OPERACIONES CON   NÚMEROS. COMPRESIÓN Y  SIGNIFICADO
ÍNDICE1. La suma2. La resta3. Experimentos y autores de la suma y la resta4. Métodos de la suma y la resta5. La multiplica...
7. Experimentos y autores de la multiplicación y ladivisión8. Estudio experimental9. Bibliografía  1. LA SUMA
1.1   ALGORITMOPara lograr una correcta comprensión del algoritmo de la suma en el nivel simbólico esnecesario, como mínim...
colocando las cantidades una debajo de otra y justificándolas a la derecha y escribir elresultado debajo de los sumandos.2...
+ 1114_____1524Errores:No tiene en cuenta el número que se lleva.37+ 25___52Confunde el papel del cero.50+ 24___70Los suma...
Siendo a cardinal (A) y b cardinal (B) consideramos, A Y B dos conjuntos distintos, esdecir, cumplen que A П B = Ø. Se def...
Cuando en una situación de combinación las dos cantidades ejercen un papel similar,ello hace que el problema no varíe al i...
1.4 PROPIEDADES DE LA SUMAPropiedad conmutativa: Si se altera el orden de los sumandos, cambia el resultado,obteniendo de ...
2. LA RESTA
2.1 ALGORITMOComo ocurre con el algoritmo de la suma, para lograr una correcta comprensión deeste algoritmo es necesario u...
Errores:El cero en el sustraendo.75- 40___30El cero en el minuendo.80- 36___56No hay el mismo número de cifras en el minue...
2.2 CONCEPTO DE LAS OPERACIONES DE SUSTRACCIÓNLa resta o sustracción es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmé...
operación en ambos lados de la ecuación, esta permanecerá balanceada o igual.En el ejemplo anterior comenzamos con la ecua...
Elresultadode restardosnúmerosnaturales(esto es,su resta)no tieneporquésalir otronúmeroronatural.Por estose diceque larest...
negativos) pero lo importante es que NO pertenece a los números naturales (nuestrosnúmeros naturales empezaban en el 0).Pr...
El ordende lossumandosinfluyemucho enelresultadode unaresta.Observaen elsiguienteejemplocomo elresultadovaríasegúncómo loh...
3.   EXPERIMENTOS Y     AUTORES DE LA SUMA Y     LA RESTA
La mayoría de los estudios dedicados al significado de la adición y la sustracción secentran en realidad en la destreza de...
También pidió a 58 niños de 11 y 12 años que prepararan cuentos que contuvieran lasexpresiones 9+3 y 84+28 con el fin de d...
Carpenter y Moser: en un estudio realizado, vieron que la mayoría de los problemasde sustracción correspondientes a la for...
4. METODOS DE LA SUMA   Y LA RESTA
Para estudiar la comprensión que el niño tiene del significado y estructura de lasoperaciones aritméticas básicas (suma, r...
discreto (Divisibles un número finito de veces) o en el continuo (Divisibles un númeroinfinito de veces):     -   OBJETOS ...
4.3 MATERIALES PARA LA DIDÁCTICA DE LA SUMA Y LA RESTARECTA NUMÉRICA: La recta numérica es una representación lineal de lo...
REGLETAS DE CUISENAIRE:Las regletas Cuissenaire son un material matemático destinado a que los niñosaprendan a base de su ...
En este enlace podemos ver un juego online basado en la balanza:http://juegosgratisde.com/juegos-de-habilidad/juegos-matem...
conjuntos. Estos diagramas se usan paramostrar gráficamente la agrupación deelementos en conjuntos, representandocada uno ...
4.4 MARIA ANTONIA CANALSPropone una serie de métodos orientados a la ordenación y clasificación de elementos,así como los ...
5.1 ALGORITMO DE LA MULTIPLICACIONUn algoritmo de multiplicación es un método para multiplicar dos números. Dependiendo de...
Para utilizar el método habitual para multiplicar dos números enteros, es necesario elaprendizaje y dominio previo de las ...
Se multiplica primero 6 x 2 = 12 y luego 70 x 2 = 140 y se suman.- Ahora tomamos la multiplicación 274 x 2.a) Conforme a l...
274                                         x 32………….                                        _______......                ...
.-Otro modo de algoritmo de multiplicación es la multiplicación egipcia o duplicación.La explicaremos a través del ejemplo...
la esquina superior izquierda y ponemos el número a la izquierda (4), contamos los dela equina superior derecha y los de l...
5.3 SITUACIONES EN LAS QUE APLICAR LA MULTIPLICACION:  -   De proporcionalidad simple: se da en los contextos en los que h...
5.4 TIPOS DE PROBLEMASLos problemas multiplicativos pueden ser en general de 3 tipos:   -   Factor multiplicante: Juan ten...
-   Propiedad asociativa: el producto de tres números puede hacerse de dos       formas dado que es una operación binaria:...
-   Modelo funcional: la multiplicación aparece con carácter de función u       operador. Hay un estado inicial (2), un es...
6.   LA DIVISION:
6.1 DEFINICION ARITMETICALa división es una operación aritmética de descomposición que consiste en averiguarcuántas veces ...
6.4 ALGORITMO DE LA DIVISIONEn la aritmética el algoritmo de la división, también llamado división euclídea, es unteorema ...
6.4 PROPIEDADESPropiedad 1, Operación No Interna:         El resultado de dividir dos números naturales (esto es, su cocie...
1. Cero dividido entre cualquier número da siempre 0. Esto también tiene                  mucho sentido, si no tenemos nin...
Decimos que un número entero b es divisible entre otro entero a (distinto de cero) siexiste un tercer entero c tal que: b ...
El reparto de una cantidad de objetos pude hacerse de dos maneras, lo que conduce ala distinción de dos tipos de división....
Hay varios modelos asociados con la división y cada uno de estos enfatiza un contextoparticular del número.a) Modelos line...
La división con estos materiales consiste en establecer la equivalencia entre unalongitud o peso global (dividendo) y otro...
7.   EXPERIMENTOS      Y     AUTORES     DE   LA     MULTIPLICACIÓN    Y     DIVISIÓN
Numerosos autores han señalado que la multiplicación y la división sonconsiderablemente más difíciles que la adición y la ...
Juan tenía 3 coches. Juana 4 veces más                                                 Factor Multiplicante (Brown)      q...
Pero sin embargo a la hora de plantear enunciados de problemas para la operación9 : 3 demostraban que la mayoría de los ni...
El estudio experimental que hemos realizado consiste en pasar una serie de problemasrelacionados con el análisis de las cu...
-Sustracción complementaria: 50% de los alumnos consiguen hacerlo bien. Los fallosprovienen de plantear una resta en vez d...
los niños recurren a la representación gráfica, evitando realizar cualquier operación enel proceso de resolución.*** Aprox...
9. BIBLIOGRAFÍA
www.wikipedia.orghttp://www.aaamatematicas.com/pro.htmhttp://www.elabueloeduca.com/aprender/matematicas/restar/restar.html...
http://www.geothesis.com/http://juegosgratisde.com/juegos-de-habilidad/juegos-matematicashttp://www.youtube.com/watch?v=hO...
