numeros reales secundaria

1. Matemáticas 3º ESO
1. Números reales
 Clasificación de los números reales
 Aproximación de decimales
 Intervalos
2. Raíces y potencias
 Notación científica. Operaciones
 Radicación.
 Propiedades de las potencias de exponente racional
 Radicales equivalentes
 Simplificar radicales
 Extracción de factores de un radical
 Introducción de factores en un radical
3. Operaciones con radicales
 Suma y resta de radicales
 Multiplicación de radicales
 División de radicales
 Potencia de radicales
 Raíz de un radical
 Racionalización

2. Matemáticas 3º ESO
1. Números reales
 Clasificación de los números reales
 Aproximación de decimales
La aproximación de los números reales se puede obtener mediante dos
procedimientos: truncamiento y redondeo.
Truncamiento: el número se obtiene al suprimir las cifras a partir del
orden de aproximación.
Por ejemplo si se aproxima por truncamiento el número 3,123432 a la
milésima es 3,123 no se tiene en cuenta la cifra siguiente en el orden
de aproximación
Redondeo: el número se obtiene al suprimir las cifras a partir del orden
de aproximación pero teniendo en cuenta que si el siguiente número es
inferior a 5, se queda igual; y que si es igual o superior a 5, se suma 1.
Por ejemplo, si se aproxima por redondea 3, 123432 a la milésima es
3,123. Pero si aproximamos a la milésima por redondeo el número
3, 1236 será 3,124

3. Matemáticas 3º ESO
 Intervalos
2. Raíces y potencias
 Notación científica
La notación científica es muy útil para expresar números muy grandes o muy
pequeños.
Tiene tres partes:
 Una parte entera de una sola cifra
 Las otras cifras significativas como la parte decimal
 Una potencia de base diez que da el orden de magnitud de la cifra
Ejemplo:
Productos
Vemos que tanto el primer caso como el segundo son inmediatos esto pasa

4. Matemáticas 3º ESO
siempre con los productos, sin embargo habría que prestar atención al segundo
ejemplo en el que hay que correr la coma hacia la izquierda y aumentar el
exponencial para que la notación siga siendo científica.
Cocientes
Sumas y restas
Fijémonos en el método seguido: primero hemos puesto todas los número
multiplicados por la misma potencia de 10 y luego los hemos sumado pasando
después a notación científica.
 Radicación
La radicación es la operación inversa a la potenciación.
abab nn

Raíz Potencia
b : raíz
a : radicando
n : índice de la raíz
b : base
a : potencia
n : exponente
Raíz de índice par:
 Tiene la solución positiva y negativa, por ejemplo:   255525
2

 No existe si el radicando es negativo.  25 no existe.
Raíz de índice impar:
 Existe tanto si el radicando es positivo como negativo.

5. Matemáticas 3º ESO
 La solución es positiva si el radicando es positivo. 8228 33

 La solución es negativa si el radicando es negativo.
  8228
33

Un radical también se puede expresar como una potencia de exponente
fraccionario:
n
m
n m
aa  Por lo tanto podemos aplicar las propiedades de las
potencias a los radicales si expresamos los radicales como potencias de
exponente fraccionario, tal como se expresa en la siguiente tabla:
 Propiedades de las potencias de exponente racional
Multiplicación de potencias de la misma base
q
p
n
m
q
p
n
m
aaa


División de potencias de la misma base
q
p
n
m
q
p
n
m
a
a
a 

Potencia de potencia
q
p
n
m
q
p
n
m
aa









 Radicales equivalentes
Los radicales equivalentes son diferentes expresiones de un mismo número..
Se obtienen multiplicando índice y exponente por un mismo número.
16 88 44 2
2222 
 Simplificar radicales
Vamos a simplificar
10
243
Se descompone el radicando como producto de factores primos. Si
descomponemos el número 243 como producto de factores primos obtenemos:
243=35
.
 Podemos simplificar el radical expresándolo como potencia de
exponente fraccionario y simplificando la fracción
2
1
10
5
 , volviendo a
escribir la potencia como radical.
3333243 2
1
10
5
10 510


6. Matemáticas 3º ESO
 Pero también lo podemos hacer dividiendo índice y exponente entre el
mismo número, en el ejemplo dividimos entre 5:
333 5
10
5510 5

