RESOLUCIÓN PASO A PASO DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI Y EJERCICIOS PROPUESTOS.

1. Ecuación diferencial de Bernoulli
La ecuación diferencial de Bernoulli es una ecuación diferencial de primer orden que puede
escribirse de la forma: ( ) ( )
dy np x y q x y
dx
  , con n  0 y 1.
Esta ecuación se puede reducir a una ecuación lineal de primer orden al hacer la
sustitución
1 (1 )
dz dyn nz y n y
dx dx
   
Pasos :
1. Verificar que esté escrita como se indica en la definición.
2. Multiplicar toda la ecuación por y-n.
3. Reescribir la ecuación.
4. Hacer la sustitución indicada.
5. Multiplicar por (1-n)
6. Se debe obtener una ecuación lineal, la cual se debe resolver aplicando los
pasos correspondientes. Recordar cambiar luego z por y-n.
EJEMPLO: Resolver la siguiente ecuación: 4 3'xy y x y 
Se aplicarán los pasos dados.
1) Como no está escrita apropiadamente, primero dividimos toda la ecuación entre x,
quedará entonces así:
4 3' 3 3'
xy y x y y
y x y
x x x x
    
2) Se multiplica por 3
3
3 3 3 3'
y y
y y y x y y
x

   
3) Al resolver queda 3
2
3 '
y
y y x
x

  
4) Se hace una sustitución, o cambio de variable,
2 3 32
2
3
2
dz dy dy dz
z y y y
dx dx dx dx
dz z
x
dx x
      

 

5) Se multiplica por -2
2 32
dz z
x
dx x
  
6) Se observa que resulta una ecuación lineal, donde p(x)=-2/x y q(x)=-2x3. Se
resuelve hallando el factor integrante u(x).

2. 2
22ln ln 2( )
dx
x xxu x e e e x
     
( ) ( ) ( )u x z q x u x dx c 
2 3 22 2
222
2
2
4 2
2 2
2 4 2
x z x x dx c xdx c
x
x z c
x c
z x cx
x x
y x cx
      
   

    
 
   
 
EJERCICIOS
1) y’=y(xy3-1)
2) y’ –y = exy2
3) y’ = y + y3
4) x2y’ – 2xy=3y4
5) xy’ + y =y-2
6) xy’-(1+x)y= xy2
7) y2y’ + 2xy3=6x
8) x2y’ + 2xy = 5y4
9) x2y’ + 2xy = 5y3
10) x2y’ + y2 = xy
.