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  1. 1. OPERACIONES CON NÚMEROS. COMPRESIÓN Y SIGNIFICADO
  2. 2. ÍNDICE1. La suma2. La resta3. Experimentos y autores de la suma y la resta4. Métodos de la suma y la resta5. La multiplicación6. La división
  3. 3. 7. Experimentos y autores de la multiplicación y ladivisión8. Estudio experimental9. Bibliografía 1. LA SUMA
  4. 4. 1.1 ALGORITMOPara lograr una correcta comprensión del algoritmo de la suma en el nivel simbólico esnecesario, como mínimo, tener un conocimiento de la escritura del sistema denumeración decimal. La suma de dos números se puede modelizar imaginando quecorresponden a dos montones de caramelos que, por alguna razón, pretendemosjuntarlos en un montón único y conocer cuántos caramelos hay en él.En forma simbólica se pueden disponer los números y el resultado de una suma
  5. 5. colocando las cantidades una debajo de otra y justificándolas a la derecha y escribir elresultado debajo de los sumandos.2453+ 6241______8694Si alguna de las sumas parciales es igual o superior a 10, se aplica la regla del sistemade numeración decimal “cada diez unidades de un determinado orden constituyen unaunidad del orden inmediato superior”, en caso de ser 14 se dice que se ponen 4, y lasdiez restantes han formado una nueva unidad de orden inmediato superior y se une alas correspondientes de ese orden en los sumandos. Se dice “me llevo una” aunque,quizá, fuera más correcto decir “se forma una”. Esa unidad que se forma se puederetener en la memoria, o puede hacerse una marca en la columna correspondiente.3592+ 5165______8757Una variante de este algoritmo lo constituyen los algoritmos en los que se vanescribiendo las sumas parciales. Por ejemplo:679+ 845_____14+ 1101400_____1524O bien:679+ 845_____14
  6. 6. + 1114_____1524Errores:No tiene en cuenta el número que se lleva.37+ 25___52Confunde el papel del cero.50+ 24___70Los sumandos tienen distinto número de cifras. Sitúa de forma incorrecta los númerosen columnas a) o suma unidades de un determinado orden con unidades de distintosórdenes del otro sumando b).a) 234 b) 123+5 +5_____ _____734 6781.2 CONCEPTO DE LAS OPERACIONES DE ADICIÓNLa suma es considerada como la reunión de varios números en uno solo y se puededefinir a partir de las operaciones de unión. La suma de dos números naturales a y b sedefine del siguiente modo:
  7. 7. Siendo a cardinal (A) y b cardinal (B) consideramos, A Y B dos conjuntos distintos, esdecir, cumplen que A П B = Ø. Se define la adición en el conjunto N de númerosnaturales como la aplicación entre el producto cartesiano N x N y el conjunto de N, talque si f (a, b) = c siendo c cardinal (A U B) donde A U B = { x / x Є A o x Є B}.1.3 SITUACIONES EN LAS OPERACIONES DE ADICIÓNSituación de cambio:Cambio aumentando. En estos problemas se dispone una cantidad inicial que cambiacuando se le aumenta en otra determinada cantidad. Finalmente la cantidad inicial setransforma en otra mayor, es decir, un cambio como un aumento. Alguna de lasestrategias informales para resolver problemas de cambios aumentando son: - Contar todo: consiste en disponer las cantidades iniciales añadiendo a continuación las cantidades de aumento y contar todas empezando por la primera hasta la última. Es la estrategia más simple y utilizada. - Contar a partir del primer sumando: los niños que tienen capacidad para contar hacia adelante a partir de un numero cualquiera, puede llegar a ser capaces de establecer un conteo a partir de la consideración del primer sumando “5, 6, 7, 8”.A todas estas estrategias se les añade el conteo con dedos y el uso de simbolizacionesaritméticas adecuadas a cada caso. Es importante también, además del modeladodirecto de los momentos presentes en el problema planteado, manipular objetos.En una situación de cambio los papeles de ambas cantidades no son intercambiables.Problema: un novio tiene 5 canicas cuando empieza a jugar. Durante el juego gana 3canicas. ¿Cuántas canicas tendrá al final?Situación de combinación:Este problema muestra dos cantidades cuya suma conduce al resultado final. En lamisma operación aritmética resolveremos el problema planteado al completo. Desdeel punto de vista del significado que se le atribuye observamos que ahora no haycambio alguno de una cantidad inicial sino que aparecen dos cantidades inicialesejerciendo ambas el mismo papel. La reunión de ambas es la acción que resuelve elproblema, pero esta no es un cambio sino una combinación de las dos cantidadesanteriores.Los problemas de combinación se caracterizan básicamente para contar con doscantidades estáticas que forman parte de un todo que las incluye. Es posible elmodelado directo mediante objetos, dedos o exclusivamente de forma verbal.
  8. 8. Cuando en una situación de combinación las dos cantidades ejercen un papel similar,ello hace que el problema no varíe al intercambiar los papeles de las distintascantidades.En la situación de combinación las sumas conmutativas, las dos cantidades dadastienen un significado indistinto. En la de cambio la suma no es conmutativa por ser elsignificado diferente de las dos cantidades.Problema: Juan tiene 4 comics de su héroe favorito. Carmen tiene 3 comics distintosdel mismo personaje. Si se reúnen los dos a leerlos, ¿Cuántos comics tendrán en total?Situación de cambio y parte desconocidos:La estructura general de los problemas (las cantidades y sus relaciones) son las mismasque la de los problemas que se plantearon inicialmente, es decir, el de cambioaumentando (final desconocido) y combinación (todo desconocido).Por ello, la formulación lingüística emplea términos muy parecidos para descubrir laoperación que resuelve el problema. No es posible realizar el modelado directo de losmomentos planteados en estos problemas, pues se interrumpiría.Problema: un niño tiene 5 canicas cuando comienza a jugar. Durante el juego ganavarias canicas. Si al final tiene 8 canicas, ¿Cuántas canicas ha ganado?Problemas de cambio con el comienzo desconocido:En este caso un niño limitado a estrategias de modelado directo, no podría representarel conjunto inicial del que no se precisa la cantidad.En el problema: un niño tiene varias canicas al comenzar el juego. Luego gana 3canicas. Al final tiene 8 canicas. ¿Cuántas tenía al principio?; el niño gana 3 canicas quecoloca encima de la mesa, al final se le dice que tiene 8 canicas que procederá acolocar al lado de las 3 anteriores. Dado que las palabras clave están asociadas a laadición (gana) sumará 3 y 8 para dar la respuesta correcta, 11.
  9. 9. 1.4 PROPIEDADES DE LA SUMAPropiedad conmutativa: Si se altera el orden de los sumandos, cambia el resultado,obteniendo de esta forma un resultado abstracto. a+b=b+a.Propiedad asociativa: Propiedad que establece que cuando se suman tres o másnúmeros reales, la suma siempre es la misma independientemente de suagrupamiento. Un ejemplo es: a+(b+c) = (a+b)+cElemento neutro: 0. Para cualquier número a, a + 0 = 0 + a = a.Elemento opuesto o inverso aditivo: Para cualquier número entero, racional, real ocomplejo a, existe un número −a tal que a + (−a) = (−a) + a = 0. Este número −a sedenomina elemento opuesto, y es único para cada a. No existe en algunos conjuntos,como el de los números naturales.Propiedad distributiva: La suma de dos números multiplicada por un tercer número esigual a la suma de cada sumando multiplicado por el tercer número. Por ejemplo, 4 *(6+3) = 4*6 + 4*3.Propiedad de cerradura: Cuando se suman números naturales el resultado es siempreun número natural. Por ejemplo a+b=cEstas propiedades pueden no cumplirse en casos del límite de sumas parciales cuandotienden al infinito.
  10. 10. 2. LA RESTA
  11. 11. 2.1 ALGORITMOComo ocurre con el algoritmo de la suma, para lograr una correcta comprensión deeste algoritmo es necesario un conocimiento de la estructura del sistema denumeración decimal y una cierta habilidad en el conteo. Facilitará mucho las cosas elconocimiento de la sumas básicas, la tabla de sumar, el dominio del contardescendente y del doble conteo, simultáneo, ascendente y descendente.Para restar 693 y 542 se puede considerar que estos números corresponden a unmontón de caramelos distribuidos así: 3 caramelos sueltos, 9 bolsas de diez carameloscada una y 6 cajas de diez bolsas cada una. Y que de ese montón se quieren quitar 2caramelos, 4 bolsas y 5 cajas. Para saber cuántos caramelos quedan, la forma mássencilla de hacerlo es separar los caramelos, bolsas y cajas que hay que quitar y contarcuántos caramelos, bolsas y cajas quedan en el montón. Para facilitar la búsqueda delas unidades de un determinado orden, es deseable que estén colocadas en sitioscercanos y una forma de hacerlo, como ya se dijo en la suma, es respetando losprincipios del sistema de numeración, colocando las cantidades una debajo de otra yjustificadas a la derecha, esto hace que el resultado se escriba también debajo de lascitadas cantidades.5693- 3542_____2151Las estrategias numéricas a emplear son distintas, según el tamaño de los números olas preferencias de quien realiza los cálculos. Por ejemplo, 8 - 6 es 2 porque:• Estrategia a) Si a 8 le quito 6 me quedan 2.• Estrategia b) De 6 hasta 8 van 2.• Estrategia c) 6 + 2 es 8.El algoritmo se complica cuando algún dígito del minuendo es menor que elcorrespondiente del sustraendo. Para resolver esta situación es imprescindible conocerque la regla de formación de una unidad de un determinado orden es reversible en elsentido de que pueden obtenerse diez unidades de un determinado orden a partir, por“rotura”, de una unidad del orden inmediato superior.Esta manera de restar es llamada coloquialmente “pedir prestado”. Otra forma dehacer es la que se conoce como “pedir y pagar”.
