Ecuac tres momentos

547 visualizaciones

Publicado el

análisis estructural

Publicado en: Ingeniería
0 comentarios
0 recomendaciones
Estadísticas
Notas
  • Sé el primero en comentar

  • Sé el primero en recomendar esto

Sin descargas
Visualizaciones
Visualizaciones totales
547
En SlideShare
0
De insertados
0
Número de insertados
5
Acciones
Compartido
0
Descargas
57
Comentarios
0
Recomendaciones
0
Insertados 0
No insertados

No hay notas en la diapositiva.

Ecuac tres momentos

  1. 1. Análisis EstructuralAnálisis Estructural ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil Tema 5 - Deflexión en Vigas Tema 5 Deflexión en vigas
  2. 2. Ecuación diferencial de la elástica Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 1 - Ecuación diferencial de la elástica Para comenzar este tema se debe recordar la ecuación deducida en el tema 2, en la cual se relaciona la curvatura de la superficie neutra con el momento flector en una viga sometida a flexión pura: Donde ‘ρ’ es el radio de curvatura, ‘E’ el módulo de elasticidad del material del que se compone la viga, ‘I’ el momento de inercia de la sección transversal de la viga y ‘M(x)’ el momento flector al que está sometida la misma. Observemos que este último término se ha designado como dependiente de la longitud medida desde un extremo de la viga (‘x’). ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil IE xM ⋅ = )(1 ρ (5.1.1)
  3. 3. Para deducir la ecuación de la elástica es necesario recordar del cálculo elemental, que el radio de curvatura de una curva plana en un punto ‘P(x,y)’ puede determinarse mediante la expresión Donde, dada la relación ‘y = f(x)’: ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil 2 3 2 2 2 1 1               + = dx dy dx yd ρ 2 2 dx yd dx dy Corresponde a la primera derivada de la función Corresponde a la segunda derivada de la función (5.1.2) Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 1 - Ecuación diferencial de la elástica
  4. 4. Como las deflexiones son muy pequeñas, podemos despreciar el término relativo a la primera derivada; obtenemos entonces que: Esta es una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden, y gobierna el comportamiento de la curva elástica, la cual describe las deflexiones que experimenta una viga cuando es sometida a cargas transversales. ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil IE xM dx yd ⋅ == )(1 2 2 ρ (5.1.3) Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 1 - Ecuación diferencial de la elástica
  5. 5. Método de Doble Integración Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 2 – Método de Doble Integración Es el más general para determinar deflexiones. Se puede usar para resolver casi cualquier combinación de cargas y condiciones de apoyo en vigas estáticamente determinadas e indeterminadas. Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momento flector y obtener posteriormente las ecuaciones de la pendiente y deflexión de una viga por medio del cálculo integral. El método de doble integración produce ecuaciones para la pendiente la deflexión en toda la viga y permite la determinación directa del punto de máxima deflexión. ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil
  6. 6. Recordando la ecuación diferencial de la elástica: El producto ‘E·I’ se conoce como la rigidez a flexión y en caso de que varíe a lo largo de la viga, como es el caso de una viga de sección transversal variable, debe expresarse en función de ‘x’ antes de integrar la ecuación diferencial. Sin embargo, para una viga prismática, que es el caso considerado, la rigidez a la flexión es constante. Podemos entonces multiplicar ambos miembros de la ecuación por el módulo de rigidez e integrar respecto a ‘x’. Planteamos: ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil IE xM dx yd ⋅ = )( 2 2 1 0 )( CdxxM dx dy IE x +⋅=⋅⋅ ∫ (5.1.3) (5.2.1) Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 2 - Método de Doble Integración
  7. 7. Donde ‘C1’ es una constante de integración que depende de las condiciones de frontera, como se explicará más adelante. Como la variación de las deflexiones es muy pequeña, es satisfactoria la aproximación: ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil θθ ≅= )(tg dx dy 1 0 )( CdxxM dx dy IE x +⋅=⋅⋅ ∫ De modo que con la expresión anterior se puede determinar la inclinación de la recta tangente a la curva de la elástica para cualquier longitud ‘x’ de la viga. (5.2.1) (5.2.2) Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 2 - Método de Doble Integración
  8. 8. Integrando nuevamente en ambos lados de la expresión anterior, tenemos: Mediante esta expresión podemos conseguir la deflexión para cualquier distancia ‘x’ medida desde un extremo de la viga. El término ‘C2’ es una constante de integración que, al igual que ‘C1’, depende de las condiciones de frontera. Para poder establecer sus valores, deben conocerse la deflexión y/o el ángulo de deflexión en algún(os) punto(s) de la viga. Generalmente, es en los apoyos donde podemos recoger esta información. ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil ∫ ∫ +⋅        +⋅=⋅⋅ x x CdxCdxxMxyIE 0 2 0 1)()( (5.2.3) Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 2 - Método de Doble Integración
