Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
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CEINCI-ESPE
PRÓLOGO
Se inicia el libro con la presentación de un manual rápido de uso del programa
...
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CEINCI-ESPE
para determinar el factor de reducción por ductilidad en base a 63 registros de sismos
...
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CEINCI-ESPE
En el capítulo nueve se halla la respuesta en el tiempo de un sistema de n grados
de li...
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parámetros obtenidos en el modelo de Miranda (1999) cuando resuelve una viga de flexión...
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ÍNDICE GENERAL
MANUAL RÁPIDO DE MATLAB....................................................
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2.1 MÉTODO DE ACELERACIÓN LINEAL EN SISTEMAS DE 1GDL…..…….41
2.2 PROGRAMA LINEAL…………………...
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4.1.2 Análisis con nudo rígido…………………….……………………………92
4.2 MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUC...
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5.8 INTERACCIÓN SUELO ESTRUCTURA………………….…………………134
5.9 ANÁLISIS ESPACIAL………………………………………...
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CEINCI-ESPE
7.5.2 Valores propios en el campo de los complejos……………………...177
7.5.3 Deducción en bas...
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10.3 ORTOGONALIDAD DE LOS MODOS DE VIBRACION………………….228
10.3.1 Valores propios y modos ...
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CEINCI-ESPE
12.4 DERIVA DE PISO…………………………………………………………….280
12.4.1 Parámetro β2........................
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MANUAL RÁPIDO DE MATLAB
RESUMEN
Existe una gran cantidad de libros sobre como se debe u...
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CEINCI-ESPE
se realiza el programa se graba con un nombre. MATLAB automáticamente a este
archivo le...
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CEINCI-ESPE
iv. BAG += . La suma de la matriz A con la matriz B .
v. CAH −= . La diferencia de las ...
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>> A=[8 2 3; 2 10 1; 3 1 5]; B=[ 42; 50; 40]; X= AB
En este caso no se imprime la matri...
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CEINCI-ESPE
V vienen los modos de vibración y en D los valores propios con
los cuales se obtienen l...
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CEINCI-ESPE
7. FUNCIONES MATEMÁTICA ELEMENTALES
En la tabla 1 se indican las funciones elementales ...
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CEINCI-ESPE
Para presentar varias figuras, se tiene el comando subplot en que se pueden
presentar m...
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CEINCI-ESPE
Figura 1 Gráfica de dos funciones.
Se puede colocar mayor información en el gráfico de ...
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CEINCI-ESPE
Si bien en el apartado anterior se realizó un pequeño programa, para dibujar las dos
cu...
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Tabla 3 Lista de condicionales
Nombre Operador Nombre Operador
Mayor que > Menor que <
...
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CEINCI-ESPE
Se destaca que en MATLAB no se puede colocar las tíldes en los programas de
tal manera ...
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CEINCI-ESPE
Se escribió el programa newtonraphson para ilustrar el uso de un bucle y de un
condicio...
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CEINCI-ESPE
En la sintaxis se ha denominado datos y result a los archivos de datos y resultados
per...
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ans=
0
0
3
Máximo y Mínimo de un vector
Para encontrar el valor máximo o mínimo de un v...
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CEINCI-ESPE
Se ha presentado un manual rápido de MATLAB que tiene como objetivo que el lector
compr...
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CAPÍTULO 1
SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
RESUMEN
Se deduce la ecuación diferencial d...
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Posición Inicial P.I., pasa a la posición de equilibrio estático que se ha llamado P.E....
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CEINCI-ESPE
Al multiplicar y dividir el término c/m por mk2 y al utilizar la ecuación ( 1.4 ) se ti...
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( ) ( ) ( )
22
cos)(
BAC
tWsenCtWsenBtWAtq nnn
+=
+=+= γ
Siendo γ el ángulo de fase.
• ...
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-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
Tiempo (s.)
Desplazami...
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Para t=0 se tiene:
41883.03767.312416.3105.010
2
=∗+∗∗−=
=
AA
B
Luego la respuesta en e...
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Encontrar la respuesta en el tiempo del ejemplo 1 si 2.1=ξ . El período del sistema es
...
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./10)0(
.2)0(0
.
scmq
cmqt
=
==
• SOLUCIÓN
( ) ( )[ ]nn WBtAAtWtq +−−= exp)(
.
Al reemp...
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• nW Frecuencia natural del sistema.
• )0(q Desplazamiento en 0=t .
• )0(
.
q Velocidad...
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2
1 ξ
ξ
ξ
−
=∆
Figura 1.6 Cálculo del decremento logarítmico.
Newmark y Hall (1982) rec...
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Esfuerzos admisibles; yσ5.0< 2 a 3Sistemas estructurales de acero
soldado
Cercanos a yσ...
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)()()( tqtqtq ph +=
La solución homogénea se halla igualando a cero la ecuación diferen...
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∆
−=
∆
−
= o
o
Fcc
Fmk
B
ωω
ω
0
2
Figura 1.8 Suma de dos armónicos
En el triángulo rect...
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La excitación está definida por:
sT
sTkgTF
a
ao
1
944.20
2
3.010001 ==→===
π
ω
-1500,00...
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-0,06000
-0,04000
-0,02000
0,00000
0,02000
0,04000
0,06000
0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,...
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FACTOR DE AMPLIFICACION DINAMICA
0
1
2
3
4
5
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
r
α
0,01
0,1
0,15
...
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% CEINCI-ESPE
% ---------------------------------------
% [f]=fad(z1,z2,z3,z4)
% ------...
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Figura 1.12 Curvas que se obtienen con programa FAD en MATLAB.
Nuevamente se tiene la s...
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CEINCI-ESPE
Al dividir el numerador y denominador del radical para
2
k y al expresarle en función
d...
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CEINCI-ESPE
Figura 1.14 Excitación arbitraria
1.3.1 Escalón unitario
En la figura 1.15 se presenta ...
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Por el cambio de variable, las condiciones iniciales, son:
0)0(
1
)0(
.
=−= z
k
z
Por l...
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♦ Caso sobre amortiguado
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+−−=
∩∩
tWsenhtWtW
k
tg ...
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Figura 1.17 Pulso rectangular.
Se tienen dos formas de resolver el problema del pulso r...
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La segunda forma de solución se presenta en forma gráfica en la figura 1.18 en que el
p...
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CAPÍTULO 2
ESPECTROS DE RESPUESTA
RESUMEN
Se presenta en forma práctica el método de ac...
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Donde m es la masa; c es el amortiguamiento; k es la rigidez, del sistema de un
grado d...
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iv. Se encuentra el incremento de velocidad
.
q∆
t
q
tqq i ∆
∆
∆∆
2
..
...
+=
v. Se det...
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CEINCI-ESPE
Una vez que se ejecuta LINEAL aparecen cuatro gráficas, la primera de ellas es el
acele...
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Figura 2.1 Modelo de un sistema de 1 gdl.
cmTsmkcmkc /0030775.0193366.0*004898.0*05.0*2...
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Figura 2.2 Respuesta en el tiempo de Ejemplo 1.
Se ha denominado Sd, Sv, Sa a la máxima...
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Figura 2.3 Modelo de un sistema de un grado de libertad.
• EJEMPLO 2
Hallar la respuest...
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Figura 2.4 Respuesta en el tiempo de Ejemplo 2.
Se define el espectro de respuesta como...
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uno va a ser sometido al sismo cuyo acelerograma se indica en la parte inferior izquier...
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CEINCI-ESPE
encontraba la respuesta en el tiempo de desplazamiento, velocidad y aceleración, así co...
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end
end
subplot (3,1,1); plot (T,Sd); ylabel('Desplazamiento'); title('ESPECTROS DE
DES...
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Figura 2.6 Espectros de respuesta elástica para el sismo del 9 de noviembre de 1974.
2....
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Figura 2.7 Abertura de ventana con el programa DEGTRA.
Figura 2.8 Selección del archivo...
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Figura 2.9 Datos que se deben indicar para cargar el acelerograma.
Posteriormente se se...
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Figura 2.11 Información que se debe suministrar para encontrar el espectro de respuesta...
DINÁMICA DE ESTRUCTURAS DEL DR. ROBERTO AGUIAR FALCONÍ
DINÁMICA DE ESTRUCTURAS DEL DR. ROBERTO AGUIAR FALCONÍ
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DINÁMICA DE ESTRUCTURAS DEL DR. ROBERTO AGUIAR FALCONÍ

  1. 1. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE
  2. 2. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE PRÓLOGO Se inicia el libro con la presentación de un manual rápido de uso del programa MATLAB, orientado a que el lector comprenda los programas que se desarrollan en los diferentes capítulos del texto. MATLAB es un programa muy poderoso, que permite con pocas sentencias realizar cálculos numéricos avanzados y esto fue lo que me motivo a elaborar una serie de programas sobre los temas que se tratan ya que la lectura de los mismos servirá para comprender mejor el marco teórico expuesto. Además de ello el lector contará con programas que le faciliten su aplicación práctica a futuro. En el primer capítulo se trata sobre la respuesta dinámica de sistemas de un grado de libertad, para el efecto se trata primero el caso de vibración libre, luego se estudia las vibraciones forzadas ante excitación armónica y finalmente la respuesta en el tiempo ante pulsos rectangulares. Hay dos aspectos de interés muy práctico que son: el cálculo del factor de amplificación por desplazamientos y el factor de amplificación de fuerzas, cuando la frecuencia de la excitación armónica es similar a la frecuencia de vibración de la estructura, es decir cuando se está cerca de la resonancia. El segundo capítulo está dedicado a tratar los Espectros de Respuesta Elásticos, se encuentra en primer lugar la respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad ante una acción sísmica por el Método de Newmark, luego para ilustrar como se obtienen los espectros se halla la respuesta de dos sistemas de un grado de libertad, que tienen diferentes períodos ante un mismo sismo y finalmente se definen los espectros de respuesta. La importancia de conocer las formas espectrales en una determinada localidad se lo ilustra al analizar la forma de los espectros, de los sismos de 1985 registrados en México y en Chile. En el tercer capítulo se estudia los Espectros de Diseño, para ilustrar la forma de cálculo se halla el respectivo espectro de diseño, en base a 17 acelerogramas de sismos registrados en el Perú, los mismos que fueron normalizados, para que todos ellos tengan una aceleración máxima del suelo del 40% de la aceleración de la gravedad. La forma espectral obtenida fue comparada con las formas espectrales del Código Ecuatoriano de la Construcción, CEC-2000, para los cuatro perfiles de suelo. Luego se presenta el trabajo realizado por Seed, Ugas y Lysmer en 1976 que ha sido empleado en forma indirecta en la formulación de espectros de diseño en varias normativas sísmicas de América Latina. Por ser de actualidad el Análisis Sísmico por Desempeño, en el capítulo tres, también se indica la propuesta realizada por el autor de este libro (2004), para encontrar los espectros para los sismos: frecuente, ocasional, raro y muy raro que tienen períodos de retorno de 43, 73, 475 y 970 años, respectivamente. Con el propósito de entender el factor de reducción de las fuerzas sísmicas, con el cual se pasa del espectro de diseño elástico al espectro de diseño inelástico, se deducen las reglas de igual desplazamiento y de igual energía. Luego se muestra el trabajo desarrollado por Newmark y Hall en 1982 sobre el factor de reducción por ductilidad, considerando el tipo de suelo. En este contexto también se presenta los resultados de las investigaciones realizadas en el Centro de Investigaciones Científicas por el autor de este libro (2005)
  3. 3. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE para determinar el factor de reducción por ductilidad en base a 63 registros de sismos ocurridos en Colombia, Perú, Chile y Argentina. En la mayoría de normativas sísmicas vigentes se presentan valores para determinar el factor de reducción de las fuerzas sísmicas en diferentes tipologías estructurales. Estos factores tienen un carácter cualitativo, razón por la cual en este libro se indica una metodología de cálculo para hallar este factor en forma cuantitativa, para el efecto se debe hallar el producto del factor de reducción por ductilidad, del factor de resistencia y del factor de redundancia. Se presentan propuestas para el cálculo de estos factores. El capítulo cuatro es una magnifica oportunidad para repasar la teoría de Análisis Matricial de Estructuras, ya que se detalla la forma como se obtiene la matriz de rigidez de una estructura por Ensamblaje Directo, a partir de las matrices de rigidez de los elementos. Se ilustra el cálculo del arreglo que contiene los grados de libertad, del vector de colocación y del ensamblaje. Se presenta los diagramas de flujo y el respectivo programa de computación. Posteriormente se indican algunas formas de obtener la matriz de rigidez condensada, desde la más elemental que es mediante la inversa de una matriz hasta la más práctica que se tiene en la triangularización de la matriz de rigidez, empleando Gauss. El capítulo cinco está dedicado a la matriz de Masas de cualquier tipo de estructura, claro está que por facilidad se orienta a los marcos planos pero la formulación es general y esto se ha tratado de demostrar cuando se resuelve un modelo muy sencillo en el cual se involucra la interacción suelo estructura. Para evaluar la matriz de masas se debe calcular primero la Energía Cinética, para facilitar este cálculo se da una regla muy práctica. Si el lector sabe los conceptos fundamentales para determinar las matrices de: rigidez, masa y amortiguamiento, estará en capacidad de encontrar la respuesta dinámica de cualquier estructura. Por esta razón, en el capítulo cuatro se estudia con detenimiento el cálculo de la matriz de rigidez, en el capítulo cinco, se hace lo propio, con la matriz de masas y en el capítulo siete se dedica a la matriz de amortiguamiento. Todo esto orientado al análisis dinámico de estructuras. En el capítulo seis se determinan los modos de vibración de una estructura sin considerar amortiguamiento. Por lo tanto, se resuelve el problema de vibraciones libres en sistemas de múltiples grados de libertad sin considerar amortiguamiento. A pesar de que el cálculo se reduce a una sentencia con MATLAB sin embargo se presenta uno de los métodos clásicos de la obtención de los valores y vectores propios como es el Método de Jacobi, de igual manera se ilustra el algoritmo de 2/1 M para que el lector aprecie la bondad del MATLAB y de paso conozca como se obtiene manualmente. Finaliza el capítulo con el cálculo de los Modos Ritz en el que se consideran todos los grados de libertad de la estructura. En el capítulo siete se halla la matriz de amortiguamiento de dos maneras, la primera mediante el Método de Rayleigh y la segunda empleando el algoritmo de Wilson y Penzien. Un aspecto muy interesante es el desacoplamiento del sistema de ecuaciones diferenciales, tema que se aborda en este capítulo, como también se ilustra el cálculo del exponencial de una matriz orientado a la solución del problema de vibraciones libres, en sistemas de múltiples grados considerando la matriz de amortiguamiento, en este caso se tienen modos de vibración en desfase, por este motivo es que los valores y vectores propios son números complejos. El Análisis Sísmico Lineal de estructuras sometidas a acciones sísmicas es tratado en el capítulo ocho, encontrando la respuesta dinámica aplicando el Método de Newmark para sistemas de múltiples grados de libertad. Como aplicación práctica se halla la respuesta en el tiempo, del cortante basal, de una estructura sometida a un acelerograma artificial que es compatible con el espectro elástico del Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000 y se aprovecha el ejemplo para ilustrar que un factor de reducción de las fuerzas sísmicas igual a 10 es muy alto para estructuras conformadas por vigas y columnas.
