1. O documento descreve e compara quatro modelos de risco de crédito: CreditRisk+, CreditMetrics, KMV e CreditPortfolioView. 2. CreditRisk+ usa distribuições gama para fatores de risco e aproximação de Poisson para calcular probabilidades de inadimplência. CreditMetrics usa cortes baseados em dados históricos. KMV calcula probabilidades a partir da distância para inadimplência. CreditPortfolioView usa regressão logit. 3. O documento também mapeia como CreditRisk+ e CreditMetrics podem ser representados um no modelo do outro at

1. Modelos para Risco
de Crédito 4:Anatomia
Comparativa
Análise de Risco (12)
R.Vicente
1

2. Resumo
Introdução
CreditRisk+
CreditMetrics
KMV e CreditMetrics
CreditPortfolio e CreditMetrics
Mapeando CreditMetrics no CreditRisk+
Mapeando CreditRisk+ no CreditMetrics
Diferenças essenciais
Bibliografia
2

3. CreditRisk+: Probabilidades de
Default
Fatores de risco são introduzidos: x = (x 1, , xK )
A probabilidade de default da contraparte i é condicionada ao vetor de fatores de
risco x sendo
⎛K ⎞
pi (x ) = pζ (i ) ⎜∑ x k wik ⎟
⎜ ⎟
⎟
⎜ k =1
⎝ ⎠
Aqui ζ (i ) é a classificação de crédito da contraparte i e (wi 1, , wiK )
são coeficientes que medem a sensibilidade da contraparte a cada fator de
risco.
3

4. CreditRisk+: Função Geratriz
A distribuição de defaults para uma carteira pode ser obtida calculando
primeiro a função geratriz da distribuição de probabilidades. Esta função
apresenta as seguintes propriedades:
1. n ! Fκ(n )(0) = P {κ = n }
2. Se κ1 e κ2 são duas variáveis aleatórias independentes temos que :
Fκ +κ (z ) = Fκ1 (z )Fκ2 (z )
1 2
3. Se Fκ (z x ) é a geratriz de κ condicional aos fatores de risco x
com densidade de probabilidade f (x ) , então:
Fκ (z ) = ∫ df (x ) F
x
κ
(z x)
4

5. CreditRisk+:Aproximação de
Poisson
A função geratriz para o número de defaults em uma carteira com defaults
independentes é, portanto:
F (z x ) = ∏ Fi (z x )
i
= ∏ ⎡⎣1 − pi (x ) + pi (x )z ⎤⎦
i
⎡ ⎤
≈ exp ⎢(z − 1)∑ pi (x )⎥
⎢⎣ i
⎥⎦
= exp [(z − 1)μ(x )]
5

6. CreditRisk+:Aproximação de
Poisson
Escolhendo uma densidade Gama para cada fator de risco teremos:
1
K ⎛ 1−δ ⎞ σk2
⎜ k ⎟
F (z ) =
∏ ⎜1 − δ z ⎠
⎜
k =1 ⎜
⎝
⎟
⎟
⎟
k
Onde
μk = ∑ wik pζ (i )
i
σk2 μk
δk = 2
1 + σk μk
6

7. CreditRisk+: Distribuição de
perdas
Para obter a distribuição de perdas a carteira é dividida em subcarteiras cada
uma com um tamanho típico de perdas. A função geratriz de ν(i ) perdas
unitárias de uma carteira contendo só a contraparte i será:
Gi (z x ) = Fi (z ν (i ) x )
A geratriz para as perdas, assumindo que os fatores de risco têm distribuição
gama é, portanto: 1
K⎛ 1 − δ ⎞σk2 ⎟
G (z ) = ∏ ⎜ ⎜ k ⎟
⎜1 − δ P (z )⎟
k =1 ⎜
⎝ ⎟
⎠
k k
μk = ∑ wik pζ (i )
1
Com Pk (z ) =
μk
∑ wik pζ (i )z ν (i )
i
i
σk2 μk
δk = 2
1 + σk μk 7

8. CreditMetrics Básico
A taxa de default no modelo CreditMetrics básico é definida por dados
históricos que definem um limiar para a variação de uma variável escondida
que representa o valor de mercado dos ativos da empresa analisada (no
modelo mais básico o valor da ação negociada no mercado aberto é
utilizada como variável escondida) assim:
(
pi = Φ C ζ (i ) )
Aqui C ζ (i ) é um cutoff para default definido pela classificação atual
de crédito e pela probabilidade de default histórica para esta
classificação.
8

