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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE SANTO DOMINGO
                 UASD


       FACULTAD DE CIENCIAS
     ESCUELA DE MATEMATICAS




                       Rosa Cristina De Pena Olivares
Rosa Cristina De Pena Olivares
•   Definición de matriz
•   Clasificación de las matrices atendiendo al orden
•   Igualdad de matrices y sus propiedades
•   Operaciones matriciales
•   Traza de una matriz cuadrada
•   Matriz traspuesta y sus propiedades
•   Potencia entera positiva de una matriz cuadrada
•   Propiedades de la suma de matrices
•   Diferencia de matrices
•   Multiplicación de una matriz por un escalar
•   Producto de matrices
•   Propiedades de la multiplicación de matrices
•   Tipos especiales de matrices
•   Ecuaciones que contienen matrices.

                                             Rosa Cristina De Pena Olivares
Presentacion sobre matrices rosa depena
Una matriz
Es un arreglo cuadrado o rectangular de elementos
ordenados en filas y columnas, donde una fila es
cada una de las líneas horizontales de la matriz y
una columna es cada una de las líneas verticales

Regularmente, se denotan a las matrices con letras
mayúsculas mientras que se utilizan las correspondientes
letras en minúsculas para denotar a los elementos de las
mismas.



                                              Rosa Cristina De Pena Olivares
Ejemplo:



   Amxn=




Nota:
m= fila
n= columna

             Rosa Cristina De Pena Olivares
A una matriz con m filas y n columnas se le
denomina matriz m-por n (escrito m×n), y
a m y n dimensiones de la matriz.

Las dimensiones de una matriz siempre se dan con
el número de filas primero y el número de
columnas después. Comúnmente se dice que una
matriz m-por-n tiene un orden de m × n ("orden"
tiene el significado de tamaño).



                                          Rosa Cristina De Pena Olivares
Dos matrices se dice que son iguales si son del mismo
orden y tienen los mismos elementos.

Al elemento de una matriz que se encuentra en la fila i-
ésima y la columna j-ésima se le llama elemento i,j o
elemento (i,j)-iésimo de la matriz. Se vuelve a poner
primero las filas y después las columnas.




                                               Rosa Cristina De Pena Olivares
Se llama matriz de dimensión m x n a un
conjunto de números reales dispuestos en m
filas y n columnas de la siguiente forma:




                                      Rosa Cristina De Pena Olivares
Rosa Cristina De Pena Olivares
Rosa Cristina De Pena Olivares
Rosa Cristina De Pena Olivares
Rosa Cristina De Pena Olivares
Matriz Nula
Es aquella matriz cuyos
elementos son iguales a cero
            Ejemplo:




                                  Rosa Cristina De Pena Olivares
Matriz Fila
Es aquella matriz que tiene una sola fila.
Ejemplo:


La matriz es una matriz 1×9, o un vector fila
con 9 elementos.

                      Matriz Columna
Es aquella matriz que tiene una sola columna
Ejemplo:
                             Amx1=



                                                Rosa Cristina De Pena Olivares
Matriz Nula


Es aquella matriz cuyos elementos
son iguales a cero
Ejemplo:




                                    Rosa Cristina De Pena Olivares
SI !!

 Podemos sumar, restar, y
multiplicar por un escalar y
   multiplicar matrices.

                          Rosa Cristina De Pena Olivares
Rosa Cristina De Pena Olivares
Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener
el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si
una matriz es de orden 3 x 2 y otra de 3 x 3, no se
pueden sumar ni restar.

Esto es así ya que, tanto para la suma como para la
resta, se suman o se restan los términos que ocupan
el mismo lugar en las matrices.

Veamos ejemplos de Adicción y Sustracción



                                            Rosa Cristina De Pena Olivares
Propiedades de la suma de matrices

Existe 0mxn ε Rmxn , tal que Amxn + 0mxn =
Amxn
La matriz 0mxn es aquella cuyos elementos son
todos iguales a cero, y a la que llamaremos Matriz
Cero o Matriz Nula. Se presentara por 0n, si m = n.

