por partes" ou "funções
definidas por várias sentenças". Veremos alguns exemplos.

Exemplo 5: A partir de março de 2014 entrou em vigor no Estado do Paraná, uma nova tabela de Tarifas de Saneamento Básico
para as regiões que são atendidas pela SANEPAR. A Tabela seguinte mostra alguns valores. Você já deve ter notado que,
mensalmente, um funcionário da empresa prestadora de serviços, chega à sua casa para a verificação do consumo e deixe o boleto
para pagamento (a conta de água!). Para que o processo de geração do boleto seja tão ágil, além da tecnologia, é preciso que se
converta os dados tabelados numa função para que se programa a tecnologia utilizada para a emissão do boleto. Com base nos
dados apresentados na tabela, elabore uma função que relacione o valor a ser pago pelo consumidor que mora no interior e é
atendido pela Sanepar com os serviços de água e esgoto.
Tabela 6: Tarifa normal de Saneamento Básico para Municípios do Estado do Paraná atendidos pela SANEPAR, em vigor a
partir de março de 2014.
Solução:
Seja o consumo de água, em , e o valor a pagar em função do consumo .
i) Para a primeira faixa, devemos ter: para .
Note que essa é uma função constante nesse intervalo, ou seja, independentemente do consumo de água mensal, se for de ou
, se ele estiver na faixa de até , o valor a ser pago será o mesmo.
ii) Para a segunda faixa, observe que a cada metro cúbico excedente, inferior a , custa R$ 6,78. Isso nos faz escrever a
seguinte função para o intervalo de :
Fazendo as operações indicadas, podemos reescrever como:
Ou seja, na segunda faixa, devemos ter para .
iii) Para a terceira faixa, procedemos de modo análogo ao realizado para a segunda faixa. Observe que a tabela indica que o
valor a ser pago será de R$180,77 acrescidos de R$ 11,57 por cada metro cúbico consumido que for superior a 30. Assim, para

Simplificando essa expressão, teremos:
Ou seja, na terceira faixa, teremos para .
Portanto, a função que modela o consumo de água residencial para o interior do Estado do Paraná, em municípios que são
atendidos pela Sanepar, é:

funcao_definida_por_partes1.flv
Exemplo 6: Dada a função determine:
o esboço do gráfico de
o conjunto imagem de .
Solução:
a) observe nas restrições da função que , pois a primeira sentença contempla os números reais menores ou iguais a
zero, a segunda contempla os números que estão entre zero e 1, incluindo o 1, a terceira contempla os números entre 1 e 3 e a
quarta sentença contempla os números maiores ou igual a 3.
b) Para determinar é preciso observar que , ou seja, o está contemplado na restrição da primeira sentença,
assim,
isto é,
c) Para determinar note que , logo,
isto é, .
d) Como , .
e) Para calcular , note que está contemplado na restrição da quarta sentença. Assim. . Isto é,
.
f) Como ,
g) Como a função possui quatro sentenças, dividimos o plano cartesiano em quatro regiões, conforme as restrições para . Para
traçar o gráfico da função , podemos usar uma tabela auxiliar, como feito em exemplos anteriores, para cada uma das
sentenças. Porém, é preciso lembrar que o gráfico é um só, mas com quatro "partes" diferentes. Obedecer as restrições para traçar
o gráfico de cada uma dessas partes é uma condição essencial para a elaboração do gráfico de .
Tabela auxiliar para traçar o gráfico de :

