Ejercicios resueltos

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Ejercicios resueltos

  1. 1. UNIDAD 12 LA RECTA Y SUS ECUACIONES EJERCICIOS RESUELTOS Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas correspondientes a las rectas en el plano y sus ecuaciones. Objetivo 1. Recordarás a qué se llama sistema de coordenadas rectangulares, ejes coordenados y cuadrantes, y cómo se localizan los puntos en el plano. Ejercicios resueltos: 1.) Gráficamente ¿qué puntos tienen abscisa 3? Como la abscisa es constante, son todos los puntos que se encuentran a 3 unidades a la derecha del eje y, en una recta paralela a él.
  2. 2. 2.) ¿Donde quedan situados los puntos que tienen la abscisa igual a la ordenada? Si la abscisa y la ordenada son siempre iguales, se trata de una recta a 45º que cruza los cuadrantes I y III 3.) Tres vértices de un rectángulo son A(-3, 0), B(3, 0) y C(3, 3) ¿cuáles son las coordenadas del cuarto vértice y cuál es su perímetro y su área?
  3. 3. Para completar el rectángulo, el otro vértice tiene que encontrarse al desplazarse en ángulo recto a partir de los dos extremos, de modo que: El punto buscado es D(-3, 3) Perímetro: 2(6) + 2(3) = 12 + 6 = 18 unidades. Área: b x h = 6 x 3 = 18 unidades cuadradas. Objetivo 2. Recordarás y aplicarás las fórmulas para determinar la distancia entre dos puntos cualesquiera del plano coordenado y las coordenadas del punto que divide a un segmento en una razón r. Ejercicios resueltos: 1.) Encuentra la distancia del origen al punto A(a, b)    22 00  bad = 22 ba  2.) Encuentra el valor de x necesario para que el punto P(x, 3) sea equidistante de los puntos A(3, –2) y B(7, 4).
  4. 4.     22 323  xdPA =   253 2  x    22 347  xdPB =   17 2  x Para que P equidiste de A de B: PBPA dd    253 2  x =   17 2  x   253 2  x =   17 2  x 114492569 22  xxxx 25914914622  xxxx 168 x 2x El punto P(2, 3) equidista de los puntos A(3, –2) y B(7, 4). 3.) Si los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos A(2, 3) y B(5, 8), calcula la longitud de la circunferencia y el área del círculo que limita. Diámetro =    22 3825 AB d = 22 53  = 34 Circunferencia = d = 34 ; aproximadamente 18.3185 unidades 2 34 r ; 4 342 r Área del círculo = 2 r = 4 34  ; aproximadamente 26.7036 u2
  5. 5. 4.) Si A(2, 3) es un extremo del segmento cuyo punto medio es P(5, 4), encuentra las coordenadas del otro extremo, B. 2 21 xx x   ; 2 2 5 2x  ; 2210 x ; 82 x 2 21 yy y   ; 2 3 4 2y  ; 238 y ; 52 y de modo que: B(8, 5) 5.) Encuentra la longitud de la mediana del lado AB del triángulo cuyos vértices son A(–2, –2), B(6, 0) y C(2,8). (La mediana es la recta que une el punto medio de un lado del triángulo con el vértice opuesto). Coordenadas del punto medio del segmento AB : 2 21 xx x   = 2 62  = 2
  6. 6. 2 21 yy y   = 2 02  = –1 P(2, -1) Distancia del punto P al vértice C    22 8122 PC d =  2 90  = 81 = 9 La mediana del lado AB al vértice C tiene una longitud de 9 unidades. 6.) Los extremos de un segmento son los puntos A(7, 4) y B(-1, -4) . Encuentra la razón AP PB en que el punto P(1, –2) divide al segmento. r rxx x    1 21   211 rxxrx  12 xrxrxx    xxxxr  12 2 1 xx xx r     11 17   r = 2 6 = 3 La razón en que el punto P(1, –2) divide al segmento AB es 3. (Un caso para este valor de r es que sea el último de los tres puntos que dividen al segmento en cuatro partes iguales: 3 1 r  ).
