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Programación de aula    Unidad 3        Potencias y raíz cuadrada     INTRODUCCIÓN     Los contenidos de este tema se debe...
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Programación de aula      CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS       Competencia lingüística...
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Sugerencias didácticas      22. Podemos utilizar este ejercicio para hacer una refle-      6. Raíz cuadrada entera        ...
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Actividades de refuerzo                                     Unidad 3        Potencias y raíz cuadrada          ORIENTACION...
ACTIVIDADES de REFUERZO                      Unidad 3     Potencias y raíz cuadrada1. Relaciona cada piloto con su moto.  ...
Actividades de ampliación                                       Unidad 3                 Potencias y raíz cuadrada       O...
ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN                          Unidad 3          Potencias y raíz cuadrada 1. Escribe las siguientes p...
PROPUESTA de EVALUACIÓN                                                Unidad 3               Potencias y raíz cuadrada   ...
Propuesta de evaluación                            Unidad 3             Potencias y raíz cuadrada SOLUCIONES DE LA PROPUES...
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Soluciones tema 3

  1. 1. GU Í A DI DÁC T IC A U N I DA D 3 Potencias y raíz cuadrada ESO 1 CONTENIDO1 Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Sugerencias didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 *Esta programación podrás encontrarla también en el CD Programación
  2. 2. Programación de aula Unidad 3 Potencias y raíz cuadrada INTRODUCCIÓN Los contenidos de este tema se deben dar una vez que los alumnos dominen las operaciones básicas (suma, resta, mul- tiplicación y división) con los números enteros. Las potencias y las raíces cuadradas son conceptos instrumentales que se van a utilizar profusamente en toda la secundaria, por lo que conviene que se capten correctamente. El concepto de potencia se puede introducir como una forma abreviada de escribir multiplicaciones de un mismo ente- ro. Conviene relacionar el estudio de las potencias con la geometría, las potencias de exponente 2 con los cuadrados y las de exponente 3 con los cubos. La aplicación de la definición de potencia para las potencias de base negativa, junto con las reglas de los signos, debe llevarnos a la relación del signo de la potencia con la paridad del exponente. El concepto de raíz no es nuevo para los alumnos. En esta unidad no se explica el algoritmo para su cálculo, lo que se pretende es que las calculen por tanteo, entendiendo la raíz cuadrada como la operación inversa de elevar al cuadrado. Conviene empezar con el cálculo de raíces cuadradas exactas, y una vez dominado, pasar al cálculo de raíces cuadra- das enteras mediante aproximación de cuadrados, calculando el resto. CRITERIOS COMPETENCIAS OBJETIVOS DE EVALUACIÓN BÁSICAS 1. Entender los conceptos de poten- 1.1 Distinguir la base y el expo- cia y raíz cuadrada, así como uti- nente de una potencia entera. lizar e interpretar las potencias y 1.2 Operar con potencias de pro- raíces cuadradas en expresiones ductos y cocientes, con produc- matemáticas sencillas, manipu- tos y cocientes de potencias de lando los algoritmos de cálculo la misma base o con potencias • Lingüística necesarios. de potencias. • Matemática 1.3 Calcular la raíz exacta de un • Interacción con el mundo físico número. • Social y ciudadana 1.4 Calcular la raíz cuadra entera • Tratamiento de la información y de un número y su resto. competencia digital • Aprender a aprender 2. Resolver problemas relacionados 2.1 Plantear y resolver problemas con la vida cotidiana describiendo utilizando potencias y/o raíces verbalmente el proceso elegido y cuadradas. las soluciones obtenidas, y utili- zando correctamente las poten- cias y las raíces cuadradas. CONTENIDOS • Potencia de exponente natural. Base y exponente. • Reducción de expresiones sencillas a una sola potencia. • Potencias de exponentes 2 y 3: cuadrados y cubos. • Reducción de expresiones complejas a una sola potencia. • Potencias de base de un número negativo. • Cuadrados perfectos. • Calcular el signo de potencias de base negativa. • Raíz cuadrada exacta. • Potencia de un producto y de un cociente. • Cálculo de raíces exactas. • Producto y cociente de potencias de igual base. • Raíz cuadrada entera, resto de la raíz. • Base y exponente de productos y cocientes de potencias • Cálculo de raíz cuadrada entera y su resto. de la misma base. • Resolución de problemas que impliquen el uso de poten- • Potencias de exponente 1 y 0. cias y raíces. • Potencia de una potencia, base y exponente.2 Unidad 3 Potencias y raíz cuadrada