Observação: você pode atribuir outros valores a para traçar o gráfico, lembre ainda que usamos apenas alguns exemplares, mas
que essa parte da função vale para todo número não positivo.
O Gráfico de pode ser visualizado na figura 2.38.
Figura 2.38: Gráfico de apresentando apenas a parte referente a .
Observe que é uma função linear, cujo gráfico é uma reta. Logo, podemos usar a tabela auxiliar com apenas dois valores,
que devem atender a restrição de , isto é, nesse caso, deve estar entre 0 e 1. Como esse segmento de reta deve estar representado
na faixa , esse valores extremos da faixa, 0 e 1, devem ser usados na tabela para uma adequada delimitação gráfica.
Para dizermos que não está contemplado na restrição, usamos uma bola aberta no ponto . Como , faz parte
do intervalo para restrição, no ponto deixamos uma bola fechada. A Figura 2.39 mostra o gráfico de com as
representações gráficas de e .
Figura 2.39: Gráfico de apresentando a parte referente a e
A terceira parte da função é definida por uma função constante, a qual já sabemos que o gráfico é uma reta paralela ao eixo ,
isso dispensa o uso da tabela auxiliar. Entretanto, devemos lembrar que essa função constante está restrita ao
intervalo (1,3), ou seja, só pode ser desenhada na faixa . Como já dito antes, para dizer que e não
estão contemplados nessa sentença, devemos colocar, na representação gráfica, uma bola aberta no ponto (1,2) e outra bola aberta
no ponto (3,2). Note que a bola aberta do ponto (1,2) estará sobre uma bola fechada, colocada quando traçamos o gráfico de
, isso faz com que, ao visualizarmos o gráfico, percebamos apenas a bola fechada, observe a Figura 2.40, a qual acrescenta
o gráfico de na Figura 2.39.

Figura 2.40: Gráfico de apresentando a parte referente a , e .
Para concluirmos o gráfico de , basta acrescentarmos o gráfico de . Como é uma função de primeiro grau,
podemos usar apenas dois valores para na tabela auxiliar, mas não podemos nos esquecer que essa função é válida para todo
número real maior ou igual a 3.
O gráfico de está apresentado na Figura 2.41.
Figura 2.41: Gráfico de .
h) observe pela Figura 2.41 que

2.12 Função quadrática
A função definida por é chamada função do 2º grau ou função
quadrática. Seu domínio é pois não há restrição alguma para para que seja calculado.
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Antes de continuarmos, propomos um desafio! Qual a
implicação de cada coeficiente na representação gráfica? Ou seja, se mudarmos os valores dos coeficientes, o que
muda no gráfico?

Você deve ter observado que:
1) em relação ao coeficiente : quando ele é positivo, a concavidade da parábola está voltada para cima, mas
quando ele é negativo, a concavidade da parábola está voltada para baixo.
2) em relação ao coeficiente : quando , a parábola intercepta o eixo na parte crescente da parábola, mas
quando a parábola intercepta o eixo na parte decrescente da parábola; quando , a linha de simetria da
parábola está sobre o eixo (em outras palavras, o vértice fica sobre o eixo ).
3) em relação ao coeficiente : ele é a ordenada do ponto de intersecção da parábola com o eixo .
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo dos . Se o coeficiente de
for positivo , a parábola tem concavidade voltada para cima. Se , a parábola tem a concavidade
voltada para baixo.

A intersecção do eixo de simetria com a parábola é um ponto chamado vértice o qual é dado por:

Resposta do desafio:
A parábola tem por representação algébrica a fórmula . O eixo de simetria, é a reta que passa
pelo ponto médio dos valores e , isto é,
O Vértice da parábola está sobre esse eixo de simetria, logo a abscissa do vértice é dada por e a
ordenada é dada por . Agora,
pois
Assim, as coordenadas do vértice são dadas por:

e
A intersecção da parábola com o eixo dos define os zeros da função, também chamados raízes da equação
, como ilustra a Figura 2.42.

Figura 2.42: Raízes e vértice de uma função quadrática

Os zeros da função quadrática são obtidos resolvendose a equação .
Seja com . Dividindo todos os termos da equação por , obtemos:
Para escrever os termos em como um quadrado perfeito, é preciso que na equação apareça mais um termo: .
Mas como não podemos simplesmente acrescentar este termo, usando as propriedades dos números reais fazemos:
(1)
Os três primeiros termos desta equação podem ser escritos como um quadrado perfeito, assim, a equação (1) torna
se
(2)
Isolando o :
De onde segue:

Exemplo 1: Dada a função , determine:
a) o esboço do gráfico de .
b) o conjunto imagem de .
c) o intervalo para o qual é crescente.