La matriz cero es el elemento identidad para la suma
de matrices.
        =                         =



                                           Rosa Cristina De Pena Olivares
En el conjunto Rmxn la suma de matrices es una operación:

 *Conmutativa por ser los elementos de las matrices números
reales y por verificarse la conmutatividad de la suma de números
reales.
 Es decir:
 Amxn + Bmxn = Bmxn +Amxn


* Asociativa, es decir, si A, B y C ε Rmxn, entonces:
 (A + B) + C = A+ (B + C)

*Toda matriz Amxn ε Rmxn tiene una inversa aditiva: -Amxn, tal
que:
Amxn + (-Amxn) = 0mxn

                                                        Rosa Cristina De Pena Olivares
Sumamos cada término con su correspondiente
en el espacio en la otra matriz.




                                      Rosa Cristina De Pena Olivares
Operaciones Con Matrices

Adición:

A+B = [aij ]mxn + [bij]mxn = [aij + bij]mxn

Nota:
Donde: i→ es la i-esima fila
        j→ es la j-esima columna



                                              Rosa Cristina De Pena Olivares
Ejemplo
Efectuar la siguiente suma:




                               Rosa Cristina De Pena Olivares
Rosa Cristina De Pena Olivares
Si A y B ε Rmxn, entonces la diferencia de A y B,
que se denota por :
A - B es una matriz C ε Rmxn, tal que C es la
suma de la matriz A y la negativa de B, es decir:

C = A – B = A + (-B)




                                            Rosa Cristina De Pena Olivares
Para realizar la sustracción de matrices
procedemos como en la suma. Pero sumamos
al minuendo el opuesto del sustraendo.

                                     Rosa Cristina De Pena Olivares
Sustracción o Diferencia:
A-B = A + (-B)
A-B = [aij]mxn + [-bij]mxn = [aij -
bij]mxn




 No necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas
 tienen que ser cuadradas. Sin embargo, en una operación
 definida el orden de las matrices a operar debe ser el mismo
 para poder efectuar la adición o sustracción matricial.


                                                   Rosa Cristina De Pena Olivares
Ejemplo de Sustracción de matrices




                                      Rosa Cristina De Pena Olivares
Propiedades de la Igualdad de
           matrices


A=A                     Propiedad Reflexiva

[A=B]→[B=A]             Propiedad Simétrica

Si [A=B]^ [B=C]→[A=C] Propiedad Transitiva




                                     Rosa Cristina De Pena Olivares
Rosa Cristina De Pena Olivares
Para poder multiplicar dos matrices AB, la matriz A
 debe tener el mismo número de columnas que filas
posea B. La matriz resultante del producto quedará
con el mismo número de filas de la primera y con el
mismo número de columnas de la segunda.

Es decir, si tenemos una matriz 2 x 3 y la
multiplicamos por otra de orden 3 x 5, la matriz
resultante será de orden 2 x 5.
(2 x 3) x (3 x 5) = (2 x 5)


                                           Rosa Cristina De Pena Olivares
El producto de matrices no cumple la propiedad
conmutativa. Si quisiéramos multiplicar una matriz de
orden 3x5 por otra de 2x3 no podríamos efectuar la
operación, puesto que la primera matriz no tiene el
mismo número de columnas que filas la segunda.

Supongamos que A = (aij ) y B = (bij ) son matrices
tales que el número de columnas de A coincide con el
número de filas de B; es decir, A es una
matriz mxp y B una matriz p x n.

Entonces el producto AB es la matriz mxn cuyos
elementos ij se obtiene multiplicando la fila i de A por
la columna j de B.
                                              Rosa Cristina De Pena Olivares
Rosa Cristina De Pena Olivares
Propiedades de la multiplicación de matrices

a) A + (B + C) = A.B + A.C      Propiedad Distributiva
b) (A +B). C = A.C + B.C        Propiedad Distributiva
c) A (B.C) = (A.B) C            Propiedad Asociativa
d) A.B ≠ B.A                    No se cumple la
                                 Propiedad Conmutativa
e) Si A.B = 0                    Esto no implica
                                 necesariamente que
                                 A = 0 o que B = 0
f) Si A.B = A.C                 Esto no implica
                                necesariamente que B = C
                                              Rosa Cristina De Pena Olivares
1)




2)




     Rosa Cristina De Pena Olivares
Rosa Cristina De Pena Olivares
El producto de un escalar k por la matriz A,
escrito k·A o simplemente kA, es la matriz obtenida
multiplicando cada elemento de A por k:




                                             Rosa Cristina De Pena Olivares
Rosa Cristina De Pena Olivares
A partir de las matrices dadas , realizar las
    operaciones indicadas.