  3. 3. Programación de aulaORIENTACIONES METODOLÓGICAS1. Conocimientos previosLos alumnos deben dominar todo lo relativo a las operaciones con números naturales y números enteros para com-prender el concepto de potencia.2. Previsión de dificultadesLa principal dificultad que van a encontrar los alumnos es la aplicación simultánea, en un mismo ejercicio, de dos o máspropiedades de las potencias. Para evitarlo sería conveniente dedicar una sesión a realizar las actividades 28, 34, 37 y65 a 68.3. Vinculación con otras áreasEn los epígrafes se detallará de una forma más concreta la vinculación con otras áreas, aunque podemos afirmar quelas potencias y la aplicación de sus propiedades para el cálculo están presentes en todos los campos de la ciencia, la eco-nomía, la técnica y la sociedad.4. Esquema general de la unidadEsta unidad es fundamental en el desarrollo algebraico de toda la etapa. Captar correctamente los conceptos de poten-cias y raíz cuadrada evita posibles errores en el futuro. Se va a ver la potencia como una multiplicación abreviada, y laraíz cuadrada, como la operación inversa de la potencia de exponente 2. Se puede considerar que la unidad está dividi-da en dos partes, una relacionada con potencias y otra con raíces cuadradas.Comienza la unidad con la definición de poten-cia como una expresión abreviada de una mul- POTENCIAS Y RAÍZtiplicación de factores iguales, definiendo la CUADRADAbase y el exponente de la potencia. Se resaltanlas potencias de exponentes 2 y 3, los cuadra-dos y cubos, y las potencias de base negativa.A continuación se expone cómo operar con las Potencias de Cuadrados perfectospotencias de un producto y de un cociente exponente natural Raíz cuadrada exactaexpandiéndolas a productos y cocientes depotencias. Raíz cuadrada enteraSeguidamente se enseña a trabajar con el pro- Operaciones Potencia de Restoducto y el cociente de potencias de la misma con potencias un productobase y a pasarlos a una única potencia de la mis- de la mismama base. Como caso particular aparecen las basepotencias de exponente 1 y 0. Las potencias de Potencia depotencias permiten obtener una única potencia. un cocienteUna vez terminada la parte de potencias se pasaa definir cuadrado perfecto y la raíz cuadrada Potencia deexacta como la base de un cuadrado perfecto. una potenciaSi el radicando no es un cuadrado perfecto, sepuede definir la raíz cuadrada entera y el res-to de la raíz.5. TemporalizaciónSe propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en ocho sesiones: 1.ª Introducción. Potencias de exponente natural. 2.ª Potencia de un producto y de un cociente. Producto y cociente de potencias de la misma base. 3.ª Potencia de potencia. Reducción de expresiones a una sola potencia. 4.ª Cuadrado perfecto. Raíz cuadrada exacta. 5.ª Raíz cuadrada entera. Resto. 6.ª y 7.ª Actividades de consolidación. 8.ª Trabajo en competencias mediante la doble página final de la unidad.En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de losque se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades.Por supuesto que el contexto de la clase es también un factor determinante en cuanto al número de sesiones necesa-rias para desarrollar la unidad. Potencias y raíz cuadrada Unidad 3 3
  4. 4. Programación de aula CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad. En especial, con el texto de entrada, el epígrafe 1 y los proble- mas contextualizados se desarrolla de una forma más concreta la subcompetencia comunicación escrita. Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias e indicadores. Como la unidad está dedicada a las potencias y sus propiedades, se trabaja sobre todo la subcompetencia uso de ele- mentos y herramientas matemáticas. Competencia para la interacción con el mundo físico En la unidad hay varias actividades que hacen referencia a la aplicación de las potencias y las raíces a situaciones con- cretas de la vida real. Competencia social y ciudadana A partir del texto de entrada podremos hacer una reflexión que nos ayude a desarrollar la subcompetencia desarrollo personal y social. Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital A lo largo de la unidad aparecen en LIBROSVIVOS y EN LA RED varias referencias para realizar actividades interactivas y buscar información con el fin de desarrollar y ampliar los contenidos de la unidad, desarrollando la subcompetencia del uso de herramientas tecnológicas. El texto de entrada, junto con la primera actividad de “Pon a prueba tus competencias”, contribuye de forma especial a desarrollar la subcompetencia obtención, transformación y comunicación de la información. Competencia para aprender a aprender Algunas de las actividades propuestas, y con mayor carácter las de ampliación, permiten averiguar la adquisición de esta competencia, en especial la subcompetencia conciencia y control de las propias capacidades y conocimiento del propio aprendizaje. Otras competencias de carácter transversal Aprender a pensar El proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico del alumno. La unidad presenta múltiples oportunidades en las que las actividades exigen al alumno un ejercicio refle- xivo y crítico. En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunos temas de reflexión y debate. 4 Unidad 3 Potencias y raíz cuadrada