  4. 4. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE En el capítulo nueve se halla la respuesta en el tiempo de un sistema de n grados de libertad aplicando el Procedimiento de Espacio de Estado que es muy útil utilizarlo cuando se analizan estructuras con sistemas de control. Es importante que el lector conozca sobre esta temática para cuando estudie el cálculo sísmico de estructuras con disipadores de energía pueda seguir la parte numérica de la evaluación de la respuesta dinámica. Los tres últimos capítulos del libro, están dedicados al análisis de una viga de flexión, de una viga de corte y de una viga de flexión acoplada a una viga de corte, todo esto modelado como un sistema continuo de infinito número de grados de libertad. Aparentemente la solución de estos tres capítulos tiene más un enfoque teórico pero no es así ya que a partir de estos modelos sencillos se han emitido recomendaciones que han sido acogidas por varias normativas sísmicas. En el capítulo diez se presenta en primer lugar la ecuación diferencial que gobierna el problema de vibraciones de una viga de flexión y luego se resuelve el problema de vibración libre, se hallan las formas de vibración de una viga en voladizo, de una viga simplemente apoyada y de una viga en voladizo en la cual se incluye el efecto de la interacción suelo estructura. En este modelo se ilustra mediante gráficos como en suelos de baja resistencia los períodos de vibración de las estructuras se amplifican; en base al estudio se presentan parámetros en los cuales se indican en que tipo de suelos es necesario o no el cálculo con la interacción suelo estructura. La ortogonalidad de los vectores propios se desarrolla con mucho detenimiento tanto en el capítulo diez como en el once, para ilustrar posteriormente el cálculo de la respuesta sísmica, de las vigas de flexión y de corte ante una determinada acción sísmica. Como se ha venido indicando el capítulo once está dedicado al cálculo de una viga de corte, para el efecto se deduce la ecuación diferencial y se resuelve el problema de vibración libre y de vibración forzada, ante una acción sísmica. Se obtiene el primer modo de vibración de una viga de corte y se compara con el primer modo de vibración de una viga de flexión con lo cual se demuestra que en los primeros pisos la viga de flexión tiene menores amplitudes y en los últimos pisos tiene mayores amplitudes, que la viga de corte en que el comportamiento es al revés. Una viga de flexión, es el modelo numérico de cálculo de un edificio conformado solo por muros de corte y una viga de corte, es el modelo numérico de un edificio conformado solo por vigas y columnas sin muros de corte. Al comparar el primer modo de vibración de estas dos vigas se concluye que lo más adecuado es tener edificios con vigas, columnas y muros de corte ya que la viga de flexión en los primeros pisos sostiene a la viga de corte y en los últimos pisos es la viga de corte la que sostiene a la viga de flexión. El acoplamiento de la viga de corte con la viga de flexión se lo estudia con detenimiento en el capítulo doce. Con el propósito de ilustrar la aplicación práctica y actual del estudio de una viga de corte acoplada a una viga de flexión se presenta en el capítulo doce, el trabajo desarrollado por Miranda (1999) con el que estima la deriva máxima de piso en sistemas de múltiples grados de libertad, en forma rápida. Se ilustra el comportamiento de edificios en los cuales se tiene un predominio de la viga de flexión sobre la de corte y viceversa, ante cargas laterales. Miranda a partir del modelo de una viga de flexión acoplada a una viga de corte determina dos parámetros que son utilizados en la evaluación rápida de la deriva máxima de pisos. Esos parámetros son el que relaciona el desplazamiento máximo en un sistema de múltiples grados de libertad con el desplazamiento máximo en un sistema de un grado de libertad. El otro parámetro, que se presenta en el libro, es el que relaciona la deriva global de la estructura con la deriva máxima de piso. Por último, se presenta en forma resumida el resultado del proyecto de investigación realizado en el 2005, en el Centro de Investigaciones Científicas de la Politécnica del Ejército titulado: “Evaluación rápida de la deriva máxima de pisos en edificios de Hormigón Armado”, con el propósito de que el lector compare los dos
  5. 5. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE parámetros obtenidos en el modelo de Miranda (1999) cuando resuelve una viga de flexión acoplada a una viga de corte, con los que se hallan en el estudio y además para que lo apliquen en la evaluación de la vulnerabilidad sísmica de las estructuras. No puedo finalizar este prólogo, sin reconocer una vez más, que este libro ha sido posible gracias a la ayuda de Dios, sin su ayuda no soy capaz de pasar de la primera página pero gracias a su bondad he podido finalizar esta obra que tiene doce capítulos que se consideran básicos en el Análisis Dinámico de Estructuras. De igual manera deseo dedicarle este libro a mi querida madre Blanca Falconí Vda. de Aguiar, que Dios me ha dado la dicha de tenerla por muchos años y espero contar con sus consejos y bendiciones por muchos años más. Por último, pero ellos saben que son lo más importante, quiero agradecer a mi esposa Alice Noury y a mis hijos: Roberto, Alice, María José, Nicolás que acaba de graduarse de bachiller, Gabriel y Felipe. Por la felicidad que reina en nuestro hogar. Dr. Ing. Roberto Aguiar Falconí Centro de Investigaciones Científicas Escuela Superior Politécnica del Ejército Quito, Agosto de 2006
  6. 6. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE ÍNDICE GENERAL MANUAL RÁPIDO DE MATLAB..................................................1 1. SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD RESUMEN…………………………………… ………………………………………17 1.1 VIBRACIONES LIBRES…………………………………………….…………..17 1.1.1 Solución de la ecuación diferencial……………………………………...19 1.1.2 Vibración libre sin amortiguamiento……………………………………..19 1.1.3 Vibración libre subamortiguada………………………………………….20 1.1.4 Vibración libre sobre amortiguada……………………………………….23 1.1.5 Vibración libre críticamente amortiguada…………………………........24 1.1.6 Factor de amortiguamiento……………………………………………….26 1.2 VIBRACIONES FORZADA. EXCITACIÓN ARMÓNICA……….……………27 1.2.1 Respuesta ante una excitación sinusoidal………………...................27 1.2.2 Factor de amplificación………..…………………………………..…….31 1.2.3 Fuerza transmitida a la fundación…………………...………………….34 1.3 EXCITACIONES ARBITRARIAS………………….…………………………...36 1.3.1 Escalón unitario…..………………………………………………………36 1.3.2 Pulso rectangular…………………………………………………………39 2. ESPECTROS DE RESPUESTA RESUMEN…………………………………………………………………………….41
  7. 7. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 2.1 MÉTODO DE ACELERACIÓN LINEAL EN SISTEMAS DE 1GDL…..…….41 2.2 PROGRAMA LINEAL………………………………………………….………..43 2.3 MODELOS DE UN GRADO DE LIBERTAD……………………….…..……..46 2.4 ESPECTROS DE RESPUESTA..................................................................47 2.5 PROGRAMA ESPECTRO………………………………………………...……50 2.6 USO DEL PROGRAMA DEGTRA………………………………….……….....52 2.7 IMPORTANCIA DE LAS FORMAS ESPECTRALES…………….………….55 2.8 SEUDO ESPECTROS…………………………………………………………..57 3. ESPECTROS DE DISEÑO RESUMEN…………………………………………………………………………….59 3.1 OBTENCIÓN DE UN ESPECTRO DE DISEÑO…….…………..…………..60 3.2 RESEÑA HISTÓRICA…………………………………..…............................63 3.3 ESPECTRO ELÁSTICO DEL CEC 2000……….........................................64 3.4 ESPECTROS POR DESEMPEÑO…………………………………..……….66 3.5 ESPECTROS INELÁSTICOS.....................................................................69 3.6 REGLA DE IGUAL DESPELAZAMIENTO..................................................71 3.7 REGLA DE IGUAL ENERGÍA………………………….…............................73 3.8 NEWMARK Y HALL (1982)…………………………….…...…………………74 3.9 AGUIAR Y GUERRERO (2005)…………………………...………………….78 3.10 APLICACIÓN AL ESPECTRO INELÁSTICO DEL CEC-2000….………..79 3.11 INCORPORACIÓN DEL FACTOR DE RESISTENCIA………….…………79 3.12 INCORPORACIÓN DE LA REDUNDANCIA……………………….……….82 3.13 CÁLCULO DEL FACTOR DE REDUCCIÓN R…………………….……….83 4. MATRIZ DE RIGIDEZ RESUMEN……………………………………………………………………………87 4.1 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO…………………………………..87 4.1.1 Análisis sin nudo rígido………………………...…………………………88
  8. 8. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 4.1.2 Análisis con nudo rígido…………………….……………………………92 4.2 MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA……………………….……….96 4.2.1 Coordenadas Generalizadas…………………………………………….96 4.2.2 Vector de Colocación…………………………………………………..…99 4.2.3 Ensamblaje directo………………………………………………………101 4.3 CONDENSACIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ……………….………….105 4.3.1 Condensación a las coordenadas “a”…………………………………106 4.3.2 Condensación a las coordenadas “b”…………………………………106 4.4 CONDENSACIÓN MEDIANTE SOLUCIÓN DE ECUACIONES…….……107 4.4.1 Caso en que Qb = 0……………………………………………………...108 4.4.2 Caso en que Qa = 0……………………………………………………...109 4.5 CONDENSACIÓN MEDIANTE ELIMINACIÓN DE GAUSS………….…...109 4.6 MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL………………………………………….….112 4.6.1 Vigas axialmente rígidas……………………………………………..…112 4.6.2 Vigas y columnas axialmente rígidas………………………………….114 5. MATRIZ DE MASAS RESUMEN…………………………………………………………………………..119 5.1 ENERGÍA CINÉTICA………………………….……………………………….119 5.2 REGLA DE CÁLCULO DE LA MATRIZ DE MASAS……..………………..121 5.3 REGLA DE CÁLCULO DE LA ENERGÍA CINÉTICA…….…..……………122 5.4 MATRIZ DE PASO…………………………………………….……………….125 5.5 ANÁLISIS PLANO…………………………………………….………………..128 5.5.1 Análisis con masas concentradas a nivel de piso…………………..128 5.5.2 Análisis con entrepisos flexibles………………………………………130 5.6 PÉNDULO INVERTIDO……………………………………………………….132 5.7 MOMENTO DE INERCIA DE LA MASA………………….………………....132
  9. 9. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 5.8 INTERACCIÓN SUELO ESTRUCTURA………………….…………………134 5.9 ANÁLISIS ESPACIAL……………………………………….………………...135 6. MODOS DE VIBRACIÓN RESUMEN…………………………………………………………………………..139 6.1 VIBRACIÓN LIBRE SIN AMORTIGUAMIENTO……………………………139 6.1.1 Valores propios………………………………………………………….140 6.1.2 Propiedades dinámicas………………………………..……………….142 6.1.3 Modos de vibración……………………………………………………..142 6.2 ALGORITMO DE 2 1 M .………………………………………….…………….145 6.3 MÉTODO DE JACOBI………………………………………………………...150 6.3.1 Desarrollo del Método………………………………………………….151 6.3.2 Procedimiento de cálculo………………………………………………152 6.3.3 Cálculo de los Vectores Propios………………………………………153 6.4 MODOS RITZ…………………………………………………………………..153 7. MATRIZ DE AMORTIGUAMIENTO RESUMEN…………………………………………………………………………..157 7.1 AMORTIGUAMIENTO TIPO RAYLEIGH……………………………………157 7.2 ALGORITMO DE WILSON Y PENZIEN……………………………………..159 7.3 ECUACIONES DIFERENCIALES DESACOPLADAS……………………..163 7.4 VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO…………………………..167 7.4.1 Exponencial de una matriz…………………………………………….168 7.4.2 Resumen del procedimiento de cálculo………………………………171 7.5 PROPIEDADES DINÁMICAS COMPLEJAS………………………………..175 7.5.1 Modos de vibración en el campo de los complejos…………………175
  10. 10. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 7.5.2 Valores propios en el campo de los complejos……………………...177 7.5.3 Deducción en base a un sistema de un grado de libertad…………177 8. ANÁLISIS LINEAL RESUMEN…………………………………………………………………………..181 8.1 MÉTODO DE NEWMARK…………………………………………………….181 8.2 APLICACIÓN DEL MÉTODO DE NEWMARK……………………………...186 8.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO…………………………………………...187 8.4 MODELO NUMÉRICO PARA ANÁLISIS PLANO…………………………..191 8.5 COMENTARIO SOBRE CORTANTE BASAL MÍNIMO……………………199 9. PROCEDIMIENTO DE ESPACIO DE ESTADO RESUMEN…………………………………………………………………………..201 9.1 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA…………………………………………..201 9.2 FORMULACIÓN DE LA RESPUESTA………………………………………203 9.3 PROGRAMA PSE……………………………………………………………...204 9.4 EJEMPLOS DE APLICACIÓN…………………………………..…….……...206 9.5 INTRODUCCIÓN A LA INTERACCIÓN SUELO ESTRUCTURA………...209 10. SISTEMAS CONTINUOS: VIGA DE FLEXIÓN RESUMEN…………………………………………………………………..………213 10.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL MOVIMIENTO……………………….…214 10.2 VIBRACIÓN LIBRE…………………………………………………………...216 10.2.1 Viga en Voladizo……………………………………………………...218 10.2.2 Viga apoyada………………………………………………………….220 10.2.3 Interacción suelo estructura…………………………………………224 10.2.4 Variación del período con la interacción…………………………...227