Solução:
a) Para traçar o gráfico da função, podemos simplesmente atribuir valores a e encontrar pontos para
serem marcados no plano cartesiano, os quais servirão de base para o traçado da curva. No entanto, esse processo
pode ser muito demorado, dependendo da função e da escolha desses valores para . Então, usamos os
conhecimentos teóricos já tratados para agilizar esse processo.
Para traçarmos a parábola, pelo menos um ponto é fundamental: o vértice.Os demais pontos, entre eles o(s) zero(s)
da função, podem ajudar. Em geral, quando a função quadrática possui zeros, calculamos esses zeros e as
coordenadas do vértice para traçar o esboço gráfico. Quando não existem zeros, calculamos as coordenadas do
vértice e usamos uma tabela auxiliar para obter outros pontos.
i) Zeros da função:
Como , a função possui dois zeros reais distintos. Aplicando os valores de , e , na
fórmula de Bhaskara, obtemos:
Isto significa que os pontos (2,0) e (3,0) são pontos pelos quais passa o gráfico da função.
ii) As coordenadas do vértice:
Assim, as coordenadas do vértice são: .
iii) Como , sabemos que a parábola interceptará o eixo no ponto .
iv) Como , sabemos que essa parábola terá concavidade para cima.
Agora, basta colocarmos esses pontos que acabamos de determinar no plano cartesiano e traçarmos uma parábola.
O gráfico da função está representado na Figura 2.43.
Figura 2.43. Gráfico da função
b)
Também podemos escrever:
c) Note que a função é crescente para
expressao_algebrica_de_uma_funcao_quadratica.flv
Exemplo 2: Determine o conjunto imagem e esboce o gráfico da função
Solução:
i) Zeros da função:

, então a função não possui zeros reais, isso significa que a parábola não vai interceptar o eixo .
ii) Vértice:
Logo, as coordenadas do vértice V são V(1, 4).
iii) Como , a parábola vai interceptar o eixo no ponto (0, 5)
iv) a parábola tem CVC.
iv) Tabela auxiliar para elaboração do gráfico:
Na Figura 2.44 está o gráfico da função
O conjunto imagem dessa função é:
forma_canonica_da_funcao_quadratica.flv
funcaoquadratica.flv
Exemplo 3: Esboce o gráfico da função
Solução:
i) zeros da função:
Como , a função tem dois zeros reais iguais, que são dados por:
Logo, a parábola passa pelo ponto (1,0)
ii) Vértice:
Logo, V(1,0) é o vértice da parábola.
iii) Como , a parábola intercepta o eixo no ponto (0,1).
iv) Como , a parábola tem concavidade voltada para baixo.
iv) Tabela auxiliar para traçar o gráfico.
Observe que o vértice coincide com o ponto de intersecção da parábola com o eixo . Então precisamos calcular

outros pontos pelos quais a parábola passa.
O gráfico de está na Figura 2.45


No quadro seguinte caracterizamos as diversas possibilidades para o gráfico de uma função quadrática:
Figura 2.46: Variações no gráfico da função quadrática

sinal_de_uma_funcao_quadratica.flv

Função quadrática
2_9_FuncaoQuadratica1.flv

Continuação: Função quadrática
2_9_FuncaoQuadratica2.flv


Uma das aplicações mais comuns da função de segundo grau é no lançamento oblíquo de um projétil, após o
lançamento, o trajeto percorrido pelo projétil é o de uma parábola, sendo assim podemos determinar a altura máxima
atingida pelo mesmo e a qual distância do local de lançamento ele atingirá o chão. Vejamos o exemplo a seguir:

Exemplo 4: Dois meninos brincam de bola na rua, quando um chuta a bola para o outro, a bola percorre o trajeto
descrito pela equação , onde e são dados em metros. Qual a altura máxima atingida pela
bola? Qual a distância entre os dois meninos?
Solução:
Ao construir o gráfico da função, visualizamos melhor a situação descrita:

Figura 2.47: trajeto descrito pela equação

Notamos que as raízes da função representam os pontos de onde a bola foi chutada e onde ela toca novamente o
chão, assim, calculando as raízes da função obtemos   e , concluímos então que a distância entre os
dois amigos era de   metros.
Agora, para encontrar a altura máxima atingida pela bola, basta calcularmos o vértice   da função, assim
,
portanto a altura máxima alcançada pela bola foi de 2 metros.
Exemplo 5: (UFMS) Um cabo está suspenso entre dois postes de mesma altura e que distam 20 m entre si. O cabo
foi feito com um material especial de modo que a curva por ele representada é uma parábola. Sabendose que a
flexão do cabo a uma distância de 2 m de um dos postes é de 14,4 cm e que a altura dos postes é de 9 m, então é
correto afirmar que o ponto mais baixo do cabo, com relação ao solo, ficará a uma altura de:
a) 7,35 m.                                                               d) 7,6 m.
b) 8,6 m.                                                                 e) 8,3 m.
c) 8,35 m.
Solução:
Vamos considerar um sistema de eixos coordenados onde o vértice da parábola está sobre o eixo , dessa forma,
notando que o eixo está com a escala em centímetros, teremos que as extremidades dos postes estarão nos
pontos e .  Como a flexão do cabo a uma distância de 2m é 14,4 cm, podemos dizer que

.
Figura 2.48: Representação gráfica do enunciado
Este tipo de parábola que estamos construindo (com vértice sobre o eixo ) tem equação do tipo ,
assim
Resolvendo este sistema obtemos e .
Logo, a equação da parábola é dada por , e o seu vértice tem coordenada , então
e o ponto mais baixo da parábola está a 860 cm, ou seja, a 8,6 m do solo. (alternativa b)

Exemplo 6: Uma função polinomial do tipo está representada graficamente a seguir (Figura
2.49). A partir das informações gráficas, determine a expressão algébrica dessa função .

Figura 2.49: Representação Gráfica de uma função
Solução:
Precisamos determinar os valores das incógnitas , e para que a expressão algébrica da função fique
estabelecida. Como são três incógnitas a determinar, precisamos retirar pelo menos três informações do gráfico, que
nos permitam calcular os valores de , e .
i) sabemos que , pois a concavidade da parábola está voltada para cima.
ii) sabemos que , pois a parábola intercepta o eixo no ponto .
iii) Sabemos que a parábola passa pelos pontos (1,2) e (1,4). Com isso, podemos escrever as seguintes equações:
(usamos por base a igualdade )
De onde segue que e
Portanto, a expressão algébrica da função é , isto é
Exemplo 7. (ITASP) Os dados experimentais da tabela abaixo correspondem às concentrações de uma substância
química medida em intervalos de 1 segundo. Assumindo que a linha que passa pelos três pontos experimentais é
uma parábola, temse que a concentração (em moles) após 2,5 segundos é:
a) 3,60 b) 3,65 c) 3,70 d) 3,75 e) 3,80
Solução:
Como assumimos que a linha é uma parábola, podemos escrever que a concentração é dada por:
.
Das informações que , escrevemos o seguinte sistema linear:
Resolvendo esse sistema, obtemos:
Logo, . Após 2,5 segundos, a concentração será:

Portanto, a alternativa correta é a letra d.

2.13 Função polinomial

O domínio é sempre o conjunto dos números reais.
O gráfico da função polinomial é uma curva que pode apresentar pontos de máximos e mínimos.

Exemplo 1: A função constante é uma função polinomial de grau zero.

Exemplo 2: A função é uma função polinomial do 1º grau.

Exemplo 3: A função quadrática é uma função polinomial do 2º grau.

Exemplo 4: A função é uma função polinomial do 3º grau, chamada função cúbica.

Exemplo 5: A função é uma função polinomial de grau 5.