  5. 5. Programación de aulaTRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDADA lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias que prescribe el currículo. Para esta unidad, en con-creto, sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptorescompetenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad. COMPETENCIA SUBCOMPETENCIA DESCRIPTOR DESEMPEÑO 1.er nivel de concreción 2.º nivel de concreción 3.er nivel de concreción 4.º nivel de concreción Leer, buscar, recopilar, procesar y – Extrae información de varias lecturas, Comunicación sintetizar la información contenida determina cuál es relevante y la emplea en la Lingüística resolución de problemas reales. escrita. en un texto para contribuir al desarrollo del pensamiento crítico. Pon a prueba tus competencias. Interpretar y expresar con claridad y precisión distintos tipos de – Aplica las potencias para representar Razonamiento y situaciones de la vida cotidiana. información, datos y argumentación. argumentación, utilizando En toda la unidad. vocabulario matemático. Utilizar las matemáticas para el estudio y comprensión de – Interpreta y resuelve problemas con ayuda de las Resolución de situaciones cotidianas. potencias y las raíces. Matemática problemas. Aplicar estrategias de resolución En toda la unidad. de problemas adecuadas a cada situación. Conocer y utilizar los elementos matemáticos básicos (distintos – Opera con rigor y precisión con potencias para Uso de elementos y tipos de números, medidas, reducir expresiones. herramientas símbolos, elementos geométricos, matemáticos. En toda la unidad. etc.) en situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana. Conocer y manejar el lenguaje Aplicación del – Aplica las potencias para calcular cantidades. científico para interpretar método científico en situaciones en diversos contextos Actividades 6, 83 y 84. diferentes contextos. (académico, personal y social). Interacción con el – Conoce en qué consiste la prueba del carbono 14. mundo físico Conocimiento y Pon a prueba tus competencias. Conocer y valorar la aportación del Analiza y deduce. valoración del desarrollo de la ciencia y la desarrollo científico- – Conoce las unidades de capacidad de memoria tecnología a la sociedad. tecnológico. electrónica. Actividad 22. Conocerse, valorarse y aprender a – Es crítico con el uso de las redes sociales. Competencia social Desarrollo personal y comunicarse en diferentes y ciudadana social. Desarrolla tus competencias. contextos. – Busca en páginas de internet para complementar la información. Obtención, Buscar y seleccionar información En la red transformación y con distintas técnicas según la comunicación de la fuente o el soporte, valorando su – Visita la página librosvivos.net para realizar Tratamiento de la información. fiabilidad. distintas actividades. información y Actividades 7, 15, 38, 44 y 51, organiza tus competencia digital ideas, autoevaluación. Identificar y utilizar las – Conoce cómo usar las redes sociales. Uso de herramientas tecnologías de la información y tecnológicas. comunicación como herramienta Pon a prueba tus competencias: de aprendizaje, trabajo y ocio. Aprende a pensar. Potencias y raíz cuadrada Unidad 3 5
  6. 6. Programación de aula EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos per- miten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores: • Educación ambiental: actividad “Carbono 14” de “Pon a prueba tus competencias”. • Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didácticas permiten desarrollar la edu- cación para la convivencia y la educación en comunicación. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD En este proyecto se incluyen los siguientes materiales que complementan los ofrecidos en el libro del alumno y permi- ten trabajar la diversidad del alumnado. • Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido. • Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada unidad del libro. • Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asi- milación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados. • Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para evaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situa- ciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas. MATERIALES DIDÁCTICOS Repaso de contenidos de cursos anteriores • Cuaderno de Matemáticas básicas. – Unidad 3. Potencias. Bibliográficos Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso SM • Cuaderno de refuerzo de matemáticas “Aprende y aprueba”. 1.º de ESO. – Unidad 1. Números naturales. • Cuaderno de matemáticas. 1.º de ESO. N.º 1. “Números naturales”. – Unidad 2. Potencias y raíces. • Cuaderno de resolución de problemas I. 1.º de ESO. www.smconectados.com SM www.librosvivos.net Internet Potencias en la página del proyecto Descartes, educación digital a distancia del Ministe- rio de Educación. Otros www.e-sm.net/1esomatprd03 Potencias y raíces en la página del proyecto Averroes. www.e-sm.net/1esomatprd04 Otros materiales materiales • Juegos de dominó en los que intervengan potencias, raíces cuadradas y sus soluciones. Otros • Tablas de cuadrados perfectos y cubos. • La calculadora científica permite la simplificación de los cálculos numéricos y la obtención de las poten- cias cuyos resultados son de varias cifras. 6 Unidad 3 Potencias y raíz cuadrada
  7. 7. Sugerencias didácticas Entrada 2. Potencia de un producto y dePara comprender la teoría de los seis grados de separación un cocientepodemos proponer ejemplos sencillos como el de que el • Remarcar con ejemplos la potencia de un producto o denúmero de intermediarios entre cualquiera de ellos y el un cociente. Cada ejemplo se puede realizar de dos for-padre o la madre de un compañero es 2. mas distintas, primero operando el paréntesis o prime- ro desarrollando el paréntesis. Desarrolla tus competencias • Es conveniente realizar también ejemplos como los deI. Podemos realizar esta actividad a la vez que vamos la actividad resuelta, en los que se apliquen estas pro- explicando la teoría de los seis grados de separación y piedades en el sentido inverso, es decir: comprobar así si los alumnos la han comprendido. (an · bn) = (a · b)nII. Esta actividad nos servirá para comprobar cuántos (an : bn) (a : b)n alumnos utilizan redes sociales y para qué las utilizan, • Hay que tener cuidado en que la potencia solo se puede facilitando el trabajo para la actividad III. aplicar si se tiene un producto o un cociente. No se pue-III. La puesta en común de la actividad III puede ser el pun- de aplicar el desarrollo a la potencia de una suma o de una to de partida para establecer un debate sobre el uso resta. adecuado de las redes sociales, pidiendo a los alum- nos que expongan situaciones concretas, tanto perju- ACTIVIDADES POR NIVEL diciales como ventajosas. Básico 9 a 11 y 58Algunas de las situaciones ventajosas serían: Medio 8, 69.12, 13 y 14 – Las redes pueden permitir el intercambio de infor- mación entre los alumnos, la comunicación entre ellos para explicarse dudas, el préstamo de apuntes. – Potencian las relaciones socioafectivas.El principal inconveniente del uso de las redes es que losalumnos no son conscientes de que lo que en ellas regis- 3. Producto y cociente de potenciastran puede ser visto por muchas personas, siempre y cuan- de la misma basedo no hayan configurado bien las opciones de privacidad. • Los alumnos deben conseguir averiguar la regla del pro- ducto mediante ejemplos en los que se desarrollen las1. Potencias de exponente mayor que 1 potencias para luego comprimir el producto como una• Conviene detenerse en el concepto de potencia de base única potencia. y exponente natural, entendido como una forma abrevia- • Hacer hincapié en el orden de prioridad de las operacio- da de escribir un producto de factores iguales. Con nume- nes cuando haya sumas y restas de potencias de la mis- rosos ejemplos, los alumnos deben identificar como base ma base. el factor y como exponente el número de veces que se • La regla del cociente la demostraremos mediante ejem- repite dicho factor, ya que es muy frecuente que multi- plos en los que se desarrollen las potencias, posterior- pliquen la base por el exponente. mente se simplifique el cociente y se escriba la potencia• Hay que tener cuidado al trabajar con potencias de base resultante. negativa e insistir en el signo de la potencia según sea el • Hacer observar que al dividir potencias del mismo expo- exponente par o impar. Un error común es no utilizar los nente resultan potencias de exponente 0, y relacionarlo paréntesis cuando la base de la potencia es negativa. con que el cociente de dos números iguales es la unidad. ACTIVIDADES POR NIVEL • Se debe tener cuidado de que el exponente del divisor no sea mayor que el exponente del dividendo. A alumnos Básico 2, 3, 52 a 55, 61 y 82 a 84 avanzados se les pueden explicar las potencias de expo- nente negativo. Medio 4 a 6, 56, 57 y 85 ACTIVIDADES POR NIVEL6, 83 y 84. Estos tres problemas contextualizados permiten ver de una forma concreta cómo el lenguaje matemá- Básico 17 a 19, 23, 24 y 62 tico sirve para expresar situaciones del mundo que nos Medio 20 a 22, 25 a 29, 63 y 64 rodea. Potencias y raíz cuadrada Unidad 3 7