  11. 11. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 10.3 ORTOGONALIDAD DE LOS MODOS DE VIBRACION………………….228 10.3.1 Valores propios y modos normalizados……………………………231 10.4 VIBRACIÓN FORZADA……………………………………………………...232 10.4.1 Masas modales……………………………………………………….234 10.4.2 Respuesta en el tiempo…………………………………………...…236 11. SISTEMAS CONTINUOS: VIGA DE CORTE RESUMEN…………………………………………………………………………..241 11.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL MOVIMIENTO………………………….241 11.2 VIBRACIÓN LIBRE………………………………………………………...…244 11.2.1 Viga en Voladizo…………………………………………………...…246 11.2.2 Comparación de formas modales…………………………………..248 11.2.3 Frecuencias de vibración………………………………………….…249 11.3 ORTOGONALIDAD DE MODOS DE VIBRACIÓN………………………..250 11.4 VIBRACIÓN FORZADA……………………………………………………...252 11.5 CORTANTE BASAL……………………………………………………….…254 11.6 MASA MODAL………………………………………………………………...256 12. VIGA DE CORTE ACOPLADA A UNA DE FLEXIÓN RESUMEN…………………………………………………………………………..261 12.1IMPORTANCIA DEL ESTUDIO……………………………………………...262 12.2 MODELO DE MIRANDA……………………………………………………..264 12.2.1 Respuesta en desplazamiento………………………………………266 12.2.2 Efecto de la distribución de cargas…………………………………269 12.3 APLICACIONES………………………………………………………………272 12.3.1 Parámetro β1................................................................................273 12.3.2 Desplazamiento lateral……………………………………………….276
  12. 12. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 12.4 DERIVA DE PISO…………………………………………………………….280 12.4.1 Parámetro β2................................................................................282 12.5 EVALUACIÓN RÁPIDA DE LA DERIVA MÁXIMA DE PISO…………….283
  13. 13. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE MANUAL RÁPIDO DE MATLAB RESUMEN Existe una gran cantidad de libros sobre como se debe utilizar el MATLAB, de igual manera en Internet se puede encontrar información muy útil sobre el manejo de este programa pero en los dos casos el lector de este libro va a perder tiempo, primero en encontrar la información y segundo en hallar las sentencias especificas que en este texto se utilizan en la elaboración de los programas que aquí se presentan. Por este motivo se presenta un manual rápido de uso del manual, orientado a que el lector comprenda los programas que se desarrollan en cada capítulo. MATLAB es un software muy fácil de aprender y muy poderoso ya que cuenta con una gran cantidad de rutinas que facilitan su uso y lo fundamental la graficación de los resultados en forma elemental. Los programas que se desarrollan en el texto van a ayudar a comprender la teoría que se expone, razón por la cual, se recomienda su lectura e implementación de los mismos. 1. FORMAS DE TRABAJO MATLAB proviene de las palabras MAtrix LABoratory es un lenguaje de alta tecnología que integra en un solo ambiente la programación y la visualización gráfica. Existen dos modalidades de trabajo que son la modalidad consola y la modalidad rutina. • En la modalidad consola aparece el Prompt (>>) cada vez que se hace una operación. En esta modalidad los cálculos se realizan en forma inmediata por medio de los comandos adecuados. Se pueden escribir matrices, vectores y variables en consola y después utilizarlos en los programas que se hacen en la otra modalidad. • En la modalidad rutina no aparece el prompt >> pero en su lugar cada una de las líneas están numeradas. Es en esta modalidad donde se realizan los programas y al estar numeradas cada una de las líneas se facilita la corrección de los errores. Una vez que
  14. 14. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE se realiza el programa se graba con un nombre. MATLAB automáticamente a este archivo le asigna la extensión .m Cuando se ejecuta MATLAB se ingresa a la modalidad prompt, a futuro se indicará únicamente >> de aquí se pasa a la modalidad rutina escribiendo la palabra edit o en su defecto utilizando el icono correspondiente para abrir archivos. Tanto en la modalidad consola como en la modalidad rutina, si al final de una sentencia se coloca ; no se imprimen los resultados. Si se omite el punto y coma si aparecerán los resultados. 2. MATRICES Y VECTORES Dada la siguiente matriz A y el vector B, estas se cargan en MATLAB como se indica a continuación. ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 20 15 7.192.801.23 4.301.235.10 BA >> A=[10.5 23.1 30.4; 23.1 80.2 19.7] >> B=[15 ; 20] Después de cada número se deja uno o varios espacios. Una vez que se han dado los datos de una fila se coloca punto y coma (;) con lo cual el programa sabe que a continuación se tiene una nueva fila Los elementos de una matriz o vector se indican entre [ ]. Una vez que se han definido las matrices y vectores, se pueden realizaras operaciones de la siguiente forma: Para calcular la transpuesta, se escribe el nombre de la matriz o vector y a continuación el apóstrofo que está entre paréntesis. (‘). Para sumar se indican las matrices o vectores y se coloca entre ellas el signo +. Pare restar se indican las matrices o vectores y se coloca entre ellas el signo -. Para multiplicar se indican las matrices o vectores y se coloca entre ellas el signo *. Para invertir una matriz, por ejemplo la matriz A. El comando es inv (A). Para multiplicar un escalar por una matriz se procede en forma similar a la multiplicación de una matriz. • EJEMPLO 1 Dadas las matrices: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 62 23 12 11 31 42 CBA Encontrar: i. t AD = . La transpuesta de la matriz A . ii. BAE = . El producto de la matriz A por la matriz B . iii. 1− = CF . La matriz inversa de C .
  15. 15. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE iv. BAG += . La suma de la matriz A con la matriz B . v. CAH −= . La diferencia de las matrices A con la C . • SOLUCIÓN >> A=[ 2 4; 1 3]; B=[ 1 -1; 2 1]; C=[ 3 2; 2 6 ] >> D=A’ >> E=A*B >> F=inv(C) >> G=A+B >> H=A-C El colocar el punto y coma después del corchete hace que no se imprima a continuación la matriz. En este caso no se imprimirá las matrices A y B pero si se imprimirá la matriz C. Después de cada sentencia aparece inmediatamente los resultados esperados, así luego de colocar D=A’, aparece ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 34 12 D Los restantes resultados que se obtienen son: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 27 210 E ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 21429.014286.0 14286.042857.0 F ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 43 33 G ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −− − = 31 21 H Si en el ejemplo, por desconocimiento o descuido, se colocaba: >> E=a*B MATLAB no puede hacer la operación ya que la matriz a no está definida. De tal manera que en MATLAB se diferencian las minúsculas de las mayúsculas. 3. SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES Para resolver un sistema de ecuaciones lineales de la forma A X = B se procede de la siguiente manera: >> X= AB • EJEMPLO 2 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales: ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 40 50 42 513 1102 328 3 2 1 X X X • SOLUCIÓN
  16. 16. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE >> A=[8 2 3; 2 10 1; 3 1 5]; B=[ 42; 50; 40]; X= AB En este caso no se imprime la matriz A ni el vector B por el (;) . Se pudo haber colocado la matriz A en una línea, el vector B en otra y el cálculo de las incógnitas en otra. La solución del ejercicio es: ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 00.6 00.4 00.2 X 4. CÁLCULO AVANZADO CON MATRICES En este libro se tiene que calcular con cierta frecuencia los valores y vectores propios de una matriz A y también el exponencial de una matriz eA . Esto se lo hace con los siguientes comandos: [V,D] = eig ( A ) En V vienen los vectores propios y en D los valores propios de A. expm(A) El comando expm(A) halla el exponencial de la matriz. • EJEMPLO 3 Encontrar los valores y vectores propios de la siguiente matriz A. ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− − = 110 132 025 A • SOLUCIÓN >> A=[ 5 -2 0; -2 3 -1; 0 -1 1]; [V,D] = eig (A) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − −− = 1019.05277.08433.0 5392.06831.04927.0 8360.05049.02149.0 V Otra forma de calcular los valores y vectores propios, que ofrece MATLAB es: [V,D] = eig (K,M) K es la matriz de rigidez, M es la matriz de masas. Las dos son de orden (n x n) siendo n el número de grados de libertad. En ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 2899.60.00.0 0.02943.20.0 0.00.04158.0 D
  17. 17. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE V vienen los modos de vibración y en D los valores propios con los cuales se obtienen las frecuencias naturales. • EJEMPLO 4 Calcular el exponencial de la siguiente matriz A ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 92 24 A • SOLUCIÓN >> A = [ 4 2 ; 2 9]; >> expm(A) ans = 1.0e+004 * 0.1815 0.5096 0.5096 1.4555 En este caso no se le asignó el nombre de una matriz al resultado de eA . En este caso MATLAB asigna la respuesta a ans. El cálculo del exponencial de una matriz se lo aplica en el Procedimiento de Espacio de Estado, para encontrar la respuesta sísmica de un sistema de n grados de libertad. 5. CÁLCULO DE INTEGRALES MATLAB ofrece varias formas de calcular una integral, en este libro se utiliza la regla del trapecio y su formato de uso es: • trapz (X,Y) Donde X es un vector que contiene los puntos discretos X. Por otra parte Y es el nombre del vector que contiene los valores de la función Y en los puntos discretos X. • trapz (Y) Esta modalidad se utiliza cuando los puntos discretos se encuentran espaciados cada unidad. 6. MATRIZ IDENTIDAD Y NULA MATLAB puede crear matrices de orden (n x n) con 1 solo en la diagonal, con 1 en toda la matriz o con 0 en toda la matriz, de la siguiente manera: A = eye (m) m es el orden de la matriz A identidad. A = ones (m) m es el orden de la matriz A pero en este caso todos los elementos de la matriz son unos. A = zeros (m) m es el orden de la matriz A que está compuesta por ceros.
  18. 18. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 7. FUNCIONES MATEMÁTICA ELEMENTALES En la tabla 1 se indican las funciones elementales que más se utilizan en este libro. Tabla 1 Funciones matemáticas elementales. Función Comentario Función Comentario sin (x) Seno trigonométrico abs (x) Valor absoluto cos (x) Coseno angle (x) Angulo de fase tan (x) Tangente sqrt (x) Raíz cuadrada sinh (x) Seno hiperbólico real (x) Parte real del complejo cosh (x) Coseno hiperbólico imag (x) Parte imaginaria asin (x) Seno inverso trigon. conj (x) Conjugado de complejo asinh (x) Seno inverso hiperbólico exp (x) Base exponencial e log (x) Logaritmo de base e log10 (x) Logaritmo de base 10 8. GRÁFICAS EN MATLAB Nuevamente MATLAB ofrece gran versatilidad para la elaboración de figuras, aquí únicamente se presentan los comandos con los cuales se obtuvieron las curvas que están en este texto. Para realizar un simple gráfico en dos dimensiones el comando es: plot (x,y) xlabel (‘Titulo para eje de las x’); ylabel (‘Titulo para eje de las y’); title (‘Titulo de la figura’) Previamente se habrán obtenido los vectores x, y. Para realizar varias curvas en un solo gráfico, se procede de la siguiente manera: hold off plot (x,y,’+’) hold on plot (x,z,’o‘) El comando hold on mantiene la gráfica para realizar otra curva. Es conveniente apagarla con hold off para que no quede activado este comando. Cuando se construyen varias curvas en una gráfica es conveniente dibujar cada una de ellas con un símbolo diferente los mismos que se indican entre ‘ ‘. En el ejemplo la primera curva se dibujara con el signo más y la segunda curva con círculo, en este caso se escribió la o no el cero. En la tabla 2 se indican varios símbolos disponibles. Tabla 2 Símbolos disponibles Tipo de marca Símbolo Tipo de Marca Símbolo Punto . Línea-Punto - . Líneas muy pequeñas : Líneas entrecortadas - - Signo más + Signo estrella * Círculo O Marca x x En lugar de utilizar símbolos diferentes para construir las curvas se puede utilizar colores, colocando en lugar del símbolo la letra de un color, las mismas que se indican en la tabla 3.