  9. 9. En el caso de vigas simplemente apoyadas y vigas empotradas en un extremo, por ejemplo, tenemos las siguientes condiciones: ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil Del apoyo en ‘A’ puede establecerse: x = LA → y = 0 Y, debido al apoyo en ‘B’ : x = LB → y = 0 Debido al empotramiento ‘A’ : x = LA → y = 0 x = LA → θ = 0 Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 2 - Método de Doble Integración
  10. 10. Método de Área de Momento Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 3 - Método de Area de Mometo El método de área-momento proporciona un procedimiento semigráfico para encontrar la pendiente y el desplazamiento en puntos específicos sobre la curva elástica de la viga. La aplicación de este método requiere el cálculo de áreas asociadas con el diagrama de momento flector de la viga; si el diagrama consta de formas geométricas sencillas, el método resulta muy fácil de usar. Normalmente este es el caso cuando la viga está cargada con fuerzas y momentos concentrados. El método es bastante rápido y simple, pero en general se usa para calcular la deflexión de solo uno a unos cuantos puntos de la viga. Su uso requiere un elevado nivel de comprensión del principio de momentos y de las técnicas para preparar diagramas de momento flector. ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil
  11. 11. La figura muestra una curva elástica en la que se han seleccionado dos puntos cualquiera (‘A’ y ‘B’) y se han trazado rectas tangentes a los mismos. ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil Puede observarse que ‘θB/A’ es el ángulo que forma la tangente que pasa por el punto ‘B’ respecto a la que pasa por ‘A’. De forma análoga se define el ángulo ‘θA/B’. Es importante notar que ambos tienen la misma magnitud, y se miden en sentido contrario. Recordando que las deflexiones son muy pequeñas, podemos plantear la ecuación de la elástica de la forma: IE xM dx d dx dy dx d ⋅ ==      )(θ (5.3.1) Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 3 - Método de Area de Mometo
  12. 12. Si integramos la expresión anterior, obtenemos: Planteando que: Podemos finalmente rescribir la expresión anterior de la forma: ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil ∫∫ ⋅ ⋅ = B A B A x x dx IE xM d )( θ θ θ ABAB θθθ −=/ ∫ ⋅ ⋅ = B A x x AB dx IE xM )( /θ (5.3.2) (5.3.3) (5.3.4) Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 3 - Método de Area de Mometo
  13. 13. Esta ecuación es la base del primer teorema del método de área de momento: ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil ∫ ⋅ ⋅ = B A x x AB dx IE xM )( /θ “El ángulo entre dos rectas tangentes a dos puntos cualquiera sobre la curva elástica es igual al área bajo el diagrama ‘M/(E·I)’ entre esos dos puntos” (5.3.5) Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 3 - Método de Area de Mometo
  14. 14. Luego, como se observa en la figura, puede considerarse aceptable la aproximación: Donde ‘dθ’ es el ángulo que existe entre dos tangentes de dos puntos separados una distancia ‘dx’ y ‘x’ es la distancia medida desde el punto ‘A’ hasta el elemento diferencial en cuestión. Al sustituir ‘dθ’ queda: ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 3 - Método de Area de Mometo θdxdt ⋅≅ (5.3.6) dx IE xM xdt ⋅ ⋅ ⋅= )( (5.3.7)
  15. 15. Finalmente, al integrar la expresión anterior queda: Lo cual puede rescribirse de la forma: Donde ‘xA’ es la distancia (medida sobre la dirección ‘x’) que existe entre el punto ‘A’ y el centroide del área bajo la curva ‘M·E/I’. ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 3 - Método de Area de Mometo ∫ ⋅ ⋅ ⋅= B A x x BA dx IE xM xt )( / (5.3.8) ∫ ⋅ ⋅ ⋅= B A x x ABA dx IE xM xt )( / (5.3.9)
  16. 16. La ecuación 5.3.9 supone la base del segundo teorema de área momento: “La desviación vertical de la tangente en un punto ‘A’ sobre la curva elástica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto ‘B’ es igual al momento de área bajo el diagrama ‘ME/I’ entre los puntos ‘A’ y ‘B’. Este momento se calcula respecto al punto ‘A’ donde va a determinarse la desviación vertical ‘tA/B’ ”. ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 3 - Método de Area de Mometo
  17. 17. De forma análoga, podría hallarse la desviación del punto ‘B’ respecto a la tangente que pasa por ‘A’. Para ello, se calcularía el momento de área bajo el diagrama ‘ME/I’ respecto al punto ‘B’, es decir: Donde ‘xB’ es la distancia que existe desde el punto ‘B’ hasta el centroide de la figura. Es importante mencionar que, si el resultado de la ecuación es positivo, el punto ‘B’ (en el que se calcula la deflexión) se encuentra por encima de la recta tangente que pasa por el ‘A’ (y viceversa). ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 3 - Método de Area de Mometo ∫ ⋅ ⋅ ⋅= A B x x BAB dx IE xM xt )( / (5.3.9)