  8. 8. Sugerencias didácticas 22. Podemos utilizar este ejercicio para hacer una refle- 6. Raíz cuadrada entera xión sobre la aportación del desarrollo tecnológico a la sociedad, con la evolución que han sufrido las unida- • La raíz cuadrada entera es una generalización de la raíz des de memoria y las repercusiones que esto supone cuadrada exacta. Algunos alumnos creen que solo exis- para el medio ambiente, con menos gasto de papel. Un ten raíces cuadradas exactas. ejemplo para ilustrar este fenómeno es la presentación • El concepto de resto de la raíz es complicado. Se puede en el Congreso de los Presupuestos Generales del Esta- ver como los puntos que sobran para formar el mayor do. Antiguamente eran cajas y cajas de folios, poste- cuadrado posible, como se muestra en el margen y en riormente se utilizaron DVD, y por último, un pendrive. las actividades de refuerzo. • Realizar numerosos ejemplos hasta que se asimile el concepto de raíz cuadrada entera y su resto. 4. Potencia de potencia • Para calcular raíces de números superiores a 100, si el • Si se desarrolla la potencia exterior, la potencia de una alumno no está familiarizado con los cuadrados perfec- potencia es un caso particular de productos de potencias tos mayores que 100, es bueno seguir estos pasos: de la misma base. • Hay que tener cuidado si la base de la potencia es nega- 1357 tiva para escribir correctamente los paréntesis. • Al finalizar este epígrafe conviene detenerse en realizar 1. Determinamos el número de cifras de la raíz. Para ejercicios en los que haya que expresar diversas expre- ello hacemos grupos de dos cifras empezando por la siones en una sola potencia, siendo necesario para ello derecha, teniendo en cuenta que el grupo de la aplicar las cinco propiedades de las potencias. izquierda puede tener una cifra o dos. La raíz cua- drada tendrá tantas cifras como grupos se hayan formado. ACTIVIDADES POR NIVEL 2. Se calcula la raíz del primer grupo: 13 = 3. La primera Básico 32, 33 y 35 cifra de la raíz de 1357 es 3. Medio 34, 36, 37 y 65 3. Vamos probando hasta obtener el mayor número Alto 66 a 68, 103 y 107 que elevado al cuadrado es menor que el radicando. 302 = 900 352 = 1225 5. Raíz cuadrada exacta y cuadrados 362 = 1296 perfectos 372 = 1369 > 1357 • El concepto de raíz cuadrada se puede explicar como el La raíz cuadrada entera es 36 cálculo de la base de un cuadrado perfecto. 4. Calculamos el resto: 1357 − 1296 = 61 • La palabra cuadrada hace referencia al objeto geométri- co. Se puede explicar dibujando cuadrados de puntos, ACTIVIDADES POR NIVEL siendo la raíz cuadrada el número de puntos del lado del cuadrado. Básico 46 a 48, 77 y 78 • Puede ser útil construir una tabla con los 25 primeros Medio 49, 50, 79, 80, 88 a 91, 94 y 95 cuadrados perfectos, para el posterior cálculo de raíces Alto 98 y 99 cuadradas. • Una vez que hayan elaborado la tabla con los primeros 25 cuadrados perfectos, sería un buen momento para rea- lizar la actividad 78. Organiza tus ideas • Como ampliación, y de forma análoga a la raíz cuadrada, En esta página se muestran los contenidos vistos a lo lar- puede introducirse la raíz cúbica como operación inver- go de la unidad. Se empieza por las potencias, dando la sa a la potencia cubo. definición de potencia y las operaciones con potencias. A continuación se da la definición de raíz cuadrada exacta, cuadrados perfectos y raíz cuadrada entera. ACTIVIDADES POR NIVEL • Es importante que el alumno realice sus propios esque- Básico 40, 69, 70, 72 y 73 mas. Pero para empezar se le puede pedir que comple- Medio 41 a 43, 71, 74 a 76, 86, 87, 92, 93 y 96 te el que aparece en esta página, con los conceptos y ejemplos que a su juicio falten, o que le sirvan para com- Alto 81, 97, 100 a 102, 105 y 107 prender mejor lo estudiado. 8 Unidad 3 Potencias y raíz cuadrada