  12. 12. Errores:El cero en el sustraendo.75- 40___30El cero en el minuendo.80- 36___56No hay el mismo número de cifras en el minuendo y en el sustraendo. Colocaciónincorrecta de los números en columnas a), restar unidades de un cierto orden aunidades de órdenes distintos en minuendo b) y dejar incompleta la operación c).a) 485- 26____XXXb) 675-4____231c) 471- 58____13
  13. 13. 2.2 CONCEPTO DE LAS OPERACIONES DE SUSTRACCIÓNLa resta o sustracción es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética; se tratade una operación de descomposición que consiste en, dada cierta cantidad, eliminar unaparte de ella, y el resultado se conoce como diferencia.Es la operación inversa a la suma. Por ejemplo, si a +b=c, entonces c–b=a.En la resta, el primer número se denominaminuendo y el segundo es el sustraendo. Elresultado de la resta se denomina diferencia.En el conjunto de los números naturales, N,sólo se pueden restar dos números si elminuendo es mayor que el sustraendo. De locontrario, la diferencia sería un númeronegativo, que por definición estaría excluidodel conjunto. Esto es así para otros conjuntoscon ciertas restricciones, como los númerosreales positivos.En matemáticas avanzadas no se habla de "restar" sino de "sumar el opuesto". En otraspalabras, no se tiene a – b sino a + (–b), donde –b es el elemento opuesto de b respectode la suma.Lo que implica la ampliación del conjunto de los números naturales con un nuevoconcepto de número, el conjunto de los números enteros, que incluye a los naturales.2.3 RELACION INVERSA ENTRE LA SUMA Y LA RESTAHay una relación inversa entre la suma y la resta.Ejemplo: Como 3 + 7 = 10 entonces los siguientes también son verdad: • 10 - 3 = 7 • 10 - 7 = 3Existen relaciones similares para la resta.Ejemplo: Como 10 – 3 = 7 entonces lo siguientes también son verdad: • 3 + 7 = 10 • 7 + 3 = 10Una ecuación es balanceada o igual a cada lado del signo igual (=). Si se realiza la misma
  14. 14. operación en ambos lados de la ecuación, esta permanecerá balanceada o igual.En el ejemplo anterior comenzamos con la ecuación 3+ 7 = 10. • Resta el mismo número a ambos lados 3 + 7 – 3 = 10 - 3 • En el lado izquierda el 3 y el -3 producen 0 lo que deja 7 = 10 - 3 • Damos vuelta la ecuación para presentarla en una forma más normal 10 - 3 = 72.4 PROPIEDADES DE LA RESTAPropiedad 1, Operación No Interna:
  15. 15. Elresultadode restardosnúmerosnaturales(esto es,su resta)no tieneporquésalir otronúmeroronatural.Por estose diceque laresta denúmerosnaturalesno es unapropiedad interna,elresultadofinalpuedepertenecer a otroconjuntonumérico.Por ejemplo, esto ocurre cuando el segundo término es mayor que el primero, ¿Quépasaría si hiciéramos 2-3 en lugar de 3-2?:El resultado (-1) es un tipo de número que ya estudiaremos más adelante (los números
  16. 16. negativos) pero lo importante es que NO pertenece a los números naturales (nuestrosnúmeros naturales empezaban en el 0).Propiedad 2, No Conmutativa:
  17. 17. El ordende lossumandosinfluyemucho enelresultadode unaresta.Observaen elsiguienteejemplocomo elresultadovaríasegúncómo lohagamos:De hecho,se suponeque elnúmero-3 noexiste enelconjuntode losnúmerosquenosotrosestamosestudiando, o sea,se suponeque ni
  18. 18. 3. EXPERIMENTOS Y AUTORES DE LA SUMA Y LA RESTA
  19. 19. La mayoría de los estudios dedicados al significado de la adición y la sustracción secentran en realidad en la destreza de los niños para resolver “problemas deenunciado”. Dentro de los problemas de adicción nos encontramos con una granvariedad como pueden ser los problemas de cambio, combinación y/o comparación.Algunos autores han realizado diversos estudios para ver como los niños son capacesde resolver los diferentes tipos de problemas, y aparte ver las dificultades queencuentran en el proceso de resolución de los mismos y que ejercicios les resultanmás fáciles de resolver.Entre estos autores podemos nombrar a Carpenter y Moser, Vergnaud, Nesher oBrown entre otros.Uno de esos estudios se baso en dar alguna idea de las diferencias de dificultad a lahora de resolver problemas de diferentes tipos.Brown: encontró que el 97% de un grupo de niños de 11 y 12 años resolvió confacilidad problemas de unión. Vergnaud y Durand: observaron éxitos en el 25% de los niños en problemas desustracción vectorial en el mismo grupo de edad. Matthews: observo en un grupo de niños de 6-8 años que el 70% eran capaces deresolver con éxito problemas de unión en contraste con solo el 35% correspondiente aproblemas de comparación. Por lo tanto con estos resultados se comprobó que a pesar de que la adicción es unproceso aplicable a la resolución una variedad de tipos de problemas, no todas lasformas de adición resultan igual de sencillas a los niños.Además de esto, Brown por su parte llevo a cabo varios estudios sobre las dificultadesque los niños encontraban a la hora de resolver un problema de adicción.Un problema que uso para su estudio fue: “El indicador muestra que hay 18 km aloeste hasta Grange y 23 km hacia el este hasta Barton. ¿Cuántos km hay desde Grangehasta Barton? (UNIÓN)***concretamente, a Hilary, se le planteó el problema, y después le plantearon elmismo tipo de problema con una situación más familiar, y con ayuda consiguióresolver el problema.
  20. 20. También pidió a 58 niños de 11 y 12 años que prepararan cuentos que contuvieran lasexpresiones 9+3 y 84+28 con el fin de disponer de tener pruebas de los diferentessignificados que los niños podían dar a la suma. Alrededor de la tercera parte daban unmodelo de “unión”.Ej. Tres obreros de un edificio han puesto 84 ladrillos y un hombre ha puesto 28.¿Cuántos ladrillos han puesto en total?Otro tercio puso un ejemplo del tipo “adjunción”.Ej. Pedro tenía 28 euros y su mama le dio otros 50.¿cuantos euros tiene Pedro ahora?El tercio restante puso un problema del tipo “comparación”Ej. Marina tenía 9 huevos y Susana 3 más. ¿Cuántos huevos más tiene una que otra?Con este experimento podemos ver como los niños pueden atribuir diversidad designificados a una suma.Por otro lado, al igual que para la suma, también para la sustracción se ha diferenciadoy descrito una variedad de tipos de problemas de restas como son los problemas deseparación, comparación, adición complementaria o sustracción vectorial.Se llevo a cabo también un estudio con niños para comprobar que problemas lesresultaban más difíciles dentro de los tipos de problemas de sustracción.Vergnaud y Durand: encontraron que la mitad de los niños de siete años y la totalidadde los de nueve resolvían con éxito los problemas de “quitar” mientras que eran losniños de 10 los que resolvían problemas de adicción complementaria y los de 13, losque resolvían los del tipo sustracción vectorial, los cuales solo supieron resolverlos lamitad de los niños de 11 años.Este estudio da una idea de la gama de dificultades dentro de la amplia variedad deproblemas de adición y sustracción.También se ha comprobado que para los niños resulta más sencilla la forma de“quitar”. Un estudio realizado por Schell y Bunrs mostró que en un grupo de niños de7 a 8 años el orden de dificultad (menos a mayor) era: 1” quitar”, 2 “comparar” y 3“adición complementaria”
  21. 21. Carpenter y Moser: en un estudio realizado, vieron que la mayoría de los problemasde sustracción correspondientes a la forma “adición complementaria” eran resueltosmediante técnicas de adición.Azusa Pacific University (APU) constato que las 3/5partes de los de 11 años recurríana la forma de añadir mentalmente para resolver estos y otros problemas de adicciónsimilares.Brown: comprobó, durante las entrevistas a niños de 11-13 años, que al plantearlesun problema del tipo “adición complementaria” con números mayores de 100, losniños emplearon estrategias aditivas y en la mayoría de los casos los niños noalcanzaron a reconocer que el problema podía resolverse con una resta.McIntosh: por su parte, proporciona algunos ejemplos de historias escritas por niñospara efectuar la resta 72-29.Ej. Un día en la escuela, me dijeron que hiciera la suma 72-29, la hice bien y me dieronun positivo.(8años)Ej. Un día había 72 niños y 29 niñas, y eso era 43 niñas y un niño.(10/11 años)Ej. Un cocodrilo tenía 72 dientes, y a la comerse algo se le cayeron 29. ¿Cuantos lequedaron? (9/10 años)Ej. Tomas tiene 72 bolas y Paula tiene 29. ¿Cuántas bolas tiene más Tomas que Paula?Estos ejemplos ponen de manifiesto que los niños pueden interpretar de muchasmaneras expresiones como 72-29, aunque los resultados sugieren asimismo que envarios casos los niños sabían efectuar el cálculo, pero no supieron darle significado a laexpresión.
  22. 22. 4. METODOS DE LA SUMA Y LA RESTA
  23. 23. Para estudiar la comprensión que el niño tiene del significado y estructura de lasoperaciones aritméticas básicas (suma, resta, multiplicación y división), nos basaremosen las fases del desarrollo identificadas por Grossnickle (1959). Estas fases lasdescribimos como: -El significado de la operación en casos concretos - El cómputo y las propiedades estructurales de las operaciones. -Comprensión de las propiedades estructurales de las operaciones.4.1 ESTRATÉGIASDentro del apartado de los métodos de la enseñanza de la suma y la resta, podemosañadir una serie de estrategias a utilizar por el profesor que le pueden ser útiles a lahora de estructurar una clase, como son: 1. MATEMÁTICA GUIADA: El profesor es el encargado de guiar a los alumnos a través de un concepto matemático específico. Modela el pensamiento matemático y aporta nuevas estrategias adaptadas al individuo, con el fin de facilitar el aprendizaje de un concepto en particular. Este método puede ser utilizado en cualquier momento, sin estar determinado a un grupo concreto. 2. MATEMÁTICA COMPARTIDA: Consiste en la realización de actividades en grupo, lo que hace que los niños se comuniquen entre si, y que sea necesario el intercambio de ideas a la hora de resolver un problema o investigar una idea matemática. 3. MATEMÁTICA INDEPENDIENTE: Los alumnos trabajan individualmente, teniendo en cuenta que pueden pedir ayuda al profesor si lo ven necesario. Da libertad al alumno permitiéndole marcar su propio ritmo de trabajo y desarrollando independencia y autoconfianza, permitiéndole aplicar su propia estrategia.4.2 MODELOS DE ILUSTRACIÓNLos siguientes son modelos utilizados para ilustrar el significado de las operaciones deadición y sustracción. Encontramos dos tipos, dependiendo si se basan en el modelo
  24. 24. discreto (Divisibles un número finito de veces) o en el continuo (Divisibles un númeroinfinito de veces): - OBJETOS INDIVIDUALES (modelo discreto): Se basa en la representación de la operación(adición o sustracción) mediante dos conjuntos de objetos formados por cantidades discretas, como podemos ver en el siguiente gráfico: - LONGITUDES CONTÍNUAS (modelo continuo): Representa la operación realizada con cantidades continuas (longitudes), como podemos observar en el siguiente gráfico: Estos modelos se utilizan para problemas de combinación (en la suma) o partición (en la sustracción), con objetos o longitudes. También permiten modelos de comparación. Para este modelo su puede utilizar como material las piezas de LEGO. Con respecto a los experimentos, no hay muchas investigaciones referentes a la capacidad de los niños para usar estos modelos visuales a la hora de interpretar el significado de la suma y la resta, así pues, observaremos su utilidad viendo los experimentos realizados con las regletas de Cuissenaire (modelo continuo), y el modelo discreto, siendo considerado el modelo tradicional. Fennema realiza en 1972 este estudio que, como síntesis muestra que ambos métodos obtienen resultados similares y que, por tanto, ambos dan una imagen clara del concepto de la adición y la sustracción.