  19. 19. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Para presentar varias figuras, se tiene el comando subplot en que se pueden presentar m por n gráficas. La sintaxis es: • subplot (m,n,k) k es el número de la gráfica que se dibuja, m y n se refiere a m por n gráficas que se quieren dibujar. Tabla 3 Colores disponibles Color de línea Símbolo Color de línea Símbolo Rojo R Amarillo y Magenta M Turquesa C Verde G Azul B Blanco W Negro K • EJEMPLO 5 Encontrar en forma gráfica las raíces de la siguiente ecuación: 0coshcos1 =+ pp • SOLUCIÓN Esta ecuación aparece cuando se resuelve una viga en flexión modelado como un sistema continuo. La ecuación propuesta se puede escribir de la siguiente manera: p p cosh 1 cos −= Por lo tanto se debe graficar las dos curvas que son: pcos , por una parte, y pcosh/1− , por otra. Se presenta a continuación la forma de graficar en la modalidad consola. >> dx=0.01; >> for i = 1:500 p(i)=i*dx; y(i)=cos(p(i)); z(i)=-1/cosh(p(i)); end >> plot (p,y,’r’); hold on; plot (p,z,’b’) En la figura 1 se presentan las curvas que se obtienen:
  20. 20. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Figura 1 Gráfica de dos funciones. Se puede colocar mayor información en el gráfico de la figura 1, con el propósito de explicar mejor cuales son las raíces, esto se lo puede hacer con MATLAB pero es más fácil realizarlo usando el programa PAINT; en la figura 2 se presenta el resultado final del cálculo gráfico de las raíces que ha sido realizado con MATLAB y PAINT. Figura 2 Raíces encontradas. 9. PROGRAMAS
  21. 21. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Si bien en el apartado anterior se realizó un pequeño programa, para dibujar las dos curvas, lo usual es que esto se realice en la modalidad rutina. La primera instrucción de un programa es: function [resultados] = nombre (datos) En resultados vendrá el nombre de las variables que contienen los resultados del programa, puede ser una o varias variables o arreglos. El nombre corresponde a la forma de identificar el programa, no hay limitación en el número de letras que se utilicen para el efecto. Por último en datos vienen de consola, la información que requiere el programa para su ejecución. Normalmente se deben colocar datos pero también el programa puede pedir los datos por pantalla o a su vez tomarlos de un archivo o se pueden asignar valores de tal forma que no es obligatorio que existan siempre datos. Es conveniente documentar los programas, para el efecto se colocarán comentarios, esto se lo hace con % y a continuación se indican todos los comentarios que se requieran. Cuando el programa ve % simplemente ignora esa sentencia ya sabe que son comentarios. En una fila de datos se puede tener una o más sentencias en el ejemplo anterior se escribió tres sentencias en una fila que son: p(i)=i*dx; y(i)=cos(p(i)); z(i)=-1/cosh(p(i)); esto hace que los programas sean más cortos. Para programar básicamente se necesita conocer como se escribe un bucle y la forma de escribir las decisiones condicionales. En otras palabras saber el manejo del for y del if. Bucles Empiezan con la palabra for y terminan con la palabra end. Luego de un índice el mismo que va a variar en la forma que el usuario desee. La sintaxis del for es la siguiente: for i = ni:nf ………….. end Donde ni es el número inicial en que empieza el lazo o bucle y nf es el número en que termina el bucle. En la forma indicada el índice i variará de uno en uno. Si se desea otro tipo de variación la sintaxis en la siguiente: for i = ni,dx,nf ………….. end En este caso se especifica el incremento dx con el cual va a ir variando el índice i. Los …………., significan que en ese lugar se colocarán las sentencias del programa. Condicionales La forma más sencilla de un condicional es la siguiente: if condición .............. else ………… end Si se cumple la condición que está al lado del if se ejecutan las líneas que están a continuación, caso contrario no se ejecutan estas líneas y se ejecutan las líneas posteriores a else. En este libro se trabaja con los siguientes operadores para los condicionales:
  22. 22. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Tabla 3 Lista de condicionales Nombre Operador Nombre Operador Mayor que > Menor que < Mayor o igual >= Menor o igual >= Igual == No es igual = La forma general de un condicional es: if condición .............. elseif ………… else ………… end En este caso se tiene opción de hacer varias preguntas adicionales, en este caso solo se ha efectuado una pregunta adicional con elseif pero se pueden hacer tantas como sea necesario. • EJEMPLO 6 Elaborar un programa para encontrar una de las raíces de un polinomio de tercer grado aplicando el Método de Newton Raphson. • SOLUCIÓN La fórmula del Método de Newton Raphson es la siguiente: ( ) ( )i i ii Xf Xf XX '1 −=+ Donde ( )iXf es el valor de la función en el punto iX ; ( )iXf ' es el valor de la derivada en iX . Por facilidad se desarrolla un programa específico para un polinomio de tercer grado de la forma: ( ) dcxbxaxxf +++= 23 Los datos dcba ,,, se indicarán en la modalidad consola. La ecuación a programar es: cbXaX dcXbXXa XX ii iii ii ++ +++ −=+ 23 2 23 1 El cálculo es iteractivo, ya que se debe imponer un valor inicial de iX y el programa determina 1+iX con este valor se ve si ( )1+iXf es menor o igual a una tolerancia, si es menor se halló la raíz, caso contrario se continua con el cálculo para lo cual 1+= ii XX . El programa que se ha elaborado se denomina newtonraphson y se indica a continuación.
  23. 23. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Se destaca que en MATLAB no se puede colocar las tíldes en los programas de tal manera que aparecerán ciertas palabras con error gramatical. function [raiz]=newtonraphson(a,b,c,d,xi) % % Calculo de una raiz de un polinomio de tercer grado aplicando el % Metodo de Newton Raphson % % a,b,c,d son datos del polinomio de tercer grado. % xi es dato el valor inicial que el usuario propone. % raiz es una de las raices que se obtienen % tol es el nombre de la tolerancia con la cual se desea calcular. % f es el valor de la funcion en el punto xi tol=0.01;xx=xi; for i=1:100 f=a*xi^3+b*xi^2+c*xi+d; if f <=tol raiz=xx; break else fp=3*a*xi^2+2*b*xi+c;xx=xi-f/fp;xi=xx; end end Para ver la bondad del programa se encuentran las raíces del siguiente polinomio. 0252)( 23 =++−= xxxxf La forma de ejecutar el programa es como sigue: >> [raiz] = newtonraphson (2,-5,1,2,3) El valor de iX inicial propuesto es 3. El programa reporta: raiz = 2.0006 Con relación al programa es necesario explicar dos sentencias que son: break y continue • break Sirve para salir del bucle. En el programa realizado en principio se debía realizar 100 iteracciones ya que el lazo va de 1 a 100 pero con la pregunta que se realiza si f <= tol , no se llega a las 100 iteracciones, es probable que un número mucho menor ya se halle la raíz. Entonces la forma de salir del lazo es con break. • continue Tiene el efecto contrario al break. Se realiza una pregunta dentro de un lazo y si cumple cierta condición y no se quiere hacer ninguna operación, únicamente que continúe con el bucle, en este caso se coloca continue. Cálculo de raíces de un polinomio
  24. 24. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Se escribió el programa newtonraphson para ilustrar el uso de un bucle y de un condicionante. Para hallar las raíces de un polinomio MATLAB tiene el comando roots con el cual se hallan todas las raíces del polinomio. La sintaxis es: R = roots (p) Donde p es un vector que contiene los coeficientes del polinomio y R es el nombre del vector que contiene las raíces. En lugar de p y R se puede colocar cualquier nombre. Para hallar las raíces de: 0252)( 23 =++−= xxxxf . Se procede de la siguiente manera: >> p = [ 2 -5 1 2] >> raiz = roots (p) El programa en el vector raiz reporta todas las raíces que son: raiz = 2.0000 1.0000 -0.5000 Si se conocen las raíces de un polinomio y se desea hallar los coeficientes de dicho polinomio el comando que se utiliza es poly ( r ) Donde r es el nombre del vector que contiene las raíces. Para el ejemplo se tendría: >> r = [ 2 1 -0.5] >> poly (r) El programa reporta: ans = 1.0000 -2.5000 0.5000 1.0000 Que son los coeficientes del polinomio del ejemplo, dividido para 2. Conforme pasa el tiempo, es probable que se olvide la forma de entrada de datos de un determinado programa o no recuerda que hace el programa. En este caso, en la modalidad consola se escribirá help y el nombre del programa. Luego va a aparecer todas las primeras instrucciones que son comentarios. 10. ARCHIVO DE DATOS Y RESULTADOS En el libro se encuentra la respuesta sísmica de varias estructuras ante un acelerograma, de un sismo registrado en el Perú el 9 de noviembre de 1974, lo primero que se debe realizar antes de llevar el archivo a MATLAB es eliminar las líneas de comentarios que normalmente traen los archivos y después darle un nombre con extensión .dat En el libro el archivo de este acelerograma se denomina Peru04.dat. Este archivo debe grabarse en la carpeta de MATLAB denominada WORK. Se destaca que debe ser un archivo ASCII. Para cargar un archivo, la sintaxis es: load datos.dat; Por otra parte, para guardar un archivo de resultados, la sintaxis es: save result.res;
  25. 25. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE En la sintaxis se ha denominado datos y result a los archivos de datos y resultados pero pueden tener cualquier nombre. 11. FACILIDADES DE MATLAB CON MATRICES MATLAB facilita, la forma de trabajar con matrices y vectores. A continuación se indican algunas de estas formas: Creación de una matriz diagonal Si en consola o rutina se escribe, por ejemplo: A = diag ( [ 5 4 3 ] ) Se crea la matriz: ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 300 040 005 A Obtención de una submatriz Se desea obtener de la matriz A del ejemplo anterior una submatriz que se va a denominar B compuesta por las dos primeras filas y columnas. B = A ( 1:2,1:2) Se crea la submatriz: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 40 05 B La sintaxis es primero identificar la matriz de la cual se va a obtener la submatriz. Luego entre paréntesis se indica la fila inicial : la fila final coma la columna inicial : la columna final Si se desea extraer un elemento de una matriz, se escribe en la notación clásica. Por ejemplo de la matriz A se desea obtener el número 4. A (2,2) ans= 4 Símbolo : Sirve para denotar todos los elementos de una fila o columna de una matriz. Por ejemplo si se quiere obtener los elementos de la tercera columna de la matriz A. A(:,3)
  26. 26. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE ans= 0 0 3 Máximo y Mínimo de un vector Para encontrar el valor máximo o mínimo de un vector la sintaxis es: max (A) o min(A). Siendo A. El nombre del vector. Dimensión de un vector o matriz Para saber el orden de una matriz o vector la sentencia es length (A) donde A es el nombre de la matriz o vector. 12. FUNCIONES Una gran ventaja de MATLAB es que las funciones se pueden trabajar directamente como vectores o matrices. Por ejemplo si se tiene una serie de tiempo que va desde 0 a 1 con incrementos de 0.1, esto se lo obtiene de la siguiente manera: >> t = linspace (0,1,11) Con lo que se obtiene: t = 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 La primera cantidad de linspace corresponde al número inicial, la segunda al número final y la tercera al número de valores que se desea, entre los números inicial y final. Se ha creado t como un vector fila. Esto es muy importante tener en cuenta ya que para graficar funciones se necesita tener un vector columna. En este caso se escribe de la siguiente manera: >> t = linspace (0,1,11)’ Si se desea obtener el seno para cada uno de los valores de t se procede de la siguiente manera: >> a=sin(t) Con lo que se halla: a= 0 0.0998 0.1987 0.2955 0.3894 0.4794 0.5646 0.6442 0.7174 0.7833 0.8415
  27. 27. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Se ha presentado un manual rápido de MATLAB que tiene como objetivo que el lector comprenda los programas que en libro se presentan. Con tantas ventajas que ofrece MATLAB, los programas, de aspectos muy complejos como es por ejemplo, el hallar la respuesta en el tiempo de un sistema de múltiples grados de libertad, son muy cortos. Los programas que se desarrollan tienen un gran beneficio ya que ayudan al lector a entender perfectamente el tema que se está exponiendo. Para quienes deseen profundizar más en MATLAB se les recomienda el libro de Shoichiro Nakamura (1997), Análisis numérico y visualización gráfica con MATLAB, 476 p., Prentice-Hall Hispanoamericana S.A., México.