Exemplo 6: A distribuição da área da folha do milho, no sentido horizontal, determina a intercepção de radiação por
fotossíntese. Dessa forma, uma relação que bem descreve a área da folha como uma função da altura é dada por
. Considerando no modelo para metro e para metro,
reescreva a função com os coeficientes e em função de . (SVIERCOSKI, 2008)

Solução:
No problema acima, a área da folha do milho é dada por uma função polinomial de grau 3, onde os coeficientes    e são
desconhecidos. Como foram fornecidos os valores de   para dois valores de distintos, podemos escrever as equações:
   e
Obtemos então o seguinte sistema linear
Reorganizando as equações do sistema linear e multiplicando a primeira equação por   segue
Somando as duas equações do sistema, obtemos
Agora substituímos   na equação

Assim, reescrevemos a função
A representação gráfica das funções de grau maior que 2 será retomada com o estudo das derivadas, porque, usando a teoria das
derivadas, é possível determinar pontos de máximo e mínimo de uma função polinomial com maior facilidade.

2_10_FuncaoPolinomial.flv


Você deve ter percebido que o gráfico de uma função pode se deslocar ou se alongar pela ação de uma constante
(um número real).
Observe, por exemplo, na Figura 50, os gráficos das funções e , desenhadas no mesmo
plano cartesiano para melhor comparação.
Note que a função está mais alongada verticalmente do que a função . Isso porque . Perceba
que esse alongamento vertical interfere diretamente na taxa de crescimento da função.

Figura 50: Gráfico comparativo para as funções e
Você deve ter percebido que:
A multiplicação de uma função por uma constante alonga o gráfico verticalmente, enquanto que se
, o gráfico fica comprimido verticalmente. Se , os gráficos coincidem.
Se , o gráfico fica refletido em relação do eixo , além de alongálo ou encolhêlo.
Agora vem uma outra pergunta: e se no lugar de multiplicar uma função por uma constante, somarmos uma
constante ao ou ao . Vamos investigar?

Você deve ter percebido que:
Ao somarmos uma constante à uma função, obtemos um deslocamento vertical do gráfico inicial. Se o
gráfico "sobe", ou seja, há um deslocamento para cima. Se , o gráfico "desce", isto é, há um deslocamento
para baixo.
Ao somarmos uma constante na variável independente (isto é, se trocarmos por , o gráfico deslocase
horizontalmente: para a direita se , ou para a esquerda se .
Perceber esses fatos, nos ajuda a esboçar mais rapidamente alguns gráficos, além de analisar melhor o
comportamento das funções. Por exemplo:
Considere a função . Podemos reescrevêla assim:
Olhando para essa última forma, percebemos que, em relação ao gráfico da função , o gráfico de deve
estar deslocado para a direita em 1 unidade (porque nesse caso ), e duas unidades para cima (por causa do
2 que está sendo somado). Confira! O gráfico está na Figura 2.51.

Figura 2.51: Gráficos comparativos das funções e

2.14 Função Racional e Função Algébrica
É a função definida como o quociente de duas funções polinomiais, isto é,   , onde e são
polinômios e .

O domínio da função racional é o conjunto dos reais excluindo aqueles tais que . Isso porque não existe
divisão por zero. Com o que estudamos até o momento, uma tabela de valores pode nos ajudar a determinar o
conjunto imagem e o gráfico da função. As teorias de Limites e Derivadas nos fornecem métodos melhores para a
obtenção do gráfico. De toda forma, determinar o domínio da função é o primeiro passo para o esboço do gráfico e
do conjunto imagem
graficodeumafuncaoalgebrica.flv

Exemplo 1: A função ,  é função racional. Determine:
a) o domínio .
b) O esboço do gráfico
c) O conjunto imagem de

Solução:
a) Para determinar o domínio da função, primeiramente vamos analisar os valores reais  possíveis para o numerador
e para o denominador da função:
Observe que não há restrições para o numerador . Isto quer dizer que para todo número real , é
sempre possível calcular .
Já para o denominador existe uma restrição, precisamos encontrar os valores tais que o
denominador da função seja diferente de zero. Isto é, devemos ter:
A partir da análise desses dois pontos (restrições para o numerador e denominador), podemos encontrar os valores
que compõem o domínio da função. Note que pode ser qualquer número real, exceto o . Assim, o domínio da
função é o conjunto dos números reais, diferentes de . Em símbolos, .
b) Para o esboço do gráfico, vamos montar uma tabela atribuindo valores a . Como ,
não podemos esquecer de atribuir a valores próximos de .