  25. 25. 4.3 MATERIALES PARA LA DIDÁCTICA DE LA SUMA Y LA RESTARECTA NUMÉRICA: La recta numérica es una representación lineal de los números enteros, mostradoscomo puntos separados por la misma distancia entre si. La recta incluye todos losnúmeros reales, continuando infinitamente hacia cada sentido. Se usa como ayudapara enseñar la adición y la sustracción simples, implicando especialmente númerosnegativos.La didáctica con la recta numérica se basa en la idea del orden de los números, parapoder determinar si un numeral es mayor o menor que otro, dependiendo del lugarque ocupa en la recta. Así, decimos que un número es menor, cuando está ubicado a laizquierda de otro en la recta numérica, o sea, está más cerca del 0 y, decimos que esmayor, cuando se ubica a la derecha de otro y está más alejado del cero.Pongamos un ejemplo de un problema de sustracción utilizando la recta numérica:Me quiero comprar una bicicleta que cuesta 100 Euros, si ya tengo 87, ¿cuánto dinerome falta para poder comprarla? Utiliza la recta numérica para representarlo.ESCALERA:Se trata de un método lineal utilizado para aprender el oren de los números y aplicarsumas y restas sencillas. Se basa en la sucesión de términos y consiste en colocar losnúmeros repartidos en cada escalón de la escalera, de manera que queden ordenadosy puedan ser contados uno a uno para llegar a los resultados de operaciones. Se utilizapara esto un dibujo como este: Este método se utiliza mucho en niveles superiores para explicar las unidades de medida de longitud (km-mm), pesos (kg-mg)… para poder explicar su orden y aprender a pasar de una cantidad a otra correctamente.
  26. 26. REGLETAS DE CUISENAIRE:Las regletas Cuissenaire son un material matemático destinado a que los niñosaprendan a base de su uso, la composición y descomposición de los números, ademásde iniciarles en las actividades de cálculo, todo ello sobre una base manipulativa. Elmaterial consta de un conjunto de regletas de madera de diez tamaños y coloresdiferentes, y cada regleta equivale a un número determinado, como podemos ver acontinuación: -La regleta blanca, con 1cm representa al 1. -La regleta roja, con 2 cm. representa al número 2. -La regleta verde claro, con 3 cm. representa al número 3. -La regleta rosa, con 4 cm. representa al número 4. -La regleta amarilla, con 5 cm. representa al número 5. -La regleta verde oscuro, con 6 cm. representa al número6. -La regleta negra, con 7 cm. representa al número 7. -La regleta marrón, con 8 cm. representa al número 8. - La regleta azul, con 9 cm. representa al número 9. -La regleta naranja, con 10 cm. representa al número 10.Se pretenden conseguir con el uso de este material una serie de objetivos, como sonasociar la longitud con el color, establecer equivalencias, aprender a formar la serie denumeración del 1 al 10, trabajar las relaciones de mayor qué y menor que de losnúmeros basándose en la comparación de longitudes, realizar seriaciones, introducir lacomposición y la descomposición de números, iniciación de la suma y la resta,iniciación en los conceptos de doble y mitad y realizar repartos. Con su uso podemosvisualizar los números primos, cubos y cuadrados, división y multiplicación, divisores ymúltiplos, tablas de multiplicar, números pares e impares…BALANZAS:Consiste en una balanza y un conjunto de números con distinto peso, de manera queal colocar dos números, en el otro lado debas colocar el resultado de la suma deambos para equilibrar la balanza, por ejemplo al colocar el 2 y el 3 en un lado de labalanza, deberías colocar el 5 al otro lado para equilibrarla (2+3=5). Se utiliza paraaprender las operaciones sencillas, ya sea de adición o de sustracción.
  27. 27. En este enlace podemos ver un juego online basado en la balanza:http://juegosgratisde.com/juegos-de-habilidad/juegos-matematicas/monkey-math-balanceCUBOS LÓGICOS:Consiste en representar mediante el cubo lógico la unidad (mostrada mediante undado pequeño), la decena (mostrada por una barra conformada por 10 dados), lacentena (una tabla constituida por 100 dados pequeños) y las unidades de millar(mostrado mediante un cubo compuesto por 1000 dados pequeños). Se utiliza para hacer al niño visualizar las cantidades y manipularlas, de forma que el concepto sea asimilado de forma íntegra. Además se usa para expresar operaciones, no solo de adición y sustracción, sino también de multiplicación y división.DIAGRAMA DE VENN.Los diagramas de Venn son ilustracionesusadas en las Matemáticas en la teoría de
  28. 28. conjuntos. Estos diagramas se usan paramostrar gráficamente la agrupación deelementos en conjuntos, representandocada uno mediante un círculo, de formaque facilitan la comprensión de la teoría.Sen una buena herramienta, que nospermite realizar las operaciones entre losdiversos conjuntos de una forma mássencilla.ÁBACO:Un ábaco es un objeto que sirve para realizar operaciones de suma, resta ymultiplicación y reforzar el aprendizaje y la comprensión de los algoritmos, a través dela manipulación y el juego. Tiene como uso principal enseñar el cálculo y su metodología. Consiste en una serie decuentas que han de colocarse en su posición correspondiente para expresar unnúmero concreto. Se utiliza deslizando las cuentas a lo largo de una serie de barras querepresentan las unidades, decenas, centenas, unidades de millar, decenas de millar,centenas de millar.... Estas cuentas se pueden colocar o quitar dependiendo de la cifraque se desee representar, siendo la posición de la bolita en la barra la que determinasu valor. En esta fotografía podemos ver un ábaco que muestra el número 46.513. Las barras marcan de derecha a izquierda las unidades, decenas, centenas, unidades de millar y decenas de millar. El número que se representa en cada barra depende del número de cuentas que hay en ella, teniendo en cuenta el hecho de que, puede haber un máximo de 9 cuentas en cada barra, pasando la décima a la barra siguiente.Es un material muy eficaz para dar a entender al niño la situación de las unidades y laimportancia de la misma, así como introducirlo en sus primeras operaciones, tanto connúmeros grandes como con números pequeños, de manera visual. Además es muy útila la hora de explicar el motivo por el que al acumular diez unidades, obtenemos unaunidad nueva por ejemplo en las decenas. Pero, seguramente lo más importante deeste método es que permite la manipulación y el juego con el material, lo que motivaal individuo y facilita el aprendizaje.
  29. 29. 4.4 MARIA ANTONIA CANALSPropone una serie de métodos orientados a la ordenación y clasificación de elementos,así como los primeros pasos para las operaciones básicas de un modo lúdico y sencillo.Uno de los métodos más conocidos de los dictados por ella son las regletas, similares alas regletas de Cuissenaire, pero ampliadas y adaptadas principalmente al alumnadode primaria.Las regletas de María Antonia Canalsconstan, además de conjuntos de regletasde distinto tamaño y diez colores, de unaserie de tablas cuadradas (que representanel cuadrado del número que su colorsimboliza) y cubos, que representan el cubodel número designado, de igual manera,por su color.Podemos ver otros materiales explicadospor ella en el video al que conduce el enlace siguiente:http://montessorihoy.blogspot.com/2010/02/m-antonia-canals.html 5. LA MULTIPLICACION
  30. 30. 5.1 ALGORITMO DE LA MULTIPLICACIONUn algoritmo de multiplicación es un método para multiplicar dos números. Dependiendo deltamaño de los números, existen diferentes algoritmos. Los algoritmos de multiplicación existendesde el advenimiento del sistema decimal. La multiplicación de números naturales estárelacionada con la adición, por lo que el producto de dos números naturales es una sumarepetida. Diremos que un sujeto comprende dicho algoritmo si es capaz de “emplearlo”espontáneamente y con éxito en todas aquellas situaciones que lo requieran.