 Extracción de factores de un radical
Solamente se pueden extraer factores de un radical cuando el exponente es
mayor que el índice, es decir:
nman m

Dividimos el exponente entre el índice (sin calculadora), fuera del radical se
escribe la base elevada al cociente y dentro del radical la base elevada al
resto:
3 223 8
444 
 Introducción de factores en un radical
Para introducir un factor dentro de un radical, basta con elevarlo al índice de la
raíz:
3 233 2
abab 
Ejemplo: 5 355 3
3434 
3. Operaciones con radicales
 Suma y resta de radicales
Esta operación sólo se puede realizar entre radicales semejantes (los que
tienen el mismo índice y el mismo radicando). Se pone el radical (como factor
común) y se suman los coeficientes.
Ejemplo: 282)635(262325 
En algunos casos los radicales semejantes no se ven tan fácilmente, lo que
tenemos que hacer es descomponer el radicando como producto de factores
primos y extraer factores del radical, obteniendo así radicales semejantes,
veamos un ejemplo:
  333333
3 336 23 4
3363
59532155352555
535255
1355225625
 
 
 
sumar
extraer
rdescompone

7. Matemáticas 3º ESO
 Multiplicación de radicales
 Con el mismo índice: es un radical con el mismo índice y como
radicando el producto de radicandos. nnn
baba 
Ejemplo: 3333
204545 
 Con distinto índice: mn
ba 
1) El m.c.m de los índices: m.c.m(n,m)= p, es el índice del nuevo
radical.
2) Elevar cada radicando al cociente de p entre cada índice
3) Multiplicar los radicandos
p
m
p
n
p
ba 
Ejemplo: 12 63412
2
12
4
12
3
12
43
532532532 
 División de radicales
 Con el mismo índice: es un radical con el mismo índice y como
radicando el cociente de radicandos. nnn
b
a
ba :
Ejemplo: 3333
204545 
 Con distinto índice: mn
ba 
4) El m.c.m de los índices: m.c.m(n,m)= p, es el índice del nuevo
radical.
5) Elevar cada radicando al cociente de p entre cada índice
6) Dividir los radicandos
p
m
p
n
p
ba :
Ejemplo: 12
3
4
12
4
12
3
12
4
3
5
2
5
2
5
2


8. Matemáticas 3º ESO
 Potencia de radicales
Se eleva el radicando al exponente
  n mm
n
aa  Ejemplo:   3 22
3
55 
 Raíz de un radical
Se multiplican los índices
mnn m
aa 
 Ejemplo: 6323
555  
 Racionalización
Está operación consiste en transformar una fracción que tenga uno o más
radicales en el denominador en otra fracción sin radicales en el denominador.
Podemos tener tres casos diferentes:
a) En el denominador tenemos un radical de índice 2: multiplicamos
numerador y denominador por el radical de índice 2 del denominador
  b
ba
b
ba
b
b
b
a
b
a 


 2
Ejemplo:
  3
34
3
34
3
3
3
4
3
4
2




b) En el denominador tenemos un radical de índice n > 2: multiplicamos
numerador y denominador por el radical de índice n del denominador,
cuya base del radicando este elevada al índice menos el exponente.
b
ba
b
ba
b
ba
bb
ba
b
b
b
a
b
a n nm
n n
n nm
n mnm
n nm
n mnm
n nm
n mn
n mn
n mn m
















Ejemplo:
4
43
4
43
4
4
4
3
4
3 5 2
5 23
5 2
5 35
5 35
5 35 3






c) En el denominador tenemos una suma o diferencia de dos o más
radicales de índice 2: multiplicamos numerador y denominador por el
conjugado del denominador, y realizamos el producto de fracciones.
 
   
 
cb
cba
cb
cba
cb
cb
cb
a
cb
a












22
Ejemplo:
 
 
   
34
263
236
263
26
263
26
26
26
3
26
3
22















9. Matemáticas 3º ESO
1. Suma los siguientes radicales:
2. Realiza las siguientes operaciones y simplifica:
3. Opera y expresa como una sola raíz:
4. Opera y simplifica:

10. Matemáticas 3º ESO
5. Simplifica los siguientes radicales:
6. Calcula y simplifica:
7. Simplifica los siguientes radicales:
8. Racionaliza el denominador y simplifica
9. Racionaliza, opera y simplifica