    A=                   B=




C




                                       Rosa Cristina De Pena Olivares
1) A+2B




          Rosa Cristina De Pena Olivares
2)




-( 3        -   4   )




                        Rosa Cristina De Pena Olivares
3)   AD =




            Rosa Cristina De Pena Olivares
4)




 x y   x      6  4        x + y
5     =  − 1 2 w +  z + w      
  z w                       3 

  Sencillo:
  Mediante la Igualdad de Matrices.
  Si quieres hallar x, y, z, w?


                                      Rosa Cristina De Pena Olivares
5 x   5y    x+4       x + y + 6
5 z      = 
      5 w   z + w − 1 2w + 3  

        5y = x + y + 6                5 z = z +w −1
        5y − y = x + 6                5 z −z = w −1
        4y = x + 6                    4 z =1 − =0
                                              1
        4 y = 1+ 6 = 7                   0
                                      z=   =0
                                         4
             7                        z =0
        y=
             4


El conjunto solución es:
(x, y, z, w)=(1,7/4,0,1)


                                        Rosa Cristina De Pena Olivares
Rosa Cristina De Pena Olivares
La traza de una matriz cuadrada A de nxn está
definida como la suma de los elementos de la
diagonal principal de A.




                                           Rosa Cristina De Pena Olivares
La traza de la matriz A
será igual:
4 + 9 + 8 = 21.



                          Rosa Cristina De Pena Olivares
Rosa Cristina De Pena Olivares
En una matriz triangular superior los elementos
situados por debajo de la diagonal principal son
ceros.




                                          Rosa Cristina De Pena Olivares
En una matriz triangular inferior los elementos situados
por encima de la diagonal principal son ceros




                                             Rosa Cristina De Pena Olivares
Una matriz cuadrada se dice que es diagonal si todos
los elementos que no están en la diagonal principal
son cero. La matriz identidad es un caso particular de
matriz diagonal.




                                             Rosa Cristina De Pena Olivares
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos
excepto los de la diagonal principal que son iguales a uno.




                                                    Rosa Cristina De Pena Olivares
Es toda matriz cuyos elementos de su diagonal
principal toman el mismo valor, y los restantes
elementos tanto arriba como debajo de la diagonal
principal son ceros. La matriz identidad es un caso
particular de una matriz diagonal.




                                           Rosa Cristina De Pena Olivares
Se llama matriz simétrica a toda matriz cuadrada
 que coincide con su transpuesta. En una matriz
simétrica cualquier par de elementos equidistante
respecto a la diagonal principal son iguales.




                                          Rosa Cristina De Pena Olivares
Se llama matriz anti simétrica a toda matriz
cuadrada      que coincide con la opuesta de su
transpuesta y cuya diagonal principal es cero. En
una matriz simétrica cualquier par de elementos
equidistante respecto a la diagonal principal son
opuestos.
                          0   7 − 3
                          − 7 0  1
                                   
                           3 −1 0 
                                   


                                          Rosa Cristina De Pena Olivares
Rosa Cristina De Pena Olivares
(A )
  t t
        =A
( A + B) t = At + B t
( kA) t = kA t
( AB ) t = B t A t
                        Rosa Cristina De Pena Olivares
4 1 
     A=
        2 − 1
              

   4( 4) + 1( 2) 4(1) + 1( − 1) 
A =
 2

    2( 4) − 1( 2) 2(1) − 1( − 1) 
                                  