  9. 9. Sugerencias didácticasActividades de ampliación Para responder a las preguntas 2 y 3 deberán encontrar, con ayuda de la calculadora, cuál es el número n que verifica que:Con estas actividades desarrollamos las competencias de 1 + 20 + 20 · 10 + 20 · 102 + ... + 20 · 10naprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal. sea igual a 2000 o 6000 millones.Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, deci-diendo cuáles son los más apropiados para resolver cada La última actividad es una extensión de las actividades deuna de las actividades. la entrada de la unidad.Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias para Una vez que los alumnos hayan comprobado lo vertigino-resolver los problemas, dado que estos no son guiados ni so que es el ritmo de crecimiento de las personas que reci-se ajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan, lo ben la información, valorarán la importancia que tiene el serque puede resultarles muy estimulante, aunque al comien- críticos con la información que cuelgan en la red.zo les asuste un poco. ANALIZA Y DEDUCE: LA PRUEBA DEL CARBONO 14Pon a prueba tus competencias Esta actividad muestra la utilidad de las potencias para APRENDE A PENSAR: escribir números grandes. EL PODER DE LAS REDES SOCIALES Puede servirnos de pie para introducir, como contenido dePara que los alumnos respondan a las actividades 1, 2 y 3 ampliación, la notación científica, para lo que primera-deberemos guiarles para que sean capaces de deducirlas mente tendríamos que repasar las potencias de 10 y lospor sí mismos. números decimales.Para ello partiremos de supuestos más sencillos, supo- Para completar la tabla los alumnos tienen que darse cuentaniendo que la información la transmite una persona a 2, 3 de que mientras los años transcurridos se duplican, la can-y 5 personas que no la han recibido anteriormente, y com- tidad de unidades de carbono 14 queda dividida por 2, porpletaremos en la pizarra una tabla como la siguiente: lo que habrá un momento en el que el fósil ya no contenga más unidades y sea imposible datarlo. Velocidad de transmisión 2 3 5 Antes de las 10.00 1 1 1 CREA UN JUEGO: MAGIA CON LAS POTENCIAS 10.00 2 3 5 Esta actividad se realizará de forma individual. Tiene carác- ter lúdico y permite a los alumnos ver el lado divertido de 11.00 22 32 52 las matemáticas. 12.00 23 33 53 Al calcular los diferentes números, los alumnos se darán Total 15 40 156 cuenta de que podemos escribir cualquier número como suma de potencias de 2.Al ver las secuencias que aparecen en las diferentescolumnas, no les costará deducir que a las 10.00 la infor-mación la saben 1 + 20 personas, a las 11.00 ha llegado a1 + 20 + 20 · 102; y así sucesivamente. Potencias y raíz cuadrada Unidad 3 9
  10. 10. Actividades de refuerzo Unidad 3 Potencias y raíz cuadrada ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Los objetivos principales que los alumnos deberían alcanzar son: distinguir la base y el exponente de una potencia y operar con potencias de forma básica. • Hay que insistir en la diferencia entre una potencia y un producto. A veces, los alumnos creen que es una multipli- cación; por ejemplo, 24 = 16 lo confunden con 2 · 4 = 8. • Es importante recalcar el uso correcto de los paréntesis. Un error común ocurre con las potencias de base negati- va. Confunden (−x)n con −x n, siendo cierto si n es impar, pero no si es par. • También es fundamental el cálculo de raíces cuadradas enteras por aproximaciones de números de pocas cifras para asi- milar el concepto, ya que las raíces de un gran número de cifras se pueden calcular con la ayuda de una calculadora. A este tipo de alumnado se le deben plantear problemas sencillos, ayudándoles a comprenderlos mediante esque- mas o dibujos. ACTIVIDAD DE GRUPO Dominó de potencias Vamos a construir un dominó de potencias. Para realizar las fichas deben escribir en un papel un número entero, y en otro, diversas operaciones con potencias y raíces cuadradas exactas cuyo resultado es el número entero escrito. Dividid la pizarra en dos partes, poned en una las potencias, y en la otra, los resultados. Comprobad que no coinciden dos operaciones o números. Cada uno de los alumnos fabricará varias piezas de dominó con un número en uno de los extremos de la pieza y una de las operaciones en el otro extremo; para ello, repartid las operaciones y los números. Una vez terminadas las fichas se puede jugar de varias formas. Una forma sería repartir las fichas entre todos los alumnos de modo que cada uno tenga el mismo número de fichas. Se juega por turnos, el primero sitúa una pieza, el siguiente intenta poner una de las suyas a continuación en uno de los extremos de forma que coincidan la operación y el número, y así sucesivamente. Gana el primer alumno que consiga poner todas sus fichas. Otra forma puede ser intentar poner todas las fichas, una tras otra como en el anterior juego, hasta que se complete el círculo. Hay que intentar situar todas las fichas, lo cual puede resultar imposible. SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. a) 35 = 243 b) 73 = 343 c) 83 = 512 2. A B C D E 1 2 2 5 1 2 8 2 5 6 3 9 9 4 3 6 4 5 1 0 2 4 3. a) Raíz, 5. Resto, 2 b) Raíz, 7. Resto, 7 c) Raíz, 7. Resto, 14 4. 2 · 2 = 2 = 32 2 3 5 24 : 2 = 23 = 8 (10 : 5)4 = 24 = 16 (24)0 = 20 = 1 22 · 22 · 22 = 26 = 64 Más recursos en tu carpeta En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.10 Unidad 3 Potencias y raíz cuadrada