  31. 31. Para utilizar el método habitual para multiplicar dos números enteros, es necesario elaprendizaje y dominio previo de las tablas de multiplicar y la propiedad distributiva delproducto respecto de la suma, además del conocimiento del sistema decimal, lapropiedad conmutativa y la capacidad de descomposición de números.La multiplicación se empieza desde la derecha, teniendo en cuenta la colocación de lasunidades de un orden bajo las unidades del mismo orden (unidades bajo unidades,decenas bajo decenas, centenas bajo centenas, etc.). Luego se suman los productos decada cifra del segundo factor por todas las del primero.Antes de enseñar el algoritmo estándar, es bueno explicar bien a los alumnos cómomultiplicar en partes:Para multiplicar, por ejemplo, 2 × 76, separamos 76 a 70 y 6 (decenas y unidades).Luego multiplicamos esas partes por separado, y sumamos los resultados.Así calculamos 2 × 70 = 140 y 2 × 6 = 12, y sumamos 140 + 12 = 152.Y ahora ya podremos aplicar el algoritmo a través de varios ejemplos cada vez máscomplejos:76 será el multiplicando y el 2 el multiplicador.Se coloca el multiplicador debajo del multiplicando, haciendo coincidir las columnas delas unidades por la derecha. 76 ×2 152Los pasos aquí son los mismos. Primero multiplicamos las unidades: 2 × 6 = 12,anotando 2 de las unidades, y llevando 1 unidad a las decenas. Luego multiplicamos2 × 7 = 14, añadimos el 1 que nos hemos llevado consiguiendo 15, y lo escribimos en ellugar de las decenas.Pero como esta manera de escribirlo es demasiado directa para los niños, existe otra unpoco más larga y detallada. .76 ×2 ...12 + 140… 152
  32. 32. Se multiplica primero 6 x 2 = 12 y luego 70 x 2 = 140 y se suman.- Ahora tomamos la multiplicación 274 x 2.a) Conforme a las tablas elementales, se multiplica la cifra de unidades (2) delmultiplicador por cada una de las cifras del multiplicando, empezando por las unidades(4) sumando las unidades que nos llevamos, aquí por ejemplo, al multiplicar por lasdecenas (2 x 7 = 14) nos llevaríamos 1 unidad, que añadiremos como suma al resultadode multiplicar la cifra siguiente, las centenas [(2 × 2) + 1 = 5], continuándose de igualforma con las demás cifras del multiplicando si las hubiera. 274 ×2 548b) O bien se hace descomponiendo el número en unidades, decenas y centenas, y semultiplica paso a paso, para después sumarlo.( 2 x 4 = 8) + ( 2 x 70 = 140) + (2 x 200 = 400); 8 + 140 + 400 = 548. 274 ×2 …8 140 + 400… 548Pero es mejor que los alumnos se acostumbren al primer modelo, pues si no les serámás complicado multiplicar por números de dos cifras. Además, este ultimo modelotan largo, alarga el algoritmo innecesariamente, no facilita demasiado las cosas, noaprovecha la potencia del sistema decimal de numeración y se adapta más al algoritmode la suma.Por ejemplo,Si ahora nuestro multiplicador fuera de dos cifras (32) el proceso seria el mismo,comenzar multiplicando las unidades del multiplicador (2), al igual que antes. Acontinuacion, repetiriamos el proceso con las decenas (3), escribiendo el resultadodebajo de la fila anterior. Es como multiplicar (2 x 274) + (30 x 274).
  33. 33. 274 x 32…………. _______...... 548………… + 8220……….. ________..... 8768En lugar de: 274 ×32 ….8 140 + 400… 120 2100.. 6000.. 8768..Un modo mas sencillo de realizar las multiplicaciones cuyo multiplicador es de doscifras, es en este mismo ejemplo 274x32, en lugar de multiplicar 274 x 2 y luegoescribir justo debajo el resultado de 274 x 30 para sumarlo, es multiplicar 274 x 2 yluego 274 x 3, escribiendo el resultado debajo y un lugar más a la izquierda. Asíconseguimos realizar cálculos más sencillos (3x4, 3x7 y 3x2 en lugar de 30x4, 30x7 y30x3). El resto será igual: 274 x 32…………. _______...... 548………… + 822 …….. ________.. 8768...
  34. 34. .-Otro modo de algoritmo de multiplicación es la multiplicación egipcia o duplicación.La explicaremos a través del ejemplo 68 x 9:Se hacen dos columnas. En la columna de la izquierda colocamos el primer factor (68) yen la segunda la unidad (1). Se van duplicando ambos escribiendo el resultado debajode ellos hasta acercarnos en la segunda columna lo más posible al segundo factor (9).Entonces se suman los términos de la primera columna que corresponden a losnúmeros que suman el segundo factor (9) en la segunda.68 1136 2272 4544 89 = 1 + 8 ; 68 x 9 = 68 + 544 = 612-otro algoritmo de la multiplicación es la multiplicación rusa o por doble y mitad.Tomaremos el ejemplo de 42 x 21Se hacen dos columnas. En la primera colocamos el primer factor (42) y en la segundael segundo factor (21). El primero se duplica y el segundo se divide por dos(suprimiendo los decimales), anotándose debajo de estos sucesivamente hasta llegar auno en la columna de la derecha. El resultado se obtiene sumando todos los términosde la primera columna que corresponden a los números impares de la segunda.42 2184 10 (=10’5)168 5336 2672 142 x 21 = 42 + 168 + 672 = 882- un nuevo algoritmo bastante curioso es el geométrico, que por el momento no seenseña en las escuelas.Cojamos el ejemplo 34x21Primero representaremos el número 34 con líneas. 3 líneas paralelas y un poco másabajo 4 líneas paralelas. Luego colocamos perpendicularmente las líneaspertenecientes al número 21, 2 a la izquierda y 1 a la derecha. Contamos los cruces de
  35. 35. la esquina superior izquierda y ponemos el número a la izquierda (4), contamos los dela equina superior derecha y los de la inferior izquierda y los sumamos y ponemos elnúmero a continuación del anterior. Por último contamos los de la esquina inferiorderecha y ponemos el número. En este caso hemos obtenido un número central dedos cifras (11), sería lo que en la multiplicación decimos comúnmente, “me llevo tantasunidades” por lo que la pasamos a las centenas, quedando así: 714.Si realizáramos la multiplicación del modo común para comprobarlo, veríamos que escierto el resultado obtenido: 34 x 21…………. _______...... 34………… + 68 …….. ________.. 714…5.2 EL SIGNO DE MULTIPLICAR:El signo de multiplicar (x) fue utilizado por primera vez en el siglo XVII por WilliamOughtred en su obra Clavis Mathematicae en lugar de la palabra “veces”.Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el punto para indicar la multiplicación en el siglo XVII.
  36. 36. 5.3 SITUACIONES EN LAS QUE APLICAR LA MULTIPLICACION: - De proporcionalidad simple: se da en los contextos en los que hay que reiterar una cantidad un número de veces (términos “cada”). Por ejemplo, 4x3=___ es una situación en la que hay que unir 4 conjuntos de 3 objetos cada uno. Así se formará un conjunto de 12 elementos. un ejemplo sería: Hay 4 cajas y en cada una tenemos 13 caramelos, ¿Cuántos caramelos hay en total? también se pueden dar contextos de tasa, en los que se usa el término “por”. Por ejemplo: he repartido caramelos entre 4 niños y han tocado a 3 caramelos por niño, ¿cuántos caramelos he repartido? - De comparación: se utilizan términos como doble, triple… y en general “veces”. Son adiciones repetidas. Pueden ser de aumento (Javier tiene 3 veces más que Iván), de igualdad (Javier tiene tantas veces como Iván) y de disminución (Javier tiene 3 veces menos que Iván). Son situaciones de comparación entre dos cantidades A y B, en la que una es el referente, otra el comparado o referido, y se da un factor de comparación o escalar. Javier (referido) tiene el triple (factor escalar, 3) de coches que Iván (referente). puesto que cada una de las cantidades puede funcionar como referente o como referido, se pueden realizar dos comparaciones que son inversas entre sí: una de aumento y otra de disminución. - De producto cartesiano: se pueden dar dos formas posibles de combinarse 2 conjuntos. Una es la situación de combinatoria, representable mediante diagrama de árbol, o la situación de producto de medidas, en la que dos magnitudes se combinan para dar lugar a una tercera, por ejemplo el área.
  37. 37. 5.4 TIPOS DE PROBLEMASLos problemas multiplicativos pueden ser en general de 3 tipos: - Factor multiplicante: Juan tenía 28 lacasitos. Susana tenía 7,5 veces más. ¿Cuántos lacasitos tenía Susana? - Razón: Hay 6 cajas y en cada una tenemos 13 caramelos. ¿Cuántos caramelos hay en total? - Producto cartesiano: En una tienda hay caramelos de 5 tamaños distintos y de cada tamaño hay 13 colores distintos. ¿Cuántos caramelos distintos puedes comprar?5.5 PROPIEDADES: - Propiedad conmutativa: el producto de dos números es el mismo aunque se altere el orden de los factores. axb=bxa
  38. 38. - Propiedad asociativa: el producto de tres números puede hacerse de dos formas dado que es una operación binaria: puede multiplicarse primero los dos primeros números y el resultado por el tercero, o multiplicar los dolultimos y lo que resulte por el primero. (a x b) x c = a x (b x c) - Propiedad distributiva del producto respecto a la suma: se obtiene el mismo resultado si hacemos la suma y multiplicamos el resultado por el factor, que si multiplicamos el factor por cada sumando y sumamos los resultados. a x (b + c) = axb + axc - Ley de composición interna: la multiplicación la cumple. - Elemento neutro de la multiplicación = 15.6 MODELOS DE LA MULTIPLICACION:Hay varios modelos de multiplicación, de los cuales cada uno enfatiza un contexto delnúmero. - Modelo lineal: son modelos de recuento en los que se utiliza la línea numérica. Se hacen intervalos de longitud “a” y el producto n x a se hace contando la longitud “a” n veces. - Modelo cardinal: se puede dar por un lado la unión repetida de conjuntos normalmente con los mismos objetos, por otro, las matrices (distribución de objetos en un esquema rectangular con filas y columnas), la representación mediante producto cartesiano (cuadro de doble entrada o diagrama de árbol), y utilizando conjuntos mediante diagramas de flechas. - Modelo de medida: con las regletas de Cuissenaire (colocando las dos regletas pertenecientes a los números a multiplicar, una encima de la otra en cruz. Se toman tantas regletas debajo como indique la longitud de la de arriba y lo que sumen las de abajo es el resultado) o con la balanza de platillos (colocar tantas veces una unidad de peso indicada en el multiplicando como nos indique el multiplicador, y en el otro platillo poner el peso que equilibre la balanza (resultado)). - Modelo numérico: un contexto estrictamente simbólico, y los números simbolizados. El producto es una suma reiterada. - Modelo de razón aritmética: comparación de dos conjuntos, o dos cantidades, en términos de “cuantas veces más”.