         2
     A
                                      Rosa Cristina De Pena Olivares
4 1 
        A=     
          2 − 1

3
A   =    A   2




                    Rosa Cristina De Pena Olivares
18( 4) + 3( 2) 18(1) + 3( − 1) 
A =
 3
                                   
    6( 4) + 3( 2) 6(1) + 3( − 1) 




                                 Rosa Cristina De Pena Olivares
Rosa Cristina De Pena Olivares
La ecuación matricial:
                    A+X = B
 donde A y B son matrices del mismo orden tienen la
solución única:
                    X = B + (-A)

La ecuación matricial:
                 AX= B
donde A y B existen para    X = A −1 B
                  siempre que A −1 exista.
La ecuación matricial:
                XA = B
tiene solución única X = BA −1 siempre que A −1 exista.


                                               Rosa Cristina De Pena Olivares
 2 4      2 0
 6 7  −X =    
          7 3
Consideramos X como la matriz:




                                 Rosa Cristina De Pena Olivares
2 4  a b   2 0
    6 7  −  c d  = 7 3
                      




COMPROBACION




                               Rosa Cristina De Pena Olivares
2)
         5 2  3 − 2
        X     = 4 − 5
         7 3         



     5a + 7b = 3    2a + 3b = −2
     5c + 7 d = 4   2c + 3d = − 5

                                Rosa Cristina De Pena Olivares
1)5a + 7b = 3
  2)2a + 3b = −2


1)5a + 7b = 3       Por (2 ) →10a +14b = 6
2)2a + 3b = −2      Por (− ) →−10a −15b = 10
                          5                                − b = 16   → = −16
                                                                       b

 5a = 3 − 7b = 3 − 7(−16) = 3 + 112 = 115
 a = 23

3)5c + 7 d = 4       Por ( 2 ) →    10c + 14d = 8
4)2c + 3d = −5       Por ( − 5) →   − 10c − 15d = 25   − d = 33 → d = −33

5c = 4 − 7 d = 4 − 7(−33) = 4 + 231 = 235
c = 47

                      a b   23 − 16 
                   X =     = 47 − 33
                      c d           

                                                                      Rosa Cristina De Pena Olivares

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Presentacion sobre matrices rosa depena