Agora, basta representar os pontos calculados no plano cartesiano. A Figura 2.19 abaixo mostra o gráfico de :

grafico_de_uma_funcao_racional.flv

Exemplo 2: Dada a função , determine o seu domínio, a sua imagem e esboce o seu
gráfico.
Solução:
a) Domínio da função: devemos ter denominador diferente de zero (para o numerador não há restrições). Ou seja:
i)
ii)

Logo, o domínio da função é o conjunto dos números reais, exceto os números e . Ou seja,
Esse domínio significa que as abscissas e não tem imagem pela função .
b) Para fazer o gráfico da função, tentamos simplificar as expressões que compõem a sua representação algébrica.
Vejamos:
Usando a fatoração, podemos escrever as seguintes igualdades:
Substituindo as expressões de por essas expressões equivalentes, escrevemos:
Ou seja, a função dada inicialmente é equivalente à função . Assim, o
gráfico da função dada é uma reta, que possui bolas abertas nos pontos de coordenadas:
.
Observe, na Figura 2.20, a descontinuidade nos pontos da reta que representa :


c) O conjunto imagem de é o conjunto: . Note que estão excluídos do conjunto
imagem os valores que são imagem dos pontos que estão excluídos do domínio.

Exemplo 3: Considerando que, em um experimento de adubação, a resposta do crescimento de uma planta (cm)

pode ser dada por , em que é a quantidade de fertilizante adicionada, determine o
domínio e a imagem da função . (SVIERCOSKI, 2008 modificado)
Solução:
Como não se explicitou a quantidade máxima nem mínima de fertilizante, sabemos apenas que esta quantidade é
positiva ou nula e, para que a função esteja definida deve ser diferente de (caso contrário, teríamos
  e como sabemos o denominador nunca pode ser zero), assim .
Agora vamos analisar o que acontece com a altura da planta quando a quantidade de fertilizante for
aumentando:
Para   temos
Para   temos
Para   temos
Para   temos
Para   temos
Logo,   representa a altura mínima e   representa a altura máxima possível a ser atingida pela
planta.
Portanto, .

Vídeo de função racional
2_11_FuncaoRacional1.flv

  Continuação: Vídeo de função racional
2_11_FuncaoRacional2.flv


Uma função é chamada de função algébrica se puder ser construída usando operações algébricas (tais como
adição, subtração, multiplicação, divisão e extração de raízes) começando por polinômios.
As funções     e   são exemplos de funções algébricas.

Exemplo 1: Considere a função   . Determine:
a)  O Domínio da função ;
b) O esboço do gráfico de ;
c) O conjunto imagem de .
Solução:
a) Para determinarmos o  domínio da função, procedemos da mesma forma que para a função racional. Isto é,
precisamos:
analisar os valores possíveis para o numerador e denominador (isso é feito analisando se existem restrições
para os valores de );
determinar a interseção dos valores possíveis para numerador e denominador. Essa interseção será o domínio
da função .

Façamos os Cálculos:
i) numerador: , não há restrição. Qualquer que seja o valor real atribuído a , é sempre possível fazer

.
ii) denominador: . Sempre devemos ter . Além disso, como esse denominador possui
uma raiz quadrada, temos mais uma condição a analisar: . Como essa raiz está no denominador,
calculamos os valores possíveis de para os quais .
Logo, .
b) Para esboçar o gráfico de podemos usar uma tabela de valores. Apenas precisamos lembrar que os valores
a serem atribuídos devem ser valores que estão no domínio da função, ou seja, , mas é importante usar
valores próximos a , porém maiores que .

Lembrese que os valores de são atribuídos por quem está fazendo a representação gráfica da função. O número
de pontos a serem usados depende de você conseguir traçar o gráfico da função adequadamente.
c) o conjunto imagem da função é o conjunto de todos os valores funcionais possíveis (valores de ). Como pode ser
observado,

Com o estudo de Limites e Derivadas teremos condições de esboçar o gráfico de funções racionais e/ou algébricas
com maior facilidade.

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