O documento apresenta um resumo sobre sistemas de equações, incluindo:
1) A definição de sistema de equações e solução de um sistema;
2) O método de substituição para resolver sistemas, explicando os seis passos necessários;
3) Vários exemplos ilustrativos de sistemas e sua resolução.
1. Escola Básica e Secundária do Porto Moniz
Ano Letivo 2013/2014
FICHA DE TRABALHO DE MATEMÁTICA - 8ºAno
Tema: Sistemas de Equações
Nome: __________________________________________ Turma: ___ Nº____ Data: __/__/__
Sistemas de duas equações:
2 x y 4
3x 2 y 10
Exemplo:
Solução de um sistema:
Definição: Um par ordenado ( x , y ) é solução de um sistema de duas equações com duas incógnitas, x e y , se for
solução simultaneamente das duas equações.
Resolução de sistemas pelo método de substituição.
Considera o seguinte sistema:
1º Passo
Colocar o sistema na forma canónica
2º Passo
Resolver uma das equações em ordem a uma das
incógnitas.
3º Passo
Substituir na outra equação o valor encontrado
5 x 9 2 y
3x y 1 0
5 x 2 y 9
3x y 1
5 x 2 y 9
y 1 3x
5 x 2(1 3x) 9
y 1 3x
para essa incógnita
4º Passo
Resolver a equação que tem uma só incógnita.
5 x 2 6 x 9
5 x 6 x 9 2
y 1 3x
y 1 3x
11
11x 11
x 1
x
11
y 1 3x
y 1 3x
y 1 3x
4.º Passo
Substituir o valor encontrado na outra equação.
x 1
x 1
y 1 3x
y 1 3 1
5.º Passo
Determinar o valor da outra incógnita.
x 1
x 1
y 1 3 1 y 1 3
x 1
y 2
6.º Passo
Apresentar a solução do sistema:
A solução do sistema é o par ordenado 1,2
1
2. Exercícios:
1.
Observa as seguintes representações gráficas:
a)
Escreve uma equação para a reta r e s.
b)
Utilizando as equações escreve:
2.
Um sistema impossível.
Um sistema possível e determinado.
Um sistema possível e indeterminado.
3x 6 2 y
.
x 2 y 10
Considera o sistema:
a)
b)
Escreve o sistema na forma canónica.
c)
3.
Verifica, sem resolver, se o par 1,3 é solução do sistema.
Resolve o sistema pelas duas maneiras: método de substituição e pela resolução gráfica.
A cada um dos sistemas (A), (B) e (C) faz corresponder o respetivo gráfico.
2 x y 2
x 3y 3
(A)
(B)
3x 2 y 4
3x 2 y 6
(C)
1
y x3
3
I
y3
II
III
4.
y 1
4 x 1 3 x 1 2
Reduz o sistema à forma canónica e, em seguida, resolve-o:
.
2 y 3 1 x 1 x
3
5.
Resolve os sistemas pelo método de substituição:
a)
2a 4
2a 3b 4
b)
2 x 5 y 1
3x 0
c)
3s t 0
s 6 0
d)
e)
x y 1
4
2 x 3 y 4
1
2 a b 2
a b 1 a
2 4 8
2
3. x y x y
8 6 5
x y x y 10
2
3
4
x y x y
2 3 0
2 x x y 1 x
2
2
1
2 x y 3
3 x 1 y 7 3 y
2
f)
g)
h)
12. Numa banca de um arraial, estão à venda caixas
com bolos tradicionais. Existem caixas com três
bolos e existem caixas com quatro bolos. Sabe-se
ainda que as caixas vazias têm todas a mesma
massa, os bolos têm, também, todos a mesma
massa, uma caixa com quatro bolos tem uma massa
de 310 gramas, e duas caixas, cada uma com três
bolos, têm uma massa total de 470 gramas. Qual é
a massa, em gramas, de cada caixa vazia?
13. Para a festa de aniversário da Maria, gastaram-se
6.
Determine x e y sabendo
que
a
figura
seguinte
representa um retângulo.
54 euros na compra de pacotes de leite e de
pacotes de sumo. Cada pacote de leite custou 70
cêntimos e cada pacote de sumo custou 60
cêntimos. O número de pacotes de leite comprados
Quatro gelados e dois iogurtes custam 3,40 euros.
é o triplo do número de pacotes de sumo. Quantos
Três gelados e cinco iogurtes custam 3,25 euros.
pacotes de leite e quantos pacotes de sumo se
Quanto custa um gelado? E um iogurte?
7.
compraram?
Numa festa havia 40 pessoas. Quando 7 homens
14. A Rita tem 5,50 euros no mealheiro. No total, tem
saíram, o número de mulheres passou a ser o dobro
17 moedas, sendo umas de 20 cêntimos e outras de
do número de homens. Quantas mulheres estavam
50 cêntimos. Seja x o número de moedas de 20
na festa?
8.
cêntimos e seja y o número de moedas 50 cêntimos
que a Rita tem no mealheiro. Quantas moedas de
9.
Há cinco anos a idade da Ana era o quádruplo da
idade da Adriana. Daqui a 10 anos, a soma das duas
20 cêntimos e quantas moedas de 50 cêntimos tem
a Rita no mealheiro?
idades será igual a 80 anos. Qual é a idade atual de
cada uma delas?
15. Na praceta onde mora a família Coelho, estão
estacionados automóveis e motos. Cada automóvel
10. A Sara e o Rui moram na mesma rua. O número da
porta da Sara excede numa dezena e três unidades
o número da porta do Rui e o dobro do número da
porta do Rui é igual à soma de 7 com o número da
porta da Sara. Quais são os números das portas?
tem 4 rodas, e cada moto tem 2 rodas.
O número de automóveis é o triplo do número das
motos e, ao todo, há 70 rodas na praceta.
Determina quantos automóveis e quantas motos estão
estacionados na praceta.
11. A Sara foi tomar o pequeno-almoço. Gastou 2,25
euros num sumo natural e numa torrada. O sumo
custou mais 55 cêntimos do que a torrada. Quanto
16. Um aviário que comercializa galinhas do campo e
frangos vendeu 1400 aves. Cada galinha foi vendida
custou a torrada e quanto custou o sumo natural?
3
4. a 1,50€ e cada frango, a 0,90€. A venda rendeu
1590€.
a) Traduz a informação dada por meio de um
sistema de equações, considerando x o número de
galinhas vendidas e y o número de frangos
vendidos.
b) Resolve o sistema de equações e indica quantas
galinhas e quantos frangos foram vendidos.
17. Um hotel tem 80 quartos, entre duplos e
individuais, num total de 144 camas.
a) Traduz a informação dada por meio de um
sistema de equações, considerando x o número de
quartos duplos e y o número de quartos individuais.
b) Resolve o sistema de equações e refere quantos
quartos individuais tem o hotel.
18. Um retângulo tem 34 cm de perímetro. Se o seu
comprimento tivesse menos 7 cm, o retângulo seria
um quadrado. Quais são as dimensões do
retângulo?
19. A Manuela tem mais 4 anos que o André. A soma
das suas idades é meio século. Que idade tem cada
um?
20. O sêxtuplo da idade do Pedro excede em cinco anos
a idade do António. Daqui a cinco anos a idade do
António será tripla da do Pedro. Qual é a idade de
cada um?
21. O Artur e o seu irmão Gabriel têm no Banco,
conjuntamente, 713.28 euros.
Se o dinheiro que o Gabriel tem no Banco for 30%
Bom Trabalho!!
do Artur, que dinheiro tem cada um dos irmãos?
A Professora, Rute Esteves
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