  • 1. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE SANTO DOMINGO UASD FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMATICAS Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 2. Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 3. Definición de matriz • Clasificación de las matrices atendiendo al orden • Igualdad de matrices y sus propiedades • Operaciones matriciales • Traza de una matriz cuadrada • Matriz traspuesta y sus propiedades • Potencia entera positiva de una matriz cuadrada • Propiedades de la suma de matrices • Diferencia de matrices • Multiplicación de una matriz por un escalar • Producto de matrices • Propiedades de la multiplicación de matrices • Tipos especiales de matrices • Ecuaciones que contienen matrices. Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 5. Una matriz Es un arreglo cuadrado o rectangular de elementos ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales Regularmente, se denotan a las matrices con letras mayúsculas mientras que se utilizan las correspondientes letras en minúsculas para denotar a los elementos de las mismas. Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 6. Ejemplo: Amxn= Nota: m= fila n= columna Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 7. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por n (escrito m×n), y a m y n dimensiones de la matriz. Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después. Comúnmente se dice que una matriz m-por-n tiene un orden de m × n ("orden" tiene el significado de tamaño). Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 8. Dos matrices se dice que son iguales si son del mismo orden y tienen los mismos elementos. Al elemento de una matriz que se encuentra en la fila i- ésima y la columna j-ésima se le llama elemento i,j o elemento (i,j)-iésimo de la matriz. Se vuelve a poner primero las filas y después las columnas. Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 9. Se llama matriz de dimensión m x n a un conjunto de números reales dispuestos en m filas y n columnas de la siguiente forma: Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 10. Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 11. Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 12. Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 13. Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 14. Matriz Nula Es aquella matriz cuyos elementos son iguales a cero Ejemplo: Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 15. Matriz Fila Es aquella matriz que tiene una sola fila. Ejemplo: La matriz es una matriz 1×9, o un vector fila con 9 elementos. Matriz Columna Es aquella matriz que tiene una sola columna Ejemplo: Amx1= Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 16. Matriz Nula Es aquella matriz cuyos elementos son iguales a cero Ejemplo: Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 17. SI !! Podemos sumar, restar, y multiplicar por un escalar y multiplicar matrices. Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 18. Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 19. Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 x 2 y otra de 3 x 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices. Veamos ejemplos de Adicción y Sustracción Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 20. Propiedades de la suma de matrices Existe 0mxn ε Rmxn , tal que Amxn + 0mxn = Amxn La matriz 0mxn es aquella cuyos elementos son todos iguales a cero, y a la que llamaremos Matriz Cero o Matriz Nula. Se presentara por 0n, si m = n. La matriz cero es el elemento identidad para la suma de matrices. = = Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 21. En el conjunto Rmxn la suma de matrices es una operación: *Conmutativa por ser los elementos de las matrices números reales y por verificarse la conmutatividad de la suma de números reales. Es decir: Amxn + Bmxn = Bmxn +Amxn * Asociativa, es decir, si A, B y C ε Rmxn, entonces: (A + B) + C = A+ (B + C) *Toda matriz Amxn ε Rmxn tiene una inversa aditiva: -Amxn, tal que: Amxn + (-Amxn) = 0mxn Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 22. Sumamos cada término con su correspondiente en el espacio en la otra matriz. Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 23. Operaciones Con Matrices Adición: A+B = [aij ]mxn + [bij]mxn = [aij + bij]mxn Nota: Donde: i→ es la i-esima fila j→ es la j-esima columna Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 24. Ejemplo Efectuar la siguiente suma: Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 25. Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 26. Si A y B ε Rmxn, entonces la diferencia de A y B, que se denota por : A - B es una matriz C ε Rmxn, tal que C es la suma de la matriz A y la negativa de B, es decir: C = A – B = A + (-B) Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 27. Para realizar la sustracción de matrices procedemos como en la suma. Pero sumamos al minuendo el opuesto del sustraendo. Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 28. Sustracción o Diferencia: A-B = A + (-B) A-B = [aij]mxn + [-bij]mxn = [aij - bij]mxn No necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas tienen que ser cuadradas. Sin embargo, en una operación definida el orden de las matrices a operar debe ser el mismo para poder efectuar la adición o sustracción matricial. Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 29. Ejemplo de Sustracción de matrices Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 30. Propiedades de la Igualdad de matrices A=A Propiedad Reflexiva [A=B]→[B=A] Propiedad Simétrica Si [A=B]^ [B=C]→[A=C] Propiedad Transitiva Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 31. Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 32. Para poder multiplicar dos matrices AB, la matriz A debe tener el mismo número de columnas que filas posea B. La matriz resultante del producto quedará con el mismo número de filas de la primera y con el mismo número de columnas de la segunda. Es decir, si tenemos una matriz 2 x 3 y la multiplicamos por otra de orden 3 x 5, la matriz resultante será de orden 2 x 5. (2 x 3) x (3 x 5) = (2 x 5) Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 33. El producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa. Si quisiéramos multiplicar una matriz de orden 3x5 por otra de 2x3 no podríamos efectuar la operación, puesto que la primera matriz no tiene el mismo número de columnas que filas la segunda. Supongamos que A = (aij ) y B = (bij ) son matrices tales que el número de columnas de A coincide con el número de filas de B; es decir, A es una matriz mxp y B una matriz p x n. Entonces el producto AB es la matriz mxn cuyos elementos ij se obtiene multiplicando la fila i de A por la columna j de B. Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 34. Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 35. Propiedades de la multiplicación de matrices a) A + (B + C) = A.B + A.C Propiedad Distributiva b) (A +B). C = A.C + B.C Propiedad Distributiva c) A (B.C) = (A.B) C Propiedad Asociativa d) A.B ≠ B.A No se cumple la Propiedad Conmutativa e) Si A.B = 0 Esto no implica necesariamente que A = 0 o que B = 0 f) Si A.B = A.C Esto no implica necesariamente que B = C Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 36. 1) 2) Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 37. Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 38. El producto de un escalar k por la matriz A, escrito k·A o simplemente kA, es la matriz obtenida multiplicando cada elemento de A por k: Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 39. Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 40. A partir de las matrices dadas , realizar las operaciones indicadas. A= B= C Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 41. 1) A+2B Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 42. 2) -( 3 - 4 ) Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 43. 3) AD = Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 44. 4) x y   x 6  4 x + y 5  =  − 1 2 w +  z + w   z w    3  Sencillo: Mediante la Igualdad de Matrices. Si quieres hallar x, y, z, w? Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 45. 5 x 5y  x+4 x + y + 6 5 z =   5 w  z + w − 1 2w + 3   5y = x + y + 6 5 z = z +w −1 5y − y = x + 6 5 z −z = w −1 4y = x + 6 4 z =1 − =0 1 4 y = 1+ 6 = 7 0 z= =0 4 7 z =0 y= 4 El conjunto solución es: (x, y, z, w)=(1,7/4,0,1) Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 46. Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 47. La traza de una matriz cuadrada A de nxn está definida como la suma de los elementos de la diagonal principal de A. Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 48. La traza de la matriz A será igual: 4 + 9 + 8 = 21. Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 49. Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 50. En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros. Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 51. En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 52. Una matriz cuadrada se dice que es diagonal si todos los elementos que no están en la diagonal principal son cero. La matriz identidad es un caso particular de matriz diagonal. Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 53. Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a uno. Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 54. Es toda matriz cuyos elementos de su diagonal principal toman el mismo valor, y los restantes elementos tanto arriba como debajo de la diagonal principal son ceros. La matriz identidad es un caso particular de una matriz diagonal. Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 55. Se llama matriz simétrica a toda matriz cuadrada que coincide con su transpuesta. En una matriz simétrica cualquier par de elementos equidistante respecto a la diagonal principal son iguales. Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 56. Se llama matriz anti simétrica a toda matriz cuadrada que coincide con la opuesta de su transpuesta y cuya diagonal principal es cero. En una matriz simétrica cualquier par de elementos equidistante respecto a la diagonal principal son opuestos. 0 7 − 3 − 7 0 1    3 −1 0    Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 57. Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 58. (A ) t t =A ( A + B) t = At + B t ( kA) t = kA t ( AB ) t = B t A t Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 59. 4 1  A=  2 − 1  4( 4) + 1( 2) 4(1) + 1( − 1)  A = 2  2( 4) − 1( 2) 2(1) − 1( − 1)   2 A Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 60. 4 1  A=  2 − 1 3 A = A 2 Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 61. 18( 4) + 3( 2) 18(1) + 3( − 1)  A = 3   6( 4) + 3( 2) 6(1) + 3( − 1)  Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 62. Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 63. La ecuación matricial: A+X = B donde A y B son matrices del mismo orden tienen la solución única: X = B + (-A) La ecuación matricial: AX= B donde A y B existen para X = A −1 B siempre que A −1 exista. La ecuación matricial: XA = B tiene solución única X = BA −1 siempre que A −1 exista. Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 64.  2 4  2 0 6 7  −X =    7 3 Consideramos X como la matriz: Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 65. 2 4  a b   2 0  6 7  −  c d  = 7 3       COMPROBACION Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 66. 2) 5 2  3 − 2 X  = 4 − 5 7 3    5a + 7b = 3 2a + 3b = −2 5c + 7 d = 4 2c + 3d = − 5 Rosa Cristina De Pena Olivares
  • 67. 1)5a + 7b = 3 2)2a + 3b = −2 1)5a + 7b = 3 Por (2 ) →10a +14b = 6 2)2a + 3b = −2 Por (− ) →−10a −15b = 10 5 − b = 16 → = −16 b 5a = 3 − 7b = 3 − 7(−16) = 3 + 112 = 115 a = 23 3)5c + 7 d = 4 Por ( 2 ) → 10c + 14d = 8 4)2c + 3d = −5 Por ( − 5) → − 10c − 15d = 25 − d = 33 → d = −33 5c = 4 − 7 d = 4 − 7(−33) = 4 + 231 = 235 c = 47 a b   23 − 16  X =  = 47 − 33 c d    Rosa Cristina De Pena Olivares