  18. 18. Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 4 - Método de Tres Momentos VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS 1. INTRODUCCIÓN El equilibrio es un requisito principal a satisfacerse; por lo tanto un análisis debe conducir a un conjunto de reacciones y fuerzas internas que satisface las condiciones de equilibrio estático. Si estas ecuaciones son suficientes para el análisis la estructura es estáticamente determinada. Por el contrario si existen más componentes reactivas independientes o fuerzas de miembros internas que pueden determinarse a partir de la aplicación de las ecuaciones de equilibrio, entonces la estructura será estáticamente indeterminada. Esto no implicará que no exista una solución al problema de análisis. En tanto la estructura sea estable, existirá una solución; sin embargo las condiciones de equilibrio son insuficientes para completar la solución. ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil
  19. 19. Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 4 - Método de Tres Momentos VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS 2. GRADOS DE INDETERMINACIÓN Para el desarrollo de todas las vigas hiperestáticas todos los criterios que se van a desarrollar implican una comparación entre el número de magnitudes de fuerzas independientes desconocidas y el número de ecuaciones independientes de equilibrio que están disponibles para la solución de incógnitas. Los criterios siempre toman la forma siguiente: Si hay más ecuaciones que incógnitas, la estructura es estáticamente inestable. Si hay el mismo número de ecuaciones que de incógnitas, la estructura es estáticamente determinada. Si hay menor número de ecuaciones que de incógnitas, la estructura es estáticamente indeterminada. ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil
  20. 20. Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 4 - Método de Tres Momentos VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS El grado de determinación exterior es igual al número de componentes reactivas que están disponibles en exceso del número requerido para la estabilidad exterior. Estas componentes reactivas se llaman redundantes debido a que no son necesarias para la estabilidad de la estructura. El grado de indeterminación interior se da por el número de componentes de fuerzas interiores que están presentes en exceso de las que se necesitan para la estabilidad interna. También se les llama redundantes por que no se requiere para una estructura estable. ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil
  21. 21. Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 4 - Método de Tres Momentos VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS 3. VIGAS CONTINUAS Son vigas indeterminadas o hiperestáticas que tienen en sus extremos apoyos simples e internamente uno o más apoyos. Una ventaja de estos tipos de estructuras es que proporcionan mayor rigidez para resistir cargas que una estructura estáticamente determinada comparable. Otra ventaja es que tendrá menores intensidades de esfuerzos que una estructura estáticamente determinada comparable. ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil
  22. 22. Método de Tres Momentos Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 4 - Método de Tres Momentos Con este método puede analizarse una viga sostenida por cualquier número de apoyos. De hecho, el teorema soluciona los momentos flectores en los apoyos sucesivos entre sí, y con las cargas que actúan en la viga. En el caso de una viga con tres apoyos únicamente, este método permite el cálculo directo del momento en el apoyo intermedio. Las condiciones de los extremos proporcionan datos para calcular los momentos en ellos. Luego pueden usarse los principios de estática para determinar las reacciones. En el caso de vigas con más de tres apoyos, el teorema se aplica en sucesión a juegos de tres apoyos adyacentes, para obtener un juego de ecuaciones que se puede resolver simultáneamente para los momentos desconocidos. Se puede usar el teorema de los tres momentos para cualquier combinación de cargas. ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil
  23. 23. Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 4 - Método de Tres Momentos Consideremos una viga cargada como se muestra en la figura. Se han elegido tres puntos cualquiera sobre la viga (‘1’, ‘2’ y ‘3’), donde realizaremos cortes transversales y estableceremos las cargas a las que están sometidas estas secciones, manteniendo las que están aplicadas sobre los tramos ‘L12’ y ‘L23’. ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil
  24. 24. Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 4 - Método de Tres Momentos Se tendría entonces: Note que los momentos flectores (‘M1’, ‘M2’, ‘M3’) se han dispuesto en su sentido positivo, según el convenio establecido. Las fuerzas cortantes ‘V2i’ y ‘V2d’ no son necesariamente iguales; depende de la condición de apoyo ó carga que exista en el punto ‘2’. ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil
  25. 25. Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 4 - Método de Tres Momentos Luego, planteamos las cargas y los momentos flectores de forma separada, agregando y quitando fuerzas, como se muestra en la figura. En el caso mostrado, se ha asumido que ‘M2 < M1’ y ‘M2 < M3’. ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil
  26. 26. Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 4 - Método de Tres Momentos Ahora, observemos una representación exagerada de la curva elástica entre los puntos 1 y 3. Puede notarse que se cumple la relación de triángulos: ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil 23 32/3 12 2/11 L ht L th − = − (5.4.1)
  27. 27. Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 4 - Método de Tres Momentos Posteriormente, se realizan los diagramas de momento flector para los casos anteriormente mostrados. Recordamos nuevamente que se ha asumido ‘M2 < M1’ y ‘M2 < M3’. ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil
  28. 28. Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 4 - Método de Tres Momentos Posteriormente podemos establecer las expresiones de deflexión de los puntos ‘1’ y ‘3’ respecto a la tangente que pasa por ‘2’: ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil ∫ ⋅ ⋅ ⋅= 2 1 )( 12/1 x x dx IE xM xt (5.4.2) ∫ ⋅ ⋅ ⋅= 2 3 )( 12/3 x x dx IE xM xt       ⋅+            ⋅+            ⋅ ⋅ = 11212122121212/1 3 2 2 1 3 1 2 11 xALLMLLM IE t       ⋅+            ⋅+            ⋅ ⋅ = 32323233232322/3 3 1 2 1 3 2 2 11 xALLMLLM IE t (5.4.3)
  29. 29. Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 4 - Método de Tres Momentos Finalmente, al sustituir ‘t1/2’ y ‘t3/2’ en la ecuación 5.4.1, se obtiene: Esta ecuación expresa la una relación general entre los momentos flectores en tres puntos cualesquiera de la viga, razón por la cual se llama ecuación de los tres momentos. Si los puntos ‘1’, ‘2’ y ‘3’ están al mismo nivel en la viga flexionada, los términos ‘h1’ y ‘h3’ se anulan, con lo cual el miembro derecho de la ecuación se hace cero. ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil = ⋅ + ⋅ +⋅+++⋅ 23 323 12 112 23323122121 66 )(2 L xA L xA LMLLMLM (5.4.4)      +⋅⋅⋅ 23 3 12 1 6 L h L h IE
  30. 30. Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 4 - Método de Tres Momentos Consideramos los momentos interiores en los (m-1) puntos de apoyo como las redundantes ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil
  31. 31. Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 4 - Método de Tres Momentos ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil
  32. 32. Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 4 - Método de Tres Momentos Ejemplo: Para la viga mostrada: Encontrar las reacciones externas de los apoyos. Trazar los diagramas de fuerza cortante y momento flector La ubicación de los momentos máximos y los puntos de inflexión. ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil
  33. 33. Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 4 - Método de Tres Momentos Solución: Empleando el método de tres momentos: Consideremos los tramos que corresponden a los apoyos 1,2 y 3 como se muestra en la figura: ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil
  34. 34. Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 4 - Método de Tres Momentos A continuación separemos los elementos, de tal forma que cada tramo se analice como una viga simplemente apoyado A partir de estas vigas calcularemos el valor de los giros en los extremos de cada apoyo. Para el primer elemento emplearemos el método de área de momento. Calculamos las reacciones externas y trazamos los diagramas de momentos por partes y emplearemos la fórmula general para calcular el desplazamiento indicado. ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil
  35. 35. Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 4 - Método de Tres Momentos ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil
  36. 36. Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 4 - Método de Tres Momentos ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil
  37. 37. Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 4 - Método de Tres Momentos Para el segundo elemento se calculará el giro de los apoyos haciendo uso de tablas: ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil
  38. 38. Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 4 - Método de Tres Momentos ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil
  39. 39. Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 4 - Método de Tres Momentos ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil
  40. 40. Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 4 - Método de Tres Momentos ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil
  41. 41. Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 4 - Método de Tres Momentos ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil
  42. 42. Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 4 - Método de Tres Momentos ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil
  43. 43. Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 4 - Método de Tres Momentos ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil
  44. 44. Tema 5 - Deflexión en vigas Sección 4 - Método de Tres Momentos Tarea: En la viga mostrada determinar el valor de las reacciones externas, los diagramas de momentos flectores y fuerzas cortantes. ______________________________________________________________________________ Universidad César Vallejo Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil

×