  39. 39. - Modelo funcional: la multiplicación aparece con carácter de función u operador. Hay un estado inicial (2), un estado operador (x4) y un estado final (12).5.7 NIVELES DE ENTENDIMIENTO DEL ALGORITMO: UN ESQUEMACLASIFICATORIODe un análisis de las situaciones en las que aparece sentido el algoritmo estándar delproducto elaboramos una clasificación con cuatro categorías básicas de utilización queproporcionan distintos indicadores de la comprensión de este algoritmo: - Categoría 1 (Identificativa): En esta categoría de referencia el algoritmo de la multiplicación no se utiliza de ningún modo pero es reconocido por el alumno como un método de cálculo distinto al de la suma o la resta. - Categoría 2 (Sintáctica): El algoritmo se utiliza de forma mecánica como un instrumento para resolver: a) Ejercicios donde se presentan números de diferentes para multiplicar. Son tareas típicas escolares planteadas a los alumnos para que practiquen y mejoren su destreza en el manejo del algoritmo. Éste aparece descontextualizado, sin relación alguna con el concepto de multiplicación. b) Problemas aritméticos de enunciado verbal de estructura multiplicativa escolares y situaciones que tienen lugar en un contexto no escolar donde es necesario multiplicar para resolver un problema (situaciones de mercado,...). En estos casos, el algoritmo de la multiplicación compite con otros métodos alternativos de cálculo escrito o mental y con la calculadora. - Categoría 3 (Funcional): De usar el algoritmo clásico del producto como herramienta se pasa a razonar sobre su propio mecanismo en problemas donde se ponen en juego procedimientos heurísticos (por tanteo, reglas empíricas…). Se incluyen en esta categoría la resolución de multiplicaciones con cifras desconocidas (unas tareas en las que hay que relacionar aspectos del funcionamiento y la estructura del algoritmo). - Categoría 4 (Justificativa): Problemas de justificar regularidades y propiedades acerca del algoritmo tradicional de la multiplicación. El conocimiento de los principios en los que se fundamenta el algoritmo es requisito indispensable para poder abordar los problemas de esta categoría. Para determinar la comprensión que tiene un alumno del algoritmo estándar del producto será necesario analizar cómo es utilizado en cada una de las situaciones señaladas. Para terminar podemos decir que la comprensión de la multiplicación y su algoritmo se van desarrollando progresivamente con los años, sirviendo de ayuda elementos tales como los diagramas, o la calculadora (ayuda a fijar la atención en la estructura y el orden del problema).
  40. 40. 6. LA DIVISION:
  41. 41. 6.1 DEFINICION ARITMETICALa división es una operación aritmética de descomposición que consiste en averiguarcuántas veces un número (el divisor) está contenido en otro número (el dividendo). Ladivisión es una operación matemática, específicamente, de aritmética elemental,inversa de la multiplicación y puede considerarse también como una resta repetida.Según su resto, las divisiones se clasifican como exactas si su resto es cero (r = 0),transcriptas como a = b · c , ó inexactas (r ≠0) cuando no lo es, siendo r mayor que d (eldivisor), en este caso, su transcripción sería a = b · c + r con 0 ≤ r ‹ b .Al resultado entero de la división se denomina cociente y si la división no es exacta, esdecir, el divisor no está contenido un número exacto de veces en el dividendo, laoperación tendrá un resto o residuo, donde:Que también puede expresarse: Dividendo = cociente × divisor + resto6.2 CONCEPTO DE LAS OPERACIONESDividir un nº n por un nº d, es repartir un conjunto de n elementes en tantossubconjuntos de d elementos en tantos subconjuntos de d elementos como seaposible. El nº de subconjuntos es el cociente y los que quedan el resto.6.3 FORMALIZACION DE LA DIVISIONResta reiterada de sustraendos iguales. a : b = ((a - b) - b) - … .. …De esta manera 21 : 7 = ___ se puede interpretar como restar tantos 7 de 21 como seanecesario hasta que el resto sea cero o un número menor que 7, es decir, la divisiónconsiderada como una sustracción repetida.En el caso 21 : 7 tenemos que: 21 – 7 = 14, 14 – 7 = 7, 7 – 7 = 0 (el cociente es tres, quees el número de veces que hemos restado siete).El dividendo se corresponde con el minuendo inicial de la sustracción, el divisor con elsustraendo que se repite y el cociente es el número de veces que el sustraendo puederestarse del minuendo inicial.
  42. 42. 6.4 ALGORITMO DE LA DIVISIONEn la aritmética el algoritmo de la división, también llamado división euclídea, es unteorema que afirma que para cualesquiera enteros D y d, llamados dividendo y divisorrespectivamente, con d no nulo, existen enteros únicos c y r, llamados cociente y restorespectivamente, tales que y .El algoritmo de la división suele ser representado de acuerdo al modelo:EXPLICACION EJEMPLIFICADA DEL ALGORITMO DE LA DIVISION:Un algoritmo para dividir dos números, por ejemplo 8593 (dividendo) y 23 (divisor), esel siguiente:Se escribe el dividendo a la izquierda y el divisor a laderecha, contenido en una escuadra abierta hacia laderecha o galera.Se toma la primera cifra del dividendo (8) y se divide porla primera del divisor (2). En el caso de que la primeracifra del dividendo sea menor que la del divisor se toman dos cifras del dividendo.Ahora se trata de encontrar el máximo cociente que multiplicado por el divisor seamenor que las dos primeras cifras del dividendo (o tres en el caso señalado).Puesto que 8:2=4, se multiplica 4x23=92, que excede a 85 (es decir, 92>85), por lo quese toma una unidad inferior, en este caso 3. En efecto, 3x23=69. Este producto se restade las dos primeras cifras (o tres en el caso señalado), obteniendo 85-69=16.A este resto se le añade la cifra siguiente del dividendo, 9. Con dicho número, 169, seprocede de igual manera que con las primeras cifras, y sucesivamente con todas lascifras del dividendo.Las dos primeras, en este caso, 1<2. 16:2=8. 8x23=184; 169<184. Por lo queconsideramos una unidad menos, 7x23=161, cuyo resto con 169 es 8. Se "baja" ahorala cifra siguiente del dividendo 3, formándose ahora el número 83. 8:2=4; 4x23=92;83<92. Se toma el 3. 3x23=69; 83-69=14.Al no haber más cifras del dividendo, este 14 es el resto, que siempre ha de ser menorque el divisor.El resultado es el siguiente: 8593 dividido por 23 da un cociente de 373 y un resto de14; donde se ha de verificar que: 373x23+14=8593.