9. CreditMetrics Básico e KMV
No modelo KMV a probabilidade de default é calculada a partir da estrutura
de capital da empresa sendo função da Distância para Default (DD)
pi = Φ (−DDi )
Onde
⎛ 1 ⎞
VA − ⎜SL + LL ⎟
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
DD =
VAσA
Com o valor de mercado dos ativos tendo sido calculado interpretando o valor
das ações sobre a empresa como opções de compra dos ativos com strike
igual ao passivo da empresa.
9

10. CreditMetrics e Regressão
Probit
A taxa de default no modelo CreditMetrics pode ser associada à dinâmica
de mais variáveis escondidas em uma regressão probit:
⎛K ⎞
pi (x) = Φ ⎜∑ wik x k ⎟
⎜ ⎟
⎟
⎜ k =1
⎝ ⎠
K
Aqui x é um vetor de variáveis escondidas e
probit.
∑w
k =1
x
ik k
é o score
Em mahine learning, o modelo probit é conhecido como Perceptron.
10

11. Perceptron
⎛ K ⎞
pi (x) = F ⎜wi 0 + ∑ wik x k ⎟
⎜ ⎟
⎟
⎜
⎝ k =1 ⎠
K
X
∑w
k =1
x
ik k
W
w0
11

12. Perceptron e
CreditPortfolioView
O modelo CreditPortfolioView utiliza a chamada regressão logit (ou, em
machine learning, o perceptron com função de ativação logística):
1
pi,t =
1 + e −hi ,t
K
Onde hi,t = wi 0 + ∑ wik x k ,t
k =1
x k ,t são variáveis macroeconômicas.
12

13. Mapeando o CreditMetrics no
CreditRisk+
Suponhamos o modelo CreditMetrics em uma variante com uma variável
escondida (fator de risco) de forma que um default ocorra quando:
x βi + ηi εi < C ζ (i )
Sensibilidade
ao fator de
risco
Sensibilidade
a fatores
individuais
13

14. Mapeando o CreditMetrics no
CreditRisk+
Dado o fator de risco x teremos: ⎡C ζ (i ) − x βi ⎤
pi (x ) = Φ ⎢⎢ ⎥
⎥
⎢⎣ ηi ⎥⎦
Assumindo que os K fatores de risco mais importantes (modelo fatorial) são
distribuídos de acordo com uma normal N (0, Ω) podemos calcular a função
geratriz para a carteira como:
Gκ (z ) = ∫ dx φ (x ) G
x Ω κ
(z x)
zn
∞
= ∑ ∫ dx φΩ (x ) e −μ(x )μ(x )n
n =0 n !
x
Com μ(x ) = ∑ p j (x )
j
14

15. Mapeando o CreditRisk+ no
CreditMetrics
Começamos por assumir que a variável latente no CreditMetrics é dada por:
εi
yi = K
∑x w
k =1
k ik
Onde os fatores de risco tem distribuição gama e εi tem distribuição
exponencial com parâmetro 1. A contraparte entra em default quando
yi < pζ (i )
15

16. Mapeando o CreditRisk+ no
CreditMetrics
A probabilidade condicional de default dada a variável latente escolhida é:
⎧
⎪ ⎛K ⎞ ⎫
⎪ε < p ⎜ x w ⎟ x ⎪
{
P yi < pζ (i ) }
x =P⎨ i
⎪ ζ (i ) ⎜∑ k ik ⎟ ⎪
⎜ k =1
⎝
⎟ ⎬
⎠ ⎪
⎪
⎪
⎩ ⎭
⎡ ⎛K ⎞⎤
= 1 − exp ⎢−pζ (i ) ⎜∑ x k wik ⎟⎥
⎜ ⎟
⎟⎥
⎢ ⎜ k =1
⎝ ⎠⎦
⎣
⎛K ⎞
≈ pζ (i ) ⎜∑ x k wik ⎟ = pi (x )
⎜ ⎟
⎟
⎜ k =1
⎝ ⎠
16

17. Diferenças Essenciais
Modelo CreditRisk+ CreditMetrics KMV CreditPortfolio
View
Calibração Dados Dados Históricos Estrutura de Dados
Históricos para para prob. de Capital e macroeconômicos e
prob. de default default cotações de setoriais
mercado
Distribuição Gama com Normal Normal Normal
dos fatores e K fatores Multivariada multivariada
multivariada
risco independentes
Distribuições Poisson Normal Normal -
condicionais
para default
17

18. Bibliografia
•Gordy A., A comparative anatomy of credit risk models, Journal of Banking and
Finance 24 (2000) 119-149.
•Wilson T., Portfolio Credit Risk, FRB NY Economic Policy Review, October
1998.
Leitura Complementar
•Bishop C., Neural Networks for Pattern Recognition, Oxford University
Press.
18