  7. 7. Objetivo 4. Recordarás y aplicarás las diferentes formas de la ecuación de una recta, dadas dos condiciones que la definen. Ejercicios resueltos: 1.) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(–2, –3) y B(5, 1)  1 12 12 1 xx xx yy yy             2 25 31 3     xy  2 25 31 3     xy  2 7 4 3  xy    2437  xy 84217  xy 1347  xy 2.) Encuentra la ecuación de la recta que intersecta al eje de las ordenadas 7 unidades hacia abajo del origen y tiene una pendiente de 5 2  5 2 m ; b = –7; bmxy  7 5 2 y 3.) Tres vértices de un paralelogramo son los puntos A        0, 2 11 , B(0, 5) y C(–5, 8). Encuentra las ecuaciones de los lados que pasan por AB y por BC.
  8. 8. Ecuación del lado que pasa por A y B: 2 11 a ; 5b ; 1 b y a x 1 5 2 11   yx 1 511 2   yx Ecuación del lado que pasa por B y C: B(0, 5); C(–5, 8);  1 12 12 1 xx xx yy yy      0 05 58 5     xy xy 5 3 5   5 5 3  xy 4.) Encuentra la ecuación de una recta perpendicular a eje y, que pase por el punto (h, k) α = 0º; tan α = 0  11 xxmyy   hxky  0 0 ky ky 
  9. 9. Objetivo 5. Recordarás y aplicarás la forma general de la ecuación de una recta y las condiciones necesarias y suficientes para las posiciones relativas entre dos rectas en el plano. Ejercicios resueltos: 1.) Determina la posición relativa de las rectas R1: 011014  yx y R2: 3 14 5 2  x y Para R1: 011014  yx 5 7 10 14 m Para R2: 3 14 5 2  x y 03 214 5  y x        014314 2 14 14 5 14             y x 04275  yx 7 5 7 5    B A m 2 1 1 R R m m  Por lo tanto, las rectas son perpendiculares.
  10. 10. 2.) Demuestra que las rectas R1: 065  yx , R2: 0225  yx , R3: 0325  yx y R4: 045  yx forman un cuadrado. Posiciones relativas entre las rectas: 5 1 5 1   Rm ; 5 1 2 Rm ; 5 1 5 3   Rm ; 5 1 4 Rm R1 y R3 son paralelas; R2 y R4, son paralelas. R1 es perpendicular con R2 y con R4; R3 es perpendicular con R2 y con R4. Punto de intersección entre R1 y R2: 065  yx ; 65  xy 0225  yx ;   022655  xx ; 0223026 x ; 26 52 x = 2   625 y = 4 → P1(2, 4) Con el mismo procedimiento, los otros puntos de intersección son: R1 y R4: P2(1, –1) R3 y R2: P3(7, 3) R3 y R4: P4(6, –2) Longitudes de los lados:    22 21 1412 PP = 26251     22 31 3472 PP = 26125     22 42 2161 PP = 26125 
  11. 11.    22 43 2367 PP = 26251  Los cuatro lados tienen la misma longitud, y las rectas forman un cuadrado. Para graficar se pueden determinar otros puntos sobre cada recta: En R1: 065  yx . Si x = 3  y = 9 → A(3, 9); En R2: 0225  yx . Si x = –3  y = 5 → B(–3, 5); En R3: 0325  yx . Si x = 8  y = 8 → C(8, 8); En R4: 045  yx . Si x = -4  y = 0 → D(-4, 0) Objetivo 6. Recordarás la definición y aplicaciones de la expresión de una recta en la forma normal y cómo obtenerla a partir de la forma general. Ejercicios resueltos:
  12. 12. 1.) Calcula la longitud del radio de la circunferencia con centro en el punto (2, 3) y que es tangente a la recta 0334  yx Radio de la circunferencia = distancia del centro de la circunferencia a la tangente. 1 1 2 2 Ax By C d A B      = 22 34 3)3(3)2(4   = 25 398  = 5 20 = 4 radio = 4 (unidades de longitud) 2.) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son P1(2, 1), P2(8, 2) y P3 (3, 6) Base del triángulo: cualquiera de los tres lados, por ejemplo, 21PP . Usando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados:  2 28 12 1     xy  2 6 1 1  xy 266  xy 046  yx Longitud de la base: distancia  2 12 2 1221 )( yyxxPP  = 22 )12()28(  = 136  = 37 Altura del triángulo: distancia del otro vértice, P3 (3, 6), a la base: 1 1 2 2 Ax By C d A B      = 22 )6(1 4)6)(6(3   = 37 4363  = 37 29 = 37 29
  13. 13. Área del triángulo = 2 hb = 2 37 29 37       = 2 29 (unidades de superficie) 3.) La distancia dirigida de la recta 01052  yx a un punto P es –3. Si la abscisa de P es 2, encuentra su ordenada. Distancia dirigida: 22 11 BA CByAx d    C < 0  signo del radical positivo, y para el punto P (2, y): 22 52 105)2(2 3    y 29 65 3   y 65)29)(3(  y 29365 y La ordenada es: 5 2936  y

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