  28. 28. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE CAPÍTULO 1 SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD RESUMEN Se deduce la ecuación diferencial del movimiento para sistemas de un grado de libertad y se resuelve en forma analítica para el caso de vibración: libre, forzada ante carga armónica y arbitraria ante pulsos rectangulares. Para el primer caso se obtiene la respuesta para vibraciones sin amortiguamiento, subamortiguada, sobre amortiguada y críticamente amortiguada. Para el segundo caso se obtiene el factor de amplificación dinámica y se ilustra el problema de la resonancia, luego se obtienen las fuerzas que se transmiten a la fundación por efecto de vibración armónica. Finalmente para el tercer caso, se presenta la solución ante un escalón unitario y de fuerza arbitraria y ante un pulso rectangular. Se complementa el marco teórico con la presentación de programas en MatLab para resolver el problema de vibraciones libres y para calcular el factor de amplificación dinámica de desplazamiento. 1.1 VIBRACIONES LIBRES En las estructuras se tienen dos tipos de vibraciones que son: vibración libre y vibración forzada. En el primer caso, que se presenta en este apartado, la estructura vibra debido a condiciones iniciales. Para deducir la ecuación diferencial que gobierna el comportamiento de vibración libre en un sistema de un grado de libertad, en la figura 1.1 se indica el modelo numérico de cálculo a partir de un resorte que tiene una rigidez k como se aprecia en la posición ( 1 ) de la figura 1.1, se ha notado por P.I. a la posición inicial del sistema. Se considera que la fuerza que se genera en el resorte es proporcional a la deformación del mismo, con ésta hipótesis, se pasa a la posición ( 2 ) de la figura 1.1 en que coloca la masa del sistema m sobre el resorte se lo hace de tal manera que el sistema no vibre al terminar de colocar la masa el resorte se ha deformado una cantidad δ y ahora la
  29. 29. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Posición Inicial P.I., pasa a la posición de equilibrio estático que se ha llamado P.E.E. En la posición ( 2 ) del equilibrio de fuerzas verticales se tiene: δkgm = En la posición ( 3 ) se ha colocado el amortiguador c pero no entra en funcionamiento ya que el sistema está en reposo. La fuerza del amortiguador se considera proporcional a la velocidad. En consecuencia se tendrá fuerza en el amortiguador cuando el sistema se encuentra en movimiento. En ( 4 ) se dan las condiciones iniciales del sistema, para un tiempo 0=t la masa se desplaza una cantidad oq con una velocidad . oq . Figura 1.1 Descripción del modelo numérico para vibración libre. Se debe recalcar que el desplazamiento en un instante cualquiera )(tq se mide a partir de P.E.E. Finalmente en ( 5 ) se presenta una posición genérica del movimiento en la que se ha colocado que la fuerza en el resorte vale )( δ+qk hacia arriba, el peso del sistema vale gm hacia abajo, la fuerza en el amortiguador . qc hacia arriba y la fuerza inercial .. qm hacia arriba. Del equilibrio, de fuerzas verticales, se tiene: 0)( ... =−+++ gmqmqcqk δ Al sustituir ( 1.1 ) en ésta última ecuación, se tiene: 0 ... =++ qkqcqm Se conoce que la frecuencia natural nW y el período de vibración T , valen: n n W T m k W π2 == Por otra parte, se define el factor de amortiguamiento ξ como: km c 2 =ξ Si la ecuación diferencial ( 1.2 ) se divide para m se tiene: 02 ... =++ qWq m c q n ( 1.2 ) ( 1.2 ) ( 1.3 ) ( 1.4 )
  30. 30. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Al multiplicar y dividir el término c/m por mk2 y al utilizar la ecuación ( 1.4 ) se tiene: nW m mk mk c m c ξ2 2 2 == Luego otra forma de presentar la ecuación diferencial del movimiento es: 02 2 ... =++ qWqWq nnξ 1.1.1 Solución de la ecuación diferencial Se plantea la solución de la ecuación diferencial ( 1.5 ) de la siguiente forma: t eatq λ =)( Donde a es una constante de integración y λ es una variable a determinar. Al derivar la ecuación ( 1.6 ) con respecto al tiempo y reemplazar en ( 1.5 ) se tiene: ( ) 02 02 22 22 2 .. . =++ =++ = = nn t t n t n t t t WWea eaWeaWea eaq eaq λξλ λξλ λ λ λ λλλ λ λ Para que la última ecuación sea igual a cero es necesario que la cantidad del paréntesis sea cero. 1 2 442 02 2 222 22 −±−= −±− = =++ ξξλ ξξ λ λξλ nn nnn nn WW WWW WW Las raíces de λ dependen del valor de ξ ya que el radical puede ser positivo, cero o negativo. 1.1.2 Vibración libre sin amortiguamiento En este caso 0=ξ , es un caso ideal que significa que la estructura queda vibrando indefinidamente. Al ser 0=ξ las raíces que se obtienen de ( 1.7 ) son: 1−±= nWλ Luego la solución se transforma en: ( 1.5 ) ( 1.6 ) ( 1.7 )
  31. 31. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE ( ) ( ) ( ) 22 cos)( BAC tWsenCtWsenBtWAtq nnn += +=+= γ Siendo γ el ángulo de fase. • EJEMPLO 1 Encontrar la respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad cuyo período de vibración es 0.2 s., que no tiene amortiguamiento y que en el tiempo igual a cero el desplazamiento inicial es de 2.cm., y la velocidad inicial es 10 cm/s. • SOLUCIÓN ( ) ( ) ( ) ( )tWWBtWsenWAtq tWBsentWAtq sT W nnnn nn n cos)( cos)( 1 416.31 2.0 22 . +−= += === ππ Para 0=t se tiene: 3183.0 416.31 1010 10 2 ===→= = n n W BWB A Luego: ( )tsenttq 416.313183.0)416.31cos(2)( += En la figura 1.2 se tiene la respuesta en el tiempo y es importante tener en cuenta los siguientes comentarios: La respuesta empieza en 2 cm., por la condición inicial. Como la velocidad inicial es positiva, la pendiente de la figura 1.2 en t=0 es positiva razón por la cual la curva va hacia arriba. El tiempo que se demora en una oscilación completa es igual a 0.2 s., que corresponde al período de vibración. Como el sistema no tiene amortiguamiento la amplitud de la oscilación no decrece. 1.1.3 Vibración libre subamortiguada Corresponde al caso real en el cual vibran las estructuras, el valor de 10 ≤< ξ . En este caso las raíces son también números complejos. Las raíces son: 2 1 1 ξ ξλ −= −±−= na an WW WW ( 1.8 ) ( 1.9 )
  32. 32. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 Tiempo (s.) Desplazamiento(cm.) Figura 1.2 Respuesta en el tiempo de sistema de 1 gdl sin amortiguamiento. Luego la solución es: ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tWBtWsenAtWtq tWBtWsenAetq aan aa tWn cos)exp()( cos)( +−= += − ξ ξ La respuesta en el tiempo para el caso de vibración libre sin amortiguamiento se ha escrito de dos formas en la ecuación (1.10) toda vez que en la primera no se ve tan claro el exponente. Al igual que el caso anterior la suma de dos armónicos es otro armónico por lo que la ecuación ( 1.10 ) en función del ángulo de fase queda: 22 )()exp()( BAC tWsentWCtq an += +−= γξ • EJEMPLO 2 Encontrar la respuesta en el tiempo del ejemplo anterior si 05.0=ξ . El período del sistema es 0.2 s. ./10)0( .2)0(0 . scmq cmqt = == • SOLUCIÓN [ ] [ ] [ ] 3767.3105.01416.31 )()cos()exp( )cos()()exp()( )cos()()exp()( 2 . =−= −− ++−−= +−= a aaaan aann aan W tWsenWBtWWAtW tWBtWsenAtWWtq tWBtWsenAtWtq ξ ξξ ξ ( 1.10 ) ( 1.11 )
  33. 33. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Para t=0 se tiene: 41883.03767.312416.3105.010 2 =∗+∗∗−= = AA B Luego la respuesta en el tiempo es: ( ) ( ) ( )[ ]ttsenttq 3767.31cos23767.3141883.05708.1exp)( +∗∗−= En la figura 1.3 se presenta la respuesta en el tiempo para el ejemplo 2 que tiene 5% de amortiguamiento. -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Tiempo (s.) Desplazamiento(cm.) Figura 1.3 Respuesta en el tiempo para sistema con 05.0=ξ Los comentarios que se hacen al ejemplo 2, son los siguientes: La respuesta empieza en 2 cm., por la condición inicial. La pendiente en t=0 es positiva. El período de la oscilación en este caso vale: a a W T π2 = Conforme transcurre el tiempo el desplazamiento tiende a cero. 1.1.4 Vibración libre sobre amortiguada Corresponde al caso en que ξ es mayor que la unidad. En este aso las dos raíces son reales. Luego la respuesta en el tiempo vale: ( )[ ] ( )[ ]tWWBtWWAtq nnnn 1exp1exp)( 22 −−−+−+−= ξξξξ • EJEMPLO 3 ( 1.12 )
  34. 34. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Encontrar la respuesta en el tiempo del ejemplo 1 si 2.1=ξ . El período del sistema es 0.2 s. ./10)0(.2)0(0 . scmqcmqt === • SOLUCIÓN Se procede en forma similar a los ejercicios anteriores y la respuesta que se obtiene es la siguiente: ( ) ( )tttq 5382.58exp049.18602.16exp049.3)( −−−= 0 0,5 1 1,5 2 2,5 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Tiempo (s.) Desplazamiento(cm.) Figura 1.4 Respuesta en el tiempo para 2.1=ξ Los comentarios que se realizan a la figura 1.4, son: La respuesta empieza en 2 cm., por la condición inicial. La pendiente en t=0 es positiva. El sistema tiene tanto amortiguamiento que no oscila. 1.1.5 Vibración libre críticamente amortiguada En caso 1=ξ . El radical de la ecuación ( 1.7 ) es cero y las dos raíces son iguales. Por lo tanto, la respuesta en el tiempo es: ( ) ( )tWBtAtq n−+= exp)( • EJEMPLO 4 Encontrar la respuesta en el tiempo del ejemplo 1 si 0.1=ξ . El período del sistema es 0.2 s. ( 1.13 )
  35. 35. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE ./10)0( .2)0(0 . scmq cmqt = == • SOLUCIÓN ( ) ( )[ ]nn WBtAAtWtq +−−= exp)( . Al reemplazar las condiciones iniciales se encuentra: 2832.72 == BA La respuesta en el tiempo viene dada por: ( ) ( )tttq 416.31exp2832.72)( −+= La gráfica de la respuesta es similar a la de la figura 1.4 function [q]=vlibre(zi,w,qo,qpo) % % Vibraciones libres en sistemas de un grado de libertad % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------- % [q]=vlibre(zi,w,qo,qpo) %------------------------------------------------------------- % zi: factor de amortiguamiento % w : frecuencia natural del sistema de 1 gdl. % qo: desplazamiento en t=0 % qpo: velocidad en t=0 % tmax: tiempo maximo de la respuesta igual a 0.6 segundos. t=linspace(0,0.6,500)'; if zi<1 wa=w*sqrt(1-zi*zi); B=qo; A=(qpo+zi*w*B)/wa; q1=(A*sin(wa*t)+B*cos(wa*t)); q2=exp(-zi*w*t); q=q2.*q1; elseif zi==1 B=qo; A=qpo+B*w; q=(A*t+B).*exp(-w*t); else landa1=-zi*w+w*sqrt(zi*zi-1); landa2=-zi*w-w*sqrt(zi*zi-1); C=[1 1; landa1 landa2]; D=[qo; qpo]; X=CD; A=X(1); B=X(2); q=A*exp(landa1*t)+B*exp(landa2*t); end plot (t,q) xlabel ('Tiempo'); ylabel ('Desplazamiento') title ('Vibracion libre en sistema de 1 gdl') %---fin--- Se ha presentado un programa denominado VLIBRE que encuentra la respuesta en el tiempo, para un problema de vibración libre. Los datos que se suministran al programa, son: • ξ Factor de amortiguamiento.