  11. 11. ACTIVIDADES de REFUERZO Unidad 3 Potencias y raíz cuadrada1. Relaciona cada piloto con su moto. a) b) c) 243 343 512 83 35 732. Completa el crucigrama. Horizontales A B C D E 1. 152; 20 2. 23; (2 · 8)2 1 3. (−3)2; 32 2 4. 3; 82 5. 45 3 Verticales 4 A) 174 : 172; 1 B) 21; 900 5 C) 232; 2 D) 53 : 52; 26 E) 24; (−2)23. Las raíces cuadradas enteras de un número y el resto pueden calcularse gráficamente con ayuda de una cuadrícula. Fíjate en el ejemplo y calcula con ayuda de la cuadrícula las raíces y restos de los números indicados. Para calcular la raíz cuadrada entera de 18, pintamos 18 cuadrados en la cuadrícula, for- mando cuadrados. El lado del mayor cuadrado que podamos formar es la raíz, y los cua- drados que quedan sueltos indican el resto. a) 27 b) 56 c) 634. Une con flechas cada expresión con la potencia correspondiente, y cada potencia con su valor. 22 · 23 24 8 Página fotocopiable 2 :2 4 23 16 (10 : 5) 4 25 32 4 0 6 (2 ) 2 1 22 · 22 · 22 20 64 Potencias y raíz cuadrada Unidad 3 11
  12. 12. Actividades de ampliación Unidad 3 Potencias y raíz cuadrada ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Se proponen diversas actividades, unas son de ampliación y otras son curiosidades matemáticas. Para algunas actividades sería conveniente enseñar el uso de la calculadora. La calculadora es una herramienta que sirve para comprobar los resultados o para operar números con muchas cifras decimales. Las calculadoras simples realizan sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Para la mayoría de las actividades de la unidad es suficiente con este tipo de calculadoras. ACTIVIDAD DE GRUPO Dominó de potencias Vamos a construir un dominó de potencias. Para realizar las fichas deben escribir en un papel un número entero, y en otro, diversas operaciones con potencias y raíces cuadradas exactas cuyo resultado sea el número entero escrito. Divi- did la pizarra en dos partes, poned en una las potencias, y en la otra, los resultados. Comprobad que no coinciden dos operaciones o números. Cada uno de los alumnos fabricará varias piezas de dominó con un número en uno de los extremos de la pieza y una de las operaciones en el otro extremo; para ello, repartid las operaciones y los números. Una vez terminadas las fichas se puede jugar de varias formas. Una forma sería repartir las fichas entre todos los alumnos de modo que cada uno tenga el mismo número de fichas. Se juega por turnos, el primero sitúa una pieza, el siguiente intenta poner una de las suyas a continuación en uno de los extremos de forma que coincidan la operación y el número, y así sucesivamente. Gana el primer alumno que consiga poner todas sus fichas. Otra forma puede ser intentar poner todas las fichas, una tras otra como en el anterior juego, hasta que se complete el círculo. Hay que intentar situar todas las fichas, lo cual puede resultar imposible. SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. Depende de la factorización de la base y del exponente. 6. Si acaba en 5, su raíz acaba en 5. a) 42 Si acaba en 6, su raíz acaba en 4 ó 6. b) 26 u 82 Un cuadrado perfecto no puede acabar en 3. c) 56 ó 1252 d) 493 ó 3432 7. Se puede formar un cuadrado de lado 223 fichas y sobran 271 fichas. 2. 1 vez: 21 mm 2 veces: 22 = 4 mm Para el cuadrado de lado 224 faltan 176 fichas. 3 veces: 23 = 8 mm 4 veces: 24 = 16 mm 5 veces: 25 = 32 mm 100 veces: 2100 mm 8. El método no es correcto. Por ejemplo, no se cumple 3. 1 + 3 + 32 + 33 + 34 = 121 personas para 2116. 4. a) 24 · ( 16 − 2)3 = 24 · 23 = 27 9. 263 = 17 576 1 + 7 + 5 + 7 + 6 = 26 ( 121− 81) : 2 = (11 − 9) : 2 = 2 : 2 = 2 5 b) 3 5 3 5 3 2 27 = 19 683 3 1 + 9 + 6 + 8 + 3 = 27 c) ( 3 + 4 )⋅5 = 25 · 5 = 5 · 5 = 5 2 2 3 3 3 4 10. 12 = 22 + 22 + 22 16 = 42 d) (3 − 36 ) : 9 = (9 − 6) : 9 = 3 : 3 = 3 5 2 5 5 2 3 23 = 32 + 32 + 22 + 12 238 = 152 + 32 + 22 5. No es posible. La raíz cuadrada entera de 450 es 21, y 239 = 152 + 32 + 22 + 12 el resto es 9. Más recursos en tu carpeta En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.12 Unidad 3 Potencias y raíz cuadrada