  43. 43. 6.4 PROPIEDADESPropiedad 1, Operación No Interna: El resultado de dividir dos números naturales (esto es, su cociente) no tiene por qué salir otro número natural. Por esto se dice que el cociente de números naturales no es una propiedad interna, el resultado final puede pertenecer a otro conjunto numérico. Por ejemplo, esto ocurre cuando el segundo término es mayor que el primero, ¿qué pasaría si hiciéramos 2 : 4 en lugar de 4 : 2?Propiedad 2, No Conmutativa: El orden de los sumandos influye mucho en el resultado de una división. Como ya hemos visto:Propiedad 3, Elemento Neutro: Un elemento Neutro es un número que hace que al dividir "no ocurra nada", o sea, cuando tenemos un número y lo dividimos entre su elemento neutro, nos sigue apareciendo el mismo número. Así el 1 es el elemento neutro de la división porque cuando a un número cualquiera lo dividimos entre 1, se sigue quedando el mismo número. Por ejemplo:Propiedad 4, El cero y la división:
  44. 44. 1. Cero dividido entre cualquier número da siempre 0. Esto también tiene mucho sentido, si no tenemos ninguna bola que repartir, a todos nos tocarán 0 bolas siempre. 2. No se puede dividir por 0. En la división no es posible tener 20 bolas y no repartirlas entre nadie. Propiedad 5, La división exacta: En una división exacta el dividendo es igual al divisor por el cociente. Por ejemplo: 6=3·2 D=d·cPropiedad 6, La división entera: En una división entera el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto. Por ejemplo: 7=3·2+1 D=d·c+r 6.6 RELACION INVERSA ENTRE LA MULTIPLICACION Y LA DIVISION La multiplicación y la división son operaciones inversas. De una multiplicación obtenemos dos divisiones exactas, y de una división exacta, una multiplicación y otra división del mismo tipo. 7 · 5 = 35 → { 35 : 7 = 5 35 : 5 = 7 42 : 6 = 7 → { 7 · 6 = 42 42 : 7 = 6 Para todo par de números naturales ay b b≠ 0, a : b es el único número natural c, si existe, tal que b · c = a, es decir, a : b =c ↔ a= b · c . De tal manera que si queremos obtener el cociente de 35 : 7 = ___ podemos obtenerlo buscando el número que multiplicado por 7 nos da 35, es decir: 35 = 7 · ___ . 6.7 DIVISIBILIDAD
  45. 45. Decimos que un número entero b es divisible entre otro entero a (distinto de cero) siexiste un tercer entero c tal que: b = a · cSe suele expresar de la forma a|b, que se lee a divide a b, o a es divisor de b, otambién b es múltiplo de a.Por ejemplo, 6 es divisible por 3, ya que 6 = 3·2; pero no es divisible por 4, pues noexiste un entero c tal que 6 = 4·c. Es decir, el resto de la división entera de 6 entre 4 noes cero.Todo número entero es divisible por 1 y por sí mismo. Los números mayores que 1 queno admiten más que estos dos divisores se denominan números primos. Los queadmiten más de dos divisores se llaman números compuestos.CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD: • Un número es divisible por 2 si es par (su última cifra es 2, 4, 6, 8 ó 0). • Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3. • Un número es divisible por 4 si el número formado por las últimas dos cifras es múltiplo de 4 o termina en doble 0. • Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5. • Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y 3. • Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es cero o múltiplo de 7. • Un número es divisible por 8 si el número formado por las últimas tres cifras es múltiplo de 8. • Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. • Un número es divisible por 10 si termina en 0. • Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos de las cifras de los lugares pares y la suma de los valores absolutos de los lugares impares, en el sentido posible, es múltiplo de 11. • Un número es divisible por 12 si es divisible por 3 y 4.Estos criterios sirven en particular para descomponer los enteros en factores primos, loque se usa en cálculos como el mínimo común múltiplo o el máximo común divisor.6.8 DIVISON CUOTITIVA Y LA DIVISION PARTITIVA
  46. 46. El reparto de una cantidad de objetos pude hacerse de dos maneras, lo que conduce ala distinción de dos tipos de división.La división cuotitiva (agrupamiento): Considerada la división como medida.Físicamente el reparto se realiza separando sucesivamente subconjuntos de cuatroelementos hasta que no podamos quitar más, es decir, se trata de una resta sucesiva ytenemos que averiguar cuántas veces se puede resta un nº d a otro nº D. Lo quedesconocemos en esta ocasión es: ¿cuántos subconjuntos podré formar? Por ejemplo: 21 : 3 = ___ puede significar que hay un conjunto de 21 objetoscon los que se quieren formar subconjuntos de 3 elementos cada uno.La división partitiva (repartir) : Considerada la división como partición. El reparto serealiza colocando un objeto en cada una de sus partes, a continuación otro y asísucesivamente hasta que se agotan los elementos a repartir. En este caso la preguntaque plantea el procedimiento: ¿cuántos objetos habrá en cada parte? Por ejemplo: 21: 3 = ___ también puede sugerir que tenemos un conjunto de21 objetos que deberá ser separado en 3 partes iguales.6.9 PROBLEMASDIVISIÓN CUOTITIVA:- María tiene 25 ceras de colores y quiere repartirlas entre ella y sus compañeros de clasePablo, Alicia, Alberto, Joseja y Ana. ¿Entre cuántos podrá repartir sus ceras si regala 5 a cadauno? ¿Cuántos se quedarán sin las ceras de María?- Víctor compra varios paquetes de 13 chicles cada uno; en total ha comprado 52 chicles,¿cuántos paquetes ha comprado?- Hay 24 niños jugando en casa de Pablo. En cada habitación juegan 8 niños. ¿En cuántashabitaciones hay niños jugando?DIVISIÓN PARTITIVA:- Lucía e Irene quieren invitar a sus amigos Virginia, Raúl, Estela y María a golosinas. Entre lasdos tienen 80 céntimos. Si cada golosina cuesta 5 cent., ¿cuántas golosinas podrá comer cadauno?- En un cumpleaños hay 8 invitados; el cumpleañero ha comprado en total 48 golosinasdiferentes procurando dar el mismo número a cada uno, ¿cuántas golosinas podrá comer cadainvitado?-Mi madre ha partido una tarta en 12 trozos. Reparte los trozos entre 6 de mis amigos. Paraque todos mis amigos coman por igual, ¿cuántos trozos de tarta podrán comer cada uno?6.10 MODELOS ASOCIADOS A LA DIVISION
  47. 47. Hay varios modelos asociados con la división y cada uno de estos enfatiza un contextoparticular del número.a) Modelos lineales: Considerado como modelo de recuento. Utiliza la línea numéricatiene un soporte gráfico, el producto n · a (“n vec3es a”) se modeliza formando unintervalo de longitud a unidades y contando n veces. Cuando la recta no tiene soportematerial se cuenta sobre la sucesión numérica de a en a, hasta n veces ese recuento. 0 1 2 3 4 5El esquema de la división es similar; consiste en contar hacia atrás desde el dividendo,y de tanto en todo, según indique el divisor. El número de pasos dados es el cociente.En este caso se cambia el modelo usual de la división, el divisor no es ahora el númerode partes que se hacen, sino la cantidad igual a que toca cada parte.Si el divisor es pequeño, 2 o 3, puede intentarse con el modelo de la línea numérica, sudivisión en las partes iguales correspondientes, sin cambiar así los papeles del divisor yel cociente.La utilización más sencilla de este modelo es como resta reiterada y contando haciaatrás, y no tanteando los puntos en los que la longitud total del dividendo quedapartida en partes iguales.b) Modelos cardinales: Es utilizado en un contexto cardinal. Las matrices son unadistribución de objetos en un esquema rectangular. La división 24: 8 = ___ puederepresentarse preguntando cuántas columnas hay en una matriz de 24 elementosdispuestos en 8 filasc) Modelos de medida: Las regletas de Cuisenaire nos proporcionan un modeloadecuado del número como longitud. Para realizar la división 12 : 4 utilizando lasregletas se hace una fila de reglas de longitud 12 y a continuación se hace otra fila deigual longitud con una regleta de longitud 4; como las 4 regletas tiene la misma que lafila inicial, 12 : 4 = 3.Para representar la división 6 :3 = ___ se cuelga una pesa en el gancho del número 6 yse colocan el número de pesas (con igual peso que la anterior) que sean necesarias enel número tras del otro brazo para que se equilibre la balanza.
  48. 48. La división con estos materiales consiste en establecer la equivalencia entre unalongitud o peso global (dividendo) y otro más pequeño (divisor) que hay que reiterarvarias veces hasta conseguir el equilibrio. El número de veces en ambos casos seobtiene contando y nos da el cociente.d) Modelos numéricos: Estos modelos son estrictamente utilizados en un contextosimbólico, y los números aparecen únicamente simbolizados. La división se interpretacomo una resta reiterada 12 : 4 consiste en ver cuántas veces puede restarse 4 de 12,hasta llegar a 0.e) Modelos funcionales: La división aparece con el carácter de función u operador. :4 12 ---------- Operador -------» 3 Estado EstadoEn este caso cada opción se puede considerar como una máquina-operador quetransforma números-estados en números-estados. Se suele decir que cada máquina esinversa de la otra. En este modelo se pone de manifiesto la multiplicación y la divisióncomo operaciones inversas. N · 3 = 18 ↔ 18 : 3 = n6.11 ESTRATEGIASLas estrategias de cálculo empleadas por los niños cuando resuelven problemas dedivisión varían en función de su edad, su desarrollo y su habilidad. Entre las inicialesdestacan: 1. Modelar directamente una situación mediante materiales concretos. 2. Contar en grupos, a menudo utilizando los dedos para representar los grupos y a veces empleando los dedos como un lote de los grupos ya contados. 3. Recitar patrones numéricos, p.ej. “3, 6, 9, 12, 15…” 4. Aplicar directamente hechos numéricos conocidos. 5. Aplicar hechos derivados.
  49. 49. 7. EXPERIMENTOS Y AUTORES DE LA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
  50. 50. Numerosos autores han señalado que la multiplicación y la división sonconsiderablemente más difíciles que la adición y la sustracción. Nesher y Katrieldemuestran que estas operaciones necesitan unas definiciones mucho más complejasa la hora de definirlas lógicamente.Luriya, se dedico a experimentar con enfermos mentales y descubrió que podíanresolver adiciones y sustracciones, e incluso problemas simples de división, pero en vezde representar por ejemplo 12 : 6 = 6 representaban 12 – 6 = 6Hart también en sus experimentos descubrió que a la hora de realizar problemas derazón, la mayoría de los niños hacía una suma reiterada en lugar de una multiplicación.Brown en sus investigaciones, pidió a los niños que les plantearan distintos enunciadosa una serie de expresiones aritméticas y llegó a la conclusión de que la mayoría fallabaen la multiplicación, después en la división y donde menos fallos se producían era en lasustracción.Brown atribuyó a esta dificultad superior a que en la adición y sustracción sonconjuntos que se combinan o disocian y en la multiplicación y división sin embargoaparte de conjuntos de elementos diferentes, es preciso asociar en cada caso a unelemento de uno de los conjuntos con un subconjunto del otro conjunto.Brown también atribuyó una palabra a cada operación de esta manera:Suma: AñadirResta: QuitarDivisión: RepartirMultiplicación: Tantas vecesTantas veces no es un concepto que quede muy claro y por eso puede pensarse que alos niños les cueste asignarle un claro significado.