  36. 36. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE • nW Frecuencia natural del sistema. • )0(q Desplazamiento en 0=t . • )0( . q Velocidad en 0=t . Como aplicación del programa VLIBRE, se resuelve el ejemplo 2 de este capítulo: [q] = vlibre (0.05,31.416,2,10) En la figura 1.5 se indica lo que reporta el programa VLIBRE. Figura 1.5 Respuesta en el tiempo de ejemplo 2 que se obtiene con programa VLIBRE en MATLAB. 1.1.6 Factor de amortiguamiento Una de las aplicaciones del caso de vibración libre sub amortiguada se presenta en el cálculo del factor de amortiguamiento ξ para el efecto se mide el decremento logarítmico ξ∆ del movimiento, mediante la siguiente ecuación: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + =∆ anTtq tq n ( )( ln 2 1 π ξ Donde n es el número de períodos que se considera para la medición, )(tq es la amplitud en un instante de medición y )( anTtq + es la amplitud luego de n períodos. El valor de aT es el período de la vibración amortiguada. En la figura 1.6 se ilustra el cálculo del decremento logarítmico, en este caso se ha medido las amplitudes en un período aT . Por otra parte se tiene que: ( 1.14 )
  37. 37. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 2 1 ξ ξ ξ − =∆ Figura 1.6 Cálculo del decremento logarítmico. Newmark y Hall (1982) recomiendan los valores de ξ que se indican en la tabla 1.1. Los comentarios que se pueden hacer al respecto son los siguientes: El valor de ξ depende del tipo de material y del sistema estructural. El valor de ξ depende del nivel de esfuerzos, mientras más bajo sea el nivel de esfuerzos menor será ξ . Para estructuras de Hormigón Armado el valor de ξ es superior a 10 si el nivel de daño en la estructura es grande. Normalmente los espectros de diseño se presentan para 05.0=ξ lo que implica que existe un agrietamiento visible en la estructura. 1.2 VIBRACIONES FORZADA. EXCITACIÓN ARMÓNICA Se tienen varios casos de vibración forzada de ellos, para quienes vivimos en una zona de alta peligrosidad sísmica como es el Ecuador, el sismo es el más importante pero para otros puede ser muy importante la acción del viento o las vibraciones que producen los motores de máquinas. Tabla 1.1 Valores recomendados de ξ en porcentaje. Material y/o sistema estructural Nivel de esfuerzos o deformaciones ( )%ξ Columnas aisladoras de porcelana Deformaciones elásticas 0.5 a 1 Esfuerzos admisibles; yσ5.0< 1 a 2Sistemas de tuberías que pueden vibrar libremente Cercanos a yσ , sin excederlo 2 a 3 ( 1.15 )
  38. 38. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Esfuerzos admisibles; yσ5.0< 2 a 3Sistemas estructurales de acero soldado Cercanos a yσ , sin excederlo 5 a 6 Esfuerzos admisibles; yσ5.0< 2 a 3 Cercanos a estados últimos, Sin pérdida de pretensión 5 a 7 Concreto pretensazo Sin pretensión residual 7 a 10 Esfuerzos admisibles sin agrietamiento visible 2 a 3 Agrietamiento visible generalizado 3 a 5 Sistemas estructurales de Hormigón Armado Cercanos a estados últimos 7 a 10 Esfuerzos admisibles; yσ5.0< 5 a 6Estructuras de acero apernadas Esfuerzos a nivel de cadencia 8 a 12 Esfuerzos admisibles 5 a 7 Cercano a estados últimos, con juntas apernadas 10 a 15 Sistemas estructurales de madera, con elementos clavados o apernados. Estado de agotamiento con juntas clavadas 15 a 20 La excitación de una máquina puede se modela mediante un pulso el mismo que puede ser rectangular, triangular, trapezoidal, etc., pero para su solución se puede aproximar estas funciones periódicas por funciones armónicas tipo seno o coseno. Por este motivo es necesario estudiar la respuesta de un sistema de un grado de libertad ante una excitación armónica. 1.2.1 Respuesta ante una excitación sinusoidal Se desea encontrar la respuesta en el tiempo para el sistema de 1 gdl indicado en la figura 1.7. La excitación vale tsenFo ω ; siendo ω la frecuencia de vibración de la excitación, oF el valor de la amplitud máxima y t la variable tiempo. Figura 1.7 Sistema de 1 gdl sometido a una fuerza armónica. La ecuación diferencial del movimiento es: tsenFqkqcqm o ω=++ &&& La solución del problema )(tq será igual a la solución homogénea más la solución particular. ( 1.16 )
  39. 39. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE )()()( tqtqtq ph += La solución homogénea se halla igualando a cero la ecuación diferencial, es decir se resuelve la ecuación diferencial de vibración libre, la misma que se la repite a continuación. 0=++ hhh qkqcqm &&& La solución particular depende de la forma de la excitación, se halla de la solución de: tsenFqkqcqm oppp ω=++ &&& La solución homogénea es importante en los primeros instantes de tiempo, luego desaparece por lo que el sistema queda vibrando en base a la solución particular, se resolverá a continuación únicamente la solución particular ya que la solución homogénea fue resuelta en el apartado anterior y además desaparece en los primeros instantes de tiempo. Sea tBtsenAqp ωω cos+= Donde BA, son constantes de integración que se determinan en base a la ecuación diferencial. Las derivadas de pq con respecto al tiempo, son: tBtsenAq tsenBtAq ωωωω ωωωω cos cos 22 −−= −= && & Al reemplazar en ecuación diferencial y agrupando términos se tiene: ( ) ( ) tsenFtBkcAmBtsenAkcBAm o ωωωωωωω =++−++−− cos22 Al igualar coeficientes se tiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: ( ) ( ) 02 2 =−+ =−− BmkAc FBcAmk o ωω ωω En forma matricial se tiene: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− 02 2 oF B A mkc cmk ωω ωω El determinante de los coeficientes vale: ( ) ( )222 ωω cmk +−=∆ Al aplicar la regla de Cramer se tiene: ( ) ∆ − = ∆ − − = 22 0 ωω ω mkFmk cF A o o ( 1.17 )
  40. 40. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE ∆ −= ∆ − = o o Fcc Fmk B ωω ω 0 2 Figura 1.8 Suma de dos armónicos En el triángulo rectángulo de la figura 1.8 se tiene: γγ senXBXA == cos Al reemplazar BA, en la ecuación ( 1.17 ) se tiene: ( )γωωγωγ +=+= tsenXtsenXtsenXqp coscos De la figura 1.8 se tiene: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 222 2 22 2 222 22 ∆ +− = ∆ + ∆ − =+= ωωωω cmk F FcmkF BAX o oo ( ) ( )222 ωω cmk F X o +− = El ángulo de fase vale: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = −− 2 11 ω ω γ mk c tg A B tg En resumen si la respuesta del sistema viene dada por la respuesta permanente se tiene que: ( ) ( ) ( )γω ωω + +− = tsen cmk F q o 222 • EJEMPLO 5 Encontrar la respuesta en el tiempo para un sistema de 1 gdl, que tiene los siguientes datos: cm skg mkc cm kg k cm sKg m 943.68205.027146 . 51.17 2 ==→=== ξξ ( 1.18 ) ( 1.19 ) ( 1.20 ) ( 1.21 )
  41. 41. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE La excitación está definida por: sT sTkgTF a ao 1 944.20 2 3.010001 ==→=== π ω -1500,000 -1000,000 -500,000 0,000 500,000 1000,000 1500,000 0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 TIEMPO (t) f(t) Figura 1.9 Excitación ( )tsentsenFtf o 944.201000)( == ω • SOLUCIÓN El sistema de ecuaciones lineales a resolver para encontrar las constantes de integración es el siguiente: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− 02 2 oF B A mkc cmk ωω ωω ( ) ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∗−∗ ∗−∗− 0.0 0.1000 944.2051.1727146944.20943.68 944.20943.68944.2051.1727146 2 2 B A 32 1078996.31010919.5 0.0 0.1000 21861.19465943.1443 943.144321861.19465 −− ∗−=∗= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − BA B A ( ) ( )ttsentq 944.20cos1078996.3944.201010919.5)( 32 −− ∗−∗= En la figura 1.10 se presenta la respuesta en el tiempo de los desplazamientos )(tq .
  42. 42. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE -0,06000 -0,04000 -0,02000 0,00000 0,02000 0,04000 0,06000 0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 Tiempo (s) Desplazamiento(cm) Figura 1.10 Respuesta en el tiempo de desplazamientos. 1.2.2 Factor de amplificación Si en la ecuación ( 1.19 ) se divide al numerador y denominador para la rigidez del sistema se tiene: ( ) ( ) 2 222 k cmk k F X o ωω +− = Se denomina: o n o o X X W r k F X = = = α ω En la ecuación ( 1.23 ) se ha denominado r a la relación de la frecuencia de la excitación con respecto a la excitación de la frecuencia natural y α es el factor de amplificación dinámica. Luego se tiene: 222 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = k c k m X X o ωω De donde: ( ) ( )222 21 1 rr ξ α +− = ( 1.22 ) ( 1.23 ) ( 1.24 ) ( 1.25 )
  43. 43. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE FACTOR DE AMPLIFICACION DINAMICA 0 1 2 3 4 5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 r α 0,01 0,1 0,15 0,25 0,5 Figura 1.11 Factor de amplificación dinámica en función del factor de amortiguamiento. En la figura 1.11 se presenta el factor de amplificación dinámica, en función de la relación de frecuencias r , y para valores del factor de amortiguamiento ξ desde 0.01 a 0.5. De esta figura y de la ecuación (1.25) se tienen los siguientes comentarios: Para el caso de vibración forzada, sin amortiguamiento 0=ξ y para 1=r en la ecuación ( 1.25 ) se tiene que ∞=α , que constituye el pico principal de resonancia. A medida que ξ aumenta el factor de amplificación dinámica α disminuye. Para 1=r el valor de α tiene un máximo valor para factores de amortiguamiento menores a 0.15. Tener 1=r significa que la frecuencia de la excitación es igual a la frecuencia natural del sistema y para estos casos el factor de amplificación dinámica es mayor que la unidad. A medida que el valor de ξ se incrementa más ancho es el pico de amplitudes máximas. A continuación se presenta el programa FAD que obtiene en forma gráfica el factor de amplificación dinámica α para cuatro valores del factor de amortiguamiento ξ . La forma de uso del programa, en MATLAB es la siguiente: [f] = fad(z1,z2,z3,z4) Como ejemplo de aplicación, se desea encontrar las curvas del factor de amplificación para valores de ξ igual a 0.01, 0.1, 0.15 y 0.5. [f] = fad(0.01,0.1,0.15,0.5) En la figura 1.12 se indican las curvas que se encuentran en el MATLAB, para los datos indicados. function [f]=fad(z1,z2,z3,z4) % % Factor de Amplificación Dinámica % % Por: Roberto Aguiar Falconi
  44. 44. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE % CEINCI-ESPE % --------------------------------------- % [f]=fad(z1,z2,z3,z4) % --------------------------------------- % z1: Factor de amortiguamiento 1 % z2: Factor de amortiguamiento 2 % z3: Factor de amortiguamiento 3 % z4: Factor de amortiguamiento 4 % r : Relación entre la frecuencia excitación a frecuencia natural % f : Factor de amplificación dinámica hold off dr=0.02;r=0; for i=1:150 r=r+dr; f(i)=1.0/(sqrt((1-r^2)^2+(2*z1*r)^2));f1(i)=1.0/(sqrt((1-r^2)^2+(2*z2*r)^2)); f2(i)=1.0/(sqrt((1-r^2)^2+(2*z3*r)^2));f3(i)=1.0/(sqrt((1-r^2)^2+(2*z4*r)^2)); rr(i)=r; end plot (rr,f); hold on plot (rr,f1,'--'); plot (rr,f2,':'); plot (rr,f3,'-.') xlabel('r'); ylabel('Factor de amplificacion'); axis([0,3,0,5]); text (2.0,4.5,'z1 ---- ','Fontname','symbol'); text (2.0,4.0,'z2 - - -','Fontname','symbol') text (2.0,3.5,'z3 .......','Fontname','symbol'); text (2.0,3.0,'z4 .-.-.-','Fontname','symbol') hold off % ---fin--- 1.2.3 Fuerza transmitida a la fundación Se ha visto que la solución de la ecuación diferencial ( 1.16 ) en régimen permanente viene dada por: ( )γω += tsenXq De donde la derivada con respecto al tiempo es: ( )γωω += tXq cos . La fuerza que llega a la cimentación, tf , viene dada por la contribución de la fuerza del resorte, k tf , más la contribución de la fuerza del amortiguador c tf . ( ) ( )γωωγω +++= +=+= tXctsenXkf qcqkfff t c t k tt cos .