  13. 13. ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN Unidad 3 Potencias y raíz cuadrada 1. Escribe las siguientes potencias como otra potencia distinta de exponente distinto de 1. ¿Existen varias formas? ¿De qué depende? a) 24 b) 43 c) 253 d) 76 2. Un folio mide 1 milímetro de grueso. Calcula el grosor si lo doblas 1 vez por la mitad. ¿Y si lo doblas 2, 3, 4 ó 5 veces? ¿Es posible doblarlo 100 veces? ¿Cuál será su grosor? 3. Gonzalo cuenta un secreto a tres amigos. A su vez, cada amigo les cuenta el secreto a tres de sus ami- gos, y así sucesivamente. ¿Cuántas personas saben el secreto si se repite otras dos veces? 4. Expresa como una sola potencia. ( ) ( ) 3 a) 24 · 16 − 2 = c) 32 + 42 ⋅ 53 = ( 121− 81) ( ) 5 5 b) : 23 = d) 32 − 36 : 9 = 5. Ana le dice a Belén que su padre tiene una parcela cuadrangular de lado un número entero de metros y de superficie 450 metros cuadrados. ¿Son posibles estos datos de la parcela? 6. Un número de 10 cifras acaba en 5 y es un cuadrado perfecto. ¿Cuál es la última cifra de su raíz cua- drada? ¿Y si el número de 10 cifras acabara en 6? ¿Y si acabara en 3? 7. ¿Cuál es el cuadrado mayor que se puede formar con 50 000 fichas iguales? ¿Cuántas fichas sobran? ¿Cuántas fichas más serán necesarias para obtener el cuadrado inmediato superior? 8. Fíjate en el siguiente método para calcular la raíz cuadrada de un número de 4 cifras: Queremos calcular la raíz cuadrada de 2025. a) Dividimos el número en 2 grupos de 2 cifras, 20 y 25. b) Sumamos ambos números, 20 + 25 = 45. c) El cuadrado de este número es igual al dado, 452 = 2025. La raíz cuadrada de 2025 es 45. Comprueba que también se cumple para 3025 y 9801. ¿Es este método correcto? 9. El número 17 tiene una curiosa propiedad. Si lo elevamos al cubo, 173 ‫ ,3194 ؍‬y sumamos sus cifras, 4 ؉ 9 ؉ 1 ؉ 3 ‫ ,71 ؍‬el resultado es el número inicial. Comprueba que ocurre lo mismo con 18. Encuentra dos números con la misma propiedad en la siguiente decena.10. Hay un teorema de matemáticas que afirma: “Todo entero positivo es una suma de un máximo de cua- tro cuadrados perfectos”. Por ejemplo: 215 ‫ .21 ؉ 23 ؉ 23 ؉ 241 ؍‬A veces hace falta usar menos cua- Página fotocopiable drados: 430 ‫.23 ؉ 241 ؉ 251 ؍‬ Escribe los siguientes números como suma de cuadrados: 12, 16, 23, 238 y 239. Potencias y raíz cuadrada Unidad 3 13
  14. 14. PROPUESTA de EVALUACIÓN Unidad 3 Potencias y raíz cuadrada APELLIDOS: NOMBRE: FECHA: CURSO: GRUPO: 1. Calcula el resultado de las siguientes potencias. a) 25 c) (−3)4 e) (−2)7 g) 54 b) 103 d) 70 f) 81 h) (−7)3 2. Expresa las siguientes potencias como producto o cociente de potencias. a) (3 · 5)4 c) (4 : 9)3 e) [(−3) : 5]7 b) (7 · 2 · 5)6 d) [(−2) · 11]10 f) [(−5) · 3 · (−13)]21 3. Calcula las siguientes operaciones con potencias. a) (25)2 c) 5 · 54 : 52 e) [23 · (22)2 · (24)3]0 b) ((−2)3)2 · 23 d) (((−1)3)5)4 f) (73)4 : (75)2 4. Expresa como una sola potencia y calcula su valor. a) (252 : 53) · 52 c) (247 : 67) : 45 b) 43 : (22 · 24) d) (92 : 27)2 : 32 5. Completa la siguiente tabla. Raíz cuadrada exacta 200 21 Cuadrados perfectos 121 49 144 6. Escribe entre qué cuadrados se encuentran los siguientes números e indica cuál es la raíz cuadrada ente- ra y el resto de cada número. a) 1001 b) 1550 c) 5103 7. Una empresa quiere realizar una mudanza y necesita nueve camiones. Cada camión contiene nueve cajas. Cada caja contiene nueve mesas. ¿Cuántas mesas posee la empresa? 8. Un campo en forma de cuadrado tiene 8100 metros cuadrados de superficie. Calcula cuánto mide su lado. 9. Halla el número cuya raíz cuadrada entera es 35, y el resto, 12. 10. La finca de Luis tiene la forma de la figura. Cada parcela pequeña tiene una superficie de 9 metros cua- drados. ¿Cuántos metros cuadrados tendría que añadir Luis para que su finca tuviera forma de cuadrado?Página fotocopiable 14 Unidad 3 Potencias y raíz cuadrada
  15. 15. Propuesta de evaluación Unidad 3 Potencias y raíz cuadrada SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. a) 25 = 32 c) (−3)4 = 81 e) (−2)7 = −256 g) 54 = 625 b) 103 = 1000 d) 70 = 1 f) 81 = 8 h) (−7)3 = −343 2. a) (3 · 5)4 = 34 · 54 c) (4 : 9)3 = 43 : 93 e) [(−3) : 5]7 = (−3)7 : 57 b) (7 · 2 · 5)6 = 76 · 26 · 56 d) [(−2) · 11]10= (−2)10 · 1110 f) [(−5) · 3 · (−13)]21 = (−5)21 · 321 · (−13)21 3. a) (25)2 = 210 c) 5 · 54 : 52 = 53 e) [23 · (22)2 · (24)3]0 = 20 b) ((−2)3)2 · 23 = 29 d) (((−1)3)5)4 = 160 f) (73)4 : (75)2 = 712 : 710 = 72 4. a) (252 : 53) · 52 = ((52)2 : 53) · 52 = (54 : 53) · 52 = 5 · 52 = 53 = 125 b) 43 : (22 · 24) = (22)3 : 26 = 26 : 26 = 20 = 1 c) (247 : 67) : 45 = 47 : 45 = 42 = 16 d) (92 : 27)2 : 32 = ((32)2 : 33)2 : 32 = (34 : 33)2 : 32 = 32 : 32 = 30 = 1 5. Raíz cuadrada exacta 11 200 7 21 12 Cuadrados perfectos 121 40 000 49 441 144 6. a) 312 < 1001 < 322 b) 392 < 1550 < 402 c) 712 < 5103 < 722 7. 9 · 9 · 9 = 93 = 729 8. El lado mide 8100 = 90 m. 9. El número es 352 + 12 = 1225 + 12 = 1237.10. Tendría que añadir 15 parcelas; en total, 15 · 9 = 135 m2. Página fotocopiable Potencias y raíz cuadrada Unidad 3 15

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