  51. 51. Juan tenía 3 coches. Juana 4 veces más Factor Multiplicante (Brown) que él. ¿Cuántos coches tiene Juana? 4 niños tienen 3 coches cada uno. Razón (Brown) ¿Cuántos coches tienen en total? Isomorfismo de medidas (Vergnaud) Un coche se fabrica en 4 tamaños y 3 Producto cartesiano (Brown) colores. ¿Cuántos coches diferentes se Producto de medidas (Vergnaud) pueden fabricar?Por último autores como McIntosh, Brown y Kücheman sugieren que la multiplicacióntambién resulta más difícil puesto que a menudo se confunden sus enunciados conproblemas de adicción o de sustracción.Autores como Vergnaud y Brown se encargaron de clasificar los diferentes tipos deproblemas de la multiplicación. Dividieron los problemas en 3 tipos diferentes:Brown realizó investigaciones para descubrir cuál de los dos últimos les resultaba mássencillo a los niños y descubrió que el producto cartesiano les resultaba mucho máscomplicado.Brown también les pidió a un grupo de 66 niños que hiciesen un enunciado para unproblema 9 x 3 y los resultados sacaron a la luz que la mayoría de los que lo hacíanbien utilizaban el método de Razón, después el Factor multiplicante pero ningunoutilizó el producto cartesiano.Brown y McIntosh llegaron a la conclusión de que los niños interpretaban de maneramás fácil lo que era la multiplicación a través de una división.Brown también divide los problemas de división en dos grupos:Juan tiene 12 caramelos. Si los coloca en Repartir (Brown)4 hileras iguales, ¿Cuántos ha de poner Repartir (William y Moore)en cada una?Juan tiene 12 caramelos, quiera Agrupamiento (Brown)colocarlos en hileras de 4, ¿Cuántas Sustracción repetida (William y Moore)hileras puede hacer?Hill y Brown al hacer experimentos para probar la diferencia entre estos modelosconcluyen que hay poca diferencia de dificultad entre ambos modelos, peroGunderson y Zweng al hacer experimentos con niños más pequeños (de 4 a 8 años)obtienen que los de agrupamiento les resultaban más sencillos.
  52. 52. Pero sin embargo a la hora de plantear enunciados de problemas para la operación9 : 3 demostraban que la mayoría de los niños los planteaban de repartir,probablemente porque es la palabra a la que asocian la división de pequeños. 8. ESTUDIO EXPERIMENTAL
  53. 53. El estudio experimental que hemos realizado consiste en pasar una serie de problemasrelacionados con el análisis de las cuatro operaciones de las que tarta nuestro trabajo.Estos problemas han sido realizados por los componentes del grupo y repartidos entres colegios diferentes, el C.P Feria-Isabel Morán, el CP Luis de Mateo y el CP SanPablo.Los criterios de creación de los problemas han sido sus distintos tipos dependiendo dela operación de la que hablamos. El objeto de estudio planteado fueron losdescubrimientos de los distintos niveles de comprensión y resolución que demuestranlos alumnos en la proceso de solución del problema referentes a estas operaciones. Hasido necesaria la aplicación de los conocimientos de las operaciones y adaptarloscorrectamente al enunciado utilizando el método de cálculo apropiado en cada caso.En conclusión, los alumnos resuelven con mayor éxito los problemas relacionados conla suma (a excepción de la sustracción vectorial, en la que muestran un notable déficitde planteamiento), y con la multiplicación. Por el contrario observamos importantescarencias y dificultades a la hora de resolver problemas relacionados con la resta y ladivisión, en las cuales, no llega al 50 % de los alumnos tomados como muestra,resuelve satisfactoriamente los ejercicios matemáticos planteados.De forma más general los niveles de comprensión y resolución más elevadosobservados se concentran durante el 1º y 2º ciclo de primaria, mientras los más bajosse localizan en el 3º ciclo de primaria, donde los problemas son resueltos de forma máscaótica, menos estructurados, y con porcentajes más altos de planteamientoserróneos en el proceso resolutivo.SUMA:Suma: (1º ciclo, 2º primaria)-Adición/añadir: el 81’82% resuelve bien este problema, la mayoría de los fallos vienenal hacer el algoritmo o equivocarse al plantear los datos.-Comparación: el 54’55% de los alumnos obtiene el resultado correcto, los fallosvienen porque resuelven dos veces la operación.
  54. 54. -Sustracción complementaria: 50% de los alumnos consiguen hacerlo bien. Los fallosprovienen de plantear una resta en vez de una suma.-Unión: 86’36% lo resuelven adecuadamente. Errores en el planteamiento de losdatos.-Unión (números con letra): 77’27% consiguen resolverlo. Los que lo hacen mal seequivocan al escribir con cifras los números.-Adición vectorial: 22’70%. La mayoría deerrores viene de sumar todos los datos.RESTA:Resta: (1º ciclo, 2º primaria)-Separación: un 41’6% de los niños resuelven bien este problema, mientras que 58’4%no entiende el tipo de operación que deben emplear, sustituyendo la resta por lasuma.-Comparación: un 50% lo hace bien y el otro 50% no lo resuelve de manera adecuada,volviendo a confundir la resta con la suma.-Adición complementaria: Un 16’6% consigue obtener el resultado adecuado, mientrasque un 83’4 % no lo hace bien. Suman todos los datos de una vez.-Sustracción vectorial: El 25% lo resuelve adecuadamente, mientras que el 75% seequivoca, porque la mayoría de ellos escogen como operación sumar.MULTIPLICACION:Suma, resta y multiplicación (2º ciclo, 3º y 4º de primaria)-Sustracción vectorial de la suma: un 91´7% plantea correctamente este tipo deproblema, mientras que el 8´3% no lo consigue.-Sustracción vectorial de la resta: los resultados de la resolución de estos problemasson en un 66´6% tal y como se esperaban y son resueltos correctamente, mientras queen 33´4% estos resultados son negativos y los niños no lo resuelven positivamente.-Razón de la multiplicación: en todos los casos sometidos a experimentación, losalumnos resuelven con éxito este tipo de problemas.-Factor multiplicante: en todos los casos estudiados, el alumno comprende y resuelvecorrectamente este tipo de problemas.-Producto cartesiano: en su gran mayoría, el 75% de los alumnos saben resolver estosejercicios correctamente, y solo una minoría del 25% no lo hace. Una curiosidad es que
  55. 55. los niños recurren a la representación gráfica, evitando realizar cualquier operación enel proceso de resolución.*** Aproximadamente, más de la mitad de los casos estudiados suman en vez demultiplicar en ejercicios que requieren la multiplicación en el proceso resolutivo,mientras, el resto del alumnado, multiplica cuando procede.Multiplicación: (3º ciclo, 6º primaria)- Razón: el 100% de los alumnos lo hicieron bien.- Factor multiplicante: el 70’5% de los niños lo plantearon bien (aunque un 29’5% seequivoco al multiplicar), y el otro 29’5% no lo plantearon bien.- Producto cartesiano: el 94% de la clase lo hizo bien y el 6% lo resolvió mal.DIVISION:División: (2º ciclo, 3º y 4º de primaria)-División partitiva: el 46´6% de los alumnos superan exitosos estos problemas,mientras que les superan algunos que no lo hacen en un 58´3%, los cuales no loresuelven por completo.-División cuotitiva: la dificultad de estos ejercicios es muy similar a la anterior, con unporcentaje del 42´3% de aciertos y un 57´7% de fracaso en su resolución.División: (3º ciclo, 6º de primaria)- Repartir: un 35’5% de los niños lo hizo mal mientras que el resto, un 64’5% lo resolviócorrectamente- Mezcla multiplicación-división-resta-suma: un 41’2% de los alumnos lo hizocorrectamente y el otro 58’82% se equivoco al resolverlo.-Agrupar: Un 32’5% consigue resolver bien el ejercicio, mientras que 68’5% falla eneste problema.
  56. 56. 9. BIBLIOGRAFÍA
  57. 57. www.wikipedia.orghttp://www.aaamatematicas.com/pro.htmhttp://www.elabueloeduca.com/aprender/matematicas/restar/restar.htmlhttp://www.vitutor.net/
  58. 58. http://www.geothesis.com/http://juegosgratisde.com/juegos-de-habilidad/juegos-matematicashttp://www.youtube.com/watch?v=hOkD9V6S8Q8http://www.youtube.com/watch?v=vvLF9I4hIIc&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=AMHkrydaCho&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=BoQE99vfow8&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=oPg_EkoFpSQ&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=0Hae8E4GuuE&feature=relatedLibro: Didáctica de la matemática en Educación Primariahttp://www.youtube.com/watch?v=5JtliQVoOZo

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