  45. 45. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Figura 1.12 Curvas que se obtienen con programa FAD en MATLAB. Nuevamente se tiene la suma de dos armónicos por lo que la fuerza transmitida a la fundación vale: ( ) ( ) ( )φγωω +++= tsenXcXkft 22 Por lo tanto el valor máximo de la fuerza transmitida a la fundación TF vale: ( ) XckFT 22 ω+= Al reemplazar el valor de X de la ecuación ( 1.21 ) se tiene: ( ) ( ) ( )222 22 ωω ω cmk ck FF oT +− + = oF es la fuerza aplicada al sistema de 1 gdl y TF es la fuerza transmitida a la fundación. Se denomina τ a la relación entre la fuerza transmitida a la cimentación con relación a la fuerza aplicada. o T F F =τ Pero de ecuación ( 1.26 ) se tiene que: ( ) ( ) ( )222 22 ωω ω τ cmk ck +− + = ( 1.27 ) ( 1.26 )
  46. 46. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Al dividir el numerador y denominador del radical para 2 k y al expresarle en función del factor r y ξ , el factor de transmisibilidad τ queda: ( ) ( ) ( )222 2 21 21 rr r ξ ξ τ +− + = En la figura 1.13 se grafica τ para valores de ξ igual a 0.01; 0.1; 0.15; 0.25 y 0.50. Del análisis de esta figura se desprende lo siguiente: Cuando 0=r el valor de 1=τ . Cuando 2=r el valor de 1=τ . Además es el punto en el cual cambia la forma de la curva. Para 0=ξ el valor de )1/(1 2 r−=τ ; y para 1=r el valor de ∞=τ . Independiente del valor de ξ , cuando ∞→r , el valor de 0=τ . De ahí la necesidad de que el valor de ω difiera lo mayor que se pueda con relación a nW . FACTOR DE TRANSMITIBILIDAD 0 1 2 3 4 5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 r τ 0,01 0,1 0,15 0,25 0,5 Figura 1.13 Factor de transmitibilidad de las fuerzas a la cimentación. 1.3 EXCITACIONES ARBITRARIAS Se desea encontrar la respuesta en el tiempo de un sistema de 1 gdl, ante una fuerza )(tf arbitraria, para lo cual en la figura 1.14 se indica el modelo numérico de cálculo. La ecuación diferencial del movimiento es: )( ... tfqkqcqm =++ ( 1.28 )
  47. 47. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Figura 1.14 Excitación arbitraria 1.3.1 Escalón unitario En la figura 1.15 se presenta la fuerza escalón unitario que vale 0 para valores negativos del tiempo y vale la unidad para valores positivos del tiempo. 01)( ≥= ttf Se consideran nulas las condiciones iniciales. Luego: 0)0()0( . == qq Figura 1.15 Función escalón unitario. La ecuación diferencial a resolver es: 0 1 1 ...... =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −++⇒=++ k qkqcqmqkqcqm Se realiza el siguiente cambio de variable: z k q =− 1 Luego la ecuación diferencial se transforma en: 0 ... =++ zkzczm
  48. 48. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Por el cambio de variable, las condiciones iniciales, son: 0)0( 1 )0( . =−= z k z Por lo tanto la solución se ha transformado en un problema de vibración libre con condiciones iniciales que se estudió en el apartado 1. Se denomina )(tg a la solución del escalón unitario. Las soluciones son: ♦ Caso sin amortiguamiento ( ) ( ) ( ) ( )tWWBtWsenWAtz tWsenBtWAtz nnnn nn cos)( cos)( . +−= += Al reemplazar las condiciones iniciales, se tiene: BA k ==− 0 1 Luego: ( )tW k tz ncos 1 )( −= Con el cambio e variable se tiene: ( ) ( )[ ]tW k tq k tW kk tztq n n cos1 1 )( 1 cos 11 )()( −= +−=+= A la solución se denomina )(tg . Luego: ( )[ ]tW k tg ncos1 1 )( −= ♦ Caso sub amortiguado Al proceder en forma similar al caso de vibración libre sin amortiguamiento se obtiene: ( ) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − +−−= tsenWtWtW k tg aan 2 1 cosexp1 1 )( ξ ξ ξ El valor de aW está definido en la ecuación ( 1.9 ). ( 1.29 ) ( 1.30 )
  49. 49. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE ♦ Caso sobre amortiguado ( ) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − +−−= ∩∩ tWsenhtWtW k tg aan 1 coshexp1 1 )( 2 ξ ξ ξ 12 −= ∩ ξna WW Si la fuerza actuante no fuera unitaria sino que tiene una magnitud 0F la respuesta en el tiempo, sería: )()( tgFtq o= • EJEMPLO 6 Encontrar la respuesta en el tiempo para la fuerza )(tf que se indica en la figura 1.16 en que la fuerza empieza en el tiempo T y tiene una magnitud 0F . Figura 1.16 Fuerza escalón de magnitud 0F . • SOLUCIÓN Para un tiempo Tt > se tiene que el tiempo de duración de la fuerza 0F es Tt − . Luego: ( )TtgFtq −= 0)( 1.3.2 Pulso rectangular Se desea hallar la respuesta en el tiempo para el pulso rectangular indicado en la figura 1.17 en que la fuerza vale 0F hasta el tiempo T y luego es nula. ( 1.31 ) ( 1.32 )
  50. 50. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Figura 1.17 Pulso rectangular. Se tienen dos formas de resolver el problema del pulso rectangular, la primera resolver la ecuación diferencial del movimiento y la segunda utilizar la respuesta )(tg . Para el primer caso se procedería así: 0)0()0( 0 . 0 ... == <<=++ qq TtFqkqcqm Se resuelve la ecuación diferencial indicada, considerando condiciones iniciales nulas, después se halla la respuesta en )(Tq y )( . Tq que son las condiciones iniciales de la siguiente ecuación diferencial que es valida para Tt ≥ . Ttqkqcqm ≥=++ 0 ... Figura 1.18 Artificio para resolver un pulso rectangular
  51. 51. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE La segunda forma de solución se presenta en forma gráfica en la figura 1.18 en que el pulso rectangular es igual a una fuerza escalón de magnitud 0F más otra fuerza escalón pero de magnitud negativa 0F y que empieza en el tiempo T . La solución para el caso indicado en la figura 1.18 es la siguiente: ( ) TtTtgFtgFtq TttgFtq ≥−−= <<= 00 0 )()( 0)()(
  52. 52. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE CAPÍTULO 2 ESPECTROS DE RESPUESTA RESUMEN Se presenta en forma práctica el método de aceleración lineal para encontrar la respuesta de un sistema de un grado de libertad ante una acción sísmica, para el efecto se ha elaborado un programa en MATLAB denominado LINEAL. Posteriormente se indica la definición de espectros de respuesta elásticos, los mismos que se hallan con el programa elaborado en MATLAB denominado ESPECTRO. Al leer detenidamente cada una de las instrucciones de los programas LINEAL y ESPECTRO se entenderá mejor la forma como se obtiene la respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad y como se encuentran los espectros de respuesta elásticos. Por considerarlo muy práctico se presenta también el uso del programa DEGTRA que permite obtener espectros de respuesta elásticos e inelásticos y más aspectos relacionados con la dinámica de estructuras. Finalmente, se ve la importancia de conocer las formas espectrales en base a dos registros sísmicos, el uno de México de 1985 y el otro de Chile de 1985. 2.1 MÉTODO DE ACELERACIÓN LINEAL EN SISTEMAS DE 1GDL La ecuación diferencial que gobierna un sistema de un grado de libertad ante una acción sísmica definida por su acelerograma es la siguiente: gUmqkqcqm ..... −=++ ( 2.1 )
  53. 53. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Donde m es la masa; c es el amortiguamiento; k es la rigidez, del sistema de un grado de libertad, 1gdl, q es la respuesta en el tiempo de desplazamiento; . q es la respuesta en el tiempo de velocidad; .. q es la respuesta en el tiempo de aceleración y gU .. es la aceleración del suelo. Existe una gran cantidad de métodos para encontrar la respuesta lineal de la ecuación diferencial ( 2.1 ). Uno de ellos es el método de Aceleración Lineal que está deducido en el capítulo 4 del libro: Sistema de Computación CEINCI3 para evaluar daño sísmico en los Países Bolivarianos, Aguiar (2002). Aquí se presenta una síntesis del método, orientado a la elaboración de un programa de computación pero antes de ello es necesario manifestar que la ecuación diferencial ( 2.1 ) se puede escribir también de la siguiente manera, al dividir todo para la masa del sistema m . gnn UqWqWq .. 2 ... 2 −=++ ξ Siendo nW la frecuencia natural del sistema y ξ es el factor de amortiguamiento crítico. En el capítulo 1 se vio que: m k Wn = km c 2 =ξ El método de aceleración lineal, considera que en la respuesta del sistema la aceleración entre dos instantes de tiempo varía en forma lineal. Sea iq , iq . y iq .. , el desplazamiento, velocidad y aceleración en el tiempo discreto it y sea 1+iq , 1 . +iq y 1 .. +iq , lo propio pero en el tiempo discreto 1+it . El procedimiento de cálculo es el siguiente: i. Se determina la masa equivalente del sistema ∗ M 62 2 tktc mM ∆∆ ++=∗ Donde t∆ es el incremento de tiempo con el cual se desea hallar la respuesta sísmica. ii. Se halla el incremento de carga ∗ iQ∆ tkqt k tcqQQ iii ∆∆∆∆∆ . 2 .. 2 −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−=∗ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −−= + ii UUmQ .. 1 .. ∆ Siendo .. 1 .. , +ii UU la aceleración del suelo en los tiempos discretos it y 1+it . iii. Se halla el incremento de aceleraciones .. q∆ ∗ ∗ = M Q q i∆ ∆ .. ( 2.2 ) ( 2.3 ) ( 2.4 ) ( 2.5 )
  54. 54. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE iv. Se encuentra el incremento de velocidad . q∆ t q tqq i ∆ ∆ ∆∆ 2 .. ... += v. Se determina el incremento de desplazamiento q∆ 2 .. 2 .. . 62 t q t q tqq i i ∆ ∆ ∆∆∆ ++= vi. Se obtiene el nuevo desplazamiento, velocidad y aceleración en 1+it .... 1 .. .. 1 . 1 qqq qqq qqq ii ii ii ∆ ∆ ∆ += += += + + + vii. Los valores obtenidos en el tiempo 1+it se asignan a it 1 .... 1 .. 1 + + + = = = ii ii ii qq qq qq Para un nuevo incremento de tiempo se repite desde el paso dos. Es importante destacar que en el Análisis Lineal, la masa equivalente ∗ M se determina una sola vez. 2.2 PROGRAMA LINEAL El programa LINEAL, halla en forma gráfica, la respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad, ante una acción sísmica, definida por su acelerograma, aplicando el Método de Aceleración Lineal indicado en el apartado anterior. El programa ha sido elaborado en MATLAB y antes de utilizarlo se debe grabar el archivo que contiene únicamente las aceleraciones del sismo en formato ASCII. El nombre tiene extensión .dat. Después de ello cuando se encuentra en la modalidad consola se carga el acelerograma y después se ejecuta LINEAL, de la siguiente manera: [d,v,a] = lineal (p,m,c,k,dt) • p es el nombre del archivo que contiene el acelerograma. • m es la masa del sistema de 1 gdl. • c es el amortiguamiento del sistema de 1 gdl. • k es la rigidez del sistema de 1 gdl. • dt es el incremento de tiempo con el cual se desea hallar la respuesta. El mismo que tiene que ser igual al incremento de tiempo con el cual se obtuvo el acelerograma. ( 2.6 ) ( 2.7 )
  55. 55. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Una vez que se ejecuta LINEAL aparecen cuatro gráficas, la primera de ellas es el acelerograma, que es dato. La segunda la respuesta en el tiempo de los desplazamientos, la tercera de las velocidades y la última de las aceleraciones. function [d,v,a]=lineal(p,m,c,k,dt) % % Respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad % por el Método de la Aceleración Lineal % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI ESPE %------------------------------------------------------------------ % [d,v,a]=lineal(p,m,c,k,dt) %------------------------------------------------------------------ % p : vector que contiene los registros del acelerograma % m : masa del sistema % c : amortiguamiento del sistema % k : rigidez del sistema % d, v, a : desplazamiento, velocidad y aceleración de la respuesta % dt : incremento de tiempo % n=length(p); tmax=dt*n; t=linspace(0,tmax,n)'; ma=m+(c*dt/2)+(k*dt*dt/6); d(1)=0; v(1)=0; a(1)=0; for i=1:n-1 dq=-m*(p(i+1)-p(i)); dqa=dq-a(i)*(c*dt+k*dt*dt/2)-v(i)*k*dt; inca=dqa/ma; incv=a(i)*dt+inca*dt/2; incd=v(i)*dt+a(i)*dt*dt/2+inca*dt*dt/6; d(i+1)=d(i)+incd; v(i+1)=v(i)+incv; a(i+1)=a(i)+inca; d(i)=d(i+1); v(i)=v(i+1); a(i)=a(i+1); end subplot (4,1,1); plot (t,p); title('Acelerograma'); subplot (4,1,2); plot (t,d); ylabel('Desplazamiento'); subplot (4,1,3); plot (t,v); ylabel('Velocidad'); subplot (4,1,4); plot (t,a);xlabel('Tiempo'); ylabel('Aceleracion'); %---fin--- • EJEMPLO 1 Hallar la respuesta en el tiempo del oscilador indicado en la figura 2.1, que tiene una masa cm sT m 2 004898.0= , una frecuencia natural s Wn 1 2832.6= y un coeficiente de amortiguamiento 05.0=ξ . Ante el sismo del 9 de noviembre de 1974, registrado en el Perú. El acelerograma fue obtenido a 80 Km., del epicentro sobre un suelo limo arcilloso. El evento tuvo una magnitud de 6. La aceleración máxima del sismo, en valor absoluto fue de 117 gals (cm/s2 ). El incremento de tiempo con el cual fue obtenido el registro es st 02.0=∆ . • SOLUCIÓN Para utilizar el programa LINEAL se debe determinar el amortiguamiento y la rigidez del sistema, en base a la frecuencia natural y al coeficiente de amortiguamiento. cmTmWkmkW nn /19336619.0004898.0*4786.39/ 22 ===→=
  56. 56. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Figura 2.1 Modelo de un sistema de 1 gdl. cmTsmkcmkc /0030775.0193366.0*004898.0*05.0*222/ ===→= ξξ El período del sistema que se analiza es nWT /2π= = 1 s. Una vez cargado el acelerograma como un vector, en la modalidad consola, se ejecuta el programa lineal. >>load Peru04.dat >>[d,v,a] = lineal (Peru04, 0.004898, 0.00307751136, 0.19336619, 0.02) Es importante tener muy en cuenta las unidades. Si el acelerograma viene en gals. Se debe trabajar todo con cm y s. Así es como se ha procedido en el ejemplo realizado. En la figura 2.2 se indica la respuesta en el tiempo del sistema de 1 gdl., del ejemplo 1. Como se indicó aparece el acelerograma, los desplazamientos, velocidad y aceleración. Se puede hallar las respuestas máximas, en valor absoluto, desde la modalidad consola de la siguiente manera: >>Sd=max(abs(d)) Sd= 2.9842 >>Sv=max(abs(v)) Sv= 23.8650 >>Sa=max(abs(a)) Sa= 213.5134
  57. 57. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Figura 2.2 Respuesta en el tiempo de Ejemplo 1. Se ha denominado Sd, Sv, Sa a la máxima respuesta, en valor absoluto, de los desplazamientos, velocidades y aceleraciones, respectivamente. 2.3 MODELOS DE UN GRADO DE LIBERTAD En el capítulo 1 se presentó un modelo de un sistema de 1 gdl. En la figura 2.1 se mostró otro modelo de 1 gdl. Todo esto, con el objeto de que el lector se familiarice con la forma como se acostumbra representar los sistemas de 1 gdl. Con este antecedente, en la figura 2.3 se indican dos modelos más. A la izquierda se ha dibujado un pórtico de un vano y un piso en el que se ha resaltado la masa, se ha indicado la rigidez y el amortiguamiento. A la derecha se tiene otra forma de presentar un sistema de un grado de libertad, en base a una columna con una masa puntual. Lo importante es que el lector observe que todos ellos, son formas de representar un sistema de 1 gdl. Por su sencillez en el dibujo, se utilizará en el presente capítulo el último modelo compuesto por una columna y la masa puntual.
  58. 58. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Figura 2.3 Modelo de un sistema de un grado de libertad. • EJEMPLO 2 Hallar la respuesta en el tiempo de un sistema cuya masa es 0.0024 Ts2 /cm, la rigidez es 0.023687 T/cm y el amortiguamiento vale 0.000753981 Ts/cm. Ante el sismo utilizado en el ejemplo 1. • SOLUCIÓN El sistema de 1 gdl del ejercicio anterior, tenía un período de vibración de 1 segundo y el de este ejercicio, tiene un período de 2 segundos. Es importante tener esto presente para el tema que se tratará en el próximo apartado. >>load Peru04.dat >>[d,v,a] = lineal (Peru04, 0.0024, 0.000753981, 0.023687, 0.02) La respuesta en desplazamientos, velocidades y aceleraciones, que reporta el MATLAB, al utilizar el programa lineal, se indican en la figura 2.4. Por otra parte, las respuestas máximas son: cmSd 6702.2= . ./0933.15 scmSv = y 2 /5191.129 scmSa = . 2.4 ESPECTROS DE RESPUESTA Por los años de 1915, Naito diseñaba sus estructuras ante sismos considerando como fuerzas laterales una fracción del peso de sus elementos y sus edificaciones tuvieron un buen comportamiento durante el sismo de Tokyo de 1923 lo que no ocurrió con otras edificaciones que colapsaron. A partir de 1930 se reconoció el problema sísmico como un problema de dinámica de estructuras y ya se empezaron a definir modelos numéricos de cálculo, en los que se establecieron bien las variables involucradas. En 1934 Benioff introduce la definición de espectro de respuesta. En 1952, Housner presenta el pseudo espectro de velocidades.
  59. 59. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Figura 2.4 Respuesta en el tiempo de Ejemplo 2. Se define el espectro de respuesta como la respuesta máxima de un conjunto de osciladores de 1 gdl que tienen el mismo amortiguamiento, sometidas a una historia de aceleraciones dadas. Figura 2.5 Esquema de cálculo de los Espectros de Respuesta. En la figura 2.5 se muestra el esquema de cálculo de los espectros de respuesta. A la izquierda aparecen un conjunto de osciladores de 1 gdl, todos ellos tienen 05.0=ξ y cada
  60. 60. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE uno va a ser sometido al sismo cuyo acelerograma se indica en la parte inferior izquierda. En este caso, corresponde al sismo del 9 de noviembre de 1974, utilizado en los ejemplos 1 y 2. En la parte central de la figura 2.5, se tiene la respuesta en el tiempo de desplazamiento, se ha colocado únicamente de dos osciladores, el uno tiene un período de 1 s. (ejemplo 1) y el otro un período de 2 s. (ejemplo 2). Se ha identificado las respuestas máximas en cada uno de ellos, como Sd1 para el sistema con T=1 s., y Sd2 para el sistema con T=2 s. Nótese que Sd1 es negativo ya que se halla en la parte inferior y Sd2 es positivo por estar en la parte superior pero para encontrar el espectro se considera en valor absoluto En la parte derecha, de la figura 2.5 se han colocado los valores de Sd1 y Sd2 asociados a períodos de 1 y 2 s., se han colocado además los desplazamientos máximos correspondientes a los restantes períodos del conjunto de osciladores, la gráfica que resulta de unir las respuestas máximas es el Espectro de Respuesta Elástica de Desplazamientos, ante el sismo del 9 de Noviembre de 1974. En la parte central de la figura 2.5 se pudo haber colocado las respuestas máximas de velocidades o de aceleraciones, con lo que se habría hallado los espectros de respuesta elásticos de velocidad y aceleración, respectivamente. Por lo tanto, se pueden obtener espectros de respuesta elásticos de desplazamientos, velocidades y aceleraciones, encontrando las máximas respuestas en valor absoluto de )(),( . tqtq y )( .. tq . A estas respuestas máximas se las denomina con las letras vd SS , y aS . max )(tqSd = ( 2.8 ) maxv tqS )(&= ( 2.9 ) maxa tqS )(&&= ( 2.10 ) Las respuestas máximas en valor absoluto, de los ejercicios resueltos, se indican en la tabla 2.1. Al graficar dST − se tiene el espectro de desplazamientos, al graficar vST − se tiene el espectro de velocidades y al graficar aST − se tiene el espectro de aceleraciones. Tabla 2.1 Respuestas máximas encontradas en los dos ejercicios realizados. nW T dS vS aS ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ s 1 ( )s ( ).cm ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ s cm. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 . s cm 6.2832 1.00 2.98 23.87 213.51 3.1416 2.00 2.67 15.09 129.52 En la tabla 2.1 se tienen dos puntos de los espectros. Para tener el espectro completo se deben analizar por lo menos 100 sistemas de 1 gdl. 2.5 PROGRAMA ESPECTRO Se ha elaborado un programa en MATLAB denominado ESPECTRO, en base al programa LINEAL. En este programa se ha omitido las sentencias con las cuales se
  61. 61. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE encontraba la respuesta en el tiempo de desplazamiento, velocidad y aceleración, así como se suprimido la sentencia que dibujaba el acelerograma. El programa que encuentra las respuestas paso a paso de un oscilador de 1 gdl pero que no presenta las respuestas en el tiempo se denomina LINEALES. La forma de utilizar el programa ESPECTRO es: >> [Sd,Sv,Sa] = espectro (p,dt,zeda) • Sd Matriz que contiene los desplazamientos espectrales para diferentes valores deξ . • Sv Matriz que contiene las velocidades espectrales para diferentes valores de ξ . • Sa Matriz que contiene las aceleraciones espectrales para diferentes valores de ξ . • p Vector que contiene las aceleraciones del suelo para el cual se hallan los espectros • dt Incremento de tiempo con el cual se halla la respuesta, igual al incremento de tiempo del acelerograma. • zeda Vector que contiene los valores de ξ para los cuales se desean los espectros. El período obtiene los espectros, desde un período inicial igual a 0.01 s., hasta un período máximo de 3.0 s., con un incremento en los períodos de 0.03 s. De tal manera que se calculan los espectros en base a 100 osciladores, si se desea incrementar el número de osciladores se debe disminuir el incremento de período. Cualquiera de estos valores se puede modificar al ingresar al programa espectro.m Antes de utilizar el programa, se debe cargar el archivo de datos en el cual se halla el acelerograma y el vector que contiene los valores, del factor de amortiguamiento para los cuales se desea encontrar los espectros. function [Sd,Sv,Sa]=espectro(p,dt,zeda) % % Espectros de respuesta elástica de: desplazamientos, velocidad y aceleración. % Empleando Método de Aceleración Lineal. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % %------------------------------------------------------------------------------------------------ % [Sd,Sv,Sa]=espectro(p,dt,zeda) %------------------------------------------------------------------------------------------------ % % p Vector que contiene el acelerograma. % dt Intervalo de tiempo con el que se halla la respuesta igual al % valor con que fueron tomados los datos del acelerograma. % zeda Vector que contiene los valores de amortiguamiento. % Sd Valores máximos de los desplazamientos en absoluto. % Sv Valores máximos de las velocidades en absoluto. % Sa Valores máximos de las aceleraciones en absoluto. % DT Intervalo de Periodos = 0.03 s. % Tmin Período mínimo que se considera igual a 0.01 s. % Tmax Período máximo que se considera igual a 3.00 s. % hold off; Tmin=0.01; Tmax=3.0; DT=0.03; n=((Tmax-Tmin)/DT)+1; m=length(zeda); T=linspace(Tmin,Tmax,n)'; W=2*pi./T; K=W.*W; for i=1:m zi=zeda(i); C=(2*zi).*sqrt(K); for j=1:n xj=K(j); yj=C(j); [d,v,a]=lineales(p,1,yj,xj,dt); Sd(i,j)=max(abs(d)); Sv(i,j)=max(abs(v)); Sa(i,j)=max(abs(a));
  62. 62. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE end end subplot (3,1,1); plot (T,Sd); ylabel('Desplazamiento'); title('ESPECTROS DE DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACION RELATIVA') hold on subplot (3,1,2); plot (T,Sv); ylabel('Velocidad'); hold on subplot (3,1,3); plot (T,Sa);xlabel('PERIODO'); ylabel('Aceleracion'); hold off %---fin--- • EJEMPLO 3 Hallar los espectros de respuesta elástica de desplazamiento, velocidad y aceleración del sismo del 9 de noviembre de 1974, para valores de ξ igual a: 0.05; 0.10 y 0.20. • SOLUCIÓN >> load Peru04.dat >> zeda=[0.05; 0.10; 0.20] >> [Sd,Sv,Sa]=espectro (Peru04,0.02,zeda) En la figura 2.6 se ha indicado los espectros que reporta el programa ESPECTRO. Los comentarios que se realizan al respecto, son los siguientes: La identificación del tipo de línea, que se encuentra en la parte inferior de la figura 2.6 se lo realizó con el programa PAINT. El último de los espectros es de aceleración relativa. No se ha encontrado el espectro de aceleración absoluta. La diferencia entre los dos, radica en que el espectro de aceleraciones relativas, se encuentra de la respuesta máxima en valor absoluto de las aceleraciones .. )(tq . En cambio, para hallar de la aceleración absoluta se debe hallar el valor máximo en valor absoluto de .... )()( tUtq g+ , es decir se debe sumar la aceleración del suelo. A medida que los valores de ξ se incrementan, las formas espectrales disminuyen. Al presentar los tres espectros de respuesta de: desplazamiento, velocidad y aceleración relativa, en un solo gráfico, la escala vertical se redujo con lo que se deforma un poco las formas espectrales. Se denominan espectros de respuesta, ya que son espectros para un determinado sismo. Los espectros de diseño se obtienen en base a los espectros de respuesta de varios sismos, como se ilustra en el próximo capítulo.
  63. 63. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Figura 2.6 Espectros de respuesta elástica para el sismo del 9 de noviembre de 1974. 2.6 USO DEL PROGRAMA DEGTRA Un programa muy versátil para el análisis dinámico de sistemas de 1 gdl es el programa DEGTRA desarrollado por Ordaz et al (2002) en el Instituto de Ingeniería de la Universidad Nacional Autónoma de México, por lo que en este apartado se presenta su uso. Una vez que se tiene instalado el programa DEGTRA, lo primero que se debe hacer, es abrir una ventana para lo cual se selecciona el icono que está indicado con una flecha en la figura 2.7. Después se busca el archivo en el cual se halla el acelerograma, para el efecto se selecciona el icono que está indicado en la figura 2.8. Una vez que se ha seleccionado el archivo que contiene el acelerograma se debe indicar el número de líneas inútiles y el incremento de tiempo con el cual fueron grabados estas aceleraciones. En la figura 2.9 están en blanco los casilleros que deben ser llenados para que se cargue el acelerograma.
  64. 64. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Figura 2.7 Abertura de ventana con el programa DEGTRA. Figura 2.8 Selección del archivo que contiene el acelerograma. Normalmente en las primeras líneas del archivo que contiene el acelerograma se tiene información sobre el registro, como la fecha del sismo, la magnitud, el tipo de suelo en que fue registrado el evento, la distancia epicentral, el nombre de la estación sismológica, el incremento de tiempo, la dirección de la componente sísmica, etc. Esta información es muy valiosa pero para fines de cálculo del espectro se convierte en líneas inútiles. Para el ejemplo de la figura 2.9 se tiene 11 líneas inútiles. Por otra parte el valor de sDT 02.0= . Luego de llenar los casilleros en blanco con el número de líneas inútiles y el valor de DT se presiona el icono OK apareciendo inmediatamente el acelerograma que está indicado en la figura 2.10.
  65. 65. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Figura 2.9 Datos que se deben indicar para cargar el acelerograma. Posteriormente se selecciona el icono que calcula el espectro de respuesta que está indicado en la figura 2.10. Luego de presionar el icono que está bajo la flecha aparece el cuadro de datos que se presenta en la figura 2.11 y el usuario debe ratificar o rectificar esa información que aparece. Figura 2.10 Acelerograma y selección del icono que obtiene el espectro de respuesta. Se debe indicar el número de puntos NT que se desean considerar para obtener el espectro. Por defecto considera 50 puntos. Es el número de osciladores de 1 gdl que se desean. Mientras más puntos se considera es mejor pero demanda más tiempo. El segundo dato es el período mínimo a partir del cual se desea hallar el espectro, por defecto este valor es 0.01 s., luego el período final hasta el cual se obtendra el espectro, por defecto se considera 3 s., Estos dos valores son adecuados razón por la que no deben modificarse.
  66. 66. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Figura 2.11 Información que se debe suministrar para encontrar el espectro de respuesta. Finalmente se indica el valor de ξ que en la figura 2.11 se ha notado como Csi . Una vez llenado estos datos se selecciona el tipo de espectro que se desea encontrar. En la figura 2.11 se ha seleccionado el icono que corresponde al espectro de desplazamiento. Figura 2.12 Acelerograma y Espectro de respuesta. En la figura 2.12 se aprecia a la izquierda el acelerograma y a la derecha el espectro de respuesta elástico de desplazamiento, obtenido para 05.0=ξ . 2.7 IMPORTANCIA DE LAS FORMAS ESPECTRALES Los espectros de respuesta proporcionan información muy valiosa para el proyectista estructural, ya que se puede inferir los edificios que van a estar sujetos a mayores fuerzas sísmicas. Por ejemplo, el sismo del 19 de septiembre de 1985, que tuvo una magnitud de 8.1 y una profundidad focal de 33 Km., se registro a 20 Km., de la costa de Guerrero y en el centro de Ciudad de México que se halla a 400 km., de la zona epicentral se tuvo gran daño en las edificaciones de mediana altura que están asociadas a períodos entre 1.5 y 2.5 segundos debido a que en esa zona se tuvo las mayores amplitudes como se aprecia a la derecha de la figura 2.13 en que se presenta el espectro de respuesta elástico de aceleraciones absolutas.

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